ESTRUCTURAS IV (C108) ROTURA

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1 ESTRUCTURAS IV (C108) PLACAS - TEORÍA A DE LAS LÍNEAS L DE ROTURA Juan Francisco Bissio /

2 Coportaiento Elasto-Plástico real (1D) B C A ε y A ε y D Fase Elástica: Las deforaciones se recuperan y se conserva la energía Fase Plástica: Deforaciones reanentes + Disipación de energía (calor) El coportaiento elástico de un aterial se define por su capacidad de recuperar totalente las deforaciones causadas por una acción, cuando la isa se retira copletaente. En la figura de la izquierda, el punto A representa el estado sin carga. Si se aplica una acción que lleva el nivel tensional al punto B, situado dentro del rango de coportaiento elástico, y luego se retira la acción, el estado final retorna al punto A. Durante la fase de carga, la energía elástica alacenada (el área triangular bajo la curva) se recupera totalente durante la descarga, por lo tanto el proceso es CONSERVATIVO. Es iportante aclarar que, para que esto ocurra, el segento entre A y B no necesariaente debe ser recto, es decir, se puede tener un coportaiento elástico pero no lineal, resultando igualente conservativo. Si el nivel tensional se lleva al punto C, dentro de la zona de coportaiento plástico, la eliinación de la carga (σ = 0) lleva al punto D, con una deforación reanente. La energía acuulada durante la carga es el área bajo la curva, hasta el punto D. Durante el proceso de descarga solaente se recupera una parte de esa energía, pero el resto se ha disipado durante el proceso, principalente en fora de calor y eventualente algo de sonido. El proceso es, entonces, NO CONSERVATIVO, característico del coportaiento plástico en el que a nivel de aterial, ocurren daños irreversibles. 2

3 Coportaiento Idealizado (1D) σ Elasto-Plástico σ Rígido-Plástico σ pl σ pl ε Plast ε Plast 0.2% ε y ε ult 12% ε ε ult 12% ε Es interesante observar que, si se espera que el nivel tensional del aterial no supere su líite elástico, es posible analizar el coportaiento ediante una relación constitutiva tipo Hooke. Si, en cabio, se espera que el aterial incursione en la fase plástica, resulta necesario cabiar la relación constitutiva a una que describa copletaente el coportaiento del aterial. Para facilitar el análisis, se suele siplificar la curva de σ-ε del aterial, que en general es coo el de las figuras de la página anterior, a relaciones siples bilineales coo las que se uestran arriba. En la figura de la izquierda se uestra una relación de tipo Elastoplástico. El cociente entre la deforación específica últia (ε ult ) y la de plastificación (ε y ) se denoina DUCTILIDAD, y es un paráetro o propiedad uy iportante del aterial. En uchos casos, coo el del tea que nos ocupa, es posible considerar una curva ás siplificada aún, coo al de la derecha, en la que la raa elástica se ha eliinado, definiendo un coportaiento Rígido-Plástico. Esta siplificación es válida cuando la ductilidad es elevada, es decir, cuando ε ult es ucho ayor que ε y. Los aceros de construcción, coo los utilizados en perfiles lainados y barras de refuerzo, cuplen en general esta condición. 3

4 Criterio de Plastificación (3D) Descoposición del Tensor de Tensiones: Aceros: σ = σn (hidrostático) + σo (Desviador) La plastificación depende únicaente de σo Friccionales (suelos con fricción, Horigón siple): La plastificación depende de σo, pero de un odo que varía con σn El análisis del coportaiento plástico en 3D es considerableente ás coplicado que el caso unidiensional analizado anteriorente, y puede ocupar el desarrollo de un curso entero. Se encionará solaente que los criterios que periten analizar la plastificación de un aterial en 3D aplican en general la descoposición del tensor de tensiones ya vista en el curso, en su coponente hidrostática y desviante. Para ateriales puraente cohesivos coo el acero, la plastificación depende exclusivaente de la coponente desviante σo. Los ateriales friccionales, coo el horigón, y los suelos con fricción interna, la plastificación se define a partir de la coponente desviante σo, pero el nivel de confinaiento, definido por σn, odifica el ubral de plastificación. Un ejeplo siple de este coportaiento es la ley de roce de Coulob o Mohr-Coulob: El deslizaiento está provocado por los esfuerzos tangenciales (σo), pero el nivel ínio de esfuerzo tangencial necesario para iniciar el deslizaiento auenta con el esfuerzo noral (σn) en la superficie de deslizaiento potencial. 4

5 Flexión con plastificación -Acero M Acero M pl σ pl 1/r σ pl El coportaiento plástico a nivel del aterial influye, naturalente, en el coportaiento a nivel de sección o eleento estructural. Por ejeplo para el caso de la Flexión, que es el esfuerzo predoinante en las placas, la plastificación del aterial de la sección transversal no se produce al iso tiepo para todas las fibras de la isa. Para el coportaiento lineal de una viga o placa, la relación entre Moento (M) y Curvatura (1/r), está definida por la teoría vista en los prieros cursos de estructuras, resultando: M = EJ. (1/r) Es decir, una relación lineal y elástica, representada en la raa lineal del gráfico superior. Para un deterinado M, la fibra ás solicitada llega a la tensión de fluencia del aterial, pero el resto de la sección se antiene en fase elástica. Si M sigue auentando, progresivaente se plastifican ás fibras de la sección, haciendo que la relación entre M y (1/r) se convierta en no lineal. Cuando TODAS las fibras se encuentran en estado plástico, el oento no puede increentarse, llegando a su valor áxio Mpl. A partir de allí. La curvatura puede increentarse sin auento de M. configurando lo que se denoina una RÓTULA PLÁSTICA. 5

6 Flexión con plastificación Horigón Arado M Horigón Arado M n M y 1/r σ c f c* M y M n A s f y A s f y En el caso de una sección de horigón arado, copuesta por dos ateriales (horigón y barras de acero), el análisis es un poco ás coplicado, pero el funcionaiento es conceptualente siilar. En una priera fase, cuando el horigón no tiene fisuras, el coportaiento es siilar al de cualquier sección hoogénea. Posteriorente la sección se fisura y pierde rigidez, pero anteniéndose el acero por debajo del líite de fluencia. El horigón copriido de la parte superior (izquierda, abajo, izquierda) tiene un coportaiento lineal y por eso el diagraa de tensiones es triangular. Al increentar M, eventualente el acero entra en fluencia (para un oento My en el gráfico), y la sección pierde rigidez, hasta que se llega al oento de la rotura, cuando el horigón del bloque copriido tabién se encuentra plastificado (bloque rectangular, izquierda, abajo, derecha). En las secciones de horigón arado soetidas a flexión siple, la ductilidad depende fuerteente de la cantidad de acero que contienen. Los gráficos de la derecha uestran los diagraas Moento-Curvatura de dos secciones de igual ancho y altura, pero la superior tiene 3 veces enos acero que la de abajo. Obviaente, resiste enos (77kN versus 212 kn), pero su ductilidad es ucho ayor. 6

