TEMA 1 El conjunt dels nombres reals

Transcripción

1 Te 1. El cojut dels ores rels TEMA 1 El cojut dels ores rels El cojut dels ores rels està fort per u ore ifiit d eleets. Aquests eleets l vegd pertye ltres sucojuts dels ores rels. Així docs grupe els ores rels e qutre sucojuts que est iclosos dis del cojut dels ores rels. Aquests sucojuts só: N: Cojut dels ores turls. Està fort per ifiits eleets. És u cojut ordet, és dir es pot estlir l relció és gr que, i o coplert, és dir que etre dos ores turls cosecutius o hi h cp ltre ore turl, o dit d u ltr er que hi h espis uits etre dos ores turls cosecutius. Pode represetr quest cojut prtir d u líi rect. L orige dels ores turls és el zero Z: Cojut dels ores eters. Està fort per tots els ores turls i pels seus siètrics, és dir pels ores turls u sige egtiu l dvt. Té és u cojut ordet, és dir que es pot estlir l relció és gr que, i o coplert, és dir que etre dos eters cosecutius o hi h cp ltre ore eter. Té pode represetr-lo prtir d u líi rect o l eter zero està just l ig Q: Cojut dels ores rciols. Està fort per tots els ores eters i pels ores frccioris. Els ores frccioris ocupe les zoes que hi h etre dos ores eters cosecutius de er que e represetr-los sore l rect terior sel que quest es coplet j que etre dos ores rciols qulssevol sepre existeix co íi u ltre ore rciol (per exeple l itj ritètic). + Pode expressr els ores rciols de dues fores diferets i equivlets per l teix ore rciol. - Co ore frcciori. - Co ore decil. o Els ores frccioris tee el següet specte < o > (1 o i só ores eters. Tots els ores rciols es pode 1 Els ores frccioris >, s oee frccios ipròpies i es pode expressr co, o +=. EXEMPLE: 4 1 = 1 4 = Per Roger Muricio Grñó

2 Te 1. El cojut dels ores rels expressr co u frcció de ores eters. Ar é, té pode expressr questes frccios co u ore decil. o Els ores decils só u for equivlet d expressió dels ores rciols. N hi h de dos tipus, els ores decils exctes i els ores decils periòdics. - Els ores decils exctes s escriue de l següet for 13, Prt eter Dvt de l co troe l prt eter del ore rciol i drrer l prt decil. Fixeu-vos que l prt decil està ford per u ore fiit de xifres. - Els ores decils periòdics es pode expressr co 13, o l prt decil està ford per u ore ifiit de xifres i o u cert ore de xifres es v repetit. Aquestes xifres s oee el període del ore decil. De l expressió frccioàri l expressió decil. Prt decil Tots els ores rciols es pode expressr de for equivlet de for frccioàri o decil. A és he de ser pssr de l u l ltr. Sigui el ore rciol expresst co 7 3. Per oteir-e l for decil oés cl fer l divisió i prr qu coeci repetir-se els decils o qu l rest sigui zero , Per pssr de l for decil periòdic l frcció procedire de l següet er. Sigui el ore decil periòdic següet 1, Aoee x quest ore. Per Roger Muricio Grñó

3 Te 1. El cojut dels ores rels x = 1, , x = x = , x = 1. x = x 100 x = , , = Si el ore és decil excte, l oteció de l frcció és és siple. Per exeple, sigui el ore 1, x = 1, 10 x = 1 x = = 10 5 A quest roet els tics grecs cosiderve que els ores rciols copletve tot el vetll de ores possiles i que qulsevol xifr uèric és podi expressr quest ores. L prdox v veir prtir d u filòsof i teàtic grec, Pitàgores, que el seu teore v estlir l relció etre l hipoteus i els ctets e u trigle rectgle. Aquest teore estleix que l relció etre les logituds dels ctets i l logitud de l hipoteus dels trigles rectgles ve dod per: + = c c Cosidereu u qudrt costts de logitud l uitt. Si trceu l digol d quest qudrt veureu que l sev logitud o es pot expressr co u ore rciol. 0 1 Teore 1: El ore irrciol irreductile. o es pot expressr co u frcció Deostrció Per deostrr l eucit terior usre el ètode de reducció l surd. Supose que sí pode expressr co u frcció irreductile, és dir = o i só ores eters. Aleshores pode escriure que: = = = De = estli que és u ore prell. Si és prell leshores té ho h de ser (= k = =(k k)=( k k) ). Això vol dir que és divisile per i que es pot expressr co = k i =4 k. Podeu deostrr vosltres teixos el teore de Pitàgores. 3 Per Roger Muricio Grñó

