El número asintótico de cuadrados mágicos de primos

Transcripción

1 El número asintótico de cuadrados mágicos de primos Carlos Vinuesa del Río Instituto de Ciencias Matemáticas Congreso de Jóvenes Investigadores, RSME Sevilla, 19 de septiembre de 2013

2 Progresiones y cuadrados mágicos de primos Qué es un cuadrado mágico? Un cuadrado mágico es una matriz cuadrada en la que la suma de los elementos de cada fila, columna o diagonal principal es la misma.

3 Progresiones y cuadrados mágicos de primos Hay cuadrados mágicos? Un cuadrado mágico normal es un cuadrado mágico n n cuyas entradas son los números {1, 2,..., n 2 }. Para todo n se conocen construcciones de cuadrados mágicos normales n n.

4 Progresiones y cuadrados mágicos de primos Hay cuadrados mágicos?

5 Progresiones y cuadrados mágicos de primos Hay cuadrados mágicos?

6 Progresiones y cuadrados mágicos de primos Hay cuadrados mágicos?

7 Progresiones y cuadrados mágicos de primos Hay cuadrados mágicos?

8 Progresiones y cuadrados mágicos de primos Hay infinitos cuadrados mágicos? En realidad, estamos sumando el cuadrado mágico cuyas entradas son todas unos. En general, la suma de dos cuadrados mágicos es otro cuadrado mágico y el producto de un cuadrado mágico por un número también es un cuadrado mágico.

9 Progresiones y cuadrados mágicos de primos Hay infinitos cuadrados mágicos? En realidad, estamos sumando el cuadrado mágico cuyas entradas son todas unos. En general, la suma de dos cuadrados mágicos es otro cuadrado mágico y el producto de un cuadrado mágico por un número también es un cuadrado mágico.

10 Progresiones y cuadrados mágicos de primos Hay cuadrados mágicos de primos? Teorema (Green-Tao, 2008) Los primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. Por ejemplo, p k = k para k = 1, 2,..., 9 son primos en progresión aritmética. Así, una progresión aritmética de 10 primos me da 2 cuadrados mágicos distintos y una progresión aritmética de 1008 primos me da más de 1000 cuadrados mágicos. Luego hay infinitos cuadrados.

11 Progresiones y cuadrados mágicos de primos Qué queremos hacer? Javier Cilleruelo me propuso el siguiente problema: Queremos saber cuántos cuadrados mágicos de primos hay, es decir, queremos saber el número asintótico (cuando N ) de cuadrados mágicos de enteros cuyas entradas son números primos en [0, N].

12 Progresiones y cuadrados mágicos de primos Cuánto queremos que salga? Pensemos en el caso 3 3. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 (x 1 + x 5 + x 9 ) + (x 2 + x 5 + x 8 ) + (x 3 + x 5 + x 7 ) = 3S Y como x 1 + x 2 + x 3 = x 7 + x 8 + x 9 = S, entonces S = 3x 5. x 1 x 2 x 3 a + b a b c a + c x 4 x 5 x 6 = a b + c a a + b c x 7 x 8 x 9 a c a + b + c a b Luego el número de cuadrados mágicos 3 3 con entradas en [0, N] debería ser algo así como CN 3.

13 Progresiones y cuadrados mágicos de primos Cuánto queremos que salga? El teorema del número primo nos dice que la probabilidad de que un entero elegido al azar cerca de N sea primo es 1/ log N. Luego la probabilidad de que nuestros 9 números sean primos será tipo 1 (log N) 9. Eso quiere decir que el número de cuadrados mágicos 3 3 de primos menores o iguales que N debería ser C N3. (log N) 9 En general, para cuadrados n n, esperamos que haya C ND(n) (log N) n2 cuadrados, donde D(n) es el número de parámetros de que depende un cuadrado mágico n n.

