6 Sistemas Autoorganizados

Transcripción

1 6 Sstemas Autooganzados 6.. Intoduccón Las edes de neuonas atfcales con aendzae no suevsado se han alcado con éxto a oblemas de econocmento de atones y deteccón de señales. Estas edes constuyen clases o categoías a at de los datos de entada utlzando coelacones o meddas de smltud y tatan de dentfca atcones ótmas en el conunto de datos de entada. En una ed neuonal comettva las undades de salda comten ente sí aa actvase; sólo se actva la de mayo otencal snátco. La dea del aendzae comettvo está ya tazada en los meos tabaos de von de Malsbug (973) sobe la autooganzacón de las células nevosas de la coteza ceebal. En 975, Fukushma ouso el cognton que es una ed comettva multcaa y autooganzada. Wllsha y von de Malsbug (976) tabaaon sobe la fomacón de las conexones neuonales medante autooganzacón y Gossbeg (97, 976) sobe la clasfcacón adatatva de atones. Rumelhat y Zse (985) esecfcaon los tes elementos báscos de una egla de aendzae comettva: Un conunto de neuonas (undades de oceso) que se actvan o no en esuesta a un conunto de atones de entada (estímulos) y que dfeen en los valoes de un conunto de esos snátcos esecífco de cada neuona. Un límte muesto sobe la fueza de cada neuona. Un mecansmo que emte comet a las neuonas aa esonde a un subconunto de entadas de tal manea que una y sólo una neuona o guo se actva. En una ed neuonal comettva smle las neuonas ndvduales aenden a esecalzase sobe conuntos de atones smlaes y, o lo tanto, llegan a se detectoas de caacteístcas de los atones de entada. El algotmo de aendzae comettvo smle se uede contemla como un método aoxmado aa la econstuccón de vectoes de eesentacón, tambén llamados de eoduccón, ototos o códgos, de manea no suevsada. Ahalt, Kshnamuthy and Chen (990) han llevado a cabo la alcacón de las edes neuonales comettvas a la cuantfcacón vectoal (VQ) y han desaollado un nuevo algotmo no suevsado aa el dseño de la tablas de códgos (vectoes de

2 eesentacón o ototos) que conducen a esultados ótmos o cas ótmos. Además, las exeencas comutaconales muestan un conunto de ventaas de dcho algotmo fente al algotmo tadconal LBG (Lnde et al., 980) aa el dseño de cuantfcadoes vectoales. Ya, Zege y Gesho (99) han demostado oedades de la convegenca de la ed autooganzada de Kohonen alcada al dseño de cuantfcadoes vectoales y oonen condcones sobe los aámetos de aendzae. Pal, Bezdek y Tsao (993) han ouesto una genealzacón de la técnca de aendzae de cuantfcacón vectoal (LVQ) aa la fomacón de guos que evta la necesdad de defn un esquema de vecndad y donde los centodes fnales no aece que sean sensbles a los valoes ncales. Xu, Kzyzak y Oa (993) han desaollado un nuevo algotmo, llamado aendzae comettvo con vales enalzados, donde aa cada entada no sólo se modfca la undad de oceso ganadoa aa adatala al atón de entada sno que tambén sus vales se modfcan seaándolas del atón de entada (desaenden) con una tasa de aendzae meno. Ueda y Nakano (994) han esentado un nuevo algotmo de aendzae comettvo con un mecansmo de seleccón basado en el nco de equdstosón aa dseña cuantfcadoes vectoales ótmos; el mecansmo de seleccón le emte al sstema escaa de los mínmos locales. Mao y Jan (996) han ouesto una ed neuonal autooganzada aa aguacones heelsodales que alcan a oblemas de segmentacón de textuas. Po ota ate, el análss de guos clásco (cluste analyss) tata de foma automátcamente guos o categoías (clustes) a at de un conunto de datos de manea que a cada dato o entada le asgna una únca etqueta o guo. La aguacón va a suone una atcón de los datos en categoías o clases con caacteístcas smlaes y se lleva a cabo asgnando datos o atones con atbutos smlaes a la msma clase. Cuando se elge el cteo de mínmos cuadados (mínma dstosón o nco de los M meoes centodes) la fomacón de guos basada en atcones se uede ealza o el algotmo clásco de las K-MEDIAS ouesto o McQueen (967). Uchyama y Abb (994) han demostado la elacón que hay ente la fomacón de guos (clusteng) basada en atcones y la cuantfcacón vectoal; así, el oblema de la fomacón de guos basada en el nco de mínmos cuadados es el msmo que el oblema de la seleccón ótma de los vectoes de eesentacón (tambén llamados de eoduccón o ototos). Además, esentan un algotmo de aendzae comettvo que genea undades donde la densdad de vectoes de entada es más alta y muestan su efcenca como una heamenta aa la fomacón de guos en el esaco de colo que emte la segmentacón de mágenes de colo basada en el cteo de mínmos cuadados. 6.. Redes Neuonales Comettvas no suevsadas Una undad de oceso bnaa (neuonal atfcal) es un dsostvo smle de cálculo que solo uede esenta dos estados, actvo (encenddo) e nactvo (aagado). El estado que esenta deende de las señales que le lleguen de los sensoes de entada o de otas undades de oceso. Cada undad de oceso bnaa,, va a tene asocado un vecto de esos snátcos (,,, N ), con el que va a ondea los valoes que le lleguen de los sensoes de entada.