7 Flexión con plastificación Coportaiento Asuido M M pl M n 1/r 1/r ult ε c ult f c* 1/r ult = [ ε s ult ε c ult ] / d d M n ε s ult A s f y A los efectos del análisis de placas ediante el étodo de las Líneas de Rotura, se asue que el coportaiento de las secciones es rígidoplástico, es decir, que todas las secciones no experientan deforaciones específicas hasta que, en un punto, se plastifican copletaente, convirtiéndose a partir de ese oento en una rótula plástica. Esta hipótesis iplica se basa en la suposición de que las curvaturas elásticas son ucho ás pequeñas que la curvatura últia (1/r) ult. En el caso de placas de acero, esta hipótesis es válida para los que noralente se utilizan en perfiles y planchuelas de calidad F24. Cuando se trata de placas de horigón arado, se requiere que las cuantías de acero de refuerzo no sean excesivas. Los valores de referencia se estudian en las aterias específicas. 7

8 Teoreas de Análisis Plástico HIPÓTESIS: - Todas las cargas externas se increentan proporcionalente al iso tiepo - El coportaiento del aterial es Rígido-Plástico - Las deforaciones son pequeñas Se pueden enunciar dos teoreas: 1) TEOREMA DEL LÍMITE INFERIOR (TLI) o TEOREMA ESTÁTICO 2) TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR (TLS) o TEOREMA CINEMÁTICO El análisis plástico de todos los tipos de estructuras (de barras, placas, cáscaras y voluétricas) se basa en dos pilares fundaentales, que son los 2 Teoreas del Análisis Plástico cuyos nobres se citan arriba. Adicionalente, en el caso del análisis de placas que se estudia en este curso, se agregan las hipótesis adicionales de aplicación onotónica de cargas, coportaiento rígido plástico de las secciones, y pequeñas deforaciones. 8

9 Teoreas de Análisis Plástico 1) TEOREMA DEL LÍMITE INFERIOR (TLI) o TEOREMA ESTÁTICO: Una carga externa calculada a partir de una distribución de esfuerzos internos adoptada, que cuple las condiciones: - Estar en equilibrio con la carga aplicada - No superar en ningún punto el líite plástico, Es siepre MENOR o igual que la verdadera carga de colapso. Por lo tanto es SEGURA. OBS: Para estar en equilibrio con la carga externa, solaente debe verificarse: 2 Mx / x My / y Mxy / x x = -q Observar que las infinitas soluciones posibles incluyen a la solución de la teoría elástica. El TLI iplica encontrar un esquea de Esfuerzos Internos (Moento, Corte, etc) que sipleente cupla las ecuaciones de equilibrio interno. En el caso de las placas planas, la ecuación diferencial de equilibrio es la que se uestra arriba. CUALQUIER juego de funciones MX(x, y), My(x,y), Mxy(x,y) que cuplan la ecuación diferencial, siepre que en ningún punto (x,y) se superen los valores de M Plástico, cuple con el TLI. Coo se tiene tres funciones incógnita, y una sola ecuación diferencial, se deduce inediataente que existen infinitas soluciones posibles. Entre todas ellas se encuentra la solución elástica, coo un caso particular. IMPORTANTE: Los resultados obtenidos ediante la aplicación de este Teorea son SEGUROS, porque predicen que la estructura colapsa con una carga que es siepre enor, o a lo suo igual, a la verdadera carga de colapso. 9

10 Teoreas de Análisis Plástico TEOREMA DEL LÍMITE INFERIOR (TLI) o TEOREMA ESTÁTICO: (Continuación) Despreciando los Mxy: 2 Mx / x My / y 2 = -q ( 1 ) Ejeplo: Placa cuadrada de lado L, se adopta: My=0 ; Mx = -4 Mo/L 2 *x(l-x), siendo Mo: Moento áxio en el centro de la placa, asuido igual al oento últio (para cuplir estrictaente la segunda condición) Esta función cuple (1) siepre que sea qu = 8Mo/L 2 Observar que la solución elástica daría (OJO: para el caso de placas sin torsión): qu = 13.1 Mo/L 2 Por ejeplo, si se tiene una placa cuadrada de lados Lx=Ly=L, se puede proponer la función My de la figura, y encontrar una de las infinitas soluciones posibles, siepre que se diensione a la placa para que su Moento Plástico sea ayor o igual al valor áxio: Mpl Mo Otra alternativa sería repartir itad y itad la solución entre los oentos Mx y My, haciendo por ejeplo (y siendo siepre Mxy=0): Mx = Mo/L 2 x(l-x) My = Mo/L 2 y(l-y) Funciones que cuplen la ED de equilibrio, siepre que sea, una vez ás: q = 8 Mo / L 2 10

11 Teoreas de Análisis Plástico 2) TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR (TLS) o TEOREMA CINEMÁTICO: Una carga externa calculada a partir de un ecaniso cineático adoptado (copatible con los vínculos) que cuple la condición: - Estar en equilibrio con la carga aplicada Es siepre MAYOR o igual que la verdadera carga de colapso. Por lo tanto es INSEGURA. El TLS involucra el planteo de un MECANISMO DE COLAPSO que sea posible, es decir, que sea cineáticaente copatible con los vínculos de la estructura. La única condición que se aplica en este caso es que los esfuerzos internos estén en equilibrio con las cargas externas. Este Teorea se utilizará en lo que resta del desarrollo del tea, por lo que no se da en este oento ningún ejeplo coo en el caso del TLI. IMPORTANTE: Los resultados obtenidos ediante la aplicación de este Teorea son INSEGUROS, porque predicen que la estructura colapsa con una carga que es siepre ayor, o a lo suo igual, a la verdadera carga de colapso 11

12 Teoreas de Análisis Plástico 3) TEOREMA DE UNICIDAD: Una carga externa calculada a partir de a partir de un ecaniso cineático adoptado (copatible con los vínculos), que cuple las condiciones: - Estar en equilibrio con la carga aplicada - No superar en ningún punto el líite plástico, Es IGUAL a la verdadera carga de colapso. En resuen: cuando las qu obtenidas por el TLS y el TLI coinciden, se tiene la verdadera carga de colapso: q ultls q ult Real q ultli Este Teorea de Unicidad es una especie de corolario evidente a partir de los dos teoreas anteriores. Resulta evidente que, si el Teorea Estático o TLI aproxia inferiorente a la verdadera carga de colapso, y el Teorea Cineático o TLS aproxia superiorente a la verdadera carga de colapso, un cálculo de la carga externa que cupla siultáneaente las condiciones de abos teoreas, perite obtener la carga de colapso exacta. 12

