Grado en Ingeniería Mecánica SERIES DE FOURIER

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1 ema 4 Grado e Igeiería Mecáica SERIES DE FOURIER CONOCIMIENOS PREVIOS Para poder seguir adecuadamete este tema, se requiere que el alumo repase y poga al día sus coocimietos e los siguietes coteidos: Series. Cocepto de covergecia. Fucioes trigoométricas y propiedades. Números complejos y fució expoecial compleja. Dibujo de curvas y programació básica co Matlab. Cálculo diferecial e itegral de fucioes de ua variable. Los objetivos específicos de este tema so:. Defiir y represetar fucioes armóicas, coociedo el sigificado de los parámetros que iterviee e la defiició.. Eteder la defiició de fució periódica y saber calcular el periodo propio y la frecuecia agular de ua fució defiida como suma de armóicos.. Saber y aplicar el criterio de Dirichlet para desarrollar ua fució e serie de Fourier. 4. Saber calcular desarrollos e serie de Fourier. 5. Aproximar ua fució periódica mediate u desarrollo limitado de Fourier. 6. Obteer el desarrollo e serie de Fourier de ua fució a partir de otra de desarrollo coocido. 7. Obteer la serie de Fourier e forma compleja y dibujar el espectro de amplitud. SERIES DE FOURIER Defiicioes básicas Defiició (Fució periódica).- Ua fució fx ( ) defiida e u cojuto o acotado D se llama periódica, si existe u úmero tal que para cada x D se cumple la codició f x f x. Nótese que si es período de fx ( ) tambié admite f x los períodos,, etc. Si es el meor úmero positivo que verifica esta codició le llamaremos período propio o fudametal. Cuado o idiquemos lo cotrario supodremos que os referimos al período fudametal.

2 4 SERIES DE FOURIER Defiició (Fució armóica o armóico).- Se llama fució armóica o simplemete armóico a ua fució periódica defiida por ua de las ecuacioes siguietes: fx ( ) Acos( x ) ó fx ( ) Ase( x ) Como se desprede de la defiició, los armóicos so odas seoidales o coseoidales cuya forma viee determiada por los valores siguietes: A, es la amplitud o altura de la siusoide., es el águlo de fase e idica el puto de arraque detro del ciclo., es la frecuecia agular medida e rad/seg. La frecuecia agular es el parámetro determiate de la forma de la seoide y va a jugar u papel fudametal e todo el Aálisis de Fourier. Su expresió es f siedo f la frecuecia e ciclos / sg. Puesto que el periodo es la duració de u ciclo u oscilació se verifica f y, por tato. Defiició (Serie trigoométrica o de Fourier).- Ua serie de fucioes del tipo a ( a cos x b se x) se llama serie trigoométrica y las costates a, a, b (,, ) se llama coeficietes de la serie trigoométrica. OBSERVACIÓN.- Las fucioes de la serie trigoométrica aterior so armóicos co águlo de fase cero, frecuecia agular y periodo propio / y, por tato, todas ellas tiee como periodo comú /. Defiició (Desarrollo de ua fució e serie trigoométrica).- Desarrollar ua fució fx ( ) co período ó p e serie trigoométrica sigifica hallar ua serie trigoométrica covergete, cuya suma Sx ( ) sea igual a la fució fx ( ). Serie de Fourier para la fució periódica de periodo p Aalizaremos a cotiuació las codicioes suficietes para que ua fució sea desarrollable e serie de Fourier, estas codicioes se recoge e el teorema de Dirichlet. Las codicioes bajo las cuales ua fució admite desarrollo e serie so muchas. Si embargo, la mayor parte de las aplicacioes prácticas queda cubiertas co el eorema de Dirichlet.