3 Comenzaemos defnendo lo que se entende o el otencal snátco de una undad de oceso. S a la undad de oceso le llegan N señales, dadas o el vecto (x,x,,x N ), y el vecto de esos snátcos de dcha undad es (,,, N ),entonces el otencal snátco vene dado o la exesón: donde θ = ( N ). h =... x + x + + N x N θ () Defncón Una ed comettva está consttuda o N sensoes de entada, M undades de oceso (neuonas atfcales), y conexones ente cada senso y cada undad de oceso, de manea que la conexón ente el senso y la undad de oceso tene asocado un valo. Paa cada entada ecogda o los sensoes solamente una undad de oceso se actva, aquella que tene el mayo otencal snátco, que se le consdea como la undad ganadoa. Fgua. Aqutectua de la ed. Po lo tanto, s eesentamos el estado de la undad de oceso o la vaable bnaa y, que toma el valo cuando dcha undad está actvada y ceo en caso contao, la dnámca de la comutacón de la ed vene dada o la exesón: { h, h,..., h } s h = max M k y =, =,,,M () 0 en oto caso Cada entada a la ed, es un vecto (x,x,,x N ) R N, que vene ecogdo o los sensoes de entada, y aa el cual se actva una sola undad de oceso, emanecendo las estantes desactvadas. Así, odemos dec que la ed neuonal comettva es una funcón de R N en el conunto {,,,M}, que alca un unto (x,x,,x N ) R N en el valo {,,,M}, cuando sea la undad ganadoa. Dcha funcón oduce una atcón del esaco de los datos (atones) de entada en M egones dsuntas. Dcho de ota foma, la ed comettva agua el conunto de datos de entada en M guos o clases. Cómo se detemnan los esos snátcos? Medante un oceso de aendzae no suevsado. Se etende que se actve aquella undad de oceso cuyo vecto de esos

