UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA UNIDAD DIDÁCTICA MATEMÀTICA FINANCIERA II

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1 UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA UNIDAD DIDÁCTICA MATEMÀTICA FINANCIERA II AUTOR: Ing. Flavo Parra T. Quto - Ecuador

2 TABLA DE CONTENIDO UNIDAD I ANUALIDADES O RENTAS Defncón de anualdad Requstos para que exsta una anualdad Clasfcacón de las anualdades según el tempo Anualdades Certas Anualdades contngentes Clasfcacón de las anualdades según los ntereses Anualdades smples Anualdades Generales Clasfcacón de las anualdades según el momento de ncacón Anualdades dferdas Anualdades nmedatas Resumen de anualdades Anualdad vencda Valor presente de una anualdad vencda(a) Valor futuro de una anualdad vencda(s) Transformacón de tasas de nterés Tasas efectvas Vencdas y Tasas efectvas Antcpadas Tasas efectvas Antcpadas y Tasas Nomnales Antcpadas Ejerccos de aplcacón de anualdades Anualdades antcpadas Valor presente de una anualdad antcpada Valor futuro de una anualdad antcpada Interpolacón lneal Anualdades dferdas Anualdades Generales Anualdades perpetuas Anualdades con gradente artmétco y geométrco Gradente artmétco o lneal Gradente geométrco exponencal UNIDAD II AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN Amortzacón Fondo de Amortzacón Tablas de amortzacón Derechos adqurdos por el deudor (DD) y saldo a favor del acreedor (DA) Tpos de amortzacón Amortzacón Gradual (Método Francés) Amortzacón Constante (Método Alemán) Amortzacón (Método Amercano) Tablas de fondo de amortzacón UNIDAD III MÉTODOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE INVERSIÓN Tasas de nterés-tmar-costo de oportundad Combnacón de Tasas Tasa de nterés real Tasa mínma aceptable de rendmento (TMAR) TMAR como Costo de Oportundad y como Costo de Captal Valor actual neto (VAN) Tasa nterna de retorno (TIR) Índce de rentabldad IR Payback descontado Relacón Benefco-Costo (B/C) UNIDAD IV

3 4. DOCUMENTOS FINANCIEROS Y BONOS Bono Pago de ntereses: Valor nomnal: Valor de redencón Maduracón Preco de los bonos tasa nterna de retorno (TIR O RENTABILIDAD) Preco del bono a una fecha de pago de ntereses o cupón Valor en lbros de un bono BIBLIOGRAFIA

4 INTRODUCCION En este segundo curso de Matemátcas Fnanceras se trata temas referentes a:tasas equvalentes, anualdades, amortzacones, fondos de valor futuro, documentos fnanceros, bonos, tasas de nterés nternaconales, tasa real, análss de convenenca de nvertr a través de ndcadores como VAN, TIR, Payback, Relacón Costo Benefco, que son necesaros en las actvdades fnanceras especalmente en el largo plazo, para fnancar compras de benes nmuebles y muebles, fnancamento, negocacón con documentos, y aseguramento de todos los benes; que tenen aplcacón en la formacón del admnstrador profesonal. IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA Dentro del mundo de los negocos, el futuro profesonal se enfrentará en muchas ocasones a tomar decsones que nvolucran la nversón adecuada de los recursos con que cuenta o a la dsponbldad de los msmos por lo tanto es necesaro que tenga los conocmentos que nvolucran a la Matemátca Fnancera En el caso que nos ocupa, la formacón en la especaldad profesonal de Admnstracón Contabldad, la matera Matemátca Fnancera es de mportanca pues le permtrá al estudante, en el momento que desempeñe un cargo en los nveles de apoyo o de dreccón en una empresa sea públca o prvada, tenga las técncas, herramentas y destrezas para la toma de decsones; entonces, deberá revsar documentos y emtr una opnón profesonal decsva 4

5 y defntora sobre estudos y proyectos o nformes realzados, que necesaramente contendrán cálculos matemátcos y sobre todo fnanceros, para ver s es rentable o no una nversón. En el mundo actual, donde la economía se ha globalzado y que gracas al apoyo de la cbernétca se ha dado una verdadera revolucón; pues las negocacones y transaccones fnanceras y afectacones, se hacen en tempo real, por lo que se requere poseer sóldos conocmentos fnanceros que permtan aprovechar las oportundades que se presentan en el mercado y tomar las meddas precautelatoras cuando estas puedan afectar las fnanzas de la empresa. 5

6 UNIDAD I 1. ANUALIDADES O RENTAS INTRODUCCION Los flujos de caja (pagos) de los crédtos comercales y fnanceros, normalmente tenen las característcas de ser guales y peródcos, estos se denomnan anualdades, por ejemplo; son anualdades las cuotas peródcas para pagar período a período un electrodoméstco, de un vehículo, los salaros mensuales, las cuotas de los seguros, los pagos de arrendamentos, entre otros, sempre y cuando, no varíen de valor durante algún tempo. Trataremos las anualdades más comunes y de mayor aplcacón en la vda cotdana. Por lo cual, se calculará el valor presente de una anualdad y su valor futuro, de la msma manera se determnará el valor de la cuota gual y peródca y el número de períodos de la negocacón. 1.1 Defncón de anualdad Una anualdad es una sere de flujos de cajas guales o constantes que se realzan a ntervalos guales de tempo, que no necesaramente son anuales, sno que pueden ser daros, quncenales o bmensuales, mensuales, bmestrales, trmestrales, cuatrmestrales, semestrales, anuales. Las anualdades se smbolzan con la letra R. El concepto de anualdad, es mportante en el área de las fnanzas, entre otras consderacones, porque es el sstema de amortzacón más utlzado en las nsttucones fnanceras en sus dferentes modaldades de crédtos. Además, es muy frecuente que las 6

7 transaccones comercales se realcen medante una sere de pagos hechos a ntervalos guales de tempo, en vez de un pago únco realzado al fnal del plazo establecdo en la negocacón. Es convenente, en el estudo de las anualdades, tener en cuenta las defncones de los sguentes térmnos: Renta o Pago (R): es un pago peródco que se efectúa de manera gual o constante. A la renta tambén se le conoce con el nombre: cuota, depósto. Cualquer de estos térmnos pueden ser utlzados en lugar de anualdad. Perodo de Renta: es el tempo que transcurre entre dos pagos peródcos consecutvos o sucesvos. El perodo de renta puede ser anual, semestral, mensual, etc. Plazo de una anualdad: es el tempo que transcurre entre el nco del prmer período de pago y el fnal del últmo período de pago. 1.2 Requstos para que exsta una anualdad Para que exsta una anualdad se debe cumplr con las sguentes condcones: Todos los flujos de caja deben ser guales o constantes. La totaldad de los flujos de caja en un lapso de tempo determnado deben ser peródcos. Todos los flujos de caja son llevados al prncpo o al fnal de la sere, a la msma tasa de nterés, a un valor equvalente, es decr, a la anualdad debe tener un valor presente y un valor futuro equvalente. El número de períodos debe ser gual necesaramente al número de pagos. 1.3 Clasfcacón de las anualdades según el tempo Las anualdades según el uso del tempo se clasfcan en certas y contngentes Anualdades Certas Son aquellas en las cuales los flujos de caja (ngresos o desembolsos) ncan y termnan en perodos de tempos defndos. Por ejemplo, cuando una persona compra en un almacén un electrodoméstco a crédto, se establecen en forma nmedata las fechas de ncacón y termnacón de la oblgacón fnancera. 7

8 Las anualdades perpetuas o ndefndas, son una varante de las anualdades certas. Los flujos de caja de las anualdades ndefndas comenzan en un perodo específco o determnado y la duracón es por tempo lmtado Anualdades contngentes Son aquellas en las cuales la fecha del prmer flujo de caja, la fecha del últmo flujo de caja, o ambas depende de algún evento o suceso que se sabe que ocurrrá, pero no se sabe cuándo. El ejemplo más clásco, es el contrato de un seguro de vda, se sabe que hay un benefcaro, al cual hay que realzarle una sere de pagos en un tempo plenamente defndo, pero no se sabe cuándo empezarán, por desconocerse fecha en que morrá el asegurado. Por el alcance que tenen las anualdades contngentes. 1.4 Clasfcacón de las anualdades según los ntereses generales. Según el uso de los ntereses las anualdades se clasfcan en anualdades smples y Anualdades smples Son aquellas en que el perodo de captalzacón de los ntereses concde con el perodo de pago. Por ejemplo, cuando se realzan depóstos trmestrales en una cuenta de cuenta de ahorros ntereses captalzables cada trmestre Anualdades Generales Son aquellas en que el perodo de captalzacón de los ntereses no concde con el perodo de pago. Por ejemplo, cuando se realzan depóstos mensuales en una cuenta de ahorro pero los ntereses se captalzan cada bmestre. 1.5 Clasfcacón de las anualdades según el momento de ncacón. nmedatas. Las anualdades se clasfcan según el momento de ncacón en dferdas e 8

9 1.5.1 Anualdades dferdas Son aquellas en las cuales la sere de flujos de caja (Ingresos ó Desembolsos), se dan a partr de un período de graca. Este se puede dar de dos maneras: a) Período de graca muerto, b) Período de graca con cuota reducda. En el perodo de graca muerto, no hay abonos a captal, n pagos de nterés, lo que mplca que el valor de oblgacón fnancera al fnal del período de graca se acumula por efecto de los ntereses, ncrementándose el saldo de la oblgacón fnancera, por lo tanto, a partr de este nuevo valor se determna el valor de la cuota ó de la anualdad (R). En el perodo de graca con cuota reducda, se hacen pagos de ntereses, pero no abono al captal, por lo cual, el valor de la oblgacón fnancera, no camba por efecto de los ntereses, ya que estos se han vendo cancelando a través del tempo, por lo tanto, el valor de la oblgacón fnancera al fnal del perodo de graca, es el ncal, y a partr de él, se calcula ó se determna el valor de la cuota ó de la anualdad (R) Para el cálculo del valor presente y del valor futuro de una anualdad dferda, se pueden utlzar las expresones que se demostraran para las anualdades vencdas y antcpadas, posterormente; sé vera como se pueden adaptar las fórmulas para aplcarlas sobre las anualdades dferdas Anualdades nmedatas Son aquellas en la que sere de flujos de caja (Ingresos ó Desembolsos) no tene aplazamento algunos de los flujos, es decr, los flujos se realzan en el perodo nmedato a la frma del contrato o del pagaré. 9

10 1.6 Resumen de anualdades. smples Anualdades generales { { { vencdas certas { vencdas contngentes { vencdas certas { vencdas contngentes { { nmedatas dferdas antcpadas { nmedatas dferdas { nmedatas dferdas antcpadas { nmedatas dferdas { nmedatas dferdas antcpadas { nmedatas dferdas { nmedatas dferdas antcpadas { nmedatas dferdas Anualdad certa. Sus fechas son fjas y se estpulan de antemano Anualdad contngente. Las fechas del prmer pago o del últmo no son fjadas de antemano (o ambas). Anualdad smple. Cuando el perodo de pago concde con la tasa de nterés. Anualdad general. Cuando el perodo de pago no concde con la tasa de nterés. Anualdad vencda (ordnara). Cuando los pagos peródcos se realzan al fnal del msmo. Anualdad antcpada. el pago se lo realza al nco del perodo de pago. Anualdad nmedata. Cobros o pagos se realzan de nmedato el momento de formalzacón del trato. Anualdad dferda. Se realzan los cobros o pagos después de un perodo de graca. 1.7 Anualdad vencda Valor presente de una anualdad vencda(a) Es una cantdad o valor, localzado un perodo antes a la fecha del prmer pago, equvalente a una sere de flujos de caja guales y peródcos. Matemátcamente, se puede expresar como la suma de los valores presentes de todos los flujos que compone la sere Valor futuro de una anualdad vencda(s) 10