3 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA EOREMA DE DIRICHLE.- Si fx ( ) es ua fució periódica de período p, y cotiua e u itervalo de u período o tiee e este itervalo a lo sumo u úmero fiito de putos de discotiuidad de salto fiito, así como u úmero fiito de máximos y míimos, etoces se puede represetar por ua serie de Fourier covergete que tiee por suma el valor de la fució fx ( ) e los putos e que ésta es cotiua y el promedio de los límites por la derecha y por la izquierda e los putos e los que es discotiua. Supoiedo que la fució fx ( ) cumple el criterio de Dirichlet, el siguiete teorema os da el método para calcular los coeficietes a, a, b de la serie de Fourier a partir de fx ( ), así como las codicioes de covergecia de la serie. EOREMA.- Supogamos que la fució periódica fx ( ) de período p cumple el criterio de p, p. Etoces se cumple Dirichlet e [ ] Siedo, a p f ( x) dx, p p a f x a x b x ( ) ( cos se ) p a f ( x)cos xdx p, expresioes coocidas como Fórmulas de Euler. Además para cada valor de x e [ p, p], la serie coverge a: fx ( ), si x es puto de cotiuidad de f. fx ( ) fx ( ), si es puto de discotiuidad de f. p p b f ( x)se xdx p p Desarrollo de las fucioes pares e impares e Serie de Fourier Defiició (Fució par e impar).- Ua fució fx ( ) defiida e el itervalo pp, p > se llama par si f( x) = f( x) para todo x [ pp, ]. impar si f( x) fx ( ) para todo x pp,. dode Es fácil ver que la gráfica de ua fució par es simétrica respecto al eje de ordeadas mietras que ua fució impar es simétrica respecto al orige de coordeadas. La serie de Fourier de ua fució par cotiee sólo el térmio idepediete y los térmios e a coseo, es decir, fx ( ) a cos x

4 4 4 SERIES DE FOURIER La serie de Fourier de ua fució impar cotiee sólo los térmios e seo, es decir, f( x) = b se ω x = ambié es posible obteer u desarrollo de Fourier solo e seos o solo e coseos para ua fució defiida e, p, si más que hacer ua extesió periódica impar o ua extesió periódica par de dicha fució (ver ejercicio resuelto 6). 4 Forma compleja de la Serie de Fourier. Espectro de amplitud. Supogamos que la fució fx ( ) satisface las codicioes suficietes de desarrollabilidad e serie de Fourier. Etoces e el segmeto pp, puede represetarse mediate la serie a ( a cos x b se x), p Utilizado las fórmulas de Euler para la expoecial compleja ix ix e e ix e cos x ise x cos x ix ix ix e cos x ise x e e se x i y sustituyedo e la serie resulta a a ib ix a ib ix fx ( ) e e LLamado c a,, c a ib a ib c la serie se trasforma e Abreviadamete, ix ix ix ix ix ix c ce ce f( x) c ce c e c ce c e f( x) c ce i x que es la represetació compleja del desarrollo e serie de Fourier de c se les llama coeficietes complejos de Fourier de la fució de los coeficietes reales: O bie directamete, c a ib c a ib f x. A los coeficietes f x y puede obteerse a partir

5 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 p ix c f ( x) e dx,,,, p p Defiició (Espectro de amplitud).- Se llama espectro complejo de amplitud de gráfica resultate de represetar la amplitud c frete a la frecuecia agular. f x a la Nótese que el espectro de amplitud de fx ( ) es ua gráfica formada por u cojuto de putos π discretos, correspodietes a las frecuecias discretas ω = ω = y se extiede a p frecuecias egativas. C a ib C c C C C C a b C C ω ω ω ω ω ω ω 5 Derivació e itegració de Series de Fourier A cotiuació se preseta dos teoremas que establece las codicioes para poder escribir uevos desarrollos de Fourier mediate itegració o derivació de otros coocidos. eorema (Itegració de series de Fourier).- La itegral de cualquier fució p- periódica, que cumpla el criterio de Dirichlet, se puede hallar itegrado térmio a térmio la serie de Fourier de la fució e el iterior del itervalo pp,. eorema (Derivació de series de Fourier).- Si fx ( ) es ua fució periódica cotiua e el itervalo pp,, co f( p) f( p), y su derivada f ( x ) satisface las codicioes de Dirichlet e este itervalo, etoces la serie de Fourier de f ( x) se puede obteer derivado térmio a térmio la serie de fx ( ). La serie obteida coverge a f ( x) e las codicioes del criterio de Dirichlet.