4 snátcos sea el más aecdo al vecto de entada. De manea que los esos snátcos de cada undad de oceso sean la meo eesentacón del conunto de atones que hacen que esa undad de oceso sea ganadoa. Paa ello sólo tenemos que demosta que la undad ganadoa es aquella cuyo vecto de esos snátcos es el que más se aece al vecto de entada. El aecdo ente el vecto de entada x=(x,x,,x N ) y el vecto de esos snátcos de la undad de oceso, =(,,, N ), vendá dado o la dstanca euclídea ente dchos vectoes, es dec, d ( x, ) = x = ( x ) ( x N N ) A contnuacón vamos a demosta que la undad ganadoa es aquella cuyo vecto de esos snátcos es el que más se aece al vecto de entada. Teoema S es la undad de oceso ganadoa cuando se ntoduce el atón de entada, x=(x,x,,x N ), entonces d( x, ) d( x, k ), k =,,..., M Demostacón: En efecto, ( d( x, )) = x = ( x )'( x ) = x' x ' x + ' = x ' x h x ' x h = d( x, ) k ( ) k Vamos a detemna los esos snátcos de la ed utlzando un conunto de atones de entenamento, que eesentaemos o =(x (, x (,,x N (), k=,,,, y sguendo una egla de aendzae, es dec, una ecuacón matemátca que me esecfque cómo se actualzan los esos snátcos cada vez que ntoduzco, como entada, un atón de entenamento. Los atones de entenamento están aguados en M clases, C,C,,C M, desuntas ente sí, de manea que cada atón de entenamento etenece a una sola clase. Las clases no son conocdas eo tenen que esta fomadas o los atones más cecanos (óxmos) ente s, es dec, más smlaes. El obetvo de la ed comettva con aendzae no suevsado (uesto que no conocemos las clases) es descub o sí msma los guos o clases que foman los atones de entenamento. Paa ello, vamos a eleg un cteo o nco. Dcho cteo va a se el cteo de mínmos cuadados. Según este cteo se tata de enconta M vectoes de esos snátcos,,, M, tales que la funcón suma de eoes cuadátcos sea mínma, es dec, se tata de mnmza la exesón: donde Ε = M = = a x ( ) (3) a s ) C = 0 en oto caso

5 la funcón a ( me ndca s el atón de entada es, o no, de la clase C, eo dcha funcón no es conocda. Vamos a detemna los vectoes de esos snátcos sguendo un oceso teatvo que mnmce la funcón de eo cuadátco en cada aso, es dec, el nuevo vecto detemnado o dcho oceso dsmnuya el eo cuadátco E. A dcho oceso lo llamaemos egla de aendzae. La egla de aendzae uede se de dos fomas, según que actualcemos los esos snátcos cada vez que ntoducmos un atón de entada a la ed, en cuyo caso demos que el aendzae es ndvdualzado o en línea, o actualza los esos snátcos desués de ntoduc todos los atones de entada, en cuyo caso demos que el aendzae es o lotes. Suongamos meo que el aendzae es en línea. Sea el atón que ntoducmos en la ed en la teacón k. Se tata de modfca los vectoes de esos snátcos de modo que se mnmce la exesón del eo que deende de dcho atón: E a x = M = S en la teacón k los vectoes de esos snátcos son (, (,, M ( entonces vamos a detemna los nuevos vectoes en la teacón k+ sguente el método del descenso del gadente que vene dado o la exesón: E ( k + ) = λ donde λ es el aámeto que egula la longtud del aso en la deccón ouesta al gadente. Tenendo en cuenta que E = a k ( ) (4) y que el atón solo uede etenece a una de las M clases, vamos a estma los valoes desconocdos a k,,a k,,a Mk. que son todos nulos menos uno, medante la exesón s <, aˆ = (5) 0 en oto caso A la undad de oceso que le coesonde â =, es dec, aquella cuyo vecto de esos snátcos está más ceca del atón de entada, demos que es la undad ganadoa, y seá la únca que modfque su vecto de esos snátcos, las demás no lo modfcan, como se desende de la exesón (4). Po lo tanto la egla de aendzae es la sguente: donde ( k + ) = + (6)