13 Análisis Plástico de Placas Se asue un Mecaniso Cineátido en la Rotura, y por lo tanto se aplica el TLS. El coportaiento experiental avala el planteo: CARA SUPERIOR CARA INFERIOR (Johansen) Para el análisis plástico de placas planas, se utilizará el TLS o Teorea Cineático. Para aplicar este teorea, es necesario definir un Mecaniso Cineático copatible con los vínculos, o Configuración de Rotura CR.. En el caso de una estructura lineal, de barras, los ecanisos cineáticos se definen usualente (no exclusivaente), a través de rótulas. En el caso de una estructura plana coo es una placa, con dos diensiones predoinantes, se tendrá líneas de rotulación, coo si se tratase de bisagras. La foración de este tipo de ecaniso tiene una confiración experiental, coo se uestra en las figuras de arriba y de las hojas siguientes. 13

14 Análisis Plástico de Placas Coportaiento Real: Las zonas de plastificación son DIFUSAS CARA SUPERIOR CARA INFERIOR (Johansen) En realidad, las zonas de plastificación se distribuyen en un cierto ancho, pero suficienteente liitado coo para poder asuir que se las puede representar por líneas de bisagra 14

15 Análisis Plástico de Placas Coportaiento Ideal: Las zonas de plastificación son LÍNEAS de ROTURA (LR) A estas bisagras de las denoina LÍNEAS DE ROTURA y se abrevia LR Cuando el oento flector que actúan en la LR es positivo, y por lo tanto tracciona la cara inferior de la placa, se dice que es una Línea de Rotura Positiva o LR+. Por oposición, cuando el oento que actúa es negativo, tracciona la cara superior de la placa, y se tiene una LR-. 15

16 Condiciones para el Mecaniso 1) En las LR, el acero se encuentra en fluencia y se alcanza el Mpl, Mn que se nota cuando es positivo, y cuando es negativo ( = - ). Si la aradura es unifore, = cte a lo largo de las LR 2) Las deforaciones elásticas son despreciables frente a las plásticas, y por lo tanto, los subsectores de losa separado por las LR peranecen planos, y las LR son líneas rectas. EJES Linea de Rotura (LR) LRs EJES APOYO Para definir el ecaniso que perite aplicar el TLS, se plantean las condiciones indicadas arriba. Se considera que en TODA la extensión de cada LR actúa el oento de plastificación Mpl. En las LR+, el oento se denoina En las LR-, el oento se denoina Salvo que se indique lo contrario, se asue que = -. Es decir que se supone, para el análisis, que los oentos positivos y negativos tienen el iso valor absoluto. No obstante, se verá en el resto del desarrollo del tea que siepre es posible abandonar esta hipótesis y considerar oentos de diferente valor absoluto. Coo se ha supuesto que el coportaiento del aterial es Rígido- Plástico, todas las zonas de la placa que están fuera de las LRs no sufren deforaciones, y por lo tanto de antienen planas. Todos los giros se concentran en las LRs. El ecaniso o CR toa, entonces, la fora de una especie de techo invertido de caras planas y varias aguas. 16

17 Condiciones para el Mecaniso 3) Los subsectores de placa giran en torno a los Ejes, los que necesariaente pasan por los apoyos. La LR que separa dos subsectores pasa por la intersección de sus Ejes de rotación 4) El ecaniso cineático de rotura de la placa se define unívocaente por la ubicación de los Ejes, las LR y los ángulos de Giro θ. EJES Linea de Rotura (LR) θ LRs EJES APOYO La definición del ecaniso divide a la placa en Subsectores planos, deliitados por las LRs y los bordes de la placa. Cada uno de estos subsectores posee un EJE, en torno al cual gira coo cuerpo rígido. Para que el ecaniso sea cineáticaente posible, es condición necesaria que el Eje de un subsector pase por alguno de los apoyos de la placa. El contacto entre dos Subsectores se produce siepre a través de una LR. Esta LR debe pasar indefectibleente por la intersección de los dos ejes de los Subsectores en consideración. Si los dos ejes son paralelos, entonces la LR será paralela a abos. Para una isa placa, existen infinitos ecanisos posibles, siepre que cuplan con las condiciones estipuladas. 17

18 Condiciones para el Mecaniso- Ejeplos MAL MAL En las figuras se uestran algunos ejeplos de cupliiento y no cupliiento de las condiciones necesarias para definir el ecaniso. En la figura superior la placa tiene 4 bordes, y el ecaniso propuesto define 4 Subsectores. Coo los 4 apoyos son lineales, no queda ás alternativa que cada uno de ellos sea el eje de rotación de un subsector, lo cual siplifica la definición del ecaniso. El eje del Subsector A es la recta 14, del B la recta 1-2, y así siguiendo. Las LRs 1-5 y 4-5 son posibles, porque pasan por la intersección de los ejes de los subsectores que dividen. La LR 5-6 no cuple la condición, porque divide a los subsectores B y C, cuyos ejes (1-2 y 4-3) son paralelos, y por lo la LR 5-6 debería ser a su vez paralela a abos. Las LRs 6-2 y 6-2 cuplen la condición al pasar por los puntos 2 y 3, pero el punto 6 es incorrecto, por lo que en ese sentido tapoco son válidas. Es fácil ver que si se considera que los Subsectores B y C giran un iso valor angular en torno a sus propios ejes (de signo contrario), el descenso del punto 5 resulta el iso calculado desde cualquiera de abos subsectores, pero el descenso del punto 6 resulta ayor si se lo calcula por el subsector C que por el B La figura inferior uestra un ejeplo siilar. 18

19 Condiciones para el Mecaniso- Ejeplos COLUMNA Cuando alguna de las condiciones de apoyo es puntual, es decir, apoyo directo en una coluna, entonces es condición necesaria que un eje de rotación pase por ese punto, pero coo por un punto pasan infinitas rectas, entonces la ubicación de ese eje puede ser cualquiera de esas rectas. Esto agrega eleentos al conjunto de ecanisos cineáticos posibles. Los ejes de los subsectores B y C deben necesariaente coincidir con los apoyos lineales, pero el del subsector A puede ser cualquier recta que pase por la coluna. El ecaniso de la figura es uno de los tantos posibles 19

