Un teorema famoso

Transcripción

1 seión I 0-90 seión I Un teorem fmoso O N S ol. Soy itágors y ní en l isl de Smos. llí esondí un tesoro que podrás enontrr si sigues ls instruiones que se presentn ontinuión. Sntilln S.. rohibid su fotoopi. Ley.9 Instruiones:. min 0 psos hi el este desde el viejo ombú.. e llí min 0 psos hi el sur.. e llí, 00 psos l este.. Luego, 0 psos l norte.. Y, por último, 0 psos hi el este, y llí ubirás el tesoro. ) Ubi el tesoro en el mp. ) Indi, en psos, l distni que se deberí reorrer pr llegr l tesoro, según ls instruiones dds. ) r ubir el tesoro en el mp, se podrín hber ddo solmente dos instruiones, en ls que d un indir l distni en psos y el punto rdinl? ) ste último mino serí más orto que el originl? ) Mr en el mp l distni más ort que llev del ombú l tesoro y estim el vlor de est distni en psos.

2 . Teorem de itágors n l tividd nterior, pr estimr l distni en psos entre el ombú y el tesoro, segurmente hiiste uso de l esl, de los trzdos que relizste, y de un regl grdud. ero, será posible lulr etmente es distni? ómo? Reliz l siguiente tividd y podrás deduir un importnte propiedd mtemáti que te resultrá útil pr ello. Reuerd n todo triángulo retángulo, el ldo opuesto l ángulo reto se llm hipotenus y los otros dos, tetos. l finl del libro enontrrás impres l siguiente figur, que fue red por.. udeney ( 90). Reort de llí ls piezs,,, y y form on ells el udrdo de ldo. teto hipotenus b teto. lsifi el triángulo según sus ángulos. b. Qué relión puedes estbleer entre ls áres de los udrdos onstruidos sobre los tetos del triángulo y el áre del udrdo onstruido sobre su hipotenus?. pres el áre de d udrdo en funión de l medid de su ldo y plnte un fórmul que relione ls tres áres. Teorem... en griego. n mis tiempos signifib lo que se ontempl, y no lo que se entiende tulmente: lo que se demuestr. L relión que estbleiste en l tividd nterior es onoid on el nombre de teorem de itágors y se puede enunir sí: n todo triángulo retángulo, el udrdo de l medid de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de ls medids de los tetos.

3 9 Volvmos l tividd iniil. Ls posibles instruiones que responden l prte ) son: 0 psos l este y 00 psos l sur o 00 psos l sur y 0 psos l este. Los minos orrespondientes están representdos en l siguiente figur y formn dos triángulos retángulos de hipotenus OT. O S 0 00 figur 0 0 ulquier de estos dos triángulos será útil pr plir el teorem de itágors y lulr l distni del ombú l tesoro (OT ), que fue l distni estimd en l prte ) de l tividd iniil. Trbjndo en el triángulo retángulo OT, tenemos que: OT = O + T 00 T itágors vivió en el siglo VI. de. los ños prtiipó en los Juegos Olímpios. nó tods ls ompetiiones de pugilto. Sustituyendo ls medids de los segmentos O y T, podemos esribir: OT OT OT = = = 00 usmos un número positivo que elevdo l udrdo dé 00. ste número lo obtenemos lulndo l ríz udrd de 00. OT OT = = oinide este vlor on el que estimste en l tividd iniil? b. Si trbjmos en el triángulo retángulo OST, obtenemos el mismo resultdo? or qué?

4 0. plimos el teorem de itágors r ir de l esquin l esquin R de l plz de l figur, uántos metros menos se minn si en lugr de roder l plz, se l trvies por l digonl? 0 m Q LZ, m LZ R Observ que lo que debes lulr es l medid de un teto. Si minmos de Q y de Q R, reorremos, metros. r lulr l digonl R plimos el teorem de itágors en el triángulo retángulo QR: R =, + 0 R =, R =, R =, R =,,, = Si se trvies l plz en form digonl, se minn metros menos. Si bien l propiedd que estmos estudindo es tribuid itágors, y er onoid muhos siglos ntes, en l ntigu biloni. l siguiente problem proviene de un tblill de rill que dt del 00. de. y tulmente se enuentr en el Museo ritánio de Londres. Un ñ de 0 uniddes de lrgo se poy vertilmente ontr un muro. Si l etremidd superior de l ñ se olo uniddes más bjo, en uánts uniddes se desplzrá el otro etremo de l ñ? plindo el teorem de itágors en el triángulo retángulo, tenemos que: + = 0 + = 900 = 900 = = = l otro etremo se desplz uniddes. 0 Sntilln S.. rohibid su fotoopi. Ley.9

