Temas a tratar. Análisis de Fourier DFT/FFT. Análisis en frecuencias. Un poco de historia... Un poco de historia... Un poco de historia...

Transcripción

1 emas a raar Análisis de Fourier DF/FF Inroducción Series de Fourier ransformada coninua de Fourier Propiedades y ransformada inversa ransformada discrea de Fourier Alias de muesreo en el dominio de la frecuencia Algorimos de cálculo. 4/8/ Señales y Sisemas Análisis en frecuencias La luz del sol puede descomponerse en un especro de colores. El sonido puede descomponerse en señales de frecuencias puras. Ese análisis puede exenderse ambién a una amplia variedad de señales analógicas o digiales. Un poco de hisoria... En 87 Fourier esudiaba el fenómeno de la conducción del calor en un cuerpo. Le ineresaba en paricular el problema de la difusión del calor en los cañones 4/8/ Señales y Sisemas 3 4/8/ Señales y Sisemas 4 Un poco de hisoria... Un poco de hisoria... Sabía que: una cuerda puede vibrar de varios modos, pero odos armónicos (la relación enre sus frecuencias es un número fraccionario, Euler 748). las proyecciones de un vecor roaivo con velocidad angular fija sobre los ejes x e y dan el coseno y el seno del ángulo correspondiene. La noa producida por una cuerda vendrá deerminada por la longiud (L), la ensión (), la densidad (d) y la sección (S). Así, si disponemos de una cuerda muy ensa y fina, obendremos una noa aguda; y por el conrario, si la cuerda esá poco ensa y es gruesa, la noa será grave. 4/8/ Señales y Sisemas 5 4/8/ Señales y Sisemas 6

2 Un poco de hisoria... La frecuencia se puede enconrar a parir de la fórmula: f L d S Un poco de hisoria... Con esos concepos Fourier elaboró su eoría: Sumando funciones armónicas de diferene ampliud y fase podemos consruir cualquier función periódica (y la uso para resolver la ecuación del calor). El conjuno de esas armónicas forma el especro (por specrum, ewon 67). 4/8/ Señales y Sisemas 7 4/8/ Señales y Sisemas 8 Un poco de hisoria... Su rabajo fue publicado recién en 8: Qué es el Análisis de Fourier...? Análisis: Consise en aislar los componenes del sisema que ienen una forma compleja para raar de comprender mejor su nauraleza u origen. Lagrange Laplace 4/8/ Señales y Sisemas 9 4/8/ Señales y Sisemas Qué es el Análisis de Fourier...? Se dedica al esudio de señales: periódicas o no periódicas, coninuas o discreas, en el dominio del iempo, o de cualquier ora variable unidimensional, bidimensional o mulidimensional. En sus versiones más avanzadas esudia: procesos esocásicos, funciones de disribución, y opologías complejas, pero sus fundamenos siguen siendo muy simples. Qué es el Análisis de Fourier...? Las señales pueden ser an variadas como: La población de un país a lo largo de los siglos. La alura de las mareas en su ciclo mensual. La irradiación de una anena, en función del ángulo. La forma de onda de la vocal /A/ del francés. La iluminación en cada puno de una imagen de V. Las espigas de un elecroencefalograma (EEG). las rugosidades en el perfil de un erreno. las variaciones de resisividad elécrica, mienras se explora el perfil de un pozo de peróleo. 4/8/ Señales y Sisemas 4/8/ Señales y Sisemas

3 ransformada de Fourier La F es una represenación de una función en el dominio de la frecuencia: Coniene exacamene la misma información que la señal original Sólo difiere en la manera en que se presena Por ejemplo: Una onda cuadrada puede obenerse sumando: la fundamenal menos /3 de la 3er armónica... más /5 de la 5a armónica... menos /7 de la 7ma armónica... 4/8/ Señales y Sisemas 3 4/8/ Señales y Sisemas 9 Problema en el Dominioransformado Solución de Problemas Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (dominio ) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al ransformarlo al dominio f. Después, la ransformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original. Solución relaivamene fácil Solución en el Dominio ransformado El piano como analizador especral: Abrir la apa del piano y presionar el pedal que conrola la inensidad. Aplaudir fuere sobre el piano. Se verán y oirán las cuerdas vibrando como eco al sonido del aplauso. Las cuerdas que vibran muesran las componenes de frecuencia. La canidad de vibración muesra la ampliud de cada una. Cada cuerda acúa como un resonador sinonizado cuidadosamene. ransformación ransformada Inversa Problema Original Solución difícil Solución del Problema original 4/8/ Señales y Sisemas 4/8/ Señales y Sisemas uesro oído funciona así El oído como analizador especral Curvas de sinonía de las fibras del nervio audiivo iempo vs Frecuencia Enender la relación enre iempo y frecuencia es úil: Algunas señales se visualizan mejor en la frecuencia. Algunas señales se visualizan mejor en el iempo. Eso iene que ver con la forma en que se presena la información en cada dominio. Ejemplo: Una onda senoidal uiliza mucha información para definirse adecuadamene en el iempo, pero no en la frecuencia. 4/8/ Señales y Sisemas 4/8/ Señales y Sisemas 3

