APUNTES DE LA ASIGNATURA: 9,% 5 $&,21(6 ASIGNATURA OPTATIVA DE 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL TEMA 6 EQUILIBRADO DE MÁQUINAS Y MECANIS MOS

Transcripción

1 s cul técnc s up o d ngn os ndus t ls y d tlcounccón tlkounkzo t ndus t ngn n go lko s kol APUNTES DE LA ASIGNATURA: (/(0(176'(0É8,1$6 < 9,% 5 $&,1(6 ASIGNATURA OPTATIVA DE º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL TEMA 6 EQUILIBRADO DE MÁQUINAS Y MECANIS MOS

2 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

3 INDICE 6.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA 6. E 6..1 Ecucón dl ovnto 6.. Máquns d qulbdo státco 6. D 6. A G 6.5 E Bstdo bsculnt 6.5. Punto nodl 6.5. Copnscón cánc 6.6 EQUILIBRADO IN SITU CON UNA CALCULADORA PROGRAMABLE 6.7 EQUILIBRADO DE MOTORES ALTERNATIVOS Equlbdo d un oto d un solo clndo Método d l s gn 6.7. Equlbdo d otos con vos clndos Moto d cuto clndos Moto d ts clndos Moto d ss clndos Otos otos 6.8 EQUILIBRADO DE MECANISMOS Método d Bkof-Lown d los vctos lnlnt ndpndnts 6.9 E ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

4 6.1 Dscpcón dl pobl! " Sbos qu los sfuzos sob l slbó n d fnc d un cnso, o sob l sopot d #$ %'& () * # # ()# # # # & &, " - sfuzos pudn povoc vbcons qu vcs pudn lcnz pltuds plgoss. Incluso unqu no lo fun, ls vbcons sotn los cojnts cgs ptds qu povocn l fllo po ftg d ls pzs. Po tnto, n l dsño d quns no bst & () &,.() /0 1! /&! % o po lo nos duc, n p nstnc, ls fuzs d nc qu poducn sts vbcons. Culqu slbó n o lnto qu s ncunt n otcó n pu pud, tó cnt, st & - & 56 7(), "8 9 9& $ - * : %; < & = < 6 6>& 6 >, > > >$ %? nos qu l vbcó n o scudnto sn A ()A& A - B C A -$ A D $ "E F -$ F = G() F ; $ "H I J I I & I I - 8 K L $ 1) L %' # %' M -$ #& # * # - & N5L J O$ P$ J " Ls pts n otcó n pudn, y gnlnt dbn, s dsñds coo nhntnt Q& F R, R ">S R %> T() U UV tolncs d poduccó n hcn qu hy lgún pquño dsqulbo n cd un. Po lo tnto,!!&! $! W &!!&! L L & 7 L L - ")X gntud y loclzcó n d culqu dsqulbo pudn s dtnds con bstnt xcttud, y copnsds l gg o qut tl n ls ubccons cocts. En st t studos nlítcnt có o dtn y dsñ un stdo d qulbo -$ O5 $ L L 7 () ;57 L L 7 # () #$ & YZ coo otos ltntvos o slbonntos d cuto bs. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

5 6. Equlbdo státco L confgucó n ostd n l fgu 1 s copon d un cobncó n d un dsco y un j, qu dscns sob unos ls ígdos y duos, d tl n qu l j, qu s supon s pfctnt cto, pud od sn fccó n. S fj un sst d fnc xyz n l dsco qu s uv 9 "*S <& < -. )& F& T T -$ -$ J S J ' J () J & $ J J J " ' < J -$ S dj od lbnt l sst j-dsco hst qu vulv l poso. ' YZ & % & J$ O YZJ J J& J " S c, con un tz p S pt l opcó n cuto o cnco vcs. S ls cs qudn dspss n lugs dfnts lddo d l pf, l dsco s ncunt qulbdo státcnt. S tods ls cs concdn, l dsco s ncunt státcnt dsqulbdo, lo YZ $ 5< " L poscó n d ls cs con spcto l sst xy ndc l ubccó n ngul dl dsqulbo; po no su gntud. Es pobbl qu culqu d ls cs qud loclzd 180º d ls stnts, un < O, <& <. < -$ 6 6 ' 6& ; 6 ' YZ $ " S s dscub qu xst dsqulbo státco % - s pud cog lnndo tl J &, : % o bn ggndo s l pf 180º d l c. Pusto qu s dsconoc l gntud dl dsqulbo, sts coccons s dbn hc po tntos. S s ntoduc l ptcpcó n d un s d nsyo, s pud dtn l coccó n ntoduc n l sst: S A l c lzd n los nsyos ntos y A l punto studo 180º. Po lo % $J N() J& J& ' J J J J O 5) " ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

6 Colocndo un s n l pf dl dsco (d do ) sgún un dccó n & & ' % ' $J J$ % $ J ' )& " ϕ un s * = / tgϕ ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO S s ontn un dsco y un j dsqulbdos sob unos cojnts, y s hcn %P & $G! G 0 Gω qu s lust n l fgu. Est fuz qu ctú sob l j poduc ls ccons gtos n los cojnts ndcds n l fgu. P dtn l cucó n dl ovnto dl sst s stblc l sgunt notcó n: : s totl dl sst. u: s no qulbd. k: gdz dl j; un núo qu dscb l gntud d l fuz ncs p flct l j un dstnc unt cundo s plc n O. Po tnto, k tn ls undds d nwton / to. c: cofcnt d otgunto vscoso. Fgu Ej con dsco dsqulbdos S s slccon culqu coodnd x nol l j, ho s pud scb F = kx cx& x && 0 ugω cosωt = 0 X J, J J -J, J O $J () J & F YZ x = ω u G cos ( ωt ) ( k ω ) c ω dond J $ & 7 ugω y l pltud X d l vbcó n dl j; po tnto, s l ; y su vlo s: 1 cω = tn () k ω S "!$#&% ω ) dl dnondo d () fu co, l pltud d x sí uy gnd dbdo qu só lo stí ltd po l constnt d otgunto c, qu po lo gnl s 5 & : "O () ω F F '!$#&% ω ) s co, cb l nob d vlocdd ngul ntul (ωn), vlocdd cítc % 5O fcunc ccul ntul: (1) () ω n = k () ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