5 . preen nuevos números uánto mide l ltur de un triángulo equilátero de ldo? gmos un figur que nos yude pensr. M h Reuerd que en todo triángulo equilátero el pie de un ltur es el punto medio del ldo orrespondiente. pliquemos el teorem de itágors en el triángulo retángulo M pr lulr h: = h + = h + = h = h = h on l yud de tu luldor puedes obtener un proimión del número. uánts ifrs deimles te muestr tu luldor? ste número tiene l peuliridd de tener infinits ifrs deimles no periódis. Los números que tienen est rterísti se llmn números irrionles y hy infinitos de ellos. =, Sntilln S.. rohibid su fotoopi. Ley.9 r responder l pregunt formuld iniilmente, ontestmos que l ltur mide. s usul responder que l ltur mide proimdmente,. on tu profesor o profesor ordrás qué ntidd de ifrs deimles utilizrás pr dr un proimión de un número irrionl. lul l medid de l digonl de un ubo de rist m.

6 . Trbjmos on oordends lsifimos triángulos lsifi los triángulos y QR según sus ldos.. y on l yud del udriuldo identifi triángulos retángulos onvenientes que te permitn lulr l medid de los ldos de los triángulos ddos. (0,) (,-) (-,-) b. (, ); Q (, ); R (, ). qué es igul ( 0)? y (,) (0,) (,) (,). ll el áre del udrdo l menos de dos forms distints, sin lulr l medid del ldo. b. lul hor l medid del ldo.. omplet: ( 0 ) = Sntilln S.. rohibid su fotoopi. Ley.9

7 Los ntiguos egipios tmbién onoín l relión entre l hipotenus y los tetos de un triángulo retángulo. r onstruir sus pirámides el uso del ángulo reto er fundmentl. Utilizbn un uerd on doe nudos pr obtener rets perpendiulres sobre el terreno. on l yud de ests, olods en form onveniente, formbn un triángulo de ldos, y uniddes, que resultb ser retángulo. Observ que + = figur Si, b y son tres números positivos y se umple que + b =, entones el triángulo de ldos, b y es retángulo. 0 m. Investig uáles de los siguientes triángulos son retángulos.,, b. n los triángulos que son retángulos señl l hipotenus. 0,,, 0 00 m figur - figur - figur -,, figur - figur - figur - 00 figur - figur - figur - - figur fig figur - figur - figur -,,,, figur,- figur - Sntilln S.. rohibid su fotoopi. Ley.9 d.si(, b, ) es un tern pitgóri, qué puedes fir00 de l tern (m, mb, mr 00 m) on m entero positivo?, 00 or qué?, L digonl de est puert es de m. s relmen 0 te retngulr? figur - figur - figur - figur -0 m otrs terns pitgóris prtir de 00. uedes obtener (9,, )? uánts? figur - b. Multipli d omponente de 0 l tern por figur un - 0 obtuviste, mismo entero positivo. L nuev tern que figur - figur - es pitgóri?, Si, b, son tres números enteros positivos y se umple que +b=, m entones m m (, b, )reibe el nombre de tern pitgóri. m Verifi que (9,, ) es un tern pitgóri. figur m m 0 m. e l relión entre los ldos l ángulo reto