6 η ( ( k + ) = 0 s s = (7) y es la undad ganadoa, es dec, la de mayo otencal snátco (según el teoema ) Note que η=λ. Al aámeto η lo llamaemos tasa de aendzae, ues confome mayo sea más se modfcan los esos snátcos. Paa entende meo dcha egla de aendzae vamos a ealza la sguente nteetacón geométca. S es la undad ganadoa entonces es dec, ( k + ) = + η ( ) ( k + ) = ( η ) + η( Po lo tanto, el nuevo vecto de esos snátcos (k+) es una combnacón lneal de los vectoes ( y. Quee dec que el vecto de esos snátcos se modfca acecándose al atón de entada, como se muesta en la fgua. Confome mayo es el valo del aámeto de aendzae más se aceca. ( (k+) Fgua. El nuevo vecto de esos snátcos. En cada teacón se ntoduce un atón de entada selecconado aleatoamente. El oceso contnua hasta ealza un númeo total de T teacones, es dec, desués de que cada atón se haya ntoducdo en la ed un númeo detemnado de veces (o eemlo 0 veces). Los valoes ncales de los vectoes de esos snátcos ueden se M atones de entada selecconados aleatoamente. El aámeto de aendzae debe de dsmnuyendo a lo lago de oceso de aendzae hasta alcanza el valo ceo aa el cual la ed dea de aende. Incalmente se uede eleg un valo η o (0,). El valo de dcho aámeto en la teacón k uede ven dado o la exesón:

7 k η = η 0 ( ), k =,,... (8) T que suone un dececmento lneal con esecto al númeo de teacón. El aámeto T es el númeo total de teacones del algotmo hasta conclu el oceso de aendzae. ALGORITMO DE APRENDIZAJE COMPETITIVO INDIVIDUALIZADO Paso 0 Eleg como vectoes de esos snátcos ncales M atones de entenamento y one k=. Paso Eleg aleatoamente un atón de entenamento. Paso Calcula los otencales snátcos h (,h (,,h M (. Paso 3 Detemna la neuona ganadoa, es dec, la de mayo otencal snátco h = máx h M { } Paso 4 Actualza como sgue: [ ( )] ( k + ) = + ( η ) k Paso 5 Calcula la nueva tasa de aendzae según la exesón k η =η 0 ( ) T Paso 6 S k=t aa. Hemos encontado los vectoes snátcos. En oto caso one k=k+ e al aso. Note que la condcón de aada se uede establece fando el númeo total de teacones T o establecendo un valo sufcentemente equeño de la tasa de aendzae. S actualzamos los vectoes de esos snátcos desués de ntoduc los atones de entada, entonces tendemos que mnmza en cada teacón la exesón: Ε = M = = a x ( ) (9) Paa ello utlzamos tambén el método del descenso del gadente. En este caso, E = a ( ) ) = y la egla de aendzae es la sguente:

8 donde ( k + ) = + ( k + ) = η a ( ) ) (0) = y los coefcentes de etenenca de atones a clases, a se estman según la exesón (5). Puede obsevase que cuando = = aˆ ) = aˆ es dec, cuando el vecto de esos snátcos de la undad de oceso es el atón omedo de todos los atones de entada asgnados a dcha undad (aquellos que la hacen ganadoa o su oxmdad con su vecto snátco) entonces (k+)=0, y así no modfca sus esos, ues ha encontado el valo buscado. ALGORITMO DE APRENDIZAJE COMPETITIVO POR LOTES Paso 0 Eleg como vectoes de esos snátcos ncales M atones de entenamento. Paso Calcula los otencales snátcos h (,h (,,h M ( aa cada atón de entada, k=,,,. Paso 3 Detemna la neuona ganadoa, es dec, la de mayo otencal snátco, h = máx{ h } M aa cada atón de entada, k=,,,. Pone ˆ a = 0 s es la undad ganadoa aa ) en oto caso Paso 4 (Regla de aendzae) Actualza cada como sgue: ( k + ) = + η = aˆ [ ) ]