4 Funciones de Fourier La familia de Fourier Senos y cosenos con frecuencias discreas Series seno y coseno Exponenciales complejos con frecuencia discrea Series de Fourier Exponenciales complejos coninuos ransformada coninua de Fourier Exponenciales complejos discreos ransformada discrea de Fourier 4/8/ Señales y Sisemas 37 x() periódica no periódica muesreada Y si x() es aleaoria? Esimación Especral Serie de Fourier (discrea e infinia) (FS) (Caso Par/Impar Coseno/Seno) 4/8/ Señales y Sisemas 38 ransformada de Fourier (coninua) (F) ransformada de Fourier de una Secuencia Discrea (coninua y periódica) (DF) ransformada Discrea de Fourier (DF) (discrea y finia) ransformada Rápida de Fourier (FF) Si x() es aleaoria no puedo conocer exacamene su especro, debo esimarlo. Méodos: o paraméricos Paraméricos Subespacio Esimación especral 4/8/ Señales y Sisemas 39 Series seno: base ( ) sin nf n Series seno: ransformación a n / / x( )sin nf d 4/8/ Señales y Sisemas 4 4/8/ Señales y Sisemas 4

5 Series seno: inversa x( ) n 4/8/ Señales y Sisemas 4 n a sin nf Series coseno: b n ( ) cos nf x( ) n 4/8/ Señales y Sisemas 43 n n / / x( )cos nf b cos nf d Series de Fourier: base n ( jnf ) e Serie de Fourier Si x() = x(+) " a x( ) [ ak cos( k / ) bk sen( k / )] k donde / ak x( ).cos( k / ) d k,,,... / 4/8/ Señales y Sisemas 44 b k / / x( ).sen( k / ) d k,,... 4/8/ Señales y Sisemas 45 Serie de Fourier Si x() = x(+) " a x( ) [ ak cos( k / ) bk sen( k / )] k donde / ak x( ).cos( k / ) d k,,,... b k / / / x( ).sen( k / ) d k,,... 4/8/ Señales y Sisemas 46 f f c k x( ) / / x( ) e c e k k Serie de Fourier La forma compleja de la serie de Fourier es ( jk / ) ( jk / ) d 4/8/ Señales y Sisemas 47 Ecuación de Análisis k,,,... Ecuación de Sínesis

6 Serie de Fourier Especro de una señal periódica x() puede expresarse como una suma de armónicos de la frecuencia fundamenal / A a b k k k Especro de Magniud (Discreos) Especro de Fase A k arcgb a k k k k c k k / 3/ / 3/ / 4/ 5/ 6/ f k / / 3/ 4/ 5/ 6/ f k / 4/ 5/ 6/ f k / / 3/ 4/ 5/ 6/ f k 4/8/ Señales y Sisemas 48 4/8/ Señales y Sisemas 49 De la Serie de Fourier a la ransformada de Fourier La SF nos permie obener una represenación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas x(). Es posible exender las SF para obener una represenación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas? Qué ocurre cuando? f ó? 4/8/ Señales y Sisemas 5 Consideremos la función periódica: ren de pulsos de ampliud, ancho p y periodo : x( ) p p x() / /... p p -p / p / 4/8/ Señales y Sisemas 5 p Haciendo las cuenas Los coeficienes de la serie compleja de Fourier son (en ese caso odos reales): c n p p sen( n ) p ( n ) El especro de frecuencia correspondiene lo obenemos (en ese caso) graficando c n conra = n. 4/8/ Señales y Sisemas 53

