el blog de mate de aida CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 1

Transcripción

1 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: DEFINICIÓN. Dds dos mgnitudes, un unción es un relción entre ms, de tl mner que cd vlor de l primer le corresponde un único vlor de l segund. A l primer mgnitud se l llm vrile independiente, l segund (que depende de l primer), vrile dependiente. Si se represent por l letr l vrile independiente por l letr l vrile dependiente, l relción uncionl es unción de, o depende de, se escrie sí: =() El dominio de un unción es el conjunto de vlores que puede tomr l vrile independiente. El rngo de un unción es el conjunto de vlores que puede tomr l vrile dependiente. Ejemplo: El áre de un cudrdo es igul ldo por ldo: A l. Ést es un relción entre dos mgnitudes: áre ldo. El áre depende del ldo, luego est se le llm vrile dependiente l ldo vrile independiente. El dominio de est unción está ormdo por los números positivos, que l vrile independiente es un longitud. El rngo de dich unción está ormdo tmién por números positivos. DETERMINACIÓN DE UNA FUNCIÓN. - Medinte un gráic. - Medinte un tl o conjunto de pres. - Medinte órmuls o epresión nlític. - Medinte un descripción verl. Medinte su representción gráic: Sore unos ejes crtesinos representmos ls dos vriles: - l (vrile independiente) sore el eje horizontl (eje de sciss). - l (vrile dependiente) sore el eje verticl (eje de ordends). Cd punto de l gráic tiene dos coordends, su scis su ordend. Al representr los puntos (,()), l unción se identiic con un líne que es l gráic de l unción. Pr relizr l gráic de un unción h que elegir ls escls decuds en cd eje; o lo que es lo mismo, utilizr ls uniddes más idónes. Los ejes deen estr grdudos en escls, de modo que se puedn cuntiicr los vlores de ls dos vriles. En ls gráics conviene destcr quellos vlores pr los cuáles se veriicn hechos importntes. Medinte un tl de vlores: Se presentn dos columns: en l primer prece l vrile independiente () en l segund l vrile dependiente (). Ejemplo: El áre de un cudrdo, en unción de su ldo, es A=l. Est unción puede venir dd medinte l siguiente tl de vlores: Ldo, (cm) áre, (cm ) 0 0 0,5 0, ,5,5 4,5 6,5 9,5 1,5 Medinte su epresión nlític o órmul: L epresión nlític es l orm más precis opertiv de dr un unción. Permite clculr los vlores de l vrile dependiente pr todos los vlores que demos l vrile independiente.

2 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. Ejemplo: El volumen de un eser es unción de su rdio viene ddo por l epresión: V 4 r CUÁNDO UNA GRÁFICA NO CORRESPONDE A UNA FUNCIÓN Cundo cd vlor de le corresponde uno o ninguno de, l gráic corresponde un unción. Cundo h vlores de los que les corresponde más de un vlor de, l gráic no corresponde un unción. ASPECTOS A ESTUDIAR SOBRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. Vmos considerr continución, de mner intuitiv, lgunos spectos tener en cuent pr estudir representr un unción =(). Dominio de deinición Se llm dominio de deinición de un unción, se design por Dom(), l conjunto de vlores de pr los cules eiste unción, es decir, puede clculrse (). El conjunto de vlores de pr los cules eiste l unción puede quedr restringido por lguno de los siguientes motivos: - imposiilidd de relizr lgun operción: - denomindores: los vlores que hcen cero el denomindor no están en el dominio. - ríces cudrds: los vlores que hcen negtivo el rdicndo no están en el dominio. - conteto rel del cul se h etrído l unción: por ejemplo, si se trt de l unción que nos d el áre de un cudrdo en unción de l longitud de su ldo, el dominio serán solo los números positivos, pues l longitud del ldo es un distnci es positiv siempre. - por voluntd de quien propone l unción: cundo quien present l unción l deine en un intervlo determindo. Tendremos en cuent ls siguientes condiciones: - Ls unciones polinómics están deinids pr todo número rel. - Ls unciones rcionles, de l orm P( ) ( ) donde P() Q() son polinomios, están Q( ) deinids pr todo vlor de, menos quellos que hcen cero el denomindor (l división por cero no tiene sentido). Por tnto, los vlores que h que ecluir son ls soluciones de l ecución Q()=0. - L unción ríz cudrd, ( ) P( ), no tiene sentido cundo el rdicndo es negtivo. Por consiguiente hrá que ecluir todos los vlores de tles que P() < 0. Recorrido o imgen El recorrido o imgen de un unción es el conjunto de vlores que tom l vrile dependiente, es decir, l. Lo representremos por Im().

