TEMA 6: FLUJO EXTERNO

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1 TEMA 6: FLUJO EXTERNO Índice TEMA 6: FLUJO EXTERNO Introducción Partícula ólida Agregado de partícula y proceo de floculación.... Deplazamiento de partícula olida y agregado en el eno del fluido Regímene de deplazamiento. Preión efectiva de compreión Circulación de fluido a travé de lecho poroo y torta Velocidad media uperficial y velocidad media real de un fluido Ley de Darcy. Concepto de poroidad y permeabilidad Relación entre permeabilidad y reitencia epecífica con la poroidad y diámetro medio de partícula Circulación de gae y líquido a travé de lecho granulare Lecho fluidizado Tipo de lecho fluidizado Cálculo de la velocidad mínima de fluidización Velocidad terminal Bibliografía

2 1. Introducción En ete tema, e va a analizar la circulación de fluido en contacto con ólido. Cuando el fluido e un ga, lo ólido on lógicamente inoluble con el ga. Sin embargo, i el fluido e un líquido, puede ocurrir que parte de ee líquido entre a formar parte de la partícula ólida, formando una entidad denominada agregado o flóculo, que tiene el comportamiento de un ólido, e decir, puede edimentar. Por tanto, en primer lugar e decribirán la partícula ólida y u caracterítica, y poteriormente e introducirán lo agregado. 1.1 Partícula ólida Caracterización de la partícula ólida El tamaño de la partícula ólida eférica queda perfectamente determinado por el valor de u diámetro. Para partícula no eférica, e definen vario concepto, que e conideran a continuación: Diámetro eférico equivalente, d ph, e el diámetro de aquella efera que tiene el mimo volumen que la partícula 4 d ph V part = V ph (1) Efericidad,, e la relación entre la uperficie externa de la efera con el mimo volumen que la partícula y la uperficie de la partícula. En la Tabla 1 e preentan alguno valore de efericidad. S S ph part mimo volumen () Diámetro efectivo, d eff, e el diámetro de aquella efera que tiene la mima relación uperficie/volumen que la partícula coniderada. La relación uperficie/volumen "a" para una partícula, e puede calcular como S S S S d a V V d V V d d part eff 6 part ph / ph / 6 ; a part eff eff part ph ph /6 ph () La relación uperficie/volumen para una partícula eférica e 6/diámetro efectivo. Por tanto, e deduce que d eff dph (4)

3 Tabla 1. Efericidad de partícula Normalmente, lo conjunto de partícula no e preentan con tamaño uniforme, ino con una ditribución de tamaño. Por tanto, e debe trabajar con un diámetro medio de partícula, que ha de determinare experimentalmente. 1. Agregado de partícula y proceo de floculación La ditribución de tamaño y tamaño medio, caracterizan completamente un conjunto de partícula iempre y cuando el contacto ólido-fluido no altere la caracterítica de la mima, e decir, que ean completamente inoluble en el fluido. Eto ocurrirá en cai todo lo contacto ólido-ga (cuando la partícula ean redondeada), y en lo contacto de ólidolíquido donde el ólido ea inoluble y la partícula ean gruea (mayore de 00 m), dándole comúnmente el nombre de partícula maciza. Sin embargo, en el cao de contacto líquido-ólido para partícula fina entran en juego interaccione química y electrotática que hacen que eto ólido pierdan u identidad como tale, y formen agregado o flóculo, un ente de mayor tamaño formado por ólido y líquido, eponjoo, de denidad media uperior a la del líquido. A continuación, e decribe la formación de eto agregado Formación de agregado o flóculo de partícula Conidéree un agua bruta de pantano que e fuente de agua potable. Eta agua contiene utancia ólida en upenión, finamente dividida, y utancia en etado coloidal. En el etado coloidal, la partícula pueden contener una etructura imilar a la que e indica en la Figura 1. La partícula ólida en etado coloidal e tan fina que etá electrotáticamente decompenada. Por ello, e forma a u alrededor una capa fija de diolución con ione y alrededor de ella otra capa difua. La partícula cuando e mueve arratra conigo mimo únicamente la capa fija. Eta unión de la partícula ólida y u capa fija, en la cual pueden unire otra partícula con u correpondiente capa fija, contituye un agregado. Eto agregado

4 pueden er de un tamaño muy uperior a la partícula ólida contenida en u interior, y de cara al movimiento ólido-líquido, el agregado contituye una nueva identidad. Figura 1. Ditribución de carga en una partícula coloidal Eto agregado pueden formare epontáneamente al entrar en contacto el ólido con el fluido, aunque en ocaione, e neceario iniciar el proceo mediante la adición de otra utancia, denominada coagulante, que inician un proceo de formación de agregado o floculación. A ete proceo de iniciar la formación de flóculo e denomina coagulación, aunque a menudo u uo e inditinto con el de floculación. Ademá de lo coagulante, e pueden añadir ayudante de coagulación (partícula de arcilla), cuya miión e ayudar a la formación de agregado o flóculo de un tamaño mucho mayor a partir de lo inicialmente generado por coagulación. De eta forma, edimentarían má fácilmente y por tanto, uponen un método de eliminar lo ólido diuelto. Por tanto, como conecuencia del proceo de coagulación/floculación e forman uno agregado o flóculo con una elevada cantidad de agua en u interior, tal como e muetra en la Figura, donde lo punto negro ignifican el origen ólido de ete ente, donde la zona grie on la capa fija y difua que contienen una elevada cantidad de agua en u interior... Figura. Flóculo o agregado de partícula 4