7 En l studo d ls vbcons lbs, s dust qu xst un vlo dl otgunto c qu no conduc vbcó n lgun, sno un dsplznto otgudo qu tnd co. Est vlo s conoc coo otgunto cítco y s xps dnt l cucó n: c = ω n A pt d st vlo, s dfn l lcón d otgunto ξ, coo l cocnt nt l otgunto l dl sst y l cítco; sto s: c c ξ = = (6) c ωn & 5) L& - $ F otgunto, ξ - $J & J J () J & ) " ξ J J & J J J J,! % -J J& J )& Llndo X x = X cos t ( ω ) S ho s dvd l nudo y l dnondo d dch pltud X nt k, s dsgn l xcntcdd coo = G, y s ntoducn ls cucons () y (6), s obtn l zó n X = ( ω ω ) ( 1 ω ω ) ( ξω ω ) u n n n cucó n qu nos popocon l zó n d pltuds d l vbcó n d un conjunto d dsco y j gndo. S no s consd otgunto, s hc = u, y s susttuy con G: ( ω ωn ) ( ω ω ) X = G (9) 1 dond G s l xcntcdd y X s l pltud d l vbcó n cospondnt culqu zó n d fcuncs ω ωn. Aho, s n l fgu s dsgn O coo l cnto dl j n l dsco y G coo l cnto d s dl dsco, s pud llg $ conclusons ntsnts, l psnt! " - pc lustdo n l fgu, n dond D & D & $ n sob l j vtcl y l zó n d fcuncs lo lgo d l bscs. Fgu Apltud dl ovnto X & : 7 & YZ $ L E E E&, ()L O 7& 7& L () ; 7 # "' M # # # M # -$# O%' G? G G 5= YZ, -$, 0 cntos d los cojnts. D st n, l fgu popocon nfocó n tnto sob ls lcons d pltud coo sob l fs. (5) (7) (8) ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

8 DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, 5T $ & >(), 5 L fcunc ntul s ωn & : & & - " ; /() YZ %K & %! YZ #& * () #0 %' # & # ξ = 0) n # /() l vlocdd ()/5< cítc (sonnc). 5) Al ps l untndo l vlocdd. X B $ B () %N %N B B & B P () B 9() () $B / % & P $ () 9 YZ %8 9 9 $9 () 0 9 % J - $J J N & & () % -G. En tl lín cntl d los cojnts. $ - gnn vbcons ndsbls y ccons gtos n los cojnts. A l ho d tt d solv st pobl, s pud duc l xcntcdd G utlzndo qupos d qulbdo -$ % & J $J & " % & & : G, sp s pudn sp pobls cundo ω = ωn. $ %!!! &, L L 5) 8 L O L %) L$ F $F : G ; F F& I& J I W I$ & I I posbl, con l fn d vt qu s dsolln vbcons plgoss. 6.. MÁQUINAS DE EQUILIBRADO ESTÁTICO & &, > > >$ >& > O 6 O >& O %? >& > -$ qulbd. En cso d no stlo,, ndcndo su gntud y ubccón. X F$ F& -$ só lo p pzs cuys dnsons ) #& : (tnn l fo gnl d un dsco dlgdo), coo po jplo: ngns, pols, uds, lvs, vntldos, volnts pulsos. %<& Con fcunc cbn & $ - l nob d F I I I& " I & >& - % I - $I? I () ()GG plnos; %P po & s potnt $ G hc not G -$ quí qu s s dbn G L ont vs () W uds sob un j qu H - % & J $J& J ' YZ J J O& ". " " " " " pz un fuz d gvdd o un fuz cntífug. Y s h vsto qu l conjunto dsco-j L L, L 8 #& 0 # * $ # # & % # 5< YZ$ " - %, L 5) L L O L L L () " PL L& L 8 K L 0 L 8# vlocdd pdtnd. Entoncs, s podín d ls ccons n los cojnts y utlz sus & " H -!&! -$!! / ton ls dcons, s us un stoboscopo p ndc l ubccó n d l coccó n qud. ; L $ E E - qu d tnto l gntud coo l ubccó n dl dsqulbo, y popocon l coccó n d J -N5L$ & ". J J& J & J J O ' ' J& " ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

9 X - $ & ' J - N & " & qu pud nclns n culqu dccó n (squ B B.). Cundo %N P& s ont n su B pltfo " L dccó n d l nclncó n d l ubccó n dl =5T $ θ (fgu.b) ndc l gntud. S sul cu cto otgunto & J ' O O & " ' $ J J J -$ En l fgu 5, s ust un nvl unvsl coo l qu s sul ont sob l & < < <$ <& < "*X L L < 6& 6 6 5E # - -$ F F& & F onzs-pulgds. Un bubuj, qu s ust n l cnto, s uv con l dsqulbo ndc tnto l ubccó n coo l gntud d l coccó n qu s ncso ntoduc. ' ; () () & J& J J$ J J J -$ ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

10 6. L fgu 6 psnt un oto qu s v ont sob los cojnts A y B. S podí supon qu s colocn dos ss guls 1 y n los xtos opustos dl oto, y dstncs guls 1 y dl j d otcó n. Pusto qu ls ss son guls, 1 = y s ncuntn n ldos opustos dl j d otcó n, s pud coloc l oto sob ls, coo s,j J % & J & ' J J J -$ J J N O poscons nguls. ' ; ' $ J! %W & $ - S l oto s hc g un vlocdd ngul ω cntífugs 11ω y ω, spctvnt, n 1 y B 0 B& $ B B B sob B los YZ xtos dl oto. Ests FA y FB, y todo l - 7 $ P 7() 9 ω. Po consgunt, un oto pud. Fgu 7 Ejs dsqulbdos ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

11 Así, n l fgu 7, s psntn los dos csos d dsqulbo: En l fgu 7., s psnt un j con!! 9! YZ! -$ 9 9 9& J5L <. Cundo < < l oto g,, "*S ls $ O J -$J J J J YZ % O O $ J " X 7 " & 9 9 YZ 9 -$ 9 9& 9 9 $ " ; l oto $!! g, l dsqulbo! / & W & -! c un p qu tn!! volt / l /! oto. El / conjunto YZ " s ; O O $ J - J J J& % & N J O & - " # M #$ %' # -, # # # ## # # M YZ # # & & 6, % & $6 ; 6, 6 # # 6 5)!&!& 8 K 8 L& %) 0) L O57 YZ L L ". %) pudn () povoc 5G 9 & & otos 9 os YZ "*H. o dsqulbos n %* <& un clbdo < npopdo, < - $ po l xstnc d - J O - & J J J$ O cs sp % 5 * =& = -$> - >& O 6 YZ %? 6 > & O > 6 %? 0? > dccons d sts ccons gtos n los cojnts, sn dfnts. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

