Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas MÉTODO SIMPLEX. Min c x Sujeto a A x =b x b

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Luis Miguel Carrasco Herrero
hace 6 años
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1 Considere el problema de programación lineal: MÉTODO SIMPLEX Min c x Sujeto a A x =b x b El programa lee problemas en su forma estándar y aplica el método Simplex en Formato Tableau. Para la elección de la base, utiliza el método de dos Fases. Lo primero que hace es buscar una base inicial si dentro de la Matriz A hay una submatriz B que sea la identidad: EsIdentidad[a_]:=Module[ {i,j, f=length[a], c=length[a[[1]]], r,p=1 }, r=table[0,{f} For[i=1,i c,i++, If[Total[a[[All,i]]] 1&&Max[a[[All,i]]] 1, p=norm[position[a[[all,i]],1] r[[p]]=i; ] r] Esta función devuelve un vector r que contiene el orden de los vectores columna en la matriz, tal que B formada en ese orden sea la matriz identidad. Por ejemplo, Si el vector r no contiene entradas iguales a cero, eso significa que hay una base inicial, en caso contrario se debe aplicar el método de Dos Fases, agregando el número de variables artificiales que sean necesarias: EligeBase[C_,A_,b_]:=Module[ {T, var=length[a[[1]]], rest=length[a], base=esidentidad[a],pos,cant,b,c1,i,x,filas,vc,cb,aux,cols,p1,k}, If[Min[base]==0,

2 pos=position[base,0(*fila en la que falta '1'*) cant=length[pos (*Numero de variables artificiales*) B=Table[0,{rest},{var+cant} (*Nueva matriz*) C1=Table[0,{var+cant} (*Nuevo vector de costos*) X=Table[0,{cant} B[[All,1;;var]]=A[[All,All]] ;(*Llena matriz aumentada con elementos de A*) (*Completa la Identidad y llena nuevo vector de costos*) For[i=1,i cant,i++, B[[pos[[i]],var+i]]=1; C1[[var+i]]=1; X[[i]]=Subscript[x,i+var base=esidentidad[b T=PreparaTableau[C1,B,b,base T[[2,var+cant+2]]=0; (*En la Fase I el costo es 0*) Print["Fase I" Print["Variables Artificiales: ",X Print[Style[Grid[T,Background {{Blue},{None,Yellow}},Dividers All,ItemSiz e {3,1}]] (*Para obtener zk-ck*) For[i=1,i<=Length[base],i++, If[base[[i]]>var, T[[2,2;;(var+cant+2)]]+=T[[2+i,(2;;var+cant+2)] ] Print[Style[Grid[T,Background {{Blue},{None,Yellow}},Dividers All,ItemSiz e {3,1}]] base=simplex1[t,base (*Aplica Simplex a Problema Artificial: FASE I*) Print["Fase II var: " cols=length[ts[[1]] For[i=1,i Length[base],i++, If[base[[i]]>var&&TS[[i+2,cols]] 1 0, Print["El Problema Original No Posee Puntos Extremos"Abort[ ] (*Modifica Tableau de acuerdo a la base*) k=0; For[i=1,i Length[base],i++,(*Cambio Length por cant*) If[base[[i]]>var, TS=Drop[TS,{i+2+k} k--; TS=Drop[TS,None,{var+2,var+cant+1} aux=var; k=0; For[i=1,i Length[base],i++, If[base[[i+k]]>var, base=drop[base,{i+k}

3 k--; Print[Style[Grid[TS,Background {{Blue},{None,Yellow}},Dividers All,ItemSi ze {3,1}]] (*Calcula zk-ck*) filas=length[ts vc=length[base cb=table[0,{vc} For[i=1,i<=vc,i++, cb[[i]]=c[[base[[i]]]] For[i=1,i<=var,i++, If[Position[base,i] {}, TS[[2,i+1]]=cb.TS[[3;;filas,i+1]]-C[[i]] ] For[i=1,i<=vc,i++, TS[[2,var+2]]+=(C[[base[[i]]]]*TS[[i+2,var+2]]) Print[Style[Grid[TS,Background {{Blue},{None,Yellow}},Dividers All,ItemSi ze {3,1}]] fase=1; base] Esta función agrega vectores columna a la matriz A, de tal manera que haya una submatriz B que sea la Identidad, una vez que se tiene esta nueva matriz, se aplica la función EsIdentidad y ya se tiene un vector r con la base inicial para la Fase I. Dentro de la Función EligeBase, se prepara, además el Tableau inicial para esta fase, y se aplica el método Simplex a este Tableau, se hace de esta manera porque la función que realiza los cálculos en el Tableau, Simplex1, genera nuevos Tableau que son guardados en una matriz no local, lo que permite tener acceso a ese último Tableau, sin necesidad de aplicar otra función. De esta manera la función EligeBase regresará no solo la base para problemas que no cuentan con base inicial, sino, también el Tableau inicial para aplicar la fase II, ya quitando las variables artificiales, y aplicando los criterios correspondientes. La función que genera el Tableau inicial, dependiendo de la base es: PreparaTableau[Costo_,MatrizInicial_,b_,base_]:=Module[ {Tableau, var=length[matrizinicial[[1]]], rest=length[matrizinicial],i,j, var1,rest1 },