5 1... Denidad del flóculo o agregado y poroidade Se denomina "j" o "AVI" (Average Volume Index) a la relación tanto, la fracción volumétrica de fluido m agregado m ólidoen agregado. Por m fluido m agregado dentro de un agregado erá j 1 j Cuanto mayor ea el valor de j, mayor contenido de fluido hay en u interior. Por ejemplo, para flóculo de carbonato cálcico, el valor de j puede er de a 10, mientra que para flóculo de hidróxido metálico puede uperar el valor de Para la partícula maciza, j vale la unidad, por lo que el valor de j debe er iempre mayor que 1. Se puede deducir que la denidad del flóculo a e. kg total kg ólido kg fluido ( j 1) (5) a m total volumen total j donde e la denidad del ólido y la denidad del fluido. Conidéree una upenión con flóculo o agregado, tal como e muetra en la Figura. La concentración C viene perfectamente determinada como la cantidad de ólido por unidad de volumen. Figura. Agregado o flóculo en una upenión m ólido La fracción volumétrica que ocupan lo ólido viene dado por m upenión C kg ól m up (6) ( / ) ( kg ól / m ól) mientra que la fracción volumétrica de lo hueco de la partícula, que e ocupada por fluido, viene dada por (7) 1 5

6 Téngae en cuenta, que expreado de eta forma, el valor de la fracción de líquido,, conidera tanto el fluido interagregado como la del fluido introagregado. Sin embargo, en la upenión lo ente que exiten de forma macrocópica y e comportan ditinto on lo flóculo (con u correpondiente líquido introagregado) y el líquido libre (líquido interagregado). Coniderando el concepto de "j" o AVI (Average Volumetric Index), e puede m agregado deducir que la fracción volumétrica de agregado a e m upenión m agregado m ólido a j m ólido m upenión (8) y por tanto, la fracción de líquido interagregado * erá * 1 1 j (9) a La denidad media de la upenión m puede calculare mediante la relacione: (10) m a a Cabe decir que a la fracción volumétrica de fluido o * e le uele denominar poroidad o fracción de hueco, fundamentalmente en el cao de que la partícula etén en contacto continuo o formen un lecho fluidizado (que e comentará en eccione poteriore).. Deplazamiento de partícula olida y agregado en el eno del fluido.1 Regímene de deplazamiento. Preión efectiva de compreión Cuando e dipone de un flóculo o agregado con una denidad a en un medio líquido de denidad, donde a >, el flóculo cae en el eno del líquido con una velocidad u o. En eta condicione en la que e el ólido el que e mueve en el eno de un líquido, e define el módulo de Reynold repecto al ólido (o agregado) como u d (11) o a Re donde y on la denidad (kg/m ) y vicoidad del líquido (Pa ) y u o y d a la velocidad (m/) y diámetro del agregado (m). Planteando un balance de cantidad de movimiento a la partícula que va cayendo en el eno de un líquido, e obtiene que el peo del agregado meno el volumen deplazado por él, e igual a la fuerza vicoa por el rozamiento ólido-líquido, iendo nula la variación de entrada y alida de cantidad de movimiento y la variación de fuerza de preión V g V g S (1) a a a rx rx 6

7 donde g e la aceleración de la gravedad (m/ ) y a la denidad del flóculo o agregado (kg/m ). Recordando la definición del factor de fricción, e define análogamente un coeficiente de decarga C D de forma que CD rx uo (1) Teniendo en cuenta que en el egundo miembro de la ecuación (1) el reultado de la operación vectorial e otro vector, la magnitud S rx reultante e la ección perpendicular al movimiento de la partícula, e decir, circular, obteniendo 1 1 da ( a ) g CDuo da (14) 6 8 Cuando el régimen de circulación del agregado etá en régimen reptante (Re <0.), la reolución del balance microcópico de cantidad de movimiento para un fluido newtoniano puede er reuelto obre la componente de lo efuerzo cortante locale, obteniéndoe que la variación del coeficiente de decarga e inveramente proporcional al Reynold, (C D =4/Re ), expreión que e conoce como ecuación de Stoke. Sutituyendo la ecuación de Stoke en la ecuación (14) y depejando la velocidad u o, e obtiene u o gda a (15) 18 La ecuación (15) e aplicable cuando ólo hay un flóculo o en upenione muy diluida, donde no hay interacción entre lo flóculo, y ólo para velocidade de edimentación pequeña, iempre que el número de Reynold "Re " ea menor de 0.. A velocidade mayore de edimentación y hata valore de Reynold entre 0. y 500, no exite una olución analítica del balance de cantidad de movimiento, y empíricamente, e puede emplear la relación u o g( a ) da (1 0.15Re ) (16) donde en el denominador hay una correlación que corrige el reultado repecto al flujo reptante. A concentracione mayore de ólido, la fracción de hueco entre lo flóculo e menor, y la velocidad de edimentación diminuye porque lo flóculo e etorban uno a otro. Entre la diferente relacione que e pueden coniderar cabe la iguiente n c u uo uo 1 j n (17) cuyo ignificado e que la medida en que diminuye la velocidad de edimentación por la preencia de mucho flóculo e proporcional a la poroidad (fracción de fluido en la upenión) elevado a un exponente n. El valor de n e determina por correlacione experimentale, y no exite unanimidad obre el valor de dicho parámetro. A valore bajo de 7