6 6 4 SERIES DE FOURIER Ejercicios propuestos Co la herramieta de represetació de armóicos de la págia eb/calculoii/descartesjs/armoicos- JS/armoico.html aaliza el sigificado de la amplitud, la frecuecia y la fase e ua oda coseoidal. periodo fudametal es. E caso 5 egativo, cuál sería? La figura muestra la gráfica de la fució. (a) Qué observas e la gráfica de la figura? Cuál crees que es el periodo fudametal de la fució? Solució: No es periódica. Si la ecuació de la fució es ft ( ) se t se 6t set 5, comprueba cuáles de los siguietes valores so periodo de ft (): /,, Cuál es su frecuecia agular? Solució: es el periodo propio; tambié es periodo. Frecuecia agular: Obteer el periodo fudametal y la frecuecia agular de la fució t t ft ( ) cos cos. 4 Sea ft () ua fució de periodo Cuál sería el periodo de la fució f ( at), a? Solució: a) 4, / b) / a 5 E la herramieta de represetació de series de Fourier de la págia siguiete eb/calculoii/descartesjs/armoicos- JS/fourier.html pulsa sobre el botó ejemplos para ver cuál es el desarrollo e serie de Fourier de distitas fucioes periódicas. Observa cómo aumetado el úmero de armóicos se cosigue ua mejor aproximació a la fució 6 Desarrollar la fució -periódica fx ( ) defiida e [-, ] de la forma x, si x, fx ( ) x, si x, Aalizar la covergecia de la serie obteida Solució: 4 cos x fx ( ), x 4 Se cosidera la fució ft ( ) cost cos( ) t. Razoar si su 7 Desarrollar e serie de Fourier la siguiete fució periódica

7 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 x x fx ( ) x x Solució: 5 4 fx ( ) cos x cosx para x 8 4 se x Ejecuta la presetació Series de Fourier que ecotrarás e la págia de la asigatura e Aula Virtual. E esta presetació se aaliza cómo, coocido el desarrollo e serie de Fourier de ua fució fx ( ), es posible obteer la serie de Fourier de ua ueva fució, siempre que esta ueva fució sea el resultado de hacer ua de las trasformacioes siguietes e la fució de partida: - Escalado horizotal (cambio de período). - Escalado vertical. - Desplazamieto horizotal. - Desplazamieto vertical. Después de ver la presetació cotesta razoadamete a estas pregutas, cosiderado x, x fx ( ) x, x t, t gt (). t, t. Qué relació hay etre las fucioes fx ( ) y gt ()?. y etre sus series de Fourier? 9 E este ejercicio se obtiee el desarrollo e serie de Fourier de la fució vista e la presetació del ejercicio aterior y se dibuja la aproximació de la fució sumado armóicos. Se cosidera la fució 4-periódica defiida por: fx ( ) x, x, Se pide:. Cuál es la frecuecia agular de fx ( )?, Es ua fució par o impar? Es cotiua? Cumple el criterio de Dirichlet?. Dibuja co Matlab la gráfica de la fució e el itervalo 4, 4.. Calcula, resolviedo las itegrales co Matlab, los coeficietes del desarrollo de Fourier de fx ( ). 4. Escribe la serie de Fourier de fx ( ) y justifica la covergecia de la serie a la fució utilizado el criterio de Dirichlet. 5. A partir de la serie obteida, calcula la suma de la serie umérica. ( ) Comprueba el resultado sumado esta serie co Matlab. 6. Dibuja, e ua misma figura, la gráfica de fx ( ) y la gráfica de la aproximació que se obtiee utilizado los cuatro primeros armóicos o ulos del desarrollo de Fourier, fució g( x ), 8 x x gx ( ) cos cos 5x 7x cos cos 5 7 Idica co ua leyeda la curva que correspode a la fució y a la aproximació. 7. Ejecuta el fichero sierra.m para dibujar aproximacioes de fx ( ) utilizado los primeros armóicos de su serie de Fourier. Desarrollar la fució fx ( ) x, x e serie de Fourier de seos y e serie de Fourier de coseos, justificado la covergecia de cada desarrollo. Solució: a) seos: se x x, x

8 8 4 SERIES DE FOURIER b) coseos: 4 cos( ) x x, x ( ) Determiar el desarrollo e serie de Fourier de seos y e serie de Fourier de coseos de la fució fx ( ) x x e, Solució: E serie de seos 8 fx ( ) se x para x, E serie de coseos f( x) cos x para x, 6. Calcular el desarrollo e serie de Fourier de la fució de periodo defiida e, por la ecuació ft () Ut () Ut ( ) dode si t c Ut ( c) si t c es la fució escaló uitario ( ). Calcular. A partir de la serie de Fourier de la fució ft (), obteer la serie de Fourier e forma compleja de la fució, t gt () 5, t Solució: ) ( ) ft ( ) se t, tk, k ) /4 ) 5 5i ( ) gt e tk k () i t,, Escribir la serie de Fourier e sus formas armóica y compleja para la fució de período p, ft () t, t p p Justificar la covergecia de la serie obteida. Solució: i i t p ft () e, tp 4 Hallar la serie de Fourier de la fució defiida por x fx ( ) se xcos, x Cuál es el periodo propio y la frecuecia agular de la fució? Solució: fx ( ) cos x cos x, x, /

