Representación de funciones

Transcripción

1 Representación de funciones Números reales L I T E R AT U R A M AT E M ÁT I C A S El hombre, la hembra y el hambre En Cuba se llama «bolas» a los rumores, ya sean verdaderos o falsos. Se trata de una sinonimia por asociación puesto que las bolas, al igual que los rumores, corren, se deslizan, salvan escollos, aminoran la marcha o la aumentan en dependencia del terreno que cruzan, llegando a los rincones más insospechados. En un sitio donde se sabe que las noticias oficiales nunca son lo que parecen y jamás parecen lo que son, el papel de las bolas cobra especial significado. La sociedad se entera de lo que ocurre a través de las bolas. la teoría sobre la velocidad con que se etienden los rumores adquiere dimensiones cósmicas, con un tiempo récord de distribución que podría resumirse en la fórmula V p i, donde es el número promedio mínimo de personas al que se suele contar una noticia, i designaría el factor de importancia que tal noticia tiene para los interesados, y V p la velocidad con que se propaga dicho rumor. La Habana debería ser un caso de estudio por parte de las Naciones Unidas... y no sólo porque su casco histórico haya sido declarado Patrimonio de la Humanidad. En esta ciudad de dos millones y medio de habitantes, una bola con factor i muy elevado que saliera a rodar a las siete de la mañana, ya es conocida por las cuatro quintas partes de esa población antes de las diez. Eso ocurrió, por ejemplo, cuando se etendió el rumor de que la embajada de Canadá, situada en la hermosa man sión de la Séptima Avenida, en Miramar, estaba dando visas de salida a todo aquel que quisiera trabajar en las minas de Australia. Analizada bajo el prisma de la cordura, pudiera parecer imposible que semejante idea haya podido ser tomada en serio siquiera por diez perso nas; pero en esa olla de grillos que es la isla se trata del tipo de rumores que desencadena una respuesta espon tánea, enérgica y mucho más masiva que cuando obligan a la población a marchar en la plaza, con la sonrisa en los labios, so pena de perder sus puestos de trabajo. La desesperación es la madre del delirio. No es de etrañar, por ello, que cualquier rumor por disparatado que sea provoque la aglomeración de miles de personas, creando el consiguiente caos en la vía pública. DAÍNA CHAVIANO

2 SOLUCIONARIO El hombre, la hembra y el hambre Daína Chaviano En esta novela no aparecen más referencias a las matemáticas que la de este párrafo. Pero hay un ejemplo paradigmático en una novela de Jardiel Poncela titulada Amor se escribe sin hache. Ahí encontramos una escena donde este lenguaje le sirve al autor para describir el disparatado comportamiento de su protagonista y su estrafalario carácter. Sylvia y Zambombo llegan a una isla después de naufragar el barco donde viajaban. Una vez encendida una hoguera admirable, Zambombo determinó construir una cabaña. Sí, sí! palmoteó Sylvia. Una cabaña... y tu amor... Ah! Qué dichosa soy! Zamb se dirigió a la entrada del bosque y transportó a la playa unos cuantos árboles que yacían en el suelo derribados, tal vez, por alguna tormenta. Calculó la resistencia de los árboles midiendo su diámetro y su longitud y escribió en su cuadernito: A B (A B) (A B) (A B) (A B) Elevó al cuadrado el primer término, y con gran sorpresa suya, que no creía saber tantas matemáticas, obtuvo: (A B) (A B) (A B) (A B) (A B) sustituyendo esto por las cifras averiguadas, logró: 7 (0 0) La resistencia de los troncos del árbol era de 70 kilogramos. Puso los troncos apoyados entre sí, formando dos vertientes, en número de quince. De manera que cuando Zamb y Sylvia se metieron debajo, los kilos de árbol que se les cayeron encima, al desplomarse la cabaña, fueron: 70 5, o sea: Ambos se desmayaron a consecuencia del traumatismo. Al volver en sí, era de noche.* * Puede calcularse que, por cada 00 kilos que le caen en la cabeza a un ser humano, permanece desmayado un minuto. Como en kilos hay, aproimadamente, 09 veces 00 kilos, resulta que Zambombo y Sylvia estuvieron desmayados durante 09 minutos, o sea, dos horas menos once minutos. No nos eplicamos, por lo tanto, por qué al volver en sí era ya de noche. Jardiel Poncela utiliza aquí el lenguaje algebraico como un recurso humorístico, una aplicación novedosa, porque en matemáticas y en las otras ciencias, se emplea para epresar propiedades o resolver problemas. Supón que cada persona que oye un rumor lo difunde a 9 personas en una hora. Escribe la fórmula de la función que epresa el número de personas que conocen el rumor con relación al tiempo transcurrido. Represéntala gráficamente y calcula las horas necesarias para que toda La Habana se entere del suceso. f (t ) 9 t con t R el número de horas. f '( ) 9 t ln 9 0 f ( ) creciente No tiene máimos ni mínimos. t ln t log ,7. ln 9 En menos de 7 horas, los habitantes de La Habana conocerán el suceso. 9

3 Representación de funciones ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 Calcula estos límites. a) ( 7) c) ` ` b) 7 ` d) ` 5 ` e) f ) ( ) ` a) ( 7) ` d) 0 ` ` 5 b) 7 ` ` e) ` ` c) ` f ) ( ) ` ` 00 Estudia la continuidad y clasifica los puntos de discontinuidad de esta función: f ( ) si 7 si Si : Función racional, no definida en. Si : 7 Función polinómica, definida en R. Así, f ( ) está definida y es continua en R {, }. Estudiamos la continuidad en y en : Si : f ( ) ` Discontinuidad de salto infinito f ( ) ` Si : f 4 ( ) 4 Discontinuidad de salto finito f ( ) ( 7) ACTIVIDADES 00 Determina el dominio y los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones. a) f ( ) 6 b) f ( ) sen a) f ( ) está definida si 6 0 ( 4)( 4) 0 ( `, 4] [ 4, `) Dom f ( `, 4] [ 4, `) Cortes con el eje : ( 4, 0), ( 4, 0) Corte con el eje : no tiene ya que 0 no está en el dominio. 90

4 SOLUCIONARIO b) Dom f R Cortes con el eje : sen 0 0 k con k Z (0 k, 0) con kz Corte con el eje : 0 y 0 (0, 0) 00 Halla el dominio y los puntos de corte con los ejes. a) f ( ) 7 b) f ( ) log ( ) a) Dom f R {7} Cortes con el eje : (, ), (, ) Corte con el eje : y 0 0, b) f ( ) está definida cuando 0 Dom f (, `) Cortes con el eje : 0 log ( ) ( 7, 0) Corte con el eje : 0 y log ( 0, log ) 00 Estudia la simetría de las siguientes funciones. a) f ( ) 5 b) f ( ) 7 a) f ( ) ( ) 5 5 f ( ) f ( ) es simétrica respecto al eje. b) f ( ) ( ) 7 7 f ( ) f ( ) es simétrica respecto al eje. 004 Dibuja la gráfica de una función que sea: a) Par. b) Impar. a) b) 9

5 Representación de funciones 005 Determina el período de las siguientes funciones. a) f ( ) cos b) f ( ) sen a) b) f ( ) La función se repite con período : cos cos ( k), k Z f ( ) La función se repite con período : sen sen ( k), k Z 006 La función que a cada número le asocia su parte decimal, es periódica? Si es así, cuál es el período? Una función que a cada número le asocia su parte decimal es periódica de período. 007 Representa una función periódica a partir de esta. Cuál es el período? El período de esta función es Escribe una función que tenga como asíntotas verticales las rectas cuyas ecuaciones son: a) 4 y b) y 0 Respuesta abierta. Por ejemplo: 5 a) f ( ) ( 4)( ) 6 b) f ( ) ( ) 9