20 Condiciones para el Mecaniso- Ejeplos COLUMNA ientras que este es otro de los que resultan posibles. Es iportante señalar, adeás, que la cantidad de apoyos existentes es una indicación de los subsectores en que se puede dividir el ecaniso, pero en realidad pueden ser ás o enos que los apoyos existentes. 20

21 Condiciones para el Mecaniso- Ejeplos Ejeplos (1) 21

22 Condiciones para el Mecaniso- Ejeplos Ejeplos (2) 22

23 ISOTROPÍA y Condiciones de borde x= α y= LR PLACA ISÓTROPA: ( LR *1) 2 = (x*cos α) 2 + (y*senα) 2 = ( LR *1) 2 = (*cosα) 2 + (*senα) 2 = ( LR *1) 2 = 2 *[ (cosα) 2 + (senα) 2 ] = 2 LR = BORDE LIBRE BORDE SIMPLEMENTE APOYADO BORDE EMPOTRADO Una cuestión de la ayor iportancia es deterinar el oento actuante en las LRs, dado que, al trazar el ecaniso, las isas pueden quedar en general con cualquier inclinación o ángulo con respecto al sistea de coordenadas general X,Y. Si se considera que en las direcciones X y los oentos plásticos de las secciones son iguales, tanto para LR+ coo LR-, son iguales entre sí y de valor para las LR+ y = - para las LR-, del equilibrio de un sector triangular de placa deliitado cuya hipotenusa coincide con la LR, se obtiene que el oento en la LR tiene el iso valor. En resuen: SI LOS MOMENTOS PLÁSTICOS EN LA PLACA SON IGUALES EN DIRECCIÓN X e Y, ENTONCES EL MOMENTO EN UNA LR SITUADA CON CUALQUIER INCLINACIÓN TIENE EL MISMO VALOR. SE DICE ENTONCES QUE LA PLACA ES ISÓTROPA. CONDICIONES DE BORDE: Laentableente, las convenciones gráficas que se han utilizado históricaente en el étodo de las líneas de rotura para definir las condiciones de borde no coinciden con las vistas en el desarrollo de la teoría elástica. Línea continua: Borde Libre (sin apoyo) Línea con traa a 45 : Borde Sipleente Apoyado.(sin ) Línea con doble traa a 45 : Borde Epotrado (tiene ) 23

24 Esfuerzos internos en las LR Equilibrio nodal Q b : -Q b Q b Q a : -Q a A Qa C : : -Qa -Qb Qb Qc : -Qc Q c B -Q c : Qa A -Qb Q a Considerar la placa triangular de la figura, cuyos bordes son sipleente apoyados y están representados por las líneas rojas de trazo y punto. El ecaniso propuesto de LRs es posible, de acuerdo con lo visto anteriorente. Cuando se analizan los esfuerzos actuantes en una de las dos caras de una LR, por ejeplo (figura de la derecha) las dos LRs del subsector A, se encuentran los siguientes eleentos: -El oento o según sea una LR+ o LR- -Moentos Torsores Mt -Esfuerzos de Corte Q Los dos últios pueden reducirse a un par de fuerzas resultantes, perpendiculares al plano de la placa, Por ejeplo para el subsector A, en la LR que liita con el C, las fuerzas son Qa y Q a. Estas fuerzas se suponen actuando en abos extreos de la LR. Cada una de estas fuerzas tiene, en la cara opuesta (es decir, en el subsector enfrentado), un vector igual y opuesto, por principio de acción y reacción. Cuando se calcula la fuerza neta resultante en el punto de intersección de las tres LR, se tiene: (Qa Qb) + (Qb + Qc) + (-Qa Qc) = 0 24

25 Esfuerzos internos en las LR i Fuerza Nodal Q k α α i ds α dp dy 2 k Térinos de la ΣM respecto a i-k Externos: Q 1.ds 1 1 A Q ds sen α dp dy Internos: 1. d(i-k ) dα (2 ds) cos α -(1 ds) cos α 1. d(k-k ) k (2-1) ds cos α = Q (ds sen α ) dp dy Si ds 0, α α Q = (2 1 ) cotg α En la página anterior se deostró que la sua de TODAS las fuerzas en un nodo (punto de intersección de LRs) es nula, pero eso no significa necesariaente que la fuerza nodal de CADA UNO de los subsectores sea nula. Para deterinar la fuerza nodal de UN subsector en un nodo genérico Q, se analiza el esquea de la figura, plantando el equilibrio de una porción diferencial del subsector, es el triángulo k.i.k, que es diferencial pues uno de sus ángulos internos es diferencial (dα). Sobre la placa actúan cargas distribuidas. Se toa oento respecto al segento i-k, teniendo: Fuerza nodal Q (incógnita a deterinar), tiene un brazo ds.sen α dp es la resultante de la carga distrinbuida que actúa sobre la placa, y tiene un brazo dy. El oento 2 se ultiplica por ds y se proyecta con cos α Por estar uy cerca de la LR k-k, la línea i-k tiene un oento igual a. En los bordes k-k e i-k, se integran el oento, dando dos vectores (ver figura abajo-izquierda), cuya resultante es el vector 1.ds, en dirección k-k, que se proyecta tabién con cos α. Al plantear el equilibrio, se llega a la ecuación de Q que depende de 1, 2 y el ángulo que foran las LRs. Si 1=2, Q=0. 25

26 Metodologías de Resolución 1) Método estático: Plantea el equilibrio de cada uno de los subsectores en que queda dividida la placa por la LR. Surgen tantas ecuaciones de equilibrio coo subsectores. En general se plantea equilibrio de oentos. 2) Método cineático o del Trabajo: Plantea para el ecaniso copleto, igualdad entre el trabajo Externo (dado por las cargas o acciones en general) y el Interno (dado por los y en la LR). Es el ás utilizado por su sencillez, y porque perite analizar acciones diferentes a Fuerzas (Por ejeplo, probleas de acciones energéticas) OJO: Estas dos etodologías se utilizan dentro del planteo del Teorea Cineático o TLS. DENTRO DEL TEOREMA CINEMÁTICO o TLS, la resolución nuérica del ecaniso puede realizarse a su vez ediante un enfoque de equilibrio (étodo estático) o de balance de trabajos interno y externo (étodo cineático). Si bien abos son válidos, el priero plantea un núero de ecuaciones de equilibrio igual a la cantidad de subsectores del ecaniso. Todas las ecuaciones deberían llevar al iso valor de la carga de colapso, por lo tanto, este étodo brinda una inforación directa respecto a la calidad del ecaniso propuesto. Si las cargas de colapso brindadas por los distintos subsectores son uy diferentes, el ecaniso propuesto se aleja bastante del exacto. Cuando la carga de colapso es la isa para todos los subsectores, se ha encontrado la configuración de colapso exacta para ese estado de carga. El étodo o enfoque energético o cineático plantea una sola ecuación para todo el ecaniso de colapso propuesto, por lo que a partir de su resultado no es posible deducir si el ecaniso adoptado es adecuado. 26