9 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 est de autoevaluació El térmio costate del desarrollo e serie de Fourier de la fució, x fx ( ) es, x, x A) /4. B) /4. C) /. D) Nigua de las ateriores. El desarrollo e serie de Fourier de la, x fució fx ( ) es:, x se( ) x A) 4 se x B) 4 se( ) x C) 4 D) Nigua de las ateriores. 4A A) gx ( ) A se( x), x k 4A B) gx ( ) A se() x, x k 4A c) gx ( ) A se() x, x k D) Nigua de las ateriores. 5 Al desarrollar la fució fx ( ) xx, x e serie compleja de Fourier, los coeficietes o ulos, cumple: A) odos so reales B) odos so imagiarios puros. C) odos so complejos co parte real e imagiaria o ula. D) Nigua de las ateriores.. El periodo propio de la fució ft ( ) cos t se t se 9t, es A) / B) /9 C) / D) Nigua de las ateriores. 4 Se sabe que la serie de Fourier de la A, si x fució fx ( ) es:, si x A A fx ( ) se( ) x, x k ( k ). Etoces la serie de Fourier de la fució A, si x / gx ( ) es:, si / x 6 Decir cuál de las siguietes afirmacioes es verdadera: A) El producto de ua fució par por ua impar es ua fució par. B) El producto de dos fucioes impares es ua fució impar. C) La derivada de ua fució par es ua fució par. D) Nigua de las ateriores. 7 Se cosidera la fució de periodo =, defiida e el itervalo (, ) por la ecuació ft () Ut () Ut ( ). El coeficiete complejo de la serie de Fourier de ft () es: i(cos ) A) C i(cos ) B) C (cos ) C) C. D) Nigua de las ateriores..

10 4 SERIES DE FOURIER 8 Los coeficietes reales de la serie de Fourier de la fució de la cuestió 7, so: cos A) a, b. (cos ) B) a, b. C) a, b. ( ) D) Nigua de las ateriores. 9 Si la serie de Fourier de la fució fx ( ) x para x, es 4 ( ) se x Se puede deducir que la suma de la serie umérica es: A) /4. B) /4. C) / D) Nigua de las ateriores. Dada la fució de periodo 4, defiida, t por ft (), t 4 El coeficiete complejo de la serie de Fourier de ft () es: i i A) C e,,. i i B) C e,, i C) C e,, D) Nigua de las ateriores. Solucioes del est: b a c c b d b a b b Ejercicios resueltos Hallar el desarrollo e serie de Fourier de la fució de período 4, defiida como, si t, si t ft (), si t, si t Estudiar la covergecia de la serie de Fourier e el itervalo,. Solució: El período de la fució es 4, luego la frecuecia fudametal o frecuecia del primer armóico de la serie de Fourier es.

11 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA Código Matlab: t=-6:.:6; x=-6:.:-5;x=-5:.:-4;x=-4:.:-;x4=-:.:-;x5=-:.:; x6=:.:;x7=:.:;x8=:.:4;x9=4:.:5;x=5:.:6; figure() y=*oes(size(x));y=oes(size(x));y=-*oes(size(x)); y4=*oes(size(x4));y5=oes(size(x5));y6=-*oes(size(x6)); y7=*oes(size(x7));y8=oes(size(x8));y9=*oes(size(x9)); y=*oes(size(x)); plot(x,y,x,y,x,y,x4,y4,x5,y5,x6,y6,x7,y7,x8,y8,x9,y9,x,y) axis equal xlabel('eje X');ylabel('eje Y') hold o plot(*oes(size(t)),t);plot(t,*oes(size(t))) A la vista de la gráfica, por tratarse de ua fució impar, es decir f t f t t, los coeficietes del desarrollo e serie de Fourier ulos será a a. E cuato a los coeficietes b se obtiee así t t t b f t se dt f t se dt se dt impar impar b par t cos cos Luego el desarrollo e serie de Fourier de f t es, para =,,, t se, t,,, f t cos E cuato a la covergecia de la serie de Fourier e el itervalo,, la serie coverge a f t e todos los putos dode la fució es cotiua, tal como muestra la expresió