7 f() f() f() f() f() Especro del ren de pulsos para p =, = Si el periodo del ren de pulsos aumena p =, = c n w=nw p =, = p =, = - - p =, = 4/8/ Señales y Sisemas /8/ Señales y Sisemas 55.6 c n.4....el especro se "densifica". p =, = En el límie cuando, la función deja de ser periódica: p =, = 5 =n.5 p =, = p =, = -5 5 p =, = Qué pasa con los coeficienes de la serie de Fourier? /8/ Señales y Sisemas 57 Si se hace muy grande (), el especro se vuelve "coninuo": ck x( ) / k x( ) e / ( c e k ( jk / ransformada de Fourier jk / ) ) d j f X ( f ) x( ) e d x( ) X ( f ) e j f df 4/8/ Señales y Sisemas 58 4/8/ Señales y Sisemas 59

8 ransformada coninua de Fourier: base (, f ) j f e Propiedades de la ransformada de Fourier 4/8/ Señales y Sisemas 6 En general la F es un complejo: X( f )=R( f ) + j I( f ) = X( f ) e j( f ) donde: R( f ) es la pare real de la F I( f ) es la pare imaginaria X( f ) es la ampliud o especro de Fourier de x() ( f ) es el ángulo de fase de la F X ( f ) R ( f ) I ( f ) ( f ) an [ I ( f ) / R( f )] Exisencia de la F X ( f ) si x( ) d Es decir, si la señal es de energía finia Las señales ransiorias cumplen con esa condición 4/8/ Señales y Sisemas 6 4/8/ Señales y Sisemas 63 Exisencia de la F Las señales periódicas (- no cumplen con esa condición. Se requiere la uilización de funciones generalizadas o eoría de disribuciones. d() f 3 () f () f () 4/8/ Señales y Sisemas 64 f m () = m exp[-(m) ]/ Linealidad Si x() y y() ienen ransformadas de Fourier X( f ) y Y( f ), enonces: a x()+b y() a X( f )+b Y( f ) 4/8/ Señales y Sisemas 65

9 Linealidad Simería (Dualidad) F{ ax( ) by( )} af{ x( )} bf{ y( )} x() y() X(f) Y(f) f f Si x() y X( f ) son un par de ransformadas de Fourier, enonces: X() x(-f ) x() + y() 4/8/ Señales y Sisemas 66 X(f) + Y(f) f 4/8/ Señales y Sisemas 67 Desplazamieno emporal (reardo) Si x() esá desplazada un valor o, enonces: Desplazamieno Frecuencial (modulación) Si X( f ) esá desplazada un valor f, enonces: x( - ) X( f )e -j f o X( f - f ) x() e j fo el desplazamieno emporal no afeca la magniud de la F 4/8/ Señales y Sisemas 68 4/8/ Señales y Sisemas 69 Escala emporal Si X( f ) es la ransformada de x(), enonces: Escala Frecuencial Si X( f ) es la ransformada de x(), enonces: x(k ) /k X(f/k) X( k f ) / k x(/k) 4/8/ Señales y Sisemas 7 4/8/ Señales y Sisemas 7

10 Efeco de la propiedad de escalado Mienras más coro es el pulso, más ancho es el especro. Pulso coro Pulso medio x() X(f) f f Funciones pares Si x p () es una función par, la F de x p () será par y real: x p () R p ( f ) Esa es la esencia del principio de inceridumbre en mecánica cuánica. Pulso largo f 7 4/8/ Señales y Sisemas 73 Funciones impares Si x i () es una función impar, la F de x i () será impar e imaginaria pura: x i () I i ( f ) Convolución en el iempo x( ) y( ) X ( f ) Y( f ) Convolución en la frecuencia x( ) y( ) X ( f ) Y( f ) o se cumple para la DF 4/8/ Señales y Sisemas 74 4/8/ Señales y Sisemas 75 De la F a la DF Qué ocurre ahora cuando discreizamos?: n f kf n, k, (simplificando un poco...)