27 Método Estático A Equilibrio de A q L (L/2)/2 (L/2)/3 = q L 3 / 24 = L = q L 2 /24 El étodo estático aplicado a este ejeplo resulta en la isa ecuación de equilibrio para los cuatro subsectores, por razones de equilibrio. Se plantea solaente el equilibrio de oentos respecto al eje de giro del subsector. IMPORTANTE: En térinos generales, no hay que olvidarse de la fuerza nodal Q que potencialente actúa en el vértice, intersección de las dos LRs. Si el de abas LRs es igual (coo se plantea en este ejeplo), entonces Q=0 por lo visto anteriorente, pero siepre hay que estar atento a la posibilidad de que no sea así. La carga total que actúa en es subsector triangular vale q.l.(l/2)/2, y su brazo de palanca respecto al eje de rotación (que es la línea del apoyo), vale (L/2)/3. El resultado del equlibrio de los 4 subsectores brinda el iso resultado, y por lo tanto la configuración de rotura es exacta, lo que por otra parte, podía deducirse a priori por razones de sietría. 27

28 Método Cineático Coposición vectorial de oentos en las dos LRs: L.1,41L L.1,41L Trabajo Externo = Trabajo Interno : Te = Ti : Te: q L 2 δ / Ti = 4 ( L) θ = 4 ( L) δ 2/L =8 δ Te = Ti : q L2 / 3 = 8 = q L2 /24 El planteo del étodo cineático para la resolución del ecaniso adoptado se basa en el PTV (Ppio. De Trabajos Virtuales), planteando la igualdad entre el trabajo externo y el trabajo interno sobre un capo de desplazaientos virtuales, que coincide con la cineática del ecaniso elegido. El trabajo externo se calcula ultiplicando las cargas externas por los desplazaientos virtuales correspondientes. Cuando la losa está totalente cargada con una carga uniforeente distribuida, el trabajo externo es sencillaente el valor de la carga q por el voluen del ecaniso de colapso. Para un voluen piraidal, es sipleente un tercio del área de la base por la altura. El cálculo del trabajo interno para un subsector, es el trabajo realizado por el vector oento resultante de todas las LRs sobre el giro del subsector alrededor del eje del iso. En la figura anterior, en la que solaente hay LRs+, cada subsector tiene dos LRs, y en cada una de ellas se integra un vector igual al por la longitud de la LR en la que actúa, Luego se coponen esos vectores, resultando finalente un vector colineal con el eje de giro, de agnitud.l. El trabajo interno total es la sua de los Ti de cada subsector. 28

29 Método Estático-Configuración Errónea B A 2L / 3 Equilibrio de A difiere del equilibrio de B Por A: = (2/27) q L 2 Por B: = q L 2 / 54 (hacerlo!) En los ejeplos anteriores, el ecaniso adoptado coincidía con la solución exacta. Es interesante ver que ocurre cuando se elige un ecaniso que no es el exacto, situación que para geoetrías y cargas ás coplejas, resulta lo noral. En el étodo estático, la no exactitud del ecaniso se hace evidente porque los resultados obtenidos en el planteo del equilibrio de los diferentes subsectores brinda soluciones diferentes. En el ejeplo de arriba, el subsector A brinda coo resultado un oento 4 veces ayor que el del subsector B. Este resulta, adeás, orienta sobre el odo en que es necesario odificar el ecaniso, en un sentido tal que abos resultados tiendan a acercarse, que en este caso, significa correr el punto central hacia la derecha. 29

30 Método Cineático Configuración errónea B C A D 2L / 3 θ A =3/(2L) θ B =3/(L) θ C =2/L θ D =2/L Trabajo Externo = Trabajo Interno : Te = q L 2 δ / 3 = q L 2 /3 Ti = L [ 3/(2L) + 3/L + 2/L + 2/L ] = (17/2) = Te = q L 2 /3 = q L 2 / 25.5 Perite obtener un resultado uy aproxiado (6% de diferencia) Por otra parte, el étodo cineático, al brindar una única ecuación y por lo tanto un resultado único, no perite reconocer inediataente un ecaniso erróneo, pero ocurre un efecto uy interesante: aunque el ecaniso se aparte bastante de la configuración exacta, el resultado obtenido no tiene un error deasiado grande respecto al exacto. El ejeplo de arriba es elocuente al respecto: aunque el punto central está corrido L/6 de la posición exacta, el oento obtenido coo resultado solaente difiere 6% del exacto. 30

31 TLS: Configuración Exacta / Errónea CR EXACTA: > y < q = q L 2 / 24 q = 24 / L 2 CR ERRÓNEA: < y > q = q L 2 / 25.5 q = 25.5 / L 2 Las ecuaciones obtenidas siepre tienen, adeás de los datos de geoetría de la losa, dos variables: la carga externa q (eventualente puede haber cargas concentradas P, y los oentos del las LRs. En función del tipo de problea, las cargas o los oentos son dato e incógnita, o viceversa, a saber: DIMENSIONAMIENTO: Este caso es cuando se conoce la carga, y debe calcularse para, por ejeplo, diensionar las araduras de una losa de horigón arado. En este caso, la solución exacta brinda el MAYOR de todos los resultados posibles. Una configuración errónea, brinda un MENOR que el exacto, y por lo tanto, se está en una situación insegura ya que se diensiona para un oento enor, y se coloca enos aradura que la necesaria. VERIFICACIÓN: Es cuando se conoce el oento que resiste la losa,, y debe calcularse la áxia carga q que se le puede aplicar En este caso, la solución exacta brinda el MENOR q de todos los resultados posibles. Una configuración errónea, brinda un q MAYOR que el exacto, y por lo tanto, nos dice que podeos aplicarle una carga ayor que la que realente resiste. El hecho de que siepre un error en el ecanisno lleve a una situación INSEGURA es porque se ha partido del TLS, que aproxia la solución exacta desde el lado inseguro. 31