12 4 SERIES DE FOURIER aterior. E los putos de discotiuidad de salto de del salto; cocretamete, se verifica f f si t, la serie coverge a f f si t, la serie coverge a f f si t, la serie coverge a f t, la serie coverge al valor promedio Obteer el desarrollo e serie de Fourier de la fució de período π, defiida como f ( t ) t, si t ; t, si t Estudiar la covergecia de la serie e el itervalo,. Solució: Código Matlab: t=-9:.:9; x=-9:.:-6;x=-6:.:-;x=-:.:; x4=:.:;x5=:.:6;x6=6:.:9; figure() y=-x-6;y=x+6;y=-x; y4=x4;y5=-x5+6;y6=x6-6; plot(x,y,x,y,x,y,x4,y4,x5,y5,x6,y6) axis equal xlabel('eje X');ylabel('eje Y') hold o plot(*oes(size(t)),t);plot(t,*oes(size(t))) E este caso, el período de la fució es 6, siedo la frecuecia fudametal. Por otra parte, la fució es par, ya que verifica f t f t t. E cosecuecia, tedremos b. Luego la serie de Fourier quedará así a t a cos f t

13 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA Calculamos el valor de los coeficietes de la serie t t a f t cos dt t cos dt, par par aplicado el método de itegració por partes: t dt u du t se t dv cos v sustituyedo queda par t t se se t a uv vdu dt a t t se 6 cos t 6 se 6 cos 6 6cos, t a f t dt tdt par Sustituyedo estos coeficietes e la serie se obtiee 6 t 6 t cos cos cos f t que tambié puede expresarse así t t 5t cos cos cos... 5 f t La serie de Fourier coverge a, putos del itervalo,. f t t, ya que la fució es cotiua e todos los, t Defiir la serie de Fourier de la fució ft () e el itervalo, t,, sabiedo que se trata de ua fució periódica de período.

14 4 4 SERIES DE FOURIER b) Estudiar la covergecia de la serie obteida e dicho itervalo. Aplicar los resultados obteidos e el estudio de la covergecia de la serie para hallar la suma de la serie umérica. ( ) Solució: a) Código Matlab: t=-*pi:.:*pi; x=-*pi:.:-*pi;x=-*pi:.:-pi;x=-pi:.:; x4=:.:pi;x5=pi:.:*pi;x6=*pi:.:*pi; figure() y=-*oes(size(x)); y=oes(size(x)); plot(x,y,x,y,x,y,x4,y,x5,y,x6,y) axis equal xlabel('eje X');ylabel('eje Y') hold o plot(*oes(size(t)),t);plot(t,*oes(size(t))) hold off La fució es impar, pues verifica f t f t t. Los coeficietes del desarrollo e serie de Fourier ulos será a a, quedado la serie de Fourier así f t b se t, pues la frecuecia fudametal es. Calculamos los coeficietes o ulos b f t t dt t dt impar impar cost se se par sustituyedo e la serie quedará f t cos 4 se t se t se 5t se t 5

15 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 La serie coverge a f ( t ) t [ ππ, ] { π,, π} putos restates del itervalo tedremos, dode la fució es cotiua. E los f f si t, la serie coverge a f f si t, la serie coverge a b) La serie umérica coicide co la serie ( ) se ( ), que es igual a ( ) π la expresió etre parétesis de la serie de Fourier si hacemos t =. Como además sabemos π que para t = la serie coverge a f, resulta 5 se se se se ( ) f 5 ( ) ( ), despejado resulta ( ) 4 4 Sabiedo que el desarrollo de Fourier de la fució f( x ) es, x fx ( ) 4, x 4 se( ) x, justificar si las afirmacioes de los apartados a) y b) so ciertas o falsas., x (a) La serie de Fourier de la fució gx ( ) es, x b) Se cumple Solució: ( ) 4 se( ) x a) gx ( ) se obtiee mediate u escalado vertical y u escalado horizotal sobre fx ( ). x t E efecto, si llamamos t a la variable de fx ( ) y establecemos la proporció, se tiee

