Formulación Espacial de la Función de Green para el Análisis de Circuitos de Radiofrecuencia en Cavidades de Geometría Arbitraria

Transcripción

1 ESCUEL TÉCNIC SUPERIOR DE INGENIERÍ DE TELECOMUNICCIÓN UNIVERSIDD POLITÉCNIC DE CRTGEN Poyecto Fn de Caea Fomulacón Espacal de la Funcón de Geen paa el nálss de Ccutos de Radofecuenca en Cavdades de Geometía btaa UTOR: Juan Sebastán Gómez Díaz DIRECTOR: lejando Álvaez Melcón CODIRECTOR: Fenando D. Quesada Peea Catagena Septembe 2006

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3 uto E-mal del uto Dectoes E-mal del Decto Codectoes Título del PFC Descptoes Juan Sebastán Gómez Díaz lejando Álvaez Melcón Fenando Danel Quesada Peea Fomulacón Espacal de la Funcón de Geen paa el nálss de Ccutos de Radofecuenca en Cavdades de Geometía btaa Funcón de Geen Ecuacón ntegal Guías de onda Resumen En este poyecto fn de caea se petende estuda la técnca de las mágenes espacales paa el cálculo de funcones de Geen en cavdades clíndcas optmzala y etende el método a cavdades de geometía abtaía. El cálculo de las funcones de Geen y sus potencales asocados son fundamentales paa el análss electomagnétco de múltples estuctuas y ccutos medante la técnca de la ecuacón ntegal. Se pueden dvd los contendos del poyecto en dos gandes bloques: Optmzacón de la funcón de Geen en cavdades clíndcas: Con el objetvo de mejoa la pecsón de la técnca aplcada a guías cculaes. Se pesenta un método de cómputo de la pecsón de los potencales obtendos así como múltples técncas de mejoa. 2 Etensón de la técnca a cavdades de geometía abtaía: Se desaolla la fomulacón paa el cálculo de los potencales en el nteo de cualque estuctua multcapa así como su mplementacón en el lenguaje Fotan 90. Se pesentan esultados paa múltples geometías de guías en 3D valdando los esultados de foma analítca en caso posble o medante el softwae comecal HFSS. Ttulacón Ingeneo de Telecomuncacón Intensfcacón Sstemas y Redes de Telecomuncacón Depatamento Tecnología de la Infomacón y la Comuncacón Fecha de Pesentacón Septembe de II-

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5 -IV- lbeto

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7 GRDECIMIENTOS En pme luga queo agadece a m decto de poyecto lejando Álvaez Melcón la atencón ecbda duante la duacón del tabajo el apoyo técnco ecbdo y el gan optmsmo y ánmo que mostaba cuando nada salía. Muchas gacas. Tambén queo agadece a Fenando D. Quesada la cesón de softwae dseñado po él así como la esolucón de múltples dudas que han do sugendo en todo este tempo. Queo agadece a m famla todo el apoyo bndado y el habe estado ahí en los momentos más dfícles especalmente a ms pades y hemana. Sn ellos n este tabajo n nada en m vda había sdo posble. Fnalmente un ecuedo paa todos ms amgos pdendo pedón po el tempo que he faltado y no he poddo esta con vosotos. un así habés estado sempe ahí muchas gacas. En especal agadecete Mónca tu caño y apoyo y dotes matemátcas :P duante todo este tempo. Muchas gacas a todos. -VI-

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9 Índce de Contendos. INTRODUCCIÓN.... Descpcón del poyecto..... Planteamento ncal del poyecto Objetvos Estuctua del poyecto potacones novedosas Softwae desaollado Conceptos de electomagnetsmo Ecuacones de Mawell Métodos numécos Ecuacón Integal FORMULCIÓN ESPCIL EN CVIDDES CIRCULRES Fomulacón espacal con fuentes eléctcas Desaollo de la fomulacón Resultados...9 Stuacón de la fuente: Stuacón de la fuente: Stuacón de la fuente: Stuacón de la fuente: Conclusones Fomulacón espacal con fuentes magnétcas Desaollo de la fomulacón Resultados Softwae desaollado Intoduccón de los datos Pogama en Fotan Códgo empleado Complacón y ejecucón Pogama en Matlab Códgo empleado Ejecucón OPTIMIZCIÓN DE L FUNCIÓN ESPCIL DE GREEN Intoduccón Optmzacón del potencal escala Intoduccón Método de optmzacón Integacón po pulsos pomacón del Tapeco pomacones numécas ceadas pomacones numécas sem-abetas pomacón del Tapeco tomando una gan cantdad de puntos ntemedos Resultados de las dstntas apomacones con ntegacón de pulsos Método de vaacón dnámca de cagas en pcos de potencal Desaollo teóco VIII-

10 Resultados obtendos Método de la vaacón dnámca del ado magen Desaollo teóco Resultados obtendos Optmzacón po descenso de gadente de las cagas Desaollo teóco Resultados obtendos Optmzacón po descenso de gadente de las poscones Desaollo teóco Resultados obtendos Empleo de métodos de foma conjunta y compaacón Conclusones Optmzacón del potencal vecto Intoduccón Método de la vaacón del ado Desaollo teóco Resultados obtendos Conclusones Softwae desaollado EXTENSIÓN DE L FORMULCIÓN ESPCIL DE GREEN ESTRUCTURS RBITRRIS Intoduccón Fomulacón espacal de Geen en tamos ectos Desaollo de la Fomulacón Valdacón de los esultados Estuctuas abtaas Intoduccón Ceacón de la estuctua a analza Eleccón de puntos tangentes en el contono de la estuctua Ubcacón de las mágenes Reconocmento de estuctuas abtaas Ejemplos de potencales en estuctuas abtaas Optmzacón de los potencales en estuctuas abtaas Intoduccón Coste del potencal escala Coste del potencal vecto Optmzacón de potencales Método de la vaacón del ado Método de la vaacón de la dstanca especula Optmzacón po descenso de gadente de las cagas Optmzacón po descenso de gadente de las poscones Compaacón de métodos Valdacón de esultados en una guía cuadada Softwae desaollado NÁLISIS DE CVIDDES TRIDIMENSIONLES Intoduccón IX-

11 5.2 nálss de cavdades eléctcamente cotas Tansfomada de Sommefeld Descpcón de la cavdad nálss de cavdades cculaes nálss de cavdades abtaas nálss de cavdades eléctcamente lagas: Multanllo Poblemas de convegenca Guía dual fomada po guía cuadada con cote en una esquna Estudo Guía Rombo en funcón de sus ángulos ntenos Conclusones Cálculo de fecuencas de esonanca Softwae desaollado Cálculo de los potencales Bado en fecuenca EJEMPLOS DE NÁLISIS DE GUÍS-OND TIPO Intoduccón Guía ectangula Guía tangula Guía ombo con ángulos ntenos a 90º Guía tapeco Guía dual cuadada con un cote Guía flange Lmtacones del método: Guía estella y dge Guía estella Guía dge nálss multcapa: Guía cuadada con dos deléctcos Softwae desaollado CONCLUSIONES Y LÍNES FUTURS Conclusones Líneas futuas NEXO I NEXO II BIBLIOGRFÍ X-

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13 Índce de Fguas Fgua 2. Dpolo untao stuado en el nteo de la cavdad clíndca...2 Fgua 2.2 Stuacón una caga magen especto al clndo... 2 Fgua 2.3 Dstancas empleadas paa el cálculo de la poscón de la caga magen... 3 Fgua 2.4 Stuacón de dos cagas mágenes alededo del clndo...4 Fgua 2.5 Dpolo fuente en el eje y sus dos dpolos magen asocados a un punto tangente... 5 Fgua 2.6 Descomposcón de un dpolo I en los dos ejes con unos pesos detemnados... 7 Fgua 2.7 Repesentacón clndo con 20 cagas/dpolos mágenes Fgua 2.8 Potencal escala en el nteo del clndo. Fuente en 0 0 y 20 cagas mágenes Fgua 2.9 Potencal escala en el contono del clndo. Fuente en 0 0 y 20 cagas mágenes... 2 Fgua 2.0 Potencal vecto G en el nteo del clndo. Fuente en 0 0 y 20 dpolos magen... 2 y y Fgua 2. Repesentacón potencal vecto G y G. Fuente en 0 0 y 20 dpolos mágenes yy Fgua 2.2 Repesentacón potencal vecto G. Fuente en 0 0 y 20 dpolos mágenes Fgua 2.3 Repesentacón del potencal escala en el contono. Fuente en 00 y 5 cagas mágenes Fgua 2.4 Repesentacón del potencal escala en el contono. Fuente en 0 0 y 30 cagas mágenes y Fgua 2.5 Compaacón potencal escala y vectoal G. Fuente en 0 0 y con 5 y 30 cagas/dpolos magen Fgua 2.6 Stuacón de 20 cagas/dpolos magen alededo de la cavdad con la fuente en la poscón Fgua 2.7 Potencal escala en el nteo del clndo. Fuente en y 20 cagas mágenes Fgua 2.8 Repesentacón del potencal escala en el contono. Fuente en y 30 cagas mágenes Fgua 2.9 Potencal vecto G en el nteo del clndo. Caga en y 20 cagas magen y Fgua 2.20 Repesentacón potencal vecto G. Fuente en y 20 dpolos mágenes y Fgua 2.2 Repesentacón potencal vecto G. Fuente en y 20 dpolos mágenes yy Fgua 2.22 Repesentacón potencal vecto G. Caga en y 20 dpolos mágenes Fgua 2.23 Stuacón de 20 cagas/dpolos magen alededo de la cavdad con la fuente en Fgua 2.24 Potencal escala en el nteo del clndo. Fuente en y 20 cagas mágenes Fgua 2.25 Repesentacón del potencal escala en el contono. Fuente en y 20 cagas mágenes Fgua 2.26 Potencal vecto G en el nteo del clndo. Caga en y 20 cagas magen y Fgua 2.27 Repesentacón potencal vecto G. Caga en y 20 dpolos mágenes y Fgua 2.28 Repesentacón potencal vecto G. Caga en y 20 dpolos mágenes yy Fgua 2.29 Repesentacón potencal vecto G. Caga en y 20 dpolos mágenes Fgua 2.30 Stuacón de 20 cagas/dpolos magen alededo de la cavdad con la fuente en Fgua 2.3 Zoom de la stuacón de 20 cagas/dpolos magen alededo de la cavdad con la fuente en Fgua 2.32 Potencal escala en el nteo del clndo. Fuente en y 20 cagas mágenes Fgua 2.33 Repesentacón del potencal escala en el contono. Fuente en y 20 cagas/dpolos mágenes Fgua 2.34 Potencal vecto G en el nteo del clndo. Fuente en y 20 cagas magen y Fgua 2.35 Repesentacón potencal vecto G. Fuente en y 20 dpolos mágenes Fgua 2.36 Repesentacón potencal vecto G. Fuente en y 20 dpolos mágenes y -XII-

14 yy Fgua 2.37 Repesentacón potencal vecto G. Fuente en y 20 dpolos mágenes Fgua 2.38 Stuacón una caga magen especto al clndo Fgua 2.39 Dpolo fuente en el eje y sus dos dpolos magen asocados a un punto tangente Fgua 2.40 Potencal escala magnétco nomalzado en el eje = Fgua 2.4 Potencal vecto eléctco GF nomalzado en el eje = Fgua 2.42 Potencal vecto eléctco G nomalzado en el eje y= F y F Fgua 2.43 Potencal vecto eléctco G nomalzado evaluado con 20 mágenes Fgua 3. Repesentacón 5 cagas mágenes alededo del clndo fuente en ogen coodenadas Fgua 3.2 Repesentacón del potencal escala en contono del clndo en funcón del ángulo. Empleo de 5 mágenes fuente en ogen de coodenadas Fgua 3.3 Repesentacón de stuacón y coste del potencal escala en un clndo empleo de 5 mágenes y fuente stuada en Fgua 3.4 Dstanca ente puntos tangentes en la apomacón del tapeco Fgua 3.5 pomacones ntegales ceadas: solape de nfomacón Fgua 3.6 Caacteístcas de la apomacón de Smpson s Fgua 3.7 pomacones ntegales sem-abetas: no se solapa la nfomacón Fgua 3.8 Stuacón de los puntos ntemedos en una apomacón sem-abeta Fgua 3.9 Detalle de los puntos ntemedos tomados en un aco del clndo al ealza una apomacón po Tapeco geneal... 6 Fgua 3.0 Repesentacón de stuacón y coste del potencal escala en un clndo empleo de 4 mágenes y fuente stuada en Fgua 3. Repesentacón de stuacón y coste del potencal escala en un clndo tas ubca un punto tangente en un pco de potencal empleo de 5 mágenes y fuente stuada en Fgua 3.2 Detalle de la ubcacón de un nuevo punto de condcón de potencal nulo donde se encontaba anteomente un pco de potencal Fgua 3.3 Detalle de la dstbucón del potencal 25 cagas mágenes habendo evoluconado su colocacón en pcos de potencal desde 9 cagas. Fuente en Fgua 3.4 Dstbucón del potencal a lo lago del contono del clndo con 5 mágenes. a Stuando las cagas en pcos de potencales y evoluconando desde una stuacón ncal de 0 mágenes. b Empleando Pont-Matchng Fgua 3.5 Stuacón 20 cagas magen alededo clndo fuente en Fgua 3.6 Stuacón 20 cagas magen fuente ubcada en Fgua 3.7 Stuacón 20 cagas magen ubcacón ccula. Fuente en Fgua 3.8 Coste en funcón del ado mágenes fuente en Fgua 3.9 Coste en funcón del ado mágenes fuente en Fgua 3.20 Coste en funcón del ado mágenes fuente en Fgua 3.2 Coste en funcón del ado paso gueso y fno. 20 mágenes y fuente en Fgua 3.22 Vaacón del coste con el ado vaable cagas mágenes fuente en Fgua 3.23 Compaatva costes método ognal y vaacón de ado Fgua 3.24 Potencal escala en el contono métodos ognal y vaacón de ado. Fuente stuada en el ogen y 20 mágenes Fgua 3.25 Vaacón del coste con el ado 5 mágenes y fuente en el ogen Fgua 3.26 Coste en funcón del ado. 0 cagas mágenes y fuente en Fgua 3.27 Stuacón con 0 mágenes y fuente en Fgua 3.28 Repesentacón Potencal escala en funcón del ángulo. 0 mágenes y fuente en ogen Fgua 3.29 Evolucón del Coste en funcón del númeo de teacón paso dnámco. Empleo de 0 mágenes y fuente stuada en la poscón Fgua 3.30 Evolucón del Coste en funcón del númeo de teacón paso fjo. Empleo de 0 mágenes y fuente stuada en la poscón Fgua 3.3 Repesentacón Potencal escala en funcón del ángulo tas optmza el valo complejo de las cagas. Empleo de 0 mágenes y fuente stuada en el ogen Fgua 3.32 Stuacón con 0 mágenes y fuente en Fgua 3.33 Potencal escala en funcón del ángulo. 0 mágenes y fuente en Fgua 3.34 Repesentacón de la evolucón del coste y de las poscones de las cagas magen al ealza una optmzacón de las poscones. 0 mágenes y fuente en Fgua 3.35 Potencal escala en funcón del ángulo tas optmza las poscones de las cagas magen. 0 mágenes y fuente en Fgua 3.36 Repesentacón 20 cagas mágenes alededo del clndo fuente en ogen coodenadas XIII-

15 Fgua 3.37 Valo de las condcones del potencal vecto en el contono del clndo 20 mágenes fuente stuada en el ogen Fgua 3.38 Dstbucón del eo del potencal vecto en el contono del clndo 20 mágenes fuente stuada en el ogen Fgua 3.39 Repesentacón de stuacón y coste del potencal escala en un clndo empleo de 20 mágenes y fuente stuada en Fgua 3.40 Detalle del Coste del potencal vecto paa cada condcón. 20 mágenes y fuente stuada en Fgua 3.4 Dfeencas en la ubcacón de dpolos mágenes. a Método geneal. b Vaacón dnámca del ado. Empleo de 20 dpolos magen y fuente stuada en Fgua 3.42 Vaacón del coste del potencal vecto en funcón del ado. Empleo de 20 dpolos magen y fuente stuada en Fgua 3.43 Vaacón del coste del potencal vecto en funcón del ado en tono al mínmo. Empleo de 20 dpolos magen y fuente stuada en Fgua 3.44 Compaacón de la dstbucón de la condcón del potencal vecto en el contono de un clndo. a Optmzando el ado. b Método geneal. Empleo de 20 dpolos magen y fuente stuada en Fgua 3.45 Ejemplo de convegenca del coste del potencal vecto en el nfnto. 5 mágenes fuente en el ogen de coodenadas... 5 Fgua 3.46 Vaacón de la condcón del potencal vecto en el contono del clndo en funcón del ado estendo 2 mínmos. 5 cagas mágenes y fuente en Fgua 4. Dpolo untao stuado en el nteo de una cavdad cuadada Fgua 4.2 Ubcacón de una condcón de contono Gv en la paed de una guía cuadada Fgua 4.3 Tamo oblcuo y sus ejes de coodenadas Fgua 4.4 Ubcacón de una condcón de contono del potencal vecto Fgua 4.5 Estuctua clíndca de ado a analzada con 20 mágenes y fuente stuada en el cento. Pespectvas de fomulacón catesana y fomulacón clíndca Fgua 4.6 Compaacón del potencal escala en un clndo bajo las fomulacones catesana y clíndca. 20 mágenes fuente en el ogen... 3 Fgua 4.7 Compaacón del potencal vecto en un clndo bajo las fomulacones catesana y clíndca. 20 mágenes fuente en el ogen Fgua 4.8 Ejemplos vaos de estuctuas abtaas ceadas Fgua 4.9 Fcheo descpto de una guía dge con sus lados edondeados Fgua 4.0 Ejemplo de guía dge con lados edondeados Fgua 4. Dstbucón unfome de 5 puntos tangentes en una guía dge edondeada Fgua 4.2 Dstbucón unfome de 5 puntos tangentes en una guía tangula Fgua 4.3 Ubcacón de 34 y 7 puntos tangentes en una guía tangula empleando una dstbucón de los msmos po vétces y mtades de segmentos Fgua 4.4 Ubcacón de 32 puntos tangentes en una guía dge edondeada empleando una dstbucón de los msmos po vétces y mtades de segmentos Fgua 4.5 Ubcacón de puntos tangentes en guía dge edondeada en funcón de la dstanca meda de cada tamo a la fuente... 4 Fgua 4.6 Ubcacón de 20 puntos de foma unfome y saltando los vétces sobe una guía ectangula Fgua 4.7 Ubcacón de mágenes de foma ccula alededo de una guía dge edondeada y una guía ombo Fgua 4.8 Ubcacón de mágenes medante posconamento especula. Ejemplos con una guía cuadada de bodes edondeados y una guía tangula Fgua 4.9 Ubcacón de mágenes en tamos cuvos Fgua 4.20 Combnacón de técncas de ubcacón de mágenes: especula y ecta tangente aula paa tamos cuvos. Ejemplo sobe guía cuadada con 2 lados edondeados Fgua 4.2 Ubcacón de mágenes sguendo el contono de las guías dge y estella Fgua 4.22 Reconocmento de tamos ectos stuados ente un punto cualquea y el eteo de la estuctua. Ejemplo con una guía cuadada Fgua 4.23 Reconocmento de tamos oblcuos stuados ente un punto cualquea y el eteo de la estuctua. Ejemplo con una guía tangula Fgua 4.24 Ejemplo de econocmento del nteo de estuctuas abtaas. Vsualzacón en 3D Fgua 4.25 Potencales paa una guía cuadada de 22m. 300Mhz. 40 mágenes Fgua 4.26 Potencales paa una guía tangula. 300Mhz. 30 mágenes Fgua 4.27 Potencales paa una guía ombo. 300Mhz. 30 mágenes XIV-

16 Fgua 4.28 Potencales paa una guía dge. 300Mhz. 60 mágenes Fgua 4.29 Potencales paa una guía estella. 64 mágenes Fgua 4.30 Repesentacón del potencal escala en el contono de una guía cuadada. 40 mágenes fuente en el cento de la guía Fgua 4.3 Repesentacón del potencal escala en el contono de una guía dge. 60 mágenes fuente en el cento de la guía Fgua 4.32 Repesentacón del potencal escala en el nteo de una guía dge. 60 mágenes stuadas a 0.25 sguendo el contono de la guía Fgua 4.33 Repesentacón del Coste del potencal vecto en una guía ombo con 40 mágenes. 300 Mhz fuente stuada en el cento de la guía Fgua 4.34 Repesentacón del Coste del potencal vecto en una guía cuadada con dos lados edondeados con 64 mágenes. 300 Mhz fuente stuada en el cento de la guía Fgua 4.35 Coste de los potencales escala y vecto en una guía tangula 30 mágenes ubcadas de foma ccula sn optmza su ado. Fuente en el ogen de coodenadas Fgua 4.36 Evolucón del coste en funcón del ado del cículo que ubca a las 30 mágenes. Guía tangula Fgua 4.37 Ejemplos de ubcacón de cagas medante el método de la vaacón de la dstanca especula. Casos de guía dge 40 mágenes y guía ombo 30 mágenes Fgua 4.38 Ubcacón de 64 mágenes en una guía estella medante un posconamento especula sn optmza. Repesentacón del coste escala en su contono Fgua 4.39 Stuacón fnal y epesentacón de Costes en el contono paa potenca escala y vecto. Guía estella 64 mágenes Fgua 4.40 Stuacón de patda al analza una guía ectangula con 20 mágenes stuadas a 0.5 de la estuctua. Repesentacón del coste de los potencales escala en el contono Fgua 4.4 Evolucón del coste del potencal escala al evalua una guía ectangula 20 mágenes Fgua 4.42 Stuacón de patda y fn de las 20 mágenes empleadas paa analza una guía dge Fgua 4.43 Evolucón del coste en funcón del nº de teacón. Optmzacón de las poscones de 25 mágenes alededo de una guía dge Fgua 4.44 nálss de una guía cuadada 40 mágenes. Fuente en el cento 5 Ghz Fgua 4.45 Potencales nomalzados en un cote a 6.5m a lo lago del eje desde el bode nfeo en una guía cuadada de 6666mm. Compaatva de método mágenes y método analítco descto en [0] Fgua 5. Numeacón de capas y fuentes Fgua 5.2 Clndo a analza. Rado meto altua 0.5 metos. 40 mágenes stuadas de foma unfome alededo de la estuctua. Fuente en el cento a 0.25 metos de altua Fgua 5.3 Repesentacón de potencales en el nteo de una guía clíndca meto de ado 0.5 de alto 40 mágenes alededo. Fuente en el cento a 0.25metos. 300Mhz Fgua 5.4 Repesentacón de potencales en el nteo de una guía clíndca meto de ado 0.5 de alto 40 mágenes alededo. Fuente en el cento a 0.25metos. 600Mhz Fgua 5.5 Cote de los potencales en el eje X en funcón de dstntas dstancas de ubcacón de las 50 mágenes empleadas al analza una guía ccula de ado meto 0.5 metos de alto. 300 Mhz Fgua 5.6 Relacón de ángulos en la fomulacón catesana con tansfomada Sommefeld Fgua 4.7 Stuacón al analza una guía cuadada mm. 50 mágenes stuadas sguendo su contono stuadas a 5 mm Fgua 5.8 Potencales en el nteo de una guía cuadada mm. 50 mágenes stuadas sguendo su contono stuadas a 5 mm Fgua 5.9 Ubcacón del cote en el eje X en la guía cuadada paa la vsualzacón de los potencales Fgua 5.0 Compaacón de los potencales en una guía cuadada de mm en un cote en el eje X a 6.5mm del eje Y 50 mágenes dstntas poscones de las msmas. Fuente en el cento. Se muesta el esultado analítco espeado según [0]. 0 Ghz Fgua 5. Stuacón a analza: guía cuadada mm 40 mágenes ubcadas a 33mm del contono. Fuente descentada stuada en -0.70mm del plano X-Y Fgua 5.2 Compaacón de los potencales de una guía cuadada mm en un cote en el eje X a 6.5mm del eje Y 40 mágenes ubcadas a 33mm del contono. Fuente en el cento.se muesta el esultado analítco espeado según [0]. 4 Ghz Fgua 5.3 Ubcacón de mágenes 40 mágenes alededo de una guía cuadada mm en funcón aumentada de su dstanca a la fuente descentada... 9 Fgua 5.4 Repesentacón de los potencales de una guía cuadada en un cote al emplea 40 mágenes stuadas en funcón aumentada de su dstanca a la fuente pondeada. 4 Ghz XV-

17 Fgua 5.5 Compaacón de los potencales en un cote de una guía cuadada de mm en funcón del númeo de mágenes empleadas stuadas a 33mm de la guía. 0 Ghz Fgua 5.6 Compaacón de los potencales de una guía cuadada en un cote al emplea un anllo de 40 mágenes vaando su dstanca a la guía con el esultado analítco de [0]. 5 Ghz Fgua 5.7 Stuacón planteada al analza con 3 anllos una guía cuadada Fgua 5.8 Nomenclatua usada paa la ubcacón de mágenes y puntos tangentes en análss multanllo Fgua 5.9 Compaacón de los potencales de una guía cuadada en un cote al emplea tes anllos de 40 mágenes cada uno vaando su dstanca a la guía con el esultado analítco de [0]. 5 Ghz Fgua 5.20 Compaacón de los potencales de una guía cuadada en un cote dstnto a la altua de la fuente al emplea tes anllos de 40 mágenes cada uno stuados a 33mm de la cavdad con el esultado analítco de [0]. 5 Ghz Fgua 5.2 Potencales a meda altua de una guía cuadada de mm 3 anllos de 50 mágenes cada uno ubcados a 33mm de la cavdad. Fecuenca de 5Ghz Fgua 5.22 Compaacón de los potencales en un cote del eje X en una guía cuadada de con un cote cuadado en su esquna supeo deecha de 88mm. 80 mágenes. 0Ghz Fgua 5.23 Ubcacón de 3 y 5 anllos de 80 mágenes alededo de una guía cuadada de mm que pesenta un cote de 88mm en su esquna supeo deecha Fgua 5.24 Potencal escala en un cote paa 3 y 5 anllos de 80 mágenes en funcón de la dstanca de los msmos a la cavdad cuadada de mm con un cote de 88mm Fgua 5.25 Potencal vecto en un cote paa 3 y 5 anllos de 80 mágenes en funcón de la dstanca de los msmos a la cavdad dual cuadada de mm con un cote de 88mm Fgua 5.26 Potencal escala en un cote paa 3 y 5 anllos de 80 mágenes en funcón de la dstanca cecana de los msmos a la cavdad cuadada de mm con un cote de 88mm Fgua 5.27 Potencal vecto en un cote paa 3 y 5 anllos de 80 mágenes en funcón de la dstanca cecana de los msmos a la cavdad cuadada de mm con un cote de 88mm Fgua 5.28 Potencal escala en un cote paa 3 y 5 anllos en funcón del númeo de mágenes po anllo en una cavdad cuadada de mm con un cote de 88mm Fgua 5.29 Potencal vecto en un cote paa 3 y 5 anllos en funcón del númeo de mágenes po anllo en una cavdad cuadada de mm con un cote de 88mm Fgua 5.30 Vsualzacón de pcos de eo en el potencal escala de una guía cuadada de mm con un cote en una esquna de 88mm. 6.22Ghz. 60 mágenes Fgua 5.3 Vsualzacón de las matces del potencal escala paa las guías cuadada y dual al emplea 80 mágenes Fgua 5.32 Ejemplos de guías ombos con dstntos ángulos ntenos Fgua 5.33 Potencales en el cote X cental paa una guía ombo con ángulos ntenos de 90º Fgua 5.34 Potencales en el cote X cental paa una guía ombo con ángulos ntenos de 60º Fgua 5.35 Potencales en el cote X cental paa una guía ombo con ángulos ntenos de 45º Fgua 5.36 Potencales en el cote X cental paa una guía ombo con ángulos ntenos de 30º... 2 Fgua 5.37 Potencales en el eje X de una guía ombo con ángulos ntenos de 30º. Vaacón del númeo de mágenes de un únco anllo. Fecuenca de 0Ghz Fgua 5.38 Pcos de eo al analza una guía ombo con 2 ángulos ntenos con 30º a 2 Ghz. Potencal vecto Gyy Fgua 5.39 Stuacón de la fuente y un punto de obsevacón en el nteo de una guía cuadada de mm empleo de 60 mágenes stuadas a 33mm Fgua 5.40 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía cuadada de mm al vaa la fecuenca de 5.2 a 7.5Ghz Fgua 5.4 Potencales en la pmea esonanca de la cavdad cuadada mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 5.42 Potencales en la segunda esonanca de la cavdad cuadada mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6. Stuacón de la fuente y un punto de obsevacón en el nteo de una guía ectangula de mm empleo de 60 mágenes stuadas a 2mm Fgua 6.2 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía ectangula de mm al vaa la fecuenca de 5.2 a 7.0 Ghz Fgua 6.3 Potencales en la pmea esonanca de la cavdad ectangula mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.4 Potencales en la segunda esonanca de la cavdad ectangula mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS XVI-

18 Fgua 6.5 Potencales en la tecea esonanca de la cavdad ectangula mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.6 Stuacón de la fuente y un punto de obsevacón en el nteo de una guía tangula de altua 30mm empleo de 30 mágenes stuadas a 2mm Fgua 6.7 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía tangula de altua 30mm al vaa la fecuenca de 5 a 9.0 Ghz Fgua 6.8 Evaluacón de los potencales cuzados en un punto fjo en el nteo de una guía tangula de altua 30mm al vaa la fecuenca de 5 a 9.0 Ghz Fgua 6.9 Potencales en la pmea esonanca de una cavdad tangula con 30mm de altua. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.0 Potencales en la segunda esonanca de una cavdad tangula con 30mm de altua. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6. Stuacón de la fuente y un punto de obsevacón en el nteo de una guía ombo de dmensones mm y sus 4 ángulos ntenos a 90º. Empleo de 60 mágenes stuadas a 2mm Fgua 6.2 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía ombo de dmensones mm al vaa la fecuenca de 5 a 5.0 Ghz Fgua 6.3 Potencales en la pmea esonanca de una cavdad ombo de dmensones mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.4 Potencales cuzados en la pmea esonanca de una guía ombo de dmensones mm Fgua 6.5 Stuacón de 3 anllos con 60 mágenes cada uno al analza una guía ombo de dmensones mm con sus 4 ángulos ntenos a 90º Fgua 6.6 Potencales a la fecuenca de esonanca de 4.8Ghz de una cavdad ombo de dmensones mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.7 Stuacón de anllo con 60 mágenes stuados sobe una guía en foma de tapeco de altua 30mm Fgua 6.8 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía tapezodal de de altua 30mm al vaa la fecuenca de 4.5 a 9.0 Ghz Fgua 6.9 Potencales a la fecuenca de esonanca de 7.36Ghz de una cavdad tapezodal de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.20 Potencales a la fecuenca de esonanca de 7.826Ghz de una cavdad tapezodal de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.2 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de 8.94Ghz de una cavdad tapezodal de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.22 Stuacón de anllo con 90 mágenes stuados sobe una guía cuadada de mm con un cote de 88mm en su esquna supeo deecha Fgua 6.23 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía cuadada de mm con un cote de 88 en una esquna al vaa la fecuenca de 4.5 a 9.0 Ghz Fgua 6.24 Potencal escala en la pmea esonanca en funcón del númeo de mágenes guía cuadada mm con un cote de 88 en su esquna supeo deecha Fgua 6.25 Campo eléctco E z obtendo en una guía dual en la pmea esonanca a 6.22Ghz Fgua 6.26 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de 7.25Ghz de una cavdad dual de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.27 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de 7.629Ghz de una cavdad dual de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.28 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de 8.952Ghz de una cavdad dual de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.29 Stuacón de anllo con 90 mágenes stuados sobe una guía flange de altua 30mm Fgua 6.30 Repesentacón de los potencales en un cote del eje X en una guía flange a 7 Ghz. anllo con 50 mágenes Fgua 6.3 Repesentacón de los potencales en un cote del eje X en una guía flange a 7 Ghz. 3 anllos con 50 mágenes cada uno Fgua 6.32 Repesentacón de los potencales en un cote del eje X en una guía flange a 7 Ghz. 5 anllos con 50 mágenes cada uno Fgua 6.33 Repesentacón de los potencales en un cote del eje X en una guía flange a 7 Ghz. 5 anllos vaacón del númeo de mágenes po anllo Fgua 6.34 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía flange de altua 30mm al vaa la fecuenca de 5 a 9.0 Ghz Fgua 6.35 Potencales a la fecuenca de esonanca de 7.55Ghz de una cavdad flange de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS XVII-

19 Fgua 6.36 Potencales a la fecuenca de esonanca de 8.49Ghz de una cavdad flange de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.37 Stuacón de anllo con 50 mágenes stuados sobe una guía estella de altua 30mm Fgua 6.38 Pcos de eo en los vétces de una guía estella al se analzada con 70 mágenes Fgua 6.39 Potencales en ejes e y al vaa el númeo de mágenes en el análss de una guía estella Fgua 6.40 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía estella de altua 30mm al vaa la fecuenca de 5 a 9.0 Ghz Fgua 6.4 Pme modo de esonanca en una guía estella de altua 30mm. Fecuenca Ghz Fgua 6.42 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de Ghz de una cavdad tpo estella de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.43 Stuacón de anllo con 90 mágenes stuados sobe una guía dge de altua 30mm Fgua 6.44 Pcos de eo en los vétces de una guía dge al se analzada con 70 mágenes Fgua 6.45 Potencales en el eje al vaa el númeo de mágenes en el análss de una guía dge Fgua 6.46 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía dge de altua 30mm al vaa la fecuenca de 7 a 0.5 Ghz Fgua 6.47 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de 7.893Ghz de una cavdad tpo dge de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.48 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de 9.27Ghz de una cavdad tpo dge de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS Fgua 6.49 Guía cuadada multcapa y ubcacón de 50 mágenes alededo de la msma Fgua 6.50 Potencales en el eje al vaa la dstanca de 50 mágenes a una guía cuadada con dos deléctcos en su nteo Fgua 6.5 Potencales vecto al ealza un bado en un punto fjo ente 2 y 7 Ghz en una guía cuadada con 2 deléctcos. Compaacón con el método analítco descto en [0] Fgua 6.52 Compaacón de los potencales en una guía cuadada de mm con un deléctco de 5mm con 2. Valdacón con los esultados obtendos en [0] Fgua 6.53 Potencal escala a 5.5Ghz en una guía cuadada de 2020mm con dos capas de 2mm una de ellas ae y la ota con pemtvdad de valo XVIII-

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21 Índce de Tablas Tabla. Ecuacones de Mawell en su foma dfeencal e ntegal... 5 Tabla.2 Magntudes electomagnétcas... 5 Tabla.3 Tpos de pemtvdad y pemeabldad en funcón del medo...6 Tabla 3. Coste método ognal poscón fuente en Tabla 3.2 Coste método ognal poscón fuente en Tabla 3.3 Coste método ognal poscón fuente en Tabla 3.4 Coste método ognal poscón fuente en Tabla 3.5 Coste método ognal poscón fuente en Tabla 3.6 Coste método ognal poscón fuente en Tabla 3.7 Resultado del coste al ealza una ubcacón de cagas tenendo en cuenta el mámo del potencal de foma teatva y tenendo en cuenta el númeo de cagas de la stuacón de nco Tabla 3.8 Coste vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Tabla 3.9 Coste vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Tabla 3.0 Coste vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Tabla 3. Coste vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Tabla 3.2 Coste vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Tabla 3.3 Coste vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Tabla 3.4 Coste optmzando cagas paa dstntos nº de mágenes poscón fuente en Tabla 3.5 Coste optmzando cagas paa dstntos nº de mágenes poscón fuente en Tabla 3.6 Coste optmzando cagas paa dstntos nº de mágenes poscón fuente en Tabla 3.7 Coste optmzando cagas paa dstntos nº de mágenes poscón fuente en Tabla 3.8 Coste optmzando cagas paa dstntos nº de mágenes poscón fuente en Tabla 3.9 Coste optmzando cagas paa dstntos nº de mágenes poscón fuente en Tabla 3.20 Coste optmzando poscones paa dstntos nº de mágenes fuente en Tabla 3.2 Coste optmzando poscones paa dstntos nº de mágenes fuente en Tabla 3.22 Coste optmzando poscones paa dstntos nº de mágenes fuente en Tabla 3.23 Coste optmzando poscones paa dstntos nº de mágenes fuente en Tabla 3.24 Coste optmzando poscones paa dstntos nº de mágenes fuente en Tabla 3.25 Coste optmzando poscones paa dstntos nº de mágenes fuente en Tabla 3.26 Compaatva dstntos métodos de optmzacón en funcón del númeo de mágenes fuente en Tabla 3.27 Compaatva dstntos métodos de optmzacón en funcón del númeo de mágenes fuente en Tabla 3.28 Compaatva dstntos métodos de optmzacón en funcón del númeo de mágenes fuente en Tabla 3.29 Compaatva dstntos métodos de optmzacón en funcón del númeo de mágenes fuente en Tabla 3.30 Compaatva dstntos métodos de optmzacón en funcón del númeo de mágenes fuente en Tabla 3.3 Compaatva dstntos métodos de optmzacón en funcón del númeo de mágenes fuente en Tabla 3.32 Coste vectoal método ognal poscón fuente en Tabla 3.33 Coste vectoal método ognal poscón fuente en Tabla 3.34 Coste vectoal método ognal poscón fuente en Tabla 3.35 Coste vectoal método ognal poscón fuente en Tabla 3.36 Coste vectoal método ognal poscón fuente en Tabla 3.37 Coste vectoal método ognal poscón fuente en Tabla 3.38 Coste vectoal vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Tabla 3.39 Coste vectoal vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Tabla 3.40 Coste vectoal vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Tabla 3.4 Coste vectoal vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Tabla 3.42 Coste vectoal vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Tabla 3.43 Coste vectoal vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Tabla 4. Coste escala y vecto al analza dstntas guías con todos los métodos de optmzacón pesentados Tabla 4.2 Posbles valoes del paámeto Ubcacón de ptos tangentes XX-

22 Tabla 4.3 Posbles valoes del paámeto Ubcacón de mágenes Tabla 5. Fecuencas de esonanca de los pmeos modos de una cavdad cuadada de mm Tabla 5.2 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía cuadada de mm Tabla 6. Fecuencas de esonanca de los pmeos modos de una cavdad ectangula de mm Tabla 6.2 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía ectangula de mm Tabla 6.3 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía ectangula de mm Tabla 6.4 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía ombo de mm con sus cuado ángulos ntenos a 90º Tabla 6.5 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía tapeco de 30mm de altua Tabla 6.6 Pecsón al obtene las esonancas el potencal escala en una guía dual Tabla 6.7 Pecsón al obtene las esonancas el potencal vecto en una guía dual Tabla 6.8 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía flange de 30mm de altua Tabla 6.9 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía flange de 30mm de altua Tabla 6.0 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía flange de 30mm de altua Tabla I. Coste de dstntos métodos de ntegacón po pulso en funcón del númeo de mágenes poscón fuente en Tabla I.2 Coste de dstntos métodos de ntegacón po pulso en funcón del númeo de mágenes poscón fuente en Tabla I.3 Coste de dstntos métodos de ntegacón po pulso en funcón del númeo de mágenes poscón fuente en Tabla I.4 Coste de dstntos métodos de ntegacón po pulso en funcón del númeo de mágenes poscón fuente en Tabla I.5 Coste de dstntos métodos de ntegacón po pulso en funcón del númeo de mágenes poscón fuente en Tabla I.6 Coste de dstntos métodos de ntegacón po pulso en funcón del númeo de mágenes poscón fuente en Tabla II. Coste de la ubcacón de cagas en pcos de potencal con dstntas stuacones ncales en funcón del númeo de mágenes y con poscón fuente en Tabla II.2 Coste de la ubcacón de cagas en pcos de potencal con dstntas stuacones ncales en funcón del númeo de mágenes y con poscón fuente en Tabla II.4 Coste de la ubcacón de cagas en pcos de potencal con dstntas stuacones ncales en funcón del númeo de mágenes y con poscón fuente en Tabla II.5 Coste de la ubcacón de cagas en pcos de potencal con dstntas stuacones ncales en funcón del númeo de mágenes y con poscón fuente en Tabla II.6 Coste de la ubcacón de cagas en pcos de potencal con dstntas stuacones ncales en funcón del númeo de mágenes y con poscón fuente en Tabla II.7 Coste de la ubcacón de cagas en pcos de potencal con dstntas stuacones ncales en funcón del númeo de mágenes y con poscón fuente en XXI-

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25 Capítulo : Intoduccón. Intoduccón. Descpcón del poyecto.. Planteamento ncal del poyecto En la actualdad el uso de las comuncacones móvles y po satélte se encuenta en pleno apogeo. Estas tecnologías equeen de muchos componentes como puedan se antenas ccutos de adofecuenca fltos ccutos de cavdad etc. El estudo y caactezacón de estos componentes es fundamental paa conoce su funconamento y pode dseña sstemas con unas mayoes pestacones y caldad. sí se plantean poblemas de índole electomagnétca cuya solucón se basa en las conocdas ecuacones de Mawell. En una gan cantdad de stuacones eales estas ecuacones no pesentan solucones analítcas debdo a su complejdad sendo necesao ecu a dvesas técncas numécas paa su esolucón que nos popoconaan unos esultados más o menos apomados en funcón del método elegdo y del caso ante el que nos encontemos. Esten una gan cantdad de estas técncas numécas ente ellas destacamos la FDTD Fnte Dffeences n Tme Doman la técnca modal la técnca de los elementos fntos ó la técnca de la ecuacón ntegal. La eleccón ente un método u oto dependeá del tpo de poblema coste computaconal de su solucón geometía a analza etc. El uso de la ecuacón ntegal se encuenta muy etenddo paa aboda poblemas de análss electomagnétco empleándose en una gan cantdad de estuctuas y ccutos de adofecuenca usados en comuncacones móvles y po satélte. En geneal esta técnca se ha empleado con éto en múltples escenaos: análss de antenas adando en condcones de espaco lbe [] análss de ccutos de adofecuenca multcapa [2] poblemas y ccutos en guíaonda y paa antenas de cavdad [3] etc. El pncpal poblema encontado en los casos ctados se debe al cálculo de las funcones de Geen que tengan en cuenta las paedes lateales de la guíaonda. En este campo se han desaollado fomulacones tanto espacales como espectales aplcadas a ccutos en guías ectangulaes. Esto es debdo a que paa esta senclla geometía las funcones de Geen pueden se fomuladas como sees nfntas de convegenca lenta tanto en el domno espectal como en el domno espacal [4]. En el caso de otas geometías más complejas esulta muy dfícl el cálculo de las funcones de Geen necesaas paa pode aplca la ecuacón ntegal. Po ejemplo esten tabajos que han abodado la geometía ccula fomulando las funcones de Geen en foma de sees de funcones de Bessel en el domno espectal [5]. Po conta no esten fomulacones paa la guía ccula en el domno espacal debdo a la dfcultad de enconta una geometía de mágenes que satsfagan dectamente las condcones de contono de los campos electomagnétcos en las paedes lateales de la guía. Todavía mas complcado esulta enconta fomulacones paa guías de geometía más compleja no estendo fomulacones sencllas n en el domno espacal n espectal. --

26 Capítulo : Intoduccón Recentemente una nueva fomulacón paa el tatamento de la guía ccula medante la ecuacón ntegal ha sdo desaollada po la UPCT [67]. Esta fomulacón está basada en el domno espacal po pmea vez. El pesente poyecto tata de contnua con el desaollo de esta técnca buscando su mejoa paa analza de foma más pecsa ccutos en guía ccula y etende la técnca paa pode tata guías de geometías más complejas en pncpo abtaas. Ejemplos seían guías dge cavdades en modo dual etc...2 Objetvos El poyecto pesenta un objetvo doble: o o Estudo y mejoa de la técnca de las mágenes espacales fnta desaollada po la UPCT paa el análss de ccutos en guía ccula. Etensón de la técnca de las mágenes espacales a guías de geometía abtaa mucho más complejas guías dge fltos en modo dual etc. En pme luga se tataá de aumenta la pecsón de la técnca aplcada a guías cculaes. sí tas la ubcacón de una see de mágenes alededo de la guía paa foza el cumplmento de las condcones de contono se obtendá una medda de la pecsón obtenda y se optmzaá esta pecsón medante dvesas técncas vaando la poscón y el valo de estas mágenes. En segundo luga se etendeá la técnca paa pode analza estuctuas con una geometía mucho más compleja. sí se popone el análss de cavdades cuadadas ectangulaes tangulaes dge etc. Ota caacteístca que pesenta el método es la posbldad de cálculo de las fecuencas de esonanca de estas cavdades. En cuanto a la valdacón de los esultados se podá ealza de foma numéca paa las cavdades cuadada y ectangula pues tenen solucón analítca [8] y se empleaá el softwae comecal HFSS paa la valdacón del esto de esultados...3 Estuctua del poyecto El poyecto se ha dvddo en un total de 7 capítulos. En pme luga se pesenta de foma beve la teoía electomagnétca hacendo hncapé en las ecuacones de Mawell. Se ealza una pequeña descpcón de los dstntos métodos numécos estentes paa posteomente centanos en el estudo de la ecuacón ntegal. En el capítulo 2 se estuda la técnca de las mágenes espacales [67] paa el estudo de estuctuas clíndcas bdmensonales fomulándose tanto paa fuentes eléctcas como magnétcas. Posteomente en el capítulo 3 se busca una optmzacón del método anteo usando una medda de la coeccón del cálculo de potencales ealzados un coste y -2-

27 Capítulo : Intoduccón optmzando el msmo medante múltples técncas. Destacan sobe las demás la vaacón dnámca de la ubcacón de las mágenes espacales modfcando el valo del ado del cículo en el que se encuentan y la optmzacón del valo complejo y poscón de las msmas medante un algotmo de descenso de gadente. En el capítulo 4 se etende la teoía de las mágenes espacales a estuctuas abtaas. Paa ello se desaolla un softwae capaz de analza cualque geometía sn más que defnla. De esta manea se estudan los potencales en guías cuadadas ectangulaes dges tangulaes etc. Posteomente se ealza una etensón de los métodos de optmzacón pesentados en el capítulo 3 con el fn de evalua la pecsón en el análss de las dstntas guías. En el capítulo 5 se plantea el análss de cavdades tdmensonales tanto cculaes como abtaas empleando paa ello la tansfomada de Sommefeld [9]. demás ealzan análss tanto de estuctuas eléctcamente cotas medante un únco anllo de mágenes como de estuctuas eléctcamente lagas empleando paa ello vaos anllos stuados a dstntas altuas que envuelven la cavdad. Todos los análss son valdados paa una estuctua cuadada basándose en un método analítco epuesto en [0]. Fnalmente se popone un método paa el cálculo de las fecuencas de esonanca de la cavdad analzada. En el capítulo 6 se utlzan todas las técncas empleadas anteomente paa ealza el análss de cavdades tdmensonales eales calculando sus fecuencas de esonanca y mostando los potencales obtendos a esas fecuencas obsevándose el modo que se popaga en el nteo de la guía. Los dstntos esultados seán valdados medante el softwae comecal HFSS. En el últmo capítulo se etaeán las conclusones de todo el poyecto y se popondán dstntas líneas de nvestgacón futuas. Fnalmente se mostaán dos neos con esultados sobe el método de ntegacón po pulsos desaollado en el capítulo 3 y paa temna se mostaán las dstntas efeencas y fuentes empleadas a lo lago del poyecto...4 potacones novedosas El pesente poyecto apota dvesos puntos de vsta enfoques y técncas novedosas con el fn de faclta el análss electomagnétco de cavdades tanto cculaes en pme luga como abtaas. En un pme punto se ealza un aumento de la pecsón de la técnca de las mágenes espacales aplcada a cavdades cculaes. Paa ello se ha ntoducdo un nuevo concepto como es el coste ó pecsón que tenemos en el análss sendo una medda de la coeccón con la que estamos esolvendo el poblema. Sobe este coste se han aplcado dvesas técncas de optmzacón: po gadente descendente po vaacón de las ubcacones de las mágenes aumento dnámco de las mágenes en funcón de la egón de la cavdad etc. Este conjunto de técncas han popoconado un aumento consdeable de la pecsón a la hoa de la esolucón de ccutos en guías cculaes. -3-

28 Capítulo : Intoduccón En segundo luga se ha etenddo po pmea vez la fomulacón de mágenes espacales a geometías abtaas multcapa empleando paa ello la tansfomada de Sommefeld [9]. demás se ha ealzado el análss tanto de estuctuas eléctcamente cotas medante un únco anllo de mágenes espacales como de estuctuas eléctcamente lagas empleando vaos anllos de mágenes que envuelven la geometía a analza en dstntas altuas. Como esultado se ha obtendo po pmea vez la funcón de Geen en medos multcapa de geometía abtaa. Fnalmente destaca que se ha consegudo halla medante el método de las mágenes espacales las fecuencas de esonanca en cavdades de geometía abtaía obtenéndose una elevada pecsón. De esta foma se abe la pueta al análss medante la ecuacón ntegal de ccutos nmesos en guías de onda de geometía abtaa solventando el poblema del cálculo de las funcones de Geen en su nteo...5 Softwae desaollado Paa mplementa los dstntos planteamentos desaollados en el pesente poyecto se ha elegdo el lenguaje de pogamacón FORTRN 90 debdo a su oentacón haca el cálculo centífco y numéco sendo destacable su gan velocdad de pocesamento de datos. unque el cálculo numéco coe a cago de Fotan 90 la epesentacón gáfca de los esultados se ha ealzado medante el softwae comecal Matlab debdo a su vesatldad en el manejo de todo tpo de gáfcos así como la posbldad de modfca los esultados obtendos. El códgo ealzado es potable ente dstntos sstemas como puedan se Wndows y Lnu. Debdo a la gan etensón que pesenta el códgo de los dstntos pogamas ealzados no vamos a eponelo de foma detallada; úncamente ndcaemos los paámetos de entada de los dstntos pogamas y la foma de vsualza/obtene los esultados. Estos paámetos de entada como pueden se la fecuenca númeo de puntos de la vsualzacón dmensones geométcas etc se deben de ntoduc en un fcheo de teto que el softwae analzaá. Los dstntos esultados son gabados en fcheos de salda que seán ntepetados de foma coecta po Matlab. En cuanto al códgo en s todos los pogamas tanto de Fotan 90 como de Matlab se encuentan debdamente comentados eplcando el funconamento de cada pate. Ello facltaá un uso posteo del softwae desaollado paa cualque tpo de aplcacón páctca. -4-

29 Capítulo : Intoduccón.2 Conceptos de electomagnetsmo.2. Ecuacones de Mawell S hay un punto de nfleón a lo lago de la hstoa en el estudo del electomagnetsmo éste se podujo en 865 con la popuesta de James Mawell de sus famosas ecuacones que tas se efomuladas en 880 se pueden epesa de la sguente manea: Nombe Foma dfeencal Foma Integal Ley de Gauss D D d dv S V Ley de Gauss ausenca de monopolos magnétcos B 0 0 B d S B Ley de Faaday E E dl B d t t C S D Ley de mpèe genealzada H J H dl J d D d t t C S S Tabla. Ecuacones de Mawell en su foma dfeencal e ntegal. El paso ente la foma dfeenca e ntegal de las ecuacones de Mawell se ealza medante las tansfomacones de los teoemas de la dvegenca y de Stoes. Los símbolos empleados en la tabla anteo y su undad de medda en el Sstema Intenaconal son los sguentes: Símbolo Sgnfcado Undad de medda E Campo eléctco V m H Campo magnétco m D Densdad de campo eléctco C 2 m B Densdad de campo magnétco T ó Wb 2 m Densdad de caga eléctca C 3 m J Densdad de coente 2 m Tabla.2 Magntudes electomagnétcas De las ecuacones anteoes se deduce la denomnada ecuacón de la contnudad tomando paa ello la dvegenca de la ley de mpèe. Esta ecuacón establece la consevacón de la caga y pesenta la foma: J. t demás de la coente de desplazamento D t ya puesta de manfesto en la ley de mpèe pueden est en cada punto coentes de conduccón la denomnada como ley de Ohm: -5-