32 Teorea del Líite Superior: Regla del 10% Coo al utilizar el TEOREMA CINEMÁTICO (TLS) se obtienen capacidades MAYORES o IGUALES que las verdaderas, y Solicitaciones MENORES o IGUALES que las verdaderas, si no se ha encontrado con seguridad la configuración exacta, se aplica la REGLA DEL 10%: - EN LOS CASOS DE DIMENSIONAMIENTO (Dado q, obtener ), MULTIPLICAR LAS SOLICITACIONES OBTENIDAS () POR EN LOS CASOS DE VERIFICACIÓN (Dado, obtener q), DIVIDIR LAS CARGAS OBTENIDAS (q) POR 1.10 Por lo coentado en la página anterior, salvo que se tenga seguridad de que el ecaniso de colapso adoptado es exacto para el estado de carga considerado, existirá un error en la solución que siepre estará del lado inseguro. Por otra parte, se ostró anteriorente que, cuando se usa el étodo cineático de resolución, aún cuando la CR (configuración de rotura o colapso) adoptada se aparte bastante de la exacta, el ipacto en el resultado no es tan grande, con errores del orden de 6-8%. A partir de esto, se propone coo edida de corrección la denoinada REGLA DEL 10%, ediante la cual se realiza una corrección a los resultados obtenidos. Hay que ser cuidadoso en la aplicación, dado que según se trate de un problea de DIMENSIONAMIENTO o de VERIFICACIÓN, el 10% de corrección se aplica en MÁS o en MENOS respectivaente, coo se indica claraente arriba. 32

33 Método Cineático: Obtención de la Configuración Exacta B x C A D (L-x) θ A =1 / (L-x) θ B =1/x θ C =2/L θ D =2/L º Trabajo Externo = Trabajo Interno : Te = q L 2 δ / 3 = q L 2 /3 Ti = L [ 1/(L-x) + 1/x + 2/L + 2/L ] = [L/(L-x) + L/x) + 4] = Te = q L 2 /3 llaando k=x/l = q L 2 /3 /[1/(1-k) + 1/k) + 4]. Coo en la CR exacta es áxio, se plantea d/dk = 0, pero es suficiente derivar solaente el térino [ ] d [1/(1-k) + 1/k) + 4] / dk = -1/k2 + 1/(1-k)2 = 0 k2 = (1-k)2, k=1/2 x=l/2 (coo se puede obtener en este caso particular por consideraciones de sietría). La anera correcta de encontrar la CR exacta al aplicar el étodo cineático (siepre para un estado de carga deterinado, por supuesto), consiste en recurrir al principio de que, en la solución exacta, la carga de colapso q obtenida es la ínia de todas las posibles, y el oento interno es áxio. En cualquiera de los dos casos, se trata de valores extreos de estas variables, y por lo tanto, se pueden encontrar por diferenciación, es decir, obteniendo sus derivadas e igualándolas a cero. Para esto, es necesario definir el ecaniso de colapso en función de una variable espacial, respecto a la cual se pueda calcular la derivada, igualarla a cero, y despejar su valor. El ejeplo de arriba es siple pero claro: la CR se define a través del punto central donde se unen las LRs. En lugar de dar una posición fija a este punto, se le asigna una coordenada x. Luego se plantea la igualdad de trabajo Ti = Te, y el resultado de la isa es una función en la que se tienen las variables, q, y tabién la coordenada x. En general, se trata de despejar en una función explícita (es decir, = ). Luego de deriva esa función respecto a x, se iguala cero, despejando a partir de allí el valor de x que corresponde al ecaniso de colapso o CR exacta. 33

34 Efectos locales-carga Concentrada ds=r dφ Te = P 1 θ= 1/R dti = ds (1/R) = dφ Ti = dti = 2π Te = Ti 2 π = P P 2R = P /(2π) δ=1 Este caso puede ser visto coo la resolución de una placa circular con carga concentrada en el centro, o tabién coo una configuración de Rotura Local, en la que el ecaniso de colapso involucra solaente un sector de una placa ás grande, de fora cualquiera, ejeplo que se analizará en la página siguiente. La CR o ecaniso de colapso es un cono de base circular, por razones de axialsietría es la CR exacta. Para el análisis se divide en segentos diferenciales de fora cuasitriangular, con abertura angular dφ. En cada uno de ellos, la resultante de los que actúan en los dos radios, es un vector ubicado en el períetro externo, de agnitud.ds Para obtener el Ti total, es necesario integrar todos los diferenciales, coo se uestra arriba. Si en lugar de una carga concentrada en el centro del círculo se tratase de una carga uniforeente repartida q, el Te sería el producto de la carga por el voluen del cono, es decir (siendo δ=1): Te = q. π.r 2.1 /3 = Ti =.2.π = q.r 2 / 6 34

35 Efectos locales-carga Concentrada P Ti = 4 (L 2/L) = 8 Te = P 1 = P Te = Ti 1 = P / 8 Pero con una CR local: 2 = P/(2π) = P /6.28 > 1! Siepre es necesario estar atento a la posibilidad de que, adeás de la CR global que involucra a la totalidad de la placa, exista algún ecaniso local que produzca una falla localizada, para un valor de carga enor. Este ejeplo uestra que, para la CR global de una placa cuadrada con carga concentrada P, el oento resulta igual a P/8, pero si se considera que no existe la posibilidad de desarrollar oentos negativos la rotura local en un círculo alrededor de la carga, sin involucrar los apoyos generales de la placa, puede ocurrir para una valor enor de P, concretaente un 78.5% enor. En realidad, este efecto se verifica porque se está suponiendo que la carga se aplica exactaente en un punto, sin superficie. Si se considera que en realidad la carga debe aplicarse coo una carga distribuida de gran intensidad, sobre un area pequeña pero finita (no puntual), los resultados de acercan considerableente. La conclusión es, entonces, que para este caso, el peligro de rotura local estará presente siepre que la aplicación de la carga sea uy concentrada, pero en cualquier caso, debe verificarse esta hipótesis. 35

36 VENTAJAS FRENTE AL ANÁLISIS ELÁSTICO Moento As (c 2 /) ka n Mn M U M x trao M y trao M apoyo Una de las ayores ventajas del étodo de las líneas de rotura es cuando se enfrenta un caso de verificación de la capacidad de un sistea de losas existentes, cuyo cálculo original no necesariaente ha seguido pasos o criterios conocidos. Por ejeplo, es bastante coún que la estructura construida tenga araduras diferentes a las deterinadas por el cálculo, ya sea por cuestiones constructivas, unificación de diáetros y separaciones, etc. En resuen, la estructura que se encuentra para verificar, tiene características únicas, y lo que NO hay que hacer, es analizarla coo si se tratase de un proceso de diseño a la inversa. En este ejeplo se uestra una estructura en la que, a partir del relevaiento de sus diensiones y araduras existentes, se ha deterinado la capacidad últia (Mu) de sus secciones de trao (en abas direcciones) y de apoyo. Las dos losas son siétricas en diensiones y araduras. Coo ya se señaló, no tiene sentido analizar si estos oentos resistentes responden o no a ningún tipo de cálculo, sino que hay que trabajar a partir de los datos disponibles. 36