8 Reynold, el valor de n e próximo a 5. Richardon y Zaki propuieron el valor contante de Según otra fuente, n no e contante y depende del régimen de circulación, donde n e puede calcular como 5.09 n Re n (18) C La ecuación (18) e válida hata valore de j Eta expreión repreenta la fracción volumétrica de agregado en la upenión y el lecho fijo (contacto continuo) de agregado e conigue para valore de 0.65 (valor crítico). Por encima de ete valor, en el que lo ólido etán en contacto directo uno con otro (lecho fijo), la edimentación (i la hay) tiene lugar por compreión de lo agregado, y no por caída de un ólido en un medio vicoo. El rango de concentracione, en el que lo flóculo e moletan uno a otro, pero edimentan individualmente, e le conoce como rango de edimentación impedida, o de no compreión (en ocaione de edimentación libre). Al ir aumentando la concentración de ólido, llega un momento en que lo flóculo e tocan uno con otro continuamente, formando un relleno de partícula ólida. A partir de ea concentración, el régimen de edimentación de la matriz de ólido que e forma e por compreión, dando lugar a un lodo má concentrado, a medida que tiene mayor epeor, ya que on lo ólido de arriba on lo que tranmiten preión de compreión a lo ólido de la capa inferiore, debido al peo. Durante eta edimentación por compreión, la matriz de ólido o lodo va perdiendo la etructura de agregado, deplazándoe el líquido y quedando el ólido del agregado. Se define la preión efectiva "p " como la fuerza por unidad de uperficie tranveral total que e capaz de oportar una upenión in aumentar de concentración de ólido. Por tanto, exite una relación p f ( ), caracterítica para cada material ólido upendido en un determinado fluido. La preión efectiva e tranmitida por lo ólido y por el fluido que pudiera quedar ocluido entre la partícula ólida, pero no e tranmitida por el fluido que libremente puede circular a travé de lo poro. Para un material deno, in hueco abierto en el interior (partícula de vidrio, etc), toda la deducción anterior e válida coniderando que el valor de "j" e la unidad, y que cuando la partícula entran en contacto, e obtiene un lecho fijo que no e puede comprimir. Únicamente pueden comprimire lecho o lodo cuyo elemento hubieran formado previamente flóculo. Si nunca formaron flóculo, nunca pueden comprimire (a no er que e fracturen). La ecuación (15) también e puede aplicar a partícula ólida individuale dentro de una corriente gaeoa. 8

9 . Circulación de fluido a travé de lecho poroo y torta.1 Velocidad media uperficial y velocidad media real de un fluido Un concepto que e va repetir en mucha ocaione cuando e analiza la circulación de fluido a travé de ólido, independientemente de i éto etán fijo o en movimiento, e la relación que exite entre la velocidad media a la que circula el fluido entre lo ólido y la velocidad media calculada como caudal de circulación dividido por la ección total del conducto donde tiene lugar el proceo. Conidéree en primer lugar un lecho fijo de partícula ólida maciza, por el que circula un fluido, tal como e muetra en la Figura u L.. S=/4D S = D x D. Figura 4. Lecho fijo de ólido por el que circula un fluido La velocidad uperficial, u +, con que circula el fluido, e calcula como caudal Q (m /) dividido por la ección S del cuerpo geométrico (D /4), iendo D el diámetro del tubo cilíndrico. Ahora bien, la velocidad media, u, con que circula el fluido a travé de lo hueco erá mayor y e puede calcular de la iguiente forma: upóngae que durante un periodo de tiempo t, ha circulado un volumen Qt. Ete volumen ocupará una ditancia L en el lecho, por lo que volumen total del fluido Qt L SL volumen total cilindro u u t St St St St (19) Por otra parte, la ección libre de pao o de lo hueco S pao, e puede relacionar con la ección S mediante la iguiente expreión: volumen fluido S L ( volumen cilindro) S L (0) de donde pao 1 S S S (1) 9

10 E importante no olvidar que el concepto de velocidad de fluido a travé de lo hueco e refiere iempre al valor medio, ya que hay un gradiente de cantidad de movimiento (velocidad máxima en lo centro de lo hueco, y velocidad nula en la capa adherida a lo ólido). Ete razonamiento e puede extender también al cao cuando lo ólido etán en movimiento, con tal de tomar la velocidade relativa del fluido con repecto al ólido. En eta condicione, cuando e ha definido el concepto de velocidad uperficial del fluido, e puede definir un módulo de Reynold de partícula, Re p, de forma que: Re p u d p () donde y on la denidad y vicoidad del fluido, u + anteriormente y d p el tamaño medio de la partícula. la velocidad uperficial definida. Ley de Darcy. Concepto de poroidad y permeabilidad Cuando circula un fluido con una baja velocidad u (régimen laminar) a travé de un conjunto de partícula ólida maciza (que etán en contacto continuo una con otra), que etán etacionaria o e mueven con una velocidad u, e etablece la ley de Darcy que relaciona la velocidad media uperficial y la preión, que e exprea como k p u ( u u)(1 ) x () donde u + = velocidad uperficial media relativa, calculada como caudal de fluido con repecto al ólido, dividido por la ección total, (m/) k = permeabilidad del fluido a travé de lo ólido (m ) = vicoidad del fluido (Pa [kg/m ]) p + = preión con contribución gravitatoria del fluido (Pa [kg/m ]) La ley de Darcy hace referencia a la circulación relativa de un fluido con repecto a un conjunto de partícula, que como ya e ha mencionado, han de etar en contacto continuo una con otra. En función del tamaño original de lo ólido, el conjunto de partícula e denomina: Torta o lodo: cuando etá formado por partícula fina. En ete cao, la pérdida de preión que ufre un fluido al atravear una torta e generalmente grande, al er lo poro muy fino. Lecho granulare: cuando etá formado por partícula gruea. Lo lecho granulare, al etar formado por partícula gruea, no on uceptible de formar flóculo o agregado en diolución, y por tanto no e comprimen. Por el contrario, la torta y lodo aparecen en lo proceo de edimentación por compreión, filtración y centrifugación. Tanto en lo lecho como en la torta, exiten hueco entre lo ólido lo cuale contienen en u interior fluido. Normalmente, dentro del lodo o de la torta, ha deaparecido la etructura de 10