6 SOLUCIONARIO 009 Halla las asíntotas verticales de las funciones. a) f ( ) log ( 6) b) f ( ) a) 6 0 ( 4 )( 4 ) 0 ( `, 4 ] [ 4, `) Así, tenemos que: Dom f ( `, 4] [ 4, `) log ( 6) ` Asíntota vertical: log ( 6) ` Asíntota vertical: 4 b) 0 Dom f R { } ` Asíntota vertical: 00 Estudia si las siguientes funciones tienen asíntotas horizontales. e a) f ( ) b) f ( ) e e a) e Asíntota horizontal: y ` e e 0 0 Asíntota horizontal: y 0 ` 0 b) ` ` f ( ) no tiene asíntotas horizontales. ` ` 0 Determina la situación de la gráfica respecto de las asíntotas horizontales de estas funciones. a) f ( ) a) ` 4 4 b) f ( ) Asíntota horizontal: y Si ` 0 f ( ) está por debajo de la asíntota. 4 Si ` 0 f ( ) está por debajo de la asíntota. 4 b) 0 Asíntota horizontal: y 0 ` Si ` 0 0 f ( ) está por encima de la asíntota. Si ` 0 0 f ( ) está por debajo de la asíntota. 9

7 Representación de funciones 0 Estudia si las siguientes funciones tienen asíntotas oblicuas. a) f ( ) b) f ( ) a) f ( ) 0 m ` ` ( ) f ( ) m ` ` ` n ` Asíntota oblicua: y m n y b) f ( ) 0 m ` ` ( ) f ( ) m ` ` ` n ` Asíntota oblicua: y m n y 0 Determina la situación de la gráfica respecto de las asíntotas oblicuas de estas funciones. a) f ( ) b) f ( ) 5 a) f ( ) 0 m ` ` ( ) f m ( ) ` ` n ` Asíntota oblicua: y m n y f ( ) ( m n) Si ` f 0 ( ) está por encima de la asíntota. Si ` f 0 ( ) está por debajo de la asíntota. b) f ( ) 5 0 m ` ` f ( ) m 5 5 ` ` ` ` Asíntota oblicua: y 94

8 SOLUCIONARIO f ( ) 5 0 m ` ` f ( ) m 5 5 ` ` ` ` Asíntota oblicua: y Si ` f ( ) está por encima de la asíntota y. Si ` f ( ) está por encima de la asíntota y. 04 Estudia si estas funciones presentan ramas parabólicas. a) f ( ) 4 4 b) g ( ) ln a) Función polinómica Dom f R No tiene asíntotas verticales. 4 ( 4) ` ` No tiene asíntotas horizontales. 4 ( 4) ` ` f 4 ( ) 4 ` ` ` f ( ) No tiene asíntotas oblicuas. 4 4 ` ` ` Por tanto, la función tiene ramas parabólicas cuando ` y `. b) Dom g (0, `) ln 0 No tiene asíntotas verticales. 0 ln ` No tiene asíntotas horizontales. ` g ( ) ln ln ` No tiene asíntotas oblicuas. ` ` ` Por tanto, la función tiene una rama parabólica cuando `. 05 Determina las ramas infinitas de f ( ). Dom f R No tiene asíntotas verticales. f ( ) 0 ` ` Asíntota horizontal: y 0 f ( ) ` 0 ` Como la función tiene asíntota horizontal cuando ` y cuando `, no tiene asíntotas oblicuas y tampoco ramas parabólicas. 95

9 Representación de funciones 06 Estudia el crecimiento y decrecimiento de estas funciones, y calcula los máimos y mínimos. a) f ( ) b) f ( ) a) 0 Dom f R { } f'( ) ( ) En ( `, 0) (, `) f' ( ) 0 f ( ) creciente En ( 0, ) (, ) f' ( ) 0 f ( ) decreciente 0 f ( ) 0 ( 0, 0) Máimo f ( ) 4 (, 4) Mínimo b) 0 Dom f R { } 4 f'( ) ( ) En (, ) (, ) f' ( ) 0 f ( ) creciente ( `, ) (, `) f' ( ) 0 f ( ) decreciente f ( ) (, ) Máimo f ( ) 6 (, 6) Mínimo 07 Estudia el crecimiento y decrecimiento de las funciones, y halla los máimos y mínimos. a) f ( ) 5 b) f ( ) a) Dom f R 5 f'( ) 0 En decreciente `, f' ( ) 0 f ( ) En, ( ) 0 ( ) creciente ` f' f 5 f 5 ( ) 4, 4 Mínimo b) 5 0, R Dom f R f'( ) n ( `, 0) f' ( ) 0 f ( ) decreciente n ( 0, `) f' ( ) 0 f ( ) creciente 0 f ( ) 5 0, 5 Mínimo 96

10 SOLUCIONARIO 0 Estudia la concavidad y conveidad de estas funciones, y calcula los puntos de infleión. a) f ( ) b) f ( ) a) 0 Dom f R { } f'( ) ( ) f"( ) ( ) 0, R No presenta puntos de infleión. En ( `, ) f" ( ) 0 f ( ) convea En (, `) f" ( ) 0 f ( ) cóncava b) 0 Dom f R { } 4 f'( ) ( ) f"( ) 0, R No presenta puntos de infleión. ( ) En ( `, ) f" ( ) 0 f ( ) cóncava En (, `) f" ( ) 0 f ( ) convea 09 Halla los intervalos de concavidad y conveidad de las siguientes funciones, y comprueba el resultado gráficamente. a) f ( ) 5 b) f ( ) 5 a) Dom f R f'( ) f"( ) 0, R Por tanto, es f ( ) cóncava en todo su dominio y no presenta puntos de infleión. f ( ) 5 b) 5 0, R Dom f R f'( ) 5 f ( ) 5 5 f"( ) 5 5 0, R ( 5) 5 Así, f ( ) es cóncava en todo su dominio y no presenta puntos de infleión. 97

11 Representación de funciones 00 Representa las siguientes funciones polinómicas. a) f ( ) 4 b) g() 6 a) Dom f R Cortes con el eje : f ( ) ( ) ( 0, 0),, 0 Corte con el eje : 0 f ( 0) 0 ( 0, 0) Como f es una función polinómica, solo tiene ramas parabólicas. ( 4 ) ` ( 4 ) ` ` f'( ) 4 0 ` En En ' `, f' ( ) 0 f ( ) decreciente, ` f ( ) 0 f ( ) creciente f 9, 9 Mínimo f"( ) 0 0 En ( `, 0) f" ( ) 0 f ( ) cóncava En ( 0, `) f" ( ) 0 f ( ) cóncava No presenta puntos de infleión. 0 f ( ) b) Dom g R Cortes con el eje : g( ) ( ) , 0, ( 0, 0), 0, Corte con el eje : 0 g (0) 0 (0, 0) Como g es una función polinómica, solo tiene ramas parabólicas. ( 6 ) ` ( 6 ) ` ` g'( ) ` En ( `, ) (, `) g' ( ) 0 g( ) decreciente En (, ) g' ( ) 0 g( ) creciente g( ) ( ) 6 ( ) 4 (, 4) Mínimo g( ) 6 4 (, 4) Máimo g"( ) 0 0 En ( `, 0) g" ( ) 0 g( ) cóncava En ( 0, `) g" ( ) 0 g( ) convea 0 g (0) 0 (0, 0) Punto de infleión g ( ) 9

12 SOLUCIONARIO 0 Representa estas funciones polinómicas. a) f ( ) b) g( ) a) Dom f R Cortes con el eje : f ( ) ( 6 4) 0 6, 5 Corte con el eje : 0 f (0) 0 (0, 0) Como f es una función polinómica, solo tiene ramas parabólicas. ( ) ` ` ( ) ` ` 4 f' ( ) f' ( ) 0 6, 4 En ( `;,4 ) (,4 ; `) f' ( ) 0 f ( ) creciente En (,4 ;,4 ) f' ( ) 0 f ( ) decreciente,4 f (,4 ) 0,79 (,4 ; 0,79 ) Máimo,4 f (,4 ) 0,79 (,4 ; 0,79 ) Mínimo f" ( ) f" ( ) 0 ( 0 7) 0 60,77 En ( `; 0,77 ) ( 0; 0,77 ) f" ( ) 0 f ( ) conve a En ( 0,77; 0) ( 0,77; `) f" ( ) 0 f ( ) cóncav a 0,77 f ( 0,77) 6,9 ( 0,77; 6,9) Punto de infleión 0 f ( 0) 0 ( 0, 0) Punto de infleión 0,77 f ( 0,77) 6,9 ( 0,77; 6,9) Punto de infleión f ( ) 4 99