30 Capítulo : Intoduccón donde es la conductvdad en Semens/meto. J E.2 Las ecuacones de Mawell pesentadas en la tabla. se pueden smplfca de foma consdeable tenendo en cuenta la stuacón que se está analzando: así po ejemplo en espaco lbe las coentes y cagas son ceo s las fuentes vaían amóncamente con el tempo se podá emplea una notacón fasoal ó en casos donde no se pesente una vaacón tempoal las ecuacones tomaán las fomas de electoestátca y magnetoestátca. Todas estas smplfcacones pueden se estudadas en cualque lbo de electomagnetsmo como en [8]. En medos mateales se debe de consdea la elacón ente los vectoes ntensdad E H y densdad D B medante la pemtvdad eléctca y la pemeabldad magnétca. En geneal se cumple que: D E 0 E.3 B H H 0 donde y son los valoes elatvos mentas que 0 y 0 son los valoes en el vacío sendo éstos: 0 9 F 0 36 m.4 7 H m En funcón del tpo de medo en el que nos encontemos los valoes elatvos de la pemtvdad y la pemeabldad seán eales complejos etc. En la tabla sguente se muesta el tpo de magntud que adqueen en funcón del tpo de medo en el que se ealce el análss: Pemtvdad Pemeabldad Tpo de medo Real Sn péddas Compleja Con péddas Escala Isótopo Matz nsótopo Constante Homogéneo Vaable Inhomogéneo Tabla.3 Tpos de pemtvdad y pemeabldad en funcón del medo En la esolucón de la mayoía de los poblemas de electomagnetsmo seá necesao defn unas condcones de contono ente los dstntos medos que compongan el poblema. Estas condcones de contono son en geneal defndas po el valo ó contnudad de la funcón potencal sobe la supefce conocda como la condcón de Dchlet y/o el valo o la contnudad de la devada del potencal en la deccón nomal a la supefce conocda como la condcón de Neumann e ncluso una mezcla de estas condcones. l consdea dos medos cualesquea denomnados medo y 2 estas condcones de contono las podemos epesa como: -6-

31 Capítulo : Intoduccón nˆ D D2 nˆ E E2 M nˆ B B2 0 nˆ H H 2 J donde nˆ es el vecto nomal a la supefce..5 Las condcones de contono paa un conducto pefecto son: n ˆ E 0.6 n ˆ H J S donde E es el campo eléctco total en la supefce del conducto H es el campo magnétco total en la supefce del conducto y J S es la densdad de coente supefcal..2.2 Métodos numécos La solucón analítca de los poblemas electomagnétcos sólo es posble paa algunos casos muy patculaes en la que las condcones de contono se aplcan a supefces con alguna coodenada constante en un sstema de coodenadas en el que la ecuacón de onda sea sepaable. Po ejemplo las solucones modales paa guías de onda ectangula ó clíndca dfaccón de una onda ncdente po objetos esfécos etc. Sn embago en la mayoía de los casos eales no es posble una solucón analítca po lo que es necesao ecu a la solucón numéca del poblema. El tabaja con método numécos mplca que estamos calculando una apomacón de la solucón del poblema. El eo que apaece en la solucón obtenda es debdo tanto a las apomacones ealzadas en la fomulacón matemátca en el modelo geométco en la mposcón de las condcones de contono e ncluso en la mplementacón numéca en odenado po ejemplo debdo a tuncamentos ente númeos eales con epesentacón fnta ó la enome pecsón equeda paa esolve sstemas de ecuacones mal condconados. Sn embago a pesa de los poblemas que plantean son la únca manea de esolve poblemas electomagnétcos de foma geneal y se consgue una enome pecsón en las solucones encontadas s el planteamento y método escogdo es el adecuado. Esten una gan cantdad de métodos numécos ealzándose una pmea clasfcacón en dos gandes famlas en funcón del domno en el que se tabaje: a Métodos en el domno del tempo TD: En el que se emplea una fomulacón tempoal de los poblemas electomagnétcos. b Métodos en el domno de la fecuenca FD: Empleándose en este caso una fomulacón fecuencal. -7-

32 Capítulo : Intoduccón S ealzamos la clasfcacón en funcón del tpo de ecuacones electomagnétcas la clasfcacón seá entonces: a Métodos dfeencales FD: Dscetzan dectamente las ecuacones de Mawell o la ecuacón de onda epesentando las devadas medante la apomacón de dfeencas fntas. Según el domno en el que se ealce toman el nombe de dfeencas fntas en el domno de del tempo FDTD ó dfeencas fntas en el domno de la fecuenca FDFD. b Métodos ntegales: Se basan en aplca el teoema de la equvalenca calculando los campos medante la ntegal de adacón de las coentes y en la mposcón de las condcones de contono al campo esultante. Ente las técncas se destaca el método de los momentos [] y el método del gadente conjugado. c Métodos vaaconales: Se basan en la defncón de un funconal estaconao una cantdad escala funcón de los campos eléctco ó magnétco que pesenta un mámo o mínmo cuando los campos son la solucón del poblema. De ente estos métodos destaca po su mpotanca el método de los elementos fntos FEM que apoma de foma smultánea la solucón y la geometía medante polnomos de ntepolacón. d Métodos de alta fecuenca: Utlzados fundamentalmente cuando el coste computaconal de los métodos anteoes lo hacen nvables. Destaca la teoía geométca de la dfaccón..2.3 Ecuacón Integal El método de la ecuacón ntegal pate de la defncón de los campos eléctco y magnétco en la que se tene en cuenta unas funcones escalaes y potencales aulaes empleadas paa smplfca los cálculos. S empleamos estas funcones y epesamos los campos en el domno fecuencal obtenemos: E j e F.7 H jf m En la ecuacón anteo y F son los potencales vecto eléctco y magnétco espectvamente y pueden epesase en funcón de las densdades de coente eléctca J y magnétca M como: ' J ' G ' ds' 4 S '.8 F ' M ' G ' ds' S ' Po su pate los potencales eléctco e y magnétco m se epesan en funcón de las densdades de caga eléctca e y magnétca m : -8-

33 Capítulo : Intoduccón e m 4 4 S ' S ' ' G ' ds' e ' G ' ds' m.9 Destaca la pesenca en todas las ecuacones anteoes de G ' que es la denomnada funcón de Geen del medo homogéneo defnda como espuesta al mpulso de la ecuacón de Helmholzt: j ' e G ' 4 '.0 Como se comentó anteomente el método de la ecuacón ntegal consste en calcula los campos adados po las coentes que fluyen en el nteo o sobe la supefce del objeto y en mpone las condcones de contono a los campos esultantes. Estas coentes son desconocdas consttuyendo la ncógnta del poblema y encontándose en el nteo de una ntegal de ahí el nombe del método. Paa el cálculo de las ntegales de adacón de las coentes se debe emplea una funcón de Geen que tenga en cuenta la geometía eal de la estuctua y no la del espaco lbe pesentada en la ecuacón.0. Esto consttuye uno de los poblemas más mpotantes de la técnca de la ecuacón ntegal cuando apaecen geometías complejas como es el caso de cavdades de foma abtaa. lo lago de todo el poyecto se pesentaá la técnca de las mágenes espacales que pemte obtene esta funcón de Geen y sus potencales asocados tenendo en cuenta la pesenca de la cavdad de geometía abtaa a analza pemtendo de este modo el empleo de la técnca de la ecuacón ntegal en stuacones hasta ahoa no contempladas. S suponemos un objeto conducto pefecto dento del espaco lbe debeá de cumpl las condcones de contono epesadas en la ecuacón.6. sí sugán la ecuacón ntegal de campo eléctco EFIE y la ecuacón ntegal de campo magnétco MFIE. En el caso de EFIE suge de mpone la nuldad del campo eléctco tangencal a las paedes de un conducto como condcón de contono. sí tenendo en cuenta que el campo eléctco total seá el de ectacón más el dspesado po el objeto tendemos: nˆ E nd ' E ' 0 s. demás al tabaja con un cuepo conducto no consdeaemos n las cagas n las coentes magnétcas po lo que M m 0 y tas smplfca la ecuacón obtenemos la epesón de EFIE aplcable tanto paa el análss de estuctuas abetas como ceadas. -9-

34 Capítulo : Intoduccón -0- S S j S S j nd ds e J w j ds e J jw n E n ' 4 ' 4 ' 4 ' 4 ˆ ' ˆ ' ' 0 ' 0.2 Po su pate paa el caso de MFIE se mpone que la densdad de coente nducda es gual al campo magnétco tangencal al conducto. sí se debe de vefca que: ' ' ' ˆ J H H n s nd.3 Tenendo en cuenta de nuevo que tabajamos con un conducto podemos epesa la condcón anteo como la ecuacón de MFIE válda paa el estudo de geometías ceadas: ds e J n J H n j S S nd ' 4 ' ˆ lm ' ˆ '.4 Destaca que s el objeto conducto se encuenta en pesenca de una cavdad la funcón de Geen a emplea ya no es la.0 sno que es mucho más compleja. En este poyecto se tataá de calcula estas funcones de Geen en pesenca de cavdades de geometía abtaa empleando paa ello la técnca de las mágenes espacales. No es objetvo de esta pequeña ntoduccón un estudo en pofunddad del esto de epesones de la ecuacón ntegal paa lo que se emte a [9]. S ndca que esten otas fomulacones altenatvas como la CFIE DMFIE MFIE etc. Paa el análss de estas epesones medante un odenado es necesao dscetza las funcones y opeadoes y convet la ecuacón funconal en una ecuacón matcal. En el caso de la ecuacón ntegal se emplea pncpalmente el método de los momentos [] popuesto en 968 po Hangton. Este método consttuye la heamenta de análss numéco más utlzada actualmente en electomagnetsmo.

35 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes 2. Fomulacón espacal en cavdades cculaes En este segundo capítulo vamos a desaolla la fomulacón espacal de mágenes paa el cálculo de las funcones de Geen en un ecnto clíndco ceado. La técnca consste en stua cagas ó dpolos mágenes fuea de la egón clíndca. Su stuacón y oentacón se calculan medante la mposcón de las condcones de contono paa los campos en puntos dscetos de la paed metálca obtenéndose una ápda convegenca numéca y demostándose unos esultados pecsos paa pode analza estuctuas eales [67]. Dvdemos la fomulacón en dos apatados: Fomulacón paa fuentes eléctcas Fomulacón paa fuentes magnétcas unque las bases de la fomulacón es el msmo este una dfeenca fundamental: las condcones de contono a cumpl vaían en funcón del tpo de fuente po lo que ha sdo necesao ehace completamente la fomulacón paa cada caso. Desaollaemos de foma detallada ambas fomulacones eplcando sus caacteístcas y ecuacones numécas ceadas fnales. En el msmo consdeaemos un cote nfntesmal del clndo sn consdea po tanto su longtud en el eje z que estudaemos en un capítulo posteo. Todos los potencales calculados lo están sobe ese cote nfntesmal. lo lago del pesente tabajo nos centaemos en el caso de fuentes eléctcas no obstante los esultados son váldos paa la ota fomulacón sn más que taslada los esultados no son duales debdo a las dfeentes condcones de contono a cumpl. De esta foma paa el caso de las fuentes eléctcas vamos a pesenta una gan cantdad de casos que demostaán el funconamento de la fomulacón empleada vaando el númeo de mágenes empleadas la poscón de la fuente en el nteo de la cavdad etc. En todos los casos estudaemos el potencal escala y el potencal vectoal magnétco mostando esultando gáfcos que muesten el compotamento de los msmos. Fnalmente se ncluyen efeencas al códgo fuente pogamado así como nstuccones paa su uso y epesentacón de esultados. Tal y como se comentó en la ntoduccón el lenguaje de pogamacón elegdo ha sdo FORTRN 90 debdo a su oentacón haca el cálculo centífco y numéco sendo destacable su gan potabldad. Pueba de esta potabldad es que el códgo ha sdo desaollado y pobado tanto en sstemas Lnu como sstemas Wndows. En cuanto a las epesentacones gáfcas y tatamento de esultados se ha escogdo Matlab gacas a la facldad de uso que pesenta y la posbldad de tata los datos obtendos. La comuncacón ente ambos entonos la ealzaemos medante achvos de teto ndependentes. --

36 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes 2. Fomulacón espacal con fuentes eléctcas 2.. Desaollo de la fomulacón La geometía empleada paa el cálculo de las funcones de Geen escala y vectoal es un clndo tal y como se muesta en la fgua : Fgua 2. Dpolo untao stuado en el nteo de la cavdad clíndca Realzaemos un estudo tanto paa el potencal vectoal como paa el potencal escala. El campo ceado po la fuente eléctca seá: E j V j j 2. Paa el caso del potencal escala vamos a mpone la condcón de contono que seá un potencal nulo a lo lago de la paed del clndo. No obstante debdo a la contnudad del contono nos centaemos en un punto dsceto de la paed del clndo denomnándolo punto tangente. este punto tangente sobe el que vamos a mpone la condcón de contono á elaconada una caga/dpolo magen de valo complejo cuya poscón vendá detemnada po la smetía de la fuente stuada en el nteo del clndo po un plano tangente al punto tal y como podemos obseva en la fgua 2.2: Fgua 2.2 Stuacón una caga magen especto al clndo -2-

37 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes En este punto debeemos calcula la poscón de la caga/dpolo magen dada la poscón de la fuente q f y un punto tangente del contono del clndo sobe el que mponemos un plano de smetía. La ecuacón de la ecta tangente al punto tendá la foma de la ecuacón nomal de la ecta: cos y sn R 2.2 Calculaemos a contnuacón la dstanca desde la caga fuente qf que tene unas coodenadas y a la ecta tangente al punto [con coodenadas 2y2] paa después po smetía obtene las coodenadas de la caga magen I I y : Fgua 2.3 Dstancas empleadas paa el cálculo de la poscón de la caga magen Esta dstanca seá: cos sn y R d Pf ecta cos sn y 2 2 cos sn Po lo que la poscón de la caga magen seá: 2 P 2cos Vs 2 d R y2 Py 2sn Vs y 2 d y R R d Paa consegu un potencal nulo en el punto de la paed del clndo mponemos la condcón de que los potencales de las cagas se anulen en dcho punto: q G G 2.5 v v o Po tanto el efecto de la caga fuente y de la caga magen popoconaán un potencal escala en todo el clndo de: G G q G 2.6 Sendo G v vcyc v o v el potencal de una caga en condcones de espaco lbe: -3-

38 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes jo 0 e Gv Hasta ahoa hemos mpuesto la condcón de potencal nulo en un únco punto del contono del clndo no obstante es deseable la pesenca de más puntos con el fn de pode satsface la condcón en toda la paed del clndo. Paa ello empleando la msma estatega que ahoa la etendeemos hasta un total de N puntos tangentes en el contono del clndo. De esta foma evaluaemos de foma numéca el valo complejo de las cagas mágenes de foma que satsfagan de foma smultánea que el potencal en todos y cada uno de los puntos tangentes es nulo. Po ejemplo la fgua 2.4 muesta la stuacón de dos cagas magen: Fgua 2.4 Stuacón de dos cagas mágenes alededo del clndo Etendendo la ecuacón 2.5 a un númeo N de puntos tangentes alededo del clndo obtenemos el sguente sstema: N qgv Gv o N donde los dstntos vectoes y su sgnfcados se han mostado en la fgua 2.4 Etendendo la ecuacón 2.8 vemos la foma del sstema de ecuacones: Gv ' Gv 2 '... Gv N ' q Gv o ' Gv 2 ' q2 Gv 2 o ' Gv N ' Gv N N ' qn Gv N o ' 2.9 La solucón de este sstema de N ecuacones popocona los valoes de las N cagas mágenes q que son necesaas paa satsface las condcones de contono en los N puntos tangentes establecdos. Fnalmente obtenemos el potencal escala en el nteo del clndo medante la ecuacón 2.0: -4-

39 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Gv cy N G ' q G ' 2.0 V o Paa la evaluacón del vecto potencal magnétco de la funcón de Geen dádca ealzamos un poceso smla peo tenendo en cuenta la natualeza de la magntud computada. Supongamos paa ello un dpolo oentado a lo lago del eje como podemos obseva en la fgua 2.5 el desaollo del oto caso suponendo un dpolo oentado a lo lago del eje y es totalmente smla: v Fgua 2.5 Dpolo fuente en el eje y sus dos dpolos magen asocados a un punto tangente l gual que paa el caso del potencal escala mpondemos en pme luga las condcones de contono a cumpl en un punto dsceto de la paed del clndo. En este caso la componente tangencal del campo eléctco defndo en la ecuacón 2. debe se nulo: E eˆ 0 2. pto t donde ê t es el vecto tangente al punto de la estuctua; esto conlleva a dos dfeentes condcones obtendas tas analza el campo eléctco E defndo po la ecuacón 2. ˆ 0 e p donde ê p es el vecto nomal al punto de la estuctua. sí mpondemos de foma conjunta sobe el punto tangente las dos condcones defndas po las ecuacones 2.2 y 2.3. Paa satsface estas condcones se popone el empleo de dos dpolos eléctcos otogonales uno oentado en el eje y el oto en el eje y tal y como podemos obseva en la fgua 2.5 Cada uno de estos dpolos oentados tendá un detemnado peso que debeemos obtene esolvendo el sstema mpuesto en el punto tangente. nalzando cada condcón po sepaado: -5-

40 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes ˆ 0 e p Que nos ndca que la componente tangencal del vecto potencal debe se nula lo que nos anulaía el pme ténmo del campo eléctco en ese punto de la ecuacón 2. sí esta condcón mplca: y yy e I G eˆ I G eˆ eˆ G eˆ ˆp y p 0 Donde hemos tendo en cuenta la pesenca de la caga fuente en 0. Desaollando esta últma epesón obtenemos: y yy sn I G cos I G sn I G Coespondéndose a la mposcón de la ecuacón 2.2 en un punto tangente del contono del clndo. 2 0 Esta ecuacón nos ndca que la dvegenca del vecto potencal debe de nula lo que nos anulaá el segundo témno del campo eléctco en ese punto de la ecuacón 2. En pme luga la epesón de la dvegenca seá: z z Y como habíamos defndo en la ecuacón 2.2 que las componentes tangencales se anulaban solo nos quedaá la componente nomal es dec: Fnalmente desaollando la devada anteo obtenemos: Sendo esta la condcón que debeemos mpone en cada punto tangente del clndo. De esta foma paa un únco punto tangente obtenemos la condcón: y y C I cos C y C I sn 0 cos 2.9 donde hemos defndo las constantes: C C G eˆ eˆ p G G yy y yy p G

41 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes -7- Sendo la ecuacón 2.9 el equsto que debe cumpl el punto tangente paa satsface la segunda condcón de contono. El poceso segudo equvale a ajusta la oentacón y valo de un únco dpolo magen de caácte vectoal al que hemos descompuesto en los ejes e y. Fgua 2.6 Descomposcón de un dpolo I en los dos ejes con unos pesos detemnados. Este msmo pocedmento lo etendeemos ahoa hasta un total de N puntos tangentes alededo del contono del clndo obtenendo un sstema de ecuacones lneales de dmensón N N 2 2 a pat de las ecuacones 2.5 y 2.9 cuya solucón nos daá los pesos de los dpolos magen tanto paa la coodenada como paa la coodenada y. sí el sstema seá: N C I C I C G I G I G N y y N N y yy N cos sn cos sn cos sn Estando defndas las constantes C y y C po la ecuacón mbas constantes pueden se evaluadas paa un medo geneal multcapa medante el empleo de la tansfomada de Sommefeld [9] como veemos posteomente aunque paa el espaco lbe ambas constantes concden a un valo dado. Paa obtene este valo evaluaemos las pates en las que se compone la ecuacón 2.20 a: e G j 2.22 Y b: 4 ˆ sn ˆ ˆ ˆ ˆ 0 e e e e e G e jo 2.23 en esta últma ecuacón al esta defndo el gadente úncamente en la deccón ê los elementos de las deccones ê y ê se anulan po lo que desaollando obtenemos:

42 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes -8- ˆ 4 ˆ ˆ 4 ˆ ˆ 4 ˆ ˆ 4 ˆ 4 ˆ ˆ j e e j e e e e j e e e e e j e e e e G e jo jo jo j j jo 2.24 Fnalmente unendo los esultados pacales de las ecuacones 2.22 y 2.24 obtenemos el valo paa espaco lbe de las constantes: ˆ j e e C C jo y 2.25 De esta foma ya tenemos todos los elementos paa pode esolve la ecuacón 2.2 de la que obtendemos el valo de los dpolos paa pode ecupea el vecto potencal en el nteo de la cavdad clíndca medante: N y y y cy N cy G I G G I G G Destaca que po la ecuacón 2.26 se deduce que un dpolo oentado en la deccón va a poduc una componente en la deccón y del vecto potencal magnétco. Esta componente cuzada vene popoconada po los dpolos mágenes oentados a lo lago de la deccón y como podemos obseva en la fgua 2.5 y físcamente es causado po la cuvatua ccula de la paed del clndo.

43 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes 2..2 Resultados Una vez completada la fomulacón espacal de la funcón de Geen paa fuentes eléctcas vamos a compoba los esultados que obtenemos medante la msma. Paa ello patemos de una stuacón ncal compuesta po un clndo de ado a po lo que todas las undades de los ejes epesentados son especto a y una fecuenca de 300 MHz. El gado de cumplmento de las condcones de contono y po tanto de coeccón del método es cas sempe ecepto en algún caso patcula po ejemplo la fuente muy cecana a las paedes del clndo dectamente popoconal al númeo de cagas/dpolos mágenes empleados de tal foma que confome aumentamos los msmos obtenemos mejoes esultados. No obstante como contapatda el coste computaconal aumenta de foma consdeable así como los equementos de memoa al tabaja con matces de valoes complejos de elevadas pestacones. demás s se toman demasadas condcones de contono empleando paa ello puntos dscetos muy cecanos se llegaá a un mal condconamento del sstema de ecuacones fomado obtenendo solucones ncoectas. Tataemos po tanto de emplea un valo mínmo de cagas/dpolos mágenes con el fn de optmza los cálculos obtenendo sempe unos esultados que sean concodantes con la ealdad. Repesentaemos el potencal escala y vectoal paa un númeo dstnto de cagas/dpolos mágenes y en funcón de la poscón de la fuente en el nteo de la cavdad. sí podemos estuda tanto la dsposcón de las cagas/dpolos mágenes alededo del clndo en funcón de la poscón de la fuente como los valoes de los dstntos potencales escala y vectoales. La poscón de la fuente la emos vaando sobe dstntos puntos del pme cuadante con el fn de cub de la mejo manea posble el msmo. Concetamente hemos empleado las sguentes poscones paa este estudo:. Poscón Poscón Poscón Poscón Fnalmente ealzaemos una pequeña compaacón mostando las caacteístcas de cada caso especto a los demás paa pode establece un compotamento lo más defndo posble de los potencales en el nteo del clndo. -9-

44 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Stuacón de la fuente: 0 0 En este pme caso la stuacón que tenemos al emplea un total de 20 cagas/dpolos mágenes es la sguente: Fgua 2.7 Repesentacón clndo con 20 cagas/dpolos mágenes Obsevamos como la técnca de stua las cagas mágenes de foma smétca especto a un plano tangente ha popcado que paa el caso en el que la fuente se encuenta stuada en el ogen 00 la dstbucón de las cagas mágenes sea ccula peo con un ado mayo al del clndo concetamente el doble po la smetía especto a los planos tangentes. Paa este msmo caso vamos a epesenta el potencal escala en el nteo del clndo: Fgua 2.8 Potencal escala en el nteo del clndo. Fuente en 0 0 y 20 cagas mágenes Compobamos como paa los bodes se satsface la condcón de contono es dec un valo nulo. Paa vefca el gado de cumplmento de estas condcones epesentaemos el potencal escala a lo lago del contono del clndo en funcón del ángulo del msmo: -20-

45 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Fgua 2.9 Potencal escala en el contono del clndo. Fuente en 0 0 y 20 cagas mágenes Compobamos como obtenemos un total de 20 nulos a lo lago del clndo coespondentes a los 20 puntos tangentes en el contono que habíamos mpuesto. Paa el esto de puntos de la paed del clndo obtenemos unos valoes del potencal educdo. El método empleado seá tanto más eacto cuanto meno sean estos valoes sendo totalmente deal s todos ellos fuean ceo. En el capítulo 3 mostaemos vaas técncas empleadas con el fn de educ este eo obtenendo así una epesentacón más fdedgna del potencal escala en el nteo del clndo y educendo el coste computaconal. contnuacón mostaemos el potencal vecto G en el nteo del clndo: Fgua 2.0 Potencal vecto G en el nteo del clndo. Fuente en 0 0 y 20 dpolos magen. Compobamos la oentacón del potencal vecto a lo lago del eje X así como un mayo valo en la poscón en la que se encuenta la caga. Paa esta stuacón se poduce una concdenca de esultados ente los potencales vectoes G y G mostado en la fgua 2.: y y -2-

46 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Fgua 2. Repesentacón potencal vecto y y G y G. Fuente en 0 0 y 20 dpolos mágenes. Fnalmente epesentaemos el potencal vecto en el eje y al tene un dpolo yy oentado tambén en esa coodenada es dec G esultado que po smetía es déntco al G peo oentado en el eje y : Fgua 2.2 Repesentacón potencal vecto yy G. Fuente en 0 0 y 20 dpolos mágenes. Hasta ahoa hemos empleado un total de 20 cagas/dpolos mágenes no obstante podemos emplea un númeo dfeente con lo que obtendemos una epesentacón que cumplá mejo o peo las condcones de contono en funcón de que tenga un númeo mayo o meno de cagas/dpolos. En geneal las epesentacones tendeán a convege obtenéndose esultados váldos paa un númeo de ente 5 y 20 cagas mágenes. Un númeo elatvamente pequeño de cagas mágenes solo cumplá las condcones de contono en puntos tangentes del clndo muy alejados po lo que los valoes ente ellos pueden se elevados de foma que el potencal que estemos calculando no sea coecto. Un ejemplo lo podemos obtene epesentando el potencal escala en el contono del clndo paa un total de 5 cagas mágenes: -22-

47 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Fgua 2.3 Repesentacón del potencal escala en el contono. Fuente en 00 y 5 cagas mágenes En este caso obsevamos como hemos mpuestos cnco valoes nulos del potencal escala en el contono peo en el esto de puntos de la paed el valo del potencal aumenta de foma consdeable valoes muy elevados de hasta 3.3 po lo que el potencal escala obtendo con esta epesentacón tendía un eo muy mpotante. No obstante el coste computaconal en este caso seía muy educdo pudéndose emplea paa una pmea apomacón. Paa un númeo elevado de cagas/dpolos mpondemos las condcones de contono en un gan númeo de poscones po lo que se oblga al esto de puntos a tene esultados paecdos con el fn de pode satsface los equstos mpuestos a ambos lados de los msmos. Po ejemplo la fgua 2.4 muesta el potencal escala en el contono del clndo paa un total de 30 cagas mágenes. Compobamos como el valo mámo que 8 alcanza es muy educdo 0 en compaacón con el de la fgua 2.3 Fgua 2.4 Repesentacón del potencal escala en el contono. Fuente en 0 0 y 30 cagas mágenes -23-

48 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Fnalmente ealzaemos una compaacón del potencal escala G v potencal vecto G paa los casos anteoes es dec 5 y 30 cagas mágenes. y y el 5 cagas/dpolos magen 30 cagas/dpolos magen y Fgua 2.5 Compaacón potencal escala y vectoal G. Fuente en 0 0 y con 5 y 30 cagas/dpolos magen Compobamos como paa un númeo de 5 cagas/dpolos magen no consegumos una buena apomacón de los potencales escala y vectoal ntoducéndose un eo mpotante. Po oto lado el empleo de 30 cagas/dpolos magen ha aumentado el coste computaconal de los cálculos fente al de 20 cagas/dpolos. No obstante y a pesa del coste computaconal consegumos un esultado mucho más pecso pues tanto las condcones de contono paa el caso escala como vectoal se cumplen de foma más coecta. Paa temna con este caso debeemos ndca que la stuacón de la fuente en la poscón cental 00 del clndo ha povocado la smetía de todas las gáfcas mostadas hasta ahoa. Con una vaacón de la poscón de la fuente eléctca esta smetía desapaeceá obtenéndose esultados muy dfeentes en funcón de la poscón de la msma. -24-

49 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes 2 Stuacón de la fuente: En este caso stuaemos la fuente eléctca en la poscón lo que povocaá en pme luga una vaacón de la stuacón de las 20 cagas/dpolos magen alededo de la cavdad ccula como podemos obseva en la fgua 2.6: Fgua 2.6 Stuacón de 20 cagas/dpolos magen alededo de la cavdad con la fuente en la poscón Obsevamos como aquellos puntos tangentes al contono de la cavdad que se encuentan más cecanos a la fuente eléctca popoconan una poscón de las cagas/dpolos más cecanas y vcevesa. En este caso obtenemos el sguente potencal escala: Fgua 2.7 Potencal escala en el nteo del clndo. Fuente en y 20 cagas mágenes Compobamos como al vaa la fuente de poscón hemos vaado la dstbucón del potencal escala dejando ésta de se smétca y apaecendo un mámo en las poscones cecanas a la fuente debdo a la snguladad en la msma. Debdo a la cuadícula empleada en la mplementacón numéca del algotmo s la fuente se stúa en un punto de la msma pueden apaece valoes muy elevados debdo a la nfluenca de la caga en ese punto nuevamente debdo a la snguladad. En un caso geneal cuando la poscón eacta de la caga no concde con un punto de la ejlla empleada obtendemos una epesentacón más vsual sn el mámo local. No obstante estos poblemas se pueden evta de foma senclla sn más que camba el paso con el que se defne la cuadícula. -25-

50 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Paa el caso del Potencal escala el habe vaado la poscón de la fuente tambén ompe con la estuctua de la dstbucón del potencal en el contono del clndo en el que aunque apaeceán los 20 nulos mpuestos po el sstema de ecuacones haá que el esto de puntos de la paed tenga una dstbucón muy vaable en funcón no lneal de su dstanca a la fuente como podemos obseva en la fgua 2.8. Fgua 2.8 Repesentacón del potencal escala en el contono. Fuente en y 30 cagas mágenes sí vemos como en este caso paa el ángulo sobe el que se encuenta la fuente obtenemos un potencal meno aumentando éste en la deccón opuesta a la fuente. Este compotamento es patcula ya que de foma geneal suele poducse un aumento del valo del Potencal escala confome la caga se aceca a la paed del clndo como obsevaemos de foma detallada en un caso posteo. contnuacón mostaemos el potencal vecto nteo del clndo: G paa este caso en el Fgua 2.9 Potencal vecto G en el nteo del clndo. Caga en y 20 cagas magen Compobamos como en este caso no se apeca de una foma tan claa el efecto de la oentacón de la fuente a lo lago del eje como en el caso anteo obtenéndose además una dstbucón no smétca. -26-

51 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Paa esta stuacón ya no se poduce una concdenca de esultados ente los y y potencales vectoes G y G sendo lógca esta falta de equvalenca: un dpolo stuado en la poscón a lo lago del eje no va a poduc sobe el eje y el msmo efecto que un dpolo oentado a lo lago del eje y sobe el eje debdo a la falta de smetía de su poscón en la cavdad. Mostaemos en las fguas 2.20 y 2.2 los potencales vecto espectvamente: G y y G y Fgua 2.20 Repesentacón potencal vecto y G. Fuente en y 20 dpolos mágenes. Fgua 2.2 Repesentacón potencal vecto y G. Fuente en y 20 dpolos mágenes. Fnalmente epesentaemos el potencal vecto en el eje y al tene un dpolo yy oentado tambén en esa coodenada es dec G. En este caso al esta stuada la fuente eléctca en una poscón dstnta al ogen de coodenadas y al gual que en las otas epesentacones de este caso se ompe la smetía que teníamos en el apatado. -27-

52 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Fgua 2.22 Repesentacón potencal vecto yy G. Caga en y 20 dpolos mágenes. En cuanto a la vaacón del númeo de cagas/dpolos magen paa este caso obtenemos un esultado smla al pme apatado de tal foma que este un compomso ente coeccón y coste computaconal. Paa esta poscón de la fuente en el nteo de la cavdad ccula con un númeo de ente 5 y 20 mágenes obtenemos esultados sufcentemente váldos. 3 Stuacón de la fuente: En este caso stuaemos la fuente eléctca en la poscón lo que povocaá en pme luga una vaacón de la stuacón de las 20 cagas/dpolos magen alededo de la cavdad ccula como podemos obseva en la fgua 2.23: Fgua 2.23 Stuacón de 20 cagas/dpolos magen alededo de la cavdad con la fuente en Compobamos como al aumenta la dstanca de sepaacón ente la fuente y el cento del clndo la dstbucón de las cagas/dpolos magen vaía de foma consdeable tenendo un mayo efecto sobe la poscón fnal de las mágenes la smetía de la caga fuente especto al plano tangente cuanto más ceca se encuenta ésta de las paedes del clndo. sí las poscones mágenes stuadas enfente de la paed del clndo que se encuenta más ceca de la fuente se acecan a la msma paa tata de contaesta el efecto que esta cecanía pudea tene sobe el potencal en el contono del clndo. Paa este caso obtenemos el sguente potencal escala: -28-

53 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Fgua 2.24 Potencal escala en el nteo del clndo. Fuente en y 20 cagas mágenes Repesentaemos el potencal escala en el contono del clndo obsevando que este una smetía la msma que podemos obseva en la epesentacón en 3D y 2D especto a y=0. demás la apomacón de las cagas mágenes a las paedes del clndo en las poscones en las que se encuenta más cecana la fuente eléctca consgue dsmnu el eo en esos puntos como obsevamos en la fgua 2.25 Fgua 2.25 Repesentacón del potencal escala en el contono. Fuente en y 20 cagas mágenes contnuacón mostaemos el potencal vecto nteo del clndo: G paa este caso en el Fgua 2.26 Potencal vecto G en el nteo del clndo. Caga en y 20 cagas magen -29-

54 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Compobamos como se sgue mantenendo la smetía anteo alededo del eje debdo a la colocacón de la fuente en él. contnuacón epesentaemos los Potencales vectoales G y y G y que debdo a la falta de smetía total no seán equvalentes aunque s que mostaán smetía de foma ndvdual especto al eje como el esto de Potencales hallados paa este caso. Fgua 2.27 Repesentacón potencal vecto y G. Caga en y 20 dpolos mágenes. Fgua 2.28 Repesentacón potencal vecto y G Fnalmente epesentaemos el potencal vectoal de potencales pesenta smetía especto al eje :. Caga en y 20 dpolos mágenes. yy G que al gual que el esto Fgua 2.29 Repesentacón potencal vecto yy G. Caga en y 20 dpolos mágenes. -30-

55 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Como en el esto de casos un númeo de mágenes dfeente hubea vaado la apomacón de los potencales aumentando su eo y dsmnuyendo el coste computacones s dsmnumos el númeo de mágenes o aumentando la pecsón y el coste computaconal aumentando el númeo de mágenes. 4 Stuacón de la fuente: En este caso stuaemos la fuente eléctca en la poscón stuacón que se encuenta muy póma a la paed del clndo. Esta pomdad povoca una dstbucón caacteístca de las cagas/dpolos mágenes alededo del clndo como podemos obseva en la fgua 2.30: Fgua 2.30 Stuacón de 20 cagas/dpolos magen alededo de la cavdad con la fuente en Realzando un zoom a la zona donde está stuada la caga fuente podemos obseva en detalle como las cagas mágenes se acecan a ésa aquellas que están lgadas a puntos tangentes en el contono muy cecanos a la fuente o se alejan paa las mágenes lgadas a puntos tangentes más lejanos. Fgua 2.3 Zoom de la stuacón de 20 cagas/dpolos magen alededo de la cavdad con la fuente en

56 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes demás debdo a la cecanía de la fuente a las paedes del clndo están puntos del contono donde seá muy dfícl que se cumplan de foma eacta las condcones necesaas paa obtene una buena apomacón de los potencales. Concetamente en aquellas zonas de la paed del clndo muy cecanas a la fuente. sí obtenemos la sguente epesentacón del potencal escala: Fgua 2.32 Potencal escala en el nteo del clndo. Fuente en y 20 cagas mágenes Compobamos como el potencal escala se centa de foma cas eclusva en la zona cecana a la paed sendo el esto de valoes cas nulo. Po esta cecanía obtendemos un pco de potencal en el contono del clndo que coesponde a la poscón de la fuente pco que evta que el potencal escala se anule a lo lago del contono como podemos obseva en la fgua Fgua 2.33 Repesentacón del potencal escala en el contono. Fuente en y 20 cagas/dpolos mágenes La pesenca de este pco de potencal que evta que se cumplan las condcones de contono es uno de los poblemas que tene esta apomacón: el eo ntoducdo cuando la fuente se encuenta ceca de las paedes. En el capítulo sguente ntoducemos vaas técncas con las que conseguemos educ de foma sgnfcatva este eo. contnuacón mostaemos el potencal vecto G en el nteo del clndo: -32-

57 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Fgua 2.34 Potencal vecto G en el nteo del clndo. Fuente en y 20 cagas magen Compobamos como éste apaece úncamente en el bode del clndo en la stuacón donde se encuenta la fuente. Paa el esto de poscones del nteo de la cavdad el valo del potencal es nulo. La falta de smetía de la ubcacón de la fuente hace que los potencales y vectoales G y G y no concdan aunque en este caso obtenemos esultados paecdos muy confnados en la cecanía de la poscón de la fuente y lmtados po la cecana pesenca de la paed del clndo. Fgua 2.35 Repesentacón potencal vecto y G. Fuente en y 20 dpolos mágenes. -33-

58 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Fgua 2.36 Repesentacón potencal vecto y G. Fuente en y 20 dpolos mágenes. Fnalmente epesentaemos el potencal vectoal G yy que pesenta unas caacteístcas smlaes al esto de potencales paa este caso centándose de foma cas eclusva en las poscones cecanas a la fuente y la paed del clndo. Fgua 2.37 Repesentacón potencal vecto yy G. Fuente en y 20 dpolos mágenes. Po últmo comenta que paa este tpo de casos en los que la fuente se encuenta muy cecana a las paedes del clndo un aumento del númeo de cagas/dpolos magen no tene poqué povoca un mejo cumplmento de las condcones de contono. Es más un mayo númeo de mágenes puede povoca que a pesa de cumplse los nulos en los puntos mpuestos el esto de puntos ntemedos se vea sometdo a unos valoes de potencal muy elevados dejándose de cumpl po tanto las condcones de contono en esos puntos e ntoducendo un mayo eo en la apomacón de los potencales obtenda. -34-

59 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes 5 Conclusones Fnalmente vamos a esalta la nfluenca de la poscón de la fuente en el nteo del clndo y del númeo de cagas/dpolos mágenes empleados paa su cálculo. Como hemos compobado en los apatados anteoes al stua la fuente en el cento aumenta la smetía de los potencales calculados así como la dstbucón de los msmos sobe el contono del clndo. Las condcones de contono se cumplen de foma eacta en los puntos mpuestos mentas que en el esto se poducen osclacones contoladas y peódcas tanto paa el caso escala como paa el caso vectoal. Confome sepaamos la fuente del cento del clndo se va ompendo la smetía de los potencales aunque ésta se mantene al stua la caga en el eje ó y. La dstbucón de campos vaía de foma sensble en funcón de la poscón de la fuente así como el valo de los msmos en el contono del clndo. Fnalmente al tene ubcada la fuente muy ceca de las paedes de la cavdad el valo de todos los potencales se concenta en esa egón sendo páctcamente nulo paa el esto de casos. Po su pate la dstbucón de los msmos alededo del contono muesta un elevado valo paa las paedes cecanas a la fuente sendo muy educdo paa el esto de casos. Este valo elevado este pco povoca que en esa zona no se cumplan las condcones de contono ntoducendo un eo en la apomacón de los potencales que seá tanto más elevado como mayo sea el pco. De esta foma tenemos caactezado totalmente el potencal escala y vectoal en el nteo de un clndo con ndependenca de la poscón de la fuente y medante un númeo de cagas/dpolos mágenes que seá un compomso ente pecsón y coste computaconal. El eo ntoducdo en la apomacón empleada seá educdo medante dvesas técncas que pesentaemos en el capítulo sguente paa obtene así unas epesentacones de los potencales más pecsas. -35-

60 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes 2.2 Fomulacón espacal con fuentes magnétcas 2.2. Desaollo de la fomulacón En este caso la fomulacón planteada pate de los msmos pncpos que paa el caso de fuentes eléctcas peo apaece una dfeenca mpotante: las condcones de contono que se deben satsface en las paedes del clndo son dfeentes pues las fuentes en este caso son magnétcas. La dstbucón de las cagas/dpolos alededo de la cavdad ccula sgue eactamente la msma foma que en el caso anteo defnéndose un númeo de puntos tangentes alededo del contono del clndo con sus planos tangentes y asgnando a cada uno de estos puntos una caga/dpolo magen smétca especto a la fuente y los planos tangentes. En este caso el campo magnétco ceado po la fuente seá: F H jf m jf j La condcón de contono que debe cumpl el campo magnétco en el contono del clndo seá el valo nulo de su componente nomal es dec: H eˆ 0 en la paed del clndo 2.28 Sendo êp el vecto untao adal en coodenadas clíndcas como podemos obseva en la fgua 2.38: Fgua 2.38 Stuacón una caga magen especto al clndo Paa el caso del potencal escala eléctco vamos a mpone que la componente nomal de su gadente sea nula en el contono del clndo como muesta la ecuacón 2.29: ˆ m e 0 en la paed del clndo 2.29 En pme luga mostaemos como mpone la condcón en un únco punto tangente de la paed del clndo habendo defndo po teoía de mágenes una caga magen según eplcamos en la teoía basada en fuentes eléctcas del apatado anteo obtenendo: q G eˆ G e 2.30 p W o p ˆ W De esta foma el potencal escala obtendo con esta técnca seá: -36-

61 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes -37- G q G G w o v wcyc 2.3 Sendo G w el potencal escala magnétco de una caga en condcones de espaco lbe: 4 0 e G jo w 2.32 l gual que ocuía paa el caso de fuentes eléctcas seá necesao mpone las condcones de contono paa el potencal escala eléctco en más de un punto de la paed del clndo. Paa ello empleaemos la msma estatega que hasta ahoa peo etendéndolo a un total de N puntos tangentes en la paed del clndo de tal foma que egemos que se cumplan smultáneamente los equstos en todos los puntos. sí planteamos el sstema de ecuacones: N e G e G q p o w N p w ˆ ˆ 2.33 Compobamos que en este caso tenemos una dfcultad añadda el cálculo del gadente del potencal escala eléctco w G No obstante paa espaco lbe podemos desaolla este gadente de una foma senclla. S tabajamos con coodenadas clíndcas el gadente seá: e t e t e t t ˆ sn ˆ ˆ 2.34 Y aplcándolo al potencal escala magnétco tendemos: ' 4 ˆ ˆ ' 4 ˆ ˆ 4 ˆ 4 ˆ ˆ 4 ˆ sn ˆ ˆ ˆ e j e e e e j e e e e j e e e e e e e e e G j p p j j p j j p j p j p w 2.35 De esta foma una vez esuelto el sstema de la ecuacón 2.33 obtendemos el valo complejo de las cagas mágenes necesaas paa pode satsface las condcones de contono en los N puntos tangentes del clndo. Fnalmente obtenemos el potencal escala magnétco en el nteo de la cavdad medante la ecuacón 2.36: ' ' 0 w N w Wcy G q G G 2.36

62 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Paa la evaluacón del potencal vecto eléctco de la funcón de Geen dádca ealzamos un poceso smla peo tenendo en cuenta la natualeza de la magntud computada. Supongamos paa ello un dpolo oentado a lo lago del eje como podemos obseva en la fgua 2.39: Fgua 2.39 Dpolo fuente en el eje y sus dos dpolos magen asocados a un punto tangente l gual que paa el caso del potencal escala mpondemos en pme luga las condcones de contono a cumpl en un punto dsceto de la paed del clndo. En este caso patmos de la ecuacón 2.28 que nos defnía que la componente nomal del campo magnétco en la paed del clndo debe de se nula lo que tas el análss del campo magnétco H defndo en la ecuacón 2.27 nos lleva a dos condcones dfeentes a mpone: eˆ p F ˆ F e p sí mpondemos de foma conjunta sobe el punto tangente las dos condcones defndas po las ecuacones 2.37 y Paa satsface estas condcones empleaemos al gual que en el caso de fuentes eléctcas dos dpolos otogonales uno oentado en el eje y el oto en el eje y tal y como podemos obseva en la fgua 2.39 Cada uno de estos dpolos oentados tendá un detemnado valo que debeemos obtene esolvendo el sstema mpuesto en el punto tangente. nalzando cada condcón po sepaado: ˆ F 0 e p Que nos ndca que la componente nomal del vecto potencal F debe se nula lo que nos anulaía el pme témno del campo eléctco en ese punto de la ecuacón sí esta condcón mplca: -38-

63 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 F p y yy F y F p e G e e G M e G M e 2.39 Donde hemos tendo en cuenta la pesenca de la caga fuente en 0. Desaollando esta últma epesón obtenemos: cos sn cos 0 G M G M G M F yy F y F 2.40 Coespondéndose a la mposcón de la ecuacón 2.37 en un punto tangente del contono del clndo. 2 0 ˆ F e p Esta ecuacón nos ndca que la componente nomal del gadente de la dvegenca del vecto potencal F debe de se nula lo que nos anulaá el segundo témno en ese punto de la ecuacón Vamos a smplfca la ecuacón 2.38 de foma que sea más decta su aplcacón a los puntos tangentes de la cavdad tabajando paa ello en coodenadas clíndcas. En pme luga la dvegenca de F seá: z F F F F z 2.4 Po lo que el gadente de la dvegenca seá: z z F F F z z F F F z F F F F z z z ˆ ˆ ˆ 2.42 Y multplcando po el vecto nomal p ê e gualando a ceo tendemos: 0 ˆ ˆ ˆ F F F z F F F e z F F F e F e z z 2.43 Posteomente aplcamos la condcón mpuesta po la ecuacón 2.37 es dec que la componente nomal del vecto F es nula con lo que obtendemos: 0 ˆ F F F e 2.44 Entonces s mponemos la condcón: 0 2 F F F 2.45

64 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes -40- Sempe estaemos cumplendo la ecuacón 2.38 habendo smplfcado la msma de foma consdeable y sendo esta la condcón que debeemos de mpone en cada punto tangente del clndo. Fnalmente poyectando sobe los ejes tendemos la condcón sobe un únco punto tangente: y y C M C M C 0 sn cos sn 2.46 donde hemos defndo las constantes: ˆ F F p G G e C ˆ yy F yy F p y G G e C 2.47 El poceso segudo equvale a ajusta la oentacón y valo de un únco dpolo magen al que hemos descompuesto en los ejes e y tal y como mostamos en la fgua 2.6. Este msmo pocedmento lo etendeemos ahoa hasta un total de N puntos tangentes alededo del contono del clndo obtenendo un sstema de ecuacones lneales de dmensón N N 2 2 a pat de las ecuacones 2.40 y 2.46 cuya solucón nos daá los valoes de los dpolos magen tanto paa la coodenada como paa la coodenada y. sí el sstema seá: N C M C M C G M G M G N y y N F N y yy F N F sn cos sn cos sn cos Estando defndas las constantes C y y C po la ecuacón mbas constantes pueden se evaluadas paa un medo geneal multcapa medante el empleo de la tansfomada de Sommefeld [9] aunque paa el espaco lbe ambas constantes concden a un valo dado. Paa obtene este valo evaluaemos las pates en las que se compone la ecuacón 2.47a: e G j F 2.49 Y b: ˆ 4 ˆ j e e G e jo F 2.50 Donde esta últma ecuacón pesenta un desaollo totalmente análogo a la ecuacón 2.23 po lo que se ha omtdo.