9 Paso 5 Calcula la nueva tasa de aendzae según la exesón k η =η 0 ( ) T Paso 6 S k=t aa. Hemos encontado los vectoes snátcos. En oto caso one k=k+ e al aso. Note que la condcón de aada se uede establece fando el númeo total de teacones T o establecendo un valo sufcentemente equeño de la tasa de aendzae. La eleccón del cteo de mínma suma de eoes cuadátcos (9) es aoada cuando los guos foman nubes comactas que están ben seaadas unas de otas. Sn embago, no es aoada cuando hay una gan dfeenca ente el tamaño de los guos, es dec, ente el númeo de elementos que foman cada guo. En la fgua obsevamos que la aguacón (a), que coesonde a un mayo valo del eo cuadátco total, es la natual, mentas que la (b), que tene un meno eo cuadátco total, no lo es. Fgua. (a) Aguacón natual con valo de E gande. (b) Aguacón con valo de E equeño. Esta stuacón se esenta tambén con la esenca de atones atícos que oducen aguacones que no son adecuadas. Un cteo altenatvo es mnmza el eo cuadátco medo de eesentacón dento de cada guo, es dec, mnmza la funcón: Ε = M n = = a x ( ) sendo n en númeo de atones del guo, es dec, de aendzae o lotes vene dada o la exesón: n = a. En este caso, la egla = ( k + ) = η aˆ ( ) ) () nˆ = es dec,

10 ( k + ) = + η aˆ nˆ = = (-η) + η( nˆ [ ) ] = aˆ ) Obsévese que el nuevo valo del eso snátco es una combnacón lneal de su valo actual con el atón omedo de los atones asgnados a la clase. Asmsmo, la egla de aendzae en línea vene dada o la sguente exesón: η ( k + = nˆ ( ) 0 s s = () sendo la undad ganadoa en esta teacón. Asmsmo, tenendo en cuenta que ( k + ) = + η ( ) nˆ = ( η ) + η( nˆ nˆ vemos que tambén el nuevo valo del vecto snátco es una combnacón lneal de su valo actual con el atón de entada, ondeado de foma nvesa con el tamaño de la clase a la que etenece, como aece lógco. Es dec, se modfca menos el vecto snátco cuantos más atones tenga la clase a la que ha sdo asgnado el atón de entada Redes autooganzadas: La ed de Kohonen En el aendzae comettvo no hemos tendo en cuenta aa nada la oscón físca de las undades de oceso. Sn embago, no ocue así en el ceebo humano, donde neuonas óxmas físcamente esentan caacteístcas y comotamento smlaes. Así, el desaollo de estos modelos está motvado o la manea que tene de oganzase el ceebo. Las dfeentes áeas de la coteza ceebal están caactezadas o la delgadez de sus caas y o el to de neuonas que hay dento de ellas; así tenemos las áeas vsual, audtva, motoa, etc. Cada entada sensoal es alcada al áea coesondente de la coteza ceebal de una manea odenada. Po lo tanto, la localzacón esacal de una neuona dento de un maa toogáfco va a coesonde a un domno o caacteístca atcula de los datos de entada. Así, las undades de oceso se van a coloca sobe una cuadícula o ella ectangula dento de la cual cada undad de oceso va a tene un conunto de undades vecnas, de manea que los esos snátcos de las undades vecnas debeán se aecdos. Esta dea está nsada en los estudos oneos que hzo von de Malsbug (973) ndcando que un modelo del coteza vsual uede no esta comletamente edetemnado genétcamente sno que un oceso de autooganzacón o aendzae uede se esonsable de la odenacón local de las neuonas. Kohonen (98) esentó un modelo sencllo aa la fomacón autooganzada de maas de caacteístcas de los datos de entada del que nos ocuaemos en este caítulo.