13 Representación de funciones b) Dom g R Cortes con el eje : g( ) ( ) (, 6 Corte con el eje : 0 g (0) 0 (0, 0) Como g es una función polinómica, solo tiene ramas parabólicas. ( ) ` ` ( ) ` ` g'( ) En `,, ` g'( ) 0 g( ) decreciente En, g' ( ) 0 g( ) creciente g, g, g"( ) En ( `, 0) g" ( ) 0 g( ) cóncava En ( 0, `) g" ( ) 0 g( ) convea 0 g (0) 0 (0, 0) Punto de infleión Máimo 0), ( 0, 0), (, 0) Mínimo g( ) 0 Representa las siguientes funciones racionales. a) f ( ) 5 b) g( ) 400

14 SOLUCIONARIO a) Dom f R {0} Cortes con el eje : 5 f ( ) , 0, 5, 0 Corte con el eje : no tiene porque f ( ) no está definida para 0. f 5 ( ) 0 0 ` Asíntota vertical: 0 f 5 ( ) ` ` ` No tiene asíntotas horizontales. 5 f ( ) ` ` ` f ( ) 5 0 m ` ` f ( ) 5 ` 5 0 n 0 ` ` Asíntota oblicua: y No tiene ramas parabólicas ya que tiene asíntota oblicua cuando ` y cuando `. 5 f'( ) 0 f ( ) creciente No presenta máimos ni mínimos. f"( ) 0 0 f() no presenta puntos de infleión. En ( `, 0) f" ( ) 0 f ( ) cóncava En ( 0, `) f" ( ) 0 f ( ) convea b) 0 ( ) 0 0 Dom g R { 0} Cortes con el eje : g( ) No tiene porque g ( ) no está definida para 0. Corte con el eje : no tiene porque g ( ) no está definida para 0. f ( ) No tiene asíntotas verticales. g ( ) 0 ` ` Asíntota horizontal: y 0 g( ) ` 0 ` No tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas ya que tiene asíntota horizontal cuando ` y cuando `. g'( ) ( ) ( ) y 40

15 Representación de funciones En ( `, ) (, `) g' ( ) 0 g( ) decreciente En (, 0) ( 0, ) g' ( ) 0 g( ) creciente g ( ), Mínimo g( ), Máimo 6 g"( ) ( ) 6 En ( `, ) ( 0, ) g" ( ) 0 g( ) convea En, 0, ` g" ( ) 0 g( ) cóncava g, Punto de infleión g( 0) 0 ( 0, 0) Punto de infleión g, Punto de infleión 4 4 g( ) y 0 0 Representa estas funciones racionales. 4 a) f ( ) b) g( ) a) Dom f R {0} Cortes con el eje : f ( ) 0 0, 0 Corte con el eje : no tiene porque f ( ) no está definida para 0. f ( ) ` Asíntota vertical: f ( ) ` ` ` No tiene asíntotas horizontales. f ( ) ` ` ` f ( ) ` ` ` f ( ) No tiene asíntotas oblicuas. ` ` ` 40

16 SOLUCIONARIO Tiene ramas parabólicas: f ( ) ` f ( ) ` ` ` ` ` f'( ) 0 0,4 En `, decr ( ) 0 ( ) f' f eciente En, (, ` ) f' ( ) f ( ) creciente f,9, 4 4 Mínimo 6 f"( ) 0 6 0, 0 En ( `, 0), ` f" ( ) 0 f ( ) cóncava En 0, f" ( ) 0 f ( ) convea f ( ) 0, 0 Punto de infleión 0 f ( ) b) Dom g R {0} Cortes con el eje : 4 4 g( ) ( ) 0, 0 Corte con el eje : no tiene porque g ( ) no está definida para 0. 4 No tiene asíntotas verticales. 0 0 g 4 ( ) ` ` ` No tiene asíntotas horizontales. 4 g( ) ` ` ` ` ` g ( ) g ( ) 4 ` ` No tiene asíntotas oblicuas. 4 ` ` 40

17 Representación de funciones Tiene ramas parabólicas: g 4 ( ) ` ` ` g 4 ( ) ` ` ` g'( ) 0 0 En ( `, 0) g' ( ) 0 g( ) creciente En ( 0, `) g' ( ) 0 g( ) creciente No presenta máimos ni mínimos. g( ) g"( ) En ( `, 0) g" ( ) 0 g( ) convea En ( 0, `) g" ( ) 0 g( ) cóncava No presenta puntos de infleión, ya que en 0 no está definida la función Representa las siguientes funciones con radicales. a) f ( ) b) g( ) 7 a) 0 Dom f [, `) Cortes con el eje : f ( ) 0 0 (, 0) Corte con el eje : no tiene porque f ( ) no está definida para 0. No tiene asíntotas verticales porque en el etremo del dominio la función está definida. ` ` No tiene asíntotas horizontales. f ( ) 0 No tiene asíntotas oblicuas. ` ` Tiene una rama parabólica: ` ` f'( ) 0, (, `) f ( ) creciente No presenta máimos ni mínimos. f"( ) 0, (, `) f ( ) convea 4( ) No presenta puntos de infleión. f ( ) 404

18 SOLUCIONARIO b) 7 0 ( `, 0 ] [ 7, `) Dom g ( `, 0 ] [ 7, `) Cortes con el eje : g( ) ( 0, 0), ( 7, 0) 7 Corte con el eje : 0 (0, 0) No tiene asíntotas verticales. 7 ` No tiene asíntotas horizontales. 7 ` g ( ) 7 m ` ` g( ) 7 7 ` ` ` n ` 7 ` ` ` ` Asíntota oblicua: y m n y g ( ) 7 m ` g( ) 7 7 ` ` n ` 7 No tiene ramas parabólicas. Asíntota oblicua: y m n y 7 7 g'( ) 0 Dom g No presenta máimos 7 ni mínimos. En ( `, 0) g' ( ) 0 g( ) decreciente En ( 7, `) g' ( ) 0 g( ) creciente 49 g"( ) 0, ( `, 0) ( 7, `) g( ) convea 4( 7 ) 7 No presenta puntos de infleión. 7 7 y 7 y 7 g( ) 405

19 Representación de funciones 05 Representa estas funciones con radicales. a) f ( ) b) g( ) a) 0 ( ) 0 Dom f [, `) Cortes con el eje : f ( ) ( ) (, 0) Corte con el eje : no tiene porque f ( ) no está definida para 0. No tiene asíntotas verticales. ` ` ` No tiene asíntotas horizontales. f ( ) ` Tiene una rama parabólica: ` ` ` No tiene asíntotas oblicuas. f'( ) 0 0 ( ) 0 0, Dom f No presenta máimos ni mínimos. f'( ) 0, (, `) f ( ) creciente f"( ) 0 4( ) 4( ) 4 ( 4) 0 0, En 4, f" ( ) 0 f ( ) convea 4 En, ( ) 0 ( ) cóncava ` f" f 4 f , 9 9 Punto de infleión f ( ) 406

20 SOLUCIONARIO b) Dom g [0, `) Cortes con el eje : g( ) ( 0, 0) Corte con el eje : 0 g (0) 0 (0, 0) No tiene asíntotas verticales. ( ) ` No tiene asíntotas horizontales. ` g ( ) m ` ` No tiene asíntotas oblicuas. ( g( ) ) ( ) ` ` ` Tiene una rama parabólica: ( ) ` ` g'( ) 0 g( ) creciente No presenta máimos ni mínimos. g"( ) 0, ( 0, `) g( ) convea 4 g ( ) 06 Representa las siguientes funciones eponenciales. a) f ( ) e 7 b) g() 5 e a) Dom f R Cortes con el eje : no tiene. Corte con el eje : 0 f (0) (0, ) No tiene asíntotas verticales. ( e 7 ) 7 Asíntota horizontal ` ( e 7 ) ` No tiene asíntota horizontal. ` f e ( ) 7 ` No tiene asíntotas oblicuas. ` ` Tiene una rama parabólica: ( e 7) ` ` f'( ) e 0 f ( ) decreciente No presenta máimos ni mínimos. f"( ) e 0 f ( ) cóncava No presenta puntos de infleión. 5 5 f ( ) 407