11 agregado formado en el proceo de floculación, aunque pueden reconocere cierta unidade o agrupacione de conjunto de partícula ólida. Lo lodo y torta de materiale ólido pueden er claificada como incompreible o compreible. En lo lodo y torta incompreible, todo el lodo o la torta tiene la mima poroidad, que equivale a decir que la concentración de ólido (o u fracción volumétrica) e contante en todo u eno. En lo lodo y torta compreible, la fracción volumétrica de lo ólido depende de una preión efectiva p tranmitida por lo ólido colindante. Conidéree un lodo o torta incompreible y etacionaria (inmóvil), y por tanto de compoición uniforme, por cuyo hueco circula un fluido (Figura 5). Eta ituación e la que ocurre durante un proceo de filtración. Aplicando la Ley de Darcy, teniendo en cuenta que u e igual a cero (la torta etá etacionaria), e puede ecribir como k dp u ( u)(1 ) dx (4) u + = caudal/ección p(n/m ) x x(m) Figura 5. Flujo a travé de una torta incompreible Otra forma de exprear la ley de Darcy, e mediante el uo de la reitencia al flujo (m - ), a travé de la torta húmeda, que e jutamente el invero de k, 1 (5) k Por tanto, la ley de Darcy e puede ecribir también como 1 p u (6) x Nótee que repreenta la reitencia al flujo debido a la fuerza impulora 1 p, y x erá mayor cuanto meno hueco tenga la torta. En la bibliografía, un parámetro que uele utilizare frecuentemente e la reitencia epecífica al flujo (m/kg), que e define como 11

12 1 (7) k donde e la denidad del ólido y e la fracción volumétrica de ólido en la torta húmeda. Nótee que repreenta lo kg de ólido eco por m de torta húmeda y por ello e denomina de eta forma el concepto de. Otro parámetro que aparece frecuentemente en proceo de filtración y en circulación de fluido a travé de lecho poroo e la reitencia media de la torta R t (m -1 ), definido como Q( m / ) 1 dp 1 dp p p S( m ) dx dx x Rt u (8) donde R t repreenta la reitencia al flujo a travé de la torta, iendo una propiedad exteniva, ya que depende de la cantidad de lecho coniderada. En la ecuación (8) e ha igualado dp dx a un valor medio de p x. De la ecuación (8), e deduce que Ax W Rt x (9) S S iendo S el área tranveral y W la maa de ólido que hay contenido en el volumen S x. Puede comprobare que la reitencia R t depende de la cantidad de ólido por unidad de área tranveral y de la permeabilidad media de la torta. Un parámetro que aparece en alguna torta e la relación maa torta húmeda M (0) maa torta eca Ete parámetro e puede relacionar con la fracción volumétrica de ólido y con la poroidad, como a continuación e indica. Por cada kg de torta eca habrá un total de M kg de torta húmeda, y por tanto, M-1 kg de agua. Teniendo eto en cuenta e puede encontrar una ecuación que relacione con el parámetro M y la denidade, de la iguiente manera: M maa ólido eco + maa líquido en torta V V 1 maa ólido eco V (1 ) (1). Relación entre permeabilidad y reitencia epecífica con la poroidad y diámetro medio de partícula Conidéree una torta de ólido etacionario de epeor L cuya fracción de ólido ea. Tal como e ha vito en la ección anterior, dicha torta tiene una erie de poro y capilaridade por donde circula el fluido con una velocidad media u. Conidéree como aproximación, que eto poro que atraviean la torta ean prácticamente recto, teniendo una ección no 1

13 neceariamente circular. En eta condicione, la pérdida de preión que ufre el líquido al atravear dicho poro vendrá dado por la ecuación de Bernoulli p L () poro fu D eq. poro donde f e el factor de fricción de Fanning, L la longitud del poro y D eq el diámetro equivalente del poro. En la condicione en la que la ley de Darcy e puede aplicar (régimen laminar, tranporte molecular de cantidad de movimiento), el iguiente tratamiento de Kozeny indica que la variación del factor de fricción viene dado por la ecuación de Hagen-Poieuille (f = 16/Re), y por lo tanto e puede ecribir que p u () L D poro eq. poro introduciendo la expreión de diámetro equivalente, definido como D eq altura torta ecc. tranv. de poro ecc. tranv. de poro volumen torta (4) perím. mojado de poro altura torta S perím. mojado de poro B volumen torta donde e la poroidad (o fracción de hueco que e igual a la relación volumen de poro/volumen total) y m de uperficie mojada B S= m de lecho (5) Ete valor de S B e puede exprear como B v v S a = a 1 (6) donde a v e la uperficie epecífica del material ólido, a v uperficie interna de lo poro volumen torta eca m y o (1-) la fracción de torta eca o ólido, repectivamente. Por lo tanto: m D eq a v 4 1 (7) Teniendo en cuenta que la velocidad media con que circula el fluido a travé de lo poro u e igual a u (velocidad media calculada como caudal/ección total) u (8) (relación poro/torta húmeda en volumen o ección) 1