37 VENTAJAS FRENTE AL ANÁLISIS ELÁSTICO ANÁLISIS ELÁSTICO: Trao X: * t U t U 17.4 kn/ 2 Trao Y: * t U t U kn/ 2 Apoyo: 1.81 * t U t U 9.48 kn/ 2 La sección del apoyo es la que liita la resistencia del conjunto. t L ( * 1.20 ) / 1.60 = 2.55 kn/ 2 Cuando el problea se resuelve analizando elásticaente las placas, la relación entre oentos de trao Mx/My, y entre éstos y el oento de apoyo Map/Mx y Map/My, son fijas e inaovibles. Estas relaciones no tienen por que ser las isas que se verifican entre los oentos últios resistentes respectivos. Por lo tanto, en térinos generales, una de las tres secciones de análisis (traos en abas direcciones y apoyo), llegará en prier térino a su capacidad líite, ientras las otras dos todavía podrían soportar ás solicitación. En este ejeplo, la sección que liita al conjunto es la del apoyo. Si la verificación de la capacidad del conjunto de losas se hiciera utilizando el étodo elástico, debería concluirse que la carga áxia total a aplicar es tu=9.48 kn/2, pero en realidad, cuando actúa esa carga solaente el apoyo ha llegado a su líite, ientras que las otras dos secciones de control todavía podrían increentar su oento. 37

38 VENTAJAS FRENTE AL ANÁLISIS ELÁSTICO ANÁLISIS POR LÍNEAS DE ROTURA: Es posible considerar las tres capacidades noinales en conjunto, y resulta : t U = kn/ 2 t L ( * 1.20 ) / 1.60 = 8.63 kn/ 2 vs 2.55 kn/ 2 Por otro lado, el análisis plástico del conjunto, aplicando el Método de las Líneas de Rotura, perite aprovechar a todas las secciones con el 100% de su capacidad. De esa anera, la carga últia que se puede aplicar al sistea de losas, es de kn/2, el doble que el deterinado elásticaente. Por otra parte, la evidencia epírica uestra que el sistea de losa redistribuye los oentos de anera tal que el coportaiento deterinado por el étodo de líneas de rotura es posible, SIEMPRE QUE LAS SECCIONES TENGAN SUFICIENTE DUCTILIDAD, lo que se analiza en las aterias de aplicación correspondientes (Horigón Arado, Metálicas). 38

39 Superposición de Acciones S: Configuración Exacta pero NO conocida S1 1 S2 2 P 1 P 2 P 1 P (exacto) = C1 1 C2 2 P 1 P C1 y C2 son las configuraciones Exactas para P1 y P2 POR SEPARADO 1 1, y 2 2 (exacto) = Vale siepre que los oentos sean de igual signo!! Cuando se considera que el coportaiento del aterial es plástico, el principio de superposición deja de valer. En del Método de las Líneas de Rotura, cuando se aplican dos cargas diferentes cada una de las cuales tiene una CR propia conocida, es posible acotar el resultado del sistea conjunto a partir de los resultados individuales. Considérese una placa soetida a dos cargas siultáneaente, P1 y P2. la CR S situada arriba en la figura es la CR EXACTA para el estado de dos cargas siultáneas, pero esa CR exacta no es conocida. Si sobre S se calcula el oento, exacto para P1 y P2, ese valor puede descoponerse en una parte debida a P1, que es 1 (calculado con S1), y otra debido a P2, que es 2 (calculado con S2). S1 y S2 NO son las CR exactas para P1 y P2 por SEPARADO., pero (1 +2) SI es igual al valor exacto. Luego se consideran las CRs C1 y C2, exactas para P1 y P2 por separado, Cada una de ellas conduce a solicitaciones 1 y 2 por separado. Recordando que, por aplicar el TLI, una configuración errónea siepre arroja un oento MENOR que el exacto, se plantea la inecuación desarrollada arriba, que perite acotar superiorente el resultado exacto. Recordar, entonces: S es la CR Exacta para P1+P2, pero no para P1 o P2 por separado. C1 es la CR exacta para P1, y C2 lo es para P2, pero ninguna de ellas es la CR exacta para P1+P2 39

40 PLACAS ORTÓTROPAS: Teorea de Afinidad (Mx My) x= α y= LR ( LR *1) 2 = (x*cos α) 2 + (y*senα) 2 = ( LR *1) 2 = (*cosα) 2 + (*senα) 2 = ( LR *1) 2 = 2 *[ (cosα) 2 + (senα) 2 ] = 2 LR = x=µ α y= LR ( LR *1) 2 = (x*cos α) 2 + (y*senα) 2 = ( LR *1) 2 = (µ*cosα) 2 + (*senα) 2 = ( LR *1) 2 = 2 *[ µ 2 *(cosα) 2 + (senα) 2 ] LR Ya se deterinó que cuando los oentos en abas direcciones son iguales a un valor, el oento en cualquier LR con un ángulo genérico a, vale tabién, y esto constituye una condición de ISOTROPÍA. En todos los desarrollos realizados se utilizó esa igualdad. En la práctica, se encuentran por ejeplo placas de horigón arado con diferente aradura en cada dirección, y por lo tanto, resultarán diferentes x y y. Se trata de placas ORTÓTROPAS. Si se plantea una vez ás el equilibrio de una porción triangular de placa, y se considera que la relación de ortotropía es: µ = x / y = x / Resulta (ver dibujo inferior) que el oento en una LR que fora un ángulo α con el eje Y, tiene un oento que depende de a ediante la expresión deducida arriba, que es: LR 2 = 2.( µ 2.cos 2 α + sen 2 α ) 40

41 Teorea de Afinidad (Mx My) PLACA REAL (ORTÓTROPA) µ LR.ax Borde libre ax k hx δ=1 h hy θx µ.ay LR.(k-k ) ay hy θ = δ/h θx k hx θy θy δ=1 Para analizar el Trabajo Interno Ti en una placa ortótropa, se recurre a la figura superior. En ella, hay que considerar los siguientes factores: Se tiene una LR (recta k-k en azul) genéricaente inclinada con respecto al sistea XY, cuyas proyecciones en esos ejes son ax, ay. El Eje sobre el que rota en subsector que contiene a la LR es la línea roja de trazos y puntos. El subsector rota con un vector rotación que es colineal con el eje de rotación. Por la ortotropía, es necesario descoponer oento y rotaciones en coponentes X e Y, y considerar el trabajo que realiza cada una por separado y luego suarlas. El vector oento total sobre la LR se descopone en: Vector oento en dirección Y: µ..ay Vector oento en dirección X:.ax El vector Giro total del subsector alrededor del eje se descopone en: Vector Giro en dirección Y: θy = δ/hx = 1/hx Vector Giro en dirección X: θx = δ/hy = 1/hy 41