16 6 4 SERIES DE FOURIER, t, t 4 4 f( x) f( t) gt () xt, t, t 4 4 Es decir la relació etre g y f es, gt () f( t), o lo que es lo mismo gx () ( f x) Llevado esta relació a la serie de Fourier de fx ( ) se obtiee la serie de Fourier de gx ( ) gx ( ) se( ) x se( ) x b) Haciedo x e la igualdad fx ( ) y teiedo e cueta que fx ( ) es cotiua e este puto, se puede asegurar que, 5 se( ) ( ) 4 Obteer el desarrollo e serie de Fourier de la fució de período π, defiida como f ( t), si t ; se t, si t Estudiar la covergecia de la serie e el itervalo,. Solució: Código Matlab: t=-*pi:.:*pi; x=-*pi:.:-*pi;x=-*pi:.:-pi;x=-pi:.:; x4=:.:pi;x5=pi:.:*pi;x6=*pi:.:*pi; figure() y=*oes(size(x)); y=si(x); y4=si(x4);y6=si(x6); plot(x,y,x,y,x,y,x4,y4,x5,y,x6,y6) axis equal xlabel('eje X');ylabel('eje Y') hold o plot(*oes(size(t)),t);plot(t,*oes(size(t))) hold off

17 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 La fució f t es periódica de período π, luego la frecuecia fudametal vale. La serie f t será de Fourier que represeta a dicha fució a f t a cos t b se t Calculamos el valor de los coeficietes de la serie, utilizado las fórmulas de Euler, así a f t cost dt se t cos t dt La fució subitegral se debe expresar de otra forma, utilizado ua relació de trigoometría, para poderla itegrar de forma imediata seacosb Sustituyedo queda se a b se a b se t cos( t) ( + ) + ( ) se t se t = a a a se t se t cost cost dt cos cos cos cos cos cos, ; calculamos ahora de forma particular el coeficiete a, ya que la expresió geeral de a o os sirve para porque quedaría cero e el deomiador cos t a se t costdt se tdt Por otra parte, b = se t se tdt π, teiedo e cueta la relació π ( a b) ( a+ b) t( ) t( + ) cos cos cos cos se a se b = se t se t = se t se t b cos t cost dt b se se se se, calculamos tambié de forma particular el coeficiete b para evitar la divisió por cero.

18 8 4 SERIES DE FOURIER se t b se t se tdt cos t dt t La serie de Fourier quedará así se t cos t cos 4t cos 6t f t b se t cos t 5 5 La serie coverge a ( ) es cotiua. f t e todos los putos del itervalo,, porque e ellos la fució 6 Hallar el desarrollo e serie de Fourier de seos y de coseos e el itervalo, la fució ft () t t, t. para Solució: f t, costruyedo ua fució periódica e impar, de período Para desarrollar e serie de Fourier de seos la fució f t e el itervalo,, se requiere prologar aalíticamete. La frecuecia fudametal de esta fució será Código Matlab: t=-:.:; x=-:.:-;x=-:.:-;x=- :.:;x4=:.:;x5=:.:;x6=:.:; figure() y=-x4+(x4).^;y=x4-(x4).^;y=y; y4=y;y5=y;y6=y; plot(x,y,x,y,x,y,x4,y4,x5,y5,x6,y6) axis equal xlabel('eje X');ylabel('eje Y') hold o plot(*oes(size(t)),t);plot(t,*oes(size(t))) hold off Los coeficietes de la serie de Fourier de esta fució impar será a a,

19 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 b f t se t dt t t se t dt, impar impar par La itegral se resuelve aplicado el método de itegració por partes dos veces sustituyedo queda u t t du t dt cos t dv se t dt v u t du dt cost cost b t t t dt cost se t dv dt v Sustituyedo de uevo queda cos t se t se t b t t t dt cos t se t cos t se cos 4,. Para tedremos b t t se dt ; b t t t b luego el desarrollo e serie de Fourier de seos de f t, e el itervalo, quedará 4 f t b se t se t Para desarrollar e serie de Fourier de coseos la fució requiere prologar aalíticamete f t e el itervalo,, se f t, costruyedo ua fució periódica y par, de período. La frecuecia fudametal de esta fució será tambié Código Matlab: t=-:.:; x=-:.:-;x=-:.:-;x=- :.:;x4=:.:;x5=:.:;x6=:.:; figure() y=x4-(x4).^;y=y=y4=y5=y6=y; plot(x,y,x,y,x,y,x4,y4,x5,y5,x6,y6) axis equal xlabel('eje X');ylabel('eje Y') hold o plot(*oes(size(t)),t);plot(t,*oes(size(t))) hold off.