14 utituyendo (7) y (8) en (), e deduce que p u av (1 ) u L 4 av 1 (9) donde la contante del egundo miembro, viene de dicho factor exitente en la ecuación de Fanning (). Dado que la ecuación de Fanning e únicamente válida en tramo recto de circulación de fluido, eta expreión (9) erá únicamente válida cuando lo poro que atravieen la torta ean recto, tal y como e upuo inicialmente. Sin embargo, e entiende fácilmente que eto poro no erán neceariamente recto, o bien no cruzarán la torta perpendicularmente. Con objeto de compenar ete hecho, Kozeny utituyó ete factor por una contante (denominada de Kozeny) obtenida empíricamente, cuyo valor obtenido experimentalmente e de 5/6. p av (1 ) u (40) L Aí, para torta incompreible formada por partícula redondeada de tamaño medio d p, el valor de a v erá igual a a v m 4 d p m ólido 4 d p uperficie 6 d p (41) donde e el factor de efericidad (ec. (), relación entre la uperficie exterior de la partícula y la uperficie de la efera con el mimo volumen que la partícula), y coniderando un valor de = 5/6, e deduce que p L u d p (4) ecuación conocida como Blake-Kozeny. Comparando eta ecuación con la ley de Darcy, uponiendo d p k( permeabilidad) y por tanto p L dp e deduce que dx (4) 14

15 k 1 k d d p p (44) La anterior expreión permite relacionar la reitencia epecífica con la poroidad y el diámetro de la partícula, cuando la circulación del fluido trancurre en régimen laminar, teniendo en cuenta que en torta incompreible, permanece contante y no varía con la preión de trabajo y también erá contante. Cuando e dipone de una torta compreible con capa con diferente poroidad, e aplicarán la ecuacione anteriore pero en forma diferencial..4 Circulación de gae y líquido a travé de lecho granulare La expreión de Blake-Kozeny, deducida en la ección anterior, e válida únicamente cuando el fluido atraviea la torta o lecho de partícula en régimen excluivamente laminar, ya que para u deducción, e empleó la ecuación de Hagen-Poieuille. Ete planteamiento e correcto para la torta, ya que al etar contituida por partícula fina, lo poro también on fino, y la circulación del fluido en lo poro en régimen turbulento produciría una pérdida de carga impoible de uperar. Sin embargo, cuando una corriente líquida o gaeoa atraviea un lecho de partícula granulare (e decir, partícula má gruea), perfectamente definida, como puede circular en régimen turbulento al er lo poro también mucho má grande, el valor de la pérdida de preión no podrá obtenere por la ecuación de Blake Kozeny. Cuando un fluido circula en régimen turbulento, el factor de fricción e prácticamente contante, tanto má, cuanto mayor e la rugoidad (ver parte uperior derecha de la gráfica de Moody). Por tanto, a partir de la expreión (), realizando una deducción imilar a la anterior pero en función de f para régimen turbulento (Re p > 1000) e obtiene: p (1 ) u (1 ) u f 1.75 (45) L d d p p en la cual e ha utituido el valor de dicho factor encontrado experimentalmente, obteniéndoe la denominado ecuación de Burke-Plummer. En eta condicione, e han obtenido expreione para la obtención de la pérdida de preión que ufre un fluido al atravear un lecho de partícula cuando éte circula en régimen laminar (Re p < 10, ec. Blake Kozeny) y turbulento (Re p >1000, ec. Burke-Plummer). Ergun realizó una deducción para la obtención de una expreión que fuera válida para el régimen de tranición (10 < Re p <1000) uponiendo que el factor de fricción e una combinación lineal de f (46) Re 6 donde 16/Re e la ec. Hagen Poieuille, 5/6 la contante de Kozeny y 1/ el invero de la contante de Fanning. La ecuación que e obtiene para ete factor de fricción e 15

16 p (1 ) u 1 ( u ) L d d m m m ( p) m p (47) conocida como ecuación de Ergun, válida para cualquier valor de Re p, donde: p + =pérdida de preión manométrica, debida al rozamiento, (N/m ) L = altura del lecho (m) m = poroidad media del lecho o frac. volumétrica de hueco (equivalente a ) = vicoidad del fluido(kg/(m.)) u + = velocidad uperficial del líquido, calculada a ección total libre (m/) = factor de efericidad d p = tamaño de partícula (m) = denidad del fluido (kg/m ) A caudale de circulación bajo, el egundo término de la ecuación de Ergun e depreciable, y la pérdida de preión e directamente proporcional a la velocidad uperficial, indicando que el régimen de circulación e laminar y coincidiendo con la expreión anterior (4). Por el contrario a caudale elevado, el egundo término e mayor, indicando que el régimen de circulación e turbulento. Un método de etimación experimental del factor de efericidad de un conjunto de partícula conite en repreentar lo valore experimentale de p + frente a u +, en un rango de caudale bajo cuando olo el primer término de la ecuación (47) e importante y de la pendiente de la recta que debe paar por el origen e deduce el valor de, al conocere toda la demá contante. 4. Lecho fluidizado 4.1 Tipo de lecho fluidizado Si e hace circular un fluido a travé de un lecho de ólido, con dirección decendente, no tiene lugar ningún movimiento relativo entre la partícula a meno que la orientación inicial de la mima ea inetable. Si el flujo e laminar, la caída de preión a travé del lecho erá directamente proporcional a la velocidad de flujo, aumentando má rápidamente a grande velocidade. En ete cao iempre tenemo un lecho fijo. Si el fluido circula a travé del lecho en dirección acendente, y el caudal e muy pequeño, e eguirá obteniendo un lecho fijo de partícula, y la caída de preión erá la mima que en el cao anterior (Figura 6-a). Si e incrementa poco a poco el caudal de fluido, la pérdida de preión que ufre el fluido erá cada vez mayor, de acuerdo con la ecuación de Ergun (47). Al aumentar el caudal, llegará un momento en que la fuerza que pierde el fluido por rozamiento obre la partícula ea igual a u peo aparente (peo real meno empuje) de la mima, y éta ufren una reordenación para ofrecer una reitencia menor al deplazamiento del ga y el lecho e expaniona, quedando en upenión en la corriente 16