65 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Fnalmente unendo los esultados pacales de las ecuacones 2.49 y 2.50 obtenemos el valo paa espaco lbe de las constantes: jo y 0 e j0 C ˆ C e De esta foma ya tenemos todos los elementos paa pode esolve la ecuacón 2.48 de la que obtendemos el valo de los dpolos paa pode ecupea el vecto potencal eléctco en el nteo de la cavdad clíndca medante: N GFcy GF 0 M G 2.52 N y y y G M G Fcy Destaca que po la ecuacón 2.52 se deduce que un dpolo oentado en la deccón va a poduc una componente en la deccón y del vecto potencal eléctco. Esta componente cuzada vene popoconada po los dpolos mágenes oentados a lo lago de la deccón y como podemos obseva en la fgua 2.39 y físcamente es causado po la cuvatua ccula de la paed del clndo Resultados l pat de una fomulacón smla a la del caso eléctco cambando las fuentes po magnétcas y al habe vaado úncamente las condcones de contono las apomacones de los potencales tanto escala como vectoal seán coectas aunque ntoducán un eo que vaaá en funcón del númeo de cagas/dpolos mágenes empleados y de la stuacón de la caga fuente en el nteo del clndo. En este tabajo nos centaemos en la fomulacón bajo fuentes eléctcas no obstante la valdez de esta fomulacón bajo fuentes magnétcas ha quedado contastada en [6] obtenéndose esultados satsfactoos y una convegenca ápda paa un númeo de ente 5 y 20 cagas/dpolos tangentes. lgunos de los esultados obtendos en [6] paa una fecuenca de 300Mhz y una poscón de la fuente de 0.50 son: Fgua 2.40 Potencal escala magnétco nomalzado en el eje =0-4-

66 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes Fgua 2.4 Potencal vecto eléctco GF nomalzado en el eje =0 Fgua 2.42 Potencal vecto eléctco G F nomalzado en el eje y=0 Fgua 2.43 Potencal vecto eléctco y GF nomalzado evaluado con 20 mágenes -42-

67 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes 2.3 Softwae desaollado En el desaollo del softwae en lenguaje Fotan 90 [2] elegdo po las azones que epusmos anteomente patmos de un pogama anteo que ealzaba los cálculos pncpales. Concetamente a pat de los datos ncales que se pasan al pogama medante un fcheo teto como puede se la fecuenca númeo de puntos de la ejlla númeo de cagas/dpolos magen poscón de la caga fuente ado del clndo etc se encaga de stua las mágenes alededo de la cavdad y calcula el valo de las msmas tanto paa el caso del potencal escala como paa el potencal vectoal. Fnalmente gabaá en dsco el valo complejo de los potencales calculados. En esta pmea apomacón ncluemos además el cálculo del potencal escala sobe la supefce del clndo y ealzaemos los pogamas Matlab[3] que nos epesenten tanto la stuacón del clndo y las cagas como los dstntos potencales escala y vectoal en 3D y los cotes sobe los ejes fundamentales. Debdo a la etensón del pogama no vamos a mostalo de foma completa sno que ndcaemos cuales son los fcheos de que se compone como toman los datos ncales y como faclta los esultados además de ndca la foma de vsualza los msmos medante el códgo en Matlab Intoduccón de los datos En pme luga debeemos ntoduc los datos ncales al pogama que seán: o o o o o Fecuenca: a la que ealzaemos el estudo de la cavdad. Po ejemplo una fecuenca de 300Mhz. Rado del clndo que defná la cavdad a analza. Númeo de mágenes que nos ndcaá el númeo de cagas/dpolos que mpondemos alededo del clndo paa satsface las condcones de contono. Poscón de la fuente en la cavdad que estaá compuesta po la poscón en el eje z e y. Númeo de puntos de la ejlla que se efee al númeo de puntos en el eje e y con el que haemos una cuadcula que englobe al clndo paa pode calcula los potencales en su nteo y pode ealza una epesentacón en 3D de los msmos. Todos estos valoes deben esta contendos en un fcheo denomnado Datos.n que debe esta ubcado en el msmo dectoo que el pogama en Fotan pncpal. contnuacón mostaemos un ejemplo de este fcheo que aclaaá su fomato y facltaá posbles modfcacones del msmo: -43-

68 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes! Datos de entada del pogama Potcl! Fecuenca 3.0D8! Rado del clndo:.0d0! Númeo de cagas/dpolos magen. 5! Poscón de la fuente en el clndo yz: 0.0D0 0.0D0 0.0D0! Númeo de puntos de la ejlla y Pogama en Fotan 90 El códgo del pogama en Fotan 90 está dvddo en vaos fcheos paa faclta su moduladad y mantenmento. demás todos los fcheos han sdo debdamente comentados paa aclaa su funconamento en caso necesao. En cuanto a su ejecucón está se podá ealza tanto en un sstema Wndows con cualque complado de Fotan como en un sstema Lnu ncluyendo un fcheo Maefle que faclta su complacón como eplcaemos en detalle posteomente Códgo empleado Mostaemos los dstntos fcheos que se han empleado en el desaollo del códgo ndcando su funconaldad: o o o o o ludcmp.f90 Esta utna se emplea paa ealza la factozacón LU de una matz de númeos complejos tal y como se detalla en [2]. lubsb.f90 Esta utna se emplea paa ealza la susttucón haca atás de una matz de coefcentes complejos que ha sdo factozada en su foma LU pevamente medante la utna ludcmp.f90 como se eplca en [2]. Lo empleaemos paa pode esolve sstemas de ecuacones lneales complejas. ntype.f90 Es un módulo que se encaga de defn algunas constantes y paámetos usados de foma habtual en el cálculo numéco. nutl.f90 Es un módulo que defne una gan cantdad de subutnas numécas empleadas de foma fecuente y que han sdo defndas en [2]. const.90 Este módulo se encaga de la defncón de algunas constantes físcas que empleaemos a lo lago del pogama pncpal como po ejemplo el númeo p la pemtvdad del vacío etc. -44-

69 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes o o o o pgenegeomety.f90 Este módulo defne el nombe de vaables paa que sean usadas en vaos pogamas con el msmo nombe facltando así la potabldad ente ellos. Po ejemplo paa la fecuenca feq el númeo de onda 0 etc. pescalaf_contono.f90 Esta subutna se encaga de la stuacón de N puntos tangentes alededo del clndo ubca las cagas mágenes alededo de los msmos y calcula el valo complejo de las cagas paa que se satsfagan las condcones de contono en esos N puntos. Paa ello mplementa la teoía del potencal escala bajo fuentes eléctcas que ha sdo desaollada en el punto 2. Recbá toda la nfomacón de entada necesaa como el númeo de puntos tangentes el ado del clndo ubcacón de la caga fuente etc y devolveá el potencal escala calculado tanto en todo el nteo del clndo como en el contono del msmo pudéndose así vefca s se cumplen o no las condcones de contono. Po últmo tambén gabaá paa su posteo epesentacón la stuacón de las cagas mágenes puntos tangentes en el clndo y la fuente en el subdectoo esultados. pvectof.f90 Esta subutna se encaga de la stuacón de N puntos tangentes alededo del clndo ubca los dpolos mágenes alededo de los msmos y calcula el valo complejo de los dpolos paa que se satsfagan las condcones de contono en esos N puntos. Paa ello mplementa la teoía del potencal vectoal magnétco bajo fuentes eléctcas que ha sdo desaollada en el punto 2. Este cálculo se ealzaá bajo dos suposcones: que el dpolo fuente se encuenta en su ubcacón oentado especto al eje y especto al eje y pudendo así obtene todos los potencales vectoales. Potl.F90 Se tata del pogama pncpal que se encagaá de etae los paámetos de análss del fcheo Datos.n e llamando a las dstntas funcones paa calcula todos los potencales escala y vectoal. Fnalmente gabaá en el subdectoo esultados los valoes obtendos paa todos los cálculos Complacón y ejecucón El coecto funconamento del pogama ha sdo compobado paa el sstema opeatvo Wndows con el complado Intel Fotan 9.0 como paa sstemas Lnu con el msmo complado. Es mpotante que el fcheo de entada Datos.n se encuente en el msmo dectoo que los pogamas Fotan así como la estenca en ese dectoo de un subdectoo esultados en el que se gabaán todos los fcheos de salda. En el caso de esta bajo un entono Wndows la foma más senclla de ejecuta el pogama es nclu todos los fcheos en un nuevo poyecto en cualquea de los entonos vsuales Fotan estentes po ejemplo Intel Vsual Fotan Compaq Vsual Fotan etc. El entono econoceá el pogama Pncpal Potcl.F90 y pemtá su ejecucón. -45-

70 Capítulo 2: Fomulacón espacal en cavdades cculaes En el caso de esta bajo un entono Lnu se ha ceado un fcheo Maefle que llamaá al complado de Fotan nstalado en el sstema complando de foma automátca todos los fcheos. La ejecucón del pogama seá como en el esto de pogamas en Lnu medante./potcl Pogama en Matlab Una vez que ha sdo ejecutado el pogama Potcl se habán guadado el cálculo de todos los potencales en el subdectoo esultados en fcheo de teto planos. Medante el entono Matlab [3] vamos a lee la nfomacón contenda en dchos fcheos con el fn de pode vsualza todo el contendo en un total de 2 fguas: stuacón en la que nos encontamos clndo poscones de las cagas poscones de los puntos tangentes en la cavdad etc epesentacón del potencal escala en 3D a lo lago del contono del clndo y el cote con los ejes y del y y potencal vectoal concetamente epesentaemos los potencales G G G y yy G tanto en 3D como los cotes con los ejes de esas epesentacones Códgo empleado Hemos empleado dos fcheos scpt de Matlab paa pode mosta gáfcamente los esultados: o o epesenta_stuacon.m Es una funcón que se encaga de coge toda la nfomacón de la ubcacón de las mágenes los puntos tangentes del clndo la poscón de la fuente y la foma del clndo paa pode vsualza la stuacón que estamos analzando. nco.m Es el pogama pncpal que además de llama a la funcón paa epesenta la stuacón en la que nos encontamos se encaga de etae de los fcheos toda la nfomacón de los potencales y vsualzalos de foma gáfca en 3D y mostando el cote con los ejes de todos los potencales. Paa el caso del potencal escala se ncluye además el potencal obtendo a lo lago del contono del clndo Ejecucón Los dos scpts de Matlab se encuentan po defecto dento del subdectoo esultados que es donde se guadan todos fcheos de nfomacón paa el cálculo de los potencales. En ese dectoo habá que ejecuta el pogama nco.m escbendo nco en la línea de comandos de Matlab ó abendo el fcheo y ejecutándolo. -46-

71 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen 3. Optmzacón de la funcón espacal de Geen 3. Intoduccón En este tece capítulo vamos a optmza la funcón de Geen obtenda medante la fomulacón espacal de mágenes en un ecnto clíndco nfntesmal aunque todas las técncas epuestas son váldas paa cualque tpo de estuctua abtaa defnda como veemos posteomente. Concetamente nos vamos a centa en el caso de stua una fuente eléctca en el nteo de un clndo y vamos a busca una medda de la coeccón de la apomacón empleada es dec el gado en el que las condcones de contono son satsfechas. Paa ello evaluaemos los potencales tanto escala como vectoal alededo del contono del clndo obsevando s se vefcan las condcones en cada punto y en caso de que no sea así obtenendo un valo que nos pueda epesenta el eo cometdo. De esta manea obtendemos dos meddas ó costes : Coste del potencal escala Coste del potencal vectoal Una vez obtendo un Coste en el cálculo de cada potencal vamos a utlza esta técnca paa ve la efectvdad del método de mágenes espacales en funcón de la stuacón de la caga/dpolo ogen en el nteo de la cavdad obtenendo unos esultados que ndcan claamente un aumento del eo confome la caga/dpolo magen se stúa muy ceca de las paedes del clndo. Posteomente vamos a optmza este coste es dec modfcaemos las poscones de las cagas/dpolos mágenes y sus valoes con el fn de obtene un coste meno lo que equvaldá a una mejo epesentacón de los potencales en el nteo de la cavdad. Optmzaemos de foma sepaada los potencales escala y vectoal: o Potencal escala: Una vez defndo un coste paa este potencal lo mnmzaemos medante dstntas técncas: a Empleo de unos valoes de las cagas/dpolos medos paa pomeda el eo de los potencales. Integacón po pulsos. b Búsqueda de los pcos de eo paa stua entono a ellos un mayo númeo de condcones de contono con el fn de mnmzalos. c Vaacón del ado en el que stuamos las cagas/dpolos mágenes d Optmzacón medante una técnca de gadente descendente del valo complejo de las cagas mágenes. e Optmzacón medante una técnca de gadente descendente de las poscones de las cagas entono al clndo. f Empleo de las técncas de optmzacón y vaacón del ado de foma conjunta. -47-

72 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen o Potencal vectoal: En este caso el cálculo del coste de la apomacón es mucho más complejo pues las condcones de contono así lo son sendo nvables técncas complejas como la optmzacón po descenso de gadente y popoconando esultados poco satsfactoos otos métodos como el pomedado del eo de los potencales. Se ha mplementado paa este caso la vaacón dnámca del ado de stuacón de los dpolos magen que es capaz de popocona esultados váldos a pesa de la complejdad de los cálculos equedos. Tas habe optmzado el Coste tanto escala como vectoal po alguna de las técncas desctas anteomente vamos a emplealo paa calcula el eo obtendo en la apomacón de los potencales en funcón de la stuacón de las caga/dpolo fuente compobando como el Coste se educe de foma más que consdeable. sí podemos lmta el númeo de cagas/dpolos magen paa consegu una detemnada eacttud en la apomacón; ello es muy aconsejable debdo a los poblemas de sobedmensonamento que se poducen s se mponen demasadas condcones de contono apaecendo poblemas a la hoa de esolve los sstemas de ecuacones pues no están ben condconados. Repesentaemos gáfcamente como se dstbuye cada uno de los Costes alededo del clndo paa obseva cuales son las zonas en la que se poduce un aumento del eo y tata de mnmzalas. En cuanto al coste computaconal éste vaía en funcón de la técnca y del númeo de mágenes empleadas sendo supeo al coste que obteníamos en la mplementacón ncal pesentada en el capítulo 2. No obstante consegumos contene el coste total depuando cada una de las técncas con algotmos de paada/detencón que se detendán de foma automátca cuando hallamos alcanzado la pecsón deseada en caso de que sea posble. En este caso patcula una geometía clíndca en el que los eoes son muy educdos con un númeo no muy elevado de mágenes 5-20 la optmzacón puede se suplda con un aumento de mágenes que consguen mnmza el eo de la msma foma. No obstante todas las técncas aquí desctas no toman como patda la geometía clíndca sno que pueden se empleadas paa cualque oto tpo de estuctua abtaa como veemos en el Capítulo 4 donde el eo obtendo po las mágenes sn optmza es demasado elevado sendo ncoecta la apomacón de los potencales obtenda. l gual que en Capítulo 2 y po las msmas azones hemos empelado el lenguaje de pogamacón Fotan [2] paa el cálculo numéco así como Matlab [3] paa las epesentacones gáfcas obtendas. l fnal del capítulo eplcaemos bevemente los detalles pncpales de la mplementacón del códgo así como lo necesao paa una coecta complacón ejecucón y vsualzacón de todos los esultados. -48-

73 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen 3.2 Optmzacón del potencal escala 3.2. Intoduccón En pme luga vamos a tata de optmza el potencal escala paa la estuctua bajo análss en este caso un clndo bdmensonal. Paa ello vamos a defnnos un Coste con el fn de pode cuantfca el gado de coeccón del potencal escala obtendo; posteomente desaollaemos dvesas técncas con el fn de mnmza este coste y así obtene una mejo epesentacón de los potencales en el nteo de la estuctua un clndo en este caso. Po la teoía desaollada en el Capítulo 2 sabemos que el potencal escala debe se nulo alededo del clndo. Paa logalo mponíamos un númeo N de puntos tangentes alededo de la estuctua en los que satsfacíamos el equsto medante la ecuacón: N qgv Gv o N No obstante esto solo mplca que en N puntos dscetos alededo del contono del clndo se va a satsface la condcón de potencal escala nulo mentas que en el esto de puntos no tene poqué. Realmente en estos puntos sobe los que no se ha mpuesto la condcón el potencal escala el valo del potencal es dfeente de ceo po lo que no se están cumplmento de foma eacta las condcones de contono. El potencal escala en el clndo seá po tanto: N Gv G ' q G ' 3.2 cy v o Una medda paa cuantfca el eo cometdo seía ecoe todo el contono de la estuctua a analza obtenendo el potencal escala en sus puntos y vendo cuales son dstntos de ceo. Matemátcamente: C oste Gv Contono cy dc v 3.3 La ecuacón 3.3 nos defne un coste del potencal escala defncón que es ndependente del tpo de estuctua a analza aunque estemos analzando un clndo en este caso. Una vez defndo el coste podemos aplcalo a dstntas stuacones con el fn de evalua la pecsón de los potencales en cada caso. Concetamente el valo del coste dependeá del númeo de mágenes empleadas pues cuantas más mágenes usemos un mayo númeo de puntos dscetos cumplán la condcón de contono y de la poscón de la caga fuente en el nteo del clndo. Supongamos un clndo de ado a sendo la fecuenca de 300Mhz en el que stuamos la caga fuente en el nteo del clndo y empleamos un total de 5 mágenes paa calcula el potencal escala. La stuacón es epesentada en la fgua 3.: -49-

74 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Fgua 3. Repesentacón 5 cagas mágenes alededo del clndo fuente en ogen coodenadas En este caso s epesentamos el valo absoluto del potencal escala alededo del clndo podemos ve en que medda y en que poscones se cumple la condcón de contono es dec que este potencal sea nulo Fgua 3.2 Repesentacón del potencal escala en contono del clndo en funcón del ángulo. Empleo de 5 mágenes fuente en ogen de coodenadas Podemos obseva como esten 5 nulos coespondentes a las 5 condcones que hemos mpuesto medante la ecuacón 3.. De esta foma s ntegamos el potencal escala en todo el contono del clndo obtendemos el Coste tal y como lo habíamos defndo en la ecuacón 3.3. Concetamente y paa este caso obtenemos un eo de: 3 Eo Compobamos como el eo obtendo es muy educdo lo que mplca que la apomacón del potencal escala con 5 cagas mágenes es adecuada. S stuáamos la caga fuente en ota poscón paa este msmo númeo de cagas mágenes obtendemos un coste dfeente en funcón de la poscón escogda. Igual ocue paa una vaacón del númeo de cagas mágenes que tambén modfca el valo del coste en geneal a mayo númeo de mágenes meno coste obtendo. -50-

75 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Po ejemplo basándonos en las suposcones del caso anteo peo stuando la caga en la poscón obtenemos una stuacón y una dstbucón del coste como muesta la fgua 3.3: Fgua 3.3 Repesentacón de stuacón y coste del potencal escala en un clndo empleo de 5 mágenes y fuente stuada en Compobamos como en un ángulo de 45º ad obtenemos un pco del potencal pues las cagas mágenes son ncapaces de contaesta el efecto de la caga fuente stuada tan ceca del contono poducéndose un Coste muy elevado especto al anteo concetamente con un valo de: Coste Ello mplca que la epesentacón de los potencales en este caso es mucho menos eacta que en el caso anteo no obstante todavía no es un valo muy elevado y se puede da po váldo. Esta es una de las peoes stuacones paa esta fomulacón: la ubcacón de la caga ogen muy ceca de las paedes de la estuctua a analza. Posteomente veemos una técnca capaz de educ el coste en este caso. No obstante como los ccutos que pueden se analzados con esta fomulacón no se encuentan stuados muy ceca de los bodes de las guías que los contenen este eo aunque elevante pede pate de su mpotanca. Ente las dos stuacones epuestas este un gan abanco de posbldades en funcón del númeo de cagas mágenes empleadas y de la poscón de la fuente. Realzaemos un bado de estas vaables paa obtene unos costes de efeenca en poscones típcas y con un númeo de mágenes vaable. Concetamente vamos a analza el coste del potencal escala cuando stuamos la fuente en las poscones: [ ] y tenemos un númeo de cagas mágenes que puede se sí: -5-

76 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen a Poscón 00 : Nº cagas Coste e e e- 008 Tabla 3. Coste método ognal poscón fuente en 0 0 b Poscón : Nº cagas Coste e e e- 008 Tabla 3.2 Coste método ognal poscón fuente en c Poscón 0.40: Nº cagas Coste e e- 007 Tabla 3.3 Coste método ognal poscón fuente en d Poscón : Nº cagas Coste e e e- 005 Tabla 3.4 Coste método ognal poscón fuente en

77 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen e Poscón 0.50: Nº cagas Coste e e- 006 Tabla 3.5 Coste método ognal poscón fuente en f Poscón : Nº cagas Coste Tabla 3.6 Coste método ognal poscón fuente en Tas analza los esultados paa el caso ncal podemos etae dos conclusones nteesantes: o o l aumenta el númeo de cagas en geneal dsmnuye el coste que obtenemos. No obstante esten algunos casos patculaes que dependeán de las poscones elatvas de la caga fuente y las mágenes. En funcón de la poscón de la caga fuente confome ésta se encuenta más cecana a la paed de la estuctua clndo en este caso el coste va cecendo. De esta foma tenemos totalmente caactezado el compotamento del potencal escala obtenendo sus eoes en funcón de las caacteístcas de la stuacón a analza. En este punto vamos a ntoduc dstntas técncas que tataán con mayo o meno éto de educ este eo con el fn de obtene con el msmo númeo de cagas mágenes un coste mucho meno lo que equvaldá a la hoa de obtene los potencales en una mayo eacttud. lguna de las técncas pobadas no han apotado los esultados espeados como la técnca de ntegacón medante pulsos ó la técnca de mposcón de una nueva condcón de contono en el luga de éste donde el eo fuea mámo. No obstante las ncluemos en el estudo po habelas consdeado teócamente váldas en algunas stuacones obtenen esultados coectos. Po oto lado destacaemos po lo satsfactoo de sus esultados las técncas de vaacón dnámca del ado de las cagas magen y la de la optmzacón del valo complejo y poscones de las cagas medante un algotmo de descenso de gadente. contnuacón pasaemos a estuda detendamente cada una de estas técncas eponendo la base teóca de la que paten y estudando sus esultados medante ejemplos páctcos.

78 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Método de optmzacón Integacón po pulsos En el método popuesto paa el cálculo del potencal escala en el capítulo 2 se ealzaba la mposcón de las condcones de contono sobe puntos dscetos de la paed de la estuctua a analza. l toma un númeo fnto de puntos la condcón de contono no se va a cumpl sobe toda la paed de la estuctua po lo que está un ceto coste ó eo al obtene los potencales en su nteo. Un posble método de solucona este poblema consste en no foza el cumplmento de la condcón de contono en puntos dscetos sno a lo lago de un tamo de la paed del msmo. Paa ello se empleaán funcones de test tpo pulso que ecoeán el contono de la estuctua y sobe los que se ntegaá el valo del potencal paa tata de foza que en meda sea nulo. De esta foma el valo complejo que asgnaemos a la cagas magen lo obtendemos de tal foma que fuecen que el potencal escala sea nulo en un tamo del contono de la estuctua que estaá defndo en el nteo de un pulso. Matemátcamente podemos taduc esta ntegacón po pulsos de foma senclla patendo de la ecuacón 3. multplcándola a ambos lados po un pulso e ntegando a lo lago del contono de la estuctua: N q Gv ' d GV o ' d N l se la ntegal y el sumatoo sstemas lneales se pueden ntecamba quedando: N q Gv ' d GV o ' d N Fnalmente debdo a la pesenca del pulso la ntegal úncamente estaá defnda dento de las poscones del msmo es dec la ntegal de la funcón de geen en el contono del segmento que está delmtado po la funcón pulso. N q Gv ' d Gv o ' d 3.6 segmento _' ' N Sendo este el sstema que evaluaemos y que nos popoconaá el valo complejo de las cagas magen. segmento _' ' El poblema en este punto adca en como evalua la ntegal paa lo que se deaon vaas estategas. En pme luga se popuso evalualas medante las denomnadas apomacones de Newton como po ejemplo la apomacón del Tapeco apomacón de Smpson etc tanto abetas como ceadas es dec con ó sn solape de puntos de nfomacón. Posteomente se evaluó tomando una gan cantdad de puntos ntemedos en luga de puntos aslados. contnuacón mostaemos la teoía estente detás de cada uno de los métodos popuestos paa fnalmente ealza una compaatva ente ellos vendo los poblemas que pesentan. -54-

79 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen pomacón del Tapeco En este caso ealzaemos una apomacón de la ntegal medante la conocda egla del tapeco F 2 Gv d h Gv F Gv F F sendo h la dstanca ente F y F2 en el clndo dos puntos tangentes a la estuctua consecutvos. Fgua 3.4 Dstanca ente puntos tangentes en la apomacón del tapeco En este punto vamos a desaolla el sstema de ecuacones esultante en este caso y compaa su valdez paa un númeo mpa de puntos tangentes así como obseva que obtenemos una snguladad paa un númeo pa po lo que el sstema no puede se esuelto en este caso. En pme luga se va a ealza un cambo de nomenclatua paa lmta la etensón de las ecuacones así la funcón de Geen que va desde los puntos tangentes hasta las mágenes la enombaemos como: Gv ' F Gv ' F Gv ' F' Gv ' F2' Gv Gv 2 N N ' F ' F 2... N N 3.8 Po su pate la funcón de Geen que va desde los puntos tangentes hasta la fuente 0 sean: Gv o ' G Gv 2 o ' G2... Gv N o ' GN 3.9 De esta foma podemos pat del sstema de ecuacones ncal paa el caso Pont-Matchng que como vmos en el capítulo 2 esultaba: Gv ' Gv 2 '... Gv N ' q Gv o ' Gv 2 ' q2 Gv 2 o ' Gv N ' Gv N N ' qn Gv N o ' y enombalo de foma: -55-

80 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen n F F'... F q G F q2 G N FN FN qn GN El sguente paso seá plantea el sstema de ecuacones tenendo en cuenta el test medante pulsos: segmento segmento2 segmenton Gv ' d Gv ' d 2... Gv ' d N 2 2 N segmento Gv ' d segmento segmenton Gv N ' d q... q Gv qn N N ' dn Gv o ' d Gv 2 o ' d Gv N o ' dn segmento segmento segmenton 3.2 tenendo en cuenta la apomacón de Tapecos y la nueva nomenclatua podemos smplfca la ecuacón anteo como: F F2 h 2 F2 F3 h 2... FN F h 2 F' F2' h F h FN h n... F N F 2 n N G G2 q h 2 q G2 G3 2 h qn GN G h s sacamos facto común a 2 h y elmnamos ese témno nos quedaía el sstema: F F 2 F 2 F3... FN F F' F 2' F FN n N F n F N q G G2 q2 G2 G qn GN G 3.4 Podemos demosta algebacamente que esta ecuacón es gual al caso del Pont-Matchng pues: F F2... FN F' F n FN N F2 F3... F F2' F F n N q G G2 q2 G2 G qn GN G 3.5 Entonces paa que se vefque el sstema y ecodando la ecuacón 3. se debe de cumpl que: -56-

81 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen F2 F3... F F2' FN F n N q G2 q2 G qn G 3.6 y como úncamente hemos desplazado una fla haca abajo la matz F y la matz G de coefcentes y de esultados y de foma smultánea se debe cumpl fozosamente la elacón. Po tanto conclumos matemátcamente que el cálculo de Potencal escala medante Pont-Matchng es dentco al obtendo medante un Test con apomacón de ntegales po tapecos. Una vez concludo que de est solucón ésta es equvalente debemos aseguanos de que el sstema fomado puede se esuelto. Una condcón necesaa y sufcente paa que el sstema tenga solucón es que el detemnante de la matz F esta y sea dstnto de 0. Es dec que: n n F F2 F' F2'... F F2 F2 F N N FN F FN F Obsevamos que la matz esultante es la suma de dos matces: n n F F'... F F2 F2'... FN F F F F despl N N FN FN F F sendo F despl la matz F desplazado de foma ccula una fla haca abajo. Tanto la matz F como la matz F despl son matces no sngulaes cuyo detemnante es dstnto de 0. Se demuesta algebacamente que el detemnante de F+ Fdespl es: N F Fdespl F F 3.9 sendo N el ango de la matz que en nuesto caso concde con el númeo de puntos tangentes mpuestos sobe el contono del clndo. Po tanto podemos conclu sobe la apomacón medante Tapecos que: o o S el númeo de cagas mágenes es mpa el esultado de la apomacón medante Tapecos se coesponde de foma eacta con el método de Pont-Matchng. S el númeo de cagas mágenes es pa el sstema de ecuacones no tene solucón. -57-

82 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen pomacones numécas ceadas En este tpo de apomacones de las ntegales tomaemos puntos dscetos y tataemos de obtene el esultado de la ntegal evaluando el valo del potencal en esos puntos dscetos. Son ceadas poque vamos a toma los puntos dscetos de tal foma que se va a poduc solape de nfomacón: los valoes de potencal obtendos en un punto seán usados en vaos tamos de la msma foma que ocuía en la apomacón po tapeco. Gáfcamente: Fgua 3.5 pomacones ntegales ceadas: solape de nfomacón De esta foma tomaemos puntos ntemedos en el contono de la estuctua stuados ente dos puntos tangentes sobe los que habíamos mpuesto un nulo de potencal. En funcón del númeo de puntos ntemedos que tomemos ealzaemos una apomacón u ota de la ntegal: a Smpson s ule En este caso tomaemos un únco punto ntemedo po lo que la apomacón de la ntegal quedaía: F 3 4 Gv d h Gv F Gv F2 Gv F F sendo h la dstanca ente F y F2 en el clndo y F2 un punto ntemedo en el clndo ente F y F3 que son los puntos tangentes a la estuctua sobe los que mponemos las condcones de contono. Fgua 3.6 Caacteístcas de la apomacón de Smpson s -58-

83 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen F 5 F b Smpson s 3/8 ule En este caso tomaemos dos puntos ntemedos po lo que la apomacón de la ntegal quedaía: F Gv d h Gv F Gv F2 Gv F3 Gv F F sendo h la dstanca ente F y F2 en el clndo es dec ente dos puntos contguos de un msmo segmento. c Bode ule En este caso tomaemos tes puntos ntemedos po lo que la apomacón de la ntegal quedaía: Gv d h Gv F Gv F2 Gv F3 Gv F4 Gv F sendo h la dstanca ente F y F2 en el clndo es dec ente dos puntos contguos de un msmo segmento. El pncpal poblema que pesentan las apomacones ceadas es que se vuelve a epet el poblema encontado con la apomacón del Tapeco debdo al solape de nfomacón. De esta foma cada vez que se emplea un númeo pa de mágenes se obtene un sstema ncompatble pues dos de sus flas son combnacón lneal. Paa tata de solucona este poblema se ntoducemos las apomacones ntegales sem-abetas pomacones numécas sem-abetas Empleamos una apomacón ntegal sem-abeta con el fn de evta ntoduc la msma nfomacón en vaos elementos de la matz pncpal a la hoa de esolve el sstema de ecuacones. De esta foma el sstema de ecuacones que se foma sempe tendá solucón. La foma de ealza esta apomacón es tenendo en cuenta úncamente el límte supeo de la ntegal y los puntos ntenos sn emplea el valo de la funcón en el límte nfeo. Gáfcamente: Fgua 3.7 pomacones ntegales sem-abetas: no se solapa la nfomacón -59-

84 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Se han mplementado dos apomacones sem-abetas: a pomacón sem-abeta con 4 puntos ntemedos: En este caso tomaemos cuato puntos ntemedos po lo que la apomacón de la ntegal quedaía: F Gv d h Gv F2 Gv F3 Gv F4 Gv F5 Gv F F sendo h la dstanca ente F2 y F3 en el clndo es dec ente dos puntos contguos de un msmo segmento. Fgua 3.8 Stuacón de los puntos ntemedos en una apomacón sem-abeta b pomacón sem-abeta con 0 puntos ntemedos: F En este caso la apomacón ha sdo: 23 7 Gv F2 Gv F3 Gv F4 Gv F5 Gv F6 Gv F7 Gv F8 Gv 2 2 d h 3 5 Gv F9 Gv F0 Gv 2 2 F F 3.24 sendo h la dstanca ente F y F2 en el clndo es dec ente dos puntos contguos de un msmo segmento. Este caso es una genealzacón del caso anteo empleando un mayo númeo de puntos ntenos y lo utlzamos paa ve la nfluenca de los msmos en el cumplmento de las condcones de contono del clndo. -60-

85 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen pomacón del Tapeco tomando una gan cantdad de puntos ntemedos En este caso se ha ealzado una apomacón de la ntegal de la ecuacón 3.6 tomando una cantdad enome de puntos ntemedos y ealzando la ntegal medante la egla de tapeco. La dfeenca fundamental con el apatado es que no se ealza la apomacón con dos puntos tangentes sobe los que está la condcón de contono sno que se ha ealzado de foma pogesva empleando un númeo muy elevado de puntos ntemedos y utlzándolos todos de foma conjunta. Po ejemplo a la hoa de analza un aco de la cavdad clíndca empleaemos: Fgua 3.9 Detalle de los puntos ntemedos tomados en un aco del clndo al ealza una apomacón po Tapeco geneal Obsevamos como en este caso tomamos sufcentes puntos paa consegu unos esultados más satsfactoos quedando cada uno de los acos completamente caactezados Resultados de las dstntas apomacones con ntegacón de pulsos Paa obtene unos esultados compaatvos ente las dstntas técncas empleadas y la técnca ognal de Pont-Matchng fumos vaando la stuacón de la caga fuente en el nteo del clndo y el númeo de cagas mágenes y po tanto puntos tangentes sobe los que mpone las condcones de contono con el que abodaemos el poblema obsevando el eo cometdo en las condcones de contono en cada caso. Tas mplementa los métodos anteoes se han obtendo unos esultados no muy satsfactoos sendo la técnca ncal de Pont-Matchng es dec establecmento de las condcones de contono en puntos dscetos fntos muy supeo en la mayoía de las ocasones sendo además su coste computaconal más educdo. Los esultados de estas compaatvas pueden se eamnadas en el NEXO I; no se han ncludo en esta descpcón debdo a que no apotan esultados sufcentemente váldos paa detenenos en su análss. Podemos llega a las sguentes conclusones efeentes a la ntegacón po pulsos: -6-

86 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen l obseva el potencal escala en el contono del clndo tas utlza la ntegacón po pulsos vemos como no se mponen ceos en los puntos tangentes alededo del clndo sno que obtenemos un valo más pomedado que nos daá un eo supeo o nfeo al Pont-matchng según la localzacón de la caga en el nteo del clndo. l utlza una apomacón po Tapeco empleando como puntos de ntepolacón los puntos tangentes sobe los que se ntodujo la condcón de contono los esultados son déntcos a los de Pont-Matchng cuando usamos un númeo de cagas magen mpa obtenendo un esultado ncoecto cuando este númeo es pa. Las apomacones ntegales ceadas es dec las de Smpson Smpson 3/8 y Bode pesentan el msmo poblema que la apomacón po Tapeco sendo úncamente coectas cuando empleamos un númeo de cagas mágenes mpa pues en caso contao obtenemos una sstema de ecuacones ncompatble que es esuelto de foma eónea po el softwae dando po tanto esultados con un eo mucho mayo que en el esto de los casos. Paa el caso en el que son coectas consguen un esultado muy smla al obtendo con Pont-Matchng mejoando levemente el eo cometdo cuando la caga se encuenta stuada en el cento del clndo y empeoando los esultados cuando la caga se va acecando a las paedes. Su empleo no es páctco pues depende del númeo de cagas magen escogdas pa o mpa aumenta su coste computaconal y popocona unos esultados osclantes a veces mejoa a veces empeoa fente a los de Pont-Matchng. Las apomacones ntegales sem-abetas consguen unos esultados váldos en la mayoía de las ocasones eceptuando algún caso puntual en el que el sstema de ecuacones no tene solucón y pesenta esultados ncoheentes. Los esultados obtendos dependeán fundamentalmente de la poscón de la caga fuente en el nteo del clndo: o o S la caga fuente se encuenta en las nmedacones del cento del clndo obtenemos una mejoía muy sustancal con una convegenca más ápda y unos eoes elatvos mucho menoes paa cas todos los casos. S la caga fuente se va alejando del cento del clndo obtenemos unos costes levemente supeoes a los obtendos medante Pont-Matchng. Fnalmente al usa una ntegacón con Tapeco y un númeo enome de puntos ntemedos paa obtene una mayo pecsón consegumos unos esultados muy pómos en cas todas las stuacones a los obtendos con Pont-Matchng mejoando en ocasones puntuales fundamentalmente cuando la caga se encuenta ceca del cento del clndo a los msmos. Como contapatda este método pesenta un coste computaconal muy elevado paa popocona un coste levemente supeo al de Pont-Matchng junto a la estenca de cetos casos patculaes donde se poducen snguladades. -62-

87 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen De esta foma podemos conclu que a pmea vsta no se ha obtendo una mejoa sustancal con el empleo de una ntegacón po pulsos. No obstante es un tema pendente de una nvestgacón más pofunda y que pesenta gandes posbldades de vabldad. Concetamente se puede tata de ealza otas apomacones ntegales más pecsas que pesenten esultados más coectos a la hoa de plantea la ecuacón 3.6 popoconando esultados mucho más pomedados sn necesdad de nclu nulos úncamente en puntos dscetos de la estuctua Método de vaacón dnámca de cagas en pcos de potencal Desaollo teóco Este método es uno de los más ntutvos que pesentaemos sendo capaz de popocona unos esultados modeados lgeamente supeoes a los de Pont- Matchng paa stuacones patculaes. dfeenca de los casos anteoes vaaemos de foma dnámca el númeo de cagas mágenes empleadas. De esta foma comenzaemos analzando los potencales y la dstbucón del msmo alededo del contono de la estuctua paa ve el gado de cumplmento de las condcones mpuesta buscaemos la poscón en la que se poduce el mámo de este potencal y lo contaestaemos ntoducendo una nueva condcón de contono en ese punto. Paa la aplcacón de este método es necesao una stuacón ncal de patda una confguacón de cagas mágenes posconamento de las msmas y puntos tangentes sobe los que mpone las condcones de contono sobe la cual se á evoluconando ntoducendo más cagas mágenes que contolaan el potencal en puntos dscetos coespondentes a mámos de potencal. Veamos el funconamento del método medante un ejemplo; supongamos una confguacón con 4 cagas mágenes stuadas alededo de un clndo nfntesmal en la que se ha colocado una fuente puntual en la poscón tal y como ndca la fgua sguente: Fgua 3.0 Repesentacón de stuacón y coste del potencal escala en un clndo empleo de 4 mágenes y fuente stuada en Compobamos como se poduce un pco de potencal en el contono de la estuctua debdo a la pesenca de la caga fuente muy ceca de las paedes; en este punto el método consstá en enconta la poscón de este mámo stuado a adanes y stua justamente ahí un nuevo punto dsceto donde se fuece a que el potencal escala sea nulo. sí la nueva stuacón seá la sguente: -63-

88 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Fgua 3. Repesentacón de stuacón y coste del potencal escala en un clndo tas ubca un punto tangente en un pco de potencal empleo de 5 mágenes y fuente stuada en Realzando un zoom podemos obseva con más detalle la poscón del nuevo punto tangente donde foza la condcón de contono y de la caga magen asocada: Fgua 3.2 Detalle de la ubcacón de un nuevo punto de condcón de potencal nulo donde se encontaba anteomente un pco de potencal. Obsevando la fgua 3. podemos compoba como el pco de potencal estente con 4 cagas mágenes con un valo muy elevado de más de 28.4 se educe de foma consdeable al ntoduc la nueva condcón de contono pasando a tene un valo de poco más de 6 aumentando las osclacones del potencal a lo lago de toda la paed del clndo. De esta foma consegumos educ el valo del coste de que teníamos al emplea 4 cagas a un total de.366 al usa una caga más de foma adecuada. No obstante s dstbumos las 5 cagas de foma usual como se muesta en la fgua 3.3 obtenemos un eo de.606 lgeamente supeo. Sn embago tenemos la ventaja de que elmnamos el pco de eo dstbuyendo el msmo de una foma más equtatva a lo lago del contono de la estuctua. Tenemos dos fomas de emplea este método: o o Usalo a pat de una dstbucón de mágenes dada paa tata de educ la nfluenca de un pco de potencal patcula. Pat de una stuacón ncal y epet el método de foma teatva buscando mámos de potencal stuando ahí la nueva condcón de contono y calculando nuevamente los potencales. -64-

89 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Resultados obtendos la hoa de pesenta los esultados con este método es fundamental dscen ente las dos posbles confguacones elegdas. El pmeo de los casos tata de elmna pcos de potencal seá útl fundamentalmente cuando la caga se encuente stuada muy ceca de las paedes del clndo. Patendo de la stuacón estudada pevamente con la fuente puntual stuada en ealzaemos una compaatva del eo en funcón del númeo de mágenes empleadas de patda al usa este algotmo así como una compaacón fnal con los esultados del métodos geneal. Nº de cagas mágenes Stuacón ncal: 0 cagas Stuacón ncal: 3 cagas Stuacón ncal: 6 cagas Stuacón ncal: 9 cagas -65- Pont- Matchng Tabla 3.7 Resultado del coste al ealza una ubcacón de cagas tenendo en cuenta el mámo del potencal de foma teatva y tenendo en cuenta el númeo de cagas de la stuacón de nco. De esta foma se mpone alededo del pco de potencal una gan cantdad de condcones de nuldad fozando a éste a tene valoes más educdos. Gáfcamente se puede obseva en la fgua 3.3 la dstbucón del potencal en el caso que pesenta un meno coste es dec 25 cagas mágenes habendo evoluconado las msmas desde una stuacón ncal de 9.

90 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Fgua 3.3 Detalle de la dstbucón del potencal 25 cagas mágenes habendo evoluconado su colocacón en pcos de potencal desde 9 cagas. Fuente en Vemos como se ha fozado a valoes de potencales nulos en tono al pco cental del potencal y aunque no se ha consegudo elmna este pco s se ha educdo de foma consdeable. Uno de los nconvenentes de este método es que su esultado fnal va a depende de una evolucón a pat de una stuacón de nco no pudéndose detemna a po que stuacón ncal popoconaá unos esultados más satsfactoos. En cuanto a su empleo en stuacones en las que la caga fuente no se encuenta muy ceca de la paed sus esultados no son satsfactoos. Esto es debdo a que los dstntos pcos de potencal son muy paecdos y una dstbucón de cagas que contbuya a la elmnacón de un pco de potencal en patcula povocaá una descompensacón en la dstbucón del msmo. Po ejemplo en la fgua sguente podemos obseva la dstbucón del potencal al stua la fuente en el ogen con 5 mágenes habendo evoluconado desde una stuacón ncal de 0 fente a la stuacón geneal de 5 mágenes de Pont-Matchng: Fgua 3.4 Dstbucón del potencal a lo lago del contono del clndo con 5 mágenes. a Stuando las cagas en pcos de potencales y evoluconando desde una stuacón ncal de 0 mágenes. b Empleando Pont-Matchng. Compobamos como la dstbucón de potencal ognal de Pont-Matchng es smétca y de valo muy educdo fente a una dstbucón más descompensada del método aquí epuesto. Ello es debdo a que los pcos de potencales ean ognalmente muy paecdos y no estía una dfeenca sufcente ente ellos paa tata de educ uno en conceto. El esto de valoes de los costes paa las dstntas stuacones empleando la ubcacón de cagas en pcos de potencal puede se eamnado en el NEXO II. -66-

91 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Método de la vaacón dnámca del ado magen Desaollo teóco Esta es la técnca que ha popoconado unos esultados más satsfactoos educendo en cas todos los casos el coste del potencal escala en un pocentaje muy elevado. El método se basa en una ubcacón de las cagas magen dfeente a la empleada hasta ahoa concetamente mantendemos las cagas mágenes en un cculo alededo de la estuctua a analza ndependentemente de la foma de la estuctua y de la poscón de la fuente en el nteo de la msma Supongamos una stuacón de 20 cagas mágenes donde hemos stuado la caga fuente en una stuacón dstnta del ogen po ejemplo en analzada po el sstema de ubcacón de cagas empleado hasta ahoa: Fgua 3.5 Stuacón 20 cagas magen alededo clndo fuente en Compobamos como la stuacón de cada caga magen se obtene medante la smetía de la fuente especto a un plano tangente que pasa po un punto del contono del clndo donde se vefcaá la condcón de contono. Este método fue eplcado y desaollado en el Captulo 2. En este nuevo método popuesto vaamos la foma de establece la poscón de las cagas mágenes con el fn de tata de satsface al mámo las condcones de contono. Concetamente la stuacón de las cagas mágenes seá en un cculo de ado constante que luego podemos vaando y no dependeá n de la poscón de la caga fuente n del tpo de estuctua a analza. sí paa el msmo caso que en el ejemplo anteo empleando 20 cagas mágenes y una fuente en el nteo del clndo con una poscón de obtenemos una stuacón: -67-

92 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Fgua 3.6 Stuacón 20 cagas magen fuente ubcada en El vaa la poscón de las cagas no afecta a la matemátca empleada paa la obtencón del potencal escala salvo en el cálculo de las dstancas de las cagas mágenes al cento del clndo a la poscón de la fuente y a los puntos tangentes en el contono del clndo. De esta foma debemos de esolve el sstema planteado anteomente en la ecuacón 3. que etendda queda de la foma: Gv ' Gv 2 '... Gv N ' q Gv o ' Gv ' q Gv '... Gv 2 N ' Donde cada vecto seá: Gv... N N 2 2 o ' qn Gv N o ' 3.25 Vecto del ogen al punto tangente del clndo. ' Vecto del ogen a la poscón de la magen. o ' Vecto del ogen a la poscón de la fuente ntena en el clndo. Una vez esuelto el sstema obtendemos el valo del potencal escala de la msma foma que en casos anteoes: N Gv G ' q G ' 3.26 cy V o El algotmo segudo po tanto consstá en vaa el ado de las cagas mágenes y obtene un coste. sí obtendemos qué ado es el que poduce un meno eo y seá el que empleemos en el cálculo del potencal escala. En cuanto al coste computaconal dependeá fundamentalmente de los límtes ente los que vaemos el ado de las mágenes y el paso con el que nos movamos ente esos límtes. Este paámeto suele se elevado debdo a la alta caga computaconal empleada en calcula el Coste paa una detemnada dstbucón de mágenes. v -68-

93 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Resultados obtendos Una vez posconadas las cagas mágenes en un cculo de un detemnado ado R alededo de la estuctua vamos a ealza un estudo del Coste del potencal escala en funcón del ado en el que se encuentan stuadas las cagas mágenes. Este ado va a popocona valoes óptmos que consguen mnmza de foma más que consdeable el coste del potencal escala. En pme luga antes de mosta los esultados paa todos los casos vamos a estuda detendamente un caso tpo po ejemplo empleando un total de 20 cagas mágenes y stuando la fuente en el cento del clndo [poscón 00] tal y como descbe la fgua 3.7. Fgua 3.7 Stuacón 20 cagas magen ubcacón ccula. Fuente en 00 Compobamos como en este caso la ubcacón de las cagas magen concde con la ubcacón de las mágenes con el método ncal. No obstante es en la vaacón del ado donde adca la potenca de este método de optmzacón. po no podemos conoce que valo del ado seá el que popocone un coste mínmo. Po esta azón epesentamos el coste en funcón del ado vaando el msmo ente y 7600 apomadamente es dec un ango muy amplo con un paso de valoes ente ado gueso paa obtene así una pmea apomacón De esta foma obtenemos una vaacón del eo en funcón del ado de: Fgua 3.8 Coste en funcón del ado mágenes fuente en

94 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen En la fgua 3.8 obsevamos que el eo convege a un detemnado valo dstnto de 0 a una dstanca no muy lejana del clndo po lo que un análss hasta valoes de ado tan amplos además de tene un coste computaconal muy elevado no popocona nnguna nfomacón adconal. Po tanto lmtaemos el valo mámo del ado a un valo más educdo po ejemplo de obtenendo un esultado de eo fente al ado de: Fgua 3.9 Coste en funcón del ado mágenes fuente en 00. Obsevamos en la fgua 3.8 como el eo aumenta cuanto más ceca está la caga del clndo descendendo hasta valoes menoes de eo confome stuamos el ado a una mayo dstanca. Compobamos como paa la ubcacón ognal en la que el ado ea gual a 2 el coste ya es muy educdo no obstante con un aumento del ado obtendemos costes todavía menoes como podemos compoba en la fgua 3.9: Fgua 3.20 Coste en funcón del ado mágenes fuente en 00. sí hemos obtendo una educcón del coste más que notoa pasando de un -5-7 eo de a uno de sn más que emplea un ado de las cagas mágenes de valo 7. Tambén ndca que el eo convege aunque en este caso al esta stuada la caga en el ogen la convegenca se daía teócamente en el nfnto. -70-

95 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Paa un caso geneal empleaemos dos veces esta técnca: o o En pme luga empleaemos un paso gueso vaando el ado ente y 30 con paso de 0.. Se han escogdo estos valoes debdo a que en 30 ya obtenemos una convegenca en todos los casos pobados y en aquellos en los que la teoía muesta una convegenca en el nfnto la dfeenca del coste obtendo con ese ado y oto muy supeo es mínma. Popoconaá un valo óptmo del ado paa esta smulacón _opt. En segundo luga empleaemos un paso fno vaando el ado muy ceca de la poscón óptma anteo _opt concetamente nos moveemos en el entono: _ opt 0. _ opt 0. con un paso de sí obtendemos una poscón del ado óptmo mucho más pecsa mnmzando el coste. sí paa el ejemplo en el que estábamos nmesos obtenemos unas vaacones del coste en funcón del ado de: Fgua 3.2 Coste en funcón del ado paso gueso y fno. 20 mágenes y fuente en 00 Consegumos obtene de esta foma un Coste mínmo de Compobamos como se ha educdo mucho especto al coste del método nomal peo no ha habdo una educcón busca especto al caso del ado con 7. De esta foma podemos conclu: El eo aumenta s stuamos las cagas mágenes muy ceca de los bodes clndo. El eo va dsmnuyendo confome aumentamos el ado del cículo de cagas mágenes obtenéndose una convegenca en el eo teóca en este caso en el nfnto. No obstante el caso de que el Coste conveja confome aumentamos el valo del ado es solo uno de los dos casos posbles. Este oto caso en el que una vez que obtenemos un ado óptmo el coste vuelve a aumenta confome aumentamos el valo del ado convegendo a oto coste que es supeo al mínmo. -7-

96 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Supongamos po ejemplo la msma stuacón que hemos estado analzando hasta ahoa peo empleando un total de 0 cagas mágenes. La vaacón del coste en funcón del ado seá: Fgua 3.22 Vaacón del coste con el ado vaable cagas mágenes fuente en 00 Compobamos como este un mínmo del coste en un ado óptmo que en este caso es de valo 3.. l aumenta todavía más el ado el coste aumenta convegendo a un valo supeo. Realzaemos una compaacón ente el coste obtendo po el método defndo en el Capítulo 2 que en la gáfca llamaemos método actual y el coste obtendo con la vaacón del ado paa dos stuacones de fuente [concetamente cuando la fuente se encuenta stuada en 0.40 y 0.50 ] y al utlza 5 cagas mágenes: Fgua 3.23 Compaatva costes método ognal y vaacón de ado Obsevamos como el coste obtendo es sgnfcatvamente meno paa un ado óptmo y que oscla ente valoes de coste supeoes o nfeoes en funcón del ado que tomemos paa ealza el cálculo del potencal escala. Fnalmente y paa temna con nuesta compaatva vamos a mosta de foma smultánea el potencal escala alededo del clndo en funcón del ángulo tanto paa el caso ognal como paa el caso de la vaacón de ado. Paa ve más claamente la dfeenca mostaemos el coste en undades logaítmcas: -72-

97 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Fgua 3.24 Potencal escala en el contono métodos ognal y vaacón de ado. Fuente stuada en el ogen y 20 mágenes Compobamos como la dstbucón del potencal escala en el contono sgue sendo smétca pues la fuente está centada en el ogen peo obtenemos un valo absoluto mucho meno que en el método ognal paa cualque ángulo del clndo. sí queda demostada la efectvdad del método y como loga educ el eo de la apomacón del potencal escala. Mostaemos a contnuacón al gual que hcmos anteomente cual es el valo fnal del coste obtendo en este método en funcón del númeo de cagas magen empleadas y de la poscón de la fuente en el nteo del clndo [ ]. Macaemos en ojo aquellos esultados que mejoen especto a la ubcacón ncal de cagas mágenes; tambén ndcaemos el valo del ado óptmo que hemos obtendo en cada uno de los casos. a Poscón 00: Tpo Técnca Nº cagas Pont-matchng Vaacón del ado Eo Rado.400 mínmo local 3.00 mínmo local convege convege convege Tabla 3.8 Coste vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en e e e e e e convege Compobamos como obtenemos un esultado mejo que el método ognal en todos los casos con educcones del coste muy mpotantes.

98 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Vamos a analza el caso patcula de emplea 5 mágenes donde obtenemos un ado óptmo de valo.4. Paa valoes de ado supeoes el coste convege a un valo muy supeo al coste mínmo como podemos obseva en la fgua 3.2: Fgua 3.25 Vaacón del coste con el ado 5 mágenes y fuente en el ogen. b Poscón : Tpo Técnca Nº cagas Pont-matchng Vaacón del ado Eo Rado.200 mínmo local mínmo local convege convege convege e e e e e e convege Tabla 3.9 Coste vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Compobamos como en este caso tambén mejoamos el esultado especto a la técnca ognal en todos los casos. Resaltaemos un caso patcula que se poduce cuando empleamos cagas mágenes en el que apaecen dos mínmos uno local y oto absoluto como se puede compoba en la fgua 3.3. Una pmea vaacón del ado puede llega a cee que el pme mínmo local que nos encontamos entono a.7 es al absoluto pues el coste vuelve a cece tas pasalo. quí se esalta la utldad de emplea un bado con dos pasos el paso gueso que ha detectado ese mínmo local contnúa con la vaacón de los ados en su ango buscando otos valoes más pequeños. Po su pate un bado más fno empleado dectamente en este caso al detecta que el coste aumenta al supea un detemnado valo de ado daía al mínmo local del coste como mínmo absoluto detenendo el algotmo.

99 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Fgua 3.26 Coste en funcón del ado. 0 cagas mágenes y fuente en c Poscón : Tpo Técnca Nº cagas Pont-matchng Vaacón del ado Eo Rado.200 mínmo local mínmo local convege e e e convege convege e e convege Tabla 3.0 Coste vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en d Poscón : Nº cagas Tpo Técnca Pont-matchng Vaacón del ado 2.872e- 004 Eo Rado.200 mínmo local.200 mínmo local convege 6 convege.700 convege 2.557e e convege Tabla 3. Coste vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Compobamos como en esta poscón hay tes casos en los que una vaacón del ado no popocona un coste meno que el ognal. Esto se poduce paa un númeo de mágenes elatvamente elevado cuando el eo ya es educdo. Destacamos la utldad del método paa educ de foma muy mpotante el coste paa un númeo de mágenes más educdo en algunos casos de foma espectacula 5-0 mágenes.

100 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen e Poscón : Tpo Técnca Nº cagas Pont-matchng Vaacón del ado Eo Rado.200 mínmo local.200 mínmo local convege.900 convege.800 convege e e e e convege Tabla 3.2 Coste vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en f Poscón : Nº cagas Tpo Técnca Pont-matchng Vaacón del ado Eo Rado.000 mínmo local.0900 mínmo local.0600 mínmo local.4300 convege.0400 mínmo local.300 mnmo local Tabla 3.3 Coste vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Podemos obseva como en cas todos los casos obtenemos un coste mucho meno que con la técnca ognal eceptuando claamente la poscón En este caso la caga fuente se encuenta muy póma a la paed del clndo po lo que poduce un pco de potencal en ella que las cagas mágenes de nuesto método al esta stuadas de foma smétca alededo del clndo no pueden contaesta. No obstante s la caga se encuenta ceca de la paed del clndo 0.9 otas técncas se muestan mejoes que con la anteo ubcacón especalmente al emplea un númeo educdo de cagas mágenes. El eo se dsmnuye de una foma más dástca cuando el númeo de cagas mágenes es educdo ó el coste ncal de patda muy elevado y de una foma más modeada cuando el númeo de cagas mágenes es más elevado. En cuanto al efecto del ado en el coste hemos compobado que sempe se va a poduc un coste mínmo que puede o no concd con el coste al que convege cuando el ado aumenta mucho su valo es dec s el coste mínmo es el valo de convegenca o es un mínmo absoluto que se pesenta anteomente. Como pncpal desventaja de este método señalaemos que el coste computaconal paa consegu los esultados es elatvamente alto pues debemos calcula los potencales paa un gan númeo de stuacones y obtene el Coste paa cada uno de ellos opeacón computaconalmente costosa.