11 El oósto de las edes autooganzadas es descub atones sgnfcatvos o caacteístcas en los datos de entada sn ayuda de un ofeso, es dec, medante aendzae no suevsado. Consdeemos M M undades de oceso colocadas sobe una ella ectangula (fgua 3) de manea que el vecto =(, ) nos da oscón de la undad de oceso. Paa establece la nocón de oxmdad ente las undades de oceso defnemos una funcón dstanca, d(, ) =, que nos da la dstanca que hay ente la undad y la undad. Podemos utlza la dstanca euclídea, la dstanca ectangula, d o cualque ota funcón dstanca. d (, ) = ( ) + ( ), (, ) = + A contnuacón defnmos una funcón de vecndad (o funcón de ventana) que tomaá valoes mayoes confome más óxmas estén las dos undades de oceso, es dec, es cualque funcón dececente de la dstanca ente las msmas. Un eemlo de funcón de vecndad es la sguente: Λ (, ) = e, Tambén se uede defn la funcón de vecndad medante una lantlla o ventana, como o eemlo: que nos dce que vale cuando concde con ; vale 0.5 cuando es la undad vecna que está encma, debao, a la deecha o a la zqueda de, y vale ceo aa el esto de los casos. La taea que etendemos ealza es la sguente: Dado un conunto de atones del esaco de entadas, vamos a constu una alcacón ente dcho esaco y el esaco de colocacón de las undades de oceso de manea que cada atón de entada se asgna a una undad de oceso (la undad ganadoa) de foma que atones de entada vecnos según la toología defnda en el esaco de entadas se coesondan con undades de oceso vecnas según la toología defnda ente las undades de oceso. Paa ello seguemos una la egla de aendzae smla a la egla comettva donde habá una undad ganadoa eo ahoa se modfcan tambén los vectoes snátcos de las undades de oceso vecnas, aunque en meno medda, según su oxmdad a la undad ganadoa, acecándose al atón de entada. Ello gaantza que las undades de oceso vecnas tengan sus vectoes snátcos aecdos, es dec, se eseve la toología del esaco de entada. Po eemlo, s se tata de agua fonemas, las señales de sondo coesondentes a la onuncacón del fonema be seá asgnaán a una undad de oceso leana de la undad de oceso coesondente al fonema tu eo vecna de la undad coesondente al fonema ve.

12 Neuonas Sensoes Fgua 3. Rella de colocacón de las undades de oceso. Po lo tanto, s es el vecto de esos snátcos de la undad de oceso coesondente a la conexón ente el senso de entada y dcha undad, la actualzacón del msmo se ealza según la sguente egla de aendzae: (, )( ( )) ( k + ) = + η Λ k, =,,,M M (3) sendo la undad de oceso ganadoa que, de manea smla a la egla del aendzae comettvo, es la de mayo otencal snátco. La nteetacón de esta egla de aendzae es la sguente: Paa cada atón de entada se austa el vecto de esos snátcos de la undad ganadoa de manea que sea más aecdo a dcho atón, es dec, se aceca al msmo; tambén se austan los vectoes snátcos de las undades vecnas, eo en meno medda, deendendo de su oxmdad.

13 Alcacón : Cómo se uede esolve el oblema del vaante con una Red autooganzada de Kohonen? Tenendo en cuenta que la solucón del oblema del vaante es un ecodo (uta) que asa o cada una de las N cudades sólo una vez y egesa a la cudad de atda, vamos a utlza una ed autooganzada con un númeo mayo de undades de oceso (o eemlo, 3N) que cudades a vsta. Las undades de oceso van a esta colocadas sobe una ccunfeenca e gualmente esacadas, de manea que la ccunfeenca nos detemnaá la uta a segu y los esos snátcos de cetas undades de oceso van a llega a se las coodenadas de los ueblos que eesentan. Vamos a toma como funcón de vecndad: Fgua 4. Toología de la ed autooganzada. s θ θ = 0 π / s θ θ = Λ( θ, ) = 3N θ, =,,...,3N 4π /4 s θ θ = 3N 0 en oto caso sendo la neuona ganadoa y θ el ángulo, en adanes, que detemna la oscón de la neuona atfcal con esecto al ogen y el ee de abscsas. Con esta funcón la undad ganadoa comate la mtad de sus ganancas con cuato neuonas vecnas. Así, conseguemos que los vectoes snátcos de neuonas vecnas sean tambén óxmos. Po lo tanto, la dnámca de comutacón es la sguente: Se detemna la undad ganadoa,, es dec, la de mayo otencal snátco: h h sendo = N N x = = y se sgue la sguente egla de aendzae: h /