3 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. Puntos de corte Los puntos de corte de un unción con los ejes de coordends se clculn de l siguiente orm: Con el eje X: se hce =0 se despej l, pudiendo her cero, uno o vrios puntos de corte. Con el eje Y: l hcer =0 se otiene =c el punto es (0,c). Discontinuiddes L ide de unción continu es l de que puede ser representd con un solo trzo (pr diujrl no hce lt levntr el olígro del ppel). Un unción que no es continu present lgun discontinuidd. Tmién se puede decir de un unción que es continu en un trmo, unque teng discontinuiddes en otros lugres. Un unción es continu en un intervlo si sólo present discontinuiddes uer de él. Ls unciones dds por epresiones nlítics elementles son continus en todos los puntos en los que están deinids. H dierentes rzones por ls que un unción puede no ser continu: - Si l vrile independiente ps dndo sltos de cd vlor l siguiente, no es continu (pr diujrl h que levntr el olígro del ppel). En este cso, l vrile se llm discret. L gráic de l unción es un serie de puntos. - Otrs veces, unque l vrile independiente se continu, l unción present sltos ruscos. Esos sltos se llmn discontinuiddes l unción que los tiene se dice que es discontinu. (Pr diujrl h que levntr el olígro del ppel). Simetrís Un unción es simétric respecto del eje OY cundo (-) = (), pr todo de su dominio. En este cso decimos que es un unción pr. Un unción es simétric respecto del origen cundo (-) = -(), pr todo de su dominio. En este cso decimos que es un unción impr. L gráic de un unción impr no vrí si, con centro en el origen de coordends, l girmos 180º. Asíntots H unciones en ls que, unque solo conozcmos un trozo de ells, podemos predecir cómo se comportrán lejos del intervlo en que hn sido estudids, porque tienen rms con un tendenci mu clr. Ls síntots son rects hci ls cuáles tiende pegrse l gráic de l unción. Pueden ser verticles, horizontles olicus.

4 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 4 Un unción tiende hci un vlor constnte k cundo l umentr o disminuir los vlores de l vrile independiente, los correspondientes vlores de l vrile dependiente se vn proimndo l vlor constnte k. Este comportmiento se epres de ls siguientes orms: - Cundo tiende más ininito, =() tiende k: + () k - Cundo tiende menos ininito, =() tiende k: - () k Gráicmente, ms situciones se representn: L rect = k es un síntot horizontl. En l tendenci de un unción ms o menos ininito cundo tiende un vlor constnte pueden drse los siguientes csos: L rect = es un síntot verticl. Un unción tiende ms o menos ininito cundo tiende ms o menos ininito cundo l hcerse mu grnde, en vlor soluto, l vrile independiente, tmién se hce mu grnde, en vlor soluto, l vrile dependiente. Este comportmiento se epres gráic simólicmente de ls siguientes orms:

5 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 5 Crecimiento decrecimiento; máimos mínimos Un unción es creciente cundo el vlor de () ument l hcerlo. En cso contrrio es decreciente. El punto que mrc el pso del crecimiento l decrecimiento se llm máimo reltivo, mientrs que en un mínimo reltivo se d el pso de decrecimiento crecimiento. Si () es mor que culquier (), entonces el punto (,()) es el máimo soluto de. De mner nálog se deine el mínimo soluto. Periodicidd Un unción es periódic de periodo k cundo () = (+k). Esto signiic que l unción se repite en intervlos o ciclos consecutivos de longitud k. OPERACIONES CON FUNCIONES Sum rest de unciones: L sum de dos unciones g es un unción + g, cus imágenes se otienen sumndo ls imágenes de g. De orm nálog se restn ls unciones, oteniendo g. Multiplicción de unciones: L multiplicción de dos unciones g es un unción g, cus imágenes se otienen multiplicndo ls imágenes de g. División de unciones: L división de dos unciones g es un unción / g, cus imágenes se otienen dividiendo ls imágenes de g, siempre que l imgen de g se distint de cero. Composición de unciones: L unción compuest de ls unciones g es un unción, que representmos por g, cu imgen se otiene l plicr primero l unción luego l g. FUNCIÓN INVERSA L unción invers de es l unción que otenemos l intercmir los vlores de l vrile 1 independiente con los vlores de l vrile dependiente. L representmos por : Si ()=, entonces 1 ( ).