14 Primeros ejemplos Ecuaciones y formas lineales Cómo caracterizar una progresión aritmética de tres enteros? x y z Ecuaciones: y x = z y x + z = 2y Formas lineales: (a, a + b, a + 2b)

15 Primeros ejemplos Ecuaciones y formas lineales Y una progresión aritmética de cuatro enteros? x y z t Ecuaciones: y x = z y z y = t z } x + z = 2y y + t = 2z } Formas lineales: (a, a + b, a + 2b, a + 3b)

16 Primeros ejemplos Ecuaciones y formas afines Un par de ejemplos afines muy sencillos. Cómo caracterizar dos enteros que disten 2? x y Ecuaciones: y x = 2 Formas lineales-afines: (a, a + 2) Y dos enteros que sumen 2N? Ecuaciones: x + y = 2N Formas lineales-afines: (a, 2N a)

17 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos 3 3 Como sabemos, un cuadrado mágico de enteros es una matriz cuadrada de enteros en la que la suma de los elementos de cada fila, columna o diagonal principal es la misma. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Ecuaciones: x 1 + x 2 + x 3 = x 4 + x 5 + x 6 x 4 + x 5 + x 6 = x 7 + x 8 + x 9 x 1 + x 4 + x 7 = x 2 + x 5 + x 8 x 2 + x 5 + x 8 = x 3 + x 6 + x 9 x 1 + x 5 + x 9 = x 3 + x 5 + x 7 x 1 + x 5 + x 9 = x 1 + x 4 + x 7

18 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos 3 3 Como sabemos, un cuadrado mágico de enteros es una matriz cuadrada de enteros en la que la suma de los elementos de cada fila, columna o diagonal principal es la misma. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Ecuaciones: x 1 + x 2 + x 3 = x 4 + x 5 + x 6 x 4 + x 5 + x 6 = x 7 + x 8 + x 9 x 1 + x 4 + x 7 = x 2 + x 5 + x 8 x 2 + x 5 + x 8 = x 3 + x 6 + x 9 x 1 + x 5 + x 9 = x 3 + x 5 + x 7 x 1 + x 5 + x 9 = x 1 + x 4 + x 7

19 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos 3 3 Como sabemos, un cuadrado mágico de enteros es una matriz cuadrada de enteros en la que la suma de los elementos de cada fila, columna o diagonal principal es la misma. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Ecuaciones: x 1 + x 2 + x 3 = x 4 + x 5 + x 6 x 4 + x 5 + x 6 = x 7 + x 8 + x 9 x 1 + x 4 + x 7 = x 2 + x 5 + x 8 x 2 + x 5 + x 8 = x 3 + x 6 + x 9 x 1 + x 5 + x 9 = x 3 + x 5 + x 7 x 1 + x 5 + x 9 = x 1 + x 4 + x 7

20 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos 3 3 Como sabemos, un cuadrado mágico de enteros es una matriz cuadrada de enteros en la que la suma de los elementos de cada fila, columna o diagonal principal es la misma. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Ecuaciones: x 1 + x 2 + x 3 = x 4 + x 5 + x 6 x 4 + x 5 + x 6 = x 7 + x 8 + x 9 x 1 + x 4 + x 7 = x 2 + x 5 + x 8 x 2 + x 5 + x 8 = x 3 + x 6 + x 9 x 1 + x 5 + x 9 = x 3 + x 5 + x 7 x 1 + x 5 + x 9 = x 1 + x 4 + x 7

21 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos 3 3 Como sabemos, un cuadrado mágico de enteros es una matriz cuadrada de enteros en la que la suma de los elementos de cada fila, columna o diagonal principal es la misma. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Ecuaciones: x 1 + x 2 + x 3 = x 4 + x 5 + x 6 x 4 + x 5 + x 6 = x 7 + x 8 + x 9 x 1 + x 4 + x 7 = x 2 + x 5 + x 8 x 2 + x 5 + x 8 = x 3 + x 6 + x 9 x 1 + x 5 + x 9 = x 3 + x 5 + x 7 x 1 + x 5 + x 9 = x 1 + x 4 + x 7

22 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos 3 3 Como sabemos, un cuadrado mágico de enteros es una matriz cuadrada de enteros en la que la suma de los elementos de cada fila, columna o diagonal principal es la misma. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Ecuaciones: x 1 + x 2 + x 3 = x 4 + x 5 + x 6 x 4 + x 5 + x 6 = x 7 + x 8 + x 9 x 1 + x 4 + x 7 = x 2 + x 5 + x 8 x 2 + x 5 + x 8 = x 3 + x 6 + x 9 x 1 + x 5 + x 9 = x 3 + x 5 + x 7 x 1 + x 5 + x 9 = x 1 + x 4 + x 7

23 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos 3 3 Definen estas ecuaciones los cuadrados mágicos? Podemos quitar alguna de ellas (i. e. son l. i.?)? x 1 + x 2 + x 3 = x 4 + x 5 + x 6 x 4 + x 5 + x 6 = x 7 + x 8 + x 9 x 1 + x 4 + x 7 = x 2 + x 5 + x 8 x 2 + x 5 + x 8 = x 3 + x 6 + x 9 x 1 + x 5 + x 9 = x 3 + x 5 + x 7 x 1 + x 5 + x 9 = x 1 + x 4 + x 7 Forma elegante de ver que lo son:

24 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos 3 3 Y las formas lineales? Como acabamos de ver: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 (x 1 + x 5 + x 9 ) + (x 2 + x 5 + x 8 ) + (x 3 + x 5 + x 7 ) = 3S Y como x 1 + x 2 + x 3 = x 7 + x 8 + x 9 = S, entonces S = 3x 5. x 1 x 2 x 3 a + b a b c a + c x 4 x 5 x 6 = a b + c a a + b c x 7 x 8 x 9 a c a + b + c a b

25 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos 3 3 Ya tenemos nuestro sistema de formas lineales! Ψ : Z 3 Z 9 Ψ(a, b, c) = (a + b, a b c, a + c, a b + c, a, a + b c, a c, a + b + c, a b) Los cuadrados mágicos de enteros forman un grupo abeliano con la suma y por lo tanto un Z-módulo. Una base para este Z-módulo es:

26 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos 3 3 Observemos que si tratáramos de resolver de cualquier manera el sistema que teníamos (como sistema de ecuaciones en R), podríamos obtener algo como: Y no todo cuadrado mágico de enteros se puede escribir como una c. l. entera de esos tres cuadrados. Hemos aprendido que no tiene por qué ser fácil obtener formas lineales adecuadas a partir de las ecuaciones lineales y también que obtener una base es equivalente a obtener las formas lineales.

27 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos 4 4 Ecuaciones: Ax = 0, donde x = (x 1,..., x 16 ), 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) y A es

28 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos 4 4 Y las formas lineales? Si fijamos las entradas de las 8 posiciones de este esqueleto, podemos determinar las del resto de posiciones.

29 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos

30 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos 4 4 En principio hemos tenido suerte. No hay un motivo obvio por el que las entradas de fuera del esqueleto tengan que ser enteras. Por ejemplo, un cuadrado mágico 3 3 con entradas reales queda determinado por las tres entradas de su primera fila, y el único cuadrado mágico con entradas reales con uno, cero y cero en la primera fila es: /3 1/3 4/3 2/3 2/3 1/3

31 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos n n En general, las ecuaciones que definen los cuadrados mágicos n n para cualquier n 5 son muy fáciles de obtener (igual que antes). Pero qué hacemos para obtener bases o formas lineales? Podemos escoger el siguiente esqueleto y obtener una base:

32 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos n n Bases elefante

33 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos n n Bases elefante

34 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos n n Bases elefante

35 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos n n Bases elefante

36 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos n n Bases elefante

37 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos n n Si completamos los n 2 2n cuadrados mágicos con 1 en una de las posiciones del esqueleto y 0 en el resto, tendremos una base para los cuadrados mágicos de enteros. Las formas lineales dadas por dicha base se pueden ver en la siguiente figura:

38 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos n n n 3 de ellos n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 5 n I n 3 de ellos n 1 n 1 n 1 0 I I I n I 0 n n n 2 n 2 n n+4 n+3... n+3 n I 0 n I I I I I I I 0 n+5 n+3... n+3 n+2 n+3 n

39 Cuadrados mágicos Cuadrados mágicos n n n n 1 n 1 n 1 n 3 de ellos n I n 1 0 I n 3 de ellos n 1 n I I n

40 Conjetura de Hardy-Littlewood Conjetura de Hardy-Littlewood Conjetura de Hardy-Littlewood generalizada (Green y Tao, 2008) Dados un sistema de formas Ψ : Z d Z t, Ψ = (ψ 1,..., ψ t ), y un cuerpo convexo K [ N, N] d K Z d Ψ 1 (P t ) β N d log t N p primo donde P = {primos}, β N d = vol d (K Ψ 1 (R t +)) y β p son unos factores locales (uno para cada primo p). Para K convenientemente elegido, β N d = vol d (K Ψ 1 (R t +)) es el número de tuplas con entradas en [0, N] que satisfacen lo que queremos (ser un cuadrado mágico en nuestro caso) sin imponer la condición de que las entradas sean primas. β p

41 Conjetura de Hardy-Littlewood Conjetura de Hardy-Littlewood Conjetura de Hardy-Littlewood generalizada (Green y Tao, 2008) Dados un sistema de formas Ψ : Z d Z t, Ψ = (ψ 1,..., ψ t ), y un cuerpo convexo K [ N, N] d K Z d Ψ 1 (P t ) β N d log t N p primo donde P = {primos}, β N d = vol d (K Ψ 1 (R t +)) y β p son unos factores locales (uno para cada primo p). Para cada primo p se define β p = E n Z d p i Λ Z p (ψ i (n)), donde Λ Zp es la función local de von Mangoldt, Λ Zp : Z p R +, Λ Zp (0) = 0 y Λ Zp (b) = p φ(p) = p p 1 si b 0. Esperamos que p primo β p converja a una constante no nula. β p

42 Conjetura de Hardy-Littlewood Conjetura de Hardy-Littlewood Conjetura de Hardy-Littlewood generalizada (Green y Tao, 2008) Dados un sistema de formas Ψ : Z d Z t, Ψ = (ψ 1,..., ψ t ), y un cuerpo convexo K [ N, N] d K Z d Ψ 1 (P t ) β N d log t N p primo donde P = {primos}, β N d = vol d (K Ψ 1 (R t +)) y β p son unos factores locales (uno para cada primo p). Luego si todo va bien y si la conjetura es cierta, tendremos que el número asintótico de las estructuras en que estemos interesados es C Nd log t N. β p

43 Conjetura de Hardy-Littlewood Conjetura de Hardy-Littlewood Conjetura de Hardy-Littlewood generalizada (Green y Tao, 2008) Dados un sistema de formas Ψ : Z d Z t, Ψ = (ψ 1,..., ψ t ), y un cuerpo convexo K [ N, N] d K Z d Ψ 1 (P t ) β N d log t N p primo donde P = {primos}, β N d = vol d (K Ψ 1 (R t +)) y β p son unos factores locales (uno para cada primo p). Del mismo modo que el teorema del número primo nos dice que la probabilidad de que un entero elegido al azar cerca de N sea primo es 1/ log N, la conjetura afirma que la probabilidad de que un punto elegido al azar en Ψ(Z d ) Z t + de magnitud N tenga todas sus coordenadas primas es p β p/ log t N. β p

44 Conjetura de Hardy-Littlewood Complejidad La conjetura es cierta para problemas que no sean demasiado difíciles. Green y Tao introdujeron una medida de cómo de complicado es un problema de este tipo. Se llama complejidad: i-complejidad a lo sumo s: complejidad: mínimo s para el que la i-complejidad (i = 1,..., t) es a lo sumo s.

45 Conjetura de Hardy-Littlewood Complejidad Ejemplo (k-progresiones aritméticas): Ψ(a, b) := (a, a + b, a + 2b,..., a + (k 1)b) tiene complejidad k 2 porque cualesquiera dos formas a + ib y a + jb generan sobre Q cualquier combinación lineal de a y b. a + ib a + jb } (j i)a (i j)b } Ejemplo (primos gemelos): Ψ(a) := (a, a + 2) tiene complejidad porque cada forma está en el espacio afín generado por la otra. Ejemplo (Goldbach): Ψ(a) := (a, 2N a) tiene complejidad porque cada forma está en el espacio afín generado por la otra.

46 Conjetura de Hardy-Littlewood Complejidad Hardy-Littlewood, Vinogradov, La conjetura es cierta para sistemas de complejidad 1. Green-Tao, 2008 La conjetura es cierta para sistemas de complejidad 2. Green-Tao-Ziegler, 2011 La conjetura es cierta para sistemas de complejidad 3, 4,... <.

47 Conjetura de Hardy-Littlewood Complejidad Aunque es un poco técnico, con las formas lineales dadas por nuestras elegantes bases, podemos calcular la complejidad del problema para cuadrados mágicos: El sistema de los cuadrados mágicos 3 3 tiene complejidad 3. Para todo n 4, los sistemas de los cuadrados mágicos n n tienen complejidad 1.

48 Volumen de politopos Calculando β Recordemos que β N d = vol d (K Ψ 1 (R t +)). Para cada n 3 y N 0, elegimos K = K n (N) = {x R n2 2n : 0 ψ i (x) N para i = 1,..., n 2 } donde las ψ i son las formas lineales dadas por nuestras bases. Así, en nuestro caso β,n N n2 2n = vol n 2 2n(K n (N)) y tenemos que calcular el volumen de K n (N), que, al ser todas las formas lineales, es vol n 2 2n(K n (1))N n2 2n. En el caso de cuadrados 3 3, el politopo K 3 (1) está definido por las 18 desigualdades: 0 a + b 1 0 a b c 1 0 a + c 1 0 a b + c 1 0 a 1 0 a + b c 1 0 a c 1 0 a + b + c 1 0 a b 1

49 Volumen de politopos Calculando β Y podemos visualizar el politopo (1/2,0,1/2) (1/2,-1/2,0) (0,0,0) (1/2,1/2,0) (1,0,0) (1/2,0,-1/2) y calcular su volumen (2 pirámides con área de la base 1/2 y altura 1/2), que es 1/6. Luego β,3 = 1 6. Hay otra forma de calcular el volumen con la que podamos aprender más y que podamos generalizar a dimensiones mayores?

50 Ehrhart Teorema de Ehrhart Teorema de Ehrhart (vértices enteros) Si P es un politopo convexo cuyos vértices tienen coordenadas enteras, el número de puntos de coordenadas enteras en las dilataciones NP para N = 0, 1, 2... viene dado por un polinomio en N cuyo grado es la dimensión de P. E(0) = 1, E(1) = 3 y E(2) = 6 interpolando E(N) = N N

51 Ehrhart Teorema de Ehrhart Además, el volumen del politopo original es el coeficiente del término de mayor grado (podemos pensar el volumen como el ĺımite cuando N del número de puntos enteros en la dilatación por N dividido entre N d ). N 1 1 N

52 Ehrhart Teorema de Ehrhart Teorema de Ehrhart (vértices racionales) Si P es un politopo convexo cuyos vértices tienen coordenadas racionales, el número de puntos de coordenadas enteras en las dilataciones NP para N = 0, 1, 2... viene dado por un quasi-polinomio en N cuyo grado es la dimensión de P y cuyo periodo divide al mínimo común múltiplo de los denominadores de los vértices de P. El número exacto de cuadrados mágicos 3 3 con entradas enteras en [0, N] es: { N E 3 (N) = 3 /6 + N 2 /2 + 4N/3 + 1 if N 0 (mod 2) N 3 /6 + N 2 /2 + 5N/6 + 1/2 if N 1 (mod 2) y el volumen del politopo K 3 (1) es 1/6.

53 Ehrhart Teorema de Ehrhart Para el caso de cuadrados mágicos 4 4 podemos interpolar el quasi-polinomio con un ordenador: 8389N N N N N N N N si N 0 (mod 6) 8389N N N N N N N N si N 1 (mod 6) 8389N N N N N N N N si N 2 (mod 6) E 4 (N) = 8389N N N N N N N N si N 3 (mod 6) 8389N N N N N N N N si N 4 (mod 6) 8389N N N N N N N N si N 5 (mod 6)

54 Ehrhart Teorema de Ehrhart Para cuadrados 5 5 este enfoque para calcular el volumen exacto del politopo llevaría muchísimo tiempo, incluso haciéndolo con un ordenador. Sí es sencillo demostrar que el volumen del politopo de interés es un número estrictamente comprendido entre 0 y 1 para todo n 3 (los coeficientes de cada Ψ i suman 1). Cualquier otro enfoque conocido, tampoco ayudaría mucho a medida que N crece. En general, calcular el volumen exacto de politopos en dimensiones cada vez mayores es difícil. Como ejemplo ilustrando lo anterior, en el caso del politopo de Birkhoff, B n, uno de los politopos más importantes y estudiados (y mucho más sencillo que el nuestro; por ejemplo, tiene vértices enteros bien conocidos), sólo se conoce el volumen exacto para n 10 y el caso n = 10 llevó casi 17 años de tiempo de ordenador.

55 Cálculo de factores locales Factores locales Utilizando el principio de inclusión-exclusión y separando los primos pequeños, podemos determinar los factores locales β p para todo primo p. Para todo n 3 el producto de los factores locales converge a una constante no nula.

56 Resultados Para todo n 3 Teorema (V., 2012) El número de cuadrados mágicos n n cuyas entradas son números primos en [0, N] es S n N n2 2n log n2 N, donde S n = vol n 2 2n(K n (1)) p primo β p,n es un número real estrictamente positivo. Además, tenemos un algoritmo para calcular S n.

57 Resultados Para n = 3 Teorema (V., 2012) El número de cuadrados mágicos 3 3 cuyas entradas son números primos en [0, N] es S 3 N 3 log 9 N, donde S 3 = p primo p 5 ( ) ( ) p (p 1) 2 p 1

58 Resultados Para n = 4 Teorema (V., 2012) El número de cuadrados mágicos 4 4 cuyas entradas son números primos en [0, N] es donde p primo p 5 S 4 N 8 log 16 N, ( ) ( ) 1 p (p 1) (p 1) (p 1) (p 1) (p 1) (p 1) p 1 1 8

59 Más resultados Cuadrados mágicos con entradas distintas Se suele imponer a un cuadrado mágico la condición de que sus entradas sean todas distintas. Dado que se conocen cuadrados mágicos con todas sus entradas distintas para cualquier longitud del lado del cuadrado (cuadrados mágicos normales), cada una de las ( ) n 2 2 ecuaciones del tipo x i x j = 0 para i [1, n 2 1] y j [i + 1, n 2 ] es linealmente independiente con las 2n ecuaciones que definen los cuadrados n n. Así, el número de cuadrados mágicos (sin primos o con ellos) con alguna repetición es de un orden de magnitud menor y todas las fórmulas asintóticas dadas son válidas también para el número de cuadrados mágicos con todas sus entradas distintas.

60 The end