21 Representación de funciones b) Dom g R Cortes con el eje : no tiene. Corte con el eje : 0 g(0) 6 (0, 6) No tiene asíntotas verticales. Asíntotas horizontales: ( 5 e ) ` No tiene asíntota horizontal. ` ( 5 e ) 5 Asíntota horizontal: y 5 ` g ( ) 5 e ` No tiene asíntotas oblicuas. ` ` Tiene una rama parabólica: ` ( 5 e ) ` g'( ) e 0 g( ) creciente No presenta máimos ni mínimos. g"( ) e 0 g ( ) cóncava y no presenta puntos de infleión. g ( ) Representa estas funciones eponenciales. a) f ( ) e b) g( ) e a) Dom f [0, `) Cortes con el eje : no tiene. 0 Corte con el eje : 0 f ( 0) e ( 0, ) No tiene asíntotas verticales. ` ` e ` No tiene asíntotas horizontales. f ( ) ` e Tiene una rama parabólica: ` No tiene asíntotas oblicuas. ` e ` f'( ) e 0 f ( ) creciente No presenta máimos ni mínimos. 40

22 SOLUCIONARIO e e f"( ) 0 e e 0 e En ( 0, ) f" ( ) 0 f ( ) convea En (, `) f" ( ) 0 f ( ) cóncava f ( ) e (, e) Punto de infleión f ( ) b) Dom g R Cortes con el eje : no tiene. Corte con el eje : 0 g (0) e 0 (0, ) No tiene asíntotas verticales. ` e 0 Asíntota horizontal: y 0 No tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas. g'( ) e 0 0 En ( `, 0) g' ( ) 0 g( ) creciente En ( 0, `) g' ( ) 0 g( ) decreciente 0 f ( 0) ( 0, ) Máimo g"( ) e e ( ) e ( ) 0 6 En ( `, ) (, `) g" ( ) 0 g( ) cóncava En (, ) g" ( ) 0 g( ) convea f ( ) e, e Punto de infleión f ( ) e, e Punto de infleión g ( ) 409

23 Representación de funciones 0 Representa las siguientes funciones logarítmicas. a) f ( ) ln ( 4) b) g() ln ( 4) a) Dom f ( 4, `) 0 Cortes con el eje : ln ( 4) 0 4 e (, 0) Corte con el eje : 0 f ( 0) ln 4 ( 0, ln 4) ln ( 4) ` Asíntota vertical: 4 4 ln ( 4) ` No tiene asíntotas horizontales. ` f ( ) ln ( 4) 0 No tiene asíntotas oblicuas. ` ` Tiene una rama parabólica: 4 ln ( 4) ` f ( ) ` f'( ) 0 f ( ) creciente 4 f"( ) ( 4) 0 f ( ) convea b) 4 0 ( )( ) 0 ( `, ) (, `) Dom g ( `, ) (, `) Cortes con el eje : ln ( 4) 0 4 e , 0, 5, 0 Corte con el eje : no tiene porque g ( ) no está definida para 0. ln ( 4) ` Asíntota vertical: ln ( 4) ` Asíntota vertical: ln ( 4) ` ` No tiene asíntotas horizontales. ln ( 4) ` ` g ( ) ln ( 4) 0 ` ` g ( No tiene asíntotas oblicuas. ) ln ( 4) 0 ` ` Tiene ramas parabólicas: ` ln ( 4) ` ln ( 4 ) ` ` g'( ) En ( `, ) g' ( ) 0 g( ) decreciente En (, `) g' ( ) 0 g( ) creciente g"( ) 0 g( ) convea ( 4) g( ) 40

24 SOLUCIONARIO 09 Representa esta función logarítmica: f ( ) ln ( ) 0, R Dom f R Cortes con el eje : ln ( ) 0 e ( 0, 0), (, 0) Corte con el eje : 0 y ln 0 (0, 0) No tiene asíntotas verticales. ln ( ) ` ` No tiene asíntotas horizontales. ln ( ) ` ` f ( ) ln( ) 0 No tiene asíntotas oblicuas. ` ` Tiene ramas parabólicas: ln ( ) ` ln ( ) ` ` ` f'( ) 0 0 En decrecien `, f' ( ) 0 f ( ) te En, ( ) 0 ( ) creciente ` f' f f ( ) ln, ln Mínimo 4 4 f"( ) 0 0,7 ;,7 ( ) En `,, ` f"( ) 0 f ( ) convea En, f" ( ) 0 f ( ) cóncava f 0,4 ( 0,7; 0,4) Punto de infleión f 0,4 (,7; 0,4) Punto de infleión f ( ) 4

25 Representación de funciones e 00 Representa la función: f ( ) si si f ( ) e Está definida para 0 Dom f ( `, 0] [, `) Cortes con el eje : no tiene. Corte con el eje : 0 y e 0 ( 0, ) No tiene asíntotas verticales. ` ` No tiene asíntotas horizontales. e ` ` f ( ) ` ` ` No tiene asíntotas oblicuas. e ` ` Tiene dos ramas parabólicas: ` ` ` e ` e f'( ) si si f'( ) 0 En ( `, 0) f' ( ) 0 f ( ) decreciente En (, `) f' ( ) 0 f ( ) creciente e e f"( ) si si f"( ) 0 En ( `, ) (, `) f" ( ) 0 f ( ) cóncava En (, 0) f" ( ) 0 f ( ) convea f ( ) e (, e) Punto de infleión f ( ) 4

26 SOLUCIONARIO 0 Representa la función: f ( ) si ln ( 4) resto Dom f R {, } Cortes con el eje : f ( ) 0 ( 0, 0), 5, 0, 5, 0 Corte con el eje : 0 y 0 (0, 0) ln ( 4) ` Asíntota vertical: ln ( 4) ` Asíntota vertical: ln ( 4) ` ` No tiene asíntotas horizontales. ln ( 4) ` ` ln ( 4) 0 No tiene asíntotas oblicuas. ` Tiene ramas parabólicas: ` ln ( 4 ) ` ln ( 4 ) ` ` Crecimiento: si f'( ) resto 4 f'( ) 0 0 En ( `, ) ( 0, ) f' ( ) 0 f ( ) decreciente En (, 0) (, `) f' ( ) 0 f ( ) creciente 0 f (0) 0 (0, 0) Máimo Concavidad: si f"( ) resto ( 4) En (, ) f" ( ) 0 f ( ) convea En R (, ) f" ( ) 0 f ( ) convea ( 4) f ( ) 4

27 Representación de funciones 0 Representa las siguientes funciones con valor absoluto. a) f ( ) 4 b) g( ) 6 a) 4 si 0 f ( ) 4 si 0 4 si [, 0] Por tanto: f ( ) si ( `, ) ( 0, `) Se trata de representar dos parábolas en sus respectivos intervalos. Puntos de intersección: ( 6) 0 0 y 0 ( 0, 0) y 7 (, 7) Vértice de f ( ) 4 ( 7, 49 ) Vértice de f ( ) (, ) f () 0 5 b) Estudiamos primero la función f ( ) 6 y tras representarla, dibujamos las partes negativas como positivas haciendo una simetría respecto del eje. Dominio f R Cortes con el eje : ( 6) Corte con el eje : 0 y 0 (0, 0) Como f es una función polinómica, solo tiene ramas parabólicas. ` f ( ) ` f ( ) ` ` 6 f'( ) 4 6 0, 0,9 En `,, ` f'( ) 0 f ( ) creciente En, f' ( ) 0 f ( ) decreciente 44

28 SOLUCIONARIO, f (,),4 (,;,4 ) Máimo 0,9 f ( 0,9),05 ( 0,9;,05) Mínimo f"( ) ,67 6 En convea `, f" ( ) 0 f ( ) En, cóncava ` f" ( ) 0 f ( ) f 4 4,59 7 4, Punto de infleión 7 g () 0 Representa esta función: f ( ) si 0 e si 0 Representamos f ( ) en el intervalo (`, 0]. Se trata de una parábola de vértice 9,. 4 Cortes en el eje : 0 0 ( 0, 0), (, 0) Corte con el eje : 0 y 0 (0, 0) En (`, ) la función es negativa, por lo que para conseguir el valor absoluto, dibujamos la simétrica respecto al eje. Representamos f ( ) e en el intervalo (0, `). No corta al eje. Corte con el eje : 0 y e 0 (0, ) No tiene asíntotas verticales. e ` No tiene asíntotas horizontales. ` e ` No tiene asíntotas oblicuas. ` Tiene una rama parabólica: e ` ` f'( ) e 0 f ( ) decreciente f"( ) e 0 f ( ) convea f ( ) 4 45

