Controlador PID lineal para robots manipuladores considerando saturaciones propias de las etapas de control y de los actuadores.

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1 Congreso Anual 9 e la Asociación e México e Control Automático. Zacatecas, México. Controlaor PID lineal para robots manipulaores consierano saturaciones propias e las etapas e control y e los actuaores. Jorge Orrante-Sakanassi, Víctor Santibáñez Instituto Tecnológico e la Laguna Blv. Revolución- Cuauhtémoc, Torreón, Coahuila, 7, México, vsantiba@itlalaguna.eu.mx, santibanez@ieee.org, jaos 1@hotmail.com Resumen En este artículo se propone un controlaor tipo PID para robots manipulaores. Este controlaor consiera el problema natural e saturaciones tanto en las etapas e control como en los pares e los accionaores. La ley e control consiste en un lazo externo PI e posición consierano la saturacion natural el convertior a la salia e la computaora y un lazo interno P e velocia que toma en cuenta la saturación e la electrónica e los servomanejaores e potencia y la saturación e los motores. La teoría e perturbaciones singulares es usaa para analizar estabilia exponencial local el sistema en lazo cerrao. Se obtienen coniciones suficientes para asegurar regulación en la posición eseaa e robots manipulaor. Derecho reservao c UNAM-AMCA. Palabras clave: Control e robots, PID, control acotao, perturbaciones singulares. I. INTRODUCCIÓN El principal problema en el esarrollo e controlaores e movimiento e robots manipulaores es encontrar una función e pares, los cuales al aplicarlos en las articulaciones por meio e los motores, permita que las posiciones el órgano terminal asociaas a las coorenaas articulares u operacionales el robot sigan una trayectoria e posición variante en el tiempo o en un caso particular, alcancen una posición constante. Es bien sabio que, ebio a restricciones físicas tanto en los motores, como en la estructura e los mecanismos, así como en la electrónica e los controlaores, en la práctica ningún motor es capaz e suministrar un par ilimitao. Normalmente, una vez iseñao un controlaor, éste se sintoniza para que los pares máximos que los motores eban aplicar a las articulaciones el robot no sobrepasen los límites especificaos por el fabricante. Lo anterior suele utilizarse cuano el acotamiento en los pares no es tomao en cuenta en el momento e iseñar el controlaor. Sin embargo para mayores rangos e operación tal iseño no garantiza que la acción e control exija pares que no pueen suministrar los motores, lo cual puee afectar la estabilia el sistema en lazo cerrao. Para hacer frente a este problema, algunos resultaos teóricos sobre controlaores con pares acotaos han sio reportaos en la literatura abierta. En (Alvarez et al., ; Alvarez et al., 8) se presentaron os controlaores PID lineal saturao con estabilia asintótica semiglobal. El primer trabajo presentao relacionao con regulaores tipo PID saturaos one se prueba estabilia asintótica global es el e (Gorez, 1999). En (Meza et al., 8) y (Santibáñez et al., 7; Santibáñez et al., 8a) se presentaron regulaores globales tipo PID no lineales con pares acotaos más sencillos que en (Gorez, 1999). Más recientemente un PID no lineal saturao para robot manipulaores inustriales con estabilia asintótica local fue presentao en (Santibáñez et al., 8b). En este artículo proponemos un nuevo regulaor PID saturao para robots manipulaores cuya estructura está formao por un controlaor externo proporcional-integral PI e posición y un controlaor proporcional P e velocia. Para el análisis e estabilia exponencial el equilibrio el sistema en lazo cerrao se ha utilizao la teoría e perturbaciones singulares. La notación utilizaa en este artículo es la siguiente: los vectores son enotaos con negritas y las matrices con mayúsculas; se utiliza la notación λ mín {A} y λ máx {A} para inicar el mínimo y máximo valor propio e la matriz A, respectivamente. La norma eucliiana e un vector x se enota como x y la norma inucia e una matriz A se enota por A. Se enota como B r = {x IR n : x r} a una bola e raio r. II-A. II. PRELIMINARES MATEMÁTICOS. Dinámica e Robots. La inámica e un robot serial e n articulaciones, sin el efecto e la fricción, puee ser escrita como (Spong y Viyasagar, 1989): M(q) q + C(q, q) q + g(q) = τ (1) one q IR n es el vector e posiciones articulares, q IR n es el vector e velociaes articulares, τ IR n es el vector e los pares aplicaos a caa articulación, M(q) IR n n es la matriz e inercia el manipulaor simétrica y efinia positiva, C(q, q) IR n n es la matriz centrífuga y e Coriolis y g(q) IR n es el vector e pares

2 Congreso Anual 9 e la Asociación e México e Control Automático. Zacatecas, México. gravitacionales obtenio como el graiente e la energía potencial el robot U(q), esto es: g(q) = U(q) q Suponremos el caso en el cual toas las articulaciones el robot son el tipo rotacional. II-B. Propieaes e la inámica el robot Retomaremos os importantes propieaes el moelo inámico (1) las cuales usaremos mas aelante: Propiea 1. La matriz C(q, q) y la erivaa temporal e la matriz e inercia Ṁ(q) satisfacen (Ortega y Spong, 1989): q T [ 1 M(q) C(q, q) () q = q, q IR n. () Propiea. El vector e pares gravitacionales g(q) está acotao para toa q IR n. Lo anterior significa que existe una constante finita γ i e tal manera que (Craig, 1998) sup g i (q) γ i i = 1,, n, (4) q IR n one g i (q) es el i-ésimo elemento el vector g(q). Equivalentemente, existe una constante k tal que g(q) k para too q IR n. (5) Aemás, existe una constante positiva k g tal que g(q) q k g, (6) para too q IR n, y para too x, y IR n. II-C. g(x) g(y) k g x y, (7) Formulación el problema Antes e presentar la formulación el problema e control, se arán algunas efiniciones. Definición 1: La saturación ura es enotaa por sat(x; k) IR n, one sat(x; k) = sat(x 1 ; k 1 ) sat(x ; k ). sat(x n ; k n ), x = x 1 x.. x n, k = k 1 k.. k n, (8) one k i es el i-ésimo limite e saturación, i = 1,,..., n, y caa elemento el vector sat(x; k) es efinio como: sat(x i ; k i ) = x i si x i < k i k i si x i > k i (9) k i si x i < k i Definición : (Zavala y Santibáñez, 6; Zavala y Santibáñez, 7) Daas unas constantes l y m, con l < m, una función Sat(x; l, m) : IR IR : x Sat(x; l, m) es llamaa función saturación lineal estrictamente creciente para (l, m) si ésta es localmente Lipschitz, estrictamente creciente, C iferenciable y satisface: 1) Sat(x; l, m) = x cuano x l ) Sat(x; l, m) < m para too x IR. La siguiente función saturación es un caso especial e una saturación lineal escrita en la Definición : 8 >< l + (m l) tanh( x+l m l ) si x < l Sat(x; l,m) = x