11 ransformada discrea de Fourier: ransformación ransformada discrea de Fourier: inversa X k n x e n nk j x n X ke k nk j 4/8/ Señales y Sisemas 95 4/8/ Señales y Sisemas 96 ransformada discrea de Fourier: base n, k e nk j Ejemplo: Sigeach... Magniud y fase de la DF de una señal de voz (/a/) 4/8/ Señales y Sisemas 97 4/8/ Señales y Sisemas 98 Ejemplo: Sigeach... Ejemplo: Sigeach... Pare Real e Imaginaria de la DF de una señal de voz (/a/) Ora forma de verlo... 4/8/ Señales y Sisemas 99 4/8/ Señales y Sisemas

12 Algunas observaciones... Para poder realmene calcular la DF en la prácica debemos pasar de la señal analógica a una digial Eso parece relaivamene sencillo, pero no debemos olvidar que en general perdemos información. La señal original sufre 3 ransformaciones: Muesreo (variable independiene) Venaneo (variable independiene) Cuanización (variable dependiene) 4/8/ Señales y Sisemas Algunas observaciones... Muesreo: Solo medimos a inervalos prefijados por lo cual perdemos los cambios rápidos. Dependemos de la fiabilidad del reloj del sisema. Venaneo: Solo medimos durane un inervalo finio de iempo por lo cual perdemos los cambios más lenos. La forma de esa venana ambién afeca el resulado. 4/8/ Señales y Sisemas Algunas observaciones... Algunas observaciones... Una señal coninua...medida conra un reloj......maniene su valor enre cada pulso del reloj... Un reloj preciso conduce a valores precisos. Un error en el reloj se raduce en error en los valores. 4/8/ Señales y Sisemas 3 4/8/ Señales y Sisemas 4 Algunas observaciones... Algunas observaciones... Una eveno de la señal... Las componenes de ala frecuencia... que ocurre enre muesras... parece como......pasadas por un filro pasa bajos... si no hubiese esado allí...desaparecen 4/8/ Señales y Sisemas 5 4/8/ Señales y Sisemas 6

13 Algunas observaciones... Algunas observaciones... Una señal periódica... muesreada dos veces por ciclo... iene suficiene información como... Una señal de ala frecuencia......muesreada suficienemene rápido......puede verse odavía mal... 4/8/ Señales y Sisemas 7 para ser reconsruida 4/8/ Señales y Sisemas 8...pero puede ser reconsruida. Algunas observaciones... Una señal muesreada......debe ser procesada por un filro pasa-bajos......para reconsruir la señal original. Algunas observaciones... Una señal de ala frecuencia... muesreada a una asa muy baja... parece como... 4/8/ Señales y Sisemas 9 La respuesa al impulso del filro debe ser una sincrónica. 4/8/ Señales y Sisemas una señal de menor frecuencia. Algunas observaciones... Cuanización: La precisión esá limiada al número de bis disponible. Depende ambién del rango dinámico de la señal. Los errores inroducidos en el proceso son no lineales y dependienes de la señal. ambién pueden comeerse errores ariméicos denro del procesador debido a la precisión. Algunas observaciones... La precisión limiada en la cuanización......conduce a errores que dependen de la señal Ruido de cuanización (± ½ LSB) 4/8/ Señales y Sisemas 4/8/ Señales y Sisemas

14 Algunas observaciones... Por ello el especro de un ono puro......se ensucia cuando lo cuanizamos. Algunas observaciones... Ya no podemos movernos libremene enre el dominio frecuencial y emporal sin perder información: Debido a los errores producidos en los cálculos por la precisión, o a que hay información que no podemos medir o calcular. 4/8/ Señales y Sisemas 3 4/8/ Señales y Sisemas 4 Algunas observaciones... Como resumen: Debemos ener bien claros odos esos efecos y raar de minimizarlos al máximo, en función de los recursos disponibles. ransformada Discrea de Fourier DF Desarrollo Inuiivo 4/8/ Señales y Sisemas 5 h() H(f) h() H(f) f f Buscamos modificar el dominio de la variable iempo y el de la variable frecuencia para obener secuencias en ambos dominios apas de raarse mediane procesamieno digial. 4/8/ Señales y Sisemas 7 4/8/ Señales y Sisemas 8

15 h() H(f) h() D o () H(f)*D o (f) D o () D o (f) f -/ / f / / f 4/8/ Señales y Sisemas 9 4/8/ Señales y Sisemas h() D o () H(f)*D o (f) h() D o () H(f)*D o (f) / / f -/ / f Infinias muesras especro coninuo 4/8/ Señales y Sisemas 4/8/ Señales y Sisemas Alias h() D o () H(f)*D o (f) h() D o () H(f)*D o (f) x() -/ / f x() -/ / f X(f) -o / o / -o / o / -/o /o f Venaneo 4/8/ Señales y Sisemas 3 4/8/ Señales y Sisemas 4