11 Es la cantdad o valor ubcado en el últmo flujo de caja, equvalente a todos los flujos de caja constantes y peródcos de la sere. Matemátcamente, es el valor fnal que se obtene al sumar todos los valores llevados al futuro. R R R R R R R R n n A R * n (1 ) S R * n Transformacón de tasas de nterés. Dentro del campo fnancero algunas de las tasas que son de uso común se puede menconar las sguentes: Tasa Actva Tasa Efectva y efectva peródca Tasa Pasva Tasa Flat Tasa Referencal TASAS INTERNACIONALES Tasa Nomnal Tasa Lbor Tasa Prme Tasa E.U.R.I.B.O.R Tasa Actva Es la tasa que las entdades fnanceras cobran en sus actvdades credtcas, conocdas tambén como de colocacón de sus recursos. Tasa Pasva Es la tasa que las entdades pagan a los depostaros o nversonstas que colocan sus recursos en dchas entdades. 11

12 Tasa Referencales Son las tasas que da Banco Central y que srven de referenca para que las entdades fnanceras fjen sus tasas actvas y pasvas en sus operacones. Estas son presentadas semanalmente. Tasa Nomnal (j) Esta tasa es consderada como una tasa contractual pues es la que generalmente aparece en los contratos. Expresa la forma en que se va ha captalzar los ntereses (nterés compuesto), presentándose como: xx% Anual convertble(perodo de tempo de captalzacón) = a.c. perodo de tempo. xx% Anual captalzable(perodo de tempo de captalzacón) xx% Anual compuesto(perodo de tempo de captalzacón) Perodo de tempo de captalzacón = Fraccón del año Tambén se puede decr, que la tasa nomnal es la que presenta de manera anual la tasa que efectvamente (tasa efectva peródca) se gana o paga en el perodo de captalzacón multplcada por su frecuenca de conversón. Frecuenca de conversón (m).- Es el número de veces que los ntereses se converten en captal en el año, dependendo del perodo de tempo que se consdere para su captalzacón, así tendríamos que s la captalzacón es mensual m sería gual a 12. Ejemplo: j = 24% mensuales en el año. anual captalzable mensualmente, entonces m = 12 captalzacones = j m = 24% 12 = 2% mensual 12

13 En nterés smple, la tasa de nterés con la que se trabaja se consdera como nomnal sn que esto sgnfque que se den captalzacones; como ejemplo podemos decr s un captal de $1.000, se presta a 180 días a una tasa: a) 12% anual, tenemos que calcular la tasa dara = 0,12/360; =0,00033 daro o 0,033% daros b) 5% semestral; podría consderarse el tempo como un semestre y utlzar la tasa del 5% semestral o calcular la tasa dara = 0,05/180; = % daro. Fórmula para transformacón de tasas: (1 + j m1 1 ) = (1 + j m2 2 ) m 1 m = (1 + j m ) m (1 + 1 ) p 1 = (1 + 2 ) p 2 j j anual j o j anual = j m Ejemplos: Transforme las tasas ndcadas a) j = 8% a. c. t j = a. c. s (1 + j m1 1 ) = (1 + j m2 2 ) m 1 m 2 ( ) 4 = (1 + j 2 2 ) 2 j 2= 8.08% a. c. s b) j = 8% a. c. t = mensual = j m = 8% 4 = 2% trmestral 13

14 (1 + 1 ) p 1 = (1 + 2 ) p 2 ( ) 4 = (1 + 2 ) 12 2 = 0. 66% mensual c) = 2% mensual j = a. c. s = j m j = m j = 2% 12 = 24% a. c. m (1 + j m1 1 ) = (1 + j m2 2 ) m 1 m 2 j 2 = 12.30% a. c. s ( ) 12 = (1 + j 2 2 ) 2 d) = 6% bmestral = trmestral (1 + 1 ) p 1 = (1 + 2 ) p 2 ( ) 6 = (1 + 2 ) 4 2 = 9.13% trmestral Tasa Efectva y Efectva Peródca () Es la tasa que realmente se está ganando o pagando durante un determnado perodo de tempo. Cuando se consdera que el perodo de tempo es un año se denomna tasa anual o tasa efectva anual; de lo contraro s el perodo es menor a un año se consdera como una tasa efectva peródca. (Esta tasa es la que se usa en las fórmulas de Interés Compuesto, Anualdades, TIR, Bonos) (Tenga en cuenta que sempre la tasa efectva es mayor que la tasa nomnal, pues en esta se consderan los valores captalzados.) Tasas efectvas Vencdas y Tasas efectvas Antcpadas Cuando hablamos de nterés por antcpado, el monto de los ntereses se paga o se captalza al nco del perodo. Con el fn de encontrar su equvalenca con el nterés vencdo 14

15 se emplea una ecuacón de valor entre el flujo presente y el flujo futuro para un perodo, como sgue: A = X- ax A= X (1-a) (1) A F = X La tasa antcpada se presenta como un descuento al monto del flujo presente, y por lo tanto no aparece al fnal. Por otro lado aplcando el prncpo de equvalenca tenemos que: F = A(1+) consderando que F = X Reemplazando con (1) tenemos X = X(1-a)(1+) y smplfcando tenemos: 1 = (1-a)(1+); (2) (1-a) = 1/ (1+); 1-1/ (1+) = a; (1+-1)/(1+) = a: a = 1 + Se consdera: = Tasa de nterés efectva peródca vencda a = Tasa de nterés efectva peródca antcpada Partendo de la ecuacón (2) tambén podemos despejar la tasa vencda en funcón de la antcpada, como sgue: (1+) = 1/ (1-a); 1/ (1-a)-1 = ; (1-1+ a)/ (1-a) = ; a = 1 a Ejemplos: 15

16 1.- Encuentre la tasa efectva peródca vencda equvalente a una tasa del 4% anual antcpada. =? anual a= 4% annual = 0,04/(1-0,04) = ; = 4,17% annual vencda 2.- Encuentre la tasa efectva antcpada equvalente a una tasa efectva anual vencda del 9%. a=? anual = 9%anual = 0,09/(1+0,09) = 0,0826; = 8,26% anual antcpada Tasas efectvas Antcpadas y Tasas Nomnales Antcpadas Smlar a lo vsto ya con las tasas vencdas efectvas y nomnales, para la transformacón tenemos la formula = j/m; donde en este caso se converte en ay j en ja; mantenéndose m como frecuenca de conversón y la condcón de que sea la tasa sea del msmo perodo de captalzacón. a = ja/m Ejemplos: 1.- Encuentre la tasa efectva peródca equvalente a una tasa del 4% a.c.t. antcpada. ja = 4% a.c.t. m = 4 a=? trmestral a= 0,04/4 = 0,01; a= 1% trmestral antcpada. 2.- Encuentre la tasa nomnal a.c.s. antcpada equvalente a una tasa efectva peródca 2,3% semestral antcpada. 16

17 a= 2,3% semestral ja =? a.c.s.. m = 2 ja = 0,023 x 2 = 0,046; ja = 4,6% a.c.s. antcpada. Para el caso de anualdades generales se necesta la transformacón de tasas de nterés con el objetvo de que la tasa de nterés concda el perodo de pago. 1.9 Ejerccos de aplcacón de anualdades Para resolver problemas en los que ntervenen las anualdades tome en cuenta las sguentes recomendacones: Lea con detenmento el problema y determne la pregunta que le pde para dar solucón. Realce un gráfco que represente el enuncado del problema Identfque s es una anualdad o no. Realce la clasfcacón de acuerdo al tpo de anualdad explcada anterormente. Plantee la ecuacón de valor (PAGOS = DEUDAS) Utlce con cudado su calculadora. 1. Una persona deposta hoy en una nsttucón fnancera la suma de $ que le paga una tasa de nterés del 3% mensual. Calcular el valor acumulado al fnal de año, s cada mes deposta $ 300? FF R=300 c/mes =3% mensual R R R R R R X CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSVI PAGOS = DEUDAS ECUACION DE VALOR X = S (1 + ) 12 17

18 x = 300 ( ) X = , ( ) Un padre de famla desea reunr para dentro de dez años la suma de $X para garantzar los estudos unverstaros de su hjo, por lo cual deposta en una nsttucón fnancera que reconoce un nterés del 24% a.c.m, $ 3000 cada año, y en los años 3 y 7 deposta adconalmente $ y $ respectvamente. R=3000 c/año j=24% a.c.m FF R R R R R R R R CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACGVI X 1 + = ( ) 12 = 26.82% anual PAGOS = DEUDAS X = S (1 + ) (1 + ) 3 X = 3000 ( ) X = , ( ) ( ) 3 2. Juan solcta un préstamo bancaro para un proyecto nmoblaro a 2 años plazo, pagando cuotas bmestrales a una tasa de nterés del 14%. Para segurdad del crédto el banco le entregara $ ahora y $ después de 8 meses. Determne la cuota bmestral a cancelar. FF R=bmestral =14% anual R R R R R R R R CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACGVI 18

19 ( ) = (1 + b ) 6 b = 2.21% bmestral ( ) 4 = A ( ) 4 1 ( ) 12 = R R = $23.143,90 3. El señor Juan Pérez recbó tres ofertas al querer vender un apartamento, ubcado en Ambato. La prmera consstía en $ de contado. La segunda consstía en $ de contado y $ 230 al mes durante 36 meses. La tercera era de $ 650 al mes durante 3,5 años. S la tasa de nterés es del 2% mensual. Cuál de estas ofertas es la más ventajosa para el señor Juan Pérez? a) $ de contado b) $ de contado y $230 al mes durante 36 meses F F R=230/mes =2% mensual R R R R R R ( ) 36 X = X = $35.862,43 c) $ 650 al mes durante 3,5 años 1 ( ) 42 X = X = $18.352,62 4. Los dneros de un contrato de arrendamento por un año, que empeza hoy, con canon de $ 300 mensuales antcpados, los deposto en una corporacón que ofrece el 2,5% mensual. A) Hallar el acumulado obtendo, ses meses después de vencdo el contrato. B) S el arrendataro qusera pagar hoy el total de dcho contrato, y se le reconocera el 2,2% mensual por pronto pago. Cuánto debe cancelar hoy? F F R=300/mes =2.5% mensual R R R R R R X 19

20 CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSAI a) X = S(1 + ) 6 X = [300 ( )12 1 ] ( )( ) 6 = 4.919, b) A = ( ) 12 ( ) = 3.202, Anualdades antcpadas Son aquellas en las que la sere de flujos de caja se realzan al nco de cada perodo; por ejemplo el pago mensual del arrendo de una casa, ya que prmero se paga y luego se habta en el nmueble Valor presente de una anualdad antcpada El valor presente de los flujos de caja (ngresos y desembolsos) guales antcpados será el valor, que en el momento de realzada la operacón fnancera, sea equvalente a todos los flujos de caja. S se consdera que una deuda (A) se va a cancelar medante n pagos guales de valor R, a una tasa de nterés () se tene: FF R R R R R R R n-1 n 1 (1 ) A R n Valor futuro de una anualdad antcpada 20

21 A partr del dagrama económco que se detalla a contnuacón se puede determnar la fórmula que permte calcular el valor futuro de una anualdad antcpada. R R R R R R R FF n-1 n (1 ) S R n 1 1 Resumen: R R R R R R R n-2 n-1 n A S A = R [1 + (1 (1 + ) n+1 ) ] o A = [R S = R [ (1 + )n (1 + ) n ] (1 + ) 1] o S = [R (1 + )n 1 ] (1 + ) Ejemplos: 1. Una persona recbe por concepto de arrendo (mes antcpado), la suma de $1.000 mensuales, y deposta el 30% en una cuenta de ahorros en una nsttucón fnancera, que le reconoce el 2% de nterés mensual. El depósto lo realza un vez recbe el valor de la renta. S el nmueble estuvo arrendado por un año, Cuánto tendrá acumulado en la cuenta al fnal de los 12 meses? R=300/mes =2% mensual FF R R R R R R R R S CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSVI S = [300 ( )12 1 ] ( ) = $4.104,