si x l. (1) >: l + (m l)tanh( x l m l ) si x > l Las n funciones saturación son agrupaas en una función vectorial e saturaciones e n 1 enotaa por Sat(x; l, m) = [Sat(x 1; l 1, m 1) Sat(x ; l, m )... Sat(x n; l n, m n) T one x, l, m IR n : esto es, x = [x 1 x...x n T, l = [l 1 l...l n T y m = [m 1 m...m n T. Consiérese el moelo inámico el robot (1). Supóngase que caa accionaor en las articulaciones es capaz e suministrar un par máximo τi max e moo que: τ i τ max i, i = 1,..., n (11) one τ i es el i-ésimo elemento el vector τ. En otras palabras, si u i representa la señal e control aplicaa al accionaor relacionao con el i-ésimo eslabón, entonces τ i = τi max sat ( ui τ max i ) (1) para i = 1,..., n, one sat( ) es una función saturación ura aa en (8). Hipótesis 1. El par máximo τi max e caa accionaor satisface la siguiente conición: τ max i > γ i (1) one γ i fue efinia en la Propiea, con i = 1,,..., n. El problema e control es iseñar un controlaor que calcule el par τ IR n aplicao a las articulaciones, satisfacieno la conición (11), tal que las posiciones articulares el robot q tienan asintóticamente a la posición eseaa q. III. ESQUEMA DE CONTROL PROPUESTO. El controlaor PID no lineal con pares acotaos que se propone tiene la forma: τ = Sat[K pv[sat(k pp q + w ; l pi, m pi) q; l p, m p (14) Z t w = K ip q r (15) Done K pv, K pp y K ip son matrices iagonales efinias positivas. Esta ley e control está formaa por un lazo externo proporcional-integral PI e posición y un lazo interno proporcional P e velocia que consiera las saturaciones propias a las salias e las etapas e control (ver Figura 1), one Sat[K pv [Sat(K pp q + w; l pi, m pi ) q; l p, m p es un vector cuyos elementos son funciones saturación estrictamente crecientes tal como fueron escritas en la

3 Congreso Anual 9 e la Asociación e México e Control Automático. Zacatecas, México. Computaora Servomanejaor q + K pp ~ + q v ~ v q K pv Robot + q. + K ip Figura 1. Esquema e un control PID lineal saturao para robots manipulaores. Definición, para alguna (l p, m p ). La ley e control (14) puee reescribirse como τ = Sat[Sat(K p q + w; l pi, m pi) K v q; l p, m p (16) Z t w = K i q r (17) one K p = K pv K pp, w = K i t qr, K i = K pv K ip, K v = K pv, l pi = K pv l pi y m pi = K pv m pi, y satisface la siguiente hipótesis. Hipótesis. Los límites e las saturaciones e los lazos PI y P satisfacen: γ i < l pii < m pii < l pi < m pi < τ max i. (18) IV. PRINCIPAL CONTRIBUCIÓN IV-A. Sistema en lazo cerrao Sustituyeno (16) en la inámica el robot (1), se obtiene q q M(q) = 1 [Sat[Sat(K p q + w) K v q (19) t C(q, q) q g(q) w K i q one se han eliminao en la notación los límites e saturación con el fin e hacerla mas sencilla. La ecuación e lazo cerrao (19) es una ecuación iferencial autónoma con un único punto e equilibrio en [ q T q T w T = [ T T g(q ) T T IR n. Con el fin e mover el punto e equilibrio e (19) al origen, aplicamos el siguiente cambio e variables x = w g(q ). El nuevo sistema en lazo cerrao está ao por: q t 6 4 q = M(q) 1 [Sat[Sat(K p q + x + g(q )) K v q C(q, q) q g(q) x K i q () Con el fin e estuiar el sistema en lazo cerrao () como un sistema singularmente perturbao, éste puee ser escrito como os ecuaciones iferenciales e primer oren: t x = K i q (1)» = 4 M(q) t q q 1 [Sat[Sat(K p q + x + g(q )) 