4 Te 1. El cojut dels ores rels = 4 k = k Pel teix roet d s, té és divisile per i per tt l frcció iicil = es pot siplificr, cos que cotrdiu l suposició iicil. Per tt veie que si supose que es pot expressr co u frcció irreductile, leshores ixò es port l cotrdicció que l frcció es pot siplificr per. I: cojut de ores irrciols. Coté els ores que o es pode expressr co u frcció i és u cojut ordet. Só els ores que coplete l rect o represetàve els ores rciols. Així docs l rect coplert s oe l rect rel. R: cojut de ores rels. Coté tots els ores que he estudit s. És u cojut ordet i coplert, és dir etre dos ores rels qulssevol hi h ifiits ores rels. E el cojut dels ores rels es pode estlir dues opercios àsiques que li dor estructur de cos. Les opercios e el cojut dels ores rels. El cos (R,+, ). E el cojut dels ores rels defii dues opercios, su (+) i producte ( ). Aquestes opercios só tcdes, és dir els resultts que s otee elles só ores rels. A és els eleets i les opercios del cos dels ores rels (R,+, ) copleixe u sèrie d opercios que cové recordr. 1. Propiett ssocitiv. Sigui, i c tres ores rels (,,c R). Aleshores es coplirà: SUMA +(+c) = (+)+c PRODUCTE ( c) = ( ) c. Propiett couttiv. Sigui i dos ores rels (, R). Aleshores es coplirà: SUMA + = + PRODUCTE = 3. Propiett distriutiv. Sigui, i c tres ores rels (,,c R). Aleshores es coplirà: 4. Existèci de l eleet eutre. (+c) = + c No es copleix : + c = (+) (+c) 4 Per Roger Muricio Grñó

5 Te 1. El cojut dels ores rels 5. Existèci de l eleet siètric. SUMA PRODUCTE +0= 1= 0 s oe ZERO 1 s oe u SUMA PRODUCTE +s =0 i = 1 s=- 1 1 i = = ; 0 Acotció dels ores rciols i irrciols. Acotr u ore rciol o u ore irrciol vol dir clculr-e l sev proxició u ore deterit de xifres decils. Evidetet qu fe quest proxició coetre u error d proxició. Per ores rciols. Defii docs l error solut de l proxició d u ore rciol co: e = x o x és l proxició i el ore excte. Té defiire l error reltiu de l proxició del ore rciol co: e ε = o e és l error solut de l proxició i el vlor excte del ore rciol. Per ores irrciols. E el cs dels ores irrciols, el vlor excte o es pot coèixer i per tt el què he de fer és trellr les seves proxicios per excés i per defecte. E quest cs defiire l error solut de l proxició co: e = x excés x defecte i l error reltiu de l proxició del ore irrciol co: ε = e x defecte 5 Per Roger Muricio Grñó

6 Te 1. El cojut dels ores rels EXEMPLE. Clculeu el vlor proxit de vol dir que x excés -x defecte < 0,01. u error solut eor d u cetèsi. Això NOTA: Aplicre l desigultt següet etre ores rels. Sigui, R. Si < <. Aplict quest propiett, procedire tror l cotció de. 1 < < 4 1 < < veie que està etre 1 i. 1,1 = 1,1 1, = 1,44 1,3 = 1,69 1,96 < <,5 1,4 < 1,4 = 1,96 1,5 =,5 < 1,5 veie que està etre 1,4 i 1,5. 1,41 = 1,4641 1,4641< <,0164 1,41< < 1,4 veie que està etre 1,41 i 1,4. 1,4 =,0164 1,411 = 1, ,41 = 1, ,413 = 1, , < <,005 1,414 < 1,414 = 1, ,415 =,005 < 1,415 veie que està etre 1,414 i 1,415. Repàs d opercios rdicls i potècies. Co que els ores irrciols o es pode expressr co frccios, per escriure ls exctitud els hure d expressr l rrel correspoet i per tt hure d operr sepre ell. Producte de rdicls = Quociet de rdicls = Potèci d u rdicl ( ) = Arrel d u rdicl = Co j seu els rdicls es pode expressr co u potèci d ídex frcciori =. Producte de potècies: teix se i expoet diferet Quociet de potècies de l teix se = = + Potèci d u potèci ( ) = 6 Per Roger Muricio Grñó

7 Te 1. El cojut dels ores rels Producte de potècies: teix expoet i ses diferets ( ) Quociet de potècies: teix expoet i ses diferets PROBLEMES. Pg. 0 1,, 6, 10 Pg. 37 Pg. 36 1, 5, 7,1, = = 7 Per Roger Muricio Grñó