12 6. dsqulbo El objtvo d st ptdo s ost có o nlz culqu sst gtoo % 5 9 & & & C C $ " P dtn l gntud y ubccó n d ls coccons, s usn ls dos cucons dl J J O - O $ F = 0 M = 0 (10) G G G ) Sbos qu l fuz cntífug s popoconl l poducto gto, sndo l fcto d popoconldd l cuddo d l vlocdd ngul ω. Dds ls ts ss -$ d l fgu " X 8., s supon () - qu gn % & & n un solo plno y, po tnto, 0! s un cso d % - $ J J O O d ls ts ss 1R1, R, R R coo s ndc. En st cso, l p d ls cucons d (10) s plc constuyndo un polígono d fuzs (fgu 8.b). Pusto qu st polígono qu d oto vcto R c c p cs, l J J J, J $J& & crc y su dccó n pll R c. Fgu 8 Sst d ts ss gndo n un plno. Polígono d fuzs cntífugs ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

13 ; & % $!! W / cucons d (10). Así, l fgu 9. s un vst dsd un xto d un j sob l qu s hn ontdo ls ts ss 1, y ls dstncs dls spctvs R1, R y R. L fgu 9.b s un vst ltl dl so j ostndo los plnos d coccó n zqudo y dcho, sí coo ls dstncs ls ts ss. S ds hll l gntud y l poscó n ngul d ls coccons ntoduc n cd plno. ' < J $ J J O& " $ O $ J!! El p!& pso % d l solucó 5) L n s 7 to un ")S L su d los O 8 -L L O L ontos d ls fuzs cntífugs A n l plno zqudo d coccó n, p ln l onto d l s zqud d coccó n. Aplcndo l sgund d ls cucons d (10): l R l R l R I R = 0 (11) R R R Ecucó n vctol n l qu ls dccons d los vctos son plls, spctvnt, los vctos R d l fgu 9.. Ello pt constu l polígono d ontos d l fgu 9.c. Aho bn, unqu l fgu 9.c s l conoc coo polígono d ontos, s convnnt constt qu los vctos qu coponn st polígono posn un gntud popoconl (ω ) l onto n A socdo cd un d ls fuzs cntífugs, po l dccó n dl vcto d poscó n cospondnt R. El vddo polígono d ontos s obtndí hcndo g l " % T T & - () - l R % 5 $ ω. Sn bgo, d st n l vcto d c l R dl polígono pldo popocon d R R R ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

14 fo dct, no só lo l gntud % 6 dccó n d l coccón qud p l plno dcho. Aho y s fctbl hll ls cntdds R y RR y qu, gnlnt, l gntud d RR s un dto dl pobl. Po consgunt, s pud scb l cucó n: F = R R R R R 0 (1) 1 1 R R L L = Pusto qu, d l s n qu RR, l gntud d RL sul s conocd, st cucó n s sulv p l coccó n zqud LRL, constuyndo l polígono d fuzs d l fgu 9.d. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

15 6.5 Ls undds n qu s d l dsqulbo po costub hn sdo l onz-pulgd (oz pulg), & $ - G -G G W l go-cntíto (g c) y l undd híbd d go-pulgd (g pulg). S s sgu l SI $ & & P S W & & YZ n & st sst s l lgo-to (g "P $ %P&? G G G 1000; & $ n conscunc, & no YZ s cond l & - pfjo cnt 5)%! & %L C& C nobd db tn pfjo. Po consgunt, no s dbn utlz l go-cntíto n l klogo-líto, unqu bos tnn gntuds cptbls. Antont, s h consttdo l hcho d qu " p dscos, uds, ngns y lntos ottvos sjnts, " " ! 9$ L$ L %* stud n un solo plno d otcón otos d tubns o otos, l psnc d fuzs cntífugs dsqulbds dn lug ps cuyo fcto s tnd qu l oto s volt. El popó sto dl s d l p dsqulbdo y gg un nuvo p n l dccó n opust y d l s gntud. Est nuvo p s ntoduc dnt l dcó n d ss n dos plnos d coccón pslccondos, o bn, l lncó n d ss (hcndo pfocons) n dchos dos plnos. J % $ -$ $ 5)% % J, %, J J $ J J& &, " - / &,, J& J /() J $ "WH P % " " db d l gntud y ubccón ngul d l s d coccón p cd uno d los dos plnos d coccón. H : & J $ ts étodos T& d T uso gnl n l dtncó n d ls coccons bstdo bsculnt, punto nodl y BASTIDOR BASCULANTE En l fgu 10, s psnt un oto qulb ontdo sob dos cojnts o odllos F -$ F YZ =I I I & II - J "? I I? J conct un oto pulso po do d un tculcó n unvsl. Exst l posbldd d hc bscul l bstdo lddo d culqu d los dos puntos (pvots) qu, su vz, s justn p concd con los plnos d coccó n dl lnto qu s v qulb. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

16 ' < J $ " J - ' En l cso d l fgu, l pvot zqudo s ust n l poscó n lbd, y l bstdo y l oto qulb pudn bscul lbnt n tono l pvot dcho. En cd xto dl - %) L L 7 ;5 %) - 5) L K YZ L # - # $ d un solo gdo d lbtd. En uchos csos, stos sots y otgudos s hcn justbls d n qu s pud hc concd l fcunc ntul dl sst con l () > O & "? > %? > - > G G B & B dsplznto studos n cd xto dl bstdo. Estos tnsductos d dsplznto & $ L M - 7 7L %) - 8 L L $ L& # # # bstdo qu s uv n lcó n con un bobn stcon, gnndo d st n un tnsó n popoconl l dsqulbo. ; L 7& () 7 -$ L 7 L 7 7& 7 L, %) L& O YZ * B!5G / - <5I$,,. Ls lctus ' %&!!!! &! & () YZ L O $L oto plno d coccó n lguno n tono l so. En fcto, un dsqulbo con l pvot d l dch fjo s un dsqulbo cogbl n l plno zqudo d coccó n y poduc un vbcó n cuy pltud s d dnt l ndcdo zqudo d pltud. Cundo s ntoduc (o s d) st coccó n, s lb l pvot d l dch, s fj l d l zqud y s hc oto conjunto d dcons p l plno d coccó n d l dch, plndo l ndcdo d pltud d l dch. L lcó n nt l gntud dl dsqulbo y l pltud dd vn dd po l cucó n (8). Rodnndo y susttuyndo po : X = xpsó n n l qu: u ( ω ω ) ( 1 ω ω ) ( ξω ω ) u s l dsqulbo n n s l s dl conjunto fodo l bstdo y l oto X s l pltud dl ovnto dd n (1) ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