17 de fluido, y e producen pequeña vibracione (obre todo en la uperficie). Juto en el punto en que el lecho e expaniona e denomina etado de mínima de fluidización (Figura 6-b), y a la velocidad uperficial a la que e produce, velocidad mínima de fluidización. Si entonce e aumenta aún má la velocidad por encima de ete punto, la partícula del ólido e mantienen en upenión en la corriente gaeoa, diciéndoe que el lecho e fluidizado (Figura 6-c-g). Mientra e fácil de ditinguir entre lo lecho fijo (etán quieto) y fluidizado (etán upendido), el etado de mínima fluidización e el punto de tranición entre lo anteriore y muy difícil de obervar. Velocidad de fluido Lecho fijo lecho fijo Mínima Fluidización Lecho fluidizado en fae dena Homogéneo, por líquido Burbujeante, por ga Slug plano Velocidad terminal Fluidización turbulenta o rápida Slug axial (E) (F) (A) (B) (C) (D) i burbuja alcanzan gran tamaño (G) Figura 6. Tipo de lecho En función del tipo de fluido (líquido y ga) y del tamaño de la partícula, lo lecho fluidizado e comportan de forma diferente. En itema ólido-líquido, un aumento de la velocidad de flujo obre la mínima de fluidización produce una expanión progreiva y homogénea del lecho. E un lecho homogéneamente fluidizado (Figura 6-c). Generalmente el comportamiento de lo itema ólido-ga e batante diferente: Si la partícula on pequeña, primero tienen fluidización homogénea (como con líquido). Sin embargo, i e igue aumentando la velocidad, llega un momento en que e upera la del punto de mínimo burbujeo. A partir de aquí, e produce una gran agitación con formación de burbuja y canale preferenciale de pao de ga. Ademá, el lecho no e expande mucho obre u volumen de mínima fluidización. Ete tipo de lecho e conoce como lecho fluidizado burbujeante (Figura 6-d). El lecho toma el apecto de un líquido en ebullición, moviéndoe lo ólido vigoroamente y acendiendo rápidamente grande burbuja a travé del lecho. Si la partícula on de tamaño intermedio, tra el etado de mínima fluidización, aparece directamente la fluidización burbujeante. A medida que aumenta la velocidad, en lo itema ga-ólido, la burbuja on má rápida y pueden coalecer y crecen a medida que acienden. Si el lecho e profundo y la velocidad de pao de ga e alta, la coalecencia de la burbuja puede llegar a alcanzar el diámetro del tubo, formándoe tapone de ga que ocupan la ección tranveral. Eto tapone de ga 17

18 quedan alternado con zona de ólido fluidizado, que on tranportado hacia arriba, dehaciéndoe a continuación y cayendo lo ólido de nuevo. Ete tipo de lecho e llama lecho fragmentado y al fenómeno e le llama lug (Figura 6-e y f). Si e igue elevando la velocidad del ga, e puede uperar la velocidad terminal del ólido, con lo que e produce un arratre apreciable de ólido al exterior (aunque no neceariamente maivo). Se tiene pue un lecho fluidizado dipero con tranporte neumático de ólido, en contrapoición al lecho de fae dena. En ete cao el ólido que ale por la parte uperior del reactor uele er recuperado mediante ciclone y devuelto al lecho, e tiene pue un lecho fluidizado circulante, que puede er interno o externo (Figura 7-a, b). Figura 7. Lecho fluidizado circulante Según Kunii y Levenpiel, en la primera página de u obra "Fluidization Engineering", la Fluidización e aquella operación en la cual partícula ólida e tranforman en un etado fluido, mediante la upenión producida por la acción de una corriente vertical de un líquido o un ga. Aí, mediante la fluidización, la partícula ólida e comportan como i fueran un fluido, circuntancia que hace que la Ingeniería aproveche eta ituación. El comportamiento de lo lecho fluidizado e imilar al de un fluido, ya que al etar en etado de upenión en la corriente de fluido, adquiere mucha de u propiedade. Y i el lecho e burbujeante, e imilar al de un líquido en ebullición. Eta propiedade, aí como u contacto íntimo con el ga, e a menudo la propiedad má importante que hace a la fluidización un itema adecuado para la aplicación como reactor químico. Al etar lo ólido en movimiento, hace poible u aplicación para proceo en continuo. En la indutria e emplean reactore de lecho fluidizado para proceo de refinamiento catalítico de fraccione de petróleo, íntei Ficher-Trop, combutión de carbón en centrale térmica, etc. En lo reactore de lecho fluidizado, el lecho de partícula puede er bien el catalizador de una reacción heterogénea entre gae, el ólido producto de una reacción fluido-ólido, el oporte inerte para un intercambio de calor, ecador, regenerador de catalizadore, etc. La ventaja y deventaja de un itema de lecho fluidizado ga-ólido repecto a otro tipo de itema on: 18