101 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Paa conclu podemos consdea la técnca como muy satsfactoa pues es muy efectva en la gan mayoía de los casos smple y fáclmente etensble a una geometía abtaa Optmzacón po descenso de gadente de las cagas Desaollo teóco Este método se basa en modfca el valo complejo de las cagas mágenes con el fn de optmzalo paa pode consegu así un coste mínmo. Tas esolve el sstema de ecuacones defndo en la ecuacón 3. ó 3.4 que son la msma obtenemos un conjunto de N valoes complejos uno paa cada caga q magen. Con estos valoes complejos de las cagas calculaemos el potencal escala en el nteo del clndo o la estuctua abtaa que hayamos defndo como estudamos de foma detallada en el Captulo 2. Po tanto debeemos de optmza el valo de las cagas que es una magntud compleja empleando paa ello un método de descenso de gadente. Es necesao defnnos de foma adecuada un Coste a optmza que no tene poqué concd con el coste de la apomacón del potencal escala defndo en la ecuacón 3.3 que nos daá el valo de las cagas buscado en cada teacón. En geneal una optmzacón po descenso de gadente sgue la estuctua: w w C 3.27 Paa nuesto caso vamos a optmza el valo complejo de las cagas po lo cada témno de la ecuacón se efee a: w w Valo complejo de las cagas en la teacón + es dec son los nuevos pesos que estamos calculando. Es una matz columna de pesos complejos que tendá como dmensón el númeo de mágenes empleadas. w Valo complejo coespondente a las cagas en la teacón es dec en la teacón anteo a la que estamos calculando. Se tata de una matz columna de pesos complejos. Constante de paso. wc Gadente de la funcón de Coste en la teacón -ésma. Po tanto la ecuacón que estamos defnendo en 3.27 puede escbse como: -77-

102 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen C q q q q 2 q2 C q q N qn C q q q N N N C q N la hoa de mplementa el algotmo patemos de unos pesos w que no seán aleatoos sno que tendán un valo elatvamente cecano al óptmo [y que son popoconados po el cálculo de q medante el Pont-Matchng]. Seá po tanto necesao calcula una funcón de Coste que sea devable en funcón de las cagas complejas. Paa ello ealzaemos dos vesones: a Funcón de coste ognal La funcón de Coste tal y como la habíamos obtendo anteomente peo sn consdea el valo absoluto seá: Coste Gvcydc 3.29 Contono Paa pode mplementa el algotmo necestamos calcula el gadente del coste que se taduce en una devada pacal especto a cada una de las cagas. Realzaemos el desaollo paa una caga abtaa p : wpcoste wp Gvcydc wpgvcydc 3.30 Contono Contono y como: wp Gv cy d dq p Gv o K qgv Gv p 3.3 Po lo que fnalmente y tenendo en cuenta todos los elementos tendemos: wcoste Gv w dc 3.32 Contono quí encontamos el poblema de que el gadente del coste no depende de los pesos empleados po lo que sempe ealzaá la msma actualzacón de las cagas ndependentemente de lo acontecdo en la teacón anteo lo que nos llevaía a un esultado eóneo. demás la defncón del coste es lgeamente dfeente a la de la ecuacón 3.3 y una mnmzacón del coste 3.8 no tene poqué mnmza el coste defndo en 3.3 ya que al desapaece el valo absoluto pueden dase casos en los que se cancelen vaos sumandos de dstnto sgno. -78-

103 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Es po todas estas azones po la que este esultado no es adecuado paa el cálculo del gadente del coste. b Funcón de coste cuadátca conjugada En este punto defnemos el coste a optmza como la ntegal del cuadado del valo absoluto de la funcón de Geen en el contono de la estuctua tal y como obsevamos en la ecuacón 3.33: 2 Coste Gvcy dc 3.33 Contono De esta foma optmzaemos tambén el coste defndo en la ecuacón 3.3 pues la optmzacón de una funcón al cuadado tambén optmza la funcón ognal. demás obsevamos que al se la funcón de Geen un númeo complejo se vefca la elacón: Gv cy 2 cy cy Gv Gv 3.34 Donde la notacón Gv cy mplca el númeo complejo conjugado de Gv cy. De esta foma podemos desaolla la ecuacón 3.33 tenendo en cuenta la defncón del potencal escala Gv : C oste Contono Gv Contono cy Gv o 2 dc K Gv Contono cy cy Gv cy dc qgv Gv o K qgv dc 3.35 Recodando gualdades de vaable compleja sencllas a b ab a a b b 3.36 podemos desaolla la ecuacón 3.35 con el fn de epesala en sus témnos consttuyentes: C oste Contono Contono Contono Gv o Gv o K q Gv Gv o qgv Gv o Gv o Gv o Gv o K K Gv o qgv K K K q Gv K q Gv qgv dc q Gv K dc q Gv dc 3.37 En este punto ya tenemos defndo el Coste que vamos a optmza medante la técnca de gadente descendente. Tal y como comentamos anteomente una vez defndo el Coste debeemos obtene su gadente que en la páctca se educe a -79-

104 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen -80- obtene la devada del coste defndo en la ecuacón 3.37 especto a cada una de las cagas magen que hayamos defndo en nuesto poblema en geneal seá un númeo N. l se el valo de las cagas complejos el gadente que debeemos obtene seá de la foma: Im Re... Im Re Im Re N N q q q C j q q C q q C j q q C q q C j q q C q C 3.38 Calculaemos en este punto la devada pacal del coste especto a una caga compleja abtaía p : Contono K K K o K o o o p oste q dc Gv q Gv q Gv q Gv Gv q Gv Gv Gv q C p 3.39 Esta devada la descompondemos en sus témnos consttuyentes: o En pme luga la ecuacón 3.40 es nula debdo a que el valo de la funcón de Geen en dos puntos cualesquea no va a depende nunca del valo complejo de una caga p. Contono o o p dc Gv Gv q o El segundo témno no se anulaá pues sí que depende del valo complejo de la caga p. No obstante en este caso debeemos ealza la devada especto a un vaable compleja q p tal y como defnmos en la ecuacón 3.4: 2 p Contono o p p p p p p Contono o p p p Contono o Contono p p p o K p Contono Contono o K o p Gv Gv dc Gv jq q q j Gv jq q q Gv Gv jq q q Gv Gv q q Gv Gv q q Gv dc Gv q Gv q 3.4 o El desaollo del tece témno se anula como podemos compoba en la ecuacón 3.42

105 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen p p Contono o p p p p p p Contono o p p p Contono o Contono p p p o K p Contono Contono o K o p Gv Gv Gv dc Gv jq q q j Gv jq q q Gv Gv jq q q Gv Gv q q Gv Gv q q Gv dc Gv q Gv q 3.42 o El cuato témno seá el más complejo de analza esultado: dc Gv Gv q dc Gv Gv Gv q Gv Gv q dc Gv jq q q j Gv q j q q Gv q Gv jq q q j Gv q j q q Gv q dc Gv q j q q Gv q Gv q j q q Gv q dc Gv q q Gv q q q dc Gv q Gv q q p Contono K p p K p Contono K p p p p p p K p p p p p p Contono K p p p p K p p p Contono p K Contono K K p Contono K K p Una vez analzados los cuato témnos en los que habíamos descompuesto la ecuacón 3.39 vamos a ecomponelos con el fn de obtene una epesón paa el gadente del Coste: Contono p K p o oste q dc Gv Gv q Gv Gv C p 3.44 De esta foma ya podemos emplea el algotmo po descenso de gadente pues tenemos calculado el gadente del coste. Debdo a la complejdad de las epesones con la que estamos tatando el coste computaconal de su evaluacón no es despecable no obstante vamos a tata de educlo empleando dos técncas de foma smultánea:

106 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen juste dnámco del paso μ defndo en la ecuacón 3.6 En pme luga al comenza con la ejecucón del algotmo empleaemos un valo de paso μ elatvamente elevado con el fn de que eduzcamos el coste lo mámo posble en cada teacón. En caso de que al emplea este paso no obtengamos una educcón sno que el coste aumente educemos el valo de μ y volveemos a epet la teacón vendo s ahoa el coste se educe. De esta foma empezaemos el algotmo con un paso más gueso que se educá confome nos vayamos acecando haca la convegenca del coste donde el paso automátcamente tendá un valo más fno. Detencón dnámca del algotmo con un cteo de convegenca Defnemos un cteo de paada del algotmo cuando en las 5 últmas teacones el coste obtendo no dfea ente s más de un 0.0% detectando así que el coste se ha establzado y detenendo el algotmo de foma automátca mnmzando po tanto el coste computaconal. De esta foma ya tenemos totalmente defndo nuesto algotmo de gadente descendente: Hemos calculado el gadente de su eo tenemos unos valoes complejos de caga de patda y hemos defndo unos cteos dnámcos de gestón del paso y de detencón del algotmo. La técnca empleada obtendá un valo complejo de las cagas que nos popoconen un mínmo local en la funcón de Coste consguendo así una mayo pecsón en las funcones de Geen paa calcula el potencal escala que en el caso ognal estudado en el Captulo 2. Es nteesante el estudo de la convegenca del algotmo en funcón tanto de la poscón de la caga fuente en el nteo del clndo como de la poscón de las cagas mágenes. El algotmo se mostaá efectvo cuando la stuacón ncal de la que patamos esté ceca de un mínmo local de la funcón coste. La dstbucón de las cagas no afecta al funconamento del método peo sí que nfluye en la foma en el que éste puede alcanza sus esultados. Una dstbucón de cagas empleando planos smétcos patá de una stuacón mucho más genéca que una dstbucón de cagas magen ccula que se haya sometdo a una optmzacón de su ado pues ya estaemos muy ceca de un mínmo local y el magen de mejoa posble es más educdo. En funcón del númeo de cagas mágenes empleadas el método se muesta más efectvo paa un númeo no muy elevado de las msmas 0-20 pues deja un mayo magen de vaacón del valo de las cagas. En cuanto al coste computaconal del algotmo éste se educe de foma consdeable medante una gestón dnámca del paso de actualzacón y de la detencón del algotmo sendo cas despecable en el caso de que nos encontemos en un punto de patda cecano a un mínmo local. Señala fnalmente que la técnca de gadente descendente no está sujeta en nngún momento a estuctua geométca de la cavdad a analza y aunque patamos del caso del clndo los desaollos son dectamente etensbles a cualque ota geometía. -82-

107 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Resultados obtendos Los esultados obtendos muestan como el método popuesto es efcaz pncpalmente cuando el númeo de cagas empleadas no es muy elevado. Vamos a desaolla un caso patcula paa compoba el funconamento del método mostando posteomente los esultados paa una gan cantdad de poscones de la fuente en el nteo del clndo y de númeo de mágenes. Supongamos un clndo de ado a en el que está stuada una caga ogen en la poscón y sobe la que stuamos 0 cagas mágenes paa satsface las condcones de contono. La stuacón la podemos obseva en la fgua 3.27: Fgua 3.27 Stuacón con 0 mágenes y fuente en En este caso el eo de la apomacón del potencal escala es de: Eo Podemos obseva la dstbucón del potencal escala en el contono del clndo compobando como tenemos 0 nulos coespondentes a las 0 condcones mpuestas y como el valo ente estos nulos tene valoes elatvamente elevados: Fgua 3.28 Repesentacón Potencal escala en funcón del ángulo. 0 mágenes y fuente en ogen -83-

108 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Destacamos la falta de smetía de la epesentacón debdo a que la fuente no se encuenta centada en el nteo del clndo. Sobe esta confguacón vamos a emplea la optmzacón po descenso de gadente obtenendo una educcón del coste en funcón del númeo de teacón mostada po la fgua 3.29: Fgua 3.29 Evolucón del Coste en funcón del númeo de teacón paso dnámco. Empleo de 0 mágenes y fuente stuada en la poscón Compobamos como en la fgua anteo obtenemos un coste mínmo en un númeo de teacones elatvamente educdo hemos espeado convegenca de un 0.0% en las últmas 5 teacones paa da po fnalzado el algotmo. S hubéamos escogdo un paso meno y fjo el esultado fnal hubea sdo el msmo peo habíamos necestado un númeo de teacones muy supeo como muesta la fgua 3.30: Fgua 3.30 Evolucón del Coste en funcón del númeo de teacón paso fjo. Empleo de 0 mágenes y fuente stuada en la poscón

109 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen De esta foma consegumos un eo fnal de valo: Eo Obsevamos como hemos obtendo una educcón del eo muy mpotante con un coste computaconal modeado. Veamos ahoa la dstbucón del potencal escala en el contono del clndo: Fgua 3.3 Repesentacón Potencal escala en funcón del ángulo tas optmza el valo complejo de las cagas. Empleo de 0 mágenes y fuente stuada en el ogen Podemos compoba como los valoes sobe los que nos movemos son mucho más educdos mantenéndose báscamente los 0 nulos povocados po las 0 condcones de las cagas aunque esto no tene poqué se así. En geneal el nuevo potencal escala alededo del clndo tas optmza el valo complejo de las cagas no tene poqué guada nnguna elacón con el ognal salvo descensos acusados que no nulos en las puntos tangentes del clndo donde mpusmos las condcones de contono. Mostaemos a contnuacón cual es el valo fnal del coste obtendo en este método en funcón del númeo de cagas magen empleadas y de la poscón de la fuente en el nteo del clndo [ ]. Indcaemos en ojo aquellos esultados que mejoen especto al valo ncal de cagas mágenes. a Poscón 00: e Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Optmzacón del valo de las cagas 7.487e E e e e e- 008 Tabla 3.4 Coste optmzando cagas paa dstntos nº de mágenes poscón fuente en

110 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen b Poscón : Nº cagas Tpo Técnca Pont-matchng Optmzacón del valo de las cagas e e e e e e- 008 Tabla 3.5 Coste optmzando cagas paa dstntos nº de mágenes poscón fuente en c Poscón 0.40: e- 003 Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Optmzacón del valo de las cagas e e e e- 007 Tabla 3.6 Coste optmzando cagas paa dstntos nº de mágenes poscón fuente en c Poscón : Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Optmzacón del valo de las cagas e e e e e e-005 Tabla 3.7 Coste optmzando cagas paa dstntos nº de mágenes poscón fuente en

111 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen d Poscón 0.50: Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Optmzacón del valo de las cagas e e e e- 006 Tabla 3.8 Coste optmzando cagas paa dstntos nº de mágenes poscón fuente en e Poscón : Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Optmzacón del valo de las cagas Tabla 3.9 Coste optmzando cagas paa dstntos nº de mágenes poscón fuente en Una vez analzado el compotamento del algotmo podemos etae algunas conclusones aceca de sus esultados: o o o o El método sempe popoconaá esultados con un coste gual o nfeo al coste que teníamos de patda antes de optmza las cagas. Obsevamos como los esultados obtendos son bastante satsfactoos obtenendo una educcón del coste muy sgnfcatva cuando empleamos un númeo no muy elevado de mágenes y la caga fuente no está muy póma al bode del clndo. El algotmo consgue mejoes esultados cuando el númeo de cagas empleadas no es muy elevado: la eplcacón de este compotamento es que al aumenta el númeo de cagas estas van popoconando costes cada vez más pequeños dejando un meno magen de mejoa. demás el tene que optmza de foma smultánea un gan númeo de cagas hace que sea más pobable cae en un mínmo local pues la estenca de éstos al habe más cagas es más pobable. S la fuente se encuenta pegada al contono de la cavdad las cagas mágenes no pueden contaesta el pco de potencal escala poducdo po la caga fuente po lo que la optmzacón de su valo complejo no da esultados váldos.

112 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen o Como pncpal desventaja ndcaemos que pesenta un coste computaconal elatvamente elevado aunque es contolado con la gestón dnámca del paso de actualzacón y la detencón automátca del algotmo al llega a la convegenca Optmzacón po descenso de gadente de las poscones Desaollo teóco Este método se basa en modfca las poscones de las cagas magen con el fn de optmzalas paa obtene de esta foma un coste mínmo. l esolve el sstema de ecuacones defndo en la ecuacón 3. ó 3.4 que son la msma obtenemos un conjunto de N solucones complejas con las que podemos ecompone el potencal en el nteo de la estuctua a analza. Paa el planteamento de este sstema habíamos supuesto unas poscones conocdas de las cagas magen como po ejemplo stualas de foma especula a un plano tangente a cada punto del clndo. En este método se popone optmza la poscón de las cagas magen en sus ejes e y de tal foma que las nuevas poscones de las cagas calculadas popoconen un coste mínmo. Paa el cálculo de estas nuevas poscones empleaemos un método de descenso de gadente de foma smla al utlzado paa optmza los valoes complejos de las cagas. No obstante en este caso los valoes a optmza son eales y no complejos como el valo de las cagas y además se deben optmza dos paámetos de foma conjunta las poscones en el eje y en el eje y. La actualzacón de las poscones de cada magen se ealzaá medante la conocda fómula del gadente descendente: C y y C w w 3.45 Donde: y Poscones que estamos calculando paa cada una de las cagas en una nueva teacón +. Tataemos todas las poscones de foma conjunta sendo ' ' e ' y ' vectoes columna de dmensón N es dec el númeo de cagas estentes. y Poscones de cada caga en la teacón anteo que nos sve de patda paa obtene las poscones en la teacón actual. Constante de paso. wc Gadente de la funcón de Coste. De esta foma patendo de unas poscones ncales que seán popoconadas po el método de las mágenes especulaes a una ecta tangente epuesto en el capítulo 2 el algotmo á evoluconando encontando aquellas poscones paa las cagas -88-

113 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen magen que mnmcen el coste. Paa completa el algotmo seá necesao defnnos un Coste devable especto a las poscones; pesentaemos dos vesones smlaes a las mostadas en la optmzacón de las cagas. a Funcón de coste ognal La funcón de Coste tal y como la habíamos obtendo anteomente peo sn consdea el valo absoluto seá: C oste Gv Contono cy dc 3.46 Paa pode mplementa el algotmo necestamos calcula el gadente del coste que se taduce en una devada pacal especto a la poscón e y de todas las cagas magen. l se ambas devadas muy smlaes ealzaemos los cálculos paa la poscón de las cagas etendendo de foma natual su esultado a las poscones y. Realzaemos el desaollo paa poscón abtaa : Coste Gvcydc Gvcydc 3.47 Contono Contono De donde: Gv cy d d Gv o K qgv q d d Gv 3.48 En este punto obsevamos que es necesao ealza la devada de la funcón de Geen especto a la poscón ' '. En pme luga patmos de la dstanca euclídea ente dos puntos: ' ' 2 y y' ' y y' 2 Y obtendemos su devada especto a la poscón ' de una caga abtaa: 2 2 ' y y' ' y y' d ' d d' d' ' ' 2 2 ' y y' ' ' 3.50 Fnalmente podemos ealza la devada de la funcón especto de la poscón ' de una caga abtaía basándonos en los esultados pacales anteoes: -89-

114 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen ' 3 ' 3 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' j e j e e e j e e j e d d d d e j e d d d dgv j j j j j j j j j 3.5 Paa el caso dual especto a la poscón ' y obtenemos un esultado smla: 3 ' ' ' ' ' j y y e dy dgv j 3.52 De esta foma podemos econstu la ecuacón 3.27 obtenendo el gadente del coste que empleaemos paa optmza las poscones de las cagas magen: dc j e q C Contono j oste 3 ' ' ' ' 3.53 El gadente del coste empleado paa optmza las poscones y de las cagas magen se obtene de una foma totalmente dual esultando: dc j y y e q y C Contono j oste 3 ' ' ' ' 3.54 Compobamos en este punto como a dfeenca del caso de la optmzacón de las cagas el empleo de esta defncón del coste s que depende de las poscones actualzándose en cada teacón. No obstante el esultado de la actualzacón del gadente es un valo complejo debdo a que no hemos tomado valo absoluto en la defncón del coste mentas que la cantdad a actualza las poscones son eales. Se han pobado solucones ntemedas como actualza los pesos con el valo absoluto de las poscones actualzadas evtando así la pate compleja que aunque han popoconado esultados coectos no han sdo tan satsfactoos como los espeados. Po estas azones se ha fomulado y pogamado el algotmo con un coste altenatvo que s tene en cuenta estas patculadades. b Funcón de coste cuadátca conjugada En este punto defnemos el coste a optmza como la ntegal del cuadado del valo absoluto de la funcón de Geen en el contono de la estuctua tal y como obsevamos en la ecuacón 3.55:

115 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen -9- dc Gv C Contono cy oste De esta foma optmzaemos tambén el coste defndo en la ecuacón 3.3 pues la optmzacón de una funcón al cuadado tambén optmza la funcón ognal. Realzando un desaollo análogo al ealzado en la optmzacón de las cagas complejas ecuacones 3.33 a 3.37 podemos desaolla la epesón 3.55 del coste en una más manejable como la epesada en la ecuacón 3.56: Contono K K K o K o o o oste dc Gv q Gv q Gv q Gv Gv q Gv Gv Gv C 3.56 En este punto ya tenemos defndo el Coste que vamos a optmza medante la técnca de gadente descendente. contnuacón debeemos de obtene su gadente especto a las poscones de las cagas magen en el eje y en el eje y ; al gual que en el caso anteo desaollaemos el gadente paa las poscones en obtenendo el esultado paa las y po smltud. Calculaemos en este punto la devada pacal del coste especto a una poscón de una caga magen abtaa p : Contono K K K o K o o o p oste dc Gv q Gv q Gv q Gv Gv q Gv Gv Gv p C 3.57 Esta devada la descompondemos en sus témnos consttuyentes paa pode analzala de foma más smple: o En pme luga la ecuacón 3.58 coespondente al pme témno de la ecuacón 3.56 es nula debdo a que el valo de la funcón de Geen en el contono de la estuctua debdo a la caga fuente no va a depende nunca de la poscón en el eje de una caga abtaa: Contono o o p dc Gv Gv o El segundo témno no se anulaá pues s que depende de la poscón de una caga abtaa p :

116 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen -92- dc j e q Gv Gv q Gv Gv q Gv dc Gv q Gv j p Contono o Contono p p p o K p Contono Contono o K o p 3 ' ' ' ' 3.59 o El desaollo del tece témno tampoco se anulaá esultando: dc j e q Gv Gv q Gv Gv q Gv dc Gv q Gv j p Contono o Contono p p p o K p Contono Contono o K o p 3 ' ' ' ' 3.60 o El desaollo del cuato témno seá: dc j e Gv q q j e Gv q q dc G Gv q q Gv Gv q q dc Gv q Gv q j K p j Contono K p Contono p p v K p p p K p Contono K K p 3 ' 3 ' ' ' ' ' ' ' 3.6 ntes de ecompone los cuato témnos en los que habíamos descompuesto la ecuacón 3.57 vamos a defnnos unas funcones aulaes concetamente las devadas de la funcón de Geen: 3 ' ' ' ' ' ' ' j e d dgv F j 3 ' ' ' ' ' ' ' j e d dgv F j 3.62 sí podemos obtene el gadente del coste especto la poscón de una caga magen cualquea p como:

117 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen p C oste Contono q p Gv F q G F 0' p' p v 0' p' K K dc q p qgv F p ' q qgv F p p' 3.63 De gual foma que hemos defndo el coste especto a las poscones en de las cagas mágenes podemos defnlo especto a las poscones y ; paa ello usaemos la ecuacón 3.63 sn más que susttu la funcón aula F po ota que tenga en cuenta la poscón en y de las cagas. Esta funcón paa las poscones y queda defnda en la ecuacón 3.64: j ' dgv ' e y y' j ' F ' 3 dy' ' 3.64 j ' dgv ' e y y' j ' F ' 3 dy' ' De esta foma ya podemos emplea el algotmo po descenso de gadente pues tenemos calculado el gadente del coste. De foma páctca se ealzan dos algotmos de descenso de gadente de foma smultánea: uno paa las poscones en de las cagas magen y oto paa las poscones y. Como esultado de esta optmzacón cada una de las cagas se va movendo po el espaco 2D paa enconta una poscón que en conjunto con todas las cagas magen mnmcen el coste y sean capaces de obtene una epesentacón de los potencales en el nteo de la cavdad de foma más fdedgna. El coste computaconal en este caso no es despecable pues estamos ealzando dos algotmos teatvos po descensos de gadente sendo tanto el cálculo del gadente del coste como el coste en s muy complejos de calcula. Tataemos de contola este coste empleando dos técncas de foma smultánea smlaes a las usadas en la optmzacón del valo complejo de las cagas. juste dnámco del paso μ defndo en la ecuacón 3.24 El ajuste del paso se ealzaá de foma dnámca tatando de educ al mámo el coste computaconal del algotmo. Paa ello empezaemos el algotmo con un valo de la constante elevado educéndolo pogesvamente en las teacones en las que no se consga educ el eo. Su gestón es déntca a la ealzada en la optmzacón del valo complejo de las cagas y consgue educ el coste computaconal de foma consdeable. Detencón dnámca del algotmo con un cteo de convegenca Defnemos un cteo de paada del algotmo cuando en un númeo dado de teacones po ejemplo 5 el valo obtendo de los costes pesente una vaacón muy educda po ejemplo del 0.0%. De esta foma se detecta que el algotmo alcanzó la convegenca detenendo su ejecucón. -93-

118 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen En este punto tenemos defndo de foma global la optmzacón de las poscones de las cagas: hemos obtendo el gadente del coste tanto paa las poscones en como paa las poscones en y tenemos unos valoes de patda con los que comenza el algotmo los popoconados po la stuacón ncal de las cagas y hemos defndo unos cteos dnámcos de gestón del paso y detencón del algotmo. Los esultados obtendos po este método mejoan sensblemente tanto en velocdad de ejecucón como en esultados fnales a los logados po el método de optmzacón de poscones con funcón de coste ognal; ello es debdo a la actualzacón con valoes eales de las poscones sn necesdad de toma valo absoluto o de toma úncamente la pate eal y a que la funcón de coste tomada al se cuadátca pesenta una velocdad de convegenca supeo. Este método es especalmente efcaz en stuacones patculaes en la que otos métodos no popoconaban buenos esultados: especalmente cuando acecamos la fuente a las paedes de la estuctua que estamos analzando. En ese caso una dstbucón smétca de cagas o una optmzacón de sus valoes no es sufcente paa educ el eo; no obstante una vaacón de la poscón de todas las cagas stuándose de foma apopada sí que consgue una educcón del coste. Es nteesante el estudo de la convegenca del algotmo en funcón tanto de la poscón de la caga fuente en el nteo del clndo como del númeo de cagas magen empleado. l aumenta el númeo de mágenes empleado se educe el magen de mejoa que el algotmo puede ealza ya que es más pobable que caga en un mínmo local pues su pesenca aumenta confome aumenta el númeo de caga mágenes empleadas. Respecto a la poscón de la caga fuente en el nteo de la cavdad paa un caso geneal consgue mejoa el coste ncal aunque esta mejoía es nfeo a la de otos métodos debdo a que se llega con ceta asdudad a un mínmo local; no obstante cuando la caga fuente se stúa ceca de las paedes es el únco método capaz de educ el eo popoconando unos esultados de los potencales más váldos. Oto facto a tene en cuenta es la poscón de patda de las cagas antes de nca el algotmo y su stuacón en cecanía con posbles mínmos locales: una poscón de patda elatvamente cecana a ota puede popocona esultados mucho mejoes. En cuanto al coste computaconal obtendo este es sensblemente supeo al de la optmzacón del valo complejo de las cagas; esto es debdo a que paa obtene la actualzacón de las poscones se equee calcula en cada teacón las ntegales de la ecuacón 3.57 mentas que en el oto caso pate de las opeacones ean comunes a todas las teacones. Este alto coste se ntenta mtga con la gestón dnámca del paso y una deteccón óptma aunque sgue sendo elatvamente alto en la mayoía de los casos. En el desaollo de la optmzacón no se ha tendo en cuenta en nngún momento la geometía de la cavdad que se está analzando. Es po ello po lo que este método es fáclmente etensble a cualque ota estuctua sn apenas modfcacones. Fnalmente ndca que se pueden combna las dos técncas de optmzacón pesentadas tanto paa las poscones como las cagas. De esta foma obtendemos una poscón y unos valoes complejos de las cagas magen óptmos. -94-

119 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Resultados obtendos Los esultados obtendos muestan como el método popuesto es efcaz pncpalmente cuando el númeo de cagas empleadas no es muy elevado y cuando la caga fuente en el nteo de la cavdad se stúa elatvamente ceca de algunas de las paedes. Vamos a desaolla un caso patcula paa compoba el funconamento del método mostando posteomente los esultados paa una gan cantdad de poscones de la fuente en el nteo del clndo y de númeo de mágenes. Supongamos un clndo de ado a en el que está stuada una caga ogen en la poscón y sobe la que stuamos 0 cagas mágenes paa satsface las condcones de contono. La stuacón la podemos obseva en la fgua 3.32: Fgua 3.32 Stuacón con 0 mágenes y fuente en En este caso el eo de la apomacón del potencal escala es de: Eo Podemos obseva la dstbucón del potencal escala en el contono del clndo compobando como tenemos 0 nulos coespondentes a las 0 condcones mpuestas y como el valo ente estos nulos tene valoes elatvamente elevados: Fgua 3.33 Potencal escala en funcón del ángulo. 0 mágenes y fuente en

120 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Destacamos la falta de smetía de la epesentacón debdo a que la fuente no se encuenta centada en el nteo del clndo. Sobe esta confguacón vamos a emplea la optmzacón po descenso de gadente de las poscones obtenendo una educcón del coste en funcón del númeo de teacón. Necestamos llega a un compomso ente coste computaconal y la educcón del coste buscada; así mostaemos dos casos con dstnto cteo de paada paa obseva la nfluenca del msmo: Cteo de paada pmando velocdad a Cteo de paada pmando coste b Fgua 3.34 Repesentacón de la evolucón del coste y de las poscones de las cagas magen al ealza una optmzacón de las poscones. 0 mágenes y fuente en En la fgua anteo podemos obseva como el método funcona educendo de foma sgnfcatva el eo poducdo al mplementa los potencales. En el caso a donde se ha pmado la velocdad de convegenca vemos que se han necestado un númeo de teacones modeado ceca de las 50 consguendo un coste bastante educdo de fente al coste ognal de 23.9; es sgnfcatva la dsposcón que han tomado las mágenes: dos de ellas se han colocado enfente de la caga fuente stuada en el nteo de la cavdad tatando de contaesta los valoes más altos que se poducen en esa zona mentas que el esto de mágenes más alejadas apenas han modfcado su poscón. En el caso b se han necestado un gan númeo de teacones paa educ el eo hasta el magen deseado en total 550 teacones paa obtene un coste de Obsevamos como el eo se ha educdo poco en compaacón del gan coste computaconal que se ha empleado; tambén es sgnfcatvo la stuacón fnal de las cagas magen: tes de ellas se stúan cas en confontacón con la caga fuente tatando -96-

121 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen de lmta los valoes de pco en la estuctua mentas que el esto se stúan alededo de la cavdad en una stuacón más alejada. Con esta últma confguacón obtenemos una dstbucón del potencal en el contono de la estuctua ccula de: Fgua 3.35 Potencal escala en funcón del ángulo tas optmza las poscones de las cagas magen. 0 mágenes y fuente en Obsevamos como han desapaecdo los 0 nulos povocados po las 0 condcones de las cagas obtenendo una dstbucón que en meda es mucho más educda. La nueva dstbucón obtenda no tene po qué guada nnguna elacón con la ognal. Compobamos de esta foma como el método de optmzacón de las poscones es efectvo popoconando una epesentacón de los potencales más eacta que el método ognal pesentado en el capítulo 2. Posteomente ealzaemos una compaatva ente los dstntos métodos paa analza las mejoas de cada uno y las ventajas de emplealos de foma conjunta. Mostaemos a contnuacón cual es el valo fnal del coste obtendo en este método en funcón del númeo de cagas magen empleadas y de la poscón de la fuente en el nteo del clndo [ ]. Indcaemos en ojo aquellos esultados que mejoen especto al valo ncal de cagas mágenes. Poscón 00: Tpo Técnca Nº cagas Pont-matchng Optmzacón de las poscones e e e e e e e- 008 Tabla 3.20 Coste optmzando poscones paa dstntos nº de mágenes fuente en

122 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Poscón : Nº cagas Tpo Técnca Pont-matchng Optmzacón de las poscones E e e e e e e- 007 Tabla 3.2 Coste optmzando poscones paa dstntos nº de mágenes fuente en Poscón 0.40: e e e- 003 Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Optmzacón de las poscones e E- 005 Tabla 3.22 Coste optmzando poscones paa dstntos nº de mágenes fuente en Poscón : Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Optmzacón de las poscones e e e e e e-005 Tabla 3.23 Coste optmzando poscones paa dstntos nº de mágenes fuente en Poscón 0.50: e e e- 003 Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Optmzacón de las poscones e e- 005 Tabla 3.24 Coste optmzando poscones paa dstntos nº de mágenes fuente en 0.5 0

123 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Poscón : -99- Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Optmzacón de poscones Tabla 3.25 Coste optmzando poscones paa dstntos nº de mágenes fuente en Una vez analzado el compotamento del algotmo podemos etae algunas conclusones aceca de sus esultados: o El método sempe popoconaá esultados con un coste gual o nfeo al coste que teníamos de patda antes de optmza las poscones. o Obsevamos como los esultados obtendos son satsfactoos fundamentalmente cuando la caga fuente se stúa ceca de las paedes de la estuctua a analza. Paa el esto de casos aunque poduce mejoas apecables son nfeoes a las del esto de métodos analzados. o o El algotmo consgue mejoes esultados cuando el númeo de cagas empleadas no es muy elevado: la eplcacón de este compotamento es que al aumenta el númeo de cagas estas van popoconando costes cada vez más pequeños dejando un meno magen de mejoa. demás el tene que optmza de foma smultánea la poscón de un gan númeo de cagas hace que sea más pobable cae en un mínmo local. Como pncpal desventaja ndcaemos que pesenta un coste computaconal elatvamente elevado que aunque es contolado con la gestón dnámca del paso de actualzacón y la detencón automátca del algotmo sgue sendo muy supeo al del esto de métodos Empleo de métodos de foma conjunta y compaacón En este apatado vamos a ealza la unón de las técncas utlzadas anteomente paa la optmzacón de las poscones y valoes de las cagas que empleamos en el cálculo de las funcones de Geen. Concetamente combnaemos la técnca de emplea un conjunto de cagas con una poscón ccula en la que vaamos el ado paa mnmza el coste es dec ve la eacttud con la que se satsfacen las condcones de contono en la paed del clndo con las técncas de optmzacón de las poscones y cagas medante una algotmo de gadente descendente. Todos estos métodos han sdo epuestos de foma ndvdual compobando la coeccón de sus esultados; tataemos de un las tes técncas con el fn de obtene unos esultados óptmos.

124 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Fnalmente ealzaemos una compaatva de la mejoía del eo a la hoa de epesenta los potencales obtendos con cada uno de los métodos popuestos vendo las ventajas e nconvenentes de cada uno de ellos. En pme luga patendo de la stuacón y valoes ognales de las cagas mágenes empleaemos una técnca de ubcacón de las cagas magen como puede se la vaacón del ado tas coloca las mágenes de foma ccula o la optmzacón de las poscones medante gadente descendente y posteomente la técnca de optmzacón de las poscones. El empleo de ambas técncas de foma conjunta conseguá una educcón del coste en la mayoía de las ocasones obtenendo los valoes mínmos dstntos métodos en funcón de la confguacón del poblema po ejemplo en cetas ocasones es más efectvo emplea las dos optmzacones y en otas emplea pmeo la vaacón del ado y luego la optmzacón de las cagas. Mostaemos a contnuacón cual es el valo fnal del coste obtendo po los dstntos métodos tanto los comentados en apatados anteoes como la combnacón de los msmos en funcón del númeo de cagas magen empleadas y de la poscón de la fuente en el nteo del clndo [ ]. Indcaemos en ojo aquellos esultados que mejoen especto al valo ncal de cagas mágenes. a Poscón 00: e e E E E E E E E E E e e E Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Solo vaía ado Solo optm. cagas Vaacón ado + optmza cagas Optmza poscones Optmza poscones y cagas e e-007 Tabla 3.26 Compaatva dstntos métodos de optmzacón en funcón del númeo de mágenes fuente en

125 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen b Poscón : Optmza poscones Optmza poscones y cagas e e e e e e e e e e e e e Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Solo vaía ado Solo optm. cagas Vaacón ado + optmza cagas e e e e e e e e e e- 008 Tabla 3.27 Compaatva dstntos métodos de optmzacón en funcón del númeo de mágenes fuente en c Poscón 0.40: Solo vaía ado Solo optm. cagas Vaacón ado + opt cagas e e e e e- 004 Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng e e e e e e e e- 007

126 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Optmza poscones Optmza poscones y cagas e e e e e e- 007 Tabla 3.28 Compaatva dstntos métodos de optmzacón en funcón del númeo de mágenes fuente en d Poscón : Optmza poscones Optmza poscones y cagas e e e- 002 Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Solo vaía ado Solo optm. cagas Vaacón ado + optmzacón cagas.3208e e e e e e e e e e e e e e e-005 Tabla 3.29 Compaatva dstntos métodos de optmzacón en funcón del númeo de mágenes fuente en e Poscón 0.50: e e e e e e e e- 003 Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Solo vaía ado Solo optm. cagas

127 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Vaacón ado + opt cagas Optmza poscones Optmza poscones y cagas e e e e e e e e e-006 Tabla 3.30 Compaatva dstntos métodos de optmzacón en funcón del númeo de mágenes fuente en f Poscón : Nº cagas Tpo Técnca Pontmatchng Solo vaía ado Solo optm. cagas Vaacón ado + opt cagas OptmCza poscones Optmza poscones y cagas Tabla 3.3 Compaatva dstntos métodos de optmzacón en funcón del númeo de mágenes fuente en Obsevamos en las tablas anteoes como en la mayoía de las ocasones el mejo de los esultados se poduce al emplea de foma conjunta un método de optmzacón de las poscones po gadente o po vaacón del ado y el método de optmzacón del valo complejo de las cagas po descenso de gadente. Podemos destaca algunas conclusones sobe los métodos empleados: o La combnacón de los métodos es efcaz en un pocentaje muy alto de ocasones popoconando un eo mínmo. No obstante pesenta el nconvenente de tene un coste computaconal muy elevado.

128 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen o o o Obsevamos como en geneal la mejoía sempe se poduce cuando el númeo de cagas mágenes empleadas es educdo dejando un mayo magen paa posbles mejoas y evtando la estenca de una gan cantdad de mínmos locales donde pudea cae alguno de los algotmos. la hoa de analza ccutos geneales stuados nomalmente en el nteo de la cavdad es más útl emplea la vaacón dnámca del ado capaz de popocona esultados adecuados. La optmzacón posteo del valo complejo de las cagas suele popocona una mejoa elatva adconal. En el caso de quee analza cagas fuentes stuadas ceca de las paedes de la estuctua el mejo método seá la optmzacón po gadente descendente de las poscones de las cagas con una optmzacón posteo del valo complejo de las cagas. Este método es el que pesenta mayo coste computaconal peo pemte mejoas sustancales especto a cualque oto método Conclusones lo lago de este apatado hemos do analzando las dstntas fomas de optmzacón del potencal escala mejoando el coste de su mplementacón defndo en la ecuacón 3.3 con el fn de obtene una epesentacón de los potencales en el nteo de la cavdad lo más eacta posble. En pme luga pesentamos el método de Integacón po pulsos que fue mplementado con muchas vaantes. Este método consstente en pomeda el valo del potencal en el contono de la estuctua logaba benefcos puntuales en algunos casos patculaes peo no suponía una mejoa claa especto al método ognal. Posteomente pasamos a descb el método de ubcacón de nulos de potencal en los pcos de potencal que consstía en ntoduc una nueva condcón de contono en la paed de la estuctua que tuvea un mámo de potencal escala. Este método evoluconaba de una stuacón ncal stuando estas nuevas condcones de foma teatva en los pcos de potencal. Consegumos esultados satsfactoos cuando la caga fuente se encontaba muy ceca de la paed y estía un pco de potencal muy macado educendo el coste de la mplementacón de foma notable. No obstante paa un caso geneal donde no este un pco pedomnante sobe los demás el método povocaba un desajuste en la dstbucón del potencal aumentando el coste de su mplementacón. Después pasamos a eamna el método de vaacón del ado consstente en stua las cagas mágenes de foma ccula alededo de la estuctua y vaa su ado de tal foma que se optmce el coste; este método podujo unos esultados muy satsfactoos educendo el eo de la mplementacón en todos los casos eceptuando aquellos en los que la caga se stúa muy ceca de las paedes. contnuacón ntodujmos lo métodos de gadente descendente. El pmeo de ellos optmza el valo complejo de las cagas que se encuentan en una stuacón dada consguendo unos esultados váldos en cas todas las stuacones especalmente cuando la caga fuente se encuenta ceca del cento del clndo. El segundo optmza las poscones de las msmas en el plano -y obtenendo unas educcones de coste notable fundamentalmente al aceca la caga fuente a las paedes del clndo. Como nconvenente de estos métodos señala que su coste computaconal es más elevado que -04-

129 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen el del esto a pesa de que ha sdo contolado y modeado con técncas como una gestón dnámca del paso de actualzacón o una deteccón automátca del algotmo. El últmo de los métodos pesentados consstó en una combnacón de técncas se basaba en vaa pmeo la poscón de las cagas mágenes medante una técnca de vaacón del ado u optmzacón de las poscones y luego optmza el valo complejo de las cagas. Esta técnca compuesta ha popoconado los mejoes esultados en todas las stuacones dsmnuyendo el eo de foma sustancal especto al popoconado po Pont-Matchng. demás pesenta la ventaja de no depende del tpo de estuctua que se está analzando sendo fáclmente etensble a geometías abtaas. Como conclusón debemos ndca que la optmzacón del potencal escala dependeá fundamentalmente de la poscón de la caga fuente en el nteo del clndo y que en funcón de ésta unos métodos popoconaan unos esultados más satsfactoos que otos. Paa un caso geneal de análss de la estuctua al stuase los ccutos actvos en el nteo de la msma y no ceca de las paedes se ecomenda el empleo del método combnado de la vaacón del ado y optmzacón posteo del valo complejo de las cagas ya que consgue educ consdeablemente el eo y pesenta un coste computaconal modeado. -05-

130 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen 3.3 Optmzacón del potencal vecto 3.3. Intoduccón En este apatado vamos a tata de analza y optmza el potencal vecto paa la estuctua bajo análss en este caso un clndo. La mayo complejdad en las ecuacones que defnen el potencal vecto fente al potencal escala hacen que este análss y optmzacón sea mucho más complejo hacendo nvables muchas de las técncas empleadas anteomente como po ejemplo la optmzacón po gadente. Vamos a defnnos en pme luga un concepto de Coste smla al hallado al potencal escala aunque no seá gual n en epesón caacteístca n en valoes elatvos. Posteomente tas obtene los valoes de Coste popoconados po la técnca de Pont-Matchng en dvesas stuacones tataemos de optmza este coste medante la técnca de vaacón del ado de los dpolos mágenes. Po la teoía desaollada en el Capítulo 2 sabemos que en los N puntos dscetos de la estuctua se deben de satsface las ecuacones defndas po el sguente sstema: N N yy y sn G I cos G I sn G cos N N C I sn N C y I y cos C De donde obteníamos los valoes complejos de los dpolos magen tanto oentados en la deccón como en la y. Las constantes C fueon defndas y desaolladas en la ecuacón 2.25 Vamos a supone en este desaollo que el dpolo fuente se encuenta oentado en la deccón sendo el desaollo paa una oentacón en la deccón y totalmente smla. Paa evalua el gado de cumplmento de esta ecuacón no úncamente en los N puntos dscetos en donde se mpone sno en todos los puntos que odean nuesta estuctua a analza un clndo en este caso tendemos que evalua las dos condcones anteoes y obseva su gado de coeccón. En pme luga dado la ecuacón 3.65 debeemos de esolve el sstema con el fn de pode obtene lo valoes de los potencales vecto en el nteo de la estuctua. N G G I G G cy y cy N I y 0 G y y 3.66 En el caso del potencal vecto sus valoes no son nulos en el contono de la estuctua a dfeenca del potencal escala. Lo que s que debe se nulo es la evaluacón en un punto cualquea del contono de la epesón 3.65 es dec: -06-

131 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen sn cos N N C G I yy I sn G cos G cos C 0 N y y sn C I 0 0 N I y Po tanto debeemos ntega la contbucón de cada una de las condcones a lo lago de todo el contono de la estuctua: N N yy y F sn c G c I sn c G c 0 cos c G c I dc 3.68 Contono F N N 2 c c 0 c c Contono y y cos C I cos C sn C I dc De tal foma que cuanto más pómo sea el esultado de las ecuacones 3.68 y 3.69 a ceo más pecso seá la epesentacón del potencal vecto en el nteo de la estuctua analzada. Fnalmente sumaemos ambas condcones con el fn de obtene un coste total epesentatvo del potencal vecto: C oste F F Una vez defndo el coste podemos aplcalo a dstntas stuacones con el fn de evalua la pecsón del potencal vecto en cada caso. Concetamente el valo del coste dependeá del númeo de mágenes empleadas pues cuantas más mágenes usemos un mayo númeo de puntos dscetos cumplán la condcón de contono y de la poscón de la caga fuente en el nteo del clndo. Supongamos un clndo de ado a sendo la fecuenca de 300Mhz en el que stuamos la caga fuente en el nteo del clndo y empleamos un total de 20 mágenes paa calcula el potencal escala. La stuacón es epesentada en la fgua 3.36: Fgua 3.36 Repesentacón 20 cagas mágenes alededo del clndo fuente en ogen coodenadas -07-

132 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Vamos a epesenta el valo paa cada punto de la estuctua de la ecuacón 3.67 obsevando cuando dfee de 0 y vendo las dfeencas ente las dos condcones: Fgua 3.37 Valo de las condcones del potencal vecto en el contono del clndo 20 mágenes fuente stuada en el ogen. Compobamos cómo obtenemos 20 nulos en cada una de las condcones vectoales coespondentes a los 20 puntos dscetos en donde habíamos fozado este valo. Fnalmente sumando ambas contbucones obtendemos el compotamento en cada punto de la estuctua del clndo especto al potencal vecto: Fgua 3.38 Dstbucón del eo del potencal vecto en el contono del clndo 20 mágenes fuente stuada en el ogen. Podemos obseva al gual que en la fgua 3.37 como esten 20 nulos coespondentes a las 20 condcones que hemos mpuesto medante la ecuacón De esta foma s ntegamos este esultado en todo el contono del clndo obtendemos el Coste tal y como lo habíamos defndo en la ecuacón Concetamente y paa este caso obtenemos un eo de: 3 Eo Compobamos como el eo obtendo es muy educdo lo que mplca que la apomacón del potencal escala con 20 cagas mágenes es adecuada. -08-

133 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen S stuáamos la caga fuente en ota poscón paa este msmo númeo de cagas mágenes obtendemos un coste dfeente en funcón de la poscón escogda. Igual ocue paa una vaacón del númeo de cagas mágenes que tambén modfca el valo del coste en geneal a mayo númeo de mágenes meno coste obtendo. Po ejemplo basándonos en las suposcones del caso anteo peo stuando la caga en la poscón obtenemos una stuacón y una dstbucón del coste como muesta la fgua 3.39: Fgua 3.39 Repesentacón de stuacón y coste del potencal escala en un clndo empleo de 20 mágenes y fuente stuada en Compobamos como en un ángulo de adanes obtenemos un pco del potencal pues los dpolos mágenes son ncapaces de contaesta el efecto del dpolo fuente stuado tan ceca de la paed del clndo poducéndose un Coste muy elevado especto al anteo concetamente con un valo de: Coste Ello mplca que la epesentacón del potencal vecto en este caso es mucho menos eacta que en el caso anteo no obstante todavía no es un valo muy elevado y se puede da po váldo. Podemos obseva la descomposcón del Coste anteo compobando cual de las dos condcones mpuestas sobe el contono del clndo pesenta un mayo eo: Fgua 3.40 Detalle del Coste del potencal vecto paa cada condcón. 20 mágenes y fuente stuada en

134 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Obsevamos como la condcón númeo 2 pesenta unos pcos de eo muy supeo a la condcón. Esta condcón que mplca un mayo eo povene de obtene la dvegenca del potencal vecto en el contono del clndo e gualala a 0 tal y como se demostó en el capítulo 2 ecuacón 2.3 y 2.6 a 2.20 l gual que ocuía con el potencal escala el stua un dpolo fuente muy ceca de la paedes de la estuctua a analza supone un pco de eo. No obstante como los ccutos electóncos que pueden se analzados con esta fomulacón no se encuentan usualmente stuados muy ceca de los bodes de las guías que los contenen este eo aunque elevante pede pate de su mpotanca. Ente las dos stuacones epuestas este un gan abanco de posbldades en funcón del númeo de dpolos mágenes empleadas y de la poscón de la fuente. Realzaemos un bado de estas vaables paa obtene unos costes de efeenca en poscones típcas y con un númeo de mágenes vaable. Concetamente vamos a analza el coste del potencal vecto cuando stuamos la fuente en las poscones: [ ] y tenemos un númeo de cagas mágenes que puede se sí: a Poscón 00 : Nº cagas Coste e e e-7 Tabla 3.32 Coste vectoal método ognal poscón fuente en 0 0 b Poscón : Nº cagas Coste e-2.589e e-6 Tabla 3.33 Coste vectoal método ognal poscón fuente en c Poscón 0.40: Nº cagas Coste e-4.809e-5 Tabla 3.34 Coste vectoal método ognal poscón fuente en

135 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen d Poscón : Nº cagas Coste e e-4 Tabla 3.35 Coste vectoal método ognal poscón fuente en e Poscón 0.50: Nº cagas Coste e e-5 Tabla 3.36 Coste vectoal método ognal poscón fuente en f Poscón : Nº cagas Coste Tabla 3.37 Coste vectoal método ognal poscón fuente en Tas analza los esultados paa el método geneal de Pont-Matchng podemos etae dos conclusones nteesantes: o o l aumenta el númeo de dpolos en geneal dsmnuye el coste que obtenemos. No obstante esten algunos casos patculaes que dependeán de las poscones elatvas del dpolo fuente y las mágenes. En funcón de la poscón del dpolo fuente confome éste se encuenta más ceca de la paed de la estuctua clndo en este caso el coste va cecendo. Cabe destaca el caso de la poscón donde todos los esultados han sdo muy elevado hacendo que el potencal vecto obtendo en este caso sea muy mpecso. En este punto tenemos totalmente caactezado el compotamento del potencal vecto obtenendo sus eoes en funcón de las caacteístcas de la stuacón a analza. Sobe esta base vamos a tata de optmza el coste de la mplementacón del potencal vecto empleando un método de vaacón del ado stuando los dpolos de magen en cículo englobando a la estuctua. Se ha decddo mplementa este método debdo a que ha sdo el que mejoes esultados ha popoconado paa el potencal escala. --

136 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen pesa de que en un pme momento se ealzó el cálculo del potencal vecto con ntegacón po pulsos éste no do buenos esultados. Un estudo más ehaustvo con una apomacón más eacta de las ntegales a emplea podía solucona estos nconvenentes dando unos costes más pomedados a lo lago del contono de la estuctua. Otos métodos como los de descenso de gadente no se abodaon debdo a la complejdad matemátca que conllevaían sn tene aseguado en nngún momento una educcón del coste sgnfcatva. No obstante seía convenente su posteo análss con el fn de obseva s esta técnca es efectva paa educ el coste del potencal vecto Método de la vaacón del ado Desaollo teóco El método de la vaacón del ado del cculo en el que stuaemos los dpolos magen ha sdo mplementado debdo a la ecelentes esultados que popoconó la vesón desaollada paa el potencal escala. l gual que en éste el método se basa en una ubcacón de los dpolos magen dfeente a la empleada hasta ahoa en el método geneal epuesto en el capítulo 2 mantenendo los dpolos mágenes en un cculo alededo de la estuctua a analza ndependentemente de la foma de la estuctua y de la poscón de la fuente en el nteo de la msma. Supongamos una stuacón de 20 dpolos mágenes donde hemos stuado el dpolo fuente en una ubcacón dstnta del ogen po ejemplo en ; podemos obseva las dfeencas ente el método geneal de ubcacón de dpolos y el actual: Fgua 3.4 Dfeencas en la ubcacón de dpolos mágenes. a Método geneal. b Vaacón dnámca del ado. Empleo de 20 dpolos magen y fuente stuada en Obsevamos como al stua los dpolos magen medante la vaacón del ado éstos se encuentan dstbudos unfomemente a lo lago de un cículo que envuelve a la estuctua a analza sn depende de la poscón del dpolo fuente stuado en el nteo de la estuctua como pasaba en el método ognal. Tal y como ocuía en el potencal escala el vaa la poscón de las cagas no afecta a la matemátca empleada paa la obtencón del potencal vecto salvo en el -2-

137 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen cálculo de las dstancas de los dpolos mágenes al cento del clndo a la poscón de la fuente y a los puntos tangentes en el contono del clndo. El algotmo segudo po tanto consstá en vaa el ado de los dpolos mágenes y obtene un coste. sí obtendemos qué ado es el que poduce un meno eo y seá el que empleemos en el cálculo del potencal vecto. En cuanto al coste computaconal dependeá fundamentalmente de los límtes ente los que vaemos el ado de las mágenes y el paso con el que nos movamos ente esos límtes. Este paámeto suele se elevado debdo a la alta caga computaconal empleada en calcula el Coste paa una detemnada dstbucón de mágenes Resultados obtendos Una vez posconadas las cagas mágenes en un cculo de un detemnado ado R alededo de la estuctua vamos a ealza un estudo del Coste del potencal vecto en funcón del ado en el que se encuentan stuadas los dpolos mágenes. Este ado va a popocona valoes óptmos que consguen mnmza de foma más que consdeable el coste del potencal vecto. En pme luga antes de mosta los esultados paa todos los casos vamos a estuda detendamente un caso tpo po ejemplo empleando un total de 20 cagas mágenes y stuando la fuente en la poscón tal y como obsevamos en la fgua 3.4 b. Compobamos como en este caso la ubcacón de los dpolos magen no concde con la ubcacón de las mágenes con el método ncal. No obstante es en la vaacón del ado donde adca la potenca de este método de optmzacón. po no podemos conoce que valo del ado seá el que popocone un coste mínmo. Sn embago basándonos en la epeenca acumulada en el empleo de este método en el potencal escala epesentamos el coste en funcón del ado vaando el msmo ente y 30 sendo éste un ango más que sufcente paa obtene la evolucón del coste en funcón del ado. De esta foma obtenemos: Fgua 3.42 Vaacón del coste del potencal vecto en funcón del ado. Empleo de 20 dpolos magen y fuente stuada en

138 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Compobamos como el coste evolucona pesentando un mínmo local a un dstanca de.45 que obsevamos en detalle en la fgua 3.43: Fgua 3.43 Vaacón del coste del potencal vecto en funcón del ado en tono al mínmo. Empleo de 20 dpolos magen y fuente stuada en sí obtenemos un mínmo local del coste a un ado detemnado consguendo un coste de valo fente a un coste del potencal vecto ognal de Vemos que la educcón ha sdo sgnfcatva logando una mplementacón más efcaz del potencal vecto en el nteo de la estuctua. S compaamos la dstbucón de la condcón del potencal vecto a lo lago del contono de la estuctua paa este ejemplo fente al caso geneal obtenemos: a b Fgua 3.44 Compaacón de la dstbucón de la condcón del potencal vecto en el contono de un clndo. a Optmzando el ado. b Método geneal. Empleo de 20 dpolos magen y fuente stuada en Obsevamos como tenemos un mámo en el msmo punto debdo a la pomdad del dpolo fuente a la paed aunque los valoes de la condcón se han educdo de foma sustancal popoconando una epesentacón del potencal vecto mucho más pecsa. En cuanto a la técnca empleada en el algotmo de optmzacón del ado se ha segudo la msma estatega que en el potencal escala ealzando un doble bado: o En pme luga empleaemos un paso gueso vaando el ado ente y 30 con paso de 0.. De esta foma logamos dentfca la zona en la que el coste es mínmo _opt sendo en la mayoía de las -4-

139 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen ocasones la dfeenca ente un ado de 30 y un mayo ínfma. o En segundo luga empleaemos un paso fno vaando el ado muy ceca de la poscón óptma anteo _opt concetamente nos moveemos en el entono: _ opt 0. _ opt 0. con un paso de sí obtendemos una poscón del ado óptmo mucho más pecsa mnmzando el coste. Obtenemos dos posbles tpos de convegenca: a un mínmo local como la mostada en el ejemplo anteo o una convegenca teóca en el nfnto que en la páctca queda educda a valoes menoes de 30. Mostaemos a contnuacón al gual que hcmos anteomente cual es el valo fnal del coste obtendo en este método en funcón del númeo de cagas magen empleadas y de la poscón de la fuente en el nteo del clndo [ ]. Mostaemos en ojo aquellos esultados que mejoen especto a la ubcacón ncal de cagas mágenes; tambén ndcaemos el valo del ado óptmo que hemos obtendo en cada uno de los casos. a Poscón 00: Tpo Técnca Nº cagas Pont-matchng Vaacón del ado Eo Rado.20 Mínmo local Mínmo local 7.382e e e Convege Convege Convege e e e e Convege Tabla 3.38 Coste vectoal vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en 0 0 Compobamos como obtenemos un esultado mejo que el método ognal en todos los casos con educcones del coste muy mpotantes. Un ejemplo de cuando el meno coste se stúa ceca del nfnto alejando al mámo los dpolos magen lo tenemos en esta poscón al emplea 5 mágenes: Fgua 3.45 Ejemplo de convegenca del coste del potencal vecto en el nfnto. 5 mágenes fuente en el ogen de coodenadas.