14 = η Λ( θ, θ )( x ), =,,...,N tomando como conunto de atones de entenamento el conunto de N untos: {(x, y ), =,,...,N} que coesonden a las coodenadas de la cudades. Los vectoes snátcos seán ataídos o los untos donde están stuadas las cudades y cuando se establce la ed los esos snátcos seán las coodenadas de las cudades y la uta vene detemnada o la secuenca de cudades sobe la ccunfeenca. Fgua 5. Evolucón de los esos snátcos. En la fgua 5 esentamos la tayectoa de los esos snátcos y el esultado obtendo cuando el númeo de cudades es gual a 5 y el númeo de undades de oceso es gual a 45. Alcacón : Se dsone de 3 untos (x, y ), =,,...,3, que confguan el contono dfuso de un vaso sanguíneo en una mamogafía (ve la fgua 6). Se tata dseña una ed neuonal que constuya el contono olgonal de 30 vétces que meo se austa al contono del vaso sanguíneo. Fgua 6. Vaso cala en una mamogafía. Se uede utlza una ed autooganzada de Kohonen con tantas neuonas atfcales como vétces tenga el contono olgonal. Como no conocemos la oscón n la oentacón del vaso sanguíneo, la neuonas atfcales estaán colocadas sobe una ccunfeenca e gualmente esacadas (fgua 7). Vamos a toma como funcón de vecndad:

15 Λ θ, θ ) = / 0 s ( θ θ = 0 π s θ θ = 0 en oto caso, =,,...,N sendo la neuona ganadoa y θ el ángulo, en adanes, que detemna la oscón de la neuona atfcal con esecto al ogen y el ee de abscsas. Con esta funcón la undad ganadoa comate la mtad de sus ganancas con dos neuonas vecnas. Así, conseguemos que los vectoes snátcos de neuonas vecnas sean tambén óxmos. neuona θ Fgua 7. Toología de la Red autooganzada. Po lo tanto, la dnámca de comutacón es la sguente: Se detemna la undad ganadoa,, es dec, la de mayo otencal snátco: h h sendo h = N N x = = y se sgue la sguente egla de aendzae: / = η Λ( θ, θ )( x ), =,,...,N tomando como conunto de atones de entenamento el conunto de 3 untos: {(x, y ), =,,...,3} que coesonden a las oscones de los íxeles del contono en la magen de ees. Los vectoes snátcos seán ataídos o los untos que confguan el contono del vaso sanguíneo y nos daán los vétces del contono olgonal (fgua 8).

16 Fgua 8. Auste al contono de vaso sanguíneo de una mamogafía. 6.4 Redes Neuonales Comettvas Suevsadas Como vmos con anteodad, una ed comettva está consttuda o N sensoes de entada, M undades de oceso (neuonas atfcales), y conexones ente cada senso y cada undad de oceso, de manea que la conexón ente el senso y la undad de oceso tene asocado un valo. Paa cada entada ecogda o los sensoes se actva solamente una undad de oceso, aquella que tene el mayo otencal snátco. Po lo tanto, la dnámca de la comutacón de la ed vene dada o la exesón: s h = max{ h, h,..., hm } k y =, =,,,M (4) 0 en oto caso donde el otencal snátco de la undad de oceso vene dado o la exesón con θ = ( N ). x + x + + N x N θ (5) h =... Paa una entada x=(x,x,,x N ) R N se actva la undad de oceso cuyo vecto de esos snátcos =(,,, N ) está más óxmo a x. Así, se uede dec que la ed neuonal comettva es una funcón de R N en el conunto {,,,M}, que alca un unto (x,x,,x N ) R N en el valo {,,,M}, cuando sea la undad ganadoa. Dcha funcón oduce una atcón del esaco de los datos (atones) de entada en M egones dsuntas. Dcho de ota foma, la ed comettva agua el conunto de datos de entada en M guos o clases. Cómo se detemnan los esos snátcos? En este caso dsonemos de un conunto de atones de entenamento etquetados, {(x, z ), =,,,}, es dec, odemos sabe s la undad que se actva coesonde, o no, a la clase a la que etenece el atón