29 Representación de funciones 04 Halla el dominio de las siguientes funciones polinómicas. a) y b) y c) y 4 d) y ( 4) El dominio de cualquier función polinómica es R. 05 Calcula el dominio de estas funciones racionales. a) y b) y c) y 9 a) 0 Dominio R { } b) Dominio R {, } c) 0 Dominio R { } 06 Determina el dominio de las siguientes funciones con radicales. a) y c) y 5 b) y 6 d) y a) 0 Dominio ( `, ] b) 6 0 ( 4 )( 4 ) 0 [ 4, 4] Dominio [ 4, 4] c) 5 0, R Dominio R d) 0 ( )( ) 0 ( `, ] [, `) Dominio ( `, ] [, `) 07 Halla el dominio de estas funciones eponenciales y logarítmicas. a) y e b) y 4 c) y ln ( 4 ) d) y log a) Dominio R b) 0 Dominio R { 0} c) 4 0, R Dominio R 0 d) log 0. Como 0 Dominio ( 0, ) (, `) 0 Determina el dominio de las siguientes funciones. e e a) y c) y e) y 7 4 e b) y 4 d) y ln ( 5 ) f ) y ( ) a) Dominio R {0} b) Dominio R c) 0 ( )( ) 0 [, ] Dominio [, ] d) 5 0 ( 5 ) 0 ( `, 5) ( 0, `) Dominio ( `, 5) ( 0, `) e) Dominio R f ) Dominio R {} 46

30 SOLUCIONARIO 09 Encuentra el dominio de estas funciones. sen a) y b) y tg c) y arc cos ( ) d) y sen a) Dominio R {} b) k k, Z Además, 0. Dominio con R, k k Z c) y arc cos está definida en: [, ] 4 0, `, ` 4 0 [, ] La zona común de ambos intervalos es,, que es el dominio de la función. d) Dominio R 040 Calcula los puntos en que las gráficas de las siguientes funciones cortan a los ejes de coordenadas. 4 a) y c) y 7 e) y b) y 4 4 d) y a) Cortes con el eje : y ( 4, 0), (, 0) Corte con el eje : 0 y ( 0, ) b) Cortes con el eje : y (, 0), (, 0), ( 4, 0) 4 Corte con el eje : 0 y 4 ( 0, 4) c) Cortes con el eje : y (, 0), (, 0), 7, 0, 7, 0 Corte con el eje : 0 y 7 ( 0, 7) d) Cortes con el eje : y ( 0, 0) Corte con el eje : 0 y 0 ( 0, 0) e) Cortes con el eje : y ( 0, 0) Corte con el eje : 0 y 0 ( 0, 0) 47

31 Representación de funciones 04 Halla los puntos de corte con los ejes de las gráficas de estas funciones. a) y 9 ln b) y c) y e 4 d) y e a) Cortes con el eje : y 0 0 0, 0 Corte con el eje : no tiene porque la función no está definida para 0. b) Cortes con el eje : 9 y (, 0), (, 0) e Corte con el eje : si 0 y 9 (0, 9) c) Cortes con el eje : y 0 ln 0 0 ln 0 e (, 0) 4 Corte con el eje : no tiene porque la función no está definida para 0. d) Cortes con el eje : y 0 e 0 para resolver esta ecuación estudiamos y '. y' e 0 e ln 0 0 En ( `, 0) y' 0 Función decreciente En ( 0, `) y' 0 Función creciente Así, en 0 alcanza el único mínimo, (0, ), por lo que no puede haber puntos de corte con el eje. Corte con el eje : 0 y (0, ) 04 Razone a qué es igual el dominio de la función: f ( ) (Aragón. Septiembre 00. Cuestión B) 0 Dom f R { } ln 04 Cuál es el dominio de la función f ( )? 4 (La Rioja. Junio 005. Parte A. Cuestión ) 0 0 Dom f ( 0, `) { } Dada la curva y, calcular los puntos de corte con los ejes coordenados. (Murcia. Junio 00. Bloque. Cuestión ) Cortes con el eje : y 0 0 0, 0 : si 0 y (0, ) 4

32 SOLUCIONARIO 045 Dada la función f ( ), se pide hallar: a) El dominio de definición. b) Puntos de corte con los ejes. (Cantabria. Septiembre 00. Bloque. Opción A) a) Dom f R b) Cortes con el eje : y (, 0), ( 0, 0), (, 0) Corte con el eje : si 0 y 0 (0, 0) 046 Analiza si estas funciones son simétricas respecto del eje de ordenadas o respecto del origen. a) y ln c) y e) y 4 4 b) y 5 d) y f ) y ( ) 9 a) f ( ) ( ) ( ) f ( ) Simétrica respecto del origen. b) f ( ) ( ) 4 ( ) f ( ) Simétrica respecto del eje. c) f ( ) ( ) ( ) No es simétrica. ( ) d) f ( ) f ( ) ( ) Simétrica respecto del origen. ln ln e) f ( ) No es simétrica. 4 4 f ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) Simétrica respecto del eje. 047 Estudia si las siguientes funciones son periódicas y, en caso afirmativo, determina su período. a) y cos d) y cos b) y sen e) y sen 4 c) y sen 4 f ) y sen a) f ( ) La función es periódica de período. 49

33 Representación de funciones b) 0 f ( ) La función es periódica de período. c) f ( ) La función es periódica de período. 4 d) 0 f ( ) 0 0 La función es periódica de período. e) f ( ) La función es periódica de período f ) Esta función no es periódica. 04 Determina el dominio de estas funciones y los puntos de corte con los ejes. Razona si son pares o impares, o si no son simétricas. a) y d) y 4 b) y e e) y 7 c) y 5 f ) y 7 a) Dominio R {0} Cortes con el eje : y 0 0 (, 0) Corte con el eje : no tiene porque la función no está definida para 0. f ( ) No es simétrica. ( ) b) Dominio R Cortes con el eje : y ( 0, 0) e Corte con el eje : 0 y 0 (0, 0) ( ) f ( ) e No es simétrica. e 40

34 SOLUCIONARIO c) 5 0 ( 5 )( 5 ) 0 [ 5, 5] Dominio [ 5, 5] Cortes con el eje : y ( 5, 0), ( 5, 0) Corte con el eje : 0 y 5 (0, 5) f ( ) 5 ( ) 5 f ( ) Simétrica respecto del eje d) 4 0 ( )( ) 0 [, ] Dominio [, ] Cortes con el eje : y (, 0), (, 0) Corte con el eje : 0 y (0, ) f ( ) 4 ( ) 4 f ( ) Simétrica respecto del eje e) Dominio R 7 Cortes con el eje : y ,,, 0 Corte con el eje : 0 y 7 (0, 7) f ( ) 7 ( ) 7 f ( ) Simétrica respecto del eje f ) 7 0, R Dominio R Cortes con el eje : y No tiene soluciones reales No corta con el eje. Corte con el eje : 0 y 7 0, 7 f ( ) ( ) ( ) 7 7 No es simétrica. 049 Determina las ramas parabólicas de estas funciones. a) f ( ) b) g( ) 6 4 c) h( ) 4 7 a) ( ) ` ( ) ` ` ` b) ( 6 4) ` ( 6 4) ` ` ` 4 4 c) ( 7 ) ` ( 7 ) ` ` ` 050 Halla las asíntotas y las ramas infinitas de las siguientes funciones. e a) f ( ) e b) g( ) c) h( ) 4 d) v( ) 9 a) e 0 e ln 0 0 e 0 e e e ` ` Asíntota vertical: 0 0 Asíntota horizontal: y 0 No tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas, ya que tiene asíntota horizontal cuando ` y cuando `. 4

35 Representación de funciones b) 0 ` ` ` Asíntota vertical: Asíntota horizontal: y No tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas ya que tiene asíntota horizontal cuando ` y cuando `. c) 4 0 ` ` ` Asíntota vertical: 4 ` Asíntota vertical: 4 ` 4 No tiene asíntotas horizontales. ` 4 h ( ) m ` ` ( 4) h( ) m ` ` 4 ` 0 n 0 4 Asíntota oblicua: y No tiene ramas parabólicas ya que tiene asíntota oblicua cuando ` y cuando `. d) 9 Asíntota vertical: 0 ` 0 9 ` ` No tiene asíntotas horizontales. 9 ` ` v ( ) 9 m ` ` v( ) m 9 ` 9 0 n 0 ` ` Asíntota oblicua: y No tiene ramas parabólicas ya que tiene asíntota oblicua cuando ` y cuando `. 4