19 Ventaja: 1. El comportamiento como un líquido de la partícula, permite un control automático continuo con facilidad de manejo.. La rapidez de mezcla de lo ólido permite un control muy bueno y eficaz de la condicione ioterma del itema.. Ademá, dada la buena mezcla de ólido, el itema reacciona lentamente a cambio bruco en la condicione de trabajo, lo que permite mantener el itema etable ante perturbacione exteriore. 4. La circulación de ólido entre do lecho fluidizado hace poible eliminar o añadir grande cantidade de calor en grande itema. 5. E adecuado para operacione en gran ecala. 6. La velocidade de tranporte de calor y materia entre el fluido y la partícula on mayore que con otro tipo de método de contacto. 7. La velocidad de tranporte de calor entre el lecho fluidizado y un objeto inmero en él e alta. Por lo tanto, el intercambio de calor con el lecho requiere relativamente pequeña área uperficiale. Deventaja: 1. Para lecho de burbuja de partícula muy fina exite una gran dificultad para decribir el flujo de ga, con una gran deviación del flujo de pitón. La gran cantidad de flujo en forma de burbuja upone un contacto ineficiente entre partícula y ga. Eto e epecialmente problemático cuando e requiere una elevada converión de reactante gaeoo o una elevada electividad de una reacción intermedia.. La rápida mezcla de ólido en el lecho lleva a que haya partícula de ditinto tiempo de reidencia. Para itema en continuo, eto da un producto no uniforme, epecialmente para nivele de elevada converión.. Lo ólido e van eroionando por rozamiento a lo largo del tiempo. 4. La eroión de zona del reactor por abraión puede er importante. 5. Hay un cote económico como conecuencia de la energía mecánica necearia y el equipo para impular el fluido. La mayoría de eto comentario on aplicable a lo itema lecho fluidizado líquido-ólido. 4. Cálculo de la velocidad mínima de fluidización Conidéree un lecho de partícula ituado obre un ditribuidor, por ejemplo un plato poroo, a travé del cual paa un flujo uniforme de fluido en dirección vertical acendente, tal como e indica en la Figura 8. Si el lecho e fijo, etá formado por partícula aproximadamente redondeada de tamaño medio d p, tendrá poroidad fj y altura L fj. La caída de preión a u travé puede determinare por la ecuación de Ergun (ecuación (47)). 19

20 P x L m X P 1 x 1 Figura 8. Equema de un lecho fluidizado Cuando el lecho etá fluidizado, el lecho tendrá una poroidad flu y una altura L flu, diferente a la anteriore del lecho fijo. Aí, un balance de cantidad de movimiento entre la ección x = x 1 (capa por encima de la placa poroa) y x = x, en régimen etacionario: Suma de fuerza que hacen aumentar la cantidad de movimiento en el volumen f g =0 P A P A M M P A P A V V V 1 1 (48) iendo A el área tranveral (igual a la de la placa poroa), M la maa de lo ólido, M f la maa del fluido, V el volumen del ólido y V el volumen total. La ecuación (48) e puede ecribir como V V P1A PA 1 gv (1 ) gal V V P P L (1 )( ) g L g 1 flu flu flu m flu flu P P L g P P ( x x ) g L (1 )( ) g 1 flu 1 1 flu flu ( P x g) ( P x g) ( P P ) P L (1 )( ) g flu flu f (49) Reordenando término e tiene p L flu 1 flu g (50) Cabe decir, que dependiendo de cuánto eté de fluidizado el lecho (e decir, de cuál ea la velocidad u + por encima de la mínima de fluidización), la poroidad, flu, y por tanto la altura, L flu, erán diferente. Aí, a la velocidad u 1, el lecho tiene un L flu1 y flu1, a una velocidad u, tendrá L flu y flu, y aí uceivamente. Sin embargo, dado que la caracterítica de lo lecho fluidizado e que, para la mima maa, la pérdida de preión e contante para todo u +, e igual al peo aparente de la partícula dividido por la ección obre la que e apoya, e obtiene que M g p (51) S 0

21 1 L 1 L 1 L cte (5) flu1 flu1 flu flu flu flu recalcando que la ecuación (5) e cumple para cualquier velocidad u +, iempre y cuando el lecho eté fluidizado y tenga la mima maa. Como e mencionó anteriormente, el etado de mínima fluidización, que tiene una poroidad mf y una altura caracterítica L mf, upone la tranición del lecho fijo al lecho fluidizado, por lo que e cumplirán imultáneamente la ecuacione (47) (de lecho fijo) y (50) (de lecho fluidizado), utituyendo poroidad y altura por la del lecho fluidizado en amba ecuacione. Primero, dado que el etado de mínima fluidización cumple la ecuación (50), también cumpliría la (51) y (5). Ademá, en el punto coniderado, la ecuacione (47) y (50) pueden igualare, obteniendo aí una ecuación para obtener la velocidad mínima de fluidización u + mf. d u d 1.75 d p umf mf p mf p mf mf g (5) o también Re Re mf mf mf mf mf Ar (54) donde el número de Arquímede y el Reynold e definen como d p g Ar (55) Re mf u d mf p (56) Por la forma de la ecuación (54), e oberva que la velocidad mínima de fluidización e independiente de la cantidad de maa del lecho y de la ección del lecho, y únicamente depende de la caracterítica fíica de la propia partícula (tamaño, denidad) y del fluido. Debido a que lo valore de y mf on muy difícile de determinar (e cai impoible preciar cuál e el etado de mínima fluidización), la velocidad mínima de fluidización e determina, bien experimentalmente (como e decribe a continuación), o bien mediante correlacione obtenida por reultado experimentale. Ditinto autore han reuelto eta ecuación con dato experimentale amplio. La ecuación má aceptada e la de Wen y Yu, aunque puede tener deviacione grande K Re K Re Ar (57) 1 mf mf En la Tabla e dan lo valore de la contante encontrada por vario autore, para fluidización ga-ólido. 1