17 Est cucó "B n ust qu " l pltud % dl ovnto $ X s dctnt & popoconl, l dsqulbo u " 6 #$ #& 6 ; 6 6 ' otgunto dtnd ξ dlbdnt con l fn d flt udos y ots vbcons qu pudn fct los sultdos. $ % W 5) N, E - 9 E # & #5 ots condcons dl do bnt. L fgu ust qu d l sonnc (ω = ωn), pusto qu, p un dsqulbo ddo, n st gó n s gst l $ ) J & " Fgu 11 Apltud d vbcó n vs Dsqulbo E %/ 5)! :,!! conct J O l O J & j pulso. S % J l ond snodl () $J gnd s cop, " con - l ond stblcd po uno, / " $ & % -, J J $ J N N5L J J J J ' J J " fsíto O& J J J,! % J J J )&, J& J J$ J N 1 ξω ωn = tn (1) 1 ( ω ω ) n # " # # -# # $ # # -#, #& # # #, # otgunto ξ. Est cuv ust qu, n l sonnc, cundo l vlocdd ω dl j y l - YZ % J & () $ fcunc ntul ωn L L$ ")S K L& L & 8 M * -$# # YZ$ # M & % $ = 90º?5 $ - J& & & % & < <$ ) < YZ "* < -< J " 6 6 () B() ω unt po nc d l sonnc PUNTO NODAL L spcó n d los plnos d qulbdo utlzndo un punto d vbcó n co o ín cb l nob d étodo dl punto nodl d qulbdo. L fgu 1 pud yud & ', N J - J " ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

18 Aquí l oto qu s v qulb s ust ontdo sob YZ -$ YZ R sopot qu cb l nob d b nodl. En pncpo, s supon. 65) -$F n l plno d coccó n d l zqud (plno A) y qu todví xst un dsqulbo n l plno dcho (plno B), tl coo s ndc n l fgu. ' J & J 6 ' Dbdo st 6! GG dsqulbo, G& s poduc un vbcó n n todo l conjunto, hcndo qu l & B E "/ E N %/ E$ O, ocupndo ltntvnt! & ls poscons CC y DD!! $! *5T O, dslzndo & un loj copdo () J JJ J () punto nulo o nodl. Dcho punto consttuy l cnto d osclcó n p un cnto d pcusó n studo n l plno d coccó n d l dch. Hy qu cod qu s h supusto coo hpó tss d ptd qu no xstí dsqulbo! & L L, L L L 1) L %) K ) - L L %) L l dí l loj & - & copdo ubcdo n l punto % nodl $ qu s cb d & dtn.! Po! lo tnto, l stu l loj sn ntfnc lgun dl qu xst n l plno d l dch. D n sjnt, s pud ncont oto punto nodl qu só lo d l dsqulbo n l plno d coccó n d l dch sn ntfnc lgun dl qu xst n l plno d l zqud COMPENSACIÓN N E E$ E E E E #(), E "WS & P $ 9 9 contfuzs n cd plno d coccó n O $J J qu qulbn xctnt ' N ls J J fuzs qu () povocn l vbcó n. El sultdo d ntoduc sts " %, 5# l contfuz, p obtn l coccó n xct qu s qu. Est étodo cb l nob d. ; = = = = &, = $ %; = & = () = * = 9 99 < ) & < - $< <& J L O() "* ). <& & B& B A A A % C () A A, A () % A %E& utopulss s s tt, po jplo, d un oto d gsoln. El qupo lctó nco s spl, G5 F$ F $ ; F &?5)F F ; F T& T $ %5U 5U, dctnt. X E " & 5)!, & &, $ " obsv un xto dl oto, s v uno d los plnos d coccó n con l dsqulbo qu s v cog psntdo con ω. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

19 ' J J &, J $! ' J&, J J O& O & unt l vbcó n, (b) sst copnsdo E # E & # dos psos copnsdos. Estos ts psos dbn g con l s vlocdd ngul ω, po s pud hc v l poscó n ltv nt bos psos copnsdos, y n lcó n con l pso no qulbdo, po do d dos contols: Un contol hc v P$ α nt los psos copnsdos. Es l contol d gntud, y d un lctu dct cundo s copns l dsqulbo dl oto. PT T $ β, poscó n ngul d los psos copnsdos n lcó! P n con l B - B& dsqulbo. %N B Es l contol B P d ubccó P : n y, cundo s copns dsfs ngul xcto dl dsqulbo. S %'& * YZ & %' # # # /(), - /5< & voltíto, s sguí l copnscó n cundo l npulcó n d los contols pt consgu qu l lctu n l voltíto fus co. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

20 6.6 Equlbdo n stu con un clculdo pogbl S & $ Z Z% & 7() "W 7 % sn bgo, los fctos cuzdos y l ntfnc d los plnos d coccó n nudo qun qu s qulb cd xto dl oto dos o ts vcs p lcnz sultdos - - " $ %. 8 E 9$ 9& E E -= =& ' N() J J % J$ O O J & J J " %& J J$ C El C C C& $ - qulbdo n stu s ncso " p %L C otos uy gnds otos d lt vlocdd s qulbn n l tll dunt su fbccó n, con fcunc sult ncso volvlos qulb n stu dbdo lgs dfocons poducds po l tnspot, po flunc o po lts tptus d opcó n. Tnto Rthbon coo Thl hn dsolldo étodos d qulbdo n dos plnos n stu qu s pudn xps hcndo uso dl $ & YZ y s sulvn con un clculdo pogbl. El tpo qu s ho n us un clculdo pogbl s d () /!! &!! / / $ /!! $ /! 7 & YZ usndo un clculdo cntífc odn. J $ O J % J $ J O J J& J & ' O & YZ R = R/θ = θ = x y (15) Fgu 1 Equlbdo n stu n dos plnos. Notcó n y fnc xy En l fgu 1, s supon qu xstn los dsqulbos dsconocdos ML y MR n los plnos d coccó n zqudo y dcho, spctvnt. Ls gntuds d stos dsqulbos son ML ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