36 SOLUCIONARIO 05 Cuántas asíntotas verticales tiene la función f ( ) (La Rioja. Junio 00. Parte A. Cuestión ) ` Asíntota vertical: ` Asíntota vertical: 4 6 4? 6 05 Dada la función f ( ) 5, se pide hallar: 4 a) Las asíntotas verticales (calculando los límites laterales). b) Las asíntotas horizontales y oblicuas. 5 0 a) f ( ) ` 4 Asíntota vertical: 5 0 ` ` Asíntota vertical: ` 4 b) Asíntota horizontal: y 5 ` 4 No tiene asíntotas oblicuas ya que tiene asíntota horizontal cuando `. 05 Se considera la función real de variable real definida por: f ( ), Determínense las asíntotas de f. 4 (Madrid. Septiembre 00. Opción B. Ejercicio ) 4 0 ` 4 Asíntota vertical: ` 4 ` 4 Asíntota vertical: ` 4 Asíntota horizontal: y ` 4 No tiene asíntotas oblicuas ya que tiene asíntota horizontal cuando `. 4

37 Representación de funciones 054 Sea la función f : R R definida por: Calcula las asíntotas de f ( ). Estudiamos el dominio de f ( ): 0 [, ) 0 0 Dom f [, ) 0 0 ` Asíntota vertical: En no tiene asíntota vertical ya que la función está definida. No tiene asíntotas horizontales ni oblicuas por tener su dominio restringido. 055 Dada la función f ( ) y las horizontales. (Baleares. Junio 006. Opción B. Cuestión 5), calcula, cuando eistan, las asíntotas verticales 0 Dom f R {, } ` Asíntota vertical: ` Asíntota vertical: y ` 0 Asíntota horizontal: 0 No tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas ya que tiene asíntota horizontal cuando ` y cuando `. 056 Sea la función f ( ) 6 4, se pide: a) Calcular su dominio. b) Determinar las asíntotas y los cortes con los ejes. (Murcia. Septiembre 006. Bloque. Cuestión ) a) Dominio R 6 b) f ( ) 4 es una función polinómica por lo que no tiene asíntotas. Cortes con el eje : y ( 6 ) , 0, ( 0, 0), 6, 0 Corte con el eje : 0 y 0 (0, 0) 44

38 SOLUCIONARIO 057 Considera la función definida para 4 por: f ( ) a) Calcula su dominio. b) Halla las asíntotas de la gráfica de f. c) Estudia la posición relativa de la gráfica de f respecto de sus asíntotas. a) Dom f R { 4} 4 4 b) ` Asíntota vertical: ` ` 4 No tiene asíntotas horizontales. 4 4 ` ` 4 f ( ) m 4 ` ` ( 4) f ( ) m 4 4 ` n 6 ` 4 ` 4 Asíntota oblicua: y 4 6 c) Situación de la gráfica con respecto de la asíntota vertical: Por la izquierda: Por la derecha: ` ` ` ( 4 6) f ( ) está por encima de la asíntota ` ( 4 6) f ( ) está por debajo de la asíntota. 05 Halla las asíntotas y las ramas infinitas de la siguiente función, y determina la posición relativa de su gráfica respecto de cada una de ellas. f ( ) 0 ` Asíntota vertical: ` ` No tiene asíntotas horizontales. ` `

39 Representación de funciones f ( ) m ` ` ( ) f ( ) m ` n ` ` Asíntota oblicua: y No tiene ramas infinitas ya que hay asíntota oblicua. Por la izquierda: ` Por la derecha: ` ` ( ) 0 f() está por encima de la asíntota. ` ( ) 0 f() está por debajo de la asíntota. 059 Dibuja la gráfica de una función que tenga las siguientes características: El dominio es todos los números reales. Corta al eje en los puntos y 4. Tiene como asíntota vertical la recta. La recta y es una asíntota horizontal si `. Tiene una rama infinita cuando `. y 060 Construye una función que verifique simultáneamente: Es discontinua en y 5. No es derivable en, y 5. Tiene una asíntota vertical en. Tiene una asíntota horizontal en y. (Navarra. Septiembre 006. Ejercicio. Opción A) y 46

40 SOLUCIONARIO 06 Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones. a) y 6 5 d) y 4 4 b) y c) y ( ) a) Dominio R y' e) y 4 f ) y 5 n ( `, 5) (, `) y' 0 Función creciente n ( 5, ) y' 0 Función decreciente En 5 presenta un máimo y en, un mínimo. b) Dominio R {0} 4 y' En `,, ` y' 0 Función creciente En F, 0 0, y' 0 unción decreciente En presenta un máimo y en, un mínimo. c) Dominio R {} y' 0 en todo el dominio No tiene máimos ni mínimos. ( ) En ( `, ) y' 0 Función creciente En (, `) y' 0 Función decreciente d) Dominio R y' y" 44 En y " 0 Presenta un mínimo. Por tanto, en (`, ) la función es decreciente y en (, `) es creciente. e) Dominio R ln ln y' 0 0 ( ) 0 6 Solo es posible log 0 En ( `, 0) y' 0 Función decreciente En ( 0, `) y' 0 Función creciente En 0 presenta un mínimo. 47

41 Representación de funciones f ) Dominio R { 0} 4 4 y' En `, 4 4, ` y' 0 Función creciente En 0 0 4,, 4 y' 0 Función decreciente En 4 presenta un máimo y en 4, un mínimo. 06 Halla el crecimiento y decrecimiento, y los máimos y los mínimos de estas funciones. a) y b) y ln c) y 4 4 d) y a) 0 ( ) 0 Dominio ( `, 0 ] [, `) y' 0 no está en el dominio. En ( `, 0) y' 0 Función decreciente En (, `) y' 0 Función creciente b) Dominio (0, `) y' ln 0 ln ln e En En En e, y 0, e y' 0 Función creciente ` e presenta un máimo. ' 0 Función decreciente c) Dominio R {4} y' 0 en R {4} Función decreciente ( 4) d) Dominio R ln y' 0 ( ln ) 0 0, ln En (, ) Función ln, ` 0 ` y' 0 decreciente En 0, y' 0 Función creciente ln En ln presenta un máimo. 4

42 SOLUCIONARIO 06 Dada la función f ( ), calcula sus intervalos de crecimiento 6 y decrecimiento y sus etremos relativos. f ( ) Dom f R { 4, 4 } 6 f'( ) 0 f ( ) creciente en R { 4, 4} ( 6) No presenta máimos ni mínimos. 064 En la función f ( ) 4, determine sus intervalos de monotonía y sus etremos. (Andalucía. Septiembre 007. Opción B. Ejercicio ) Dom f R f'( ) En (`, ) (, `) y ' 0 Función creciente En (, ) y ' 0 Función decreciente En presenta un máimo y en, un mínimo. 065 Estudia la monotonía de f ( ) Tiene máimos o mínimos? Dom f R 4 f'( ) ( 4 7) En En , 7, 7, f' ( ) 0 f ( ) `,, ` f' ( ) 0 f ( ) decreciente creciente En f ( ) presenta un mínimo y en, un máimo. ( ) 066 Sea la función f : R R definida por: f ( ) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máimos y mínimos. Dom f R { } 4 f'( ) ( ) En ( `, ) (, `) f' ( ) 0 f ( ) creciente En (, ) (, ) f' ( ) 0 f ( ) decreciente f ( ) 4 (, 4) Máimo f ( ) 0 (, 0) Mínimo 49

43 Representación de funciones 067 Dibuja la gráfica de una función que cumpla que: Está definida en toda la recta real. Es simétrica respecto del origen. El eje es una asíntota horizontal. Tiene un mínimo en el punto (, ). y 0 06 Considera la función f ( ) y determina: a) Su dominio. b) Los puntos de corte con los ejes de coordenadas. c) Si su gráfica es simétrica respecto del origen o respecto del eje. d) Las asíntotas. e) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. f) Los máimos y mínimos. a) 0 6 Dom f R {, } b) Cortes con el eje : f ( ) ( 0, 0) Corte con el eje : 0 f (0) 0 (0, 0) ( ) c) f ( ) f ( ) Es simétri ( ) ca respecto del eje. d) ` Asíntota vertical: ` Asíntota vertical: Asíntota horizontal: y ` No tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas ya que tiene asíntota horizontal cuando ` y cuando `. e) f'( ) 0 0 ( ) En ( `, ) (, 0) f' ( ) 0 f ( ) creciente En ( 0, ) (, `) f' ( ) 0 f ( ) decreciente f ) 0 f ( 0) 0 ( 0, 0) Máimo No presenta mínimos. 40