16 Venanas: Hamming y Blackman h() D o () x() - o / o / 4/8/ Señales y Sisemas 5 4/8/ Señales y Sisemas 6 h() D o () x() -o / o /? h() D o () x() H(f)*D o (f)*x(f) -o / o / -/ / f 4/8/ Señales y Sisemas 7 4/8/ Señales y Sisemas 8 h() D o () x() H(f)*D o (f)*x(f) h() D o () x() H(f)*D o (f)*x(f) -o / o / -/ / f -o / o / -/ / f D () D (f) f sigue coninuo / 4/8/ Señales y Sisemas 9 4/8/ Señales y Sisemas 3

17 h() D o () x() H(f)*D o (f)*x(f) [h() D o () x()]*d () [H(f)*D o (f)*x(f)]. D (f) - o / o / -/ / f D () D (f) o o f / o nk j X ( n) x( k)e k n, k =,,, 3,... - f 4/8/ Señales y Sisemas 3 4/8/ Señales y Sisemas 3 ransformada Rápida de Fourier FF nk j X ( n) x( k)e k Si consideramos que W = e - jπ/ X ( n) x( k) W nk k n=,,, 3, /8/ Señales y Sisemas 6 X ( n) x( k) W nk k Esa expresión define un sisema de ecuaciones. Si = 4 X ( n) x( k) W nk k X() = x()w + x()w + x()w + x(3)w X() = x()w + x()w + x()w + x(3)w 3 X() = x()w + x()w + x()w 4 + x(3)w 6 X(3) = x()w + x()w 3 + x()w 6 + x(3)w 9 4/8/ Señales y Sisemas 6 4/8/ Señales y Sisemas 6

18 3 X ( n) x( k) W nk k 3 X ( n) x( k) W nk k Que es lo mismo que X ( ) W W W W X ( ) W W W W X ( ) W W W W X ( 3) W W W W x( ) x( ) x( ) x( 3) Que es lo mismo que X ( ) x( ) X ( ) 3 W W W x( ) 4 6 X ( ) W W W x( ) X ( 3) W W W x( 3) 4/8/ Señales y Sisemas 63 4/8/ Señales y Sisemas 64 Como W es complejo y x(n) puede serlo, son necesarias muliplicaciones complejas y (-) sumas complejas para realizar ese cálculo. Como W nk = W (nk mod ) X ( ) x( ) X ( ) 3 W W W x( ) 4 6 X ( ) W W W x( ) X ( 3) W W W x( 3) X ( ) x( ) X ( ) 3 W W W x( ) 4 6 X ( ) W W W x( ) X ( 3) W W W x( 3) 4/8/ Señales y Sisemas 65 4/8/ Señales y Sisemas 66 Como W nk = W (nk mod ) X ( ) x( ) X ( ) 3 W W W x( ) X ( ) W W W x( ) 3 X ( 3) W W W x( 3) Es posible facorizar la mariz W de modo que X ( ) W W x( ) X ( ) W W x( ) X ( ) W W x( ) 3 X ( 3) W W x( 3) Observación: Se inercambiaron los renglones y 3 de X 4/8/ Señales y Sisemas 67 4/8/ Señales y Sisemas 68

19 Podemos omar un vecor inermediario Podemos omar un vecor inermediario x( ) W x( ) x( ) W x( ) x( ) W x( ) x( 3) W x( 3) x( ) W x( ) x( ) W x( ) x( ) W x( ) x( 3) W x( 3) donde x () puede calcularse como x ()= x() + W x() 4/8/ Señales y Sisemas 69 4/8/ Señales y Sisemas 7 x ()= x() + W x() x ()= x() + W x() Una muliplicación y una suma complejas Una muliplicación y una suma complejas 4/8/ Señales y Sisemas 7 4/8/ Señales y Sisemas 7 x ()= x() + W x() pero el segundo érmino ya fue calculado para hallar x () donde además se verifica que W = - W por lo que x ()= x() - W x() x ()= x () - W x() por lo cual esamos ahorrando una muliplicación compleja 4/8/ Señales y Sisemas 73 4/8/ Señales y Sisemas 74