8 , tividdes del pítulo figur - ) verigu l distni proimd, en metros, desde l plz gnh l ultd de rquitetur, sbiendo que: or de Julio, del Obeliso l plz gnh hy udrs. or ulevr rtigs, del Obeliso l ultd de rquitetur hy 00 udrs. Un udr mide, proimdmente, 0 metros. ) es un triángulo retángulo uyos tetos miden. lul l medid de ls hipotenuss, de todos los restntes triángulos retángulos que omponen l espirl de Teodoro figur de - irene. ) Ls áres de los udrdos de ls figurs 0 son 00, y. lul. figur figur figur - figur - figur - 0 m figur - figur - figur - ) Un empres de trnsporte no permite figur -0 figur - figur - que los psjeros lleven bultos que midn 0) es un retángulo de digonl. más de metros de lrgo. Un señor tiene lul el áre figur del triángulo un ñ de pesr que mide metros de 9 lrgo. ómo puede her el señor, que se irá de pes, pr vijr sin infringir l 9 regl de l empres de trnsporte? figur - figur - figur - figur -9 figur -0 figur - 0 figur - ) lul el perímetro del udrilátero sbiendo que sus figur -9 digonles son perpendiulres. figur - 00, 0 figur - figur - 00 figur m, 0 figur -, m figur - 9 0, figur -9 figur -0 ) ll el áre de un triángulo isóseles retángulo uy hipotenus mide. ). Verifi que ls siguientes epresiones, obtenids por ltón orresponden un tern pitgóri.,, figur figur - 0 figur -,, + ( Z, >) b. r qué vlor de se obtiene l tern (,, )? ) uál de los dos triángulos tiene myor 00 áre? figur - figur -9 figur -, figur -0 figur - 00 m figur - 9) es figur un - udrdo de ldo 9. lul l medid de los segmentos y figur - figur , 9 0 figur - 0 m figur - m 0 figur - figur -, figur , figur - Sntilln S.. rohibid su fotoopi. Ley..9 0 m, figur - figur - f fi figur -

9 Sntilln S.. rohibid su fotoopi. Ley.9 figur -9 figur ) esubre l relión pitgóri esondid en los siguientes udrdos mágios figur - trído de l Revist do rofessor de Mtemáti, figur n. - figur - figur -, Soiedde rsileir de Mtemáti. b pirámide regulr de bse udrd. figur -, ) undo se hbl del número de pulgds de un televisor, se he refereni figur - figur - figur -9 figur - figur -0 figur - figur - 9 l medid, en pulgds, de l digonl de su pntll. sto figur quiere - deir que en un televisión de 9 pulgds l digonl de su ). pres l medid de l pntll retngulr mide 9 pulgds. L figur -9 b figur -0 digonl de un udrdo en relión entre lrgo y nho de ls televisiones trdiionles no es ulquier, sino que funión de l medid de su Q 9 figur - m ldo. b el oiente entre el nho y el lrgo de l figur - figur - figur - figur - b. figur pres -0 pntll l medid de es igul ¾. on estos dtos lul ls dimensiones de ls pntlls de los b 0 0 figur - l ltur de un triángulo 9 televisores de O, y 0 pulgds. T equilátero 9 en funión de l figur - figur - medid de figur - figur - su ldo. figur - ). onstruye triángulos retángulos QR que tengn por hipotenus O el segmento Q. ) Se hn olodo dos figur - esudrs omo muestr Q l figur. b. odrís deir qué figur perteneen lul: figur -0 todos los vérties R?,,, y figur - figur - figur - 9) prtir de l figur podemos observr ) n d so, represent gráfimente figur - figur - el que: b triángulo uyos vérties se indin, y lul su perímetro. b Se puede epresr el b áre b del udrdo. (, ), (0, ) y (, ). Q Q omo ( + b). b b b. M (0, ), N (, ) y Q (, ). figur -0 Tmbién figur -0 se puede b b ) lul l medid de l digonl de obtener el áre de O T este prism reto de bse retngulr. sumndo el áre figur - figur - figur - de los utro triángulos y l del figur udrdo - figur - más O peque ño, esto es: b ( ) + figur -, 0 m figur - figur figur - figur figur m figur -, 0 m m, figur - ) lul l medid de l ltur de est, figur - 0 m e lo nterior podemos deduir que: b ( + b) = ( ) + figur - n l epresión nterior, oper y redue. Interpret el resultdo obtenido. figur - figur - figur - O 0 m m b fig O

10 l e i d o s o p i o Si en vez de onstruir un udrdo sobre d uno de los ldos de un triángulo retángulo, onstruimos un triángulo equilátero, se umple que el áre del triángulo onstruido sobre l hipotenus es igul l sum de ls áres de los triángulos onstruidos sobre los tetos. ómo lo verifirís? st relión se umple si onstruimos sobre d uno de los ldos de un triángulo retángulo, figurs semejntes (tienen l mism form, pero diferente tmño). r pensr: uedes onstruir sobre los ldos de un triángulo retángulo figurs no semejntes, de form que l sum de ls áres de dos de ells se igul l áre de l terer? Si en lugr de onstruir udrdos o triángulos equiláteros, sobre los ldos de un triángulo retángulo, onsidermos ubos, se umplirá que l sum de los volúmenes de dos de ellos se igul l volumen del terero? Sntilln S.. rohibid su fotoopi. Ley.9