4 Tableau=Table[0,{rest+2},{var+2} For[i=3,i rest+2,i++, Tableau[[i,1]]=Subscript[x,base[[i-2]]] (*Numero de variables*) For[i=2,i var+1,i++, Tableau[[1,i]]=Subscript[x,i-1] (*Llena Tableau Inicial*) For[i=3,i rest+2,i++, For[j=2,j var+1,j++, Tableau[[i,j]]=MatrizInicial[[i-2,j-1] Tableau[[2,j]]=-Costo[[j-1] Tableau[[i,var+2]]=b[[i-2]] ] For[i=1,i rest,i++, Tableau[[2,var+2]]+=(Costo[[base[[i]]]]*Tableau[[i+2,var+2]]) Tableau] Esta función no hace más que crear una matriz del tamaño necesario y llenar con la matriz, A, el vector de Costos y el vector b. La función que realiza todos los cálculos en el tableau es: Simplex1[Tableau_,base_]:=Module[ {filas=length[tableau], cols=length[tableau[[1]]], i,j,entra,sale,p,k}, Base=base;(*Variable No local*) j=entra[tableau If[Tableau[[2,j]]>0, i=sale[tableau,j]+2; TS=Pivoteo[Tableau,i,j (*Variable No-Local*) sale=base[[i-2]entra=j-1; p=norm[position[base,sale] Base[[p]]=entra; For[k=3,k filas,k++, TS[[k,1]]=Subscript[x,Base[[k-2]]] Print[Style[Grid[TS,Background {{Blue},{None,Yellow}},Dividers All,ItemSize {3,1} ]] Simplex1[TS,Base Base] Esta función además de realizar todas las operaciones necesarias, lleva el control de la base, en caso de que no se alcance el óptimo en la primera ejecución. Para decidir cuando se detiene, la

5 función verifica si todos z k c k > 0. Para decidir que variable entra y que variable sale, utiliza las siguientes funciones auxiliares: Entra[Tableau_]:=Module[ {cols=length[tableau[[1]]]}, Norm[Ordering[Tableau[[2,2;;cols-1]],-1]]+1 ] Sale[Tableau_,e_]:=Module[ { cols=length[tableau[[1]]], filas=length[tableau],min,s,p,i,j,r,c=0}, min=table[0,{filas-2} For[i=3,i<=filas,i++, If[Tableau[[i,e]]>0, min[[i-2]]=tableau[[i,cols]]/tableau[[i,e]], min[[i-2]]=null; c++;] (*Tiene Solucion?*) If[c==filas-2,Print["El Problema no Tiene Solución"Abort[ s=norm[ordering[min,1] r=length[position[min,min[[s]]] p=position[min,min[[s]] (*Regla Lexicografica*) If[r!=1, For[j=2,j<=cols,j++, For[i=1,i<=r,i++, min[[p[[i]]]]=tableau[[p[[i]]+2,j]]/tableau[[p[[i]]+2,e]] s=norm[ordering[min,1] r=length[position[min,min[[s]]] p=position[min,min[[s]] If[r==1,j= cols ] s] La función que une todos los procesos es: Simplex[C_,A_,b_]:=Module[ {T,s,base,X,xn,z,i}, fase=0; base=eligebase[c,a,b If[fase==1, base=simplex1[ts,base], T=PreparaTableau[C,A,b,base Print[Style[Grid[T,Background {{Blue},{None,Yellow}},Dividers All, ItemSize {3,1}]] base=simplex1[t,base

6 X=Table[0,{Length[base]} xn=table[0,{length[base]} For[i=1,i<=Length[base],i++, X[[i]]=Subscript[x,base[[i]] xn[[i]]=ts[[i+2,length[ts[[1]]]] z=ts[[2,length[ts[[1]]]] Print["Se alcanza el óptimo en:" Print[X,"=",xn Print["Con un valor de la función de costos de: ",z ] Si el problema no tuviera base inicial, entonces la función EligeBase guardaría una variable no local fase con valor de 1 para indicar a esta ultima función que solo se tiene que aplicar el método simplex al tableau con la base que encontró, en caso contrario se genera una nuevo Tableau con la base inicial.

7 EJEMPLO: Una compañía fabrica estufas y hornos. La compañía tiene tres almacenes y dos tiendas de venta al menudeo. En los Tres almacenes se dispone, respectivamente de 60, 80 y 50 estufas, y de 80, 50 y 50 hornos. En las tiendas de venta al menudeo se requieren, respectivamente 100 y 90 estufas y 60 y 120 hornos. En la tabla siguiente se muestran los costos de envío por unidad de los almacenes a las tiendas de venta al menudeo, los cuales se aplican tanto a las estufas como a los hornos: Tienda Almacén Aplique el método simplex para determinar el patrón de envíos que minimiza el total de transporte. Solución: Sean x i y x i+6 el número de estufas y hornos respectivamente Min Sujeto a

14 Con un valor de la función de costos de: 1110

15 De acuerdo a la información proporcionada por el Simplex, la forma óptima de realizar los envíos es: TIENDA 1 TIENDA 2 ALMACEN ESTUFAS HORNOS ESTUFAS HORNOS De esta manera se cumple con las restricciones de disponibilidad en los almacenes y con la demanda por tienda. Al realizar los envíos de esta manera se tendría un costo óptimo de 1110.

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