22 Un documento ofrece pagos trmestrales de $ , ncando el prmer pago el 20 de abrl de 1995 y termnando el 20 de abrl de S se desea cambar este documento por otro que estpule pagos trmestrales de $X comenzando el 20 de abrl de 1997 y termnando el 20 de octubre de Hallar el valor de la cuota, suponga una tasa del 24% a.c.t. F F R=30.000/trm =6% trm R R R R R R CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACGAI = j m = 24% 4 = 6% trmestral A = A = $ ( ) 45 ( ) 0.06 F F R=30.000/trm =6% trm R R R R R ,46( ) 7 1 ( ) 19 = R 0.06 R = $66.232,28 3. Los dneros de un contrato de arrendamento por un año, que empeza hoy, con canon de $ 300 mensuales antcpados, los deposto en una corporacón que ofrece el 2,5% mensual. A) Hallar el acumulado obtendo, ses meses después de vencdo el contrato. B) S el arrendataro qusera pagar hoy el total de dcho contrato, y se le reconocera el 2,2% mensual por pronto pago. Cuánto debe cancelar hoy? 22

23 F F R=300/mes =2.5% mensual R R R R R R X CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSAI c) X = S(1 + ) 6 X = [300 ( )12 1 ] ( )( ) 6 = 4.919, d) A = ( ) 12 ( ) = 3.202, Interpolacón lneal. La nterpolacón lneal es un procedmento muy utlzado para estmar los valores que toma una funcón en un ntervalo del cual conocemos sus valores en los extremos (x1, f(x1)) y (x2,f(x2)). Para estmar este valor utlzamos la aproxmacón a la funcón f(x) por medo de una recta r(x) (de ahí el nombre de nterpolacón lneal, ya que tambén exste la nterpolacón cuadrátca). La expresón de la nterpolacón lneal se obtene del polnomo nterpolador de Newton de grado uno: RECTA DE INTERPOLACIÓN LINEAL Veamos los pasos que tenemos que segur para hallar la recta de regresón: 1º. Dados los puntos de la funcón (x1, y1) y (x2, y2), queremos estmar el valor de la funcón enunpuntoxenelntervalox1<x<x2. 2º. Para hallar la recta de nterpolacón nos fjaremos en la sguente magen. 23

24 Para ello utlzamos la semejanza de los trángulos ABD y CAE, obtenendo la sguente proporconaldad de segmentos: AB/AC=BD/CE. 3º. Despejando el segmento BD (ya que el punto D es el que desconocemos) obtenemos: BD=(AB/AC) CE. Traducendo al lenguaje algebraco obtenemos que: y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) Y despejando y, obtenemos: y = y 1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) Para nuestro estudo fnancero lo utlzaremos para calcular tasas de nterés y posterormente para el cálculo del TIR (Tasa nterna de retorno). Ejemplos: 1. A qué tasa nomnal convertble semestralmente se acumula $ luego de 15 depóstos semestrales de $

25 R=12.000/semestre =? S = R (1 + )n = (1 + ) = (1 + )15 1 El objetvo es encontrar la tasa de acuerdo al apéndce 2 Interpolacón lneal La pregunta? qué valor se da a. Al ser arbtraro; ncemos con un valor del 1%. 0,01 0,02 0,05 0,1 0,15 0,16 VR 16,097 17,293 21,579 31,772 47,58 51,66 La dferenca entre el 1% y 2%, crece pero un valor pequeño, así msmo arbtraramente vaya al 5%, así como al 10%. Entre el 5% y 10% la dferenca es práctcamente de 10, podría subr al 15% que sumado al 31, 77 le daría algo como 41, contnúe con el proceso. Entre 15%(47,58) y 16%(51,56) está el valor buscado (50), utlce la fórmula de nterpolacón lneal. Puntos: (47,58, 0,15)(51,66, 0,16) y = y 1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) y = = ( ) = = 15.59% semestral 25

26 j = xm j = 15.59%x2 = 31.18% a. c. s 2. Una empresa desea nvertr $ en un proyecto que, según los planes, deberá producr un flujo de ngresos de $ bmestrales vencdos durante dos años. Qué tasa de nterés efectvo anual rendría el proyecto? R=4200/bm =%bmestral n (1 + ) n A = R 1 (1 + ) = (1 + ) = Tenemos una ecuacón que algebracamente no podemos resolver, entonces utlzamos la nterpolacón lneal dando valores a y() para encontrar el valor de referenca x(vr). 0,02 0,04 0,06 0,08 0,09 0,1 VR(x) 10,575 9,3851 8,3838 7,5361 7,1607 6,8137 y() = ( ) = 9.05% bmestral ( ) 6 = (1 + 2 ) 1 = 68.17% anual 3. Para pagar una deuda de $ se abonan 7 mensualdades vencdas de $ ,66. Qué tasa nomnal convertble mensualmente se cargó en la operacón? 26

27 FF R= ,66/mes =% mensual (1 + ) n 1 (1 + ) 7 A = R [ ] = ,66 [ ] 1 (1 + ) 7 6,3494 = [ ] (y) 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 VR(x) 6,7282 6,4720 6,2303 6, El admnstrador del club de fútbol Los nvencbles está evaluando la compra de un nuevo autobús para transportar los jugadores. Una arrendadora fnancera le ofrece un plan de compra medante el pago de 36 mensualdades antcpadas de $19.862,35. Cuál es la tasa de nterés nomnal anual que está cargando la arrendadora s el preco del autobús es de $ ? S además de las 36 mensualdades antcpadas, el equpo debe pagar 5% del valor del autobús como opcón de compra sn ntereses, un mes después de concludo el pago de los abonos mensuales, cuál sería el valor actual de los pagos que deben realzarse para adqurr el autobús? FF R=19.862,35/mes =? (1 + ) n A = R [ ] (1 + ) 1 (1 + ) = [ ] (1 + ) 27

28 1 (1 + ) 36 24,4558 = [ ] (1 + ) y() 0,01 0,02 0,03 VR(x) 30, , ,48722 P 1 (25,99862,0.02)P 2 (22,48722,0.03) y = y 1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) y = ( ) y = = = 2.44% mensual (1 + 1 ) p 1 = (1 + 2 ) p 2 ( ) 12 = (1 + 2 ) 1 = 33.55% anual FF R=19.862,35/mes =? 5%( ) OPCIÓN DE COMPRA: 5%( ) = (1 + ) n = R [ ] (1 + ) ,50(1 + ) 36 1 ( ) = R [ ] ( ) ,50( ) = R ,14 28

29 R = ,52 5. El Comté Pro-mejoras de El Madrgal prevé susttur un equpo de bombeo de agua para rego, msmo que tendrá una vda útl de 10 años su costo será $ más $ por nstalacón. Por esta razón los membros del Comté han decddo crear un fondo medante pagos mensuales a una tasa del 14.5% a.cm. a) Establecer el valor de cada depósto que permta el reemplazo e nstalacón del equpo de bombeo. b) S el Comté está conformado por 45 socos; cuál es la cuota mensual de cada soco. R/mes J=14.5% a.c.m S AGCVI = 14.5% 12 = 1.208% mensual = R ( ) Cuota Soco = = R = Una persona adquere a crédto un electrodoméstco que cancelará en 12 pagos mensuales guales de $ , a una tasa de 2% mensual. Encontrar el valor de contado del electrodoméstco. FF R= /mes =2%mensual A Clasfcacón de la anualdad: ACSVI 29

30 1 (1 + ) n A = R [ ] 1 ( ) 12 A = [ ] = , Un apartamento se adquere a crédto por la suma de $ en cuota mensuales guales, la oblgacón se pacta a 15 años a una tasa de nterés del 1.5% mensual. Determnar el valor de las cuotas. FF R/mes =1.5%mensual Clasfcacón de la anualdad: ACSVI 1 (1 + ) n A = R [ ] 1 ( ) = R [ ] R = 9.662,53/mes Susttur una sere de flujos de cajas constantes de $ al fnal de cada año, durante 5 años, por el equvalente en cuotas mensuales vencdas, con un nterés del 2.4% mensual. FF R=45.500/año =2.4% mensual A Clasfcacón de la anualdad: ACGVI (1 + 1 ) p 1 = (1 + 2 ) p 2( ) 12 = (1 + 2 ) 1 30

31 2 = 32.92% anual 1 (1 + ) n 1 ( ) 5 A = R [ ] A = [ ] A = ,91 FF R=mensual =2.4% mensual ,91 1 ( ) ,91 = R [ ] R = 3.317,02 mes Un crédto de $ para cancelarlo en 24 cuotas mensuales de $ con dos cuotas extras en pactadas en los meses 8 y 16, s la tasa de ntereses es del 3,2% mensual; calcular el valor de las cuotas extras. FF R= mes x x =3.2%mensual A Clasfcacón de la anualdad: ACSVI PAGOS = DEUDAS A + x(1 + ) 8 + x(1 + ) 16 = ( ) [ ] + x( ) 8 + x( ) 16 =

32 1.3814x = ,52 x = , Como benefcaro de un plan de jublacón, el señor Domínguez puede recbr$ de nmedato; o puede recbr $ ahora y el resto con pagos de $6.000 cada 3 meses. S la compañía paga nterés del 16% anual convertble trmestralmente. Cuántos pagos completos recbrá? FF R=6000trmestral j=16%a.c.t n-1 n Clasfcacón de la anualdad: ACGVI = j m = 16% 4 = 4% trmestral PAGOS = DEUDAS 1 ( ) n = [ ] = 1.04 n n = log 0.2 log 1.04 n = Con qué cantdad adconal al últmo pago completo le lqudarán el total de su benefco de jublacón? Lqudacón: 41 pagos guales y uno menor. 32

33 FF R=6000trmestral j=16%a.c.t R S x x = (1 + ) 41 S x = ( ) [ ( )41 1 ] = R = ( ) 1 = Con qué pago fnal realzado 3 meses después del últmo pago de $6.000 le lqudarían el total? Lqudacón: 40 pagos guales y uno mayor. FF R=6000trmestral j=16%a.c.t R S x x = (1 + ) 40 S x = ( ) [ ( )40 1 ] = R = 5.969,38( ) 1 = 6.208,17 9. Cada 2 meses, el día 25, se deposta $1.000 en un fondo de nversón que paga 14% convertble bmestralmente, Cuánto se habrá acumulado en el fondo un nstante antes de realzar el vgésmo cuarto depósto? 33

34 2. FF R=1.000/bmestre j=14% a.c.b Clasfcacón de anualdad: ACGAI S = j m = 14% 6 = % bmestral S = R [ (1 + )n 1 ] (1 + ) S = [ ( )24 1 ] ( ) S = , Anualdades dferdas Una anualdad dferda es aquella en que el prmer pago se efectúa después de transcurrdo certo número de perodos. El tempo transcurrdo entre la fecha en la que se realza la operacón fnancera y la fecha en que se da el prmer pago, se conoce como período de graca. El perodo de graca, puede ser muerto o de cuota reducda. En el prmero, no se pagan ntereses n se abona a captal, por lo tanto, el captal ncal se va ncrementando a través del tempo de graca por no pagarse los ntereses; mentras que en el segundo se pagan los ntereses, pero no se hacen abonos a captal, es decr, en este caso, el captal prncpal no se ncrementa en el período de graca, porque se están cancelando los ntereses. Ejemplos: 34

35 1. Una deuda de $ se va a cancelar medante 18 pagos trmestrales de $R cada uno. S el prmer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dnero, calcular R con una tasa del 12% anual captalzable trmestralmente. FF j=12% a.c.t R R R R R R R A Clasfcacón de anualdad: ACGD = j m = 12% 4 = 3% trmestral Alternatva 1: FF en cero DEUDAS = PAGOS = A (1 + ) 3 1 ( ) = R [ ] ( ) = R( ) R = ,67 Alternatva 2: FF en (1 + ) 3 = A ( ) 3 1 ( ) 18 = R [ ]

36 ,6 = R( ) R = ,66 2. Una persona debe pagar $ dentro de 6 meses. Con cuántos pagos bmestrales de $2187,63 podría lqudar su adeudo s el nterés es de 19.76% captalzable bmestralmente, y debe realzar el prmer pago pago dentro de 12 meses? a) Anualdad vencda R=2187,63/ bm. j=19.76%a.c.b n AGDVD = 19.76% 6 = 3.29% bmestral 11000( ) 2 1 ( ) (n 5) = = (n 5) (n 5) = log log (n 5) = 6 n = 11 De 5 a 11 son 6 cuotas vencdas b) Anualdad antcpada R=2187,63/ bm. j=19.76%a.c.b n ( ) 3 1 ( ) (n 6)+1 = [1 + ]

37 = (n 6)+1 (n 6) + 1 = log log (n 6) + 1 = 5 n = 12 De 6 a 12 son 6 cuotas antcpadas 1.13 Anualdades Generales Las anualdades generales, son aquellas en las cuales los períodos de pago no concden con los períodos de nterés, por ejemplo; una sere de pagos semestrales con una tasa efectva trmestral. Una anualdad puede ser reducda a una anualdad smple, s se hace que los períodos de tempo y los períodos de nterés concdan, hay dos formas como se puede realzar: 1. Calcular pagos equvalentes, que deben hacerse en concordanca con los períodos de nterés. Consste en encontrar el valor de los pagos que, hechos al fnal de cada período de nterés, sean equvalentes al pago únco que se hace al fnal de un perodo de pago. 2. Modfcar la tasa, hacendo uso del concepto de tasas equvalentes, para hacer que concdan los perodos de pago con los del nterés. Ejemplo Hallar el acumulado de 24 pagos trmestrales de $ cada uno suponendo una tasa de nterés del 30% a.c.m. Realce el ejercco por las dos formas enuncadas anterormente Método 1: Transformamos el pago mensual equvalente de acuerdo a la tasa de nterés. j=30%a.c.m R/mensual /trmestral = j m = 30% 12 = 2.5% mensual 37

38 S = R [ (1 + )n 1 ] 2800 = R [ ( )3 1 ] R = /mes Calculamos el monto acumulado con el pago mensual, para los 24 pagos trmestrales. R=910.38/mes =2.5%mensual S S = R [ (1 + )n 1 ] S = [ ( )72 1 ] = , Método 2: Transforme tasa de nterés de acuerdo al perodo de pago con las fórmulas conocdas. = 2.5% mensual = trmestral (1 + 1 ) p1 = (1 + 2 ) p2 ( ) 3 = (1 + 2 ) 1 2 = % trmestral R=2.800/trmestre =7.689%trmestral S S = R [ (1 + )n 1 ] S = [ ( )24 1 ] = , Conclusones: 38

39 Los valores dferen por el número de decmales usados en la transformacón de la tasa de nterés, así como en la cuota mensual, s el valor encontrado guardamos en memora de la máquna de calcular los valores son exactos. Podríamos afrmar que el método2, resulta ser el más usado por facldad. 3. Un empleado desea ahorrar $ en el próxmo año. S puede hacer depóstos semanales en una cuenta que paga el 0.5% mensual efectvo. Cuánto debe depostar cada semana, s se consderan 48 semanas por año? R/semana =0.50% mensual Clasfcacón de anualdad: ACGVI (1 + 1 ) p1 = (1 + 2 ) p2 ( ) 1 = (1 + 2 ) = = 0.125% mensual S = R [ (1 + )n 1 ] = R [ ( )48 1 ] R = 2.326,17 semanal 4. El ngenero Martínez debe hacer 10 pagos bmestrales de $4000, comenzando dentro de 2 meses. S desea cambar ese plan de pagos por otro en que haga 18 pagos mensuales a partr del próxmo mes, y se pactan los ntereses a 18% anual. Cuál debe ser el mporte de los pagos mensuales? 39

40 FF R=4.000/bmestre =18% anual A (1 + 1 ) p1 = (1 + 2 ) p2 ( ) 1 = (1 + 2 ) 6 2 = 2.80% bmestral 1 (1 + ) n 1 ( ) 10 A = R [ ] A = [ ] = , FF R/mes =18% anual ,74 (1 + 1 ) p1 = (1 + 2 ) p2 ( ) 1 = (1 + 2 ) 12 2 = 1.39% mensual 1 (1 + ) n 1 ( ) 18 A = R [ ] ,74 = R [ ] R = 2.177,74 mes 5. A un empleado le ofrecen lqudarlo en la empresa donde trabaja medante un pago efectvo de $ S en vez de aceptar eso desea recbr $4.000 mensuales vencdos. Cuántos pagos de este valor debe recbr s se consderan ntereses a 16% a.c.s? Clasfcacón de la anualdad: ACGVI FF R=4.000/mes j=16%a.c.s n-1 n A 40

41 = j m = 16% 2 = 8% semestral (1 + 1 ) p1 = (1 + 2 ) p2 ( ) 1 = (1 + 2 ) 6 2 = 1.29% mensual 1 (1 + ) n 1 ( ) n A = R [ ] = [ ] = n n = a) 28 pagos guales y un pago menor R=4.000/mes FF S x = ( ) ( ) x x = , ,70 = 2.142,55 R = 2.142,55( ) = 2.178,19 b) 27 pagos guales y un pago mayor x = ( ) ( ) x = , ,68 = 6.064,32 R = 6.064,32( ) = 6.142,55 41

42 6. Al comprar mercancías se quedan debendo $ , para cancelarlas en 3 años, por cuotas mensuales guales el prmes año, cuotas bmestrales guales durante el segundo año y con cuotas trmestrales guales en el tercer año. S las cuotas bmestrales son el doble de las cuotas mensuales, y las cuotas trmestrales son la tercera parte de las cuotas mensuales, calcular el valor de las cuotas, sí la tasa de fnancacón es del 2% mensual. 3. FF =2% mensual R R R 2R 2R 2R 2R 2R R/3 R/3 R/3 R/ Am Ab At Clasfcacón de la anualdad: ACGVI = 2% mensual = bmestral = trmestral (1 + 1 ) p1 = (1 + 2 ) p2 ( ) 2 = (1 + 2 ) 1 2 = 4.04% bmestral ( ) 2 = (1 + 2 ) 1 2 = 4.04% bmestral 1 (1 + ) n A = R [ ] 1 ( ) 12 A m = R [ ] = R ( ) 6 A b = 2R [ ] = R ( ) 4 A t = R/3 [ ] = R PAGOS = DEUDAS 42

43 = A m + A b ( ) 12 + A t ( ) = R R( ) R( ) = R R = ,05 mensual R = ,10 bmestral R = ,02 trmestral 1.14 Anualdades perpetuas Una anualdad perpetua es aquella en la que no exste el últmo pago, o aquella que tene nfnto números de pagos. Tenendo en cuenta que en este mundo todo tene fn, se puede defnr, que una anualdad ndefnda o perpetuas, es aquella que tene muchos flujos de caja (ngresos o desembolsos), como ejemplos, se podrían ctar las cuotas de mantenmento de una carretera o de un puente, o una nversón a muy largo plazo donde solo se retran los ntereses, claro, suponendo que éstos son guales en cada uno de los períodos. En esta anualdad, solo exste valor presente que vene a ser fnto, porque el valor futuro o monto será nfnto por suponerse que los flujos de caja son ndefndos. En realdad las anualdades perpetuas o ndefndas no exsten. La anualdad perpetua vencda se representa en un dagrama económco de la sguente manera: R A Sabemos que el valor presente de una anualdad está dada por: A = R [ 1 (1+) n ]; s se aplca el lmte cuando n ; entonces (1 + ) n ; tende a ser cero (0); de ahí que el valor presente de una perpetudad es: A = R 43

44 Ejemplo 1: Los exalumnos de una unversdad decden donarle un laboratoro y los fondos para su mantenmento futuro. S el costo ncal es de $ y el mantenmento de estma en $ anuales, hallar el valor de la donacón, s la tasa efectva es de 15% anual. FF R=5.000/anual =15% A PAGOS = DEUDAS A = = ,33 Ejemplo 2: Para mantener en buen estado las carreteras muncpales, la junta de goberno decde establecer un fondo a fn de realzar las reparacones futuras, que se estman en $ cada 5 años. Hallar el valor del fondo, con una tasa de nterés del 18% efectva. 1.- Debemos establecer la cuota anual. S = R [ (1 + )n 1 ] = R [ ( )5 1 ] 0.18 R = ,84 anual A = , = , Anualdades con gradente artmétco y geométrco 44

45 Analcemos una sere de flujos de caja (ngresos o desembolsos) que crecen o decrecen en un valor unforme o constante, como tambén aquellas que aumentan o dsmnuyen en un valor porcentual. Es convenente afrmar, que báscamente la únca condcón que camba entre las anualdades y las anualdades con gradentes artmétcas y geométrcas es que el valor de los flujos de caja varía y las demás condcones no se modfcan, por lo cual, los conceptos de anualdades vencdas, antcpadas, dferdas y generales que se trataron anterormente son los msmos y se manejaran en déntca forma. DEFINICION Se denomna gradente a una sere de flujos de caja (ngresos o desembolsos) peródcos que poseen una ley de formacón, que hace referenca a que los flujos de caja pueden ncrementar o dsmnur, con relacón al flujo de caja anteror, en una cantdad constante o en un porcentaje. Para que una sere de flujos de caja se consderen un gradente, deben cumplr las sguentes condcones: Los flujos de caja deben tener una ley de formacón. Los flujos de caja deben ser peródcos Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equvalente. La cantdad de perodos deben ser guales a la cantdad de flujos de caja. Cuando los flujos de caja crecen en una cantdad fja peródcamente, se presenta un gradente lneal crecente vencdo, sí los flujos de caja se pagan al fnal de cada perodo. S los flujos de caja ocurren al comenzo de cada período se está frente a un gradente lneal crecente antcpado. S el prmer flujo se posterga en el tempo, se presenta un gradente lneal crecente dferdo. Las combnacones anterores tambén se presentan para el gradente lneal decrecente. En el caso en que los flujos de caja aumenten en cada período en un porcentaje y se realzan al fnal de cada período se tene un gradente geométrco crecente vencdo, y s los flujos ocurren al nco de cada período, se tene un gradente geométrco crecente antcpado. Se tendrá un gradente geométrco crecente dferdo, s los flujos se presentan en períodos 45

46 posterores a la fecha de realzada la operacón fnancera. Lo anteror ocurre con el gradente geométrco decrecente Gradente artmétco o lneal Es la sere de flujos de caja peródcos, en la cual cada flujo es gual al anteror ncrementado o dsmnudo en una cantdad constante y se smbolza con la letra G y se le denomna varacón constante. Cuando la varacón constante es postva, se genera el gradente artmétco crecente. Cuando la varacón constante es negatva, se genera el gradente artmétco decrecente. Valor presente(a) y futuro(s) de un gradente artmétco o lneal crecente Valor presente.- Es la cantdad, que resulta de sumar los valores presente de una sere de flujos de caja que aumenta cada período en una cantdad constante denomnada gradente (G). Valor futuro.- Es la cantdad, que resulta de sumar los valores futuros de una sere de flujos de caja que aumenta cada período en una cantdad constante denomnada gradente (G). R R+G R+2G R+3G R+(n-2)G R+(n-1)G n-1 n Para calcular el valor presente y futuro de una anualdad con gradente artmétco utlzamos las formulas. 1 (1 + ) n A = R [ ] ± G [1 (1 + ) n n (1 + ) n] = A U ± A G 46