140 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen b Poscón : Tpo Técnca Nº cagas Pont-matchng Vaacón del ado Eo Rado.280 Mínmo local Convege Mínmo local e e Mínmo local.589e e Mínmo local e e Mínmo local Tabla 3.39 Coste vectoal vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en c Poscón : Tpo Técnca Nº cagas Pont-matchng Vaacón del ado Eo Rado.230 Mínmo local.230 Mínmo local.7600 Mínmo local e e Mínmo local.3308e Mínmo local.809e e Mínmo local Tabla 3.40 Coste vectoal vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en En ocasones como en el caso de emplea esta poscón y 5 dpolos mágenes pueden apaece dos convegencas: un mínmo local y una convegenca fnal en el nfnto. El doble bado es muy útl paa dentfca las dos y pode dscen cual de ellas nos popoconaá un coste meno: Fgua 3.46 Vaacón de la condcón del potencal vecto en el contono del clndo en funcón del ado estendo 2 mínmos. 5 cagas mágenes y fuente en

141 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen d Poscón : Tpo Técnca Nº cagas Pont-matchng Vaacón del ado Eo Rado.90 Mínmo local.270 Mínmo local.630 Mínmo local.7800 Mínmo local e e Mínmo local Tabla 3.4 Coste vectoal vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en Compobamos como en esta poscón hay dos casos en los que una vaacón del ado no popocona un coste meno que el ognal. Esto se poduce paa un númeo de mágenes elatvamente elevado cuando el eo ya es educdo. Compobamos como confome se va acecando el dpolo fuente a la paed la vaacón del ado va popoconando unos esultados más modestos al usa un númeo de dpolos magen elevado. e Poscón : Tpo Técnca Nº cagas Pont-matchng Vaacón del ado Eo Rado.240 Mínmo local.240 Mínmo local.630 Mínmo local 3.735e e Mínmo local 6.674e Mínmo local e e Mínmo local e e Mínmo local Tabla 3.42 Coste vectoal vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en f Poscón : Nº cagas Tpo Técnca Pont-matchng Vaacón del ado Eo Rado.40 Mínmo local.00 Mínmo local.050 Mínmo local.40 Mínmo local.040 Mínmo local.60 Mínmo local Tabla 3.43 Coste vectoal vaacón ado paa dstntos nº de cagas poscón fuente en

142 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen Podemos obseva como en cas todos los casos obtenemos un coste mucho meno que con la técnca ognal ncluyendo la poscón No obstante a pesa de mejoa los esultados ognales los costes obtendos son muy elevados dando luga a apomacones del potencal vecto elatvamente mpecsas. Ello es debdo a que el dpolo fuente se encuenta muy pómo a la paed del clndo po lo que poduce un pco de potencal en ella que los dpolos mágenes de nuesto método al esta stuadas de foma smétca alededo del clndo no pueden contaesta. l gual que ocuía con este método al optmza el potencal escala el eo se dsmnuye de una foma más dástca cuando el númeo de cagas mágenes es educdo ó el coste ncal de patda muy elevado y de una foma más modeada cuando el númeo de cagas mágenes es más elevado. Sempe está un coste mínmo que se poducá en un mínmo local o cuando el algotmo conveja a un valo detemnado. Como pncpal desventaja de este método señalaemos que el coste computaconal paa consegu los esultados es elatvamente alto pues debemos de calcula los potencales paa un gan númeo de stuacones y obtene el Coste paa cada uno de ellos opeacón computaconalmente costosa Paa conclu podemos consdea la técnca como muy satsfactoa pues es muy efectva en la gan mayoía de los casos smple y fáclmente etensble a una geometía abtaa Conclusones En este apatado hemos analzado el potencal vecto y las caacteístcas que se han de cumpl paa enconta una epesentacón adecuada. Paa ello dedujmos un Coste asocado a cada stuacón matemátcamente mucho más complejo que en el caso del potencal escala. Este coste se basa en el cumplmento de dos condcones mpuestas en la ecuacón 3.65 a lo lago de todo el contono de la cavdad. Pesentamos esultados sobe la dstbucón de estas condcones tanto de foma ndvdual como conjunta obtenendo fnalmente el coste asocado a la epesentacón del potencal vecto. Una vez defndo de foma adecuada pasamos a tata de mnmza su coste. Paa ello nos centamos en la optmzacón del ado al ubca los dpolos magen en un cculo que englobaa a la estuctua a analza pues fue el método que mejo esultado do en el análss del potencal vecto y con el que hemos consegudo unas educcones del coste más que satsfactoas paa la mayoía de los casos. Este método pesenta la ventaja añadda de que es fáclmente etensble a geometías abtaas. No obstante este es un tema en el que es posble una mayo pofunddad pudéndose ealza un análss más etenso que ncluya oto tpo de optmzacones: ntoduccón de nuevas condcones de contono en los pcos e ncluso aplcacón de algotmos de gadente descendente con una ceta complejdad matemátca De esta foma tenemos totalmente caactezado el potencal vecto; se ha hallado una medda de su coeccón y se ha encontado un método que pemta mnmzala en un gan númeo de ocasones. -8-

143 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen 3.4 Softwae desaollado Paa el desaollo del softwae empleado en el pesente capítulo se ha patdo de la base del ceado en el capítulo anteo tanto de los pogamas en Fotan 90 como en Matlab. Debdo a la gan cantdad de pogamas y utnas geneadas po motvos de espaco no vamos a enta en detalles descptvos aceca de cada una. Destacaemos que la entada de datos a los dstntos pogamas se ealza a tavés del fcheo de confguacón Datos.n al gual que en los pogamas empleados en el capítulo anteo donde se ndcaán todos los paámetos: fecuenca númeo de mágenes poscón de la fuente puntual en el nteo del clndo etc. En funcón del método empleado puede se necesao algunos paámetos adconales como númeo de teacones de paada o ente que dstancas hace los bados del ado; en estos casos el popo fcheo Datos.n medante comentaos ndca que paámetos espea. Paa la epesentacón fnal de los esultados se empleaán scpts de Matlab ubcados en los esultados de cada pogama. Estos scpts daán esultados gáfcos como la evolucón del coste de los algotmos de descenso de gadente en funcón del númeo de teacones la dstbucón del coste a lo lago del clndo vaacón del coste en funcón de la vaacón del ado ó la epesentacón en 2D de la stuacón que estamos analzando mágenes fuente etc. Estos scpts tomaán la nfomacón de foma automátca de los esultados popoconados po los pogamas en Fotan 90 po lo que no necestan nngún paámeto de entada. Fnalmente destaca que todos los pogamas se encuentan debdamente comentados paa clafca su uso así como qué han sdo pogamados paa que funconen de la manea más automátca posble: patendo úncamente de unos datos de entada genea toda la nfomacón paa la vsualzacón gáfca de los esultados. -9-

144 Capítulo 3: Optmzacón de la funcón espacal de Geen -20-

145 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas 4. Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas 4. Intoduccón En este cuato capítulo vamos a desaolla la fomulacón espacal de mágenes paa el cálculo de las funcones de Geen en estuctuas de geometía abtaa nfntesmal sendo necesao paa ello la etensón de la fomulacón a tamos ectos en luga de supefces clíndcas como se había desaollado en el capítulo 2. La técnca a emplea seá muy smla a la anteo: ubcaemos cagas ó dpolos mágenes fuea de la estuctua. Su stuacón y oentacón se calculan medante la mposcón de las condcones de contono paa los potencales en puntos dscetos de la paed metálca. Consegumos una convegenca ápda con unos esultados satsfactoos capaces de usase paa el análss de estuctuas eales. En este capítulo nos vamos a centa en la fomulacón paa fuentes eléctcas; la fomulacón paa fuentes magnétcas no es dual pues aunque camban el tpo de fuente no camba el tpo de paed po lo que cumplán condcones de contono dstntas peo sgue un desaollo déntco a pat de la fomulacón en clíndcas. Desaollaemos de foma detallada la fomulacón con tamos ectos paa fuentes eléctcas eplcando sus caacteístcas ecuacones esultantes y dfeenca con la fomulacón clíndca. Una vez obtenda la fomulacón nos centaemos en la descpcón de estuctuas abtaas: mplementaemos un softwae capaz de econoce cualque tpo de estuctua leyendo su fomato de un achvo de teto mpone sobe la msma las condcones de contono de los potencales en puntos dscetos estendo vaas vaantes sobe como ealza este poceso y ubcando fnalmente las cagas/dpolos magen alededo de la estuctua estendo nuevamente posbles altenatvas en este paso. De esta foma podemos analza los potencales en el nteo de cualque tpo de estuctua de foma automátca sn más que descb la msma de foma senclla en un fcheo de teto. Una vez obtendos los potencales en cualque tpo de estuctua ntoducda obtendemos un coste de su mplementacón paa sabe la coeccón de los msmos. Se ha calculado este coste tanto paa el potencal escala como paa el potencal vecto así como la dstbucón del msmo a lo lago del contono de cualque estuctua. Todos estos cálculos se ealzan de foma automátca. sí analzaemos dstntas estuctuas de guías de onda smples cuadado ectángulo cuadado con dos lados edondeados dge ombo tángulo etc. obtenendo los potencales en su nteo y analzando la dstbucón del coste de su mplementacón en su contono. Obtendemos donde se ubcan las pncpales fuentes de eo fundamentalmente en esqunas y entantes y tataemos de educlas. Paa educ estos eoes ealzaemos una optmzacón del coste del potencal tanto escala como vectoal sobe estuctuas abtaas. Empleaemos paa ello técncas epuestas en el capítulo 3 que etapolaemos de foma natual a geometías abtaas: vaacón dnámca del ado al stua las cagas/dpolos de foma ccula esta técnca seá ealzada tanto paa optmza el potencal escala como el potencal vecto vaacón de la dstanca a la que ubca las mágenes especto a la fuente -2-

146 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas optmzacón po gadente del valo complejo de las cagas y de las poscones. De esta foma tatamos de obtene la epesentacón de los potencales con el meno eo posble. Fnalmente ealzaemos una compaacón del potencal en el nteo de una guía cuadada con una altua en el eje z teócamente nfnta con el potencal calculado con el pesente método que consdea un cote en z nfntesmal. pesa de que físcamente no estamos epesentando la msma magntud obtenemos unas smltudes muy mpotantes dando a pe a la ntoduccón en el capítulo 5 de guías en 3D y no en un una estuctua bdmensonal como hemos analzado hasta la fecha. l gual que en capítulos anteoes y basándonos en su códgo fuente la pogamacón ha sdo ealzada en el lenguaje FORTRN 90 ; paa la epesentacón gáfca de los esultado se ha optado po Matlab usando fcheos de datos ntemedos paa la comuncacón ente ambos entonos. 4.2 Fomulacón espacal de Geen en tamos ectos 4.2. Desaollo de la Fomulacón En este apatado ealzaemos una etensón de la fomulacón espacal de Geen epuesta en el capítulo 2 paa pode tata tamos ectos en estuctuas nfntesmales. unque la fomulacón que estamos desaollando es etensble a cualque estuctua vamos a basanos en este desaollo en la estuctua cuadada de la fgua 4. sn pédda de genealdad. Fgua 4. Dpolo untao stuado en el nteo de una cavdad cuadada S stuamos una fuente eléctca en el nteo de la estuctua el campo que ceaá seá de: E jw V jw j 4. De esta foma vamos a obtene los potencales en el nteo de la estuctua de un modo análogo al desaollado en el tema

147 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas a Potencal escala El cálculo del potencal escala sgue un desaollo totalmente paalelo al ealzado en el capítulo 2; mpondemos la condcón de contono que seá un potencal nulo a lo lago de la paed de la estuctua ndependentemente de la foma que ésta adquea. l gual que ocuía con la fomulacón clíndca nos centaemos en puntos dscetos de la paed Pont-Matchng denomnando a uno cualquea punto tangente. La técnca empleada es utlzada hasta la fecha: sobe este punto tangente mpondemos las condcones de contono del potencal escala y posteomente vecto medante una caga dpolo magen stuada alededo de la estuctua. Posteomente etendeemos este únco punto a un conjunto de puntos obtenendo un conjunto de sstemas de ecuacones. No nos detendemos en eamna las dstntas fomas de ubca las cagas mágenes alededo de la estuctua n las poscones de la paed en donde cumpl las condcones; se han desaollado vaos métodos que seán epuestos en un apatado posteo. Fgua 4.2 Ubcacón de una condcón de contono Gv en la paed de una guía cuadada Tas ubca un punto tangente a la estuctua donde mpone la condcón de contono que paa el caso del potencal escala es que sea nulo ubcaemos la poscón de una caga magen paa cumpl ese equsto. sí en este pme punto logaemos un potencal escala nulo mponendo que los potencales de las cagas se anulen en dcho punto: q G G 4.2 v v o Po tanto el efecto de la caga fuente y de la caga magen popoconaán un potencal escala en todo el clndo de: G G q G 4.3 vcyc v o v Sendo G v el potencal de una caga en condcones de espaco lbe: G v jo 0 e

148 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Vemos que el desaollo es smla al mostado en el capítulo 2; en este punto etendeemos la condcón de potencal nulo a un conjunto de N puntos tangentes a la estuctua. sí obtendemos un sstema de ecuacones que nos popoconaá el valo complejo de las cagas mágenes capaces de otoga a los N puntos de la estuctua un valo de potencal nulo. Compobamos como etendendo la ecuacón 4.3 a un conjunto de N puntos tangentes de la estuctua tenemos un sstema déntco al obtendo en el capítulo N qgv Gv o N De esta foma el cálculo del potencal escala es ndependente de la estuctua pues no debemos de coge un sstema de coodenadas patcula n hemos ealzado nnguna suposcón de patda. Tas esolve el sstema de N ecuacones obtendemos los valoes complejos de las N cagas mágenes q que son necesaas paa satsface las condcones de contono en los N puntos tangentes establecdos. Fnalmente obtenemos el potencal escala en el nteo del clndo medante la ecuacón 4.6: N Gv G ' q G ' 4.6 cy b Potencal vecto V o El cálculo del potencal vecto s que pesenta unas dfeencas sgnfcatvas al ealza su fomulacón paa tamos ectos paa lo cual empleaemos coodenadas catesanas fente a la fomulacón en clíndcas ealzada en el capítulo 2. Supongamos un tamo geneal po ejemplo oblcuo como el mostado en la fgua 4.3: v Fgua 4.3 Tamo oblcuo y sus ejes de coodenadas Compobamos como podemos destaca ncalmente dos vectoes el vecto tangencal al tamo ê t y el vecto nomal ê n. Estos dos vectoes los podemos descompone a su vez en los ejes de coodenadas catesanos ê y ê y. La condcón que debe de cumpl un punto tangente a la estuctua a analza po ejemplo la guía cuadada de la fgua 4.2 es que la componente tangencal del campo eléctco defndo en la ecuacón 4. sea nula: -24-

149 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas E eˆ pto t lo que conlleva a dos dfeentes condcones obtendas tas analza el campo eléctco E defndo po la ecuacón 4. ˆ e n Estas dos condcones deben cumplse de foma conjunta sobe un punto de la paed de la estuctua y son las msmas condcones de patda que obtuvmos al ealza la fomulacón en coodenadas clíndcas. El método popuesto paa satsface estas condcones es el msmo: emplea dos dpolos eléctcos otogonales stuados uno en el eje y oto en el eje y. Fgua 4.4 Ubcacón de una condcón de contono del potencal vecto en la paed de una guía cuadada Tanto la eleccón de los puntos tangentes a la estuctua como la ubcacón de los dpolos magen alededo de la msma seán estudados posteomente sn nnguna pédda de genealdad de la fomulacón popuesta. Vamos a analza como mpone las condcones 4.8 y 4.9 sobe un punto cualquea de la paed de la estuctua: ˆ 0 e n En pme luga descompondemos el vecto potencal : y G eˆ G eˆ y Vefcando en el punto que: y eˆ eˆ G eˆ G eˆ sen G cos G n n y y Obsevamos como la ecuacón 4. pesenta la msma foma que la obtenda paa cavdades cculaes con fomulacón clíndca po lo que su desaollo a pat de este punto es déntco. -25-

150 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas 2 0 Tenendo en cuenta la condcón 4.8 obsevamos que la devada especto de la tangente de la componente tangencal del vecto es nula: t eˆ n dt En segundo luga epesaemos la dvegenca el vecto potencal en témnos de sus componentes tangencal y nomal: t n n eˆ n dt dn dn sí adecuamos la foma de la ecuacón 4.9 a una más senclla de tabaja: n dn eˆ n eˆ 0 n n 4.4 Descomponendo la componente nomal del vecto potencal: cos sn 4.5 n y n eˆ n 2 cos d En este punto ya podemos desaolla la ecuacón 4.4: n n n n n n eˆ ˆ ˆ ˆ ˆ eˆ eˆ ey en e en y n cos sn d dy d dy d dy cos sn d y cos sn dy 2 y sn dy Fnalmente debeemos de desaolla las devadas de la ecuacón anteo: G G d d dy dy y y 4.7 y G y G d d d d Estas devadas pueden se fomuladas paa un medo multcapa estatfcado fomulado en el domno espectal medante las ntegales de Sommefeld [9] como veemos en el capítulo 5. No obstante paa el caso del espaco lbe el poblema se smplfca pues se cumple que: d dy d dy y y

151 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas -27- Desaollaemos estas devadas pues son analítcas. Concetamente nos centaemos en pme luga en el cálculo de d pudendo obtene dy medante un desaollo totalmente smla. Patmos de la epesón de la dstanca euclídea de dos puntos en el plano: ' ' ' ' ' y y y y 4.9 Obtendemos posteomente la devada de la ecuacón anteo especto a la deccón del eje : ' ' ' ' ' ' 2 ' ' 2 ' ' ' y y y y d y y d d d 4.20 Fnalmente obtenemos la devada fnal buscada: 3 ' 3 ' 3 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' j e j e e e j e e j e d d d d e j e d d d d j j j j j j j j j 4.2 Tas añad las constantes obtenemos el esultado fnal buscado: 3 ' 0 ' ' ' 4 j e d d j 4.22 Este desaollo es totalmente dual paa dy d obtenendo un esultado: 3 ' 0 ' ' ' 4 j y y e dy j 4.23 En este punto tenemos totalmente defnda la ecuacón 4.4 que nos pemtía cumpl la condcón 4.9. Una vez analzadas las dos condcones paa un punto cualquea tangente a la estuctua vamos a etende la fomulacón a un total de N puntos con el fn de que las condcones mpuestas se vefquen en el conjunto de la estuctua.

152 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas -28- Paa ello analzaemos nuevamente las condcones 4.8 y 4.9 etendendo sus esultados paa que satsfagan las condcones en todos los puntos de la estuctua. En este análss consdeaemos que este un dpolo en el nteo oentado a lo lago del eje. La fomulacón paa el caso de que esta oentacón sea en el eje y es totalmente dual. 0 ˆ e n Patendo de la ecuacón 4. su equvalente con un total de N puntos tangentes seá: N G sen I G I G sen N y y N cos Ecuacón que concde de foma eacta con la obtenda con la fomulacón ealzada paa estuctuas cculaes. 2 0 S etendemos la condcón de la ecuacón 4.6 a un total de N puntos tangentes debeemos de agupa las componentes e y de en funcón del dpolo magen que los cea obtenendo así: N dy d I d dy I dy d N y y y N sn cos cos sn cos sn sn cos cos Tataemos de smplfca la ecuacón anteo sacando facto común: N dy d I d dy I dy d N y y y N sn cos cos cos sn sn sn cos cos Pudéndose epesa como: N C I C I C y N y y N cos sn cos Donde hemos defndo las constantes:

153 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas -29- d dy C dy d C y y y cos sn sn cos 4.28 l esta en espaco lbe ambas constantes de la ecuacón 4.28 concdán y C C 4.29 ya que se satsface la ecuacón 4.8. En este punto obtenemos un sstema de ecuacones de dmensón N N 2 2 fomado po las ecuacones 4.24 y 4.27 cuya solucón nos daá los pesos de los dpolos magen tanto los oentados a lo lago del eje como del eje y. sí el sstema fnal seá: N C I C I C G sen I G I G sen y N y y N N y y N cos sn cos cos Tas esolvelo obtendemos el valo del potencal vecto en el nteo de la estuctua: N y y y cy N cy G I G G I G G De esta foma se ha etenddo la fomulacón de la funcón espacal de Geen a tamos ectos empleando paa ello coodenadas catesanas pudéndose aplca en el análss de cualque estuctua.

154 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Valdacón de los esultados En este punto vamos a valda la fomulacón desaollada en el apatado anteo empleando paa ello los esultados de la fomulacón paa una estuctua clíndca cuya valdez fue demostada en [6] y en [7]. Supongamos un clndo de ado a sendo la fecuenca de 300Mhz en el que stuamos la caga/dpolo fuente en el cento del clndo y empleamos un total de 20 mágenes paa calcula los potencales. Bajo estas condcones las dos fomulacones empleadas deben de da un esultado smla; la ubcacón de los puntos de la estuctua en la que establece las condcones de contono y la poscón de las mágenes en el espaco se han hecho concd. sí bajo los dos puntos de vsta la stuacón que estamos analzando es la sguente: Fomulacón catesana Fomulacón clíndca Fgua 4.5 Estuctua clíndca de ado a analzada con 20 mágenes y fuente stuada en el cento. Pespectvas de fomulacón catesana y fomulacón clíndca. En este apatado mostaemos como los esultados concden plenamente dejando el tatamento de la estuctua bajo fomulacón catesana paa un apatado posteo. En pme luga compobamos como el potencal escala concde de foma eacta: Fomulacón catesana Fomulacón clíndca -30-

155 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Fgua 4.6 Compaacón del potencal escala en un clndo bajo las fomulacones catesana y clíndca. 20 mágenes fuente en el ogen. Obsevamos como la econstuccón del potencal escala concde de foma plena; este pme esultado no es defntvo pues paa este potencal las dos fomulacones concdían. No obstante s que ha cambado de foma sustancal como veemos posteomente el tatamento automátco de la estuctua paa no depende de su geometía y obtene así los potencales de foma genéca. S compaamos el potencal vecto obsevamos que el esultado vuelve a concd: Fomulacón catesana Fomulacón clíndca -3-

156 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Fgua 4.7 Compaacón del potencal vecto en un clndo bajo las fomulacones catesana y clíndca. 20 mágenes fuente en el ogen. Podemos compoba como los esultados son plenamente satsfactoos habendo obtendo la epesentacón de los potencales de foma coecta. De foma guosa se apeca una pequeña dfeenca en la snguladad es dec donde se encuenta ubcada la caga fuente debda al mallado ealzado y al tatamento de la estuctua; no obstante el potencal en el punto eacto de la caga/dpolo fuente tende a nfnto po lo que es nomal que apaezcan unas dfeencas aunque en este caso mucho más educdas de lo que se espeaban al ealza el cálculo con técncas dfeentes. Se han ealzado puebas de convegenca de compaacón de cotes de vaacón de númeo de mágenes etc. En todas ellas las dos fomulacones han popoconado unos esultados páctcamente guales tal y como se espeaba. De esta foma se muesta la coeccón de la nueva fomulacón planteada. La ventaja que pemte la fomulacón en coodenadas catesanas es la aplcacón a geometías abtaas po ejemplo cuadadas ectangulaes tangulaes ombo etc. estuctuas que no se hubean poddo analza bajo la fomulacón clíndca. Muchas de estas estuctuas no tenen una solucón de los potencales analítca po lo que este método abe las puetas a su cálculo con un coste computaconal educdo. -32-

157 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas 4.3 Estuctuas abtaas 4.3. Intoduccón En este apatado vamos a ealza un estudo sobe los potencales escala y vecto en estuctuas abtaas fomadas po un númeo ndefndo de tamos ectos y de tamos cuvos de hasta 80º pudéndose combna estos elementos de la foma en que se equea. Paa ello patemos de las coodenadas de la estuctua facltada medante un pequeño fcheo de teto que nos defná las poscones de cada uno de los tamos el tpo de tamo ecto o cuvo el cento del tamo cuvo el sentdo de go etc. de tal foma que tengamos totalmente defnda la estuctua. Una vez defnda la estuctua el softwae ceado se encagaá de mpone de foma automátca el númeo de puntos de la paed de la estuctua sobe los que mpone las condcones de contono estendo vaas posbldades: o o o o o De foma que los puntos tangentes a la estuctua se encuenten equespacados en longtud. sgnando puntos tangentes a los vétces de la estuctua y dstbuyendo el esto de foma equtatva. sgna los puntos tangentes de foma unfome peo sn mponelos en el vétce de la estuctua. Vaacón dnámca del númeo de puntos tangentes en funcón de la dstanca meda del tamo a la poscón de la caga/dpolo fuente. Etc. Una vez stuados los puntos tangentes alededo de la estuctua abtaa se stuaán las cagas/dpolos mágenes. Paa ello nuevamente tenemos dstntas altenatvas: o o o o o Stua las cagas/dpolos mágenes de foma ccula alededo de la estuctua abtaa con un ado medo en funcón del tamaño de la estuctua. Optmzacón de la técnca anteo vaando el ado de las cagas/dpolos magen de tal foma que se optmce el coste de la mplementacón del potencal tanto escala como vecto. Stua las cagas mágenes de foma smétca sguendo la línea que une la caga fuente con el punto tangente a la estuctua tanto paa los tamos ectos como paa los tamos cuvos. Vaacón del método anteo en donde a los tamos cuvos se les tata de foma dstnta empleando una ecta tangente a cada punto condconado de la estuctua que nos sevá de eje de smetía. Optmzacón del método geneal anteo vaando la dstanca desde el punto tangente a la caga/dpolo magen sguendo la ecta que une a ambos. Esta vaacón de la dstanca nos pemtá una optmzacón del coste tanto paa el potencal escala como paa el potencal vecto. o Stua las cagas sguendo el contono de la estuctua ndependentemente de la ubcacón de la fuente en su nteo. -33-

158 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Realzaemos un estudo más ehaustvo de las dstntas altenatvas en busca de un método geneal paa la colocacón de los puntos tangentes en el contono de la estuctua y la ubcacón de las mágenes que los contolen. Posteomente debeemos de aplca la fomulacón desaollada en el apatado 4.2 paa volve a compone los potencales tanto escala como vecto. Oto poblema encontado al tabaja con estuctuas abtaas es debdo a la dfcultad de dscen s un punto se encuenta en el nteo o no de la msma. El softwae pogamado es capaz de ealza esta dentfcacón pudéndose genea de esta foma epesentacones en 3D de los potencales en el nteo de cualque estuctua abtaa defnda. De esta foma patendo de una dentfcacón senclla de una estuctua cualquea podemos calcula los potencales en su nteo de foma automátca Ceacón de la estuctua a analza El pme paso a lleva a cabo es defn el tpo de estuctua que vamos a analza. Podemos cea todo tpo de estuctuas con tamos ectos y cuvos que no sobepasen 80º y unones de los msmos. lgunos ejemplos de estuctuas ceadas: Guía cuadada Guía ombo Guía cuadada con dos lados edondeados Guía cuadada con bodes edondeados Guía tangula Guía ectangula -34-

159 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Guía dge Guía dge lados edondeados Fgua 4.8 Ejemplos vaos de estuctuas abtaas ceadas. La defncón de la estuctua la ealzaemos medante un fcheo de entada denomnado Geom.n que contendá las especfcacones de la msma. El fomato llevado a cabo paa defn cualque tpo de estuctua fomada po tamos ectos y tamos cculaes se comenta a contnuacón medante un ejemplo. En el msmo detallamos una fgua de ceta complejdad como una guía dge con los bodes supeoes e nfeoes edondeados. El fcheo de entada que nos defná esa estuctua es el sguente:! Fcheo de confguacón de la geometa de la cavdad ! Númeo de vétces 2! Númeo de tamos cuvos: 4! Defnemos ncalmente úncamente tamos ectos.! Poscones de los vétces ! Defnemos los centos de los tamos cuvos: ! Defnemos los tamos:

160 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas ! Fnalmente ndcaemos la poscón de la caga fuente. 0 0 Fgua 4.9 Fcheo descpto de una guía dge con sus lados edondeados Con esa confguacón la guía ceada es la sguente: Fgua 4.0 Ejemplo de guía dge con lados edondeados Donde obsevamos que hemos esaltado los vétces paa una mejo vsualzacón de las coodenadas. Mostaemos a contnuacón como es el fomato del fcheo Geom.n constuyendo paso a paso la geometía anteo. Paa empeza a descb la guía debeemos de ndca el númeo de vétces totales de que consta:! Fcheo de confguacón de la geometa de la cavdad ! Númeo de vétces 2 a contnuacón ndcaemos el númeo de tamos cuvos: -36-

161 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas! Númeo de tamos cuvos: 4 Posteomente ndcaemos la poscón de los dstntos vétces y tenendo en cuenta que la poscón en la que los defnamos seá con la que posteomente nos vamos a efe a ellos. Es dec:! Defnemos ncalmente úncamente tamos ectos.! Poscones de los vétces..5 Defne el vétce nº 0.5 Defne el vétce nº Defne el vétce nº Después ndcaemos la poscón de los centos desde los cuales vamos a taza los tamos cuvos tenendo en cuenta que volveemos a efeencalos según su poscón:! Defnemos los centos de los tamos cuvos: Defne el cento nº - Defne el cento nº Fnalmente ndcaemos como vamos a un los dstntos vétces dstnguendo en funcón de que sean tamos ectos ó cuvos: a Tamos ecto: El fomato geneal seá del tpo: 0 El 0 ndca que la sguente línea defne un tamo ecto. 2 3 Indcamos el númeo elatvo de los vétces que vamos a un. b Tamos cuvo El fomato geneal seá del tpo: El ndca que la sguente línea defne un tamo cuvo El 5 y el 6 defnen los vétces ogen y destno. El 2 se efee al númeo del cento al que hago efeenca. El 0.5 es el tamaño del ado del tamo cuvo. El es el sentdo de go que se defná como: + Sentdo contao a las agujas del eloj. - Sentdo de las agujas del eloj. -37-

162 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Po últmo escbemos las coodenadas e y de la stuacón de la fuente en el nteo de la estuctua:! Fnalmente ndcaemos la poscón de la caga fuente. 0 0 De esta foma tenemos totalmente defnda la estuctua a analza. En el ejemplo se ha analzado una guía elatvamente compleja que mezcla tanto tamos ectos como cuvos. La descpcón de estuctuas más smples es mucho más senclla y ápda. Hasta ahoa las estuctuas dseñadas se han ealzado sguendo cetas pautas como ndcando en pme luga el vétce supeo deecho e defnendo los tamos desde ese vétce haca la zqueda de foma consecutva. Po últmo ndca que todas las meddas ntoducdas se encuentan metos m y que esta es la únca undad de medda que pemte el softwae desaollado Eleccón de puntos tangentes en el contono de la estuctua Una vez defnda la estuctua abtaa vamos a seleccona algunos puntos de su contono sobe los que mpone las condcones de los potencales svéndonos además en algunos casos de efeenca a la hoa de stua las cagas mágenes alededo. S suponemos que tenemos que stua N puntos en el contono de una estuctua abtaa esten un gan númeo de métodos paa ealzalo de ente los cuales hemos mplementado los que paecían más coheentes de foma físca. Cabe destaca que estos métodos se aplcaan a cualque estuctua una vez defnda en su fcheo de confguacón de foma automátca ndependentemente del tpo de estuctua en s. Los métodos popuestos son los sguentes: a Dstbucón po longtud unfome Este pme método consste en dstbu el númeo de puntos tangentes que tengamos de foma unfome ente todos los tamos tenendo úncamente como efeenca la longtud total de la estuctua. De este modo dvdendo esta longtud total ente el númeo total de puntos tangentes a dstbu tendemos cada cuanta longtud debeemos de stua los puntos tangentes de foma ndependente al tamo al que petenezca. sí los tamos que tengan una mayo longtud tendán un mayo númeo de puntos tangentes que aquellos tamos más cotos que ncluso puede que no tengan nnguno. Un ejemplo de este tpo de dstbucón de puntos tangentes seía: -38-

163 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Fgua 4. Dstbucón unfome de 5 puntos tangentes en una guía dge edondeada En este caso obsevamos como tenemos 5 puntos tangentes dstbudos de foma unfome en la estuctua de la guía dge edondeada. Empezando po el vétce númeo stuado en la pate supeo deecha vamos stuando puntos tangentes de foma que se encuenten sepaados una longtud constante. Oto ejemplo de dstbucón unfome los tenemos en la guía tangula: Fgua 4.2 Dstbucón unfome de 5 puntos tangentes en una guía tangula Obsevamos como en este caso tas empeza a ubca los puntos tangentes desde el vétce supeo deecho nngún oto vétce ecbe un punto tangente. b Dstbucón po vétces y po mtades de segmentos En este caso la dstbucón de los puntos tangentes es dfeente al caso anteo. En pme luga se posconaá un punto tangente en cada vétce po lo que todo tamo tendá al menos un punto tangente ndependentemente de su longtud y posteomente se án posconando nuevos puntos tangentes en aquellos tamos cuya dstanca ente dos puntos tangentes sea mayo stuando el nuevo en medo. Paa clafca la dea supongamos que ncalmente en una estuctua tangula mponemos 3 puntos tangentes y poco a poco vamos añadendo un mayo númeo de puntos: -39-

164 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas a b c Fgua 4.3 Ubcacón de 34 y 7 puntos tangentes en una guía tangula empleando una dstbucón de los msmos po vétces y mtades de segmentos. Obsevamos la evolucón en la nsecón de puntos tangentes en la guía tangula. En a los tes pmeos puntos tangentes a coloca se ubcan en los vétces de la guía en b el cuato punto tangente se stúa en un tamo medo y en c la stuacón se epte con 7 puntos tangentes. plcando este concepto a una guía dge con los lados edondeados con un total de 32 puntos tangentes tendemos una ubcacón de los msmos de: Fgua 4.4 Ubcacón de 32 puntos tangentes en una guía dge edondeada empleando una dstbucón de los msmos po vétces y mtades de segmentos. Compobamos como se ha stuado un punto tangente en todos y cada uno de los vétces stuándose el esto de foma que cube la estuctua totalmente. -40-

165 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas c Dstbucón po dstanca meda del tamo a la caga fuente En este caso la táctca a segu seá asgna a cada tamo un númeo de puntos tangentes y luego dstbulos en él. La foma de ealza esta asgnacón tendá dos componentes: o Un númeo de puntos tangentes fjo po ejemplo del 70% aunque es modfcable que se va a dstbu de foma unfome po la estuctua de foma que a todos los tamos le coesponda el msmo númeo de puntos tangentes. o El esto se asgnaá en funcón de la dstanca meda de cada tamo a la poscón de la caga fuente de foma nvesamente popoconal. sí cuanto más ceca esté un tamo de la caga fuente más puntos tangentes se le asgnaán. Un ejemplo de esta dstbucón se puede obseva claamente en la estuctua dge con los lados edondeados: Fgua 4.5 Ubcacón de puntos tangentes en guía dge edondeada en funcón de la dstanca meda de cada tamo a la fuente d Dstbucón po longtud unfome saltando los vétces unque en la mplementacón de los dstntos casos la ubcacón de puntos tangentes en los vétces de las estuctuas no ha ocasonado nngún conflcto y ha popoconado unos potencales coectos físcamente el potencal en un vétce no se encuenta defndo. Ello es debdo a que no es posble defn un vecto nomal a él pues esten dos uno petenecente a cada tamo. La solucón adoptada a este poblema hasta la fecha había sdo consdea uno de los dos vétces de cada tamo como un punto petenecente al msmo de tal foma que cada tamo pesenta su vétce asocado y se ompe la posble ndefncón. No obstante se ha mplementado este nuevo método que ubca los puntos tangentes en tamos sn consdea los vétces y posteomente dstbuye estos puntos en cada tamo de foma equtatva evtando el posconamento de los msmos en los vétces. De esta foma se evtan posbles conflctos a la hoa de defn los potencales. En la fgua 4.6 podemos obseva una guía ectangula con 20 cagas/dpolos magen obsevando como los puntos tangentes se dstbuyen alededo de su contono saltando los vétces. -4-

166 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Fgua 4.6 Ubcacón de 20 puntos de foma unfome y saltando los vétces sobe una guía ectangula Ubcacón de las mágenes Una vez que tenemos totalmente defnda la estuctua y ubcados los puntos tangentes donde fozaemos que se cumplan las condcones de contono el sguente paso seá stua de foma adecuada las cagas/dpolos mágenes alededo. Impondemos el msmo númeo de cagas mágenes que puntos tangentes se hayan defndo tal y como lo equee la fomulacón. En este apatado mostaemos aquellos tpos de ubcacón de mágenes estátcos es dec que no van a camba su poscón en funcón del coste de los potencales. De ente las dstntas posbldades de stua las mágenes se han mplementando las sguentes: a Stuacón ccula En este pme caso vamos a stua las cagas mágenes de foma ccula alededo de la estuctua abtaa de foma ndependente a como se hayan stuado los puntos tangentes en el contono. El ado del cículo sobe el que se stúan las cagas mágenes se calcula a pat de la dstanca máma desde el cento hasta la estuctua multplcándolo po un facto coecto. Mostamos a contnuacón dos ejemplos con una guía dge edondeada y una guía ombo: Guía dge edondeada Guía Rombo Fgua 4.7 Ubcacón de mágenes de foma ccula alededo de una guía dge edondeada y una guía ombo. -42-

167 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas b Posconamento especula En este caso asgnaemos a cada caga/dpolo magen un punto tangente a la estuctua de efeenca especto al cual hallaemos su ubcacón. Concetamente paa una caga magen dada hallaemos la ecuacón de la ecta que une la caga fuente en el nteo de la estuctua con el punto tangente en la estuctua de efeenca y hallaemos la dstanca que los sepaa que llamaemos d. Posteomente y sguendo la ecta calculada anteomente ubcaemos la nueva caga magen a una dstanca d desde el punto tangente haca el eteo de la estuctua. En funcón del tpo de estuctua puede que este posconamento no sea coecto pues algunas cagas mágenes caeían en su nteo o en el contono; este es el caso de la guía dge en todas sus vaantes que no puede se analzada medante este método. lgunos ejemplos de stuacón de las cagas magnaas medante este método seían: Cuadado con dos lados edondeados Tángulo Fgua 4.8 Ubcacón de mágenes medante posconamento especula. Ejemplos con una guía cuadada de bodes edondeados y una guía tangula. Obsevamos como en funcón de la dstanca ente la caga fuente y cada uno de los puntos tangentes se van stuando las dfeentes cagas mágenes. c Posconamento especula con vaacón paa tamos cuvos Esta tpo de posconamento es una vaacón del anteo que se compota eactamente gual paa el caso de los tamos ectos. La modfcacón se ntoduce paa el caso de los tamos cuvos donde en vez de usa la anteo foma de colocacón empleaemos un plano tangente aula al punto tangente en el tamo cuvo ubcando la caga magen de foma smétca especto a este plano tal como obsevamos en la fgua 4.9. Obsevamos como paa cada punto tangente sobe el que mpone las condcones de contono en un tamo cuvo stuamos un plano tangente aula especto al cual hallaemos de foma smétca la poscón de la magen. l gual que ocuía con el método anteo es posble que paa algunos tpos de estuctua no se pueda ealza este tpo de ubcacón de las cagas mágenes pues algunas de ellas pueden cae en el nteo o el contono de la estuctua. En el caso de que se pueda aplca este método suele popocona mejoes esultados que el anteo cuando esten tamos cuvos. -43-

168 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Fgua 4.9 Ubcacón de mágenes en tamos cuvos Un ejemplo seía la guía cuadada con dos lados edondeados donde obsevamos claamente la combnacón de las dos técncas de ubcacón de mágenes. Fgua 4.20 Combnacón de técncas de ubcacón de mágenes: especula y ecta tangente aula paa tamos cuvos. Ejemplo sobe guía cuadada con 2 lados edondeados. d Stuacón de las mágenes sguendo el contono de la estuctua En este últmo tpo de posconamento de las mágenes stuaemos a las msmas a una dstanca de la estuctua en cuestón sguendo su contono. Intutvamente es un método muy sencllo que pesenta una mayo complejdad en su mplementacón po la abtaedad de las estuctuas. En la fgua 4.2 podemos compoba el funconamento de este método paa dos estuctuas elatvamente complejas: guía dge y guía estella. Guía dge Guía estella Fgua 4.2 Ubcacón de mágenes sguendo el contono de las guías dge y estella -44-

169 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Reconocmento de estuctuas abtaas Uno de los poblemas que se nos plantea a la hoa de tabaja con geometías abtaas es sabe s un punto cualquea se encuenta en el nteo o en el eteo de la estuctua paa pode así detemna s pocede calcula el potencal en ese punto o no. Es po tanto necesao defnse una estatega que nos pemta conoce con eacttud la ubcacón de cada punto del espaco especto a nuesta estuctua. Paa ello hemos mplementado el sguente algotmo: Reconoce los límtes de la estuctua abtaa e ntoducla en un ectángulo detemnado un poco mayo que la geometía. 2 Dado un punto abtao del espaco obtene la mínma dstanca desde el punto a ese ectángulo a tavés de los ejes e y. sí nos moveemos en línea ecta hasta el punto de más cecano del ectángulo. 3 Consdeaemos todos los tamos ectos en los que al menos uno de sus vétces se encuente en la deccón y sentdo que une nuesto punto abtao con el ectángulo estando los de la deccón contaa uno po aba y oto po abajo: Fgua 4.22 Reconocmento de tamos ectos stuados ente un punto cualquea y el eteo de la estuctua. Ejemplo con una guía cuadada. En la fgua 4.22 suponemos que tenemos un punto abtao en el nteo de la guía cuadada punto ojo y hallamos una deccón y sentdo paa llega al ectángulo que envuelve nuesta estuctua abtaa línea oja. demás úncamente el tamo zquedo tene al menos un vétce po delante de nosotos en la deccón y sentdo calculadas y uno de los vétces po aba y el oto po abajo en la ota componente en este caso el eje y. 4 En el caso de tamos oblcuos usaemos la ecta que une el punto de patda con el cuadado que engloba la estuctua buscando nteseccones con las ecuacones de las ectas de tamos oblcuos. Podemos obseva dos ejemplos en la fgua En el caso del tamo oblcuo de la zqueda obsevamos como la ecta que une el eteo de la guía con el punto en cuestón no ntesecta nngún tamo a dfeenca del tamo oblcuo de la deecha donde s se poduce esta nteseccón. -45-

170 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Fgua 4.23 Reconocmento de tamos oblcuos stuados ente un punto cualquea y el eteo de la estuctua. Ejemplo con una guía tangula. 5 Oto asunto algo más complejo es cuando nos encontamos ante tamos cuvos. En este caso hallaemos en pme luga la dstanca desde nuesto punto abtao hasta el cento que defne el tamo cuvo. S esta dstanca es mayo que el ado compobaemos s en nuesta deccón y sentdo de movmento vamos a tene delante al menos uno de los vétces del tamo cuvo. En caso afmatvo de alguna de las dos condcones anteoes pasaemos a estuda más en detalle el caso: o En pme luga compobaemos s tenemos po delante los dos vétces del tamo cuvo en cuyo caso es seguo que lo debeemos de atavesa. o En caso contao dscenemos s estamos en el nteo del tamo cuvo o no en funcón de los ángulos. Paa ello hallaemos el ángulo desde el cento del tamo cuvo a cada uno de los vétces y desde nuesto punto abtao al cento del clndo compobando posteomente s el ángulo especto al punto abtao se encuenta compenddo ente los ángulos de los vétces. 6 Fnalmente contaemos el númeo de tamos atavesados po la estuctua; s este númeo es mpa el punto abtao ncal se encontaba en el nteo; al se pa ó nulo el punto abtao ncal estaba fuea de la estuctua abtaa. De esta foma podemos analza cualque punto del espaco pudendo dstngu s petenece o no al nteo de cualque estuctua abtaa po compleja que sea. Esto es muy mpotante a la hoa de ealza el cálculo del potencal escala en el nteo de nuesta estuctua pues ya tenemos defndo completamente cual seá ese nteo. Mostaemos a contnuacón algunos ejemplos de cómo el softwae pogamado es capaz de detemna s un punto del espaco está en el nteo de la estuctua o no: -46-

171 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Fgua 4.24 Ejemplo de econocmento del nteo de estuctuas abtaas. Vsualzacón en 3D Ejemplos de potencales en estuctuas abtaas En este punto ya tenemos todo lo necesao paa calcula el potencal escala y vecto en el nteo de cas cualque estuctua. Este apatado mostaemos vaos esultados de potencales paa vaas guías. Empleaemos de foma geneal una ubcacón de puntos tangentes a las estuctuas unfome saltando los vétces paa evta posbles ndefncones. En cuanto a la colocacón de mágenes usaemos vaas técncas en funcón de la guía analzada. En el apatado sguente mostaemos como obtene un coste de la mplementacón del potencal escala y vecto en las guías lo que nos puede da una medda de la coeccón del msmo así como la posbldad de eleg aquel método de ente todos los popuestos que nos popocone un meno eo. Es de esalta que aunque po motvos de espaco sólo vamos a pesenta esultados de los potencales de algunas estuctuas cualque ota puede se ápdamente analzada sn más que defnla po sus vétces como vmos anteomente. La fecuenca de funconamento seá de 300Mhz en el capítulo sguente veemos el compotamento en fecuencas de las guías pues en este punto nuesto objetvo es mosta la capacdad de cálculo de estos potencales estando las meddas en metos o dectamente. Las guías analzadas son: Cuadada En este caso empleaemos un total de 40 mágenes dstbudas alededo de la estuctua a una dstanca de 0.5 de la msma. Los potencales obtendos fueon los sguentes: -47-

172 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Stuacón a analza Potencal escala Potencal escala Potencal vecto G Potencal vecto G Potencal vecto Gyy Potencal vecto Gyy Potencal vecto cuzado Fgua 4.25 Potencales paa una guía cuadada de 22m. 300Mhz. 40 mágenes. -48-

173 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas 2 Tangula En este caso empleaemos un total de 30 mágenes dstbudas de foma ccula alededo de la estuctua. Se han dstbudo los puntos tangentes en la guía tangula de foma unfome sn salta los vétces. Los potencales obtendos fueon los sguentes: Stuacón a analza Potencal escala Potencal escala Potencal vecto G Potencal vecto G Potencal vecto Gyy -49-

174 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas 3 Rombo Potencal vecto Gyy Fgua 4.26 Potencales paa una guía tangula. 300Mhz. 30 mágenes. En este caso empleaemos un total de 30 mágenes dstbudas de foma ccula alededo de la estuctua. l gual que ocuía con el caso de la guía tangula las componentes cuzadas no se anulan debdo a la pesenca de los planos oblcuos. Los potencales obtendos fueon los sguentes: Stuacón a analza Potencal escala Potencal escala Potencal vecto G -50-

175 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Potencal vecto G Potencal vecto Gyy 4 Rdge Potencal vecto Gyy Potencal vecto Gy Fgua 4.27 Potencales paa una guía ombo. 300Mhz. 30 mágenes. Paa analza la guía tpo dge al se algo más compleja empleaemos un total de 60 mágenes dstbudas de foma que sgan el contono de la guía elatvamente ceca de la msma. l no est tamos oblcuos n cuvos las componentes del potencal vecto cuzadas son nulas. Los potencales obtendos fueon los sguentes: Stuacón a analza Potencal escala -5-

176 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Potencal escala Potencal vecto G Potencal vecto G Potencal vecto Gyy 5 Estella Potencal vecto Gyy Potencal vecto Gy Fgua 4.28 Potencales paa una guía dge. 300Mhz. 60 mágenes. Paa analza la guía estella empleamos un total de 64 mágenes dstbudas de foma unfome a lo lago de su estuctua tenendo cada tamo de gual longtud el msmo númeo de puntos tangentes e mágenes. Esta guía no pesenta componentes del potencal vecto cuzado. Los potencales obtendos fueon los sguentes: -52-

177 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Stuacón a analza Potencal escala Potencal escala Potencal vecto G Potencal vecto G Potencal vecto Gyy Potencal vecto Gy Potencal vecto Gyy Fgua 4.29 Potencales paa una guía estella. 64 mágenes. -53-

178 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Paa conclu este apatado debemos de ndca que los potencales en el nteo de cada guía dependen de una foma muy sgnfcatva de cómo se ubquen los puntos tangentes en el contono de la msma así como de la stuacón de las mágenes. Pequeñas vaacones de estos elementos sobe algunos tpos de guías puede da luga a esultados dstntos. Es po esto que se necesta una medda paa evalua la coeccón de estos potencales: el coste o eo que cometemos al calculalos. Gacas a este coste podemos sabe cuando los potencales obtendos son coectos y con qué magen de eo lo son. demás nos pemtá analza los puntos en los que se cometen los eoes en las mplementacones con el fn de pode atacalos dectamente paa educlos. 4.4 Optmzacón de los potencales en estuctuas abtaas 4.4. Intoduccón En este apatado vamos a ntoduc un coste en el cálculo de los potencales tanto escala como vecto. Esta medda smla en concepto a la pesentada en el capítulo 3 nos va a pemt conoce el gado de pecsón en el cálculo de los potencales. Po ejemplo en las epesentacones de los potencales del apatado anteo no conocemos que eo se ha ntoducdo y hasta que punto obtenemos unos esultados váldos; sn embago s sobe cada estuctua sobe la que mplementamos los potencales hallamos el gado de cumplmento de las condcones de contono podemos sabe s esa epesentacón es válda. demás sobe cada tamo de cualque estuctua el softwae es capaz de mosta este coste o hasta que punto se cumplen las condcones de contono: podemos así dentfca pcos de eo ve la vaacón del msmo ó compoba poqué en el análss de una estuctua no obtenemos los esultados deseados. Ota aplcacón seá emplea este coste paa ealza una optmzacón del posconamento de las mágenes alededo de la estuctua a analza: stuando las msmas de foma ccula y vaando su ado msma técnca que pesentamos en el capítulo 3 ó optmzando la dstanca a la que stua las mágenes de foma especula desde la fuente. Con ambos métodos tataemos de consegu unas epesentacones óptmas. Fnalmente ndca que así compobamos como hay cetas estuctuas que pesentan una convegenca muy ápda con un númeo educdo de mágenes po ejemplo la guía cuadada ectangula ombo ccula etc pesentando po tanto un coste en la mplementacón de los potencales muy pequeño. Otas estuctuas necestan un númeo de mágenes mayo una ubcacón de las msmas de una detemnada manea etc. obtenendo costes mayoes como po ejemplo la guía dge guía estella guía dual etc. Conoce la dstbucón del eo es fundamental paa tata de dea métodos que consgan contene al msmo Coste del potencal escala La defncón del coste del potencal escala es déntca a la popoconada en el capítulo 3 pues ahí ya se ealzó con vstas a su etensón a estuctuas abtaas. Tas esolve el sstema de ecuacones con el que obtenemos el valo complejo de las -54-