5 () 7 5 Si se selecciona una matriz e ganacia integral K i = εk i, one K i es una matriz iagonal efinia positiva y ε > es un parámetro pequeño y sea t = εt una nueva escala e tiempo, one t es un escala e tiempo mas lenta que t, poemos reescribir (1)-() como t x = K i q () ε» t q q = 4 M(q) 1 [Sat[Sat(K p q + x + g(q )) 5(4) one, en el siguiente análisis y en base a la teoría e perturbaciones singulares, x sera tratao como un parámetro fijo en (4), ebio a su lenta variación. IV-B. Puntos e equilibrio e (4) Consierano a x como un parámetro fijo, los puntos e equilibrio e (4) son las soluciones el sistema no lineal: q = (5) Sat[Sat[K p q + x + g(q ) g(q) = (6) one e acuero a la Definición y la Hipótesis, (6) puee ser escrito como K p q+x+g(q ) g(q) = la cual, utilizano el Teorema e Contracción e Mapas (Khalil, ), se puee garantizar que tiene una única solución q = h 1 (x) IR n, bajo la siguiente conición: λ min {K p } > k g. (7) Tenemos pues, que para caa x IR n el único punto e equilibrio e (4) es: [ [ h1 (x) = = h(x) IR q q n. (8) Consecuentemente tenemos que: x = h 1 ( q) = K p q g(q ) + g(q) (9) el cual usaremos posteriormente. IV-C. Sistema singularmente perturbao general Con el propósito e proceer con el análisis e estabilia, moveremos el punto e equilibrio e (4) al origen. Con este propósito, haremos el siguiente cambio e variables: [ y1 (t ) y (t ) = [ q(t ) h 1 (x) q(t ) ()

4 Congreso Anual 9 e la Asociación e México e Control Automático. Zacatecas, México. Entonces, ()-(4) ahora pueen se representaos por el siguiente sistema singularmente perturbao ε t t x = K i [y 1 + h 1(x) (1) h i y y 1 h ε 1 (x) x K i [y 1 + h1(x) = M(q y h 1(x)) 1 6 [Sat[Sat[K p(y y 4 1 h 1(x)) + x + g(q ) 7 K v q C(q y 1 h 1(x), y )y 5 g(q y h 1(x)) () V. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE UN SISTEMA PERTURBADO De acuero con la teoría e perturbaciones singulares, el origen e ()-(4) es asintóticamente estable si y sólo si el origen e (1)-() es asintóticamente estable. Por simplicia, vamos a iviir el análisis e estabilia en os partes (V-A y V-B): V-A. Análisis e estabilia e un controlaor PD saturao con compensación eseaa e gravea más un vector constante x. Sea un controlaor PD saturao con compensación eseaa e gravea más un vector constante x τ = Sat[Sat(K p q + x + g(q )) K v q () Si sustituimos () en la inámica el robot (1), se tiene» = 4 M(q) t q q 1 [Sat[Sat(K p q + x + g(q )) 5 (4) cuyos puntos e equilibrio son la solución simultánea e la ecuaciones (5)-(6), las cuales tienen como única solución [ q T q T = [h 1 (x) T T T siempre que λ min {K p } > k g. 1) Análisis e estabilia asintótica. Para llevar a cabo el análisis e estabilia el equilibrio e (4), proponremos la siguiente función caniata e Lyapunov: one W 1( q) = W( q, q) = 1 qt M(q) q + W 1 ( q) (5) nx i=1 Z qi nx i=1 Sat[Sat(K pi r i + x i + g i(q ))r i Z h1i (x) Sat[Sat(K pi r i + x i + g i(q ))r i +U(q q) U(q h 1(x)) Se puee probar que la función caniata e Lyapunov (5) es una función efinia positiva y raialmente esacotaa siempre que λ min {K p } > k g. La erivaa temporal e W( q, q) a lo largo e las trayectorias el sistema en lazo cerrao (4) resulta ser: Ẇ( q, q) = q T Sat[Sat(K p q + x + g(q )) K v q T Sat[Sat(K p q + x + g(q )). (6) Si usamos la siguiente propiea e una función saturación