44 SOLUCIONARIO 069 Considera la función f ( ). a) Estudia su dominio. b) Halla los puntos en que la gráfica corta a los ejes de coordenadas. c) Analiza si su gráfica es simétrica respecto del origen o respecto del eje. d) Calcula las asíntotas. e) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. f) Halla los máimos y mínimos. a) Dom f R {0} b) Cortes con el eje : f ( ) (, 0) Corte con el eje : no tiene. c) f ( ) ( ) No es simétrica ya que f ( ) f ( ) y f ( ) f ( ). d) Asíntota vertical: 0 ` 0 0 Asíntota horizontal: y 0 ` No tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas ya que tiene asíntota horizontal cuando ` y cuando `. e) f'( ) 0 En ( `, ) ( 0, `) f' ( ) 0 f ( ) decreciente En (, 0) f' ( ) 0 f ( ) creciente f ) f ( ), Mínimo 4 4 No presenta máimos. 070 Dada la función f ( ), calcula, cuando eistan: a) Los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento. b) Los máimos relativos y los mínimos relativos. (Baleares. Junio 006. Opción B. Cuestión 5) a) 0 Dom f R {, } f'( ) 0 ( ) En ( `, ) (, ) f' ( ) 0 f ( ) creciente En (, ) (, `) f' ( ) 0 f ( ) decreciente b) En se alcanza un máimo. No hay mínimos. 4

45 Representación de funciones 07 Determina los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión de las siguientes funciones. a) y 6 b) y 4 c) y 7 d) y a) Dominio R y' 6 y" En ( `, ) y' 0 Función convea En (, `) y' 0 Función cóncava En presenta un punto de infleión. b) Dominio R { } 4 y' ( ) y" 0 en R {} ( ) No presenta puntos de infleión. En ( `, ) y" 0 Función cóncava En (, `) y" 0 Función convea c) Dominio R y' y" En `,, ` y" 0 Función cóncava En Función convea, y" 0 En 6 presenta puntos de infleión. d) Dominio R {, } 4 y' ( ) 4 y" 0 en R {, } ( ) No presenta puntos de infleión. En ( `, ) (, `) y" 0 Función cóncava En (, ) y" 0 Función convea 4

46 SOLUCIONARIO 07 Determina la concavidad y conveidad y los puntos de infleión de estas funciones. a) y e b) y c) y sen d) y 6 ln a) Dominio R y e ' ( ) y" e ( 4 ) 0 6 En En, y" 0 `,, ` y" 0 Función cóncava En 6 presenta puntos de infleión. b) Dominio ( 0, `) { } ln y' (ln ) y" ln 0 ln e (ln ) Función convea En ( 0, ) ( e, `) y" 0 Función convea En (, e ) y" 0 Función cóncava En e presenta un punto de infleión. c) Dominio R y' cos y" sen 0 k con k Z En ( k', k' ) con k' Z y" 0 Función cóncava En ( k', k' ) con k' Z y" 0 Función convea En los puntos k con k Z presenta puntos de infleión. d) Dominio R { 4, 4} y' y" 0 en ( `, 4) ( 4, `) Función convea ( 6) 6 No presenta puntos de infleión. 07 Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los de concavidad y conveidad, los máimos y mínimos, y los puntos de infleión de la función y ln ( ). Dominio R y ' 0 0 En ( `, 0) y' 0 Función decreciente En ( 0, `) y' 0 Función creciente En 0 presenta un mínimo. y" 0 6 ( ) En ( `, ) (, `) y" 0 Función convea En (, ) y" 0 Función cóncava En y en presenta puntos de infleión. 4

47 Representación de funciones 074 Para la función f : R R definida de la forma f ( ) 4 40, determine: a) Su monotonía y sus etremos relativos. b) Su curvatura y su punto de infleión. (Andalucía. Junio 007. Opción A. Ejercicio ) a) f'( ) En ( `, ) ( 5, `) f' ( ) 0 f ( ) creciente En (, 5) f' ( ) 0 f ( ) decreciente En se alcanza un máimo y en 5, un mínimo. 7 b) f"( ) En 7 convea `, f" ( ) 0 f ( ) 7 En, ( ) 0 ( ) cóncava ` f" f En 7 se alcanza un punto de infleión. 075 Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión de la función y. 6 6 Dominio R y' 6 0 En 6 6 `,, ` y' 0 Función creciente 6 6 En, y' 0 Función decreciente En 6 y" presenta un máimo y en En ( `, ) y" 0 Función convea En (, `) y" 0 Función cóncava En presenta un punto de infleión. 6, un mínimo. 076 Estudia en qué intervalos la función f ( ) es creciente o decreciente y en cuáles es cóncava o convea. Presenta algún máimo o mínimo? Tiene puntos de infleión? En caso afirmativo, determina las coordenadas de cada uno de ellos. 44

48 SOLUCIONARIO Dom f R f'( ) 9 0 ( 9 ) 0 0, 9 En cr `, ( 0, `) f' ( ) 0 f 9 ( ) eciente En decrecient, 0 f' ( ) 0 f ( ) e 9 f , 9 4 Máimo 0 f ( 0) ( 0, ) Mínimo f"( ) 0 9 En convea `, f" ( ) 0 f ( ) 9 En cóncava, ` f" ( ) 0 f ( ) 9 f , Punto de infleión Dibuja la gráfica de una función que cumpla las siguientes propiedades: Está definida en toda la recta real. Es simétrica respecto del eje de ordenadas. El eje es una asíntota horizontal. Tiene un punto de infleión en (, ). 07 Estudia el crecimiento y decrecimiento, así como la concavidad y conveidad ln de la función f : (0, `) R definida por f ( ). Determina los máimos, mínimos y puntos de infleión. ln ln f'( ) 0 ln e En ( 0, e) f' ( ) 0 f ( ) creciente En ( e, `) f' ( ) 0 f ( ) decreciente En e presenta un máimo. 45

49 Representación de funciones f"( ) ( ln ) ( ln ) l n 0 ln e e 4 En 0, e f" ( ) 0 f ( ) convea En e, ` f" ( ) 0 f ( ) cóncava En e presenta un punto de infleión. si Sea f ( ) si 0. Calcule los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad de f ( ). (Aragón. Septiembre 005. Opción B. Cuestión ) f ( 0) 0 f ( ) continua en 0 0 si 0 f'( ) f'( ) si 0 En ( `, 0) f' ( ) 0 f ( ) decreciente En ( 0, `) f' ( ) 0 f ( ) creciente En 0 se alcanza un máimo. si 0 f"( ) 4 si 0 En ( `, 0) f" ( ) 0 f ( ) cóncava En ( 0, `) f" ( ) 0 f ( ) cóncava si 0 si 0 00 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones polinómicas, analizando previamente sus características. a) y 4 4 c) y 4 b) y 6 4 d) y 7 46

50 SOLUCIONARIO a) Dominio R Cortes con el eje : y 6 0 (, 0), (, 0), ( 4, 0) 4 Corte con el eje : 0 y 4 (0, 4) Como es una función polinómica, solo tiene ramas parabólicas. ( 4 4 ) ` ( 4 4) ` ` ` y' 0 En `,, ` y' 0 Función creciente En, y' 0 Función decreciente En 4 9 presenta un máimo y en 4 y" En 4 Función convea `, y" 0 4 En, 0 Función cóncava ` y" En 4 presenta un punto de infleión , un mínimo. b) Dominio R Cortes con el eje : No podemos resolver la ecuación por Ruffini, así que lo analizamos después de estudiar el crecimiento. Corte con el eje : 0 y 4 (0, 4) Como es una función polinómica, solo tiene ramas parabólicas. ( 6 4 ) ` ( 6 4) ` ` ` y' 0 En ( `, ) y' 0 Función creciente En (, `) y' 0 Función creciente No presenta máimos ni mínimos. y" 6 0 En ( `, ) y" 0 Función convea En (, `) y" 0 Función cóncava En presenta un punto de infleión. Por último, como en (`, ) la función es creciente, la imagen de 0 es positiva y ( 6 4 ) `, ` hay un punto de corte en (`, 0). 4 47