21 56 $ y MR R y L 5) - % - $ pt d l fnc d ()! l otcó /& n. Un / vz qu s y dcho p log l qulbdo. Los dsqulbos gtoos ML y MR poducn ptubcons n los cojnts A y B. Los qupos cocls p qulbdo n stu ptn d ls pltuds y los dsfss L < - L& "*S < $6 6, X = X/, con los subíndcs popdos, p dsgn sts pltuds. En l qulbdo n stu, s llvn cbo ts nsyos (Método d ls ts cs): PRIMER ENSAYO. S dn ls pltuds XA = X A A y XB = X B B n los cojnts A y B, dbds só lo los dsqulbos ognls ML = ML L y MR = MR R. SEGUNDO ENSAYO. S gg l s d nsyo L = L θ L l plno d coccó n d l zqud y s dn ls pltuds XAL = X AL AL y XBL = BL BL X n los cojnts zqudo y dcho (A y B), spctvnt. 5T : TERCER ENSAYO. S ln l s d nsyo L = L θl &!!,!! %! () nsyo R = θ R R ls pltuds n los cojnts: XAR = X AR AR y XBR = X BR BR. ; -? G G & %P Z G G 5)? qu dsqulbo d nsyo, s s utlz un dstnc unt dsd l j d otcó n. P dsoll ls cucons p l dsqulbo dfnos po l concpto d gdz coplj. S ntnd coo tl l pltud qu sultí n culqu d los cojnts dbd un dsqulbo unto ubcdo n l ntsccó n d l c d fnc gto (dsfs nulo) y uno d los plnos d coccó n. Po tnto, s ncso ncont ls gdcs copljs (AL, BL) y (AR, BR) dbds un dsqulbo unto ubcdo n l ntsccó n d l c d fnc gto los plnos L y R, spctvnt. Conocds ls gdcs, y d cudo con los ts nsyos dsctos ntont, s podín scb ls sgunts d cucons copljs: XAL = XA AL L XBL = XB BL L XAR = XA AR R XBR = XB BR R (19) ; O P O 5) % O O $ J O, O J - O (16) (17) (18) AL = (XAL XA) / L BL = (XBL XB) / L AR = (XAR XA) / R BR = (XBR XB) / R (0) (1) () () ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

22 D st fo, un vz dtnds ls gdcs n ls cucons (0) (), y d cudo con l dfncó n d gdz coplj, dl p nsyo s tn: XA = AL ML AR MR XB = BL ML BR MR (5) () $ - & % & dsqulbos ncó gnts n bos plnos d qulbdo: X ABR X BA R X BA L X ABL ML = MR = (6) A LBR A RBL A LBR A RBL = F G$ = F& F G F& & YZ %OF %O I ctngul coplj. () ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

23 6.7 Equlbdo d otos ltntvos EQUILIBRADO DE UN MOTOR DE UN SOLO CILINDRO En l fgu 15., s psnt l cnso d pstó n-bl-nvl cospondnt un oto d un solo clndo. En st cso, l nvl no s hy qulbd, y qu su cnto d gvdd G s ncunt dsplzdo con spcto su j d otcó n (punto O). Po ot pt, - $ T T () T () & dtncó n d ls ss quvlnts dl sst (A, B) loclzds n l psdo (A) d l nvl y n l psdo (B) d l cod o pstó n, spctvnt. L zó n d sto s qu l psdo d l nvl s uv sob un cículo y l dl pstó n n lín ct; ovntos O 5O$ O J " Fgu 15. Mcnso pstó n-bl-nvl con nvl no qulbd Fgu 15.b Mss quvlnts n l cnso pstó n-bl-nvl Consdndo l cnso coo cnso plno, ls ss gtos (A) n un oto & -$ 9 & 9! 5)9! 9 - cpítulo, po no sí ls ss con ovnto ltntvo (B); po lo tnto, n st ptdo hblos, n ldd, dl dsqulbo. No obstnt, unqu ls ss con ovnto ltntvo no s pudn! qulb U usndo un, U U spl contpso, A A s s posbl A$ odfc AA ls fuzs d scudnto dsqulbndo ls ss con ovnto ottvo. H YZ & % : $ & & - &! ()! 5)!! )! l s gto quvlnt n l td d l s quvlnt con ovnto ltntvo (po lo ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

24 %8 < < :. < ) & < J5 < < < < () < < () ltntvo p lt ls cctístcs d qulbdo n los otos d un solo clndo). Dsgnndo l s dl contpso po C, l fuz d nc dbd st contpso s F = ω cosωt ω snωt j (7) C C C Nó ts qu tnto l s pld p qulb coo l psdo d l nvl tnn l so do. Dsgnndo po A y B ls ss quvlnts d los lntos con ovnto ottvo y ltntvo, spctvnt, s tn: B C = A J J &, J J % J J! ' J& J F C = A B ω cosωt A B ω snωt j A su vz, l fuz d nc dbd ls ss ottvs (FA) y ls ss con ovnto ltntvo (FB) spond l xpsó n: F A,B x y = F F j = ( ) ω cosωt ω cosωt ω snωt j A B Al su ls cucons (9) y (0), s obtn l fuz d nc sultnt coo: B F = ω cosωt ω B l B l B cosωt ω snωt j En dch xpsó n (1) s suln dstngu dos coponnts vctols: L coponnt p d l fuz d nc sultnt: qu tn un ó dulo d vlo ω % & J & ' J N() - ' J N() J B -ω, 5L -$J - J& ' -() - (gndo hc tás B ω (cosωt snωt j) L coponnt scund: coponnt stnt d l xpsó n (1) y qu sult s ω l y qu g ( hc dlnt ) con l poyccó n x d un vcto cuyo ó dulo s ( ) un vlocdd ngul ω. L & s poduc cundo ω N5)%! % N() J N() F x = ω 1 B l y qu cosωt = cosωt = 1 cundo ωt = 0. B A (8) (9) (0) (1) () ()! "#!!" " $ %&! ' ( (& "! ) "#!* (!", -. $ ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