20 Volviendo al cálculo inicial enemos Análogamene x (3) ambién puede calcularse con sólo una suma y ninguna muliplicación adicional. Por lo que el vecor inermediario x puede calcularse con cuaro sumas y dos muliplicaciones X ( ) x ( ) W x( ) X ( ) x ( ) W x ( ) X ( ) x ( ) W x( ) 3 X ( 3) x ( 3) W x( 3) Donde, por un razonamieno análogo, puede realizarse la operación con cuaro sumas y muliplicaciones 4/8/ Señales y Sisemas 75 4/8/ Señales y Sisemas 76 En oal hemos empleado 4 muliplicaciones y 8 sumas complejas El cálculo realizado en la forma primiiva hubiese requerido 6 muliplicaciones y sumas complejas Para = g el algorimo de la FF es simplemene un procedimieno para facorizar una mariz x en g marices que minimizan el número de producos y sumas complejas 4/8/ Señales y Sisemas 77 4/8/ Señales y Sisemas 78 FF DF FF DF g muliplicaciones complejas g sumas complejas muliplicaciones complejas sumas complejas g muliplicaciones complejas g sumas complejas muliplicaciones complejas sumas complejas Si =4 y asumimos que el iempo de cómpuo es proporcional al número de muliplicaciones, la relación de velocidades es de a 4/8/ Señales y Sisemas 79 4/8/ Señales y Sisemas 8

21 W W W W W W W W 3 x () x () x () x (3) x () x () x () x (3) x () x () x () x (3) Gráfico de flujo de la FF = 4 Diagramas mariposa x () W x () W x () Revisando la facorización x () x () x (3) W W W x () x () x (3) W W W 3 x () x () x (3) Diagramas mariposa 4/8/ Señales y Sisemas 8 Gráfico de flujo de la FF = 4 Gráfico de flujo de la FF = 4 x () W x () W x () x () W x () W x () x () x () x (3) W W W x () x () x (3) W W W 3 x () x () x (3) x () x () x (3) W W W x () x () x (3) W W W 3 x () x () x (3) 4/8/ Señales y Sisemas 83 4/8/ Señales y Sisemas 84 Gráfico de flujo de la FF M Muliplicaciones FF vs. DF DF = 6 5 K 4/8/ Señales y Sisemas 85 = =5 4/8/ Señales y Sisemas 86 FF =4

22 Problemas con señales no esacionarias o ransiorias...? Inroducción al Análisis iempo- Frecuencia La familia de Fourier esá diseñada para analizar señales cuyo comporamieno o propiedades no varien en el iempo Se requiere ora base que permia realizar ese análisis... 4/8/ Señales y Sisemas 99 Resolución iempo-frecuencia Especrograma Escalograma Sonograma 4/8/ Señales y Sisemas 4/8/ Señales y Sisemas sen(y) = sen(y) Análisis de Fourier en Imágenes ransformada de Fourier en D 4/8/ Señales y Sisemas 3

23 sen(y) sen(5y) 4/8/ Señales y Sisemas 4 4/8/ Señales y Sisemas 5 sen(5x) sen( 3.5x + 7y ) 4/8/ Señales y Sisemas 6 4/8/ Señales y Sisemas 7 sen(x) + sen(4y) Fourier Bidimensional Ahora la base es: 4/8/ Señales y Sisemas 8 4/8/ Señales y Sisemas 9

24 4/8/ Señales y Sisemas 4/8/ Señales y Sisemas Ejemplo: Compresión D Para almacenar o ransmiir. Submuesreo, en el espacio de la imagen. Filrado, en el espacio de frecuencias. 4/8/ Señales y Sisemas 4/8/ Señales y Sisemas 3 4/8/ Señales y Sisemas 4 4/8/ Señales y Sisemas 5

25 4/8/ Señales y Sisemas 6 4/8/ Señales y Sisemas 7 Ondias Bidimensionales Bibliografía recomendada Brigham:. a.3, 5., 5.3, 5.4, 6. a 6.3, 6.5 Oppenheim, A. V. and R. W. Schafer, Discree-ime Signal Processing, Prenice-Hall, 989, p Cooley, J. W. and J. W. ukey, "An Algorihm for he Machine Compuaion of he Complex Fourier Series," Mahemaics of Compuaion, Vol. 9, April 965, pp Duhamel, P. and M. Veerli, "Fas Fourier ransforms: A uorial Review and a Sae of he Ar," Signal Processing, Vol. 9, April 99, pp /8/ Señales y Sisemas 8 4/8/ Señales y Sisemas 9