47 S = R [ (1 + )n 1 ] ± G [(1 + )n 1 n] = S U ± S G R = cuota ncal antcpada, vencda o dferda = tasa de nterés de la transaccón n = número de perodos G = gradente artmétco (ley de formacón), crecente o decrecente A U = Valor presente de anualdad unforme A G = Valor presente de anualdad con gradente S U = Valor futuro de anualdad unforme S G = Valor futuro de anualdad con gradente Recuerde la sere de pagos o flujos de caja responden a las seres o progresones artmétcas; el valor de cualquer cuota puede ser calculado con la fórmula para cualquer termno. R n = R + (n 1)G Ejemplo 1: El valor de un automóvl se cancela en 18 cuotas mensuales, que aumentan cada mes en $ 2, y el valor de la prmera es de $ 600. S la tasa de nterés es del 2% mensual, hallar el valor del automóvl. =2% R=600 G= ( ) 18 A = 600 [ 0.02 ] [1 ( ) ( ) 18] A = 8.995, = 9.234,14 47

48 Ejemplo 2: Una vvenda se está cancelando con 120 cuotas mensuales que decrecen en $ 10 cada mes, sendo la prmera cuota $ S la tasa de fnancacón que se cobra es del 1,5% mensual, calcular el valor de la vvenda y el valor de la cuota 60. R=1.270 =1.5% G= ( ) 120 A = [ ] [1 ( ) ( ) 120] A = , ,11 = ,93 R 60 = (60 1)( 10) = 680 Ejemplo 4. Calcular el valor de un préstamo que se está cancelando en 12 pagos mensuales que aumentan cada mes en $ 100, pero el prmer pago por valor de $ se realzó 9 meses después de la fecha de la negocacón, y la tasa de nterés es del 2% mensual. Durante los prmeros 9 meses se cobró una tasa de nterés del 1,5% mensual. =2% =1.5% R=3.000 G= X A X = A( ) 9 Calculo de A por los dos métodos: 48

49 1 ( ) 11 A = [ 0.02 ] [1 ( ) ( ) 11] A = , ,77 = ,00 1 ( ) 12 A = [3.000 [ 0.02 ] [1 ( ) ( ) 12]] ( ) A = [31.726, ,12](1.02) = ,00 X = ( ) 9 = ,61 Ejemplo 5: Con cuántos pagos mensuales que aumentan en $ 50 cada mes, se cancela el valor de una oblgacón de $ , s la tasa de nterés es del 2,8% mensual y la prmera cuota es de $ 2000? Cuál será el valor de la cuota 20? =2.8% R=2000 G= n-1 n (1 + ) n A = R [ ] ± G [1 (1 + ) n n (1 + ) n] 1 ( ) n = 2000 [ ] + 50 ( ) n [ n ( ) n] Para encontrar n utlzamos nterpolacón lneal. n (y) VR (x) 52761, , , , , , ,01 49

50 ( ,35)( ,36) y = y 1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) y = ( ) y = n = n = 35 Cuota 20: R 20 = (20 1)(50) = Ejemplo 6: En una nsttucón fnancera que reconoce una tasa de nterés del 4% semestral, se hacen depóstos semestrales, que aumentan cada semestre en $ 130, durante 12 años. S el valor del prmer depósto es de $ 1.500, calcular el valor acumulado al fnal del año doce. j=4% R=1500 G= S S = R [ (1 + )n 1 ] ± G [(1 + )n 1 n] S = 1500 [ ( )24 1 ] [( ) ] 0.04 S = , ,46 S = ,37 50

51 Ejemplo 7: Una persona realza depóstos en una nsttucón bancara que dsmnuyen en $ 15 cada mes, s se devenga un nterés del 2,5% mensual, cuál será el valor que se tendrá acumulado al cabo de 24 meses, s el depósto del prmer mes es $ 600. R=600 =2.5% G= S S = R [ (1 + )n 1 ] ± G [(1 + )n 1 n] S = 600 [ ( )24 1 ] [( ) ] S = ,42 = Gradente geométrco exponencal Un gradente geométrco es una sere de flujos de caja peródcos tales que cada uno es gual al anteror dsmnudo o ncrementado en un porcentaje fjo (j). VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMETRICO CRECIENTE VALOR PRESENTE.- es el valor que se ubca en el presente, equvalente a una sere de flujos de caja peródcos que aumenta cada uno, con respecto al anteror, en un porcentaje fjo (j). VALOR FUTURO.- es el valor que se ubca en el futuro, equvalente a una sere de flujos de caja peródcos que aumenta cada uno, con respecto al anteror, en un porcentaje fjo (j). 51

52 R R(1+j) R(1+j) 2 R(1+j) n-2 R(1+j) n n-1 n 2 A S 1+ )n A = R [ 1 (1+j j ] s = j A = nr 1 + S = R [ (1 + )n (1 + j) n ] s = j S = nr(1 + ) n 1 j R n = R(1 + j) n 1 VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMETRICO DECRECIENTE R R(1-j) R(1-j) 2 R(1-j) n-2 R(1-j) n n-1 n 2 A S 1+ )n A = R [ 1 (1 j + j ] s = j A = nr

53 S = R [ (1 + )n (1 j) n ] s = j S = nr(1 + ) n 1 + j R n = R(1 j) n 1 A = valor presente de un gradente geométrco. S = valor futuro de un gradente geométrco. = tasa de nterés por perodo j = porcentaje fjo (j)que aumenta o dsmnuye EJEMPLO 1: Una oblgacón se está cancelando en 24 cuotas mensuales que aumentan un 10% cada mes. S el valor de la prmera cuota es $ y se cobra una tasa de nterés del 3% mensual, calcular: a) El valor de la oblgacón, b) El valor de la cuota 16. =2% R= j=10% A 1+ )n A = R [ 1 (1+j j ] A = [ 1 ( ) ] = ,11 R n = R(1 + j) n 1 53

54 R 16 = ( ) 16 1 = ,48 EJEMPLO 2: Una persona desea comprar un apartamento que tene un valor de $ , se le plantea el sguente plan: 20% de cuota ncal, 24 cuotas que aumentan cada mes en el 1,5% mensual, y un abono extraordnaro en el mes 18 por valor de $ 5.000, s la tasa de fnancacón es del 2,8 mensual, calcular el valor de la prmera cuota =2.8% R j=1.5% A = A (1 + ) = R [ 1 ( )24 ] ( ) = 20.25R ,54 R = 2.147,70 EJEMPLO 3: Calcular el valor futuro equvalente a 18 pagos que aumentan cada mes en el 2% s se cobra una tasa del 3% mensual, sendo el prmer pago de $ =3% R= j=2%

55 S = R [ (1 + )n (1 + j) n ] j S = [ ( )18 ( ) 18 ] = , EJEMPLO 4: Fnancar una vvenda que tene un valor de $ a una tasa de nterés del 2,5% mensual, por medo de 120 cuotas que crecen cada mes en el1,5%. Calcule el saldo después de cancelada la cuota 60. =2.5% R j=1.5% S )n A = R [ 1 (1+j j ] = R [ 1 ( ) ] R = 1.012,09 Saldo después de cancelada la cuota 60. Método 1. S = R [ (1 + )n (1 + j) n ] j 55

56 S 60 = 1.012,09 [ ( )60 ( ) 60 ] = , Saldo = ( ) ,49 = ,79 Método 2. R n = R(1 + j) n 1 R 61 = 1.012,09( ) 61 1 = 2.472,76 1+ )n A = R [ 1 (1+j j ] A = 2.472,76 [ 1 ( ) ] = ,79 EJEMPLO 5: Calcular el valor presente de 18 pagos semestrales que dsmnuyen cada semestre en el 2,5%, sendo el prmer pago de $ La tasa de Interés es del 18% a.c.s. Determne la cuota 12. R=6.500 =9% j=2.5% A = j m = 18% 2 = 9% semestral 56

57 1+ )n A = R [ 1 (1 j + j ] A = [ 1 ( )n ] = ,10 Cuota 12. R n = R(1 j) n 1 R 12 = 6.500( ) 12 1 = 4.919,99 EJEMPLO 6: Un préstamo de $ se cancela con 15 cuotas mensuales que dsmnuyen en 1,8% cada mes, calcule el saldo después de cancelada la novena cuota. La tasa de fnancacón es del 2% mensual. R =2% j=1.8% )n A = R [ 1 (1 j + j ] = R [ 1 ( ) ] R = 1.750,38 Saldo después de la cuota 9. 57

58 Saldo = ( ) ,38 [ ( )9 ( ) 9 ] Saldo = , ,32 = ,54 58

59 UNIDAD II 2. AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN 2.1 Amortzacón En el área fnancera amortzar sgnfca saldar una deuda gradualmente, medante pagos guales en perodos guales de tempo. Ejemplo 1: Roberto Calderón contrae hoy una deuda de $ a 18% convertble semestralmente que amortzara medante 6 pagos semestrales guales, el prmero de los cuales vence dentro de 6 meses. Cuál es el valor del pago? 1 (1 + ) n 1 ( ) 6 A = R [ ] = R [ ] 0.09 R = ,38. Con 6 cuotas semestrales de R, se extngue o se paga una deuda de $ a = 9% semestral. 2.2 Fondo de Amortzacón Consste en ahorrar una gual cantdad de dnero (R) en guales perodos de tempo con el objetvo de tener en el futuro una certa cantdad. 59

60 Ejemplo 2: Una persona desea acumular $ en 5 meses, para lo cual realza depóstos mensuales al nco de cada mes, con una tasa de nterés del 1% mensual. Cuál es el valor del depósto? S = R [ (1 + )n 1 ] (1 + ) = R [ ( )5 1 ] ( ) 0.01 R = ,22 Con 5 depóstos antcpados (R) se acumula $ con una tasa de nterés = 1% mensual. La amortzacón se refere a la extncón, medante pagos peródcos, de una deuda actual. Los fondos de amortzacón son acumulacón de pagos peródcos para lqudar una deuda futura. 2.3 Tablas de amortzacón Los pagos que se hacen para amortzar una deuda se aplcan para cubrr los ntereses y a reducr el mporte de la deuda. Para vsualzar mejor este proceso convene elaborar una tabla de amortzacón que muestre lo que sucede con los pagos, los ntereses, la deuda, la amortzacón y el saldo. Ejemplo 3: Datos de ejemplo 1 6 pagos: R = ,3 = 9% semestral Perodos Pago "R" Interés Amortzacón Saldo Insol , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,91 0, , , ,00 Ejemplo 4: Calcule el valor de los pagos y elabore una tabla de amortzacón para saldar una deuda de $6.000 contraída al % anual, s la deuda ha de quedar saldada al cabo de 16 meses, hacendo pagos bmestrales vencdos. 60

61 Clasfcacón de la anualdad: ACGVI (1 + 1 ) p 1 = (1 + 2 ) p 2 ( ) 1 = (1 + 2 ) 6 2 = 2% bmestral 1 (1 + ) n 1 ( ) 8 A = R [ ] = R [ ] 0.02 Período Pago "R" Interés Amortzacón Saldo Insoluto ,06 120,00 699, , ,06 106,02 713, , ,06 91,76 727, , ,06 77,21 741, , ,06 62,37 756, , ,06 47,24 771, , ,06 31,80 787,26 802, ,05 16,06 802,99 0, ,47 552, , Derechos adqurdos por el deudor (DD) y saldo a favor del acreedor (DA) En una transaccón a crédto, después que el deudor ha realzado algunos pagos, es dueño de una parte del ben; mentras que el acreedor, al haber recbdo esos pagos, ya no es propetaro de todos los derechos sobre el ben, sno solamente de una parte (saldo a favor). En general, en cualquer operacón de amortzacón de una deuda, y en cualquer momento: Derechos del deudor (DD) + Derechos del acreedor (DA) = Valor de la operacón Ejemplo: Con los resultados del ejercco 4, determne los derechos del deudor, una vez realzado el pago 3. DD ,60 = 6000 DD = 2.139,40 61