51 Representación de funciones c) Dominio R Cortes con el eje : 0 ( ) 0 0 ( 0, 0) Corte con el eje : 0 y 0 (0, 0) Como es una función polinómica, solo tiene ramas parabólicas. ( ) ` ` ( ) ` ` y' 0 Función creciente No presenta máimos ni mínimos. y" En ( `, 0) y" 0 Función convea En ( 0, `) y" 0 Función cóncava En 0 presenta un punto de infleión. d) Dominio R Cortes con el eje : y Corte con el eje : 0 y 7 (0, 7) Como es una función polinómica, solo tiene ramas parabólicas. 4 4 ( 7 ) ` ( 7) ` ` ` y' En ( `, ) ( 0, ) y' 0 Función decreciente En (, 0) (, `) y' 0 Función creciente En y en presenta dos mínimos y en 0, un máimo. 6 4 y" En 4 4 `,, ` y" 0 Función cóncava En 4 4, y" 0 Función convea En 6 4 presenta puntos de infleión. 4

52 SOLUCIONARIO 0 Dada la función y 5, se pide: a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Máimos y mínimos locales. d) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. (C. Valenciana. Junio 006. Ejercicio A. Problema ) a) Dominio R Cortes con el eje : y Corte con el eje : 0 y ( 0, ) b) y' En Función cre `, 5 (, `) y' 0 ciente En 5 Función decreciente, y' 0 c) En 5 se alcanza un máimo y en =, un mínimo. d) 0 Calcula razonadamente los valores de a y b para que la función f ( ) a b c tenga un etremo relativo en, un punto de infleión en 0 y pase por el punto (, 5). Representa gráficamente esta función. f'( ) a b f"( ) 6 a Tiene un etremo relativo en : f'( ) 0 4a b 0 Tiene un punto de infleión en 0: f"( 0) 0 a 0 a 0 b 49

53 Representación de funciones Pasa por el punto (, 5): f ( ) 5 a b c 5 c 5 c 6 Por tanto, la función es: f ( ) 6 Para obtener su representación gráfica, analizamos sus características. Dom f R Cortes con el eje : f ( ) No podemos resolver la ecuación por Ruffini, ya que no tiene como raíz ninguno de los divisores de 6. Corte con el eje : 0 f (0) 6 (0, 6) Como f es una función polinómica, solo tiene ramas parabólicas. ( 6 ) ` ` ( 6) ` ` f'( ) En ( `, ) (, `) f' ( ) 0 f ( ) creciente En (, ) f' ( ) 0 f ( ) decreciente En presenta un máimo y en, un mínimo. f"( ) En ( `, 0) f" ( ) 0 f ( ) convea En ( 0, `) f" ( ) 0 f ( ) cóncava En 0 presenta un punto de infleión. 0 En un modelo de coche el consumo de gasolina, para velocidades comprendidas entre 0 y 60 km/h, viene determinado por C ( ) 0,045 0,0005 y viene epresado en litros consumidos cada 00 km, recorridos a una velocidad constante de km/h. a) Cuántos litros cada 00 km consume el coche si se conduce a una velocidad de 0 km/h? b) A qué velocidad consume menos? cuánto consume? c) A qué velocidades se ha de conducir para consumir 0 litros cada 00 km? (Castilla-La Mancha. Septiembre 007. Bloque. Ejercicio B) 440

54 SOLUCIONARIO a) C (0) 5,4,6 6, Si conduce a una velocidad de 0 km/h, consumirá 6, litros cada 00 km. b) C '( ) 0,045 0, C "( ) 0, En = 90 se alcanza un mínimo por lo que a 90 km/h consume menos. A esta velocidad consumirá: C (90) 4,05,05 5,975 litros c) 0 0,045 0,0005 0,0005 0, ,6 6,9 Estas velocidades no están comprendidas en [0, 60] por lo que no es posible consumir 0 litros de gasolina conduciendo a las velocidades de definición de la función. 04 Los beneficios mensuales de un artesano, epresados en euros, cuando fabrica y vende objetos, se ajustan a la función B( ) 0, , en que a) Halle el beneficio que obtiene de fabricar y vender 0 objetos y el de fabricar y vender 60 objetos. b) Halle el número de objetos que debe fabricar y vender para obtener el beneficio máimo, así como dicho beneficio máimo. c) Haga un esbozo de la gráfica de la función B(). (Cataluña. Junio 007. Problema 5) a) B (0) Así, al fabricar y vender 0 objetos no hay beneficio. B (60) Por tanto, al fabricar y vender 60 objetos se obtienen 400 de beneficios. b) B' ( ) B" ( ) 0 En 50 se alcanza un máimo. B (50) Así, para obtener el beneficio máimo, hay que fabricar y vender 50 objetos, siendo este beneficio de 450. c) Representamos gráficamente la función en el intervalo (0, 60). En (0, 50) B'( ) 0 B ( ) creciente En (50, 60) B'( ) 0 B ( ) decreciente Pasa por (0, 0) y por (60, 400) y el máimo es (50, 450)

55 Representación de funciones 05 Se ha comprobado que el número de pasajeros de la terminal internacional de cierto aeropuerto viene dado, como función de la hora del día, a través de la epresión: N ( t ) 5( t ), 0 t 4 Sabiendo que el número máimo de pasajeros en dicha terminal se alcanza a las horas, con un total de.00 personas, se pide: a) Determinar y. Justificar la respuesta. b) Representar la función obtenida. (Etremadura. Junio 006. Opción A. Problema ) a) Pasa por (,.00) N( ).00 5( ). 00 N' ( t) 0( t) N' ( ) 0( ) 0 Así,.00. b) N( t) 5( t). 00 N( 0) N( 4) El máimo se alcanza en el punto (,.00). Es creciente en (0, ) y decreciente en (, 4) Un estudio indica que, entre las. 00 y las horas de un día laborable típico, la velocidad, en km/h, del tráfico en cierta salida a la autopista viene dada por: f ( ) 60 0 si 0 7 Representar gráficamente f ( ) estudiando: el punto de corte con el eje, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavidad y conveidad. Calcular las horas en que se presentan máimos, mínimos y puntos de infleión para la velocidad del tráfico. (Galicia. Junio 007. Bloque. Ejercicio ) Corte con el eje : 0 f (0) 0 (0, 0) f'( ) Tal y como indica el enunciado, solo analizamos la función en el intervalo [0, 7]. En ( 0, ) ( 5, 7) f' ( ) 0 f ( ) creciente En (, 5) f' ( ) 0 f ( ) decreciente 4 7 f"( ) 4 0 En 0 7, f" ( ) 0 f ( ) convea 7 En cóncava, 7 f" ( ) 0 f ( ) 44

56 SOLUCIONARIO A las horas la velocidad es máima y a las 5 horas la velocidad es mínima. A las horas y media la velocidad alcanza un punto de infleión Un dirigente de cierto partido político afirma que dimitirá si el porcentaje de votantes del partido no alcanza el 0 %. Se estima que el porcentaje de participación en la consulta será al menos el 40 % y que el porcentaje de votantes al partido dependerá del porcentaje de participación según esta función (P indica el porcentaje de votantes al partido y el de participación): P() 0,0005 0,045,4 50 si a) Indica cuándo crece el porcentaje de votantes al partido y cuándo decrece. Según la función, es posible que el dirigente no tenga que dimitir? b) Dibuja la gráfica de la función. (Asturias. Septiembre 005. Bloque ) a) P'( ) 0, ,09,4 P"( ) 0,0056 0, P"( 40) 0,076 0 En 40 presenta un mínimo. P"( 0) 0,04 0 En 0 presenta un máimo. Así, en (40, 0) el porcentaje de votantes al partido crece y en (0, 00) decrece por lo que en 00 presenta otro mínimo. El dirigente no tendrá que dimitir si el valor máimo que toma la función es mayor o igual que 0. Como P (0) el dirigente sí tendrá que dimitir. b) P (40) 0 P (00)