17 de entada. Paa ncooa dcha nfomacón al oceso de aendzae nos basamos en la dea de aceca el vecto snátco al atón de entada seme y cuando la undad ganadoa sea la de la clase coecta (como en el aendzae no suevsado), y en caso contao, cuando la asgnacón sea ncoecta, aleamos el vecto snátco de la undad ganadoa del vecto de entada x. Po lo tanto, en el oceso de aendzae el vecto snátco de la undad ganadoa es ataído o atón de entada s la clasfcacón es coecta, y eeldo s la clasfcacón es ncoecta. Concetamente, cuando el atón de entada x es de la clase s, y la undad ganadoa es la, entonces la egla de aendzae suevsado es la sguente: donde ( k + ) = + (6) η ( ) ( k + ) = η ( () ( k + ) = 0, s = s s s (7) Al aámeto η lo llamaemos tasa de aendzae, ues confome mayo sea más se modfcan los esos snátcos. Sn embago, la evolucón de dcho aámeto duante el oceso de entenamento de la ed no va a se seme dececente como en el caso del aendzae no suevsado. Paa meoa la velocdad de convegenca cada undad de oceso tene su oa tasa de aendzae y evolucona según la sguente egla ouesta o Kohonen (990): η s = s + η η = (8) η s s η Así, se dsmnuye la tasa de aendzae cuando la clasfcacón ha sdo coecta y se aumenta en caso contao. Po lo tanto, vamos a tene una ed neuonal con K m undades de oceso (K o cada clase), las K meas son de la mea clase, y así sucesvamente. El vecto snátco de la undad de oceso vene dado o un ototo de la clase coesondente. Los vectoes snátcos (ototos) se van modfcando según la anteo egla de aendzae y así se obtene el sguente algotmo: Algotmo de aendzae comettvo suevsado Paso : Eleg K ototos ncales aa cada clase (se uede utlza aa ello la ed comettva no suevsada o el algotmo de las K-medas) que consttuán los vectoes snátcos de las undades de oceso.

18 Paso (k-ésma teacón): Seleccona aleatoamente (con eemlazamento)un atón del conunto de entenamento,. Paso 3: Detemna la undad ganadoa medante la exesón h = max h Paso 4 (Fase de aendzae): =,..., M S es la undad ganadoa y coesonde a la msma clase que la entada entonces se modfca el vecto snátco de la msma según la exesón: { } ( k + ) = + η ( ) Las demás undades de oceso no modfcan sus esos. En oto caso se modfca el vecto snátco de la undad ganadoa según la exesón: ( k + ) = η ( ) Las demás undades de oceso no modfcan sus esos. Paso 5: Reet el aso modfcando la tasa de aendzae de la undad ganadoa según la exesón (5). El algotmo fue ouesto o Kohonen (989) y se suele llama Aendzae de la Cuantfcacón Vectoal (Leanng Vecto Quantzaton) o algotmo LVQ. Paa entende meo dcha egla de aendzae vamos a ealza la sguente nteetacón geométca. S es la undad ganadoa y el atón de entada es de la msma clases entonces ( k + ) = + η ( ) = ( η ) + η( Es dec, el nuevo vecto de esos snátcos (k+) es una combnacón lneal de los vectoes ( y. Quee dec que el vecto de esos snátcos se modfca acecándose al atón de entada, como se muesta en la fgua 9. Confome mayo es el valo del aámeto de aendzae más se aceca. En oto caso, entonces ( k + ) = η ( ) = ( +η( ) η(

19 ( (k+) Fgua 9. El nuevo vecto de esos snátcos en caso de ataccón. Es dec, el nuevo vecto snátco se eta del atón de entada en la deccón ouesta, como se muesta en la fgua 0. (k+) ( Fgua 0. El nuevo vecto de esos snátcos en caso de eulsón. La utlzacón de la egla (8) aa modfca la tasa de aendzae uede conduc a valoes altos de la msma, uesto que s una undad de oceso ganadoa se equvoca vaas veces consecutvas en la asgnacón de la clase, entonces s vale 0.00, va asando a los valoes 0., 0.5, 0.43, 0.67, 0.00, 0.50, 0.333, 0.50,,. Po ello, es meo utlza la sguente egla: η s = s + η η = (9) η k ( ) mn, η (0) s s η