62 Este valor lo podemos comprobar con la suma de amortzacones hasta el perodo 3. DD = 699, , ,30 = 2.139,40 Consderacón: Con base al ejemplo 3, sn tomar en cuenta la tabla de amortzacón, determnar los derechos del acreedor y del deudor FF = 2% bmestral R = bmestral DD DA DA DERECHOS DEL ACREEDOR 1 (1 + ) n 1 ( ) 5 DA = A = R [ ] DA = [ ] = 3.860,60 ó 0.02 DA = 6.000( ) ( ) = 3.860,60 DERECHOS DEL DEUDOR DD = S 3 I DD = ( ) DD = 2.506,65 367,25 = 2.139,40 [6000( ) ] Ejercco 5. Una pareja de recén casados adquere una casa en condomno que cuesta $ Pagan un enganche de $ y acuerdan pagar el resto con 24 mensualdades guales con el 24% de nterés convertble mensualmente. Haga una tabla de amortzacón que muestre los tres prmeros pagos y los 3 últmos meses de la operacón. Clasfcacón de la anualdad: ACGVI = j m = 24% 12 = 2% mensual 1 (1 + ) n 1 ( ) 24 A = R [ ] = R [ ] 0.02 R = 4.758,40 62

63 Período R I A Saldo Insol , , , , , , , , , , , , ,11 Debemos calcular el saldo nsoluto en el período 21, o lo que es lo msmo los derechos del acreedor en el msmo período. 1 (1 + ) n 1 ( ) 3 DA = A = R [ ] DA = 4.758,40 [ ] = , Saldo Período R I A Insol , ,40 274, , , ,40 184, , , ,40 93, ,10 0,00 Ejemplo 6. El lcencado Montel adquere a crédto un despacho en condomno que cuesta $ en efectvo, paga el 30% de enganche y se compromete a pagar el saldo medante pagos mensuales antcpados durante 3 años. S la tasa de nterés que paga es del 14% anual convertble mensualmente. Qué cantdad tendría que pagar al cabo del trgésmo mes para adqurr la totaldad de los derechos sobre el despacho? Clasfcacón de la anualdad: ACGAI = j m = 14% 12 1 (1 + ) n A = R [ ] (1 + ) = 1.17% mensual 1 (1 + 0,0117) = R [ ] (1 + 0,0117) R = 4.377,30 0, ( ) 6 DA = 4.377,30 [ ] ( ) = ,

64 Ejemplo 7: En Septembre, un almacén ofrece en venta un aparato de televsón en $ a pagar en 6 abonos mensuales guales con 36% de nterés convertble mensualmente. El prmer pago se debe realzar el 31 de enero del año sguente. S una persona adquere uno de esos aparatos el 31 de Octubre: Cuál es el valor de cada uno de los pagos? FF = 36%a.c.m R/mensual A Clasfcacón de la anualdad: ACGVD = j m = 36% (1 + ) 2 1 (1 + ) n = R [ ] = 3% mensual ( ) 2 1 ( ) 6 = R [ ] R = 2.837, Construya una tabla de amortzacón que muestre el comportamento de la operacón. Período R I A Saldo , , , , , ,71 461, , , ,71 389, , , ,71 316, , , ,71 240, , , ,71 162, , , ,74 82, ,09 0,00 Ejemplo 8: Una deuda de $8.000 se habrá de amortzar medante 5 pagos mensuales vencdos; los dos prmeros por $1.500 y el tercero y cuarto por $ Calcule el mporte del 64

65 qunto pago para saldar totalmente la deuda s la operacón se pactó a 28% anual convertble mensualmente. Clasfcacón de la anualdad: ACGVI = j m = 28% 12 = 2,33% Período R I A Saldo , ,00 186, , , ,00 156, , , ,00 124, , , ,00 80, , , ,29 36, ,17 0,00 Ejemplo 9: Una persona tene una deuda de $ que convno en pagar con pagos bmestrales vencdos e guales durante un año con ntereses a 18% convertble cada 2 meses. Cuántos pagos le faltan por hacer s el saldo de su deuda es de $8.354,47? Clasfcacón de la anualdad: ACGVI = j m = 18% 6 = 3% bmestral 1 (1 + ) n 1 ( ) 6 A = R [ ] = R [ ] 0.03 R = 2.953,56 bmestral 1 ( ) (6 k) 8.354,47 = 2.953,47 [ ] , = 1.03 (6 k) (6 k) = (6 k) = 3 k = 3 log 0, log Tpos de amortzacón Exsten varos métodos para amortzar una deuda, sn embargo trataremos los que son de uso más comunes: Amortzacón Gradual (Método Francés) 65

66 En este sstema el valor de las cuotas o abonos permanece constante; pero los ntereses se reducen a medda que la amortzacón de captal se ncrementa, es decr es mayor que la del pago anteror. Ejemplo: Werner toma un préstamo de $ 800,00 para cancelarlo medante cuotas mensuales a una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de la cuota y construr la tabla de amortzacón por el método de amortzacón gradual. Período Cuota Intereses Captal Saldo Insoluto 0 800, ,68 24,00 123,68 676, ,68 20,29 127,39 548, ,68 16,47 131,21 417, ,68 12,53 135,15 282, ,68 8,48 139,20 143, ,68 4,30 143,38 0 Total 886,07 86,07 800, Amortzacón Constante (Método Alemán) En este sstema, el valor total de la cuota dsmnuye con el tempo, el componente de amortzacón del captal permanece constante pero el nterés va dsmnuyendo, lo que da lugar a que cada pago sea menor que el anteror. Ejemplo: Paulette recbe un préstamo de $ 600,00 para cancelarlo medante cuotas mensuales a una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de la cuota y construr la tabla de amortzacón por el método de amortzacón constante Período Cuota Intereses Captal Saldo Insoluto 0 600, ,00 18,00 100,00 500,00 66

67 2 115,00 15,00 100,00 400, ,00 12,00 100,00 300, ,00 9,00 100,00 200, ,00 6,00 100,00 100, ,00 3,00 100,00 0 Total 663,00 63,00 600, Amortzacón (Método Amercano) Se caracterza por tener las prmeras n-1 cuotas de amortzacón de captal nulas (0). Las cuotas de nterés son constantes e guales a la tasa por el valor del préstamo. La desventaja es que la últma cuota es muy alta, esta ncluye el valor orgnal del préstamo más los ntereses del período. Ejemplo: Aarón recbe un préstamo de $ 900,00 para cancelarlo medante cuotas mensuales a una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de la cuota y construr la tabla de amortzacón por el método de amortzacón amercano. Período Cuota Intereses Captal Saldo Insoluto 0 900, ,00 27, , ,00 27, , ,00 27, , ,00 27, , ,00 27, , ,00 27,00 900,00 0 Total 1062,00 162,00 900, Tablas de fondo de amortzacón Como se vo en la parte ntroductora; el fondo de amortzacón consste en ahorrar una cantdad gual de dnero (R) para cubrr una oblgacón en el futuro, con la msma tasa de nterés. 67

68 EJEMPLO 10: Una empresa tene que lqudar $ en un año, para lo cual crea un fondo de amortzacón con depóstos mensuales a una tasa de nterés del 1% mensual. Construya la tabla de amortzacón del fondo. R/mensual I = 1% mensual S = R [ (1 + )n 1 ] = R [ ( )12 1 ] R = ,27/mes 0.01 Perodo Deposto Intereses Total Saldo R al Fondo 0 0, ,27 0, , , ,27 473, , , ,27 950, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Ejercco No. 11 Cuántos pagos mensuales de $125 son necesaros para cancelar una deuda de $ s la tasa de nterés es del 30% anual convertble mensualmente? Cuál es el valor del últmo pago (en los dos casos)? 68

69 R=$125 mes j=30%a.c.m n-1 n $2.000 Clasfcacón de la anualdad: ACGVI 1 (1 + ) n A = R 1 ( ) n = = n log n = log0.60 n log1.025 = log 0.60 n = log0.60 log n = n = Sería necesaro realzar 19 pagos de $ 125 y un pago fnal mayor FF R=$125 mes j=30%a.c.m R $2.000 S+x 2000(1 + ) 19 = S 19 + x 2000( ) 19 = 125 ( ) x x =

70 R 20 = ( ) = $209,15 2. Hacer 20 pagos de $ 125 y un pago fnal menor. 2000( ) 20 = 125 ( ) x x = R 21 = 84.15( ) = $86.25 Ejercco No. 12 Audrey para adqurr su vvenda recbe del Banco de Aarón un préstamo hpotecaro de $ a 15 años plazo, a ser cancelado medante pagos mensuales a una tasa del 17,5% a.c.m. Se desea conocer el valor de la cuota mensual y reconstruya la tabla para los últmos 5 perodos. R=mensual j=17.5%a.c.m $ Clasfcacón de la anualdad: ACGVI = 17. 5% 12 = % mensual 1 (1 + ) n A = R 1 ( ) = R R =

71 A 175 = ( ) n A = 3.769,96 Período R Interés Amortzacón Saldo nsoluto , , ,29 54,97 732, , ,29 44,29 743, , ,29 33,46 753, , ,29 22,46 764,83 775, ,29 11,31 775,98 0,00 71

72 UNIDAD III 3. MÉTODOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE INVERSIÓN Introduccón: Exsten métodos para evaluar la convenenca o no de un proyecto de nversón, por un lado tenemos los métodos contables que no consderan el valor del dnero en el tempo y por otro los que s lo toman en cuenta entre ellos tenemos el Valor Actual Neto VAN, Tasa Interna de Retorno TIR, Perodo de Recuperacón Descontado. Dependendo de la clase de proyectos, estos pueden orgnar que la decsón aplcando los crteros de aceptacón de los métodos menconados anterormente no concda. Así se puede menconar los sguentes tpos de proyectos: Proyecto Convenconal.-Es el que comenza con un flujo de efectvo negatvo que representa la nversón ncal y posterormente sguen una sere de flujos postvos hasta el fnal de la vda útl. Ejemplo de esto es la compra de una accón o bono. Los crteros de aceptacón TIR y VAN concden. Proyecto No Convenconal.-Cuando la secuenca de los flujos de efectvo es dferente al del proyecto convenconal; estos pueden crear conflcto en los crteros de decsón del VAN y TIR. Ejemplo de ello tenemos en un seguro de por vda para jublacón en donde la aseguradora recbe una certo valor, para luego desembolsar una anualdad durante la vda del jublado. En estos proyectos se aceptan cuando la TIR es menor que el costo de captal. Proyectos Independentes.- La seleccón de emprender un proyecto de un grupo no requere n excluye que se seleccone cualquer otro u otros e nclusve todos. 72