6 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 6 Como consecuenci de est deinición tenemos que: ) ( 1. Dd un unción, pr otener l epresión nlític de l unción invers seguimos los psos: ) En l epresión =() intercmimos l l. ) Despejmos l siempre que se posile. c) Escriimos l unción invers. Propieddes de l unción invers: - se cumple: ) ( ) ( ls gráics de 1, reerids l mismo sistem de coordends, son simétrics respecto de l isectriz del primer cudrnte. Ejemplo: Dd l unción ) (, determin su invers comprue ls propieddes que ms veriicn. Pr hllr l unción invers, despejmos e intercmimos ls vriles: 1 Ls propieddes: ) ( 1 ) ( 1 1 Y ls gráics de 1, como se ve en l igur, son simétrics respecto de l isectriz del primer cudrnte.

7 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 7 FUNCIÓN LINEAL: LA RECTA. Ls unciones polinómics de grdo cero o uno tienen por gráic un rect: = m + n. El coeiciente m, se llm pendiente. Al número n se le denomin ordend en el origen. L rect de ecución =m+n cort l eje Y en el punto (0,n). Ls rects de tipo = m se llmn de proporcionlidd direct. L pendiente (coeiciente de l ) es l vrición (umento o disminución) que eperiment l cundo l ument un unidd. Nos d l inclinción de l rect: - Si m > 0, l rect, l unción, es creciente. - Si m < 0, l rect, l unción, es decreciente. - Si m = 0, se trt de l unción constnte. El vlor de l vrile dependiente siempre es el mismo se cuál se el vlor de l vrile independiente. Su gráic es un líne rect prlel l eje de sciss, OX (rect horizontl, de pendiente nul). Si conocemos ls coordends de dos puntos de l rect, P P pendiente hcemos: m 1, donde , 1, es l vrición de l 1 es l vrición de l., pr hllr l Ejemplo: El lquiler de un coche cuest 6 de entrd más por cd hor. Un vez pgd l cntidd inicil (6 ), el coste ñdido es proporcionl l tiempo que tenemos el coche lquildo. L ecución de ést gráic es: =6+ L pendiente,, es lo que ument el coste ( ) cundo el tiempo ument un hor. L cntidd inicil (6 ) es el punto del eje Y del cul rrnc l unción. Función de proporcionlidd =m (unción linel): Ls unciones lineles o de proporcionlidd direct son unciones cu gráic es un líne rect que ps por el origen de coordends (0,0). ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA DE PUNTO-PENDIENTE Si de un rect se conoce un punto ( 0, 0 ) l pendiente, m, su ecución, llmd ecución en l orm punto-pendiente, es: m 0 0 Funciones relcionds con ls rects: Vlor soluto: si 0. si 0 Prte enter de : = ENT[]. Se deine como el mor número entero menor o igul que. Su representción gráic es l siguiente:

8 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 8 FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA: Ls unciones cu epresión es un polinomio de grdo, c unciones cudrátics. Ls gráics de ests unciones son práols con eje verticl. El vértice de un práol se clcul encontrndo su coordend medinte l epresión: v, su coordend sustituendo el vlor otenido en l ecución de l práol, es decir: V,, con 0, se llmn Eje de simetrí de l práol: es l rect de ecución:. Cumple que l gráic es simétric respecto dicho eje (que es un rect verticl, es decir, prlel l eje Y). Los puntos de corte de l práol con los ejes de coordends se clculn de l siguiente orm: - Con el eje X (eje de sciss): son ls ríces de l ecución: c 0. Se hce =0 se despej l, pudiendo her cero, uno o dos puntos de corte. - Con el eje Y: l hcer =0 se otiene =c el punto es (0,c). Pr clculr los puntos de corte con el eje X resolvemos l ecución c 0, que tendrá dos, un o ningun solución, dependiendo del vlor de discriminnte (rdicndo) 4c. Dos soluciones implic dos puntos de corte, un solución quiere decir que l práol es tngente l eje OX ningun solución implic que l práol no toc l eje: está enter por encim o por dejo del eje OX. Orientción de l práol: Si > 0, l práol present un mínimo en su vértice ls rms de l práol vn hci rri,, si < 0, l práol present un máimo en su vértice ls rms de l práol vn hci jo.

9 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 9 FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES O MAYOR QUE TRES. Un unción polinómic de tercer grdo, llmd tmién cúic, tiene por órmul: ( ) c d, con,, c, d reles 0. Ls gráics de ls unciones cúics son de uno de los cutro tipos siguientes: El dominio es l rect rel. L unción es continu en su dominio. Puntos de corte con los ejes: - L gráic puede cortr l eje de sciss en 1, o puntos (que son ls ríces de l ecución c d 0 ). - L gráic cort l eje de ordends en el punto (0,d).

10 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 10 Ejemplo: Diuj l gráic de ls siguientes unciones polinómics: ) ( ) El único punto de corte con los ejes es el (0,0). Semos que se trt de un unción impr (simétric respecto l origen de coordends) puesto que ()=-(-). Hcemos un tl de vlores: F() ) ( ) Fctorizndo el polinomio otenemos: ( 1)( 1), de donde result que () tiene tres puntos de corte con el eje OX. Dndo lgunos vlores otendremos l gráic: / -1/ () /8 /8 4 c) ( ) Descomponiendo en ctores con ud de Ruini otenemos:, con lo que se ( ) ( 1)( 1)( ) otienen cutro puntos de corte con el eje OX: (0,0), (1,0), (-1,0), (,0).

11 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 11 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: Ls unciones cu ecución es de l orm k se llmn unciones de proporcionlidd invers. Se representn medinte hipérols, cus síntots son los ejes coordendos. Su dominio de deinición es:, 0 0,. Su recorrido es: 0 0,,. Es creciente en todo su dominio si k < 0 decreciente si k > 0. No tiene etremos reltivos. Es discontinu en =0. No cort los ejes de coordends. Asíntots: - Horizontles: =0. - Verticles: =0. Es simétric respecto l origen de coordends. FUNCIONES RACIONALES Ls unciones cu ecución es de l orm P( ) ( ), con P Q polinomios, se llmn unciones Q( ) rcionles. Su dominio de deinición son todos los números reles ecepto los que nuln el denomindor. Es discontinu en los puntos que no pertenecen l dominio. Los puntos de corte con el eje X son los ceros de P() que pertenezcn l dominio. Asíntots: - Verticles: se encuentrn en los puntos que nuln el denomindor. - Horizontles: comprmos grdos: - si grdo[p()] > grdo[q()] no h síntot horizontl. - si grdo[p()] < grdo[q()] =0 es síntot horizontl. - si grdo[p()] = grdo[q()] =k es síntot horizontl, donde k, siendo los coeicientes de los términos de mor grdo de P() Q() respectivmente. - Olícus: precen cundo el grdo del numerdor es un unidd mor que el del denomindor. Ejemplos:

12 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 1 Ejemplos: ) El tiempo (t) que un corredor trd en recorrer 10 km es inversmente proporcionl su velocidd (v), es decir: 10 t v, cuál será su representción gráic? Solución: Si v = 14 km/hr, trdrí t = 10/14 = 0,714 hors = 4 min 50 seg. Si v = 7 km/hr, trdrí t = 10/7 = 1,48 hors = 1 hr 5 min 41 seg. ) Represent gráicmente l unción: 1 1 ( ) 1 ( 1)( 1). L unción no está deinid pr los vlores =1, =-1, que hcen cero el denomindor. Como pr =-1 el numerdor no se hce cero, se tiene un síntot verticl en =-1. Como en =1 tnto el numerdor como el denomindor se nuln, result que l unción present un slto en =1, pero no h síntot. L tl de vlores: () -1/ / 1/ 1/4 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS: Ls epresiones nlítics de ests unciones requieren de vris órmuls, cd un de ls cuáles rige el comportmiento de l unción en un determindo trmo. Por ejemplo: si si si si si si Su representción gráic es ácil si semos representr cd uno de sus trmos se prest tención su comportmiento en los puntos de emplme. Ejemplo: Un nco orece cuents corrientes con un,5 % de interés si el sldo es inerior 1500, 5 % de interés pr sldos entre , 7,5 % pr sldos superiores Represent gráicmente l unción que nos d el interés en unción del sldo. Pr deinir est unción hcen lt tres órmuls:

13 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 1,5 si ( ) si Pr completr l tl de vlores tendrás que 100 7,5 si dr vlores dentro de cd intervlo plicr l órmul decud en cd cso: X intervlo () 500 < , < > > 6000

14 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 14 TRASLACIONES DE GRÁFICAS DE FUNCIONES Trslciones verticles: Oservndo l imgen nos dmos cuent de: - L gráic de () + es un trslción de l gráic de (), tres uniddes hci rri. - L gráic de () - 4 es un trslción de l gráic de (), cutro uniddes hci jo. Ls gráics de ls unciones () + K se otienen l trsldr verticlmente l gráic de l unción = (), K uniddes hci rri si K es positivo, K uniddes hci jo, si K es negtivo. Trslciones horizontles: Oservndo l imgen nos dmos cuent de: - L gráic de (+1) es un trslción de l gráic de (), un unidd hci l izquierd. - L gráic de (-) es un trslción de l gráic de (), dos uniddes hci l derech. Ls gráics de ls unciones ( + K) se otienen l trsldr horizontlmente l gráic de l unción = (), K uniddes hci l izquierd si K es positivo, K uniddes hci l derech, si K es negtivo.

15 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 15 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL L epresión generl de l unción eponencil es: ( ), siendo > 0, 1. FUNCIONES EXPONENCIALES CON BASE MAYOR QUE 1 PROPIEDADES ( ), 1 FORMA DE LA GRÁFICA FUNCIONES EXPONENCIALES CON BASE MENOR QUE 1 ( ), 1 DOMINIO Dom = R Dom = R RECORRIDO Im = R Im = R CORTES CON (0,1) (0,1) LOS EJES MONOTONÍA Estrictmente creciente en todo su dominio. Estrictmente decreciente en todo su dominio. ACOTACIÓN Acotd ineriormente por 0. Acotd ineriormente por 0. ASÍNTOTAS Asíntot horizontl: = 0. Asíntot horizontl: = 0. CONTINUIDAD Continu en todo R. Continu en todo R. Ejemplo: L división de cteris se reliz por división de l célul mdre en dos céluls hijs. Esto ocurre con l cteri Slmonell tphimurium, cusnte de intoicciones limentris, que necesit un hor, proimdmente, pr dividirse en dos. L tl nos muestr el número de cteris que vn preciendo con el pso del tiempo, en hors: Tiempo (hors) Número de cteris L epresión mtemátic que se just l tl l gráic de est unción es: ( ) Ejemplo: El elemento químico denomindo rdio tiene un periodo de semidesintegrción de, proimdmente, 1600 ños. Esto quiere decir que cd 1600 ños l cntidd rdictiv de rdio se reduce l mitd. Por tnto, si prtimos de 1 gr de rdio, l co de 1600 ños o un periodo de semidesintegrción hrá 1/ gr de rdio, l co de dos periodos (00 ños) hrá 1/4 sí sucesivmente. Hce 1600 ños (menos un periodo de semidesintegrción) hí dos grmos de rdio, hce dos periodos hí 4 grmos, etc. L siguiente tl nos d el número de períodos de semidesintegrción en unción de l cntidd de rdio:

16 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 16 Tiempo (períodos de semidesintegrción) Cntidd (grmos) / 1/4 L epresión mtemátic que se just l tl l gráic de est unción es: Crecimiento de un polción. 1 ( ) L le de crecimiento de un determind polción estlece que el número de persons que viven en l mism, en unción del tiempo en ños, viene dd por l siguiente epresión: polción inicil en el tiempo t=0 k es l ts de crecimiento. kt ( t) e, donde es l Ejemplo: Si en el ño 1990 hí 4000 hitntes en un polción se estim que éste número ument rzón de un 8 % nul, qué polción se prevé pr el ño 005 si se mntiene el crecimiento en estos términos? Solución: Polción inicil de 1990: = 4000 hitntes Ts de crecimiento: k = 8 % = 0,08 Tiempo: t = = 15 ños 0,08 15 Polción previst pr el 005: (15) 4000 e 7968 hitntes. Ejemplo: Un ol de nieve pes inicilmente 00 g. Rued por un montñ nevd incrementndo su peso en un 40 % cd 100 m. A) Cuánto pesrá l ol después de descender 400 m? Y si h descendido 1 km? B) Encuentr l unción que permite epresr el peso de l ol de nieve en unción de l distnci recorrid por l mism. C) Si en un momento determindo l ol pes,811 kg, cuántos metros h descendido hst ese momento? Solución: A) A los 100 m del inicio del recorrido l ol pes: ,4g ,48g A los 00 m l ol pes: 001,4 001,4 001,4 1 0,4 001,4 g A los 400 m l ol pes: A los 400 m l ol pes: B) P 001,4 / ,4 001, ,64g log 79,7 log1,4 /100 /100 C) ,4 4 79,7 log1,4 log 79,7 100m

17 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 17 Interés compuesto e interés compuesto continuo. Supongmos que el interés que produce un determindo cpitl se v cumulndo l cpitl inicil pr generr nuevos intereses. En ests condiciones: si se invierte un cpitl inicil, C, un interés nul, r (en tnto por 1), ondo en n periodos nules durnte t ños, entonces, el cpitl cumuldo su vencimiento, A, viene ddo por l órmul: A C 1 Ejemplo: Se depositn 1000 en un cuent ncri un interés nul del 5 %, cumuldos trimestrlmente durnte un ño. Qué cpitl tendremos l inlizr el plzo? Solución: Cpitl inicil: C = 1000 Ts de interés nul: r = 0,05 (tnto por uno). Periodos de interés por ño: n = 4. Durción de l inversión: t = 1 ño. 0,05 4 Cpitl cumuldo: A , Si los intereses se cumulsen dirimente, entonces n = 65 el cpitl cumuldo serí 1051,7. Mientrs que si los intereses se cumulsen semestrlmente, entonces n = el cpitl cumuldo l inlizr el ño serí 1050,6. Cundo n crece indeinidmente (n ), es decir, los intereses se cumuln en cd instnte los periodos se hcen cd vez más pequeños, entonces n/r se hce cd vez más pequeño cpitl cumuldo se hll medinte l epresión: rt A C e r n nt r 0 n Ejemplo: Se depositn 1000 en un cuent ncri un interés compuesto continuo nul del 5 %. Cuál será el cpitl cumuldo después de un ño? el rt 0,05 1 Solución: A C e 1000 e 1051, 7 Ejemplo: L inlción es l pérdid del vlor dquisitivo del dinero, es decir, si un olígro que costó el ño psdo 1 euro, este ño cuest 1,1 euros, l inlción h sido del 10 % nul. Si l inlción se mntiene constnte en un 10 % nul, l epresión de l unción que d el coste de este olígro l co de ños es: 11, 1 A) Diuj l gráic que muestr el coste del olígro en el psdo en el uturo. B) Cuánto costrá este olígro dentro de 15 ños? Y hce 5 ños? C) Cuántos ños deen psr pr que el olígro vlg euros? Solución: B) 15 1,1 15 4,177 ; 5 1,1 5 0,61 log C) 1,1 7,ños log1,1

18 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 18 LOGARITMOS El logritmo de un número rel positivo en se es el eponente l que h que elevr l se pr otener : log signiic que, siendo > 0, 1. Los logritmos en se 10 se llmn logritmos decimles se indicn omitiendo l se, sí: log N. El logritmo neperino es el logritmo en se e (e=,71 ) se escrie Ln. Ejemplo: Hll los logritmos siguientes: log log log 5 1/ 5 En qué se el logritmo de 100 es? log Propieddes de los logritmos: I. log M N log M log N n III. M M M II. log log M log N N log M n log log M log log IV.