42 Teorea de Afinidad (Mx My) PLACA AFÍN ESCALADA (ISÓTROPA) LR.λ.ax Borde libre λ ax k λ hx δ=1 h hy θx.ay LR.(k-k ) ay hy θ = δ/h θx k λ hx θy θy δ=1 Para analizar la placa ortótropa, coo si fuese isótropa, se procede a realizar una transforación afín, escalando la geoetría en la dirección del oento µ, con un factor λ, coo se uestra en la figura superior. En ella, hay que considerar los siguientes factores: En esta geoetría transforada, se tiene: El vector oento total sobre la LR se descopone en: Vector oento en dirección Y:.ay Vector oento en dirección X:.a x = λ ax El vector Giro total del subsector alrededor del eje se descopone en: Vector Giro en dirección Y: θy = δ/h x = 1/(λ hx) Vector Giro en dirección X: θx = δ/hy = 1/hy Para un eleento diferencial, las diensiones serían: Longitud diferencial en X: d x = λ dx Longitud diferencial en Y: dy OJO: se escala en X porque en este ejeplo, es la dirección en la que se tiene µ=mx. Tabién podría ser en la dirección Y 42

43 Teorea de Afinidad (Mx My) La ecuación de balance de trabajos queda: ax θx + µ ay θy = [ ax (δ /hy) + µ ay (δ /hx) ] = q(x,y) z(x,y) dx dy ( A) Si ahora se escala todo el esquea en X, con un factor λ, y se considera que los oentos en abas direcciones son iguales a, sería: a x = λ ax - d x = λ dx h x = λ hx Planteando el balance de trabajos en esta nueva configuración queda: a x (δ /hy) + ay (δ /h x) = q(x,y) z(x,y) d x dy = λax (δ /hy) + ay (δ / λhx) = q(x,y) z(x,y) λdx dy, dividiendo por λ a abos lados, se obtiene: ax (δ /hy) + ay (δ / hx) / (λ 2 ) = q(x,y) z(x,y) dx dy Se observa que (A) y (B) son iguales, si el factor de escala vale: λ 2 = 1/µ λ = 1/(µ 1/2 ) = ( µ ) -1/2 (B) El cálculo del TI se hace ahora descoponiendo en térinos en X e Y, y se iguala al Trabajo Externo TE, considerado en general coo la integral de área de las cargas q(x,y) por z(x,y) siendo esta últia la cota o coordenada vertical del ecaniso adoptado (CR). De esta anera se obtiene la ecuación (A) Luego se propone realizar un escalaiento solaente en la dirección X, aplicando un factor de escala λ, suponiendo siultáneaente que la placa es isótropa, es decir, que en esa configuración escalada resulta x=y=. Se encuentra que si ese factor de escala vale: λ = 1/(µ 1/2 ) Entonces el resultado obtenido es, en térinos de balance energético, idéntico al de la placa ortótropa sin escalar (placa real) Ojo: El térino de las cargas tabién se odifica, se anera tal que la carga total queda escalada por el iso factor λ. 43

44 Transforación Afin (Mx My) Reglas para transforar una losa ortótropa en una losa isótropa ediante la Transforación Afín: 1) Todas las distancias en la dirección en la que la losa tiene un oento µ se odifican aplicando un factor de escala λ=1/(µ 1/2 ). 2) Las cargas TOTALES deben escalarse tabién por el factor λ. La placa así convertida puede resolverse considerando que los oentos en abas direcciones son iguales a. 3 3 * 0.9 = 2.70 Mx= 1.25 My µ = 1.25 λ = 1/(1.25) 1/2 = EQUIVALE A El teorea de afinidad perite tratar a una losa ortótropa coo si fuera isótropa, solaente ediante un escalaiento de sus diensiones y tabién de sus cargas, cuando las isas no se odifican naturalente con el escalaiento, por ejeplo: Con respecto a las cargas, es iportante notar que se debe escalar SU VALOR TOTAL, y por lo tanto: - Una carga uniforeente distribuida q, varía su valor total al escalarse las diensiones en planta, por lo tanto, el valor de q no se odifica. - Una carga concentrada sí debe escalarse por el factor λ - Una carga lineal no debe escalarse si su longitud se desarrolla en el sentido del lado que se escala (de esa anera su valor total se escala autoáticaente), pero sí cuando su longitud es perpendicular al lado que se escala. 44

45 Teorea de Afinidad - Ejeplos operativos Losas Ortótropas con Mx=µ, My= q (kn/2), P(kN) Ly q P µ Ly q P λ b b Lx a Lx λ a λ Losa Ortótropa con µ 1 Losa isótropa equivalente s(kn/) carga lineal Ly s b µ Ly s b Lx Losa Ortótropa con µ 1 Lx λ Losa isótropa equivalente Ejeplos de odificaciones afines En 1), la carga q no se odifica coo valor por unidad de superficie, porque la superficie total de la losa se escala, y por lo tanto la carga total q.lx.λ.ly ya queda escalada. La carga P sí debe escalarse, porque no depende de ninguna superficie. Su ubicación respecto al borde en la dirección de µ se escala, coo el resto de las longitudes en esa dirección. En 2), la carga s no se odifica coo valor por unidad de longitud, porque se desarrolla sobre una línea que es paralela a la diensión de la losa se escala, y por lo tanto la carga total s.(lx.λ) ya queda escalada. 45

46 Teorea de Afinidad - Ejeplos operativos Losas Ortótropas con Mx=µ, My= s(kn/) carga lineal Ly s b µ Ly s λ b λ Lx Lx λ Losa Ortótropa con µ 1 Losa isótropa equivalente s(kn/) carga lineal b1 b1 λ φ µ Ly b2 s Lx Losa Ortótropa con µ 1 Ly b2 b λ s/(µ. µ.cos 2 φ+sen 2 φ) 1/2 Losa Lx isótropa λ equivalente Losa isótropa equivalente Ejeplos de odificaciones afines En 3), la carga s sí debe escalarse coo valor por unidad de longitud, porque se desarrolla sobre una línea que es perpendicular a la diensión de la losa se escala, y por lo tanto hay que aplicar λ al valor s, para que la carga total (s.λ )Ly quede escalada En 4), la carga s se desarrolla en una línea inclinada respecto a las dos direcciones X e Y. La longitud de la línea sobre la que se aplica se odifica en parte por el alargaiento de un lado, pero eso no odifica el valor total de la carga en el factor λ requerido, por lo que adeás se aplica una corrección al valor s de la carga lineal, según la expresión de la figura. 46