lineal q i[sat(z i q i) Sat(z i) Sat(z i q i) Sat(z i) tenemos que Ẇ( q, q) está acotaa superiormente por: Ẇ( q, q) Sat[Sat(K p q + x + g(q )) K v q Sat[Sat(K p q + x + g(q )). Por lo tanto, Ẇ( q, q) es una función semiefinia negativa y puee concluirse estabilia el punto e equilibrio [ q T q T T = [h 1 (x) T T T IR n e (4). Ahora, usano el Principio e Invariancia e LaSalle, poemos concluir que el punto e equilibrio es asintóticamente estable globalmente. Con este fin, efinamos Ω como: Ω = { q, q IR n : Ẇ( q, q) = } = { q =, q IR n } De (4) tenemos que q(t) q(t) que a su vez implica que Sat[Sat(K p q + x + g(q )) g(q q), y tomano en cuenta a (7) se puee asegurar que Sat[Sat(K p q + x + g(q )) g(q q) q h 1(x) Por lo tanto, utilizano el Principio e Invariancia e LaSalle, se puee concluir que el punto e equilibrio [ q T q T T = [h 1 (x) T T T IR n e (4) es asintóticamente estable globalmente. ) Análisis e estabilia exponencial local. Proceieno con el análisis e estabilia e esta sección, retomaremos un lema presentao en (Kelly, 1995). Lema 1: Consiérese el sistema no lineal: ẏ = A(y)y + B(y)f(y), (7) one y IR m, A(y) y B(y) son funciones e m m no lineales e y, y f(y) es una función e m 1 no lineal e y. Supongase que f() = ; entonces, y = IR m es un punto e equilibrio e (7). Entonces, la linealización el sistema (7) alreeor el equilibrio y = está aa por: y = [ A() + B() f() y y. (8) Con el propósito e probar que el punto e equilibrio el sistema en lazo cerrao (4) es exponencialmente estable localmente, consiérese la linealización el sistema en lazo cerrao alreeor el punto e equilibrio [ q T q T T = [h 1 (x) T T T IR n. En las vecinaes el punto e equilibrio, el sistema en lazo cerrao (4) puee ser representao por: M(q) q +C(q, q) q +g(q) K p q +K v q x g(q ) = (9) Realizano un cambio e variables y 1 = q h 1 (x) y y = q nos conuce a: M(q y 1 h 1 (x))ẏ + C(q y 1 h 1 (x),y )y +g(q y 1 h 1 (y)) K p[y 1 + h 1 (x) + K vy x g(q ) = one el origen es el único punto e equilibrio cuano (7) se cumple. Es posible escribir la ecuación anterior como: ẏ = A(y)y + B(y)f(y). (4)

5 Congreso Anual 9 e la Asociación e México e Control Automático. Zacatecas, México. El sistema linealizao e (4) alreeor el punto e equilibrio y = puee ser obtenio utilizano el Lema 1, el cual resulta ser:» y1 t y =» I M(q h 1(x)) 1 K M(q h 1(x)) 1 K v {z } J» y1 y one K esta ao por K = K p g(q q) y 1. Nótese que si (7) se satisface, entonces K es una matriz efinia positiva. Para analizar la estabilia el origen (41), se propone la siguiente función caniata e Lyapunov: W L (y 1, y ) = 1 yt M(q h 1(x))y + 1 yt 1 K y 1 (4) la cual es una función efinia positiva. La erivaa temporal a lo largo e las trayectorias e (41) está aa por Ẇ(y 1, y ) = y T K vy el cual es una función semiefinia negativa. Con la finalia e concluir estabilia asintótica global el sistema (41), utilizaremos el Principio e Invariancia e LaSalle. Tenieno en mente lo anterior, efínase Ω = {y 1, y IR n : Ẇ(y 1, y ) = } = {y =, y 1 IR n }. De (41) poemos notar que y (t) ẏ (t) lo cual a su vez implica que M(q h 1 (x)) 1 K y 1, one se puee asegurar que M(q h 1 (x)) 1 K y 1 y 1 si (7) se cumple. Por lo tanto, el Principio e Invariancia e LaSalle se puee concluir que el origen el sistema lineal (41) es asintóticamente estable globalmente. Esto