22 Tabla. Valore de K 1 y K Invetigador(e) K /(*K 1 ) 1/K 1 Wen y Yu (1966) Richardon (1971) Swena y Vogel (1977) Babin et al. (196) Chiteter et al. (1984) De cualquier forma, la velocidad mínima de fluidización determinada por eta correlacione etá ujeta a deviacione importante (5%), por lo que no e infrecuente la determinación experimental. Para la determinación experimental, hace falta un dipoitivo conitente en un tubo cilíndrico provito de una rejilla o placa poroa en el fondo, que irva de oporte a un lecho de partícula ólida, con poibilidad de medir la pérdida de preión. Se hace circular un fluido, incrementando paulatinamente u caudal de circulación, la variación de la altura del lecho y la pérdida de preión con la velocidad de circulación del ga tienen normalmente la forma de la figura repreentada en la Figura 9. Si e parte de un lecho de ólido que no ha ido fluidizado previamente, al aumentar la velocidad del ga u altura no varía, ya que el lecho etá fijo, y la caída de preión irá aumentando a medida que lo hace la velocidad del ga (ecuación de Ergun). Correpondería en la Figura 9 al tramo AB. En el punto B, la caída de preión e ligeramente mayor que la necearia para oportar el peo de la partícula, debido a la forma como etán empaquetada, ya que eto provoca que e neceite una velocidad un poco má alta para romper ea pequeña fuerza de coheión entre la partícula del lecho. Un pequeño incremento del flujo obre el punto B, conigue liberar la partícula y la caída de preión e jutamente la necearia para oportar u peo. El punto C correponde al punto de fluidización incipiente, y la velocidad a la que e alcanza erá la velocidad mínima de fluidización. Si el caudal e aumenta, e conigue fluidizar el lecho y la partícula de ólido e mueven libremente. La altura del lecho tiene pequeña ocilacione debido a que la burbuja formada aumentan con la velocidad del ga. La pérdida de preión del lecho permanece contante con el caudal de circulación, y u valor e el peo aparente de u partícula por unidad de uperficie. Correponde eta fae al tramo CE. Si a partir de la ituación repreentada en el punto E (velocidad alta y lecho completamente fluidizado), e comienza a diminuir el caudal, e obtiene primero el tramo equivalente CE, y tra el punto de mínima fluidización, el tramo CD, donde la altura del lecho e mayor y la pérdida de preión menor que la correpondiente al tramo AB. El motivo e que la poroidad del lecho fijo tra haberlo fluidizado e mayor a la de un lecho fijo compactado.

23 Figura 9. Pérdida de preión v velocidad de ga Mediante la repreentación de lo punto p + frente a u + tomado en un laboratorio, e determina experimentalmente la velocidad mínima de fluidización. El punto de corte de la prolongación de la recta horizontal correpondiente al lecho fluidizado, y la correpondiente al lecho fijo cuando baja el caudal, e la velocidad mínima de fluidización, tal y como e ve en la Figura p + (kpa) 1 0 fijo fluidizado u mf u + (cm/) Figura 10. Determinación experimental de la velocidad mínima de fluidización

24 4. Velocidad terminal Una vez que e ha alcanzado la velocidad mínima de fluidización, i e igue incrementando el caudal de fluido el itema etará cada vez má vigoroamente fluidizado. Si e igue aumentando ete llegará un momento en que la partícula ean arratrada por el fluido, alcanzándoe lo que e denomina velocidad terminal. Si e aumenta el flujo por encima de la velocidad terminal, tiene lugar el denominado arratre o tranporte neumático de partícula, dejando de exitir el lecho fluidizado. Para una partícula ailada, la velocidad terminal viene dada por la aplicación de un balance de cantidad de movimiento, cuya expreión final e u t 4 dp( ) g (58) C D donde C D e un coeficiente de decarga que depende de la caracterítica de la partícula y del régimen de circulación del ga. Eta ecuación e la mima que la ecuación (14), de caída de un ólido en un medio vicoo. La ituación e idéntica, ya que en un cao, el fluido etá etacionario y la partícula cae por gravedad, mientra que en el cao de la velocidad terminal, la partícula no cae por u gravedad porque la mantiene una corriente vertical. El valor de C D, en el cao de edimentación reptante, venía dado por la ecuación de Stoke. Sin embargo, para el cao de la velocidad terminal (generalmente un ga que otiene una partícula), el Reynold e muy uperior, C D no puede obtenere de forma teórica y u etimación etá baada en correlacione experimentale. Haider y Levenpiel (1989) obtuvieron una correlación experimental para el valor de C D en función de y Re p, cuyo reultado e muetra, a modo de ejemplo, en la ecuación (59) C 4 1 (8.171exp exp( )Re )Re p Re Re 5.78exp(6.1 ) (59) D p p p Lo reultado de eta ecuación (59), introducido en la (58), dan directamente la velocidad terminal, y e pueden repreentar de forma imple en la Figura 11. 4

25 Figura 11. Gráfica para la determinación de la velocidad terminal En la gráfica e repreentan lo valore del tamaño de partícula adimenional velocidad terminal adimenional * u t, calculado como * d p y una d * p 1/ ( ) g dp (60) u * t ut ( ) g 1/ (61) y de eta forma exite una curva diferente en función del valor del factor de efericidad. Como ejemplo de valore, la relación u t /u mf, para partícula fina puede llegar a er de 80, mientra que para partícula gruea tan ólo de alrededor de 10 vece. 5. Bibliografía - Kunii, D y Levenpiel, O. "Fluidization Engineering" Ed. Butterworth-Heinemann, ed., Boton (1991). 5

26 - Ullmann Encyclopedia of Indutrial Chemitry. Vol. B. VCH J. M. Coulon y J.F. Richaron. Chemical Engineering. Vol. II. Pergamon Pre. Oxford Wilke, J.O. Fluid Mechanic for Chemical Engineer, Prentice Hall, Darby, R. Chemical Engineering Fluid Mechanic, Dekker,