73 Proyectos Mutuamente Excluyentes.-Cuando de un conjunto de proyectos se elge un proyecto que compte por los lmtados recursos que tene una empresa, por lo que se deja de lado los otros proyectos, se decde por el que genere un mayor rendmento. Puede generar decsones contraras del TIR y VAN. Proyectos Contngentes.- La seleccón de un proyecto está condconada a la eleccón de uno o más del resto del grupo. Los crteros para evaluar proyectos de nversón brevemente se referen a: Valor presente neto (VAN) Es la suma de los flujos netos de caja actualzados, menos la nversón ncal. El proyecto de nversón, según este crtero, se acepta cuando el valor presente neto es postvo, dado que agrega captal a la empresa. Tasa nterna de rentabldad (TIR) Es la tasa que hace que el valor presente neto sea gual a cero, o tasa que guala la nversón ncal con la suma de los flujos netos actualzados. Según la TIR, el proyecto es rentable cuando la TIR es mayor que la tasa de costo de captal, dado que la empresa ganará más ejecutando el proyecto, que efectuando otro tpo de nversón. Período de recuperacón o Payback: Es el tempo necesaro para recuperar la nversón ncal. Según este crtero, el proyecto es convenente cuando el período de recupero es menor que el horzonte económco de la nversón, dado que se recupera la nversón ncal antes de fnalzado el plazo total. Exsten dos métodos: 1.- Payback contable: Donde se consderan úncamente los flujos netos de cada perodo, para determnar el tempo que se tomará para recuperar el dnero nvertdo. El nconvenente de este método es el que no toma en cuenta el valor del dnero en el tempo, por lo que es preferble optar por el sguente método. 2.- Payback Dscount ó Perodo de Recuperacón Descontado: Este método, para el cálculo del tempo que se requere para recuperar el dnero nvertdo utlza los flujos descontados; por esta razón su uso más generalzado. 73

74 3.1 Tasas de nterés-tmar-costo de oportundad Para dar nco a este estudo es mportante tener el conocmento de lo que es la combnacón de tasas, concepto que nos ayudará a explcar lo que es la Tasa Real y posterormente el cálculo de la TMAR 3.1.1Combnacón de Tasas S un captal P está expuesto a una tasa 1 y smultáneamente a una tasa 2 tenemos que esto equvaldría a tener a P con una tasa e equvalente; como sgue: P (1+e) = P (1+1) (1+2) (1+e) = (1+1) (1+2); e = (1+1) (1+2) 1; e = ; e = Tasa de nterés real Cuando exste nflacón, la tasa efectva, no expresa el verdadero rendmento de una operacón fnancera, entonces se converte en una tasa aparente, pues parte del rendmento es consumdo por la nflacón. La tasa real es la que expresa el poder adqustvo de la tasa de nterés. Por lo expuesto anterormente, las tasas de nterés real nfluyen sgnfcatvamente en las economías de mercado, tanto en el ahorro como en los endeudamentos, y en las decsones de nversón para poder calcular su rentabldad. El economsta Irvng Fsher, basado en la combnacón de tasas, estudó la relacón entre la tasa efectva aparente (), la tasa de nflacón (d) y la tasa real (r), llegando a obtener la sguente fórmula para encontrar la tasa de nterés real. r = r = Tasa efectva Tasa de nflacón 1 + Tasa de nflacón f 1 + f Fórmula de Irvng Fsher (Nota:, d expresadas en forma decmal, r esta expresada en % al multplcar por 100) 74

75 Cuando la tasa real es postva r >0 ndca que se produce una gananca; Cuando la tasa real es negatva r <0 ndca que se produce una pérdda; La Gananca Real o Pérdda Real está expresada por la multplcacón de la tasa real por la cantdad nvertda C. GR = C.r Ejemplo: Calcular la tasa de nterés real que se cobra en un país cuya tasa de nterés efectva es 15% y la tasa de nflacón o varacón porcentual del índce de precos al consumdor es 20% Cuánto gana o perde una empresa que nverte $ en 1 año?. Solucón: r = f 1 + f 100 r = % r = GR = ( ) = $4. 166, 70 Respuesta. Pérdda de $ Tasa mínma aceptable de rendmento (TMAR) A esta tasa tambén se la conoce como TREMA (Tasa de Rentabldad Mínma Aceptable). Todo nversonsta, sea este una persona natural o jurídca o el estado, tene en mente obtener un benefco al colocar su dnero; en el caso del goberno s ben no espera lucrar, al menos espera salr a mano en sus benefcos respecto de sus nversones, para que no haya un subsdo en el consumo de benes o servcos y no aumente el défct del propo goberno. Por lo tanto, cualquer nversonsta deberá tener una tasa de referenca sobre la cual basarse para hacer sus nversones; esta tasa de referenca es la base de comparacón en las evaluacones económcas que haga. S no se obtene cuando menos esa tasa de rendmento, se rechazará la nversón. 75

76 Para establecer esa tasa debe consderarse que todo nversonsta espera que su dnero crezca en térmnos reales. Como en todos los países hay nflacón, aunque su valor sea pequeño, crecer en térmnos reales sgnfca ganar un rendmento superor a la nflacón, ya que s se gana un rendmento gual a la nflacón el dnero no crece, sno mantene su poder adqustvo. Entonces, se puede tomar como referenca el índce nflaconaro, pero como el nversonsta quere que su dnero crezca más allá del índce nflaconaro, hay otro factor que nfluye en la TMAR; que es el premo al resgo; que en nuestro caso consderaremos al porcentaje de resgo país. La fórmula para el cálculo es la sguente: TMAR = Tasa de Inflacón + Premo al Resgo Y nuevamente aplcando la combnacón de tasas tenemos: TMAR = f + + f Donde: f= Tasa de nflacón; = Tasa resgo país. Tanto los valores de la nflacón como la de resgo país a una determnada fecha en el Ecuador la podemos encontrar en la págna del Banco Central del Ecuador tabla que se presenta a contnuacón. Sendo así tenemos que al 23 de Febrero del 2016: S la nflacón anual se ubca en el 3.09% en el país y; El resgo-país se mde en "puntos báscos" o "bascponts", sendo 100 puntos báscos equvalentes a 1% de rentabldad. Por ejemplo, que el resgo-país de Ecuador es 1702 puntos báscos, sgnfca que en promedo el rendmento para el nversor que adquere hoy títulos ecuatoranos, debe ser 17,02 puntos porcentuales más alto que el rendmento de los títulos de Estados Undos. TMAR = + f + f 76

77 TMAR = = TMAR = 20.64% TMAR como Costo de Oportundad y como Costo de Captal Costo de Oportundad: Se refere al costo (%), que se deja de percbr o que se sacrfca al nvertr en otra opcón o proyecto. Costo de Captal: La TMAR tambén se le llama Costo de Captal, nombre dervado del hecho que está compuesto por el costo fnancero de sus fuentes de fnancamento a largo plazo, la deuda, el captal preferente y el captal común, El costo del captal se utlza prmordalmente, para tomar decsones de nversón a largo plazo, por lo que dcho costo se enfoca haca el empleo en los presupuestos de captal. Cuando una sola entdad, sea esta una persona natural o jurídca, es la únca aportadora de captal para una empresa el costo de captal equvale al rendmento que pde esa entdad por nvertr o arresgar su dnero. Cuando se presenta este caso se le llama Costo de Captal Smple. Sn embargo, cuando esa entdad pde un préstamo a cualquer nsttucón fnancera para consttur o completar el captal necesaro para la empresa, seguramente la nsttucón fnancera no pedrá el msmo rendmento al dnero aportado, que el rendmento peddo a la aportacón de propetaros de la empresa. Cuando se da el caso de que la consttucón de captal de una empresa fue fnancada en parte, se habla de un costo de captal mxto. El cálculo de este costo se presenta en el sguente ejemplo. Ejemplo: M.A.G. requere $1,250 mlles, Los acconstas aportan sólo cuentan con $700 mles. El resto se fnancara con préstamos a dos Insttucones fnanceras. El Banco de Aarón aportará $300 mles por los que cobrará un nterés del 25% anual. Mentras que, la Cooperatva Pauletty S.A. aportará $250 mllones a un Interés de 27.5% anual. S la TMAR de los acconstas es de 30%, cuál es el costo de captal o TMAR mxta para esta empresa? Solucón. La TMAR mxta se calcula como un promedo ponderado de todos los aportes de captal de la empresa. 77

78 Entdad Aportacón Porcentaje de aportacón Rendmento Promedo TMAR Acconstas 700 0,56 30% 0,168 Banco de Aarón 300 0,24 25% 0,06 Cooperatva Pauletty S.A ,2 27,50% 0,055 Suma La TMAR mxta de esta empresa es 28.3%. Ejemplos 1. Una empresa estma los sguentes flujos de caja durante 6 años de un proyecto X. S se consdera el costo del captal r = 10% y una nversón ncal de $ (600 en mles de dólares), en el año cero, calcular el VAN al 10% y la tasa nterna de retorno (TIR). 3.2 Valor actual neto (VAN) Tambén es conocda como valor presente neto (VPN) de un proyecto de nversón y no es otra cosa que su valor meddo en dnero de hoy, o en otras palabras, el equvalente en undades monetaras actuales de todos los ngresos y egresos presentes y futuros que consttuyen el proyecto. El VAN consste en descontar o trasladar al presente todos los flujos futuros del proyecto a una tasa de descuento que puede ser (el costo del captal o fnancero, el costo de oportundad, o la nflacón promedo pronostcada), sumarlas todas y restarlas a la nversón ncal en tempo cero. Ahora será explcada más claramente esta defncón, s se quere representar los flujos netos de efectvo por medo de un dagrama, este podría quedar de la sguente manera: Tómese para el estudo un horzonte de tempo de por ejemplo cnco años. Trácese una línea horzontal y dvídase ésta en cnco partes guales, que representan cada uno de los años. 78

79 A la extrema zquerda colóquese el momento en que se orgna el proyecto o tempo cero. Represéntense los flujos postvos o ganancas actuales del proyecto (empresa) con una flecha haca arrba, y los desembolsos o flujos negatvos con una flecha haca bajo de la recta del proyecto. En éste caso el únco desembolso es la nversón ncal en el tempo cero, aunque podría darse el caso en que determnado año hubera una pérdda (en vez de gananca), y entonces aparecería en el dagrama de flujo una flecha haca abajo. Proyecto Tempo -II FNE1 FNE2 FNE3 FNE4 FNE5 + Vs Valores $. Cuando se hacen cálculos de pasar, en forma equvalente, dnero del presente al futuro, se utlza una de nterés o de crecmento del dnero; pero cuando se quere pasar cantdades futuras al presente, como en este caso, se usa una tasa de descuento, llamada así porque descuenta el valor del dnero en el futuro a su equvalente en el presente, y a los flujos traídos al tempo cero se les llama flujos descontados. La defncón ya tene sentdo. Sumar los flujos descontados en el presente y restar la nversón ncal equvale a comparar todas las ganancas esperadas contra todos los desembolsos necesaros para producr esas ganancas, en térmnos de su valor equvalente en este momento o tempo cero. Es claro que para aceptar un proyecto las ganancas deberán ser mayores que los desembolsos, lo cual dará por resultado que el VAN sea mayor que cero. S para calcular el VAN se utlza la tasa nflaconara promedo pronostcada para los próxmos cnco años, las ganancas de la empresa solo servrían para mantener el valor adqustvo real que la empresa tenía en el año cero, sempre y cuando de renvertan todas las ganancas. El cálculo del VAN para el período de cnco años es: VAN r% = II + FNE 1 + FNE 2 + FNE 3 + FNE 4 + FNE 5+Vs (1+r) 1 (1+r) 2 (1+r) 3 (1+r) 4 (1+r) 5 VAN r% = II + FNE j (1 + r) j 79