implica que los valores propios e J en (41) están localizaos en el lao izquiero el plano complejo (ver Teorema 4.5, pp. 14 (Khalil, )), y por lo tanto, el origen el sistema lineal (41) es exponencialmente estable. La estabilia exponencial el origen el sistema lineal (41) implica la estabilia exponencial local el origen para el sistema no lineal (4) (ver Teorema 4.1, pp. 161 (Khalil, )). Finalmente se puee concluir que el punto e equilibrio el sistema no lineal (4) es exponencialmente estable localmente. Por lo tanto, se ha probao lo siguiente: Proposición 1. Bajo la Hipótesis, y (7), la ley e control () garantiza estabilia asintótica global y estabilia exponencial local el sistema en lazo cerrao (4) con τ i (t) τ max i para too i = 1,,..., n y t. V-B. Análisis e estabilia el sistema singular perturbao. Para probar estabilia exponencial el origen e ()- (4), retomaremos el siguiente teorema (Teorema 11.4, pp. 456 (Khalil, )): Teorema 1: Consierese el sistema singularmente perturbao (41) ẋ = f(t, x, z, ε) (4) εż = g(t, x, z, ε) (44) Supóngase que las siguientes hipótesis se satisfacen para too (t, x, ε) [, ) B r [, ε, con B r = {x IR n : x r}, a) f(t,,, ε) = y g(t,,, ε) =. b) La ecuación = g(t,,, ε) tiene una raiz aislaa z = h(t, x) tal que h(t,) =. c) Las funciones f, g, h y sus erivaas parciales hasta el seguno oreen estan acotaas por z h(t, x) B ρ, con B ρ = {y IR n : y ρ}. ) El origen el sistema reucio ẋ = f(t, x, h(t, x),) (45) es exponencialmente estable. e) El origen el sistema capa-frontera y t = g(t, x, y + h(t, x),) (46) es exponencialmente estable, uniformemente en (t,x). Entonces, existe ε > tal que para too ε < ε, el origen e (4)-(44) es exponencialmente estable. Ahora se presentará nuestra principal contribución. Proposición. Consierese la inámica el robot (1) en lazo cerrao con la ley e control PID saturaa (14). Bajo la Hipótesis y (7), el origen el sistema en lazo cerrao ()-(4) es exponencialmente estable localmente, y aemás, el punto e equilibrio e (19) es exponencialemnte estable localmente. Demostración. Nótese que (4)-(44) corresponen a ()- (4), respectivamente con: f(t, x, z, ε) = Ki q g(t, x, z, ε) = 4 M(q) 1 [Sat[Sat(K p q + x + g(q )) 5» z = IR q q n Con la intención e completar el análisis e estabilia, verifiquemos caa hipótesis el Teorema 1. a) Fácilmente puee verificarse esta hipótesis sustituyeno x = q = q = ()-(4). b) Esta hipótesis fácilmente se cumple ya que la raíz e g(t, x, z, ε) a sio obtenia en la sección IV-B. Por otro lao, cuano x =, e (9) tenemos que = h 1 1 = [K p q + g(q ) g(q) el cual bajo la conición (7) tiene como única solución a q =. Por lo tanto, h() = [h 1 () T T T = [ T T T y e esta manera la hipótesis b) está verificaa. c) Esta hipótesis es fácil e verificar ya que el lao erecho e ()-(4) es C. ) Sustituyeno la raíz aislaa z = h(x) y ε = en (), esto es q = h 1 (x) y q =, obtenemos el sistema reucio t x = K i h 1 (x) (47)