179 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas N cagas que odean a la estuctua ecompondemos el potencal en el nteo de la msma medante: N Gv G ' q G ' 4.32 cy V o S ecoemos el contono de la estuctua en cuestón podemos obseva s se cumplen o no las condcones de contono obtenendo su coste asocado: Coste Gvcy dc 4.33 Contono Compobamos cómo paa el potencal escala la condcón a cumpl es evalua su valo en el contono de la estuctua. En este punto vamos a analza cualque geometía descomponela en sus tamos consttuyentes ectos ó cuvos y ve la dstbucón del potencal escala en los msmos. Integando el valo absoluto de este potencal obtendemos la medda del coste. Supongamos po ejemplo la guía cuadada de la fgua En pme luga numeaemos sus tamos paa pode dentfcalos y posteomente mostaemos la dstbucón del potencal escala en su contono: v Fgua 4.30 Repesentacón del potencal escala en el contono de una guía cuadada. 40 mágenes fuente en el cento de la guía. Podemos obseva la numeacón llevada a cabo en la guía cuadada. Empezando po el tamo supeo deecho s hubee en sentdo contao a las agujas del eloj sguendo po tanto el oden con el que fue defnda la guía cuadada en su fcheo de confguacón. Esta es la foma en la que seán numeados todos los tamos de cualque guía defnda. En segundo luga compobamos la dstbucón del potencal escala en el contono de la guía cuadada. Podemos obseva cada tamo de un colo dfeente y numeado. dfeenca de en la guía ccula donde epesentábamos el ángulo en este caso epesentamos el potencal sobe la longtud de cada tamo ponendo cada tamo a contnuacón del oto. Obsevamos como han apaecdo un total de 40 nulos povocados po las condcones de contono mpuestas y como los valoes del potencal ente ellos aumentan de foma especal en las esqunas. S ealzamos el cálculo del coste paa esta estuctua y con esa confguacón obtenemos un total de: 2 Coste

180 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Obsevamos que se tata de un valo muy educdo lo que mplca que el potencal escala calculado es coecto. Modfcacones en la ubcacón de cagas y puntos tangentes a la estuctua pueden dsmnu este coste peo en este caso no es necesao al tene esta epesentacón una pecsón muy alta. Oto ejemplo sobe una guía más compleja puede se la guía tpo dge. S empleamos un total de 60 mágenes dstbudas sguendo el contono de la guía a una dstanca de 0.25 una dstbucón dfeente a la empleada en la vsualzacón de los potencales en el apatado anteo el potencal escala en el contono de la estuctua seá: Fgua 4.3 Repesentacón del potencal escala en el contono de una guía dge. 60 mágenes fuente en el cento de la guía. En pme luga obsevamos como la numeacón de los tamos se ealza tal y como se eplcó anteomente: empezando desde el tamo supeo deecho y en el sentdo contao a las agujas del eloj. Esta egla se mantendá paa cualque estuctua analzada. En segundo luga vemos la dstbucón po tamos del potencal escala en la guía dge. Compobamos como la mayoía de los tamos pesenta un valo educdo cumplendo de foma adecuada las condcones de contono ecepto en cuato esqunas donde el valo del eo se dspaa. Estas esqunas son las cuato esqunas supeoes que dan a la abetua nteo. S vsualzamos el potencal escala en el nteo de la guía dge podemos compoba como en esas zonas apaecen unos pcos que no epesentan el potencal y son poductos una mala mplementacón: Fgua 4.32 Repesentacón del potencal escala en el nteo de una guía dge. 60 mágenes stuadas a 0.25 sguendo el contono de la guía. -56-

181 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas El coste total de la mplementacón del potencal escala paa esta guía dge es de: Coste mentas que el coste de la mplementacón mostada en el apatado anteo fue de 7.58 un coste mucho más educdo povocado po una sepaacón dfeente de las mágenes a la estuctua. Compobamos como paa el caso actual el coste es elevado estando popcado cas eclusvamente po lo pcos de las cuato esqunas supeoes nteoes. No obstante el eo es muy localzado sendo el potencal en el nteo de la guía coecto. De esta foma obsevamos como el Coste es una medda adecuada paa compoba la coeccón de los potencales en el nteo de guías de geometía abtaa. demás la dstbucón del Coste a lo lago de los tamos nos pemte dentfca cuales son las zonas donde el eo el mayo Coste del potencal vecto unque conceptualmente la defncón del coste del potencal vecto es gual a la pesentada en el capítulo 3 matemátcamente pesenta pequeñas dfeencas pues se ha cambado la fomulacón que pemtía el cálculo del potencal vecto. Es po ello que se va a da en este punto una nueva defncón del Coste paa el potencal vecto acode con la nueva fomulacón paa tamos ectos pesentada en este capítulo. Tal y como pasaba en la fomulacón ccula la mayo complejdad del potencal vecto hace que su análss no sea tan decto como en el caso del potencal escala. Recodando el sstema de ecuacones que nos popoconaba los valoes complejos de los dpolos magen tanto en deccón como en deccón y al mpone N condcones de contono: N N y y sen G I cos G I sen G cos N C N I sn N C y I y cos C y Donde los valoes de las constantes son: C cos sn d dy y y y C sn cos dy d 4.35 Supondemos que el dpolo fuente está oentado en la deccón sendo el desaollo análogo s estuvea oentado en la deccón y. Evaluaemos el gado de cumplmento de la ecuacón 4.34 no úncamente en los N puntos dscetos donde se mpone y donde debe de se 0 sno en todo el contono de la estuctua. sí tas esolve la ecuacón 4.34 ecompondemos los potencales en el nteo de cualque estuctua medante la ecuacón 4.3. En el caso del potencal vecto sus valoes no son nulos en el contono de la estuctua a dfeenca del potencal escala. Lo que s que debe de se nulo es la evaluacón en un punto cualquea del contono de la epesón 4.34 es dec: -57-

182 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas sn cos N N C G I yy I sn G cos G cos C 0 N y y sn C I 0 0 N I y Po tanto debeemos de ntega la contbucón de cada una de las condcones a lo lago de todo el contono de la estuctua: N N yy sn c G c I sn c G c 0 cos c G c Contono F I y dc 4.37 F N N 2 c c 0 c c Contono y y cos C I cos C sn C I dc sí cuanto más educdo sea el valo de las ecuacones 4.37 y 4.38 más fel seá la epesentacón del potencal vecto en el nteo de la estuctua. Fnalmente sumaemos ambas condcones con el fn de obtene un coste total epesentatvo del potencal vecto: F F C oste pesa de que las ecuacones son muy smlaes a las pesentadas en el capítulo 3 paa las guías cculaes este una dfeenca fundamental: la evaluacón de las constantes defndas en la ecuacón Tas defn el coste del potencal vecto ya podemos aplcalo a las dstntas estuctuas obtenendo así una medda del gado de coeccón de los potencales. l gual que en el caso del potencal escala pesentamos la dstbucón de este coste paa cada uno de los tamos que consttuyan la geometía analzada dstnguendo además ente las dos condcones 4.37 y 4.38 y el coste fnal Po ejemplo analzaemos una guía ombo con 40 mágenes obtenendo un coste del potencal vecto total de: -58-

183 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Fgua 4.33 Repesentacón del Coste del potencal vecto en una guía ombo con 40 mágenes. 300 Mhz fuente stuada en el cento de la guía. Obsevamos en pme luga la numeacón de los tamos del ombo comenzando desde el vétce supeo. nalzando la pmea condcón vectoal obsevamos como cumple los nulos mpuestos po las 40 mágenes apaecendo un pco en las esqunas. Un compotamento muy paecdo apaece en la epesentacón de la segunda condcón vectoal aunque ésta pesenta unos valoes más elevados. En conjunto obtenemos una dstbucón del eo smétca con unos eoes educdos y un aumento mpotante de éstos en los pcos. El coste total obtendo ha sdo de: un valo muy educdo paa los nveles de eo del potencal vecto. l gual que ocue con el potencal escala una vaacón de la dstbucón de mágenes o puntos tangentes modfcaá este coste. Oto ejemplo sobe una guía más compleja puede se la guía cuadada peo con dos lados edondeados. S empleamos un total de 64 mágenes dstbudas sguendo el método especula y ectan tangentes paa los tamos cuvos el potencal vecto en el contono de la estuctua seá: -59-

184 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Fgua 4.34 Repesentacón del Coste del potencal vecto en una guía cuadada con dos lados edondeados con 64 mágenes. 300 Mhz fuente stuada en el cento de la guía. En pme luga obsevamos la stuacón poco usual de las mágenes al combna técncas de ubcacón de tamos ectos con técncas de tamos cuvos. La numeacón de los tamos es la ealzada hasta la fecha. En segundo luga podemos compoba como el Coste total pesenta pcos en las tanscones de tamos cuvos a tamos ectos obtenendo los tamos cuvos un eo más consdeable. nalzando detendamente los esultados tambén obsevamos como apaecen los 64 nulos mpuestos po lo que el sstema de ecuacones planteado funcona de foma adecuada. 3 El coste obtendo ha sdo de un coste muy bajo po lo que los esultados obtendos los podemos consdea como váldos Optmzacón de potencales Una vez defndos el Coste del potencal escala y vecto vamos a utlzalo con el fn de optmza las poscones de las cagas mágenes al analza cualque tpo de estuctua obtenendo así una epesentacón de los potencales mucho más pecsa. Los métodos que vamos a pesenta en este apatado son una tansposcón decta de los métodos estudados en el capítulo 3 peo genealzados paa estuctuas abtaas. Confome vayamos pesentado cada método tataemos de estuda dstntas estuctuas obtenendo así sus costes y tatándolos de optmza. Mostaemos de foma conjunta la optmzacón de los potencales escala y vecto cuando sea posble mentas que otos tpos de optmzacones como las de descenso de gadente úncamente son aplcables al potencal escala Método de la vaacón del ado Los fundamentos de este método ya fueon pesentados en el capítulo 3 y báscamente consstía en envolve la estuctua a analza con un cículo de cagas/dpolos magen. La optmzacón del ado de este cículo medante la evaluacón del coste tanto del potencal escala como vecto pemte enconta un ado que mnmce el eo cometdo en la epesentacón de los potencales. El valo de este ado seá dfeente en funcón de que potencal estemos optmzando. demás ealzaemos un doble bado paa enconta el ado óptmo: un pme bado con paso gueso paa ubca la zona en la que se encuenta el mínmo del coste tanto paa el potencal escala como vecto y un segundo bado de paso fno con el que -60-

185 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas fnalmente obtendemos este mínmo. En funcón de la estuctua a analza y del númeo de mágenes empleadas el coste computaconal ceceá sendo elatvamente mpotante su cálculo en el caso del potencal vecto. Esta técnca ea la que mejoes esultados popoconaba en guía cculaes ya que las mágenes se dstbuían de la msma foma; no obstante paa estuctuas abtaías no popocona unos esultados tan satsfactoos pues no es capaz de adaptase a las peculadades de cada estuctua. Vamos a mosta un ejemplo de este método aplcándolo sobe una guía tangula empleando paa ello 30 mágenes. En pme luga obtendemos los potencales paa el caso de stua las mágenes de foma ccula peo sn ealza la optmzacón. Esta stuacón fue la analzada anteomente en el punto De este modo en la fgua 4.26 podemos obseva los potencales calculados. El coste de esta mplementacón fue elatvamente educdo con unos valoes de paa el potencal escala y de.7925 paa el potencal vecto. La dstbucón de estos eoes en el contono es: Fgua 4.35 Coste de los potencales escala y vecto en una guía tangula 30 mágenes ubcadas de foma ccula sn optmza su ado. Fuente en el ogen de coodenadas. Compobamos como todo la mayo pate del eo se encuenta en el vétce nfeo de la guía tangula tanto paa el potencal escala como paa el potencal vecto. Paa este últmo caso además apaece una pequeña componente en el vétce supeo zquedo. La dstbucón del eo no es smétca en los dos vétces supeoes debdo a que la dsposcón de los puntos tangentes a la estuctua no lo es tal y como se mostó en la fgua contnuacón ealzaemos la optmzacón del ado paa tata de mnmza estos eoes: Fgua 4.36 Evolucón del coste en funcón del ado del cículo que ubca a las 30 mágenes. Guía tangula. -6-

186 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Compobamos como el ado ncal que envolvía la estuctua tenía valo muy cecano al óptmo po lo que la mejoía de los potencales no es muy notable: de un coste del potencal escala de pasamos a uno de mentas que paa el caso del potencal vecto pasamos de un coste de.7925 a uno de.60. Esto sumado al coste computaconal equedo paa una mejoía tan poco sgnfcatva hace desaconseja este método en este caso. No obstante su efcaca vaaá en funcón de la estuctua que estemos analzando y de la ubcacón de la fuente en el nteo de la msma; no obtenendo unos esultados satsfactoos en la mayoía de las ocasones Método de la vaacón de la dstanca especula. En este tpo de posconamento vaaemos la dstanca de stuacón de las mágenes dento de la línea que une la fuente stuada en el nteo de la estuctua con su punto tangente sobe el que se mponen las condcones de contono asocado. De esta foma consegumos una dstbucón de las mágenes que sgue la estuctua analza cecendo o dsmnuyendo en tamaño hasta que consegu un coste óptmo. Este método es váldo tanto paa optmza el potencal escala como el potencal vecto y un emplea una táctca de doble bado gual a la comentada paa el método de ado vaable. Un ejemplo de la ubcacón de mágenes medante este método es el sguente: Guía Rdge 40 mágenes Guía Rombo 30 mágenes Fgua 4.37 Ejemplos de ubcacón de cagas medante el método de la vaacón de la dstanca especula. Casos de guía dge 40 mágenes y guía ombo 30 mágenes Los esultados obtendos con este método son muy satsfactoos ya que las mágenes se adaptan a la foma de la geometía a estuda especalmente paa aquellas estuctuas que no pesentan entantes ; en el caso de que los tuvean el método comenza a pat de aquel punto en el que todas las mágenes caen fuea de la estuctua. Como contapatda el coste computaconal de este método es elatvamente alto debdo a la gan cantdad de opeacones que hay que hace paa evalua el coste en el contono de una estuctua abtaía. Vamos a mosta un ejemplo de este método aplcándolo sobe una guía tpo estella empleando paa ello 64 mágenes. Paa pat de un esultado geneal evaluaemos esta guía con esta msma táctca de ubcacón de mágenes sn optmza; de esta foma podemos apeca las mejoas estentes en el caso de que se poduzcan. El método geneal popocona una ubcacón de mágenes y un coste a la hoa de mplementa los potencales de: -62-

187 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Fgua 4.38 Ubcacón de 64 mágenes en una guía estella medante un posconamento especula sn optmza. Repesentacón del coste escala en su contono. Realzando el bado en funcón de la dstanca de colocacón de mágenes podemos obtene una vaacón del coste en funcón de esta dstanca paa enconta una dstanca óptma en la que stua las mágenes. Concetamente paa esta confguacón y la guía estella hemos obtendo: Stuacón óptma Coste escala Vaacón Coste vecto con dstanca Dstbucón Coste escala contono Dstbucón Coste vecto contono Fgua 4.39 Stuacón fnal y epesentacón de Costes en el contono paa potenca escala y vecto. Guía estella 64 mágenes. Compobamos como obtenemos unas dstancas óptmas en el análss de la guía que vaían paa el potencal escala y vecto ya que debeemos de optmza sus dos valoes de foma ndependente. -63-

188 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas En cuanto al coste obtendo compobamos como el Coste escala que hemos obtendo se ha educdo de los ncales a un valo de ; po su pate el Coste vecto ha pasado de a un valo de En ambos casos la educcón ha sdo mpotante. Fnalmente compobamos la dstbucón del coste en el contono se centa cas eclusvamente en las esqunas tanto paa el potencal escala como paa el potencal vecto. Cabe destaca que la optmzacón que se ha llevado a cabo ha sdo muy compleja pues ea una estuctua con 4 entantes y 2 tamos. Paa estuctuas más smples la educcón del coste que consegumos con este método es muy mpotante y supeo a la del esto de métodos Optmzacón po descenso de gadente de las cagas En este apatado vamos a aplca la optmzacón po el método de descenso gadente con el fn de enconta unos valoes de las cagas complejas que descban al potencal escala pues este método todavía no se ha desaollado paa el potencal vecto de foma más pecsa mnmzando el coste/eo de su mplementacón. El algotmo de descenso de gadente utlzado es el msmo que el pesentado en el capítulo 3 pues éste ya se ealzó paa que pudea se etenddo de manea natual a estuctuas abtaas. De foma geneal un algotmo de descenso de gadente puede descbse como: w w C 4.40 Donde w epesenta un vecto con los valoes complejos de las cagas en la teacón + w epesenta el valo complejo de las cagas en la teacón actual es la constante de paso y wc es el gadente del coste en la teacón -ésma. La stuacón ncal de los pesos no seá aleatoa sno que patá de unos valoes conocdos y calculados medante Pont-Matchng. Es este punto debeemos de defnnos un coste sobe el que halla el gadente; nos quedaemos con la funcón de coste cuadátca conjugada pues fue la que do mejoes esultados en la optmzacón de la fomulacón ccula. 2 Coste Gvcy dc 4.4 Contono contnuacón debeemos de enconta el gadente del coste con el fn de actualza el valo complejo de las cagas. Este gadente y su desaollo concden eactamente con el epuesto en el capítulo 3 ecuacones 3.33 a 3.44 po lo que no lo volveemos a nclu aquí. S mostaemos el esultado fnal del cálculo del gadente del coste con el que actualzaemos los valoes complejos de las cagas mágenes: w q p C oste K dc 4.42 Gv o Gv p qgv Gv p Contono De esta foma ya podemos emplea el algotmo po descenso de gadente pues tenemos calculado el gadente del coste. -64-

189 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas En cuanto al coste computaconal su valo no es nada despecable debdo a la complejdad de las ecuacones obtendas; tataemos de educlo medante técncas como el ajuste dnámco del paso μ ó la detencón del algotmo con un cteo de convegenca. mbas técncas fueon eplcadas con detalle en el capítulo 3 y consguen educ de foma más que sgnfcatva el coste computaconal empleado. La convegenca al utlza este método dependeá de la stuacón de patda en la que nos encontemos así como de la estuctua que estemos analzando y de la poscón elatva de la caga fuente en su nteo. l gual que ocuía paa las guías cculaes el método se muesta más efectvo cuando tenemos un númeo de mágenes elatvamente educdo pues tene más capacdad de dsmnu el coste sn enconta un mínmo local. La cantdad de combnacones que podemos ealza en este momento es enome: una gan cantdad de estuctuas abtaas a analza con dstntas fomas de ubca los puntos tangentes en su contono y las cagas mágenes a su alededo. En todas estas combnacones podemos aplca un método de descenso de gadente paa optmza esas cagas dsmnuyendo de foma más o menos sgnfcatva el coste de la mplementacón del potencal vecto. Mostaemos a contnuacón como el algotmo empleado funcona paa algún caso conceto como po ejemplo una guía ectangula. Paa ello ubcaemos un total de 20 mágenes a su alededo sguendo su estuctua a una dstanca de 0.5. La stuacón de patda y el eo cometdo en la mplementacón del potencal vecto es la sguente: Fgua 4.40 Stuacón de patda al analza una guía ectangula con 20 mágenes stuadas a 0.5 de la estuctua. Repesentacón del coste de los potencales escala en el contono. El eo que obtenemos en la stuacón ncal es cetamente elevado de 33.3 que paa el potencal escala es un valo muy alto pesentando una componente mucho más elevada en las esqunas. No obstante hay que ndca que estamos analzando una estuctua elatvamente gande en témnos de con un númeo muy educdo de cagas. Compobamos como apaecen 20 nulos en la dstbucón del potencal escala alededo de la estuctua debdo a la mposcón de la condcón de contono en 20 puntos dscetos. S ealzaemos la optmzacón del valo complejo de las cagas tendemos una evolucón del coste en funcón del númeo de teacón y una dstbucón del coste escala de: -65-

190 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Fgua 4.4 Evolucón del coste del potencal escala al evalua una guía ectangula 20 mágenes. Compobamos como el compotamento del algotmo de optmzacón es fancamente bueno: educdos de un coste ncal de a uno de paa una msma stuacón. El númeo de teacones ha sdo elatvamente alto ya que el cteo de detencón que se le ha mpuesto egía una convegenca cas total. En cuando a la dstbucón del coste del potencal obsevamos como ya no apaecen los 20 nulos en puntos dscetos. Ello es debdo a que al optmza el valo complejo de las cagas se han dejado de mpone las condcones de contono en puntos concetos en busca de un valo pondeado que popocone el meno eo posble. Como pncpal nconvenente de este método y de foma mucho más mpotante que el coste computaconal es su ncapacdad de popocona unos esultados satsfactoos cuando el númeo de mágenes aumenta estando lmtado su uso a estuctuas analzables con un mámo de 30 mágenes ya que con un mayo númeo aunque el método funcona cae demasado ápdo en un mínmo local sendo la mejoía popoconada cas despecable Optmzacón po descenso de gadente de las poscones En este apatado vamos a aplca la optmzacón po el método de descenso gadente con el fn de enconta unas poscones de las mágenes en el plano y que consgan mnmza el coste de la mplementacón del potencal escala. l gual que con la optmzacón de cagas el algotmo de descenso de gadente empleado ya fue usado en el capítulo 3 pues se ealzó con vstas a se etenddo de foma natuas a estuctuas abtaas. La actualzacón de las poscones de cada magen se ealzaá medante la conocda fómula del gadente descendente: wc 4.43 y y C Donde y son dos vectoes que epesentan las poscones e y de cada caga magen que estamos calculando en la teacón actual y epesentan las poscones de las mágenes en la teacón anteo es la constante de paso y wc es el gadente del coste en la teacón -ésma. De esta foma patendo de unas poscones ncales de las mágenes po ejemplo cualquea de las epuestas en este capítulo alededo de la estuctua abtaa w -66-

191 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas a analza el algotmo á evoluconando paa enconta aquellas poscones de las mágenes que mnmcen el coste del potencal escala. El coste que debemos de optmza es el defndo en la ecuacón 4.4 es dec en su foma cuadátca conjugada. Paa pode ealza el algotmo debeemos de calcula el gadente de este coste especto a los ejes e y. Este desaollo ya fue ealzado en el capítulo 3 ecuacones de 3.55 a 3.64 y su esultado puede aplcase a estuctuas abtaas de foma decta. p C oste El esultado de este gadente especto a los ejes e y es: q p Gv 0 ' F p ' q p Gv 0 ' F p ' K K q p qgv F p ' q qgv F p Contono dc p ' 4.44 Donde el valo de la constante F dependeá de que estemos calculando en gadente en un eje u oto: j ' dgv ' e ' j ' ' ' F ' 3 d' ' 4.45 j ' dgv ' e y y' j ' ' y' F ' 3 d' ' En este punto ya podemos aplca el algotmo de optmzacón de las poscones po descenso de gadente pues hemos calculado todos los elementos necesaos. En cuanto al coste computaconal se ha ntentado contene empleando técncas conocdas ajuste dnámco del paso y detencón del algotmo automátca aunque sgue sendo elatvamente elevado. Una vez planteado el análss comenta que este algotmo funcona de foma adecuada en aquellos casos en los que la dsposcón de las cagas se encuenta elatvamente cecana a la estuctua abtaa. En los casos en los que las cagas magnaas se encuentan alejadas tambén poduce una mejoía de los esultados peo de meno cuantía que en el oto caso. Indca tambén que éste método es capaz de educ el eo de foma contnuada tenendo como límte teóco la pesenca de un mínmo local aunque en la páctca nunca llegaemos a él debdo al alto coste computaconal equedo y ealzaemos la detencón del algotmo antes. No obstante se obseva empícamente como el eo se va dsmnuyendo confome avanzan las teacones s ben no de foma busca s de foma contnuada lo que confee una mayo mpotanca a la fase de detencón del algotmo pues nos lmtaá en buena medda el coste computaconal del msmo. Oto tema que tambén se ha tatado es la modfcacón de las poscones de las cagas paa evta que éstas no se ntodujean en el nteo de la estuctua abtaa nvaldando po tanto el modelo. Tambén ndca que en funcón de la dsposcón ncal de las mágenes el método evoluconaá de una foma u ota obtenendo dstntas mejoías al analza una msma estuctua. En este punto mostaemos el funconamento del algotmo dseñado paa un caso conceto po ejemplo en el análss de guía dge. Paa ello empleaemos un númeo elatvamente pequeño de mágenes 25 stuándolas de foma ccula alededo -67-

192 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas de la estuctua. Tal y como se mostó en el capítulo anteo este método funcona especalmente ben paa los casos en los que la caga se encuente muy ceca de una de las paedes po lo que ubcaemos la fuente ceca de la paed deecha a una dstanca de.3. La stuacón de patda y fnal de las mágenes tas ejecuta el algotmo son las sguentes: Fgua 4.42 Stuacón de patda y fn de las 20 mágenes empleadas paa analza una guía dge. unque gáfcamente es dfícl apecalo s se ha poducdo un desplazamento en todas y cada una de las mágenes con el fn de educ el coste computaconal estente. En la stuacón ncal el coste ea de coste que se ha educdo medante la técnca empleada a un total de educcón más que sgnfcatva. Se han empleado un total de 300 teacones como podemos obseva en la fgua sguente: Fgua 4.43 Evolucón del coste en funcón del nº de teacón. Optmzacón de las poscones de 25 mágenes alededo de una guía dge. Compobamos como la educcón más mpotante se ealza en la pmea teacón y como al aumenta éstas el coste se sgue educendo aunque de manea más lenta. Llega a un coste meno es posble a epensas de usa un enome coste computaconal paa calcula las poscones de las mágenes adecuadas. -68-

193 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Compaacón de métodos Fnalmente vamos a nclu una compaatva al ealza el análss de dstntas geometías empleando dvesos métodos de optmzacón. Paa evta que se etenda demasado supondemos que la fuente se encuenta en el cento de la guía en cuestón en todos los casos. La compaatva la ealzaemos empleando una dstbucón ccula de las mágenes y luego optmzando el ado y empleando una dstbucón especula y optmzando la dstanca de sepaacón ente las mágenes y la fuente. Los esultados obtendos son: Guía Tpo potenca l Stuacón ccula Cuadada Escala mag Vecto Rectangula Escala mag Vecto Rombo 40 mag 3 Escala Vecto Coste al emplea el método Vaacón Stuacón dnámca especula ado Vaacón dnámca especula Tangula Escala mag Vecto Cuadada Escala lad. ed. No aplcable 60 mag Vecto No aplcable Estella Escala mag Vecto Rdge Escala mag Vecto Tabla 4. Coste escala y vecto al analza dstntas guías con todos los métodos de optmzacón pesentados. En pme luga obsevamos como paa las guías cuadada y ombo se obtene esultados muy paecdos en los dos tpos de optmzacones empleadas sendo lgeamente supeo la optmzacón del ado donde se ubcan las mágenes. No obstante paa el esto de estuctuas obtenemos un coste sensblemente supeo al optmza la ubcacón de las mágenes de foma especula ya que se adapta a la foma de la estuctua. Es nteesante ve el oden de magntud de los costes en funcón del método y como con una coecta optmzacón se puede pasa de un coste de más a tan sólo Tambén ndca que no se ha ntoducdo una compaatva ealzando la optmzacón medante un algotmo de descenso de gadente. Ello es debdo a que al emplea un númeo tan elevado de mágenes las mejoas que popoconan especto a sus stuacones de patda no son destacables. Estos métodos funconan de una foma

194 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas mucho mejo cuando el númeo de mágenes es educdo hasta unas 35 mágenes obtenendo un coste mucho meno en estos casos. Ota posbldad nteesante es la combnacón de técncas po ejemplo tas la optmzacón de la dstanca de ubcacón de mágenes de foma especula ealza una optmzacón po descenso de gadente tanto del valo complejo de las cagas como de las poscones de las mágenes paa el potencal escala optmzando todavía más el coste. Tambén cabe la posbldad de que una ubcacón de las mágenes sn optmza como po ejemplo sguendo la estuctua de la guía con mágenes muy ceca de la msma en el caso de guías con entantes po ejemplo donde la optmzacón no puede llega tan ceca popocone esultados mejoes. Este puede se el caso de la guía dge donde éste método es el que mejoes esultados popocona. De foma geneal podemos analza cualque estuctua po todos los métodos pesentados advtendo que en funcón de las patculadades de cada geometía unas técncas funconaan de un modo mucho más efectvo que oto. 4.5 Valdacón de esultados en una guía cuadada Hasta el momento hemos pesentado esultados del cálculo de los potencales escala y vecto en el nteo de estuctuas de geometía abtaía bdmensonales empleando una fomulacón en coodenadas catesanas que habíamos valdado paa el caso de una guía ccula. Debemos de tene en cuenta la stuacón en la que estamos calculando estos potencales: un cote nfntesmal en dos dmensones de una guía. No ha sdo posble enconta dstbucones de potencal paa un caso smla valdadas empleando otas técncas con el fn de aseguanos que los esultados que se han obtendo son coectos. En este punto vamos a compaa los esultados de los potencales obtendos de una guía cuadada concetamente paa un caso teóco en el que la guía es nfnta en el eje z. El cálculo de estos potencales paa este caso ha sdo amplamente estudado en [0] empleando una técnca que combna las fomulacones espacales y espectales de la funcón de Geen en la cavdad ectangula aplcando técncas de aceleacón de sees en los dos domnos. unque no es eactamente el msmo caso s tene cetas semejanzas pues el eje z es nvaante en todo momento mentas que en el cote nfntesmal dectamente lo consdeamos despecable. Paa ealza el estudo nos adecuaemos a los datos que tenemos de los potencales es dec una guía cuadada de 66 66mm. Empleaemos un total de 40 mágenes dstbudas alededo del cuadado sguendo su estuctua. La fecuenca empleada en este caso la modfcamos paa adaptala a los datos de que dsponemos sendo de 5 Ghz. sí la stuacón a analza seá: -70-

195 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Fgua 4.44 nálss de una guía cuadada 40 mágenes. Fuente en el cento 5 Ghz. Realzaemos las compaacones tomando vaas dstancas de ubcacón de las mágenes paa ve como vaían los esultados al vaa este paámeto. demás empleaemos un posconamento dstnto paa el potencal escala y paa el potencal vecto pues ya mostamos anteomente que las poscones en la que obtenemos un meno coste son dstntas en los dos casos. Se han ealzado cotes a lo lago del eje a una dstanca del bode nfeo de 6.5mm con el fn de evta la snguladad y los posbles poblemas de epesentatvdad que pueda ocasona. En las gáfcas sguentes compaamos los esultados en ese cote empleando el método descto en [0] con el método desaollado en este capítulo. Las dstntas dstancas de las mágenes alededo de la guía se ndcan medante la vaable sepaa en témnos elatvos desde el cento de la guía hasta un bode. Fgua 4.45 Potencales nomalzados en un cote a 6.5m a lo lago del eje desde el bode nfeo en una guía cuadada de 6666mm. Compaatva de método mágenes y método analítco descto en [0]. -7-

196 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas Compobamos como los esultados obtendos son muy buenos obtenendo unas dfeencas mínmas ente los dos métodos a pesa de habe empleado dstntas poscones de las mágenes paa envolve a la estuctua. Indca que tambén que se han ealzado otas compobacones a otas fecuencas y otos cotes paa esta msma guía cuadada obtenendo sempe una convegenca muy buena con los esultados analítcos mostados en [0]. De esta foma y a pesa de que como comentamos anteomente no estamos epesentando eactamente el msmo esultado podemos da po váldos los esultados y el cálculo de potencales ealzado hasta ahoa así como la fomulacón pesentada como coecta. sí el método pesentado es capaz de calcula los potencales en el nteo de cualque estuctua con una pecsón que tambén podemos acota. En este punto se abe la pueta a analza estuctuas eales: geometías en tes dmensones donde debeemos de consdea la vaacón en el eje z. De esta foma podemos valda los esultados obtendos en aquellas guías que pesentan solucones analítcas po ejemplo la cuadada y tambén en otas más complejas empleando paa ello como apoyo un softwae comecal como HFSS. 4.6 Softwae desaollado En este caso y a dfeenca del capítulo anteo en el que estían una gan cantdad de pogamas Fotan 90 ealzando cada uno un tpo de optmzacón se ha dseñado un únco pogama capaz de analza cualque estuctua defnda y de popocona todos los esultados. Paa ndcale al softwae que estuctua queemos analza así como la posble optmzacón de coste que vamos a lleva a cabo sobe ella empleaemos dos fcheos de confguacón pncpales: a Geom.n: Que ya fue epuesto en el apatado y en el que se defnen todas las caacteístcas de la estuctua que va a se analzada: vétces tamos ectos tamos cuvos etc. demás se añade nfomacón aceca de la ubcacón de la fuente puntual en el nteo de la guía. b Datos.n: Este fcheo sve paa ntoduc paámetos de confguacón como la fecuenca númeo de puntos de la ejlla sobe la que pesenta los datos númeo de mágenes empleadas dsposcón de los puntos tangentes alededo de la estuctua foma de ubca las mágenes y tpo de optmzacón tanto escala como vectoal. Un ejemplo de este fcheo de confguacón es:! Datos de entada del pogama! Fecuenca 3.0D8! Númeo de cagas/dpolos magen. 40! Númeo de puntos de la ejlla y 8 8! Ubcacón de ptos tangentes 0! Ubcacón de mágenes -72-

197 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas 5! Dstanca empleada en funcón del método! Optmzacón gadente mágenes 0! Optmzacón gadente poscones 0 Compobamos como los pmeos paámetos son comunes a los que necestaban los pogamas empleados en capítulos anteoes: fecuenca númeo de mágenes y númeo de puntos de la ejlla. Posteomente apaecen nuevos paámetos como son: a Ubcacón de ptos tangentes: Este paámeto se efee a la foma a la que vamos a dstbu los puntos tangentes alededo de la estuctua. Sus posbles valoes son: Valo Tpo de Dstbucón de puntos en la estuctua 0 De foma unfome saltando los vétces De foma unfome sn consdea los vétces 2 En los vétces el esto de foma unfome Un 70% unfome el esto en funcón de la dstanca meda 3 de la fuente al tamo. Tabla 4.2 Posbles valoes del paámeto Ubcacón de ptos tangentes b Ubcacón de mágenes: Este paámeto hace efeenca a la manea en la que ubcaemos las dstntas mágenes alededo de la estuctua. Los posbles valoes son: Valo Tpo de Dstbucón de mágenes 0 Ccula ado en funcón de la estuctua Ccula vaando el ado de foma dnámca paa mnmza el coste 2 Ubcacón especula en funcón de una dstanca de apoyo 3 Igual que 2 peo tata los tamos ectos de foma especal Vaacón dnámca de la dstanca especula. No pemte 4 tabaja con tamos cuvos. Se sgue el contono de la estuctua a una detemnada 5 dstanca. Tabla 4.3 Posbles valoes del paámeto Ubcacón de mágenes c Dstanca empleada: Este paámeto contola la sepaacón de las mágenes a la estuctua en el caso de que las mágenes sgan a la msma ó la dstanca de sepaacón de especula ente las mágenes y la fuente. d Optmzacón gadente mágenes: Indca s se ealzaá la optmzacón po descenso de gadente de las cagas de tal foma que un 0 ndca que no se ealzaá y un que sí. -73-

198 Capítulo 4: Etensón de la fomulacón espacal de Geen a estuctuas abtaas e Optmzacón gadente poscones: Indca s se ealzaá la optmzacón po descenso de gadente de las poscones de tal foma que un 0 ndca que no se ealzaá y un que sí. De esta foma el softwae genea de manea automátca cualque estuctua dstbuye los puntos tangentes sobe la msma así como las mágenes de la foma en la que se ndcó. Posteomente calcula los potencales llevando a cabo las optmzacones ndcadas. Paa la vsualzacón de los datos tambén se ha dseñado un únco scpt de Matlab denomnado Inco.m. Tas ejecutalo se obtenen todos los datos: vsualzacón de los potencales en el nteo de la estuctua dstbucón del coste escala y vecto sobe cada tamo cotes de los potencales en los eje e y etc. Fnalmente destacamos el gan automatsmo consegudo con el softwae sendo capaz de analza cualque tpo de estuctua medante el método de las mágenes espacales epesentando fáclmente los datos. -74-

199 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales 5. Intoduccón 5. nálss de cavdades tdmensonales Una de las ventajas que tene la técnca desaollada en los capítulos anteoes es que puede etendese fáclmente a cavdades en tes dmensones es dec consdeando el eje z que hasta ahoa no habíamos tendo en cuenta. Paa ello vamos a stua tapas en la pate nfeo y supeo de la estuctua dejándola totalmente ceada. demás el nteo de la guía a analza no tene poqué se ae como hemos consdeado hasta ahoa al emplea la funcón de Geen en espaco lbe sno que puede esta compuesto po un medo multcapa tenendo cada capa un deléctco dfeente que caactezaemos po su pemtvdad. De esta foma paámetos como la fecuenca ó dmensón eléctca van a adqu una mpotanca mucho mayo pues nos van a defn totalmente la cavdad y la foma que los potencales van a adqu en su nteo. Realzaemos todos los cálculos suponendo fuentes eléctcas en el nteo de las cavdades; paa el caso de fuentes magnétcas el desaollo es smla aunque no dual pues camba el tpo de fuente peo no el tpo de paed. La foma de etende la fomulacón actual a una que tenga en cuenta las caacteístcas anteoes se ealza medante la susttucón de las funcones de Geen en espaco lbe empleadas hasta ahoa po funcones de Geen multcapa fomuladas en el domno espacal medante la tansfomacón de Sommefeld [9]. El empleo de esta tansfomada no úncamente pemte consdea las dstntas cavdades como medos multcapa con dstntos deléctcos sno que mpone de foma nmedata las condcones de contono a cumpl en las tapas supeo e nfeo de la estuctua. sí stuaemos un anllo de mágenes alededo de la estuctua ubcándose a la msma altua en la que se encuenta la fuente en el nteo. De esta foma mpondemos las condcones de contono que necestamos en puntos dscetos de la cavdad actuando los msmos tanto en el plano y como en el eje z. contnuacón analzaemos los potencales de cavdades tdmensonales; en pme luga empleaemos paa ello la fomulacón en clíndcas pesentada en el capítulo 2 como se detalla en [6] con el fn de analza este tpo de geometías; posteomente aplcaemos la tansfomacón de Sommefeld a la fomulacón en catesanas paa geometías abtaas pesentada en el capítulo 4. De este modo podemos analza cavdades tdmensonales que no sean eléctcamente gandes es dec que su longtud en el eje z en témnos de longtud de onda sea pequeña ya que empleamos un únco anllo mágenes paa analza toda la cavdad y éste se muesta nsufcente s la altua de la msma es eléctcamente elevada. Obtendemos de esta foma los potencales a la altua en la que hemos stuado el anllo de cas cualque cavdad sn más que defn la msma tal y posteomente ndca las caacteístcas que pesenta en tono al eje z : altua deléctcos en cada capa etc. demás valdaemos los esultados paa el caso de una guía cuadada con el método analítco mostado en [0] consstente en una combnacón de la fomulacón espacal-espectal de Geen. Se obtene una convegenca total de ambos métodos valdando así el desaollo pesentado. -75-

200 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Posteomente abodaemos el estudo de cavdades con una altua eléctca cualquea empleando paa ello no un únco anllo como hasta ahoa sno un conjunto de anllos espacados en altua ente s que envuelven de foma completa la estuctua mponendo las condcones de contono a dfeentes altuas. Estos anllos están fomados po mágenes que van a nteactua todas con todas y con todos los puntos de la cavdad sobe los que se mponen las condcones de contono ceándose un sstema de ecuacones de oden elevado. Gacas a este método consegumos evalua los potencales en el nteo de cualque estuctua ndependentemente de su altua eléctca. No obstante el coste computaconal aumenta de foma popoconal con el númeo de anllos sendo po tanto un facto detemnante. Este método se ha mplementado tanto paa cavdades cculaes como paa cavdades abtaas y seá valdado con una guía cuadada eléctcamente gande empleando el método descto en [0]. Según el teoema de uncdad [8] la solucón a un poblema de electomagnetsmo es únca cuando se han mpuesto todas las condcones de contono. En el caso que estamos pesentando esta afmacón no es del todo coecta ya que las condcones de contono se cumplán en puntos dscetos de la estuctua y no en todo su alededo como equee el teoema. demás la mplementacón de las ntegales de Sommefeld no es eacta en todos los casos pudendo est pequeñas vaacones. Todo esto nos lleva a que dstntas stuacones de mágenes alededo de una cavdad nos van a popocona dstntos potencales en el nteo de la msma tal y como ocuía en el poblema bdmensonal donde no tenía sentdo el teoema de uncdad pues las condcones de contono no estaban mpuestas en las tapas. En el últmo apatado mostaemos un método paa el cálculo de las fecuencas de esonanca de la cavdad. Concetamente evaluaemos los potencales en un punto dsceto en el nteo de la guía abtaa en funcón de la fecuenca obtenendo pcos de potencal a las fecuencas de esonanca. La epesentacón de los potencales en el nteo de las guías a esa fecuenca nos mostaá la dstbucón del modo ectado. Es muy mpotante la eleccón tanto de la ubcacón de la fuente como del punto fjo de obsevacón: la fuente debe de se capaz de ecta el modo en cuestón y el punto de obsevacón no debe de encontase en un mínmo de la dstbucón del modo. Compaaemos las fecuencas de cote en guías con solucón analítca como po ejemplo la cuadada y no analítca empleando paa ello el softwae de electomagnetsmo comecal HFSS. Su empleo además nos pemtá una compaacón de la dstbucón del potencal en las fecuencas de esonanca obtenendo los modos a los que esuena cada estuctua. 5.2 nálss de cavdades eléctcamente cotas 5.2. Tansfomada de Sommefeld Un estudo detallado de la tansfomada Sommefeld puede encontase en [9] aquí nos efeemos a ella de foma aplcada al método de mágenes espacales no sendo objetvo del pesente poyecto un estudo detendo de la tansfomada Sommefeld. -76-

201 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Báscamente esta tansfomada consste en obtene la funcón de Geen en el domno espacal patendo de su defncón en el domno espectal donde podemos defn los dstntos medos y sus caacteístcas con una mayo facldad. La tansfomada de Sommefeld puede epesase paa un caso geneal como: Donde: ~ G n ~ G Sn J n G 0 d 5. ~ G Funcón de Geen en el domno espectal G Funcón de Geen en el domno espacal. J n Funcón de Bessel de pmea espece y oden n Dstanca ente punto fuente y obsevacón. Paa un medo estatfcado los potencales base son devados del domno espectal empleando paa ello las coentes y voltajes evaluadas en un línea de tansmsón tansvesal equvalente que descbá al medo estatfcado. Un estudo detallado de estos conceptos se puede enconta en [4] y [2]. Paa los potencales aquí estudados obtenemos unos valoes de: TE ~ w TM V J z Gv j VJ z 2 j 5.2 TE ~ ~ yy VJ z G G j 5.3 Donde el voltaje V TM J es evaluado en la línea de tansmsón tansvesal equvalente bajo una ectacón TM mentas que el voltaje V TE J lo es bajo una ectacón TE Descpcón de la cavdad Paa pode calcula la tansfomada de Sommefeld tenendo en cuenta las caacteístcas de la cavdad en cuestón debeemos de defn la msma. Una pme paso consste en la defncón de sus caacteístcas en el plano X-Y tal y como se ealzó paa un cote nfntesmal de la estuctua en los capítulos 2 y 4. sí empleaemos estuctuas cculaes empleando paa su análss la fomulacón en clíndca pesenta en el capítulo 2 y tambén estuctua bdmensonales más abtaas analzadas con la fomulacón en catesanas desaollada en el capítulo 4 defnendo las msmas po sus vétces en el fcheo de confguacón Geom.n En este punto debeemos de descb la estuctua a analza especto a su eje z es dec en altua. Paa obtene las tansfomadas de Sommefeld vamos a apovecha un softwae que ealza su cálculo estando las caacteístcas técncas de la evaluacón de la tansfomada ealzada en [0]. p -77-

202 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Po tanto debeemos de descb la cavdad que estamos analzando de manea apopada con el fn de que el cálculo de la tansfomada de Sommefeld sea el adecuado. Paa ello tenemos una gan vesatldad pudendo confgua en el fcheo de entada tlm7.n una gan cantdad de paámetos como. Un ejemplo de este fcheo seá: INPUT DT Numbe of layes n the stuctue 2 2 Top and bottom coves Fee-space=0 Gound plane=. [Top - Bottom] 3 Natue of top egon Lateally opened= shelded=2 2 4 Geomety of all layes. [Thcness mm - Eps - tandd - Mu - tandm ] Numbe of Souces 6 Types of souces and ode of the laye below souces [Souce- Type- Laye] 2 7 Numecal ntegaton paametes. [nt as - nt2 nt nntep - pe peod] Mnmum value fo the nomalzed spatal vaable Numbe of spatal vaable ponts. 00 En pme luga se ndcaá el númeo de capas de que consta la estuctua en altua. S vamos a stua una fuente puntual a mtad del eje z tendemos dos capas necestándose la nteseccón paa stua ahí la fuente. Se pueden defn más capas especfcando posteomente sus caacteístcas. El apatado 2 ndcaá las tapas de la estuctua pudendo nclulas deja la estuctua abeta 0. contnuacón en 3 se ndca el tpo de tapa pudendo esta latealmente abeta ó totalmente ceada 2. Después debeemos de ndca las caacteístcas de cada una de las capas ncludas. sí especfcaemos su númeo elatvo su goso en mlímetos su pemtvdad eléctca pemeabldad magnétca etc. En 5 ndcaemos el númeo de fuentes que vamos a emplea y en 6 la ubcacón de las msmas en cuanto a las capas. Destaca aquí que se sgue un oden nveso en la numeacón en cuanto a las capas y fuentes: Fgua 5. Numeacón de capas y fuentes -78-

203 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Tambén ndca que el tpo de fuente puede se eléctca ó magnétca 2. En cuanto al esto de paámetos se efeen a la pecsón de las ntegales de la tansfomada Sommefeld. De esta foma defnemos completamente la cavdad que estamos analzando obtenendo así unos esultados de las ntegales de Sommefeld adecuados. l ubca un anllo de mágenes alededo de la estuctua a analza debemos de tene en cuenta que ello mplca una capa más en la confguacón de entada paa la obtencón de la tansfomada Sommefeld debdo a que en ese cote se stuaá una fuente que debe de se descta. Po tanto s necestamos emplea una see de anllos dstbudos a dstntas altuas seá necesao defn un conjunto de capas. l utlza el softwae como se descbá en un apatado posteo se le da al usuao la posbldad de descb el fcheo tlm7.n y todas sus capas de foma manual ó deja que el popo softwae establezca una confguacón apopada. Comenta fnalmente las gandes posbldades que nos abe el empleo de esta técnca: podemos evalua cavdades compuestas po un gan númeo de capas de dstntos deléctcos obtenendo así sus potencales. demás podemos consdea las cavdades con o sn tapas. Ello nos pemtá analza estuctuas eales como fltos antenas etc. obtenendo esultados páctcos váldos como puede compobase en [6]. lo lago de este capítulo vamos a analza cavdades que a pesa de esta defndas con vaas capas todas ellas tendán la pemtvdad del ae es dec. No obstante el softwae pemte analza estuctuas defndas con capas de dstnto deléctco como mostaemos en el capítulo sguente nálss de cavdades cculaes En este apatado vamos a etende la fomulacón en coodenadas clíndca pesentada en el capítulo 2 con el fn de pode analza cavdades consdeando la altua de la msma mponendo tapas a la pate nfeo y supeo de la estuctua así como medos multcapa compuestos po deléctcos de dstnta pemtvdad. Esta etensón se puede ealza de foma senclla sn más que susttu la funcón de Geen de espaco lbe empleada po la funcón de Geen multcapa popoconada po la tansfomacón de Sommefeld. La técnca po lo demás sgue sendo déntca a la pesentada hasta ahoa: stuaemos mágenes dscetas alededo de la cavdad ahoa tenendo en cuenta su altua y la altua de la fuente e mpondemos condcones de contono en puntos dscetos de la paed. Los potencales calculados se pesentaán en un detemnado cote X-Y a la altua donde esté stuada la fuente en el nteo de la cavdad salvo que se ndque lo contao pudéndose calcula a ota altua. Paa ello se defná una nueva capa hasta la altua donde se quee ealza la medda obtenendo los potencales en ese nuevo plano. Paa el caso del cálculo del potencal escala encontábamos el valo complejo de las cagas mágenes solventando el sguente sstema de ecuacones: -79-

204 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales -80- N G G q o v N v Susttuemos la funcón de espaco lbe de Geen po la funcón de Geen obtenda en el domno espacal que podemos calcula fáclmente medante la tansfomada de Sommefeld de oden 0: ~ 0 G S G V v 5.5 En este punto sn más que esolve el sstema de ecuacones 5.4 obtendemos el valo complejo de las mágenes necesaas paa ecompone el potencal escala en el nteo de la cavdad ccula. Este potencal escala calculado según hallamos defndo la cavdad ccula en cuanto altua tapas deléctcos empleados etc. ya tendá en cuenta estas consdeacones. contnuacón vamos a tata de obtene el potencal vecto susttuyendo nuevamente las funcones de Geen de espaco lbe po la funcón de Geen obtenda en el domno espacal. Paa ello usaemos en pme luga la tansfomacón: ~ 0 G S G G G yy 5.6 El sstema de ecuacones que debíamos esolve tal y como desaollamos en el capítulo 2 paa obtene los valoes complejos de los dpolos mágenes tanto oentados en el eje como en el eje y es el sguente: N C I C I C G I G I G N y y N N y yy N cos sn cos sn cos sn Donde habíamos defndo las constantes m n C como: ˆ p G e G C ˆ yy p yy y G e G C 5.8 Compobamos en este punto como debeemos de emplea tanto la tansfomada de Sommefeld de oden 0 paa la funcón espacal de Geen como la tansfomada de Sommefeld de oden. La tansfomada de oden defnda en [5] hace efeenca a la devada de la funcón espacal de Geen y cumple la popedad: S S Esta popedad la apovechaemos paa calcula el gadente defndo en la ecuacón 5.8. demás paa el paso ente los domnos espacal y espectal sabemos que:

205 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales -8- ~ ~ G j B G B ~ ~ y G j C y G C 5.0 Donde B y C son las devadas en el domno espacal mentas que B ~ y C ~ se encuentan en el domno espectal. De esta foma ya podemos calcula la ecuacón 5.8 en el domno espectal: y y p p e G j e G j e G G e G C ˆ ~ ˆ ~ ˆ ~ ~ ˆ ~ ~ 5. Y su paso decto al domno espacal: p p p G S e G S G S e G S G S G S e G S C ~ ' ' ˆ ~ ~ ˆ ˆ ~ ~ sn ~ cos ˆ ~ Donde el vecto untao ˆ es el que une el punto fuente stuado en el nteo de la estuctua y el punto tangente a la msma donde se mpone la condcón de contono. El cálculo de la ota ecuacón defnda en 5.8 es eactamente gual sn más que susttu G ~ po yy G ~. De esta foma ya tenemos todos los elementos paa esolve el sstema de ecuacones 5.7 pues hemos defndo todas las tansfomacones de Sommefeld necesaas paa ello. sí obtenemos los valoes complejos de los dpolos tanto oentados en como en y consguendo así obtene los potencales vecto en el nteo de la estuctua ccula Una vez obtendos los valoes de las mágenes la econstuccón de los potencales se ealza de foma déntca a la mostada en el capítulo 2: N y y y cy N cy N v o V cy G S I G G S I G S G G S q G S Gv ~ ~ ~ ' ~ ' ~ 5.3 La stuacón que tenemos tas ealza este cambo de fomulacón es que podemos analza clndo con tapas nfeo y supeo tenendo po tanto una detemnada longtud en el eje z. sí podíamos analza una cavdad clíndca cualquea. Po ejemplo vamos a analza una clndo de ado meto con una altua de 0.5 metos empleando paa ello un total de 40 mágenes. La fuente puntual la hemos stuado en el cento del clndo a una altua de 0.25 metos. La stuacón que estamos planteando es la sguente:

206 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5.2 Clndo a analza. Rado meto altua 0.5 metos. 40 mágenes stuadas de foma unfome alededo de la estuctua. Fuente en el cento a 0.25 metos de altua. Realzaemos dos análss a dos fecuencas dfeentes en pme luga a 300Mhz. Los cotes se muestan a la altua de la fuente. l utlza una fecuenca elatvamente baja no apaecen una gan cantdad de osclacones al epesenta los potencales como podemos obseva en la fgua

207 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5.3 Repesentacón de potencales en el nteo de una guía clíndca meto de ado 0.5 de alto 40 mágenes alededo. Fuente en el cento a 0.25metos. 300Mhz. Compobamos como hemos obtendo los potencales tanto escala y vecto en el nteo de la guía; el tempo de cálculo ha sdo muy educdo. Debdo al empleo de una fecuenca elatvamente pequeña 300Mhz la altua eléctca del clndo tambén lo es de tan solo 0.5 es dec 0.25 en la pate supeo e nfeo del anllo de mágenes. Es po ello que los potencales dececen de foma claa y no se poducen osclacones. S aumentamos la fecuenca a 600Mhz mantenendo gual el esto del análss obsevamos como estas osclacones ya comenzan a apaece: -83-

208 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5.4 Repesentacón de potencales en el nteo de una guía clíndca meto de ado 0.5 de alto 40 mágenes alededo. Fuente en el cento a 0.25metos. 600Mhz. Obsevamos como los esultados son coheentes en todo momento con los espeados obtenéndose los potencales de foma coecta. Indca que se han ealzado múltples puebas obtenendo una concodanca total al vaa el númeo de mágenes con convegenca muy ápda. Paa mosta la vaacón de los esultados en funcón de la ubcacón de las mágenes vamos a mosta los cotes en el eje X al stua una caga en la centada en la tapa nfeo del clndo mantenendo este su confguacón habtual con meto de ado y 0.5 metos de altua y empleando un total de 50 mágenes. La fecuenca seá de 300Mhz. Hemos vaado la confguacón especto al caso anteo paa mosta la obustez de la fomulacón ante dstntas stuacones. Compobamos como los cotes obtendos se mantenen totalmente estables ndependentemente de la poscón elatva de los msmos especto al cento ndcado en la vaable sepaa: Fgua 5.5 Cote de los potencales en el eje X en funcón de dstntas dstancas de ubcacón de las 50 mágenes empleadas al analza una guía ccula de ado meto 0.5 metos de alto. 300 Mhz. -84-