25 % : N W & W $ ) J % J J )&,! C, l fuz d nc = ω Fx B 1 () l H * %' # - # %' M -# M & J / $ ) scudnto n un 50% d l coponnt p y gg fuzs d nc vtcls n dond nts no xstín. En l fgu 16, s psnt un dg pol d l cucó n (1), p un vlo /l d ¼: El vcto OA g n sntdo opusto l d ls nclls dl loj con vlocdd ω y su poyccó n hozontl, OA, s l coponnt scund. El vcto OB, coponnt p, g n l so sntdo d ls nclls dl loj con ω. S ust l fuz totl d scudnto F p l poscó n P G 7() - OB y BB = OA. Fgu 16 - Fuz totl d scudnto Método d l s gn - 5) El étodo d l s gn dfndo y pldo po Stvnsn.. E étodo dl oto vtul, poqu utlz lo qu s podí ll un oto vtul qu g n sntdo conto p cb pt dl fcto dl pstó n n un oto d ovnto ltntvo. Ants d nt n dtlls, s ncso xplc un cbo n l notcó n l ho d v l cículo d l nvl d un oto. Al dsoll l - sccó n y l qu sgu, s utlz l sst coodnds d l fgu 17, n l qu l j y s loclz gndo n l so sntdo dl ovnto d ls nclls dl loj pt d x, y dond l otcó n postv s ust con tl sntdo. S dopt st notcó n poqu s h utlzdo dsd hc ucho tpo n l ndust utoovlístc. ' J J J J " ;, ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

26 & - %!!! / / / l td d l s quvlnt con ovnto ltntvo n l ó nco ptcul studdo. El popó sto d sts ss fctcs s plz los fctos d l s con ovnto ltntvo. () Ests O ss gns P5L -$ J O N J J J gn lddo dl cnto d l nvl, n dccons opusts y con punto uto supo (PMS) coo n l punto uto nfo (PMI) coo s v n l fgu 17. L s B/ g con l () ovnto B -$B d l B B nvl 9 y l B& ot s -B/ B B B n sntdo B$!5F opusto. L s qu g con, l opust, con un sgno nos. L dfncó n y dstbucó n stblcd p bs ss pt sgu qu l cnto d s d ls dos ss gtos qud sp sob l j dl pstó n o clndo.,& l ovnto dl pstó n y l fuz d nc < 6 6 sultnt sp 6 s pudn % psnt dnt # # & un s d 6 6 Fou. () Est tpo 6, d s & J N N5L & J " J % & $ & : & & % , 9! & : = =, %; < =$ < YZ " * & %; - > > - $ psnts los ó ncos ps (tco, qunto, tc.) po l stí dl ovnto dl pstó n. Po lo tnto, cd ó nco, po, sgundo, cuto, tc., s psnt dnt un p d ss gns. Ls vlocdds nguls d sts ss son ±ω p l p ó nco, & # M % 59 0' () " ; () $# * ±ω p l sgundo, ±ω cunt dl sxto ó nco n dlnt. Stvnsn sug ls sgunts gls p ubc ls ss gns: - P culqu poscó n dd d ls nvls, ls poscons d ls ss gns I I I >$ > >& J I () II& J I punto uto supo y ovndo ls ss gns, n sntdos opustos, unos $ T T $ () & &!, consddo.. O O$ O J $ JJ& ' J J J&, J J& J J J () " - & - A A oto d un solo clndo, consdndo úncnt l p ó nco. En l fgu 18, l s B/ loclzd n A g l vlocdd ω con l nvl, n tnto qu l s -B/ n B g l vlocdd -ω opust l otcó n d l nvl. S pud qulb l s gn n A ggndo un s gul n A, p qu g J : " S C %# -$ pud qulb po l dcó n n po l sustccó n d ss n culqu pt dl : % - ' J J, J & - " ' J J J gn ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

27 Cundo l td d l s quvlnt d pts con ovnto ltntvo s qulb d st n, s dc, ggndo l s n A, l pt no qulbd dl p ó nco, dbd l s n B, hc qu l oto vb n l plno d otcó n n fo gul n tods ls dccons, coo un vdd s gto no qulbd. %) L En st sntdo, L L sult ntsnt L sb $ qu n los YZ otos # # # d otocclt d # # un solo L YZ ")H 8 -L, %) 7 -$ J O$ O J J J J J J J () sobqulbdos J () utlzndo un contpso cuy. Sn bgo, sult posbl qulb l sgundo ó nco y ó ncos supos con!!9 ()! : %8 9 ) < &.<,. : " = %O F F ; F F =, J YZ J J& 7() : (coo n l cso dl oto Plyouth Aow d 1976), po l costo d un coplccó n tnd qu hc qu no sult un solucó n hbtul EQUILIBRADO DE MOTORES CON VARIOS CILINDROS H I J I &, I $ I?& I I I I > E() clndos, consdos un oto d dos clndos n lín cuys nvls tn un spcó n d 5 =& = () 5) F F = F & "O - G & I I & J - % N J $ % J N " Fgu 19 Esqu d un oto d dos clndos n lín O & # O & F& F, F T dg d l fgu 19.. En ll s ust qu ls ss 1 y, qu gn n l so sntdo dl ovnto d ls nclls dl loj, s qulbn nt sí, coo lo hcn ls ss O& 1 y O,, qu gn n O -$ J sntdo opusto O N J l d ls nclls dl J& J -J loj. Po consgunt, &, J J ls J () fuzs d. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

28 S %W 7 " () -! 9 -$ 9 9 9& " H -E, %. E $ E - & 9 9 = * lddo dl j y. S pudn dtn los vlos d stos ps, sndo posbl qulb l p dbdo ls ss gtos ls, lo so qu ls sss gns qu gn con l oto; sn bgo, no s pud qulb l p dbdo l ss dl p ó nco qu -$J J J J " En l fgu 0., s ust l ubccó n d ls ss gns p l sgundo ó nco, plndo l gl d Stvnsn. En st dg, s obsv qu -$ F ls fuzs d los sgundos ó ncos. Pusto qu los $ ) psntn n los puntos utos, cs sp s tzn los dgs p st poscó n xt, colocndo l nvl 1 n l PMS, coo n l fgu 0.b. Fgu 0 Mss gns p l sgundo ó nco. H, J N5L JH S Est dsqulbo poduc un vbcó n n l plno xz d fcunc ω. El dg p los cutos ó ncos, sí l so qu l d l fgu 0.b, só lo qu con vlocdd s ω Moto d cuto clndos -$ I & L fgu > 1.c ust l squ d un oto d cuto clndos n lín cuys nvls " - I s pud tt coo s fun dos otos d dos clndos uno cont l oto. Po consgunt, ls fuzs dl p ó nco sgun qulbds 5)%J $ %! " 5 % T -$ T I I& I &, " ; - % - J& N $ -() YZ : / J YZ % b y hc bjo, y dobl l cnto d un j d dos cojnts, n l s fo. Fgu 1 Esqu d un oto d cuto clndos n lín ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