6 Congreso Anual 9 e la Asociación e México e Control Automático. Zacatecas, México. cuyo único equilibrio resulta e h 1 (x) = y está ao por x = h 1 () = siempre que (7) se cumpla. Para analizar el origen el sistema reucio (47), efínase la funcion caniata e Lyapunov V (x) = 1 xt (K i ) 1 x (48) la cual satisface 1 λmax{(k i ) 1 } x V (x) 1 λmin{(k i ) 1 } x (49) y por lo tanto es una función efinia positiva y raialmente esacotaa. La erivaa temporal a lo largo e las trayectorias e (47) está ao por: Consiérese (9) con q = h 1 (x): V (x) = x T h 1 (x) (5) x = K p h(x) g(q ) + g(q h(x)) (51) el cual sustituyeno en (5) se tiene h T 1 x = h 1 (x) T [ K ph(x) g(q ) + g(q h(x)) = h 1 (x) T K ph 1 (x) + h 1 (x) T [ g(q ) + g(q h 1 (x)) [λ min {K p} k g h 1 (x) en one se ha utilizao la propiea. Por lo tanto V (x) [λ min {K p } k g h 1 (x) (5) Ya que hemos supuesto que se cumple (7), V (x) es efinia negativa globalmente, ya que h 1 () = y por lo tanto el origen e (47) es asintóticamente estable globalmente. Aemás, se tiene que: x = x T x Entonces: = [ K ph 1 (x) g(q ) + g(q h 1 (x)) T [ K ph 1 (x) g(q ) + g(q h 1 (x)) = h 1 (x) T K p h 1(x) +h 1 (x) T K p[ g(q ) + g(q h 1 (x)) +[ g(q ) + g(q h 1 (x)) T [ g(q ) + g(q h 1 (x)) [λ max{k p} + k gλ máx {K p} + k g h 1 (x) = [λ max{k p} + k g h 1 (x) y entonces tenemos h 1 (x) 1 [λ max + k g x (5) V (x) [λ min + k g [λ max + k g x (54) Por lo tanto, e (49) y (54) se puee concluir que el origen e (47) es exponencialmente estable en forma global (ver Teorema 4.1, p. 154 (Khalil, )). Lo anterior ha verificao la hipótesis ). e). El sistema capa-frontera (46) correspone al sistema robótico (4) el cual ya se emostró su estabilia exponencial en la subsección V-A. Finalmente, se pueo concluir, en base al Teorema 1, que el punto e equilibrio el sistema en lazo cerrao (19) es exponencialmente estable localmente para una ε suficientemente pequeña. VI. CONCLUSIONES En este artículo se presentó un nuevo controlaor PID lineal saturao el cual consiste en un controlaor PID clasico consierano las saturaciones e la electrónica e la computaora e control y los servomanejaores. El análisis e estabilia el sistema en lazo cerrao fue realizano con ayua e la teoria e perturbaciones singulares. Se puo probar estabilia exponencial local el punto e equilibrio el sistema en lazo cerrao. También se garantiza, que sin importar las coniciones iniciales, los pares en los accionaores se mantenrán en sus límites permitios. VII. AGRADECIMIENTOS Este trabajo a sio parcialmente apoyao por DGEST y CONACyT. REFERENCIAS Alvarez-Ramírez, J., R. Kelly y I. Cervantes (). Semiglobal stability of saturate linear PID control for robot manipulators. Automatica 9, Alvarez-Ramírez, J., V. Santibáñez an R. Campa, (8). Stability of robot manipulators uner saturate PID Compensation. IEEE Transactions on Control Systems Technology 16, Arimoto S., (1995). Funamental problems of robot control: Part I, Innovations in the realm of robot servo-loops. Robotica 1, Craig, J. J. (1998). Aaptive Control of Mechanicals Manipulators. Aison-Wesley. Reaing MA. Gorez R. (1999). Globally stable PID-like control of mechanical systems. Systems Control Letters 8, Kelly, R. (1995). Regulation of Robotic Manipulators: Stability Analysis via the Lyapunov s First Metho Reporte Interno CICESE. Ensenaa, BC. Kelly, R. y V. Santibáñez, (1998). Global Regulation of Elastic Joint Robots Base on Energy Shaping. IEEE Trans. on Automatic Control 1, Khalil, H. (). Nonlinear Systems. Prentice Hall. NJ. Meza, J. L., y V. Santibáñez, (1999). Analysis via passivity theory of a class of nonlinear PID global regulators for robot manipulators. 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