209 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales En cuanto a la valdacón del método esta se ha ealzado en [6] donde se compueban sus esultados satsfactoos empleando esta técnca en el análss de fltos de mcoondas nálss de cavdades abtaas En este apatado vamos a etende la fomulacón en coodenadas catesanas pesentada en el capítulo 4 con el fn de pode analza cavdades ceadas consdeando las tapas de las msmas y su altua. Tambén seá posble defn dstntos deléctcos en el nteo de la cavdad defnendo po tanto un medo estatfcado. Como ocuía en la fomulacón en clíndcas los potencales calculados se pesentaán en un detemnado cote X-Y a la altua donde esté stuada la fuente en el nteo de la cavdad salvo que se ndque lo contao pudéndose calcula a ota altua. l gual que en el apatado anteo la etensón de la fomulacón se ealzaá de foma senclla susttuyendo la funcón de Geen de espaco lbe po la funcón de Geen espacal popoconada po la tansfomada de Sommefeld. La técnca pesentaá las msmas caacteístcas que las pesentadas anteomente: analzaemos estuctuas abtaas cuadadas ectangulaes tangulaes ombo dge dual etc ponéndoles las tapas tanto supeo como nfeo. sí las estuctuas quedaán totalmente defndas en 3 dmensones pudendo analza los potencales en su nteo. La ubcacón de mágenes y los puntos dscetos de la estuctua en donde cumpl las condcones de contono seguán sendo factoes detemnantes a la hoa de obtene unos esultados váldos. Centándonos ya en la fomulacón paa este caso el caso del potencal escala seá déntco al desaollado en el apatado anteo pues ambas fomulacones en coodenadas clíndcas y catesanas lo tatan de la msma manea. Po tanto debeemos de esolve el sstema de ecuacones 5.4 con el fn de obtene los valoes complejos de las cagas que nos pemtan calcula el potencal escala. N q S N ~ ~ G S G v 0 v o 5.4 Donde hemos empleado la tansfomada de Sommefeld de oden 0. contnuacón vamos a ealza el desaollo del potencal vecto susttuyendo nuevamente las funcones de Geen de espaco lbe po la funcón de Geen obtenda en el domno espacal ecuacón 5.6. Supondemos que el dpolo fuente se encuenta oentado a lo lago del eje sendo el desaollo y esultado paa el caso en el que se encuenta stuado en el eje y totalmente dual. -85-

210 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales -86- El sstema de ecuacones a esolve es el mostado en la ecuacón 5.7 peo con el cambo en las constantes m n C estando ahoa defndas medante: d dy C dy d C y y y cos sn sn cos 5.5 Obsevamos el cambo debdo a la fomulacón en coodenadas catesanas y como nuevamente se equee el empleo de la tansfomada de Sommefeld de oden paa ealza el cálculo de las devadas. En pme luga epesaemos la ecuacón 5.5 en el domno espectal: sn cos ~ j j C 5.6 Posteomente volveemos a calculalo en el domno espacal medante la tansfomada de Sommefeld: ' ' ˆ ~ ˆ ˆ ~ ˆ sn ˆ cos ˆ sn ˆ cos ~ sn sn cos cos ~ ~ sn sn ~ cos cos e S e S e e e e S S S S C n n y y 5.7 En este punto es muy mpotante tene clao qué ángulo tatamos en cada caso que podemos clafca en la fgua 5.6. Fgua 5.6 Relacón de ángulos en la fomulacón catesana con tansfomada Sommefeld Obsevamos una paed oblcua de un tamo abtao de una estuctua cualquea sobe el que hemos mpuesto una condcón de contono T. La caga fuente esta señalada como el punto P. Vemos la defncón de los vectoes untaos desaollados en la fomulacón así como la dfeenca mpotante ente los dos ángulos tatados. El cálculo de la ota ecuacón defnda en 5.5 es eactamente gual sn más que susttu G ~ po yy G ~. De esta foma ya tenemos todos los elementos paa esolve el

211 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales sstema de ecuacones que nos popoconaá los valoes de los dpolos magen pudendo econstu el potencal en el nteo de cualque estuctua. Fnalmente esta econstuccón de los potencales seá llevada a cabo medante la ecuacón 5.3. En este punto el softwae mplementado es capaz de analza cavdades con estuctua en pncpo abtaa tdmensonales pues tenen en cuenta el eje z y con tapas tanto supeo e nfeo. Esto nos abe la pueta al análss de una gandísma cantdad de estuctuas cuyo análss de potencales no es posble de foma analítca. Tambén al habe contemplado la posbldad de usa deléctcos desde el pncpo el empleo de estos no conllevaá nnguna modfcacón del softwae ealzado. En el capítulo sguente mostaemos una gan cantdad de estuctuas analzadas con este método la dstbucón de sus potencales etc. En este apatado nos confomaemos con mosta los esultados paa la guía cuadada analza su convegenca y valda los msmos medante compaacón con el método analítco mostado en [0] y dscutdo anteomente. De este modo vamos a analza una guía cuadada de dmensones mm obtenendo sus potencales paa una fecuenca de 0 Ghz. La stuacón que estamos analzando cuando empleamos un total de 50 mágenes es la sguente: Fgua 5.7 Stuacón al analza una guía cuadada mm. 50 mágenes stuadas sguendo su contono stuadas a 5 mm. Podemos econstu los potencales en su nteo obtenendo: -87-

212 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5.8 Potencales en el nteo de una guía cuadada mm. 50 mágenes stuadas sguendo su contono stuadas a 5 mm. Compobamos como los esultados obtendos son coheentes y cumplen las condcones de contono mpuestas vaando las msmas en funcón del tpo de potencal analzado. contnuacón vamos a ealza un pequeño estudo aceca de la convegenca de los esultados en funcón de la poscón de las mágenes empleadas 50 compaando smultáneamente los esultados con los popoconados po el método descto en [0]. Paa ello mostaemos cotes a la altua de la fuente es dec 5 mm sobe z en el eje X a una dstanca en el eje Y de 6.5 mm del bode nfeo como ndca la fgua: Fgua 5.9 Ubcacón del cote en el eje X en la guía cuadada paa la vsualzacón de los potencales Las dstntas sepaacones de las mágenes especto a la estuctua están ndcadas en la vaable sepaa en funcón de la dstanca en mlímetos de las mágenes al lado del cuadado que contolan. Los esultados son los sguentes: -88-

213 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5.0 Compaacón de los potencales en una guía cuadada de mm en un cote en el eje X a 6.5mm del eje Y 50 mágenes dstntas poscones de las msmas. Fuente en el cento. Se muesta el esultado analítco espeado según [0]. 0 Ghz. Obsevamos en pme luga los esultados analítcos del método descto en [0] en línea oja. Compobamos como al ubca las cagas demasado ceca de la estuctua los esultados se alejan de los espeados ejemplos de líneas azul y vede mejoando de foma consdeable confome vamos alejando las mágenes de las estuctua. Obsevamos como a una dstanca de unos 5mm los esultados ya se pueden da po satsfactoos. Po oto lado compobamos como la convegenca con el método analítco descto en [0] se poduce al alcanza una ubcacón de las mágenes adecuada. Fnalmente obsevamos como los esultados de las dstntas poscones tenden a convege haca el msmo. Stua las mágenes en una poscón demasado alejada de la estuctua puede povoca poblemas numécos a la hoa de esolve los sstemas de ecuacones debdo a las apomacones numécas de las ntegales de Sommefeld empleadas. Po ello obsevamos como este un magen de ubcacones de las mágenes en los que obtenemos un esultado totalmente váldo de la estuctua. En los esultados mostados hasta ahoa hemos supuesto sempe que la fuente estaba stuada en el cento de la guía cuadada y a una altua meda. Vamos a mosta un ejemplo en el que vaaemos la ubcacón de la fuente stuándola en una poscón de mm en el plano X-Y esultante de obseva desde aba la guía cuadada tal y como obsevamos en la fgua sguente: -89-

214 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5. Stuacón a analza: guía cuadada mm 40 mágenes ubcadas a 33mm del contono. Fuente descentada stuada en -0.70mm del plano X-Y. Realzaemos un análss a 4Ghz paa vefca como el método funcona a dstntas fecuencas. Mostaemos nuevamente el cote a 6.5mm tal y como mostó la fgua 5.8 compaando los esultados con los analítcos popoconados po [0]. Ubcaemos 40 mágenes a una sepaacón 33mm la mtad del lado de cuadado obsevando como la convegenca es total: Fgua 5.2 Compaacón de los potencales de una guía cuadada mm en un cote en el eje X a 6.5mm del eje Y 40 mágenes ubcadas a 33mm del contono. Fuente en el cento.se muesta el esultado analítco espeado según [0]. 4 Ghz. Tas mosta como el método funcona coectamente veamos como una ncoecta ubcacón de las mágenes puede ocasona que los esultados no sean váldos. Paa ello vamos a pat de la stuacón con fuente descentada ubcando las mágenes de foma popoconal a la poscón de la fuente y muy dstantes tal y como muesta la fgua sguente: -90-

215 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5.3 Ubcacón de mágenes 40 mágenes alededo de una guía cuadada mm en funcón aumentada de su dstanca a la fuente descentada El análss lo ealzaemos empleando un total de 40 mágenes a una fecuenca de 4Ghz y lo compaaemos con los esultados espeados según [0]: Fgua 5.4 Repesentacón de los potencales de una guía cuadada en un cote al emplea 40 mágenes stuadas en funcón aumentada de su dstanca a la fuente pondeada. 4 Ghz. Compobamos como los valoes de los potencales en el cote no son los adecuados a pesa de que sguen la msma slueta. Esto ha sdo debdo a la colocacón ncoecta de las mágenes demasado lejos de la estuctua povocando poblemas numécos en la esolucón del sstema de ecuacones al emplea la tansfomada Sommefeld. -9-

216 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Ota compaacón nteesante que se puede ealza es vaando el númeo de mágenes paa conoce a pat de que cuantas mágenes empleadas los esultados convegen con los analítcos desctos en [0]. Paa ello vamos a contnua con el análss de la guía cuadada de mm empleando una fecuenca de 0Ghz y hacendo un bado con el númeo de mágenes empleadas vaando la msmas ente y 50. Mostaemos los potencales en un cote de la guía estando la fuente centada: Fgua 5.5 Compaacón de los potencales en un cote de una guía cuadada de mm en funcón del númeo de mágenes empleadas stuadas a 33mm de la guía. 0 Ghz. Las gáfcas de la fgua 5.5 muestan como confome va aumentando el númeo de mágenes obtenemos una convegenca total ente sus popos esultados y los popoconados po los analítcos. Vemos como con 20 mágenes la convegenca es total en los potencales con unas pequeñas dfeencas en el G. Con un númeo supeo de mágenes sempe obtenemos el msmo esultado en los cotes en todos los potencales concdendo además con los esultados analítcos. Paa temna este apatado ndcaemos que las estuctuas que hemos analzado hasta ahoa son eléctcamente pequeñas. Hemos empleado fecuencas de cómo mucho 0 Ghz mentas que la guía cuadada analzada pesentaba una altua total de 30mm. sí: c f m Relacon ltua Vemos como el anllo de mágenes contola en total una altua de en su 2 pate supeo y ota gual en su pate nfeo obtenendo unos esultados coectos. No obstante s aumentamos la fecuenca de foma mpotante po ejemplo hasta los 5-92-

217 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Ghz este únco anllo de mágenes no seá sufcente paa mpone las condcones de contono a lo lago de toda la estuctua. Un ejemplo de este caso lo tenemos al analza la guía cuadada tatada hasta ahoa con 40 mágenes y una fuente stuada en el cento de la guía. Empleaemos dstntas ubcacones de las mágenes en funcón de su dstanca en mlímetos al lado de la guía: Fgua 5.6 Compaacón de los potencales de una guía cuadada en un cote al emplea un anllo de 40 mágenes vaando su dstanca a la guía con el esultado analítco de [0]. 5 Ghz. Obsevamos como los esultados obtendos no son váldos: no consegumos una epesentacón de los potencales gual a los desctos de foma teóca en [0] y n squea hemos encontado una convegenca con las dstntas sepaacones. Esto es debdo a que la fecuenca es enome de tal foma que el anllo de mágenes mpuesto debe de contola una altua eléctca demasado gande: c f m Relacon ltua La únca solucón paa este caso seía stuando más de un anllo a lo lago de la altua de la estuctua de tal foma que la envolvea completamente y se satsfcean las condcones de contono en toda la cavdad. sí ntoducmos la fomulacón multanllo que pesentamos en el apatado sguente. -93-

218 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales 5.3 nálss de cavdades eléctcamente lagas: Multanllo Hasta ahoa hemos estudado cavdades cculaes y abtaas empleando paa ello un únco anllo de mágenes a su alededo stuado a la altua en la que se encontaba la fuente en el nteo e mponendo las condcones de contono a esa altua alededo de la estuctua. Sn embago cuando la altua eléctca de esta cavdad aumenta el empleo de un únco anllo mponendo condcones de contono en puntos dscetos de la cavdad a una únca altua se muesta nefcente como lo muestan los esultados de la fgua 5.6. En este apatado se popone el empleo de más de un anllo de mágenes stuando cada uno de ellos a una altua dfeente; de esta foma mpondemos condcones de contono paa los potencales en puntos dscetos de la estuctua a dfeentes altuas pemtendo el análss de cavdades eléctcamente lagas. l emplea esta técnca tendemos un númeo muy supeo de mágenes que las empleadas hasta la fecha debendo de nteaccona todas con todas así como con la fuente y con todos los puntos de contono tangentes a la estuctua stuados a lo lago de la msma en el plano X-Y y a dfeentes altuas. Un ejemplo de la stuacón que estamos planteando paa el caso de una guía cuadada es la sguente: Fgua 5.7 Stuacón planteada al analza con 3 anllos una guía cuadada Compobamos como los anllos se han dstbudo de tal foma que engloban a toda la estuctua de la guía cuadada. La foma de ubca las mágenes en el plano X-Y no vaía pudéndose emplea cualquea de las técncas pesentadas hasta el momento. En este punto con la dstbucón de las mágenes po anllos vamos a ehace la fomulacón empleada con el fn de tene en cuenta las nteaccones ente todas las mágenes y puntos de contono. Debdo a las múltples semejanzas que pesentan la fomulacón en coodenadas clíndcas y en catesanas ealzaemos el estudo de foma genéca señalando las dfeencas en cada caso cuando sea necesao. En pme luga es muy mpotante especfca cada dstanca a que equvale: a b ' a b a : Númeo de capa a : Númeo de capa b : Númeo de punto tangente de esa capa b : Númeo de magen esa capa -94-

219 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales sí la foma a la que nos efeemos a cada magen y a cada punto tangente seá como la que se ndca en la fgua 5.8: Fgua 5.8 Nomenclatua usada paa la ubcacón de mágenes y puntos tangentes en análss multanllo Supongamos un caso genéco fomado po M anllos que se dstbuyen en altua paa envolve a una cavdad cualquea tenendo cada uno de los anllos un total de N mágenes. De esta foma tenemos un total de M N puntos de contono dstbudos a lo lago de la estuctua e gual númeo de mágenes. Nos efeemos a cada magen de la msma foma que a la dstanca medante dos subíndces. El pmeo de ellos haá efeenca al númeo de anllo mentas que el segundo ndcaá el númeo de magen petenecente a ese anllo. El potencal escala defndo de la msma foma paa la fomulacón en clíndcas y en catesanas se puede edefn tenendo en cuenta los múltples anllos como: M N ~ ~ qp S0G v j p S0G v j o p N; j 2... M Donde hace efeenca al númeo de mágenes po anllo y j al númeo de anllos. sí obtenemos un sstema de ecuacones de oden M N M N cuya esolucón nos daá el valo complejo de las M N cagas que odean a la estuctua a analza satsfacéndose las condcones de contono en los M N puntos dscetos mpuestos sobe la cavdad. Vemos como no hemos hecho nnguna condcón aceca de la longtud eléctca de la cavdad; en funcón de la msma empleaemos un númeo de anllos u oto de tal foma que cada anllo contole una pate manejable de la msma. Fnalmente obtenemos el potencal escala en el nteo de la cavdad medante: M N ~ ~ Gv S G ' q S G ' 5.2 cy 0 V o 0 v p p Estos potencales los hemos obtendo en un plano X-Y de la estuctua pudendo stuase el msmo a cualque altua sn más que defn la msma en la cavdad. Salvo que se ndque lo contao mostaemos los esultados a la altua en la que se encuenta la fuente. -95-

220 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales -96- En cuanto al potencal vecto la efomulacón que conlleva el empleo de múltples anllos es smla a la ealzada paa el potencal escala tenendo en cuenta la pesenca de los dstntos anllos y de las mágenes petenecentes a cada uno de ellos: M j N C I C I C G S sen I G S I G S sen y j M p N y p y p j M p N p p j j M p N y p p j y M p N p p j 2... ; cos sn cos ~ ~ cos ~ La fómula anteo es válda tanto paa la fomulacón en clíndcas como en catesanas salvo la defncón de las constantes p j C ~ que en cada caso son: Fomulacón en coodenadas clíndcas: ~ ' ' ˆ ~ ~ 0 p j p p j p j G S e G S C Fomulacón en coodenadas catesanas: ' ' ˆ ~ e S C n p j p j 5.24 La fomulacón de las constantes en y es la msma sn más que susttu las funcones de Geen oentadas según el eje anteoes po otas oentadas según el eje y. l gual que en el caso anteo hemos consdeado que el dpolo fuente se encuenta oentado a lo lago del eje ; s estuvea en el eje y la fomulacón es totalmente dual. De esta foma obtenemos un sstema de ecuacones paa las dos fomulacones de dmensón N M N M 2 2 cuya solucón nos popoconaá los valoes complejos de los dpolos magen stuados en cada anllo N 2 en cada anllo N dpolos oentados a lo lago del eje y N dpolos oentados a lo lago del eje y. Una vez esuelto el sstema de ecuacones con un coste computaconal cada vez mayo debdo al oden del msmo podemos ecompone los potencales en el nteo de la estuctua que estemos analzando medante: M p N p y y y cy M p N p p cy G S I G G S I G S G ~ ~ ~ 5.25 En este punto ya podemos analza cavdades de altua eléctcamente gande; mostaemos en pme luga el ejemplo del apatado anteo de la guía cuadada de dmensones mm a una fecuenca de 5 Ghz. Esta confguacón no ea posble analzala con un únco anllo pues sus puntos de contono debeían de aguanta una longtud eléctca en el eje z de.5 0 po aba y po abajo del anllo. En este caso empleaemos un total de 3 anllos paa analza esta stuacón ubcando las mágenes de los msmos en las msmas poscones que en el caso anteo.

221 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales En la fgua 5.9 obsevamos como obtenemos una convegenca total con los esultados analítcos popoconados en [0]; gualmente apecamos como todos los potencales convegen ente s ncluyendo las stuacones en las que las mágenes están muy alejadas de la cavdad 0.35 metos fente a una cavdad de 6666 mlímetos. Cabe destaca que el coste computaconal en este caso es supeo al del esto; ello es debdo a la necesdad de obtene las tansfomadas de Sommefeld de una cavdad en la que se han defndo vaas capas en su nteo y al aumento del oden del sstema de ecuacones ceado. Fgua 5.9 Compaacón de los potencales de una guía cuadada en un cote al emplea tes anllos de 40 mágenes cada uno vaando su dstanca a la guía con el esultado analítco de [0]. 5 Ghz. Hasta ahoa hemos mostado sempe cotes de los potencales calculados a la altua en la que se encontaba la fuente; vamos a mosta paa esta msma confguacón guía cuadada de mm y a 5Ghz como obtenemos unos esultados totalmente concodantes con los esultados analítcos de [0] s ealzamos la medda a ota altua po ejemplo 20mm mantenendo el cote en el eje X a 6.5 mm del eje Y tal y como mostamos en la fgua 5.8. La foma de defn esta stuacón ha sdo añadendo una capa más en la defncón de la cavdad que no un nuevo anllo a la altua donde ealzaemos la medda. sí obtenemos un esultado de: -97-

222 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5.20 Compaacón de los potencales de una guía cuadada en un cote dstnto a la altua de la fuente al emplea tes anllos de 40 mágenes cada uno stuados a 33mm de la cavdad con el esultado analítco de [0]. 5 Ghz. Vemos como los esultados sguen concdendo de foma total con los analítcos desctos en [0] lo que nos popocona una valdacón del método pogamado. Fnalmente vamos a mosta la dstbucón de los potencales a meda altua de la guía en su plano X-Y paa el msmo caso que hemos estado analzando hasta ahoa y que hemos valdado: una guía cuadada de mm con la fuente centada: -98-

223 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5.2 Potencales a meda altua de una guía cuadada de mm 3 anllos de 50 mágenes cada uno ubcados a 33mm de la cavdad. Fecuenca de 5Ghz. En la gáfca anteo ealzando un análss detallado podemos compoba como se cumplen las condcones de contono mpuestas en los bodes de la guía cuadada así como ha aumentado el númeo de osclacones en su nteo debdo al aumento de la fecuenca. Los esultados son váldos. Hemos empleado en los casos anteoes 3 anllos paa obtene unos esultados adecuados no obstante esulta nteesante sabe que longtud eléctca en el eje z es capaz de contola un únco anllo paa pode ealza una dstbucón adecuada de los msmos. Tas ealza numeosas puebas empícas paa da con este valo se ha detemnado que un anllo es capaz de contola con esultados váldos una longtud eléctca de sopotando 0.5 tanto en su pate supeo como nfeo. No obstante este valo puede camba debdo a dvesas causas: empleo de estuctuas más complejas búsqueda de esultados más pecsos etc. demás este ha sdo el valo encontado paa una guía cuadada po lo que en oto tpos de guías puede se dfeente. Se ha decddo deja este paámeto de la longtud eléctca en témnos de como modfcable po el usuao; de esta manea el softwae econoceá automátcamente la estuctua que estamos analzando y su altua eléctca ntoducendo el númeo de anllos que consdee opotuno. Comenta tambén que la ntoduccón de anllos no mplca nnguna pédda de genealdad pudéndose aplca a cualque tpo de estuctua como mostaemos más detendamente en el capítulo sguente. Hemos empleado hasta ahoa una guía cuadada debdo a que ea la únca de la que podíamos dspone de datos de valdacón con el fn de compoba que el método popuesto funconaba de foma coecta tal y como así ha esultado. -99-

224 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales 5.4 Poblemas de convegenca Hasta este punto hemos etenddo la teoía de las mágenes a cavdades abtaas tdmensonales empleando paa ello la tansfomada de Sommefeld; la valdacón del método la hemos ealzado con una guía cuadada compaando los esultados con los popoconados po el método analítco popuesto en [0]. La convegenca del método paa la guía cuadada es muy ápda sn afecta demasado el númeo de mágenes empleadas a pat de un mínmo y la poscón elatva de las msmas. No obstante a la hoa de analza estuctuas más complejas pueden dase algunos poblemas paa enconta esta convegenca. Los pncpales poblemas se han encontado al ntoduc entantes ponuncados en las guías como po ejemplo un cote cuadado en la guía cuadada o al emplea tamos oblcuos con ángulos ente s muy ceados po ejemplo una guía ombo con dos de sus ángulos nteoes muy pequeños. En este apatado vamos a plantea un estudo de algunos de los casos en los que hemos encontado poblemas de convegenca tatando de acota los msmos y consegu los esultados más satsfactoos. Otas muchas stuacones son analzadas sn poblemas y no necestan una atencón especal. Concetamente vamos a pesenta dos casos: el estudo de guía dual fomada con una guía cuadada al que se le hace un cote cuadado en su esquna supeo y el estudo de una guía ombo en funcón de los ángulos nteoes de la msma Guía dual fomada po guía cuadada con cote en una esquna Paa el pme caso vamos a plantea el poblema de convegenca en una guía cuadada de meddas mm al que le hacemos un cote cuadado en su esquna supeo deecha de 8 8mm. Vamos a ealza un pme análss sobe esta estuctua vaando la dstanca de ubcacón de las 80 mágenes que stuaemos en un únco anllo empleando una fecuenca de 0Ghz y mostando los cotes en el eje X a una dstanca de 6.5mm del eje Y a la altua de la fuente: -200-

225 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5.22 Compaacón de los potencales en un cote del eje X en una guía cuadada de con un cote cuadado en su esquna supeo deecha de 88mm. 80 mágenes. 0Ghz. Obsevamos como los esultados no son nada satsfactoos: nnguna de las dstntas ubcacones de las mágenes ha sdo convegente con las demás. Ello es debdo al entante en la estuctua y a la dfcultad de ubca las mágenes de tal foma que las condcones de contono mpuestas epesenten de foma adecuada a la estuctua. Se ealzaon una gan cantdad de puebas con el fn de coeg este poblema: dstbucón de las mágenes de foma ccula dstbucón pegada a la cavdad o muy sepaada e ncluso un aumento puntual de las mágenes en la zona con entante con el fn de evta cualque poblema poducdo en esa zona. Nnguno de los métodos anteomente popuestos ha dado el esultado espeado. Una de las posbles causas de esta falta de convegenca puede se debda a que la altua eléctca que estamos domnando con un únco anllo es muy gande; paa tata de obtene una convegenca dsmnuemos la fecuenca de 0 Ghz a Ghz y ealzaemos un estudo smla al anteo vaando la dstanca de ubcacón de mágenes empleando 3 y 5 anllos de 80 mágenes cada uno. De esta foma tatamos de avegua a que dstanca de la cavdad debeemos de ubca las mágenes paa obtene un esultado óptmo. La stuacón que estamos analzando con un únco anllo es la epuesta en el ejemplo anteo al emplea 3 y 5 anllos la dstbucón de los msmos es la sguente: -20-

226 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5.23 Ubcacón de 3 y 5 anllos de 80 mágenes alededo de una guía cuadada de mm que pesenta un cote de 88mm en su esquna supeo deecha. En la sguente fgua se muesta los esultados de los cotes del potencal escala en funcón de la ubcacón de las mágenes paa 3 y 5 anllos: anllo 3 anllos 5 anllos Fgua 5.24 Potencal escala en un cote paa 3 y 5 anllos de 80 mágenes en funcón de la dstanca de los msmos a la cavdad cuadada de mm con un cote de 88mm. Compobamos como los esultados tenden a convege gacas al habe empleado una fecuenca más educda. Obsevamos no obstante que paa el caso de emplea 3 anllos la dstanca de 0mm de las mágenes a la cavdad es demasado alta volvéndose el esultado nestable. Un estudo de las msmas caacteístcas paa el potencal vecto lo podemos enconta en la fgua 5.25: -202-

227 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Potencal G con anllo Potencal G con 3 anllos Potencal G con 5 anllos Potencal Gyy con anllo Potencal Gyy con 3 anllos Potencal Gyy con 5 anllos Fgua 5.25 Potencal vecto en un cote paa 3 y 5 anllos de 80 mágenes en funcón de la dstanca de los msmos a la cavdad dual cuadada de mm con un cote de 88mm. Obsevamos como las dfeencas apecadas en el potencal vecto son más sgnfcatvas que en el potencal escala sn consegu obtene esultados satsfactoos al emplea un únco anllo. l stua vaos anllos 3 y 5 los esultados tenden a convegen ecepto cuando stuamos mágenes muy alejadas de la cavdad. La eplcacón de este fenómeno es debda a que paa pode mpone los puntos de contono en el nteo del entante de foma adecuada las mágenes deben de stuase en su nteo macando una dfeenca claa ente las mágenes que contolan el entante y las que contolan el esto de la estuctua. Vamos a ealza un segundo estudo de la poscón de las mágenes especto a la cavdad ealzando el bado de las msmas ente mm de la -203-

228 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales cavdad. sí espeamos enconta una zona convegente de ubcacón de las mágenes con el fn de pode analza los potencales en el nteo de la guía. Paa el potencal escala empleando 3 y 5 anllos obtenemos unos esultados de: anllo 3 anllos 5 anllos Fgua 5.26 Potencal escala en un cote paa 3 y 5 anllos de 80 mágenes en funcón de la dstanca cecana de los msmos a la cavdad cuadada de mm con un cote de 88mm. Vefcamos como los esultados obtendos en esta ocasón son plenamente convegentes apecando como el cote a la dstanca de 7mm de la guía pesenta unos valoes más pobes al ntoduc vaos anllos. Esto es debdo a poblemas numécos al ealza las ntegales de Sommefeld. Realzamos un estudo smla paa el caso del potencal vecto con el fn de obtene la dstanca óptma de ubcacón de mágenes: Potencal G con anllo Potencal G con 3 anllos -204-

229 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Potencal G con 5 anllos Potencal Gyy con anllo Potencal Gyy con 3 anllos Potencal Gyy con 5 anllos Fgua 5.27 Potencal vecto en un cote paa 3 y 5 anllos de 80 mágenes en funcón de la dstanca cecana de los msmos a la cavdad cuadada de mm con un cote de 88mm. Compobamos como se poduce el msmo efecto que en el caso del potencal escala pues al ubca las mágenes elatvamente lejos de las cagas 7 mm obtenemos esultados claamente ncoheentes. Po oto lado vemos como se ha poducdo una convegenca mpotante de los esultados stuando las mágenes ente 3 y 5 mm de la cavdad. De esta foma selecconaemos una ubcacón de mágenes a 5 mm de la cavdad; así evtamos encontanos en una zona demasado cecana a la estuctua y segumos obtenendo esultados coheentes. Una vez hallada la ubcacón apomada de las mágenes vamos a ealza un bado en funcón del númeo de mágenes empleadas en cada anllo paa ve el númeo mínmo de las msmas necesaas paa alcanza esultados convegentes. El númeo de anllos tambén seá vaado empleando 3 y 5 anllos. En la fgua 5.28 podemos compoba como paa un cote cualquea del potencal escala no obtenemos una convegenca con el númeo de mágenes n squea empleando un númeo elevado de anllos 5 y con una fecuenca elatvamente baja Ghz. Msmos esultados encontamos en la fgua 5.28 paa el potencal vecto de los cuales no podemos etae nnguna conclusón postva

230 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales anllo 3 anllos 5 anllos Fgua 5.28 Potencal escala en un cote paa 3 y 5 anllos en funcón del númeo de mágenes po anllo en una cavdad cuadada de mm con un cote de 88mm. En cuanto al potencal vecto obtenemos unos esultados de: Potencal G con anllo Potencal G con 3 anllos Potencal G con 5 anllos Potencal Gyy con anllo -206-

231 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Potencal Gyy con 3 anllos Potencal Gyy con 5 anllos Fgua 5.29 Potencal vecto en un cote paa 3 y 5 anllos en funcón del númeo de mágenes po anllo en una cavdad cuadada de mm con un cote de 88mm. En este punto compobamos como no ha sdo posble enconta una confguacón de puntos de contono e mágenes váldos paa el análss de los potencales en este tpo de guías. No obstante se ha vefcado como apaecen esultados convegentes al ubca las cagas en el nteo del entante de la guía; en cuanto al númeo de mágenes no hemos encontado un límte a pat del cual obtengamos esultados convegentes. El poblema de convegenca encontado es debdo al entante de la guía: concetamente a la dfcultad de segu la foma del msmo medante puntos dscetos que aunque mpone su condcón de contono no pemte etende esta condcón a puntos adyacentes debdo al cambo busco en la geometía que pesentan estos. sí apaecen eoes numécos sgnfcatvos a la hoa de analza esta guía que pueden se apecados como pcos encontados en la zona del entante. Un ejemplo muy clao de estos pcos los podemos enconta vsualzando los potencales a una fecuenca de esonanca de la cavdad po ejemplo la pmea la encontamos a 6.22Ghz en el apatado sguente mostaemos un método paa calculalas. esta fecuenca y con un total de 80 mágenes obtenemos un esultado de: Fgua 5.30 Vsualzacón de pcos de eo en el potencal escala de una guía cuadada de mm con un cote en una esquna de 88mm. 6.22Ghz. 60 mágenes. Obsevamos como a pesa de apaece la esonanca de la cavdad de foma coecta obtenemos unos pcos de eo alededo del entante. Estos pcos de eo son los que mpden que se poduzca la convegenca al vaa las dstancas de ubcacón de mágenes y el númeo de las msmas

232 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Paa temna con el estudo de la convegenca de los potencales en esta guía vamos a vsualza la matz fomada paa la esolucón del sstema de ecuacones del potencal escala defndo en la ecuacón 5.20 paa un caso geneal multanllo. El objetvo es compaa la foma de la matz paa la guía dual analzada con la guía cuadada cuyos esultados están valdados. sí paa 80 mágenes obtenemos: Fgua 5.3 Vsualzacón de las matces del potencal escala paa las guías cuadada y dual al emplea 80 mágenes. Compobamos una pequeña dfeenca en la esquna supeo deecha un desplazamento de la dagonal nfeo que es la que nfluye en el esultado fnal con la pesenca de los pcos y que es povocada po el entante de la guía dual. En el capítulo sguente ealzaemos un análss de la guía dual aquí pesentada patendo de este estudo de convegenca apovechando la ubcacón de mágenes descta y empleando un númeo elevado de mágenes sí compaaemos los esultados obtendos con los popoconados con HFSS paa el campo eléctco vendo que aunque apaecen algunas dfeencas concden de foma geneal con lo espeado Estudo Guía Rombo en funcón de sus ángulos ntenos En este punto vamos a estuda la guía ombo obsevando su convegenca en funcón de los ángulos ntenos que pesente. La vaacón de los ángulos ntenos mostados como y en la fgua tansfomaá la guía ombo desde una guía cuadada de dmensones 66665mm gada 90º hasta una guía muy alagada y estecha en el eje. Gáfcamente: Fgua 5.32 Ejemplos de guías ombos con dstntos ángulos ntenos

233 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Una de las fomas de mosta que los esultados son coectos es mostando su convegenca al vaa la dstanca de sepaacón de las mágenes dento de un detemnado magen así como mostando que a pat de un detemnado númeo de mágenes son esultados son totalmente convegentes. La guía ombo base que analzaemos pesenta unas dmensones de 66665mm sendo sus cuato ángulos ntenos de 90º. Mostaemos los esultados en el eje X de la guía vaando la dstanca de sepaacón de 60 mágenes stuadas en un únco anllo a una fecuenca elatvamente alta como son 0Ghz. sí obtenemos: Fgua 5.33 Potencales en el cote X cental paa una guía ombo con ángulos ntenos de 90º Se puede obseva como la convegenca con las dstntas ubcacones de las mágenes es pefecta po lo que damos este esultado po váldo. En el capítulo sguente calculaemos las fecuencas de esonanca de esta estuctua y los potencales en las msmas compaándolos con los esultados popoconados po HFSS vefcándose la coeccón de los cálculos. Vamos a educ los ángulos nteoes de la guía concetamente estableceemos 60º con el fn de obseva como vaía la convegenca. En la fgua 5.34 podemos apeca los potencales en el cote X cental de la nueva guía compobando como la convegenca sgue sendo muy buena y que úncamente han apaecdo pequeñas vaacones en el potencal vecto G sendo éstas páctcamente despecables

234 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5.34 Potencales en el cote X cental paa una guía ombo con ángulos ntenos de 60º De esta foma compobamos como el método es obusto al vaa estos ángulos nteoes. Vamos a contnua estas vaacones educendo todavía más los ángulos ntenos a un valo de 45º mantenendo el esto de caacteístcas gual. Los valoes de los potencales en el eje X encontados en esta stuacón son los sguentes: Fgua 5.35 Potencales en el cote X cental paa una guía ombo con ángulos ntenos de 45º -20-

235 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales En la fgua anteo podemos obseva una convegenca cas pefecta en el potencal escala donde úncamente apaecen unas pequeñas vaacones en la sepaacón máma es dec a 40 mlímetos de la guía así como del potencal vecto Gyy. En cuanto al potencal vecto G ya empezan a apaece poblemas de convegenca debdo a la dsmnucón pogesva de los ángulos ntenos del ombo. No obstante analzando en detalla su gáfca podemos ve una convegenca claa ente las sepaacones de 2030 y 40 mlímetos. Esto paece ndca que a esa dstanca se encuenta la ubcacón óptma de las mágenes. De esta foma compobamos como la guía ombo con sus ángulos nteoes a 45º esta cas en el límte de límte de convegenca popoconando esultados que aunque puedan contene algunos eoes son váldos. Fnalmente dsmnuemos todavía más los ángulos ntenos de la guía hasta un valo de 30º. Los esultados de los potencales que obtenemos son los sguentes: Fgua 5.36 Potencales en el cote X cental paa una guía ombo con ángulos ntenos de 30º Obsevamos que a pesa de que los esultados del potencal escala son váldos no lo son paa el potencal vecto apaecendo dfeencas más que sgnfcatvas ente las dstntas ubcacones de las mágenes. De la msma foma s elegmos una poscón de las mágenes po ejemplo a 0 mlímetos de la cavdad obsevamos como al vaa el númeo de las msmas no obtenemos esultados convegentes: -2-

236 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5.37 Potencales en el eje X de una guía ombo con ángulos ntenos de 30º. Vaacón del númeo de mágenes de un únco anllo. Fecuenca de 0Ghz. Compobamos como los esultados paa el potencal escala no son muy dfeente al vaa el númeo de mágenes mentas que paa el potencal vecto s lo son y no este una convegenca ente las dstntas opcones. Estos eoes ntoducdos en el método apaecen al gual que en el ejemplo del apatado anteo como pcos de los potencales en las esqunas contguas de la zona conflctva en este caso los ángulos muy ceados. Este efecto lo podemos obseva de foma muy claa al analza esta guía ombo a una fecuenca de 2 Ghz sendo especalmente vsble en el potencal vecto Gyy: Fgua 5.38 Pcos de eo al analza una guía ombo con 2 ángulos ntenos con 30º a 2 Ghz. Potencal vecto Gyy. -22-

237 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales De esta foma no hemos encontado una ubcacón de puntos tangentes en el contono del ombo y de mágenes a su alededo que nos popoconen unos potencales eactos paa guías ombo con ángulos ntenos nfeoes a 45º Conclusones Tas ealza dos ejemplos en el que hemos estudado la convegenca de cetas guías podemos conclu que el método popuesto tene cetas dfcultades cuando las guías que estamos analzando pesentan detemnadas fomas como entantes ó ángulos ntenos muy educdos. No obstante en el capítulo sguente se muesta como en estas guías poblemátcas consegumos unos esultados de los potencales muy smlaes a los espeados compaando los esultados con HFSS a pesa de no obtene una convegenca ente dstntas stuacones planteadas paa ealza el análss. Ello es debdo a que algunas de las ubcacones de mágenes y puntos de contono de la cavdad popoconan esultados coectos peo no tenemos foma de sabe cuales son pues al vaa esa stuacón de patda los potencales calculados tambén camban. Una de las posbles fomas de seleccona que stuacón de mágenes/puntos tangentes consgue una epesentacón fel de los potencales en el nteo de la guía seía medante la etensón natual del concepto de coste de mplementacón pesentado en el capítulo 3. La matemátca a emplea seía la msma que la desaollada en el capítulo 3 y 4 con la únca dfeenca de la ntoduccón de la tansfomada de Sommefeld y un eplanteamento paa el caso multanllo. sí obtendíamos una medda del gado de epesentatvdad de los potencales hallados pudendo dscen paa casos tdmensonales que ubcacón es la que pesenta mejo pecsón a la hoa de calcula los potencales. Ota posble solucón seía una modfcacón de la teoía pesentada empleando paa ello mágenes con poscones complejas. Esta técnca consste en consdea cada coodenada de cada punto del espaco yz como vaables complejas. sí consegumos obtene una dectvdad de cada magen que haá que se cente eclusvamente en la zona de la cavdad que debe de contola evtando que ntefea con el esto de mágenes y poduzca ntefeencas en zonas no deseadas. Este lteatua que tatan este tema en electomagnetsmo como po ejemplo en [6][7] y [8]. 5.5 Cálculo de fecuencas de esonanca En este apatado se va a dseña un método con la nueva técnca de las mágenes espacales que pemta el cálculo de las fecuencas de esonanca. La técnca empleada paa ello consste en evalua los potencales en un punto fjo en el nteo de la guía a lo lago de la fecuenca. De este modo el valo de los potencales aumentaá de foma mpotante al encontase en una esonanca natual de la guía mantenéndose en valoes más modeados paa el esto de casos. Como nconvenente destaca que en funcón de la geometía que se esté analzando debeemos de stua la fuente puntual de tal foma que ecte el modo en cuestón y el punto fjo de obsevacón ubcalo donde el modo no pesente nulos. -23-

238 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Un ejemplo de esta técnca aplcada en una guía ccula con dos deléctcos puede se encontado en [6]. plcaemos el cálculo de las fecuencas de esonanca a una guía cuadada con deléctco el ae ya que podemos obtene los valoes teócos de las msmas y nos sevá como una nueva valdacón de la fomulacón de las mágenes espacales en coodenadas catesanas pesentada. Se ealzaá el análss sobe una guía cuadada de dmensones mm empleando paa ello un total de 60 mágenes stuadas alededo de la cavdad a una dstanca de 33mm de la msma. La fuente seá fjada en fuente en la poscón 505mm y el punto fjo de obsevacón en -505mm. La stuacón que estamos planteando es la sguente: Fgua 5.39 Stuacón de la fuente y un punto de obsevacón en el nteo de una guía cuadada de mm empleo de 60 mágenes stuadas a 33mm. ntes de ealza el bado fecuencal sobe el punto de obsevacón vamos a calcula de foma teóca las fecuencas de esonanca de esta cavdad. Po teoía de guía de ondas demostado po ejemplo en [8] se sabe que la fecuenca de esonanca de una guía cuadada satsface la epesón: c m n p f c B C Donde c es la velocdad de la luz en el nteo de la guía; m n y p son el númeo de modo ectado según los ejes y z espectvamente y B y C son las dmensones de la guía a analza. l consdea la cavdad en tes dmensones sempe estaá pesente la componente coespondente a la altua de la cavdad es dec p.plcando la ecuacón 5.26 podemos enconta las fecuencas de cote de los dstntos modos que se popagan en la guía cuadada: Modo de popagacón Fecuenca de cote Ghz Tabla 5. Fecuencas de esonanca de los pmeos modos de una cavdad cuadada de mm -24-

239 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Realzaemos un bado fecuenca ente 5 y 7.5Ghz evaluando el valo absoluto del potencal en el punto fjo de obsevacón defndo en la fgua 5.2. Los esultados obtendos han sdo los sguentes: Bado potencal escala Bado potencal vecto G Bado potencal vecto Gyy Fgua 5.40 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía cuadada de mm al vaa la fecuenca de 5.2 a 7.5Ghz. Compobamos como hemos obtendo un esultado muy satsfactoo: En el bado del potencal escala se han detectado las fecuencas de esonanca fc y fc 2 ; en el bado del potencal vecto G se han detectado las fecuencas fc 0 y fc ; fnalmente en el bado del potencal vecto Gyy se apecan las fecuencas de esonanca fc 0 fc 20 fc 2. Obsevamos en la sguente tabla las dfeencas ente la fecuenca de esonanca teóca y la obtenda con el método popuesto: Modo de popagacón Fecuenca de cote teócaghz Fecuenca de cote método mágenesghz Eo absolutoghz Eo elatvo % % % % % Tabla 5.2 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía cuadada de mm. -25-

240 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Compobamos como la pecsón obtenda es ealmente buena en la obtencón de todas las fecuencas de esonanca; tambén ndca que el método popuesto pesenta el nconvenente de que la pecsón que pesenta depende del paso en el bado fecuencal ealzado. De esta foma dsmnuyendo este paámeto conseguemos un aumento de la pecsón obtenda a costa obvamente de un aumento sustanca del coste computaconal. En este punto vamos a mosta la dstbucón de los potencales obtendos en la guía cuadada a las fecuencas de esonanca de los modos. De esta foma se debe de obseva claamente los modos ectados en cada fecuenca. Debdo a la defncón ealzada del potencal escala ecuacón 5.4 éste se encuenta claamente elaconado con el campo eléctco E z en la guía como se demuesta en [8]. sí aunque no hemos hablado de la econstuccón de los campos en el nteo de la cavdad a pat de los potencales estudo que se podía plantea como una posble vía de contnuacón del poyecto s este una semejanza en la foma del potencal escala y el campo eléctco E z. povechaemos este hecho paa valda los esultados una vez más medante el empleo del softwae comecal HFSS que esolveá el campo en el nteo de la guía empleando paa ello una técnca de elementos fntos. sí aunque los esultados del potencal escala y campo Ez dfean en valo absoluto la foma de los msmos en el nteo de la guía debe mantenese lo que nos ndcaá la coeccón de los esultados. Mostaemos en pme luga los potencales y el campo esonanca del modo : Ez en la fecuenca de Resultado del campo E con HFSS -26-

241 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Fgua 5.4 Potencales en la pmea esonanca de la cavdad cuadada mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Obsevamos como apaece una esonanca en el potencal escala concdendo en foma con el campo eléctco calculado po HFSS. De esta foma los esultados son valdados. l gual que hemos encontado la pmea esonanca el esto de las msmas apaecen al calcula los potencales a su fecuenca caacteístca. Po ejemplo la segunda esonanca coespondente al modo 2 la encontamos a la fecuenca de 7.29 Ghz. Repesentando los potencales en ese punto obtenemos: -27-

242 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Resultado del campo E con HFSS Fgua 5.42 Potencales en la segunda esonanca de la cavdad cuadada mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Obsevamos la coheenca de los esultados: el potencal escala pesenta la msma foma que el campo Ez calculado en HFSS además se obseva muy claamente que se tata de un modo 2 ya que tene dos vaacones en el eje y tan sólo una en los eje z e y. De este modo se da po valdado el método popuesto paa analza los potencales en el nteo de cavdades tdmensonales con unos esultados valdados tanto con el método analítco descto en [0] como con un softwae comecal de econocdo pestgo como es HFSS. demás el método popuesto paa calcula las fecuencas de esonanca de la cavdad ha consegudo una gan pecsón con eoes menoes del 0.08% mostando ncluso una capacdad paa dsmnulos todavía más aumentando el coste computaconal. -28-

243 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales 5.6 Softwae desaollado Se han desaollado a lo lago de este capítulo dos pogamas ndependentes: uno paa la vsualzacón de los potencales en el nteo de la guía abtaía descta a una detemnada fecuenca y oto paa ealza un bado fecuenca con el fn de detecta las fecuencas de esonanca. En los dos casos se ha utlzado el lenguaje de pogamacón Fotan 90 paa los cálculos numécos epesentándose los esultados medante Matlab Cálculo de los potencales El pmeo de los pogamas ealza el cálculo de los potencales en el nteo de las guías. La entada de paámetos la ealzaemos medante los sguentes fcheos de teto: Geom.n: Fue descto en detalle en el capítulo 4. En el descbemos la estuctua bdmensonal en los eje X-Y de la cavdad. Tambén ndcaemos la ubcacón de la fuente puntual en el nteo de la cavdad sus coodenadas z e y. 2 Datos.n Báscamente conseva la msma estuctua que la mostada en el capítulo anteo con los msmos paámetos de entada. No obstante se han deshabltado las opcones de optmzacón del coste pues no ha sdo defndo todavía paa la cavdad tanto po gadente como po vaacón de la ubcacón de mágenes. demás se ha añaddo un nuevo paámeto que ndca la foma en la que se dstbuán los anllos. sí estos se podán establece de foma automátca con un valo de 3 manual con un valo de ó modfcando dectamente el códgo fuente con un valo de 2. Un ejemplo de este fcheo se muesta a contnuacón:! Datos de entada del pogama! Fecuenca 6.0D9! Númeo de cagas/dpolos magen. 30! Númeo de puntos de la ejlla y 80 80! Ubcacón de ptos tangentes 0! Ubcacón de mágenes 5! Dstanca empleada en funcón del método 0.033! Dstbucón anllos. 3: utomátco. 2: en códgo. : Según esté tlm7.n -29-

244 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales 3 Sepaa_anllo.n En este fcheo se especfca la foma en la que se dstbuán los anllos que envolveán la cavdad dejando que el softwae se encague de su dsposcón eacta. Paa ello se ndcaá la longtud en máma que podá contola cada anllo po aba y la msma cantdad po abajo; así como las dmensones del eje z de la cavdad y la altua de la msma en la que queemos obtene todos los datos. El softwae dstbuá los anllos y confguaá el achvo tlm7.n paa consegu los esultados pevstos. Un ejemplo de este fcheo de confguacón es el sguente:! Sepaacón ente los anllos en témnos de landa. 0.5! ltua mínma de la estuctua. 0! ltua máma de la estuctua: 0.03! ltua de la obsevacón nllos_manual.n Este fcheo se emplea en el caso de que se quea especfca manualmente la poscón de cada anllo así como de la fuente y del plano en el que obtene los esultados. Ello equee en pme luga una confguacón manual del fcheo tlm7.n descto en este msmo capítulo ndcando las capas de la cavdad y sus caacteístcas y las poscones en la que puede habe fuente. Un ejemplo de este fcheo es:! ltua mínma de la estuctua. 0! ltua máma de la estuctua: 0.03! Númeo de anllos a ntoduc 2! "Fuentes" sobe la que se encontaán los anllos 3! "Fuentes" donde se encuenta la fuente puntual. 2! "Fuentes" sobe la que se ealzaá la obsevacón. 2 Vemos que se ndcan la longtud en el eje z de la cavdad el númeo de anllos a dstbu y la dstbucón de los msmos. Paa ello se ndca sobe que fuente ó souce de la cavdad estaán stuados hacendo todos los númeos efeenca a la dstbucón de estas fuentes en la cavdad según fue descto de foma manual en tlm7.n. demás ndcamos donde se encuenta la fuente puntual y en que cote mosta los esultados

245 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales Una vez ntoducdos todos los paámetos obtendemos los esultados en fcheos de teto ntepetables medante Matlab. sí ejecutando el scpt Inco.m vsualzaemos los potencales en los cotes señalados la estuctua que estamos analzando y los dstntos cotes con los ejes. Fnalmente destaca que la opcón automátca dstbuá los anllos y ceaá las capas peo mpondá las msmas caacteístcas a todas ellas: pemtvdad y pemeabldad elatva de valo. En la opcón manual se da posbldad de camba los deléctcos de la cavdad así como de dstbu los anllos en las poscones que se cean más adecuadas Bado en fecuenca Este pogama se encaga de ealza el cálculo de los potencales en un punto fjo al ealza un bado en fecuenca. Todos los fcheos de entada eplcados en el apatado anteo sguen sendo váldos descatándose los paámetos que no sean elevantes en este caso como una fecuenca puntual ó el tamaño de la ejlla. Tendemos un nuevo fcheo de entada denomnado Bado.n en el que especfcaemos la poscón del punto fjo de obsevacón los límtes fecuencales ente los que ealzaemos el bado y el númeo de puntos del msmo. Un ejemplo seá:! Poscón del punto fjo de obsevacón 0 0 0! Fecuenca ncal 5.0D9! Fecuenca fnal 0.0D9! Númeo de puntos 500 Una vez ejecutado el pogama obtendemos el esultado de las esonancas medante el scpt de Matlab fecuencas.m que nos mostaá el bado fecuencal ealzado en los dstntos potencales. Destaca que el coste computaconal de este pogama depende dectamente del númeo de puntos en fecuenca escogdos sendo muy elevado paa un valo elatvamente alto de este paámeto. -22-

246 Capítulo 5: nálss de cavdades tdmensonales -222-

247 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo 6. Ejemplos de nálss de guías-onda tpo 6. Intoduccón En este capítulo vamos a ealza el análss de los potencales en el nteo de dvesos tpos de guías-onda empleados habtualmente en telecomuncacones. Paa el análss empleaemos todas las técncas pesentadas en los capítulos anteoes sendo especalmente elevante el uso de uno ó vaos anllos alededo de la guía a analza en funcón de la altua eléctca de la msma de tal foma que en pme luga ealzaemos un bado en fecuenca de la guía con el fn de conoce donde se encuentan sus fecuencas de esonanca. La técnca descta en el capítulo anteo consste en evalua un punto dsceto en el nteo de la guía vaando la fecuenca hasta enconta las esonancas. En este punto ealzaemos una compaacón de las fecuencas obtendas con las calculadas con el softwae comecal HFSS. Este pogama emplea el método de los elementos fntos y plantea un poblema de autovaloes. En funcón de la esolucón ntoducda obtendemos una pecsón u ota. Posteomente ealzaemos una vsualzacón de los potencales a las fecuencas calculadas con el fn de obtene las esonancas de cada guía. Nuevamente en este punto empleaemos HFSS con el fn de obtene el campo eléctco Ez en la guía y compaalo con el potencal escala que po su defncón está elaconado con el campo eléctco de los modos TM. unque no estamos epesentado las msmas magntudes al esta tan estechamente elaconadas s que deben de guada una msma foma ó dstbucón en el nteo de la guía vaando el ango de valoes y undades en las que se mueven. sí compobando la coeccón de las fecuencas de cote calculadas y la dstbucón de los potencales en el nteo de la guía con el campo Ez daemos po valdado el método pues seá aplcado a dvesas guías eales con dfeentes geometías. En este capítulo pesentaemos los esultados paa las guías: ectangula tangula ombo paa sus ángulos ntenos a 90º tapeco dual cuadada con un cote en una esquna flange estella y dge. demás pesentaemos esultados adconales de la convegenca de los métodos en los dstntos casos según sea convenente como po ejemplo estudos al vaa la ubcacón de las mágenes o con el númeo de éstas. Indca tambén que hemos obvado la nclusón de la guía cuadada smple pues ya fue amplamente estudada en el capítulo anteo hallando sus fecuencas de esonanca vsualzando sus potencales compobando su convegenca con el númeo de mágenes y ubcacón de las msmas etc. Paa fnalza el capítulo se muestan el estudo de una guía cuadada con dos deléctcos en su nteo con el fn de poba la facldad que pesenta la fomulacón pesentada paa tabaja con medos multcapa