19 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 19 LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Se llm unción logrítmic l que tiene por ecución log, siendo > 0, 0. FUNCIONES LOGARÍTMICAS CON BASE MAYOR QUE 1 PROPIEDADES ( ) log ; 1 FORMA DE LA GRÁFICA FUNCIONES LOGARÍTMICAS CON BASE COMPRENDIDA ENTRE 0 Y 1 ( ) log ;0 1 DOMINIO Dom = R Dom = RECORRIDO Im = R Im = R CORTES CON (1,0) (1,0) LOS EJES MONOTONÍA Estrictmente creciente en todo su dominio. R Estrictmente decreciente en todo su dominio. ACOTACIÓN No cotd. No cotd. ASÍNTOTAS Asíntot verticl: = 0. Asíntot verticl: = 0. CONTINUIDAD Continu en R. Continu en Ejemplo: L división de cteris se reliz por división de l célul mdre en dos céluls hijs. Esto ocurre con l cteri Slmonell tphimurium, cusnte de intoicciones limentris, que necesit un hor, proimdmente, pr dividirse en dos. Vmos estudir hor el tiempo trnscurrido en unción del número de cteris. L tl nos muestr ls hors que psn en unción del número de cteris que tenemos: R. Número de cteris Tiempo (hors) Tenemos:. L epresión mtemátic que se just l tl l gráic de est unción es: log Ejemplo: El rdio tiene un periodo de semidesintegrción de, proimdmente, 1600 ños. Un ísico de un prestigioso lortorio depositó en un urn 1 gr de rdio con el in de que sirvier de reloj pr l posteridd. L siguiente tl nos d el número de períodos de semidesintegrción en unción de l cntidd de rdio:

20 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 0 Cntidd de rdio (gr) Tiempo (período de semidesintegrción) / 1 1/4 Tenemos: 1. L epresión mtemátic que se just l tl l gráic de est unción es: log 1/ log son simétrics respecto l rect =, isectriz del primer tercer cudrnte. Ls gráics de l unción eponencil logrítmic con l mism se, es decir, Ls unciones con est interesnte propiedd gráic recien el nomre de unciones inverss. Pr vlores mu grndes de, tnto preci que super en mucho log como - crecimiento eponencil, o mu rápido. - crecimiento logrítmico o lento, tenudo. Lo compromos: log son números mu grndes, pero ácilmente se, por eso hlmos de dos tipos de crecimiento: log ; log 10 log, log50 1, ; log 50 5, 649 log log100 1, ; log 100 6, 649 log Ejemplo: Un empresrio increment el precio de sus productos en un 5 % nul. Actulmente, uno de sus productos vle 18. Encuentr l unción que d el precio del producto en unción de los ños trnscurridos. A prtir de ést, contest ls siguientes cuestiones: A) Cuánto costrá el producto dentro de 4 ños? B) Cuánto cost hce 4 ños? C) Cuántos ños deen psr pr que el precio ctul del producto se duplique?

21 el log de mte de id CSI: FUNCIONES ELEMENTALES pág. 1 Solución: 5 P , P 4 181,05 4 1,879 A) B) P 4 181, ,81 log C) ,05 1,05 log1,05 log,5ños log1,05 Ejemplo: En un lortorio de idioms se h otenido eperimentlmente que l curv de prendizje correspondiente ls rutins de memorizr escriir plrs de jponés viene dd por l epresión: ( ) 00 1 e 0,1, donde es el número de clses reciids, rzón de un hor diri, e el número de plrs memorizds escrits cd clse, por término medio. Responde: A) Qué número de plrs se memorizn escrien después de 5 dís de entrenmiento? B) Y después de 10 dís? Y de 15 dís? C) Diuj l gráic de l unción. D) Se podrán memorizr 50 plrs? Solución: A) (5)=78 plrs. B) (10)=16 plrs; (15)=155 plrs. D) En l gráic se oserv que los vlores nunc superrán ls 00 plrs memorizds escrits.