20 4 SERIES DE FOURIER Los coeficietes ulos de la serie de Fourier de esta fució par será por otra parte, b =,, a cos cos f t t dt t t t dt, par par par aplicado dos veces el método de itegració por partes y sustituyedo queda se t cos t se t cos se a t t t a,. Para tedremos a t t dt ; luego el desarrollo e serie de Fourier de coseos de f ( t ), e el itervalo [, ] quedará a f t a cos t cos t 6 7 Sea la fució f ( t), 4 t ; si t ; si t 4 período 8. Se pide: a) Represetar gráficamete f t., de b) Obteer el desarrollo e serie de Fourier de la fució f t, utilizado otació compleja. c) Estudiar la covergecia de la serie de Fourier obteida, e el itervalo 4, 4.

21 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA d) Hallar la frecuecia fudametal correspodiete a f ( t ). Obteer el espectro de Solució a) amplitud de f ( t ), idicado sobre la amplitud de los armóicos de frecuecias:, / 4, / 4, /, /, /4, /4,, f t que tiee las Código Matlab: t=-:.:; x=-:.:-;x=-:.:-6;x=-6:.:-;x4=- :.:;x5=:.:6;x6=6:.:;x7=:.:; figure() y=*oes(size(x));y=*oes(size(x));y=*oes(size(x)); y4=*oes(size(x4));y5=*oes(size(x5));y6=*oes(size(x6)); y7=*oes(size(x7)); plot(x,y,x,y,x,y,x4,y4,x5,y5,x6,y6,x7,y7) axis equal xlabel('eje X');ylabel('eje Y') hold o plot(*oes(size(t)),t);plot(t,*oes(size(t))) hold off b) El desarrollo e serie de Fourier de f t utilizado otació compleja es / f t C e C f t e dt it it ;, siedo la frecuecia fudametal de la serie. E este caso,. Calculamos 8 4 los coeficietes complejos de la serie / 4 i t i t i t 4 e i i 4 4 C f t e dt e dt e e i 4 i 4

22 4 SERIES DE FOURIER C ise se,,,, i Como esta expresió o permite sustituir, calculamos aparte el coeficiete C 4 C f t dt dt 8 8, sustituyedo e la serie queda 4 se i 4 e f t c) La serie de Fourier coverge a f t t 4, 4, t, es decir e todos los putos del itervalo dode la fució es cotiua. E los dos putos de discotiuidad tedremos f f si t, la serie coverge a f f si t, la serie coverge a d) El espectro de amplitud de f ( t ) es la gráfica de C e fució de la frecuecia de los armóicos,,,,. Calculamos C, resultado C se,,,, Costruimos ua tabla de valores de las amplitudes que después represetaremos e el espectro de amplitudes de f ( t ) Frecuecia Armóico Amplitud C La represetació gráfica de las amplitudes queda así

23 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 8 a) Obteer el desarrollo e serie de Fourier utilizado otació compleja para la fució periódica de período, defiida así: ft () t, t; ft ( ) ft (), t b) Represetar gráficamete el espectro de amplitud de f ( t ), señalado la amplitud de los armóicos de frecuecias: ω =, ω = π, ω = π, ω = π y ω = 4 π. Solució: a) Código Matlab: t=-4:.:4; x=-4:.:-;x=-:.:;x=:.:;x4=:.:4; figure() y=x;y=x;y=x; y4=x; plot(x,y,x,y,x,y,x4,y4) axis equal xlabel('eje X');ylabel('eje Y') hold o plot(*oes(size(t)),t);plot(t,*oes(size(t))) hold off La serie de Fourier se expresa i t ft Ce, siedo la frecuecia fudametal de la serie. Calculamos los coeficietes complejos itegrado por partes

24 4 4 SERIES DE FOURIER u = t du = dt iπt iπt iπt e e C i t te dt π = t dt iπt e = = + dv = e dt v = iπ iπ iπ C C iπt iπt iπ iπ te e e e = + = + i π i π π π iπ i cos ise cos ise i Hemos teido e cueta que cos π = y se. Para el caso lo calculamos directamete, así C Fourier queda t dt ; sustituyedo todo lo aterior, el desarrollo e serie de ( ) f t = + = i e π iπt b) Hallamos el espectro de amplitud de f t. Para ello, calculamos C, resultado C = i,,,, π = π =± ± ± Costruimos ua tabla de valores de las amplitudes que después represetaremos e el espectro de amplitudes de f ( t ) Frecuecia π π 4 4π Armóico Amplitud C π π 4 4 La represetació gráfica de las amplitudes queda así