248 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo 6.2 Guía ectangula En este apatado vamos a analza una guía ectangula de dmensones mm empleando paa ello un total de 60 mágenes a su alededo. En pme luga ealzaemos un bado en fecuenca con el fn de enconta las esonancas de la cavdad. Paa ello fjaemos un punto de obsevacón en la poscón 505mm y la fuente puntual en -505mm y ealzaemos un bado fecuencal evaluando los potencales obtendos en ese punto. sí la stuacón planteada es la sguente: Fgua 6. Stuacón de la fuente y un punto de obsevacón en el nteo de una guía ectangula de mm empleo de 60 mágenes stuadas a 2mm. l gual que ocuía con la guía cuadada la guía ectangula pemte calcula de foma analítca las fecuencas de esonanca o de cote de los modos medante la ecuacón: 2 c m n p f c 6. 2 B C Donde c es la velocdad de la luz en el nteo de la guía; m n y p son el númeo de modo ectado según los ejes y z espectvamente y B y C son las dmensones de la guía a analza. plcando la ecuacón 6. podemos enconta las fecuencas de cote de los dstntos modos que se popagan en la guía ectangula estudada: Modo de popagacón Fecuenca de cote Ghz Tabla 6. Fecuencas de esonanca de los pmeos modos de una cavdad ectangula de mm

249 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Realzaemos un bado fecuenca ente 5.2 y 7 Ghz evaluando el valo absoluto del potencal en el punto fjo de obsevacón defndo en la fgua 6.. Los esultados obtendos han sdo los sguentes: Bado potencal escala Bado potencal vecto G Bado potencal vecto Gyy Fgua 6.2 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía ectangula de mm al vaa la fecuenca de 5.2 a 7.0 Ghz. Compobamos como hemos obtendo un esultado muy satsfactoo: En el bado del potencal escala se han detectado las fecuencas de esonanca fc fc 2 fc 3 ; en el bado del potencal vecto G se han detectado las fecuencas fc 0 fc 2 fc fc 2 y fc 3; fnalmente en el bado del potencal vecto Gyy se apecan las fecuencas de esonanca fc 0 fc 2 fc 30 fc 02 y fc 2. Vemos como todas las esonancas apaecdas se coesponden con las teócas con una pecsón muy elevada. Obsevamos en la sguente tabla las dfeencas ente la fecuenca de esonanca teóca y la obtenda: Modo de popagacón Fecuenca de cote teócaghz Fecuenca de cote método mágenesghz Eo absolutoghz Eo elatvo %

250 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Tabla 6.2 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía ectangula de mm. Se puede obseva la pecsón obtenda es ealmente buena en la obtencón de todas las fecuencas de esonanca; a pesa de que el método popuesto ealza un bado en puntos dscetos fecuencales. Tas obtene las fecuencas de cote y valdalas con las obtendas de foma teóca vamos a mosta la dstbucón de los potencales en el nteo de la guía ectangula vsualzando de foma claa que modo se ecta en cada fecuenca de cote. Tal y como comentamos anteomente valdaemos la dstbucón del potencal escala medante la foma adquda po el campo eléctco E z en lo modos TM ya que la defncón de ambas magntudes está muy elaconada como se puede obseva en 5.4 paa el potencal escala y en [8] paa el campo eléctco. La epesentacón de este campo eléctco la ealzaemos medante HFSS al gual que en ejemplos anteoes. Mostaemos en pme luga los potencales a la altua en el eje z de la fuente puntual tanto paa esta guía como paa las del esto del capítulo salvo que se ndque lo contao y el campo E en la fecuenca de esonanca del modo Ghz: z Resultado del campo E con HFSS -226-

251 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Fgua 6.3 Potencales en la pmea esonanca de la cavdad ectangula mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Obsevamos como apaece una esonanca en el potencal escala concdendo en foma con el campo eléctco calculado po HFSS. De esta foma los esultados son valdados. l gual que hemos encontado la pmea esonanca el esto de las msmas apaecen al calcula los potencales a su fecuenca caacteístca. Po ejemplo la segunda esonanca coespondente al modo 2 la encontamos a la fecuenca de Ghz. Podemos obseva claamente en la fgua 6.4 como el potencal escala obtendo pesenta dos vaacones en el eje y una en los ejes z e y cumplendo las caacteístcas del modo 2: -227-

252 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Resultado del campo E con HFSS Fgua 6.4 Potencales en la segunda esonanca de la cavdad ectangula mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. De esta foma compobamos como los esultados obtendos son váldos apaecendo las esonancas espeadas. Destaca que se han ectado esonancas en todos los potencales no sólo en el escala como ncalmente buscábamos. Po últmo y paa temna con el análss de esta guía vamos a mosta los esultados en una tecea esonanca. Paa ello ectaemos el modo 3 a una fecuenca de Ghz: -228-

253 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Resultado del campo E con HFSS Fgua 6.5 Potencales en la tecea esonanca de la cavdad ectangula mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS

254 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Compobamos como apaecen las esonancas tal y como espeábamos vefcándose el compotamento pevsto po HFSS. No vamos a mosta nngún estudo adconal de convegenca de los esultados pues ésta se consgue de manea natual necestando un númeo elatvamente educdo de mágenes y mantenéndose los esultados en dstntas ubcacones de las msmas. De esta foma podemos da po váldos los esultados pues el método ha sdo capaz de obtene con una gan pecsón las fecuencas de esonanca de la cavdad y ha obtendo unos potencales en el nteo de la guía cuya dstbucón hemos valdado con HFSS. 6.3 Guía tangula En este apatado vamos a analza una guía tangula de altua 30mm y con una geometía en 2D mostada en la fgua 6.6 empleando paa ello un númeo muy educdo de mágenes tan sólo 30. Fgua 6.6 Stuacón de la fuente y un punto de obsevacón en el nteo de una guía tangula de altua 30mm empleo de 30 mágenes stuadas a 2mm. En pme luga al gual que en el apatado anteo ealzaemos un bado en fecuenca con el fn de enconta las esonancas de la cavdad. Paa ello fjaemos un punto de obsevacón en la poscón -505mm y la fuente puntual en 505mm y ealzaemos un bado fecuencal evaluando los potencales obtendos en ese punto. dfeenca de lo que ocuía con las guías cuadada y ectangula no este un método analítco geneal que nos pemta obtene las fecuencas de esonanca y potencales en el nteo de una guía tangula. S que este dvesa lteatua sobe algunos tpos de guías tangulaes que empleen tángulos sósceles ectángulos etc como pueden se los estudos pesentados en [9] y [20]. sí tas obtene las fecuencas de esonanca medante el método de las mágenes espacales empleaemos HFSS paa su valdacón. Cabe destaca que este softwae plantea la stuacón como un poblema de autovaloes sn dstngu los modos que tenen en cuenta la altua de la guía eje z y los modos que consdean la guía tangula como nfnta en altua sn consdea po tanto el eje z. Los esultados obtendos tas el bado fecuencal son los sguentes: -230-

255 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Bado potencal escala Bado potencal vecto G Bado potencal vecto Gyy Fgua 6.7 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía tangula de altua 30mm al vaa la fecuenca de 5 a 9.0 Ghz. Destacamos en este punto que a dfeenca de las guías cuadada y ectangula las componentes de los potencales cuzados G y y G y no se anulan debdo a la nfluenca de los tamos oblcuos po lo que un bado fecuenca de estas componentes tambén desvelaá la stuacón de las esonancas además combnando nfomacón de los potencales G y G yy. Realzando este bado obtenemos: Bado potenca vecto Gy Bado potencal vecto Gy Fgua 6.8 Evaluacón de los potencales cuzados en un punto fjo en el nteo de una guía tangula de altua 30mm al vaa la fecuenca de 5 a 9.0 Ghz. Tas obtene las esonanca vamos a ealza una compaacón ente las fecuencas obtendas y las popoconadas po HFSS con el fn de ve la pecsón que consegumos con el método de las mágenes espacales. -23-

256 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Fecuenca de cote HFSS Ghz Fecuenca de cote método mágenesghz Eo absolutoghz Eo elatvo % Tabla 6.3 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía ectangula de mm. Po lo geneal obtenemos una concodanca total de las fecuencas de esonanca halladas con las popoconadas po HFSS sendo la máma dfeenca elatva del oden 0.2%. Tambén ndca que el softwae comecal no es totalmente eacto en este cálculo pues depende de la pecsón que se le haya ndcado consumendo enomes ecusos computaconales; es po ello que estos cálculos se han ealzado con un nvel de pecsón medo. En cuanto al método de las mágenes espacales tambén es posble aumenta su esolucón dsmnuyendo el paso ente los dstntos puntos fecuencales con el consguente aumento del coste computaconal. Destacamos la estenca de pequeñas vaacones en el nteo de una msma esonanca como puede se en el caso de la esonanca a 8.88Ghz obtenda en el potencal escala que apaece a Ghz en el potencal vecto Gyy. contnuacón vamos a mosta los potencales en el nteo de la guía en dstntas fecuencas de esonanca compaando el potencal escala con el campo eléctco E en los modos TM tal y como ealzamos en casos anteoes. z Mostaemos en pme luga los potencales y el campo Ez en la fecuenca de esonanca del modo Ghz. Comenta que al apaece tamos oblcuos las componentes del potencal vecto cuzadas Gy y Gy ya no se anulan y tambén pesentan esonanca aunque obvamente con unos valoes muy educdos

257 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Resultado del campo E con HFSS -233-

258 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Fgua 6.9 Potencales en la pmea esonanca de una cavdad tangula con 30mm de altua. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Obsevamos como apaece una esonanca en el potencal escala concdendo en foma con el campo eléctco calculado po HFSS. De esta foma los esultados son valdados. l gual que hemos encontado la pmea esonanca el esto de las msmas apaecen al calcula los potencales a su fecuenca caacteístca. Po ejemplo la segunda esonanca la encontamos a la fecuenca de 8.88 Ghz. Vemos en la fgua 6.0 que esta esonanca es del tpo 2 pues pesenta una únca vaacón el eje y dos en el eje y. Resultado del campo E con HFSS -234-

259 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Fgua 6.0 Potencales en la segunda esonanca de una cavdad tangula con 30mm de altua. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Compobamos como apaecen las esonancas tal y como espeábamos vefcándose el compotamento pevsto po HFSS. Vemos que el método ha popoconado unos potencales adecuados con un númeo de mágenes espacales muy educdo tan solo 30. No pesentaemos estudos adconales de convegenca pues ésta se mantene con el númeo de mágenes y de una foma muy obusta con la poscón de las msmas alededo de la guía. ñad que la pesenca de las componentes cuzadas es debda a los tamos oblcuos ya que un dpolo oentado en ó en y en el nteo de la guía tangula tendá componentes tanto en como en y. Físcamente es debdo a los tamos oblcuos y matemátcamente se ha modelado ubcando dos dpolos magen po cada punto tangente de contono: uno oentado en y el oto en y. Es la msma stuacón que ocuía en las guías clíndcas y que se epte en otas muchas. De esta foma podemos da po váldos los esultados pues el método ha sdo capaz de obtene con una gan pecsón las fecuencas de esonanca de la cavdad y ha obtendo unos potencales en el nteo de la guía cuya dstbucón hemos valdado con HFSS. 6.4 Guía ombo con ángulos ntenos a 90º En este apatado vamos a analza una guía ombo de dmensones mm y con sus cuato ángulos ntenos ectos. Esta guía equvale a ota 90º la guía cuadada analzada en el capítulo 5 no obstante el análss y los esultados no seán equvalentes. En pme luga apaecen tamos oblcuos lo que fueza físcamente la pesenca de los potencales vecto cuzado debdo al ángulo que se foma y en -235-

260 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo segundo luga paa que fuean equvalente debeíamos ota tambén la ubcacón de la caga/dpolo fuente stuado en su nteo y no stualos en el eje X e Y. De esta manea apaeceán dfeencas especto al análss de la guía cuadada tanto en las fecuencas de cote encontadas como en la vsualzacón de los potencales obtendos. La stuacón que estamos analzando al emplea un total de 60 mágenes es la sguente: Fgua 6. Stuacón de la fuente y un punto de obsevacón en el nteo de una guía ombo de dmensones mm y sus 4 ángulos ntenos a 90º. Empleo de 60 mágenes stuadas a 2mm. Calculaemos las fecuencas de esonanca medante un bado fecuencal fjando paa ello un punto fjo de obsevacón en la poscón -505mm y una fuente puntual en 505mm y evaluando la evolucón de los potencales en ese punto. Posteomente compaaemos las fecuencas de esonanca obtenda con las popoconadas po el softwae comecal HFSS paa valda su esultado. Tal y como ocuía con la guía tangula la pesenca de tamos oblcuos mplca la apacón de los potencales vecto cuzados po lo que tambén empleaemos la nfomacón popoconada po estos a la hoa de vsualza los potencales. Realzaemos un bado fecuencal muy amplo ente 5 y 5 Ghz con el fn de ubca las dstntas esonancas: Bado potencal escala Bado potencal vecto G -236-

261 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Bado potencal vecto Gyy Fgua 6.2 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía ombo de dmensones mm al vaa la fecuenca de 5 a 5.0 Ghz. Tas obtene las esonanca vamos a ealza una compaacón ente algunas de las fecuencas obtendas y las popoconadas po HFSS con el fn de ve la pecsón que consegumos con el método de las mágenes espacales. Fecuenca de cote HFSS Ghz Fecuenca de cote método mágenesghz Eo absolutoghz Eo elatvo % Tabla 6.4 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía ombo de mm con sus cuado ángulos ntenos a 90º. Po lo geneal obtenemos una concodanca total de las fecuencas de esonanca halladas con las popoconadas po HFSS sendo la máma dfeenca elatva del oden de 0.26%. En este apatado las dfeencas pueden se debdas a mpecsones de cualque de los dos métodos pues HFSS tampoco es eacto del todo al no pode ealza las smulacones al mámo de pecsón po el enome coste computaconal equedo. l gual que en casos anteoes vuelven a apaece pequeñas dfeencas fecuencales a la hoa de ecta un msmo modo po ejemplo la esonanca a 0.37Ghz del potencal escala apaece a 0.34 en los potencales vecto. contnuacón vamos a mosta los potencales en el nteo de la guía en dstntas fecuencas de esonanca compaando el potencal escala con el campo eléctco E en los modos TM tal y como ealzamos en otas guías. z Mostaemos en pme luga los potencales y el campo esonanca del modo Ghz: Ez en la fecuenca de -237-

262 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Resultado del campo E con HFSS Fgua 6.3 Potencales en la pmea esonanca de una cavdad ombo de dmensones mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS

263 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo En cuanto a los potencales cuzados obtenemos unos valoes déntcos paa las dos componentes G y y G y : Fgua 6.4 Potencales cuzados en la pmea esonanca de una guía ombo de dmensones mm. Compobamos como el potencal escala concueda de foma eacta con el campo E valdándose los esultados. z Mostaemos a contnuacón una esonanca a una fecuenca elevada 4.8 Ghz paa lo que seá necesao emplea un sstema mínmo con 3 anllos debdo a la elevada longtud eléctca que adquee la guía. 8 c 30 ltua m Relacon f sí la stuacón a analza ubcando los 3 anllos con 60 mágenes cada uno seá la sguente: Fgua 6.5 Stuacón de 3 anllos con 60 mágenes cada uno al analza una guía ombo de dmensones mm con sus 4 ángulos ntenos a 90º. Compobamos en la fgua 6.6 como el aumento mpotante de la fecuenca hace que aumenten de foma consdeables las vaacones de los potencales en el nteo de la cavdad

264 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Resultado del campo E con HFSS Fgua 6.6 Potencales a la fecuenca de esonanca de 4.8Ghz de una cavdad ombo de dmensones mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS

265 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo pesa del aumento tan mpotante de la fecuenca consegumos una valdacón de los potencales con HFSS. Un estudo de la convegenca de esta guía en funcón de la sepaacón de sus mágenes fue pesentado en el capítulo 5 de tal foma que se pesentó la obustez de esta guía fente a la poscón de las mágenes. No se poponen estudos altenatvos debdo a la ápda convegenca de esultados encontados en la guía en todo tpo de stuacones. De esta foma podemos da po váldos los esultados pues el método ha sdo capaz de obtene con una gan pecsón las fecuencas de esonanca de la cavdad y ha obtendo unos potencales en el nteo de la guía cuya dstbucón hemos valdado con HFSS. 6.5 Guía tapeco En este apatado vamos a analza una guía con foma tapeco con una altua de 30mm. El lado mayo tendá una longtud total de 66mm 40mm tendá el lado meno y una sepaacón ente ambos de 66mm. nalzaemos la guía con un total de 60 mágenes dstbudas alededo de la msma a una dstanca de 2mm. La stuacón que estamos analzando es la sguente: Fgua 6.7 Stuacón de anllo con 60 mágenes stuados sobe una guía en foma de tapeco de altua 30mm. Obsevamos la combnacón de tamos ectos con tamos oblcuos po lo que al calcula los potencales debeán de apaece las componentes cuzadas. Esta guía no tene solucón analítca po lo que empleaemos ota vez HFSS paa valda las fecuencas de cote obtendas así como la dstbucón de los potencales calculados. Paa halla las fecuencas de esonanca empleaemos un punto fjo de obsevacón stuado en la ubcacón -505mm y una fuente puntual stuada en 505mm. Evaluaemos la evolucón de los potencales en funcón de la fecuenca en este punto fjo. l no conoce ncalmente la ubcacón de las fecuencas de cote de los modos ealzaemos un bado elatvamente amplo ente 4.5 y 9 Ghz obtenendo en el msmo los sguentes esultados: -24-

266 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Bado potencal escala Bado potencal vecto G Bado potencal vecto Gyy Fgua 6.8 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía tapezodal de de altua 30mm al vaa la fecuenca de 4.5 a 9.0 Ghz. Tas obtene las esonanca vamos a ealza una compaacón ente algunas de las fecuencas obtendas y las popoconadas po HFSS con el fn de ve la pecsón que consegumos con el método de las mágenes espacales. Fecuenca de cote HFSS Ghz Fecuenca de cote método mágenesghz Eo absolutoghz Eo elatvo % Tabla 6.5 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía tapeco de 30mm de altua Obsevamos como las fecuencas obtendas se coesponden con las obtendas con el softwae HFSS estendo dfeencas mínmas ente los dos métodos

267 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Indca que en el bado se poducen pequeñas dfeencas a la hoa de obtene las esonancas en los dstntos potencales. Po ejemplo la esonanca a 7.826Ghz obtenda en el potencal escala engloba a la estente en la fecuenca 7.8Ghz obtenda en el potencal vecto G y la 8.925Ghz obtenda en el potencal vecto G y G yy engloba a la obtenda en la fecuenca 8.94Ghz. Mostaemos los potencales en el nteo de la guía tapezodal al gual que se ha ealzado en los casos anteoes vefcando la dstbucón de los potencales con el campo eléctco E obtendo con HFSS. z Debdo a que la pmea esonanca ya la hemos mostado en otas guías vsualzaemos en pme luga la segunda esonanca stuada a la fecuenca de 7.36Ghz. Gáfcamente se compueba que se tata de un modo 2 pues pesenta una únca vaacón en el eje y dos vaacones en el eje y. Las componentes cuzadas esten y pesenta un valo en esonanca más educdo que los potencales vecto G y G yy. No obstante su dstbucón en la guía concde con: Dstbucón G = Dstbucón G y Dstbucón G yy = Dstbucón G y Resultado del campo E con HFSS -243-

268 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Fgua 6.9 Potencales a la fecuenca de esonanca de 7.36Ghz de una cavdad tapezodal de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Obsevamos claamente como la dstbucón del campo eléctco concde eactamente con la obtenda paa el potencal escala valdando al msmo. En la fgua 6.9 se compueba claamente las dfeencas ente los potencales vecto G en el que ubcamos un dpolo fuente oentado en el eje en el cento de la guía tapezodal y el potencal Gyy en el que ubcamos el dpolo fuente oentado en el eje y. Las componentes cuzadas físcamente están povocadas po la pesenca de tamos oblcuos en la guía y son modeladas con la pesenca de dpolos magen oentados en el eje y en el eje y medante su combnacón pondeada. contnuacón mostaemos los potencales en la fecuenca de esonanca de 7.826Ghz que se coesponde con un modo 2 tal y como se puede apeca po sus vaacones en el potencal escala: -244-

269 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Resultado del campo E con HFSS Fgua 6.20 Potencales a la fecuenca de esonanca de 7.826Ghz de una cavdad tapezodal de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Obsevamos como se vuelve a valda la dstbucón del potencal escala con la del campo eléctco popoconado po HFSS. Po últmo vamos a valda ota esonanca concetamente la stuada a una fecuenca de 8.94 Ghz y coespondente con el modo 3. Vsualzaemos en esta ocasón úncamente el potencal escala y su valdacón medante el campo eléctco Ez popoconado po HFSS

270 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Resultado del campo E con HFSS Fgua 6.2 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de 8.94Ghz de una cavdad tapezodal de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Como vene sucedendo hasta ahoa consegumos una valdacón de la dstbucón del potencal escala medante el campo eléctco dado po HFSS. Obsevamos como la convegenca en este guía se poduce de una manea ápda y sn nngún tpo de complcacones po lo que no pesentaemos nngún estudo adconal de convegenca. sí podemos conclu que los potencales obtendos po el método de las mágenes espacales paa esta guía son váldos pues hemos ealzado una valdacón tanto en la ubcacón de las fecuencas de esonanca con una gan pecsón como de la dstbucón del potencal escala en el nteo de la guía. 6.6 Guía dual cuadada con un cote Supongamos una guía dual nmesa en una estuctua de mm con un cote de 88mm. Patemos del estudo de convegenca que sobe esta guía ealzamos en el capítulo 5 en el que conclumos que la mejo ubcacón de las mágenes encontada ea a una dstanca de 5mm de la guía sguendo las vaacones de la msma. Con esta dstbucón y empleando un númeo elevado de mágenes 90 tenemos la sguente stuacón: -246-

271 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Fgua 6.22 Stuacón de anllo con 90 mágenes stuados sobe una guía cuadada de mm con un cote de 88mm en su esquna supeo deecha. La stuacón que tenemos en este caso es dfeente a la de las guías analzadas hasta ahoa debdo a la falta de convegenca de los potencales con una vaacón del númeo de mágenes o de las poscones de la msma. Ello es debdo a un eo numéco poducdo en las esqunas adyacentes al entante; la vaacón de este eo en funcón de la ubcacón de las mágenes y del númeo de las msmas hace mposble enconta una stuacón estable. No obstante ealzaemos un bado en fecuenca sobe un punto fjo de la guía con el fn de busca posbles esonancas en la msma. Paa ello empleaemos las mágenes mostada en la fgua 6.22 con esa msma ubcacón stuando la fuente en una ubcacón de -005mm y la obsevacón en 005mm. Los esultados del bado ente las fecuencas de 5 y 9 Ghz fueon los sguentes: Bado potencal escala Bado potencal vecto G Bado potencal vecto Gyy Fgua 6.23 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía cuadada de mm con un cote de 88 en una esquna al vaa la fecuenca de 4.5 a 9.0 Ghz

272 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Obsevamos como la espuesta del potencal escala es mucho más claa y lmpa que la del esto de potencales; paece que el potencal vecto es más sensbles cuando esten entantes. No obstante ello puede se debdo a una ubcacón del punto de obsevacón en la guía más favoable a las vaacones del potencal escala que del potencal vecto. Tas ealza la smulacón en HFSS de esta estuctua compaaemos las dstntas esonancas encontadas peo sepaando las coespondentes al potencal escala y al potencal vecto. En pme luga veamos la pecsón obtenda en el potencal escala: Fecuenca de cote HFSS Ghz Fecuenca de cote método mágenesghz Eo absolutoghz Eo elatvo % Tabla 6.6 Pecsón al obtene las esonancas el potencal escala en una guía dual Compobamos como apaecen dfeencas mayoes que las del esto de guías no obstante sguen sendo pequeñas y podemos da po buenos los esultados. En cuanto al bado ealzado po el potencal vecto tenemos los sguentes esultados: Fecuenca de cote HFSS Ghz Fecuenca de cote método mágenesghz Eo absolutoghz Eo elatvo % Tabla 6.7 Pecsón al obtene las esonancas el potencal vecto en una guía dual En pme luga destaca un eo muy mpotante en la pmea esonanca detectada po el potencal vecto concetamente a las fecuencas y Esas esonancas no han apaecdo en el análss ealzado con HFSS en esa poscón y la pmea esonanca que apaece está stuada a 0.2Ghz de ellas. No obstante el esto de esultados que hemos obtendo son aceptables con un eo mámo del 0.475%. Vamos a ealza un pequeño estudo en la pmea fecuenca de esonanca encontada en el potencal escala 6.22Ghz en funcón del númeo de mágenes empleadas De esta foma obsevaemos la dstbucón del eo numéco en pcos que apaecen en las esqunas contguas al entante y compaaemos los dstntos esultados con la dstbucón de potencal popoconada po HFSS. sí en funcón del númeo de mágenes obtenemos: -248-

273 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo 60 mágenes 60 mágenes 80 mágenes 80 mágenes 90 mágenes 90 mágenes 00 mágenes 00 mágenes -249-

274 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo 05 mágenes 05 mágenes Fgua 6.24 Potencal escala en la pmea esonanca en funcón del númeo de mágenes guía cuadada mm con un cote de 88 en su esquna supeo deecha. Compobamos en pme luga como al emplea 60 mágenes la esonanca apenas apaece sendo el potencal en las esqunas debdo al eo numéco ntoducdo muy supeo a cualque oto potencal en la guía. l emplea 80 mágenes el eo dsmnuye de foma sgnfcatva aunque aun está pesente y tene un valo supeo al de la esonanca sn embago está ya se apeca de foma claa encontándose el eo muy localzado en las esquna. Con 90 mágenes obtenemos la mejo epesentacón del potencal escala ya que el eo en las esqunas se encuenta muy dsmnudo y la esonanca apaece de foma claa. l segu aumentando todavía más el númeo de mágenes vemos como vuelven a apaece eoes numécos en las esqunas e ncluso empeza a desapaece la esonanca con 05 mágenes debdo a que un sobedmensonamento del númeo de puntos tangentes en la estuctua conlleva a que poscones dstntas tengan un msmo valo o valoes muy paecdos esultando el sstema ncompatble o pesentando una solucón poblemátca como es este caso. La esonanca obtenda en el campo eléctco fecuenca es la sguente: E z medante HFSS a esta Fgua 6.25 Campo eléctco E z obtendo en una guía dual en la pmea esonanca a 6.22Ghz. Podemos compoba como el esultado obtendo con 90 mágenes es muy smla al consegudo con HFSS

275 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Empleando a pat de ahoa esta confguacón 90 mágenes stuadas a 5mm de la guía vamos a epesenta el potencal escala en la segunda esonanca a una fecuenca de 7.25Ghz. Resultado del campo E con HFSS Fgua 6.26 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de 7.25Ghz de una cavdad dual de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Compobamos como la dstbucón del potencal escala se adapta de foma adecuada al obtenda con HFSS salvo el eo que apaece en las esqunas adyacentes al entante que aunque se ha educdo especto a otos casos sgue estando pesente. Ecepto este eo que se encuenta muy localzado la dstbucón del potencal en la guía es coecta. Vamos a tata de volve a valda los esultados mostando paa ello la esonanca que se encuenta a una fecuenca de Ghz obtenendo un esultado de: -25-

276 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Resultado del campo E con HFSS Fgua 6.27 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de 7.629Ghz de una cavdad dual de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Compobamos como la dstbucón del potencal escala se adapta a la guía sendo muy paecda la dstbucón del campo E z popoconado po HFSS. Fnalmente mostaemos una últma compaatva a la fecuenca de esonanca de 8.952Ghz obtenendo unos esultados de: Resultado del campo E con HFSS Fgua 6.28 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de 8.952Ghz de una cavdad dual de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Volvemos a encontanos con la msma stuacón que en casos anteoes: el nteo de la guía pesenta una dstbucón de potencales coectas peo apaecen -252-

277 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo eoes numécos en las esqunas adyacentes al eo que a pesa de encontase muy localzados s que tenen su ceta nfluenca en el esto de la guía. Paa conclu los esultados de esta guía ndca en pme luga la falta de convegenca al vaa el númeo de mágenes y las poscones de las msmas. Ello nos lleva a que no sepamos que stuacón es la más popca paa analza la guía. Tas múltples puebas obsevamos como una ubcacón de 90 mágenes a 5mm de la guía popoconaba un meno eo; la vsualzacón de este eo es senclla pues se manfesta como pcos de potencal en las esqunas adyacentes al entante. Con esta confguacón consegumos obtene unas fecuencas de cote muy smlaes a las popoconadas po HFSS y una dstbucón de potencal que salvo el eo muy localzado en las esqunas adyacentes al entante se coesponde con el obtendo con HFSS. Indca que puede est ota confguacón de ubcacón de mágenes y númeo de las msmas que popocone un eo en la guía mucho meno; una posble foma de enconta esta confguacón seía medante el concepto de Coste ntoducdo en el capítulo 3 etendendo el msmo a estuctuas tdmensonales. 6.7 Guía flange Oto ejemplo de guía de ondas cuyo análss de potencales puede se mpotante es la denomnada guía flange. La guía que analzaemos pate de una estuctua cuadada de dmensones mm a la que se ealza un cote en dagonal en su vétce supeo deecho. Realzaemos el análss empleando un total de 50 mágenes stuadas alededo de la cavdad a una dstanca de 5 mm. La stuacón que estamos analzando es la sguente: Fgua 6.29 Stuacón de anllo con 90 mágenes stuados sobe una guía flange de altua 30mm. Esta guía al gual que ocuía con la guía dual analzada anteomente pesenta un entante que puede ocasona pcos de eo po lo que ealzaemos un estudo de su convegenca en funcón tanto de las mágenes empleadas como de la poscón de las msmas. En pme luga mostaemos cotes paa los potencales en el eje X paa un total de 50 mágenes en funcón de la dstanca de las msmas a la guía. Empleaemos paa ello una fecuenca de 7Ghz. Los esultados que obtenemos son los sguentes: -253-

278 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Potencal escala Potencal vecto G Potencal vecto Gyy Fgua 6.30 Repesentacón de los potencales en un cote del eje X en una guía flange a 7 Ghz. anllo con 50 mágenes. En la fgua anteo podemos obseva como se poduce una convegenca bastante mpotante en el potencal escala estendo dfeencas mínmas ente las dstntas ubcacones de las mágenes. No obstante paa el potencal vecto s que apaecen dfeencas sgnfcatvas ya que no llegan a convege las dstntas ubcacones de las mágenes. Paa contnua con el estudo en funcón de la ubcacón de las mágenes ealzaemos los msmos cotes empleando 3 y 5 anllos con el fn de que afecte menos la altua eléctca de la cavdad y que los esultados sean más convegentes. Paa el caso de 3 anllos tenemos: Potencal escala Potencal vecto G -254-

279 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Potencal vecto Gyy Fgua 6.3 Repesentacón de los potencales en un cote del eje X en una guía flange a 7 Ghz. 3 anllos con 50 mágenes cada uno. Podemos obseva como al aumenta el númeo de anllos los esultados son más convegentes: en el potencal escala las dfeencas son nestentes y en el potencal vecto aunque todavía esten se han educdo de manea consdeable. Mostaemos fnalmente los esultados de convegenca al emplea 5 anllos alededo de la cavdad compobando como cada vez los esultados son más convegentes e ndependentes de la dstanca de las mágenes a la guía: Bado potencal escala Bado potencal vecto G Bado potencal vecto Gyy Fgua 6.32 Repesentacón de los potencales en un cote del eje X en una guía flange a 7 Ghz. 5 anllos con 50 mágenes cada uno

280 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Obsevamos como obtenemos unos esultados más adecuados al habe empleado 5 anllos pues las vaacones en funcón de la poscón son más pequeñas. De esta foma vamos a stua las mágenes a 5mm de la cavdad. Sobe esta dstanca vamos a vaa el númeo de mágenes empleadas con el fn de estuda su convegenca y enconta un númeo mínmo de las msmas que nos popocone un esultado váldo. Empleaemos un total de 5 anllos paa esta últma compaacón pues ea en la stuacón en la que la convegenca ea máma. sí obtenemos unos esultados de: Potencal escala Potencal vecto G Potencal vecto Gyy Fgua 6.33 Repesentacón de los potencales en un cote del eje X en una guía flange a 7 Ghz. 5 anllos vaacón del númeo de mágenes po anllo. Compobamos como paa el potencal escala las dstntas stuacones concden de foma pecsa; no obstante s que apaecen pequeñas vaacones en el potencal vecto sendo estas cas despecables. Señala que este msmo tpo de smulacones empleando una dstanca más alejada de la guía había povocado la falta total de convegenca ente los dstntos casos. Tas el pequeño estudo de convegenca escogeemos un total de 50 mágenes stuadas a 5mm de la guía con el fn de analza la msma. En pme luga ealzaemos un bado fecuencal paa enconta las fecuencas de esonanca; paa ello ubcaemos la fuente en la poscón mm y un punto de obsevacón fjo en 505mm. En esta stuacón se ealza el bado fecuencal: -256-

281 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Bado potencal escala Bado potencal vecto G Bado potencal vecto Gyy Fgua 6.34 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía flange de altua 30mm al vaa la fecuenca de 5 a 9.0 Ghz. Tas obtene las esonanca vamos a ealza una pequeña compaacón ente algunas de las fecuencas obtendas y las popoconadas po HFSS con el fn de ve la pecsón que consegumos con el método de las mágenes espacales. Fecuenca de cote HFSS Ghz Fecuenca de cote método mágenesghz Eo absolutoghz Eo elatvo % Tabla 6.8 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía flange de 30mm de altua De la tabla anteo podemos destaca como las dos fecuencas ntoducdas po el potencal escala y 7.55 obtene un eo mucho más educdo que el esto. Ello es debdo a que en el bado fecuenca se ha empleado un únco anllo debdo al gan coste computaconal que equee emplea un sstema fomado po 3 ó 5 anllos. No obstante los esultados sguen sendo bastante satsfactoos con un eo elatvo nfeo al 0.82% en todos los casos

282 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Mostaemos los potencales en el nteo de la guía flange empleando un total de 5 anllos stuados en su alededo vefcando la dstbucón de los potencales con el campo eléctco E obtendo con HFSS. z Omtmos la epesentacón de la pmea esonanca ya que es un únco pco de potencal dstbudo en el nteo de la guía. No obstante sus esultados tambén se han valdado. Mostaemos po tanto la segunda esonanca stuada a la fecuenca 7.55Ghz: Resultado del campo E con HFSS -258-

283 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Fgua 6.35 Potencales a la fecuenca de esonanca de 7.55Ghz de una cavdad flange de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Obsevamos como los esultados son totalmente coheentes adaptándose la dstbucón del potencal escala a la foma del campo E z popoconada po HFSS. Ota esonanca de un mayo oden es la que se poduce a la fecuenca de 8.49 sendo el potencal en el nteo de la guía en este caso de: Resultado del campo E con HFSS -259-

284 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Fgua 6.36 Potencales a la fecuenca de esonanca de 8.49Ghz de una cavdad flange de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Como vene sucedendo hasta ahoa consegumos una valdacón de la dstbucón del potencal escala medante el campo eléctco dado po HFSS. Esta guía debdo al entante en su pate supeo deecha ha povocado múltples poblemas a la hoa de su análss debdo a que no se encontaba una convegenca con la poscón de las mágenes y con el númeo de las msmas. No obstante tas enconta una confguacón válda se han valdado las fecuencas de cote obtendas con una buena pecsón así como la dstbucón del potencal escala en las dstntas esonancas. 6.8 Lmtacones del método: Guía estella y dge Hasta este punto hemos obtendo unos esultados váldos en todas las guías que hemos analzado a pesa de tene más o menos poblemas paa enconta una ubcacón y númeo de mágenes capaces de analza las estuctuas popuestas. El método de las mágenes espacales ha pesentado poblemas cuando se tataban de analza guías con entantes como pueden se la guía dual ó la guía flange estudadas en apatados anteoes. En estos casos a pesa de la falta ncal de convegenca en los esultados conseguíamos halla stuacones váldas paa el análss. S segumos ntoducendo más entantes en la guía el análss medante mágenes espacales se vuelve más nestable apaecendo un mayo númeo de pcos de eo en las esqunas adyacentes a los entantes

285 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo En este punto pesentaemos el análss de dos guías como son la estella y la dual que no han poddo se analzadas satsfactoamente de foma geneal aunque s se consguen esultados pacales váldos lo que ndca que una mejoa del método puede conduc al solventa el poblema de los entantes Guía estella En este punto vamos a analza una guía estella que pate de una guía cuadada de mm sobe la que se han ealzado cuato cotes cuadados en las esqunas sendo cada cote de una dmensones de 44 44mm. Obsevamos como las dmensones de la guía popuesta en este caso son dfeentes a las analzadas hasta ahoa cas el doble de longtud es po ello que el númeo de mágenes que tenemos que emplea paa su análss tambén debe de aumenta. En pme luga vamos a mosta la guía a analza empleando paa ello un total de 50 mágenes stuadas a una dstanca de 0mm de la guía: Fgua 6.37 Stuacón de anllo con 50 mágenes stuados sobe una guía estella de altua 30mm. l ealza un pme cálculo de los potencales en el nteo de la guía con un númeo de mágenes educdo 70 po ejemplo se apeca como apaecen pcos de eo en las esqunas adyacentes a los 4 entantes. Esto se puede apeca claamente calculando el potencal escala en el nteo de la estuctua a 5.5Ghz po ejemplo: Fgua 6.38 Pcos de eo en los vétces de una guía estella al se analzada con 70 mágenes -26-

286 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Vemos como apaece el msmo efecto que en el caso de la guía dual debdo a la pesenca de no sno 4 entantes. Esto hace que el análss de esta guía sea muy complejo medante la técnca de las mágenes espacales. No obstante vamos a tata de consegu esultados váldos ealzando un análss de convegenca del método en funcón de la ubcacón de las mágenes el númeo de las msmas y el empleo de dvesos anllos que odeen completamente la cavdad. En pme luga se han ealzado vaos bados en funcón del númeo de mágenes paa dstntas poscones de las msmas. En todos ellos apaece una falta total de convegenca ente las dstntas mágenes especalmente cuanto más alejadas estén las msmas de la estuctua. Posteomente se ealzó un bado en funcón del númeo de mágenes sendo necesao el empleo de una gan cantdad de las msmas 250 paa obtene esultados azonables. sí tas ubca las mágenes a 5mm de la cavdad pues más ceca los esultados se dstosonan consegumos llega a una stuacón en la que se obtenía unos potencales elatvamente convegentes con el númeo de mágenes tal y como se muesta a contnuacón: Potencal escala Potencal vecto G Potencal vecto Gyy Fgua 6.39 Potencales en ejes e y al vaa el númeo de mágenes en el análss de una guía estella. Se obseva como 230 mágenes no popocona un esultado convegente en el potencal vecto G yy. El esto de valoes aun con pequeñas dfeencas muestan los mejoes esultados obtendos en los dstntos análss

287 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo De esta foma se ha elegdo una confguacón de 250 mágenes en un únco anllo pues el empleo de vaos anllos no ha mejoado los esultados anteoes ubcando el msmo a una dstanca de 5mm de la cavdad. En estas condcones se ha ealzado el bado fecuencal sobe un punto fjo ubcado en 005mm encontándose la fuente en la stuacón -005mm. Se han obtendo las sguentes esonancas: Bado potencal escala Bado potencal vecto G Bado potencal vecto Gyy Fgua 6.40 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía estella de altua 30mm al vaa la fecuenca de 5 a 9.0 Ghz. En pme luga destacamos la pesenca de muy pocas esonancas ccunstanca que no se había poducdo hasta ahoa. Realzaemos una compaacón de las fecuencas obtendas con las calculadas medante HFSS paa evalua su pecsón: Fecuenca de cote HFSS Ghz Fecuenca de cote método mágenesghz Eo absolutoghz Eo elatvo % Tabla 6.9 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía flange de 30mm de altua En la tabla anteo obsevamos que hemos logado una pecsón aceptable no obstante el cálculo no ha sdo coecto pues faltan muchas fecuencas de esonanca que no han sdo obtendas con el método de las mágenes espacales. sí po ejemplo el pme modo se popaga a la fecuenca de Ghz sn que ésta fecuenca sea detectada. Ello podía se debdo en una pmea nstanca a un -263-

288 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo poblema del método que calcula las fecuencas de esonanca sn embago tas ealza múltples smulacones no se poddo enconta una ubcacón de mágenes que popocone la dstbucón adecuada del potencal escala paa este modo. Podemos obseva en la fgua 6.4 como con HFSS apaece esta pmea esonanca de foma claa mentas que con el método de las mágenes no. Potencal escala Potencal escala Potencal vecto Gyy Fgua 6.4 Pme modo de esonanca en una guía estella de altua 30mm. Fecuenca Ghz l gual que ocue con la pmea esonanca el esto tampoco ha sdo detectado n se ha consegudo su dstbucón de potencal. En la fecuenca tampoco se ha consegudo una dstbucón adecuada del potencal. Hasta este punto todos los esultados son ncoheentes sn embago apaecen muesta de un apaecente buen compotamento del método a ota fecuenca como es la donde se consgue una dstbucón adecuada de los potencales: -264-

289 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Resultado del campo E con HFSS Fgua 6.42 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de Ghz de una cavdad tpo estella de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Tas estos esultados podemos conclu que el método a pesa de no funcona coectamente paa esta guía s que popocona unos esultados puntuales adecuados. Ello abe una nueva línea de nvestgacón que tate de modfca el método popuesto paa consegu obtene esultados convegentes en este tpo de guías Guía dge Paa temna este apatado vamos a ealza un análss de la guía ge. La guía esta basada en una cuadada de dmensones mm sobe la que se ealzan dos cotes cuadados de dmensones 22 22mm en los lados supeo e nfeo. Paa el análss de esta estuctua empleaemos en pme luga 90 mágenes dstbudas alededo de la msma a una dstanca de 5mm como se muesta en la fgua Destaca que s aumentamos mucho esta dstanca de sepaacón se puede poduc el solape ente las mágenes stuadas en los entantes povocándose una ndetemnacón matemátca a la hoa de esolve los valoes de las mágenes

290 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Fgua 6.43 Stuacón de anllo con 90 mágenes stuados sobe una guía dge de altua 30mm. Debdo a los dos entantes que posee esta guía nos encontamos ante los msmos poblemas que en la guía estella: una falta de convegenca ente las dstntas ubcacones de las mágenes y tambén en cuanto a su númeo. Ello nos mpde a pmea nstanca el cálculo adecuado de los potencales en el nteo de la estuctua ya que apaecen pcos de eo en las esqunas adyacentes de los entantes nvaldando las posbles convegencas de esultados. Un ejemplo clao lo podemos vsualza en la sguente fgua donde se ealza un análss del potencal escala a la fecuenca de 9.0 Ghz stuando las mágenes a 0mm de la guía: Fgua 6.44 Pcos de eo en los vétces de una guía dge al se analzada con 70 mágenes Compobamos como apaecen los pcos de eo en las esqunas nvaldando el esultado. De esta foma es muy complejo el análss de esta guía medante las mágenes espacales pues los dstntos análss no son convegentes y no se puede sabe que ubcacón y cuantas mágenes emplea. En pme luga vamos a ubca las mágenes a 5mm de la cavdad pues paece que es una dstanca óptma paa que las mágenes no se solapen dento de los entantes y vaaemos el númeo de mágenes empleadas con el fn de estuda la convegenca. sí a 6Ghz de fecuenca obtenemos los sguentes cotes de potencales: -266-

291 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Potencal escala Potencal vecto G Potencal vecto Gyy Fgua 6.45 Potencales en el eje al vaa el númeo de mágenes en el análss de una guía dge. Se puede obseva que no los esultados no son convegentes pncpalmente en el potencal escala. Un bado en funcón de la dstanca de las mágenes popocona la msma conclusón. No obstante tataemos de ealza el análss: paa ello empleaemos 90 mágenes y una ubcacón a 5mm de la guía. Sobe esta stuacón ealzaemos un bado en fecuenca stuando la fuente en el ogen 005mm y el punto fjo de obsevacón en 505. sí obtenemos: Bado potencal escala Bado potencal vecto G -267-

292 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Bado potencal vecto Gyy Fgua 6.46 Evaluacón de los potencales en un punto fjo en el nteo de una guía dge de altua 30mm al vaa la fecuenca de 7 a 0.5 Ghz. l gual que ocuía con la guía estella apaecen muy pocas esonancas; eso es debdo a que la fuente es ncapaz de ecta al modo en estas geometías complejas. Compaaemos los esultados con los obtendos con HFSS paa evalua su pecsón: Fecuenca de cote HFSS Ghz Fecuenca de cote método mágenesghz Eo absolutoghz Eo elatvo % Tabla 6.0 Pecsón al obtene las fecuencas de cote de una guía flange de 30mm de altua Las fecuencas se han calculado con una pecsón bastante pobe peo lo más mpotante es que faltan muchas esonancas po obtene pues los modos no han sdo ectados. pesa de que puede ocu que se stúe la fuente en un nulo patcula de un modo no es lógco que úncamente un modo en un bado tan amplo. No obstante tambén puede se debdo a que la fuente ha sdo ncapaz de ecta al esto de modos; po ello se ha ealzado el análss con dstntas poscones de la fuente obtenendo sempe el msmo esultado. Fnalmente se confma la ncapacdad del método paa calcula de foma coecta los potencales al compaa los msmos con los obtendos medante HFSS. No obstante el modo detectado a una fecuenca de 7.893Ghz s que es obtendo con una pecsón adecuada como compobamos en la fgua Destacamos en esa fgua la pesenca de unos pcos de eo muy mpotantes en las esqunas adyacentes a los entantes adquendo un valo supeo al de la esonanca. Este es el eo que nos nvalda en el método paa este tpo de guías

293 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Resultado del campo E con HFSS Fgua 6.47 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de 7.893Ghz de una cavdad tpo dge de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. otas fecuencas el método se muesta ncapaz de detecta las esonancas a pesa de camba la ubcacón de la fuente puntual en los centos de las msmas. Po ejemplo vemos como en la fecuenca 9.27Ghz no apaecen las esonancas buscadas aunque los pcos de eo en este caso son muy educdos. Paece que el modo no loga ectase

294 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Resultado del campo E con HFSS Fgua 6.48 Potencal escala a la fecuenca de esonanca de 9.27Ghz de una cavdad tpo dge de altua 30mm. Compaacón con el campo eléctco popoconado po HFSS. Tas estos esultados podemos conclu que el método no funcona del todo ben paa esta guía ya que popca unos pcos de eo en las esqunas adyacentes a los entantes que nvaldan el esto de esultados. pesa de ello se sguen consguendo cetos esultados puntuales váldos. Los potencales calculados seán totalmente váldos cuando se consgan elmna estos eoes estendo entonces total convegenca ente las dstntas epesentacones. 6.9 nálss multcapa: Guía cuadada con dos deléctcos Hasta ahoa todos los análss de guías han sdo ealzados con ae en su nteo. No obstante la teoía de las mágenes espacales puede aplcase de foma decta a medos multcapa gacas a la vesatldad de la tansfomada de Sommefeld [9]. Sn más que defn las caacteístcas de cada capa como pemtvdad eléctca y pemeabldad magnétca tal y como se epuso en el capítulo anteo podemos ealza el cálculo de los potencales en el nteo de guías estatfcadas. Ello popocona una heamenta muy podeosa de análss paa estuctuas eales medante la ecuacón ntegal. Paa vefca su funconamento vamos a ealza un pequeño estudo sobe una guía cuadada de dos capas una el ae y ota con una pemtvdad eléctca de valo 2. De la msma foma que se ealza sobe la guía cuadada el análss de estuctuas multcapa puede se ealzado en cualquea de las guías epuestas a lo lago de este capítulo sn más que defn sus capas de manea adecuada. La guía a analza tendá unas dmensones de mm tenendo la pmea capa una altua de 5mm y mentas que la segunda capa tendá una altua de 5mm y 2. Empleaemos paa el análss un total de 50 mágenes stuadas a 5mm de la guía. La stuacón pesentada es la sguente: -270-

295 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Fgua 6.49 Guía cuadada multcapa y ubcacón de 50 mágenes alededo de la msma. En pme luga vamos a ealza un estudo con 50 mágenes pues paa el caso de espaco lbe ean más que sufcentes en funcón de la dstanca de las msmas a la guía cuadada multcapa. Empleaemos paa ello una fecuenca de 5Ghz. Los esultados son: Potencal escala Potencal vecto G Potencal vecto Gyy Fgua 6.50 Potencales en el eje al vaa la dstanca de 50 mágenes a una guía cuadada con dos deléctcos en su nteo. Compobamos en la fgua anteo como una vaacón de las dstancas apenas modfca el esultado ecepto cuando stuamos las mágenes ecesvamente ceca la guía 5mm al gual que ocuía en el análss de la guía cuadada con un únco deléctco en su nteo. -27-

296 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Paa vefca el coecto funconamento en este caso dsponemos de un bado fecuenca de los potencales vecto G y G yy que es donde más poblemas pesenta el método ealzado medante la técnca analítca descta en [0] que combna una fomulacón espacal y espectal de las funcones de Geen. Paa este bado stuaemos la fuente puntual en la poscón 505mm y el punto de obsevacón en 7-0mm. Realzaemos un bado ente 2 y 7 Ghz. Los esultados obtendos son: Fgua 6.5 Potencales vecto al ealza un bado en un punto fjo ente 2 y 7 Ghz en una guía cuadada con 2 deléctcos. Compaacón con el método analítco descto en [0]. Compobamos como el potencal vecto obtendo se coesponde de foma cas eacta con el método analítco descto en [0] estendo pequeñas dfeencas puntuales sn mpotanca en el potencal vecto G yy. De esta foma podemos da po váldos los esultados del potencal vecto popoconados po la teoía de mágenes espacales al consdea deléctcos en su nteo. En cuanto al potencal escala apaecen un mayo númeo de poblemas en su cálculo debdo a que depende tanto de las componentes TE como TM como se mostó en 5.2. sí con un únco anllo a pesa de obtene esultados convegentes ente ellos en funcón de la ubcacón y númeo de mágenes no consegumos esultados váldos. En la fgua 6.52 mostamos una compaatva del potencal escala y vecto con los esultados obtendo en [3] apaecendo una dfeenca notable paa el caso del potencal escala. El análss se ha ealzado a una fecuenca de 6Ghz. Potencal escala Potencal vecto G -272-

297 Capítulo 6: Ejemplos de nálss de guías-onda tpo Potencal vecto Gyy Fgua 6.52 Compaacón de los potencales en una guía cuadada de mm con un deléctco de 5mm con 2. Valdacón con los esultados obtendos en [0] Las dfeencas apaecdas en el potencal escala son debdas a la pesenca del deléctco que hace que las condcones de contono mpuestas en la cavdad a la altua de la fuente no sean sufcentes. Es po tanto necesao efoza estas condcones en la zona del deléctco paa evta que la onda de supefce ceada en el nteo de la guía pueda sal de la msma. Paa ello se popone el empleo de múltples anllos empleados de foma unfome en la zona del deléctco. sí se fozaá el cumplmento de las condcones de contono obtenendo esultados váldos. Paa una estuctua como la pesentada con una altua eléctca consdeable 30mm paa una fecuenca de 6Ghz hace un total de 0.6 seían necesaos una gan cantdad de anllos sendo el coste computaconal muy elevado. La convegenca aumenta no obstante cuando esta altua eléctca es meno. S analzamos una cavdad cuadada con unas dmensones dfeentes de 20 20mm y una altua total de 24mm 2 mm cada capa con 8 anllos que odeen la estuctua obtendemos una convegenca adecuada. Po ejemplo mostamos las meddas a 5.5Ghz en la fgua Fgua 6.53 Potencal escala a 5.5Ghz en una guía cuadada de 2020mm con dos capas de 2mm una de ellas ae y la ota con pemtvdad de valo 2. Obsevamos como los paámetos geométcos de meddas elatvas adqueen una gan mpotanca aumentando el coste computaconal de foma muy mpotante con la altua eléctca debdo al ncemento de anllos a emplea