80 Donde: II = Inverson Indcal FNE = Flujo de efectvo Vs = Valor de salvamento o rescate al fnal de la vda del proyecto = Tasa efectva Para tomar la decsón de emprender el proyecto con base en los resultados del VAN, es procedente acoger los lneamentos sguentes. S es la tasa de nterés utlzada en el cálculo del VAN (cuando el proyecto se fnanca con una partcpacón relevante de crédtos bancaros). VAN > 0 ndca que el rendmento del dnero nvertdo en el proyecto es mayor que la tasa de nterés. VAN = 0 ndca que el rendmento del dnero nvertdo en el proyecto es exactamente gual a la tasa de nterés. VAN < 0 ndca que el rendmento del dnero nvertdo en el proyecto es menor que la tasa de nterés. S la tasa de nterés (costo de oportundad o costo del captal) empleada en el cálculo del VAN (cuando el proyecto tene una partcpacón mayortara de recursos propos y por tanto nterpreta el promedo de rendmento que arroja el tpo de negocos en el que el nversonsta espera partcpar. Para una empresa en marcha, que quere amplar operacones, debe consultar como mínmo el rendmento actual sobre la nversón): Cuando VAN > 0, Cuando VAN = 0, (aumentará el captal de la empresa, por lo tanto el proyecto es aceptable), el proyecto es atractvo. ( no aumentará n dsmnurá el captal de la empresa, por lo tanto el proyecto es ndferente. S el proyecto se lleva a cabo, es porque se han prorzado otros aspectos), el proyecto es ndferente, tene opcones. 80

81 Cuando VAN < 0, (dsmnurá el captal de la empresa, por lo tanto es naceptable), el proyecto es nconvenente. Ventajas del VAN: Analza todos los flujos netos de caja, como así tambén sus vencmentos, al corresponder a dstntas épocas se los debe homogenezar, trayéndolos a un msmo momento del tempo. Desventajas: 1. La dfcultad para determnar la tasa del costo de captal 2. El VAN mde la rentabldad en valor absoluto, ya que depende de la nversón ncal; por lo tanto s se deben comparar proyectos con dstnta nversón ncal se debe relatvzar el VAN, a fn de obtenerlo por cada undad de captal nvertdo 3. El VAN depende del horzonte económco de la nversón; por lo tanto s se deben comparar proyectos con dstnta duracón, se debe relatvar el VAN a fn de obtenerlo para cada año; 4. La mayor dfcultad es el supuesto de que los flujos netos de caja postvos son renvertdos a la tasa de costo de captal, y que los flujos netos de caja negatvos son fnancados con la msma tasa. AÑO Inversón Incal 600 Ventas Costo de Op Deprecacón Utldad sn mpuestos FLUJO NETO DE CAJA VAN r% = II (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r) 6 VAN r% = II + FNE j (1 + r) j 81

82 AÑO Inversón Incal 600 Ventas Costo de Op Deprecacón Utldad sn mpuestos FLUJO NETO DE CAJA VAN(r=10%) -600,00 136,36 123,97 112,70 102,45 93,14 84,67 53,29 VAN = VAN10% > 0 entonces es convenente efectuar la nversón en el proyecto 3.3 Tasa nterna de retorno (TIR) La TIR corresponde a la tasa de nterés generada por los captales que permanecen nvertdos en el proyecto y puede consderarse como la tasa que orgna un valor presente neto gual a cero, en cuyo caso representa la tasa que guala los valores presentes de los flujos netos de ngresos y egresos. La TIR es una característca propa del proyecto, totalmente ndependente de la stuacón del nversonsta, es decr, de su tasa de nterés de TMAR (costo de oportundad Co o del costo de captal Cc representada por, entonces TMAR = ). En el gráfco se observa que el VAN es una funcón decrecente convexa que corta al eje x (o de las ordenadas) en el punto donde su costo es gual a la tasa de rentabldad TIR. Adconalmente la gráfca muestra un resumen para la toma de decsones en el VAN o (VPN) y la TIR: Fgura: Toma de Decsones con el VAN (VPN) y la TIR 82

83 El crtero para aceptacón utlzando la TIR es: TIR >Cc: El rendmento supera al costo de captal nvertdo, por lo tanto el proyecto es rentable. La nversón aporta dnero para solventar el proyecto y además sumnstra al empresaro una utldad, por lo tanto el proyecto es rentable. TIR <Cc: El rendmento no alcanza a cubrr el costo del captal nvertdo, por lo tanto el proyecto no es rentable. TIR = Cc: Se cubre exactamente el captal nvertdo, por lo tanto el proyecto es ndferente. Ventajas: 1. Consdera todos los flujos netos de caja, así como su oportundad; al corresponder a dstntas épocas se deben medr en un msmo momento del tempo; 2. La TIR mde la rentabldad en térmnos relatvos, por undad de captal nvertdo y por undad de tempo. Desventajas: La nconsstenca de la tasa: cuando los FNC son todos postvos, las nversones se denomnan smples y exste una únca TIR. S exsten algunos flujos negatvos, las nversones se denomnan "no smples" y puede exstr más de una TIR. O sea que la TIR es nconsstente. Para el cálculo de la TIR se utlza la nterpolacón tomando como punto de referenca ncal el costo del captal para posterormente r analzando cómo se comporta el VAN al subr puntos a ésta tasa o bajar a la msma. Con esto lo que se quere es tener dos tasas que 83

84 generen VAN lo más cercanos a cero, sendo el uno postvo y el otro VAN negatvo. TIR = r 1 + r 2 r 1 VAN 1 VAN 2 VAN 1 Utlzamos la nterpolacón lneal, conocendo que para nterpolar: 1. La TIR genera un valor de VAN = 0, y que este valor es el de referenca para nterpolar por lo que requero adconalmente dos valores de VAN uno + y otro 2. Que un valor actual es nversamente proporconal a la tasa es decr que s sube la tasa baja el VAN y vceversa. y(tir) 0,12 0,14 0,13 y(van) 16,71-16,70-0,37 y = y 1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) y(tir) = TIR = r 1 + (16,71, 0,12) ( 0,37, 0,13) 0,13 0,12 (0 16,71) TIR = 12.98% 0,37 16,71 r 2 r 1 VAN 1 VAN 2 VAN 1 TIR = Índce de rentabldad IR 0,13 0, TIR = 12,98% 16,71 ( 0.37) Se refere al cocente entre el valor de los flujos de fondos actualzados y la nversón ncal efectuada. Esta es una medda relatva, que ndca cuanto genera el proyecto por undad monetara nvertda; es decr mde la repercusón económca del proyecto a través de la rentabldad. IR = FNE j II IR = 653, =

85 3.5 Payback descontado Es el tempo en que se recupera la nversón ncal, exsten dos clases: Payback Contable: se recupera la nversón ncal en 4 años esto es (150 x 4 = 600). Payback Descontado: para recuperar la nversón ncal se suma los flujos descontados y el últmo, por regla de tres smple determnar el tempo que toma para alcanzar la suma nvertda. En el ejemplo tenemos: (136,36+123,97+112, ,45+93,14=568,62, s se suma el año 6 (84,67) se sobrepasa los 600, entonces se determna la dferenca hasta llegar a los 600 que da -31,38 y establece la regla de tres smple: 84,67 en 12 meses 31,38 x x = 4,45 meses Por lo tanto el Perodo de Recuperacón Descontado es de 5 años 4,45 meses 3.6 Relacón Benefco-Costo (B/C) Es un método complementaro, utlzado para evaluar, las nversones en proyectos de desarrollo económco de las comundades, que realza el goberno central, los gobernos provncales o locales para lo cual generalmente utlza una tasa más baja denomnada Tasa Socal. Además en el campo de los negocos se usa para ver la factbldad de los proyectos en base la relacón de los benefcos y los costos asocados al proyecto. La relacón benefco / costo es un ndcador que mde el grado de desarrollo y benestar que un proyecto puede generar a una comundad. Cuando los proyectos recben fnancamento de entdades credtcas nternaconales, una exgenca es que los proyectos sean evaluados con esta razón. La relacón Benefco/Costo se obtene al dvdr el valor actual de la corrente de benefcos para el valor actual de la corrente de costos. 85

86 B/C = (Valor Actual Ingresos) / (Valor Actual Egresos) Los valores que puede tomar esta relacón tenen un sgnfcado: B/C > 1 Sgnfca que los ngresos son mayores que los egresos, y consecuentemente el proyecto es aconsejable. B/C = 1 Los ngresos son guales a los egresos, entonces el proyecto es ndferente B/C < 1 El proyecto no es aconsejable. Ejemplo: Para comuncar dos poblacones, se ha prevsto la construccón de una carretera alterna por un costo de $ , la msma generará ahorros en combustble a los vehículos por $ anuales, por otra parte aumentará el tursmo a esa regón estmando el aumento de utldades en los hoteles, restaurantes y otros en $ al año. Sn embargo los agrcultores estman nveles de pérddas en la produccón proyectada de $ anuales. Consderando una tasa del 25%, Determne s es factble el proyecto. Calculamos los ngresos y egresos esperados: = Utlzando la fórmula de una perpetudad actualzamos el valor al perodo cero: A = /0.25 = $ La nversón en el perodo cero es: $ Entonces la relacón B/C = / = 1,15 Como la relacón Benefco Costo es mayor que 1, el proyecto es aconsejable. S el resultado es mayor que 1, sgnfca que los ngresos netos son superores a los egresos netos. En otras palabras, los benefcos (ngresos) son mayores a los sacrfcos (egresos) y, en consecuenca, el proyecto generará rqueza a la comundad. S el proyecto genera rqueza con segurdad traerá consgo un benefco socal. 86

87 2. Neplo Cía. Ltda. Proporcona los sguentes datos para analzar s su nversón es rentable: Inversón = $ Ingreso anual promedo = $ Costo anual de operacón = $ Deprecacón anual = $ Calcule su valor actual neto y la TIR, s se espera recuperar la operacón en 5 años y se consdera como costo de oportundad el 8% a.c.t. En el año 4 exste un ngreso adconal de $ = 8% 4 = 2% trmestral ( ) 4 = (1 + ) 1 = 8.24% anual AÑOS INGRESO ANUAL COSTO DE OPERACIÓN DEPRECIACION FLUJO DE CAJA VAN -400,00 207,87 192,05 177,43 222,20 151,44 550,99 y() 0,4 0,42 0,48 0,5 0,51 0,52 VAN (x) 78,74 62,6 19,41 6,54 0,37-5,65 TIR 51,06% Consdere una tasa de mpuestos del 22%, calcule su valor actual neto y la TIR con los flujos después de mpuestos mantenendo el msmo costo de oportundad AÑOS INGRESO ANUAL COSTO DE OPERACIÓN DEPRECIACION UTILIDAD IMPUESTO (22%) 48,18 48,18 48,18 65,78 48,18 UTILIDAD DESPUES DE IMPUESTOS 170,82 170,82 170,82 233,22 170,82 FLUJO DE CAJA -400,00 176,82 176,82 176,82 239,22 176,82 VAN 183,65 y() 0,15 0,17 0,2 0,21 0,22 VAN (x) 74,65 47,88 11,54 0,35-10,42 TIR 21,03% 163,36 150,92 139,43 174,28 119,01 87

88 UNIDAD IV 4. DOCUMENTOS FINANCIEROS Y BONOS En el campo de los grandes captales requerdos para fnancar las nstalacones ndustrales modernas o las grandes obras productvas que emprenden corporacones o los gobernos, no es posble obtener el dnero necesaro en préstamo provenente de una sola compañía; por lo que es necesaro recurrr a las nversones de varas personas. Para aglzar estas nversones se ha creado una forma de oblgacón que consttuye un nstrumento de crédto llamado bono. En los últmos años, la banca prvada, la banca naconal y las corporacones fnanceras han creado y puesto en crculacón varas clases de oblgacones comercales, como cédulas y certfcados a térmno fjo. Estos documentos hacen más atractvas las nversones, puesto que ofrecen mejor rentabldad que las tradconales cuentas de ahorro. Por otra parte, con el objeto de ncentvar las exportacones no tradconales, algunos gobernos en vías de desarrollo han creado dversos tpos de certfcados y bonos que tenden a aumentar la utldad percbda por los exportadores. DEFINICIONES: 4.1 Bono 1. Un bono es un documento a largo plazo emtdo por una corporacón o entdad gubernamental con el fn de fnancar proyectos mportantes. En esenca, el prestataro 88