29 En l fgu 1.b, s constt l hcho d qu cundo ls nvls 1 y s ncuntn n l punto uto supo (PMS), tods ls ss qu psntn l sgundo ó nco y qu s dsplzn "' n bs M # # # dccons, s cuuln J J n s & -$ punto uto, poducndo YZ un fuz x y, po tnto, los sgundos ó ncos dsqulbdos povocn un vbcó n vtcl con un fcunc gul l dobl d l vlocdd dl oto. Est cctístc s típc d todos los otos d cuto clndos con st dsposcó n d ls 0 9 & 9 9 " %M5G - O 0 J O % & JJ N J$ O () N5L YZ J P " Moto d ts clndos En l fgu, s lust un oto d ts clndos n lín con () & " X 9 -$ = < = con l odn n l qu llgn l punto uto supo. En l fgu, s obsv coo ls fuzs d los pos, sgundos y cutos, -$ & qulbds y só lo ls fuzs d los, -$ copltnt dsqulbds; no obstnt, l gntud d sts fuzs 5 & : 5 & dspc po lo qu spct l vbcó n qu ntoducn n l sst. Fgu Esqu d un oto d ts clndos n lín ' < J N O J O - O,! % % $ 7 L 7& 7 L ; 7 M& *, # -# # # # () 1 s ncunt n l punto uto supo (fgu ), xst un coponnt vtcl d ls fuzs n ls nvls y, cuy gntud s gul l td d l fuz sob l nvl 1. L sultnt d sts dos coponnts hc bjo s quvlnt un fuz hc bjo, con gul gntud l d l fuz sob l nvl 1 y loclzd l td nt ls nvls y. Así pus, s stblc un p con un bzo gul l dstnc nt l cnto d l nvl 1 y l lín cntl nt ls nvls y. Al so tpo, ls coponnts hozontls d ls ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

30 fuzs y s cncln nt sí, l gul qu ls fuzs y (fgu ). Po lo tnto, no xst p hozontl. S ncuntn ps sls p los sgundos y cutos ó ncos. Po lo %W P 7 5)9 -$9 9 9& 9 9 & -9 ls fuzs d los pos, sgundos y cutos ó ncos, no qud todví lb d vbcons dbdo l psnc d ps n stos ó ncos Moto d ss clndos S s concb un oto d ss clndos n lín coo un cobncó n d dos otos d F F & & %J F F & %N $ T nhnt d los pos, sgundos y cutos ó ncos. Y, n vtud d l stí, los ps d B 9 G G - $ B B & - L5I $ 0 " - & %) L - L& - L % LL 8 M : 59 # YZ# M :!$ 5E 6 G G G -, G0 G& G G &, GG!() " %J F F, F -$ & G5F # vbcó n n l plno vtcl, con un fcunc d 6ω. Sn bgo, l gntud d sts fuzs O 5L& : N5L& $ - J & J N J N(), " Otos otos Tondo n consdcó n l dsposcó n d los clndos y l spcnto d ls nvls, 6& 6 s () - pudn ; 6 obtn, 6 ' un gn cntdd G& G, d confgucons. G %P P culqu G cobncó n, S & -, & $ & qu S s hn dscto. () ), $!!!& W &!! & W -$ % 5 () E E E E$ popdos pt d s so punto uto supo. Esto s ptculnt potnt cundo s nvstgn otos dls y d pstons opustos. ; J YZ & O& $ - % & J & J - O O& J ' En un oto dl % d ts clndos () -$ con un nvl y ts & bls qu tnn l so psdo d los pos ó ncos, n tnto qu ls ss postvs s loclzn sp n l psdo d l nvl. Estos dos hllzgos son nhntnt vddos p todos los otos dls. Asso, pusto qu l oto dl tn sus clndos n un solo $N O J plno, no s poducn ps O J dsqulbdos. O O, En culqu P5L, cso, l O & oto d ts " clndos Un oto d dos clndos con pstons opustos, con un spcnto d ls () 7 %) -$L L& #? # & %'?59, 1 & J J -$J J& J O& " -$G G& G L < )& Un oto d cuto., clndos %*& < < n lín < -$< < con nvls L& "* 90º 6 ' 6, 6 -$N J& J P O J& J O&. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

31 -$ Un oto d ocho clndos n lín con nvls 90º qulbdo & J J -$J tnto p J J ls fuzs coo J, p " los ps n l p y sgundo ó ncos; -$L L Un oto d ocho clndos n V con nvls 90º p ls fuzs n l p y sgundo ó nco y p los ps n l sgundo. A su vz, & O J los ps no qulbdos J J& ' n l -5L & - " p ó nco - N s pudn & J J qulb ' -$J po do d p ls fuzs n l cuto ó nco. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

32 6.8 Equlbdo d cnsos S $ -$Q Q Q Q Q Q ccons qu s jcn sob l slbó n d fnc dl cnso, o l sopot d l $ % # - " H ; % # #& # 6 6? son l qulbdo d l fuz d scudnto y l dl onto d scudnto. En l qulbdo d fuzs s potnt l poscó n dl cnto totl d s. S s pud ncont un n d hc qu st cnto totl d s s ntng &. Lown y Bkof llgon ctlog & scudnto n un cnso: - El " ", n l qu ls ss concntds d los slbons J - 5) J J - O J O J J -$ J () " - El, n l qu s obtn un xpsó n nlítc p l cnto d s y lugo s npul p sb có o s pud nflu n su tycto. - El, n l qu l cnto d s d un cnso s hc stcono, povocndo qu s nuln los cofcnts d los & K & E E, E E E # 5) - E 8 totl d s. - El uso d ss pulsds po lvs p ntn stcono l cnto d s. - L dcó n d un cnso duplcdo xlnt dnt l cul s hc stcono l nuvo cnto totl cobndo. Sn bgo, n lo qu l pobl dl qulbdo dl onto d scudnto s f, Lown y Bkof pns nconton unos cuntos studos sob l pobl MÉTODO DE BERKOF-LOWEN DE LOS VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES S O()L# *& * & # - # #& # M # # # % 59 $ 6 E # E F F &, F ; FF F F F bs típco. El pocdnto sgudo s l sgunt: ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

33 Dtn l cucó n d l tycto dl cnto totl d s dl slbonnto. -J, J $J P O 5) O O & J - & " Hc stcono l cnto totl d s cbndo l poscó n d ls ss d los () %. / dpndn dl tpo. H - %! $,. =() - untos qu dpndn dl tpo contndos n l cucó n sn lnlnt ndpndnts. En l fgu, s psnt $ qu tn ls ss d los slbons loclzds n los I T : puntos G. A su vz, ls coodnds (,,) dscbn ls poscons d cd uno d stos puntos dnto d cd slbó n. ; & D D poscó n dl cnto totl d s dl slbonnto po vcto s : ' ; $ J = s 1 M ( ) s s s n dond ( s, s, s ) son los vctos qu dscbn ls poscons d, y, "H G % 5 spctvnt, & J $ J & n l sst d coodnds xy YZ s s s = = = 1 ( θ ) θ θ 1 ( θ ) ( θ ) Po oto ldo, l s totl dl cnso M s: M = (9) Al susttu l (6), (7) y (8) n l xpsó n (5): θ θ θ θ1 Ms = ( ) ( ) ( ) 1 (9) ( αβ) α β & J& ' & ' P O J J " n dond s h usdo l dntdd = S & %8 9, vctol d c dl ccuto tn l fo: θ θ θ θ1 1 = 0 (5) (6) (7) (8) (0) ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

34 DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES H % # 6 & 6 & θ, θ y θ d l xpsó n (9) no son lnlnt ndpndnts. P hc qu lo sn, s sulv (0) p uno d los vctos untos, po jplo θ, y s susttuy l sultdo n (9). D dond: ) ( θ θ θ θ = (1) Con lo qu ho (9) s convt n: s M θ θ θ = () L xpsó n () nos ust qu l cnto totl d s pud hcs stcono n l poscó n 1 1 s ) ( M θ = () J J O O O J P O J & J - & 0 = () 0 = (5) Po l cucó n () s pud splfc loclzndo G spcto l punto B, n lug d hclo n lcó n con l punto A (fgu ). En tl cso, ' ' = (6) Y con st susttucó n, l cucó n () s convt n: 0 ' ' = (7) Po lo tnto, p obtn l qulbo totl d ls fuzs d scudnto s dbn - =! 5! "G - %G U $ coplj, conducn dos conjuntos d condcons (guldd n ó dulo guldd n fs): ' = y ' = (8-9) = y π = (50-51)

35 Un studo d sts condcons pt copob qu s pudn spcfc d ntno l s y su ubccó n p culqu slbó n ndvdul; y lugo s pud obtn l qulbo coplto coodndo l s d los otos dos slbons. El pobl usul n l qulbdo d un slbonnto d cuto bs s qu ls longtuds d los slbons vnn nolnt dfnds po l solucó n dl pobl d 0 $ & " ; - % & G, 5) & G G & G G0 %P & G G& $ : N & ntd y sld, con l objto d dstbu sus ss, sn qu po llo s lt l gotí dl tc slbó n ó vl (copldo). J % J J : J & O J J - ' O O = * * * (5) n dond, y & $ % * * *, y son los & $ # ' & 5 6 #& $ # #, y (8) (51). Un sgund condcó n qu s pcso stsfc n gnl s = 0 * S l solucó n p un pobl d qulbdo pud pnc coo l poducto sdstnc, no s ncso us l cucó n (5), y s pud solv l (5) p llg * * * * * = = tn ( ) ( ) ( )[ cos( )] 1 sn cos sn cos 0 0 En l fgu 5, s lust un slbonnto típco d ss bs y l notcó n cospondnt. (5) (5) (55) Fgu 5 Eslbonnto d ss bs ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

36 DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, P st cso, ls condcons d Bkof-Lown p qu xst un qulbdo totl son: = 5 = 6 = b 6 b 6 ( '5 α ) '6 ' ( α ) (56-58) S pudn d lcons sls p otos slbonntos d ss bs p l qulbdo totl. Ls cucons (56) (58) ustn % & # 6 qu s pcso 6 / - stsfc un G & dtnd? lcó n s-gotí nt los slbons 5 y 6 ss d dos slbons culsqu sí coo sus ubccons. Entoncs s log l qulbdo dnt un dstbucó n d ls ss d los ts slbons ó vls stnts. Es potnt hc not qu l dcó n d contpsos p qulb ls fuzs d & &, & & &, $ d scudnto. Po consgunt, dcud posbl nt stos ts fctos. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

37 6.9 En l ptdo nto, s xplcó l fo d qulb ls fuzs d un slbonnto & % J OJ$ O & % & J J J & " Po dsgc, sto no qulb los ontos d scudnto y, d hcho, s pobbl qu los & G GG G, & " S Ẅ $ Ẅ - () copust d vos cnsos, s podí consd l qulbdo d l s, qulbndo cd cnso po spdo. Sn bgo, pud s qu sto no conduzc l jo E& E E$ %. EE = =, = = = = = = & <& D 9 D, D D D D & & "= $ %= dsqulbo d un cnso pud contst l dsqulbo d oto, lnndo n p nstnc l ncsdd d lgunos contpsos. En st sntdo, Stvnsn dostó qu culqu ó nco spl d fuzs, & qulb ggndo ss contpsos. Estos s dsponn sob ts otos, dos po oto, pulsdos l vlocdd constnt dl ó nco, y dfndos d fo qu tngn los js pllos, K L L L # spctvnt, #$ cd " uno d los ts js utunt ppndculs qu psn po # - # # # & YZ# #& # n st cuso, vl l pn xn l plntnto gnl: ;$ clcons lnls y nguls d cd uno d los cntos d s, () O J J$ % & J J J J& OJ J J J J J J () " Clculo, o dtncó n xpntl, d ls ss y los ontos d nc d los O J J$ " Clculo d ls fuzs d nc, ontos d tosó n d nc y ontos d ls fuzs; & & tondo 9 E& E& 8 coo sst d fnc E E E E los ts js E$ d coodnds " utunt * - <& & % $ & %K & 5 p los ontos. &, # M $ J, & J, J & J fuzs no qulbds, plls los ts js, y los ontos no qulbdos n tono stos ts js. H E E E, %. E & = * = = =$ = & $6 6 ωt L $ # M ωt, # # con los subíndcs 5) # popdos. Entoncs, 7-7 L 7 7 & "' - # & $ # ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

38 L L L L L ; 7 L N O J&! J J J & ωt y snωt qudn J ultplcdos " po gupos ;!!! $L L - LL () L 7& L 7 7& - 5L O O$ O N % O& J O O& O J " S () -, % & $ YZ % T T & T -T T %!& YZ & %! () J J J& J J J$ " ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES