Actividades y ejercicios 1º Bachillerato Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I.

Transcripción

1 Actividdes ejercicios º Bchillerto Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. ÍNDICE:. Números reles. Potencis ríces. Notción científic. Álgebr 9. Funciones 7. Límites continuidd 7. Derivds. Estdístic 9 7. Probbilidd 0 8. Distribuciones binomil norml 8 Totl: Autores: Mre verde de Mtemátics Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF de los utores

2 CAPÍTULO : NÚMEROS REALES. ACTIVIDADES PROPUESTAS. NÚMEROS REALES. Mentlmente decide cuáles de ls siguientes frcciones tienen un epresión deciml ect cuáles l tienen periódic: /9 b 7/ c 9/0 d / e /8 f /. Hll l epresión deciml de ls frcciones del ejercicio nterior comprueb si tu deducción er correct.. Clcul l epresión deciml de ls frcciones siguientes: / b / c /9 d / e /00 /. Escribe en form de frcción ls siguientes epresiones decimles ects redúcels, después comprueb con l clculdor si está bien: 8 ; b ; c 0 7. Escribe en form de frcción ls siguientes epresiones decimles periódics, redúcels comprueb que está bien: 9.. b 9 0. c d 7... Puedes demostrr que es igul? Clcul cuánto vle 999? Aud: Escríbelos en form de frcción simplific. 7. Demuestr que 7 es irrcionl. 8. Cuánts cifrs puede tener como máimo el periodo de? 7 9. Cuántos decimles tiene 7?, te treves dr un rzón? 0. Hz l división :7 después hz :7, es csulidd?. Ahor divide 999 entre 7 después :7, es csulidd?. Escribe números reles que estén entre.. Escribe números rcionles que estén entre.. Escribe números irrcionles que estén entre π.. Represent en l rect numéric los siguientes números: 9, b, c, d.. Represent en l rect numéric: 0, b, c 7, d 7. Hll el vlor bsoluto de los siguientes números: b c π 8. Represent ls siguientes funciones: f = ² b f = ² c f = 9. Represent en l rect rel clcul l distnci entre los números reles siguientes: Dist, 9 b Dist, c Dist/, 9/ d Dist 777., Escribe los siguientes intervlos medinte conjuntos represéntlos en l rect rel: [, 7 b, c, 8] d,. Represent en l rect rel escribe en form de intervlo: < < b < c < d 7. Epres como intervlo o semirrect, en form de conjunto usndo desigulddes represent gráficmente: Un porcentje superior l %. b Edd inferior o igul 8 ños. c Números cuo cubo se superior 8. d Números positivos cu prte enter tiene cifrs. e Tempertur inferior ºC. f Números pr los que eiste su ríz cudrd es un número rel. g Números que estén de un distnci inferior.

3 . Epres en form de intervlo los siguientes entornos: E, b E, 8/ c E0, Epres en form de entorno los siguientes intervlos:, 7 b 7, c,. Los sueldos superiores 00 pero inferiores 000 se pueden poner como intervlo de números reles? *Pist: 00 puede ser un sueldo?. Copi est tbl en tu cuderno redonde con el número de cifrs indicdo Cifrs significtivs Número 0 / Redonde hst ls décims hll los errores bsoluto reltivo cometidos. 8. Hll un cot del error bsoluto en ls siguientes proimciones: b c Un blnz tiene un error inferior o igul 0 g en sus medids. Usmos es blnz pr elborr pquetes de cfé de medio kilogrmo cd uno que son un lote. Determin el peso mínimo máimo del lote. Cuál es l cot del error bsoluto pr el lote?. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. PROPIEDADES 0. Clcul ls siguientes potencis: b + c. Efectú ls siguientes operciones con potencis: + + b + : + c { } d + +. Clcul ls siguientes operciones con potencis: b c 7 / 7 0 d / e f 7 g / 7 0 h 7 /7. Simplific: 8 7 b z b c d b z. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL. RADICALES. Clcul: 9. b b.. Hll: : b :. Reliz ls siguientes operciones con rdicles: : b. OPERACIONES CON RADICALES: RACIONALIZACION c 7. Escribe bjo un solo rdicl simplific:.... 8

4 8. Clcul simplific: Reliz l siguiente operción: 0. Clcul simplific: 9 8. Rcionliz l epresión:. Rcionliz:. Rcionliz:. NOTACION CIENTÍFICA. Clcul: b 0 - : 0 -. Efectú epres el resultdo en notción científic: b 7 7' 0 7 ' 0 0. Reliz ls siguientes operciones efectú el resultdo en notción científic: b LOGARITMOS 7. Copi l tbl djunt en tu cuderno emprej cd logritmo con su potenci: = log = 0 0 = = = log = 0 = log = = log = 0 log = log = = log 8 = log = = 8 8. Clcul utilizndo l definición de logritmo: log b log c log d log 0 9. Clcul utilizndo l definición de logritmo: log 7 b log 0 00 c log / / d log Clcul utilizndo l definición de logritmo: log = b log / = c log =. Clcul, utilizndo l definición de logritmo: log + log / log 9 log b log / + log /7 log. Desrroll ls epresiones que se indicn: ln b b log e c. d. Epres los logritmos de los números siguientes en función de log = b 7 c 909. Simplific l siguiente epresión: logm logt log p logh

5 EJERCICIOS Y PROBLEMAS: Números reles. Clsific los siguientes números en rcionles e irrcionles ps frcción los rcionles: 0; 0 ; ; '7; ; '...; 9'9; 9 ; ; '; ' Represent, proimdmente, en l rect rel los números: 0 ; 8; ; ; ; 7 ; ; ' Escribe dos números en ls condiciones siguientes: Mores que 0 menores que 0 b Comprendidos entre.comprueb que l diferenci entre estos números es menor que un centésim. Ddos los intervlos: A = {; 0 < }; B = {; / < } ; C =, Represéntlos en l rect rel b Clcul sus longitudes c Clcul: AB, AB, AC, ACB, ABC, ABC. Clcul en ls siguientes ecuciones: Pist: puede tener dos vlores = b = 0 c + 9 =. Represent en l rect rel los números que verificn ls siguientes relciones: < b c > d 7. Hll dos números que disten uniddes de, otros dos que disten uniddes de, clcul después l diferenci entre el mor el menor de todos estos números. 8. Escribe el intervlo [, ], Escribe el intervlo formdo por los números reles que cumplen Cuál es el error bsoluto el error reltivo cometidos l hcer ls siguientes proimciones: por 7 b + por c Redondeo cutro cifrs del número Potencis. Epres en form de potenci: t 7 b c 7. d e t z Clcul: b c d e 8. Clcul: 7 0 b c d 8 Rdicles. Epres en form de rdicl: 7 9 b m n c [ ] d b. Epres en form de rdicl: b. Epres como potenci únic: 8 7. Simplific: b 9 b c. c c b c. b. c n m k d d d 7 e. e f e f 8 f. g g 0.

6 8. Etre fctores del rdicl: b 8 b c c 0 d b c 9. Introduce fctores en el rdicl:. 0. Clcul b. c.. b b b 0b 8 b. Efectú: e 8 b d. e 0 c 0 f 0 d : f b 0 8 c d e 9 f 8 8 g 0. Rcionliz los denomindores: b c d e f. Rcionliz simplific: b c d e f ` 7. Efectú simplific: + b c - : Logritmos. Desrroll los siguientes logritmos: ln z b log / z e 7. Simplific l siguiente epresión: log log log 9 Notción científic: 7. L ms del Sol es 0000 veces l de l Tierr, proimdmente, est es 98 0 t. Epres en notción científic l ms del Sol, en kilogrmos. 8. El ser vivo más pequeño es un virus que pes del orden de 0-8 g el más grnde es l bllen zul, que pes, proimdmente, 8 t. Cuántos virus serín necesrios pr conseguir el peso de l bllen?. 9. Los cinco píses más contminntes del mundo Estdos Unidos, Chin, Rusi, Jpón Alemni emitieron billones de tonelds de CO en el ño 99, cntidd que represent el % de ls emisiones de todo el mundo. Qué cntidd de CO se emitió en el ño 99 en todo el mundo? 0. Epres en notción científic: Recudción de ls quiniels en un jornd de l lig de fútbol: 8000 b Tonelds de CO que se emitieron l tmósfer en 99 en Estdos Unidos 8 miles de millones. c Rdio del átomo de oigeno: m. Efectú epres el resultdo en notción científic: b c 0 : 0 - d e 0 -. Epres en notción científic clcul: 7800 : 000 b 0 ' c d '000. Efectú epres el resultdo en notción científic: e : g ,0000 0,000 7' 0 7 b ' 0 c Que resultdo es correcto de l siguiente operción epresd en notción científic: : 98 0 b 98 0 c 98 0 d 98 0 b 7 f 7

7 7 AUTOEVALUACION. El número 8 / vle: un dieciseisvo b Dos c Un curto d Un medio.. Epres como potenci de bse cd uno de los números que vn entre préntesis efectú después l operción: /. El resultdo es: 8 -/ b -/ c -/ d -. El número: 8 es igul : / b / c / /9 d 8. Cuál es el resultdo de l siguiente epresión si l epresmos como potenci únic?: b c. d. Simplificndo etrendo fctores l siguiente epresión tiene un vlor:. b 7 c.. b. c b. c b. b. c. b. c c.. b. c. b. c d.. b. c. b. c. Cuál de los siguientes vlores es igul /? / b /. - c d Cuál es el resultdo de est operción con rdicles?: 8 7 b 7 c. 7 d Un epresión con un único rdicl de: está dd por:. b 8.. c d.. 9. Pr rcionlizr l epresión: h que multiplicr numerdor denomindor por: b c + d 0. Cuál es el resultdo en notción científic de l siguiente operción?: b 88 0 c 8 0 d Cuál es el resultdo de l siguiente operción epresdo en notción científic?: 0 ' 0 7 ' b c d 8 7.0

8 8 Números reles Vlor bsoluto RESUMEN: Está formdo por l unión de los números rcionles Q los números irrcionles si 0 si 0 Intervlos Abierto :, b = { < < b} Cerrdo: [, b] = { b} Semibierto izq:, b] = { < b} Semibierto der: [, b = { < b},, /, 7, π, e, = = +, [, ], 8] [, 7 Potencis de eponente nturl entero Propieddes de ls potencis =. = 9 -n = / n n. m = m+n n : m = n-m n m = n.m n.b n =.b n n /b n =/b n = + = : = = =. = 0 = / = / Potencis de eponente rcionl Propieddes de los rdicles Rcionlizción de rdicles n n n n r/s = s r n. p. b. b n p n m n m n n b b m n m. n Se suprimen ls ríces del denomindor. Se multiplic numerdor denomindor por l epresión decud conjugdo del denomindor, rdicl del numerdor, etc. / Notción científic Logritmos Se suprimen ls ríces del denomindor. Se multiplic numerdor denomindor por l epresión decud conjugdo del denomindor, rdicl del numerdor, etc. Si > 0, log m = z m = z log = log + log ; log / = log log log =.log = = = = 0 0 = 0 0 log 7/ = log 7 log log = log log 7 log 7

9 9. POLINOMIOS.. Reliz l sum rest de los siguientes polinomios: b + CAPÍTULO : ÁLGEBRA ACTIVIDADES PROPUESTAS. Reliz ls siguientes sums de polinomios: b. Escribe el polinomio opuesto de cd uno de los siguientes polinomios: b 7 c 8 7. Consider los polinomios p, q, sí como el polinomio sum s pq. Hll los vlores que dopt cd uno de ellos pr, es decir, clcul p, q s. Estudi si eiste lgun relción entre esos tres vlores.. Obtén el vlor del polinomio p en. Qué vlor tom el polinomio opuesto de p en?. Reliz ls siguientes diferencis de polinomios: b c 7. Efectú los siguientes productos de polinomios: b c d 7 8. Multiplic cd uno de los siguientes polinomios por un número de tl form que surjn polinomios mónicos: b c 7 9. Clcul simplific los siguientes productos: b c b b d Reliz los siguientes productos de polinomios: b. De cd uno de los siguientes polinomios etre lgún fctor que se común sus monomios: 0 0 b 0. Reliz los cálculos: b c d e. Obtén ls fórmuls de los cudrdos de los siguientes trinomios: b c b bc. Desrroll ls siguientes potencis: - b + / c / d b e + b f / /. Epres como cudrdo de un sum o de un diferenci ls siguientes epresiones lgebrics: b 9 + c b 0b + d e + f Efectú estos productos: b 8 8 c 7. Divide los siguientes polinomios: 7. b 0 c 7 d 8 0 e

10 0 8. Encuentr dos polinomios tles que l dividirlos prezc q como polinomio cociente r como resto. 9. Us l regl de Ruffini pr relizr ls siguientes divisiones de polinomios: entre b entre c entre d 9 entre 0. Estudi si es posible usr l regl de Ruffini, de lgun form, pr dividir 7 entre.. Utiliz l regl de Ruffini pr conocer el vlor del polinomio 7 en.. Emple l regl de Ruffini pr dictminr si los siguientes números son o no ríces de los polinomios citdos: de b de c de d de. Pr cd uno de los siguientes polinomios señl, en primer lugr, qué números enteros son cndidtos ser ríces sus, después, determin cuáles lo son: b c 8 9 d. Comprueb que es ríz del polinomio.. Pr cd uno de los siguientes polinomios indic qué números rcionles son cndidtos ser ríces sus, después, determin cuáles lo son: b 9. Supongmos que tenemos dos polinomios, p p, un número rel. Si es un ríz de p, tmbién es ríz del polinomio sum p p? b Si es un ríz de p, tmbién es ríz del polinomio producto p p? c H lgun relción entre ls ríces del polinomio p ls del polinomio p? 7. Construe un polinomio de grdo tl que pose tres ríces distints. 8. Determin un polinomio de grdo tl que teng, l menos, un ríz repetid. 9. Construe un polinomio de grdo de form que teng un únic ríz. 0. Conjetur, luego demuestr, un le que nos permit sber cuándo un polinomio culquier n n n n... 0 dmite l número 0 como ríz. n n. Demuestr un norm que señle cuándo un polinomio culquier n n... 0 dmite l número como ríz.. Determin ls ríces de cd uno de los siguientes polinomios: b c 7 d e 7 f 8 g h i. Simplific, si es posible, ls siguientes epresiones: b c 8 8. Simplific ls siguientes frcciones lgebrics: b b b c d 9 7 b b. Reliz ls siguientes operciones teniendo en cuent ls fctorizciones de los denomindores: b. Efectú los siguientes cálculos: b c d :

11 7. Reliz ls siguientes operciones lterndo, en cd prtdo, únicmente uno de los denomindores, su respectivo numerdor: 8 b 8. Comprueb ls siguientes identiddes simplificndo l epresión del ldo izquierdo de cd iguldd: 8 b b b b 9 b 8 b 0b b c d b b b 8. ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO: 9. Resolver ls siguientes ecuciones: 8 b 7 c 0. Resolver: 9 / 9 c + 8 = 0 d Sumndo siete uniddes l doble de un número más los / del mismo obtenemos como resultdo el sétuplo de dicho número menos. De que número se trt?. Ls dimensiones de un rectángulo son metro. Trzr un prlel l ldo que mide m de modo que se forme un rectángulo semejnte l primero. Cuáles son ls longitudes de los segmentos en que dich prlel divide l ldo de m?. Desemos vender un coche, un piso un finc por un totl de Si l finc vle veces más que el coche el piso cinco veces más que l finc. Cuánto vle cd cos?. Resuelve ls siguientes inecuciones represent l solución en l rect rel: + < + b c + > + d Resuelve ls siguientes inecuciones represent l solución en l rect rel: + < + 8 b c > +. Resuelve ls siguientes inecuciones represent l solución en l rect rel: + < / + b + / 9/ + c + / > + d + / + + / 7. Escribe un inecución cu solución se el siguiente intervlo: [, b, c, ] d, 8. Clcul los vlores de pr que se posible clculr ls siguientes ríces: b 9 c 7 d 7 9. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: 0 b 0 c 9 >0 d + 0 e 0 < 0 f + 0 g > 0 h Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: + 0 b > 0 c 8 d e > 0 f 0 < 0. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: 0 b c > 0 d e < 0 f > 0 g h 0. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: + > 0 b 0 c 0 < 0 d + 0 e + + > 0 f + 0 g 7 0 h + < 0. Clcul los vlores de pr que se posible obtener ls siguientes ríces: b c d. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: + b 0 0 c

12 . SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES :. Resolver por el método de Guss los sistems: z z z b z z z. Resuelve discute si es posible el siguiente sistem: z z z 7. Discutir resolver cundo se posible, los siguientes sistems lineles de ecuciones. 8 7 z z b t z t z t z t z 8. Comprmos 8 kg de cfé nturl kg de cfé torrefcto, pgndo. Clcul el precio del kilo de cd tipo de cfé, sbiendo que si mezclmos mitd mitd result el kilo. 9. Un mdre tiene el doble de l sum de ls eddes de sus hijos. L edd del hijo menor es l mitd de l de su hermno.l sum de ls eddes de los niños l de l mdre es ños. Qué eddes tienen? 0. Desemos vender un coche, un piso un finc por un totl de Si l finc vle cutro veces más que el coche el piso cinco veces más que l finc, cuánto vle cd cos?. Ls tres cifrs de un número sumn 8.Si ese número se le rest el que result de invertir el orden de sus cifrs, se obtiene 9; l cifr de ls decens es medi ritmétic entre ls otrs dos. Hll dicho número.. Encuentr l región fctible del sistem: Resuelve los siguientes sistems de inecuciones: 0 b c 0 0 d 0 0. PROBLEMAS DE MATEMÁTICA FINANCIERA.. Un empresrio increment el precio de sus productos en un % nul. Actulmente, uno de sus productos vle 8. Responde ls siguientes cuestiones:. Cuánto costrá el producto dentro de ños? b. Cuánto costb hce ños? c. Cuántos ños hn de psr pr que el precio ctul del producto se duplique?. Clcul el tiempo que debe de estr colocdo un cpitl de 00 en un cuent corriente l % de interés compuesto nul pr que el cpitl se duplique. Clcul el tiempo necesrio pr que un cpitl impuesto interés compuesto l % nul se duplique. Y pr que se triplique? 7. Durnte cuánto tiempo hemos de bonr mensuliddes de 0 l % nul pr conseguir cpitlizr 00? 8. El buelo de Luis, l ncer éste, decidió ingresr en un bnco un cpitl de 00 interés compuesto nul del %. Cuánto dinero recibirá l cumplir ños? Si l cpitlizción se hubier hecho semestrl, cuánto dinero hubier recibido? 9. Un person entreg l principio de cd mes durnte ños un cntidd fij de 0.L cpitlizción es mensul l % nul. Qué cpitl tendrá l finl de los ños? 70. Un person compr un piso en A l firm del contrto entreg 8000 el resto lo pg un entidd finncier que le h concedido el préstmo correspondiente. Est entidd le cobr el % nul ls cuots de mortizción mensules. A cuánto sciende cd un de ests cuots si h de sldr l deud en 0 ños? 7. Un empres mderer compr un cmión, el cul se compromete pgr en nuliddes l %.cd nulidd de mortizción sciende 00. Cuánto costó el cmión?

13 EJERCICIOS Y PROBLEMAS Polinomios:. Estudi si h números reles en los que ls siguientes epresiones no pueden ser evluds: 9 7 b 7 c 9 d. Clculr cuánto debe vler l letr m pr que el vlor numérico de l epresión lgebric siguiente se pr = 0. m m. Consideremos los polinomios p, q 7 r. Reliz ls siguientes operciones: r q p b q p c r p d q r p. Efectú ls divisiones de polinomios: 9 7 entre b entre. Señl sin efectur l división, si ls siguientes divisiones son ects o no: 7 7 b c Construe un polinomio de grdo tl que el número se ríz su. 7. Escribe dos polinomios de grdos diferentes que tengn en común ls ríces. 8. Construe un polinomio de grdo tl que teng únicmente dos ríces reles. 9. Encuentr un polinomio q tl que l dividir p entre q se obteng como polinomio resto r. 0. Hll ls ríces enters o rcionles de los siguientes polinomios: b c d. Descompón los siguientes polinomios como producto de polinomios irreducibles: b c d. Reliz ls operciones entre frcciones lgebrics: 9 b 9 c 9 d 9 :. Anliz si los siguientes polinomios hn surgido del desrrollo de potencis de binomios, o trinomios, o de un producto sum por diferenci. En cso firmtivo epres su procedenci. 9 b 8 c 0 d e f g h i. Efectú ls siguientes operciones simplific todo lo posible: b c. Efectú ls siguientes operciones simplific todo lo posible: : b : c b b b b b b :. Efectú ls siguientes operciones simplific todo lo posible: : b : c

14 Ecuciones, inecuciones sistems: 7. Resolver ls ecuciones siguientes: b Resolver ls siguientes ecuciones indicndo cunts soluciones tienen cules son: c 7 8 b 8 0 c d 9. El cteto mor de un triángulo rectángulo es un unidd mor que el cteto menor. L hipotenus es tres uniddes mor que el cteto menor. Se pide: Escribir l epresión lgebric que result de plicr el Teorem de Pitágors. b Clcul l hipotenus los ctetos. 0. En un competición de bloncesto doble vuelt prticipn doce equipos. Cd prtido gndo vle puntos los prtidos perdidos, punto no puede hber emptes. Al finl de l competición, un equipo tiene puntos. Cuántos prtidos h gndo?. Un cj de form cúbic se llen con cierto número de cubitos de un centímetro cúbico sobrn 7 cubitos; pero si todos los cubitos que h se ponen en otr cj que tiene un centímetro más por cd rist, fltn 00 pr llenrl. Clcul ls longitudes de ls rists de ls dos cjs el número de cubitos que h.. Ls tres cifrs de un número sumn 8. Si ese número se le rest el que result de invertir el orden de sus cifrs, se obtienen 9; l cifr de ls decens es l medi ritmétic entre ls otrs dos. Hll el número.. Queremos verigur ls eddes de un fmili formd por los pdres los dos hijos. Si summos sus eddes de tres en tres, obtenemos 00, 7, 7 98 ños, respectivmente. Cuál es l edd de cd uno de ellos?. Resuelve: 9 b 7 c d e f 7. Clcul los vlores de pr que se posible clculr ls siguientes ríces: b c d. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: 8 < 0 b + 0 c d 0 e 9 > 0 f 9 < 0 g 9 < 0 h Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: b c < 8 d 0 e 7 + < 0 f Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: 0 b 7 > 0 c < 0 d 0 9. Clcul los vlores de pr que se posible obtener ls siguientes ríces: + b + c d + e f + 7 g 0. Resuelve los siguientes sistems por el método de Guss discute el resultdo: t z z z t b c z z z t z z z t z 8z 8 z t d z e 8 z f 8 z z t z t Problems de Mtemátics Finnciers. Un person entreg l principio de cd mes durnte ños un cntidd fij de 00.L cpitlizción es mensul l % nul. Qué cpitl tendrá l finl de los ños?. L buel de Mrí, l ncer éste, decidió ingresr en un bnco un cpitl de 000 interés compuesto nul del 7 %. Cuánto dinero recibirá l cumplir ños? Si l cpitlizción se hubier hecho semestrl, cuánto dinero hubier recibido?

15 . Ts Anul Equivlente T.A.E.. Si colocmos 00 l 8 % nul con cpitlizción trimestrl, en un ño, qué montnte gener? A que tnto por ciento debemos colocr el mismo cpitl pr generr el mismo montnte si l cpitlizción es nul.. Clcul el T.A.E. en los siguientes csos: c Prtiendo del montnte que se gener en el problem nterior, cundo los intereses se devengn mensulmente l % nul. d Los intereses se devengn trimestrlmente l % nul. e Los intereses se devengn dirimente l % nul. f Encuentr l fórmul generl pr clculr el T.A.E.. Un person compr un piso por A l firm del contrto entreg 0000 el resto lo pg un entidd finncier que le h concedido el préstmo correspondiente. Est entidd le cobr un 9 % nul ls cuots de mortizción mensules. A cuánto sciende cd un de ests cuots si h de sldr l deud en 0 ños?. Tu hermn se h comprdo un moto cuo vlor es de L v pgr medinte cuots trimestrles de 7 l % nul. Cuántos ños trdrá en pgr l moto? 7. Al comienzo de cd uno de ños consecutivos depositmos en un libret de horro 000. Al comenzr el quinto ño, scmos 000 de l libret. Qué cntidd de dinero qued en l libret si sbemos que los intereses son compuestos l % nul? 8. A qué tnto por ciento nul debe prestrse un cpitl puesto interés compuesto pr que en 0 ños se duplique? Y pr que se duplique en 0 ños? 9. Cuál es l cuot mensul de mortizción de un préstmo hipotecrio de 000 ños l % nul? Qué cntidd de dinero pgmos durnte los ños? AUTOEVALUACIÓN. Complet decudmente ls siguientes frses: L sum de dos polinomios de grdo dos es siempre otro polinomio de grdo. b L sum de tres polinomios de grdo dos es siempre otro polinomio de grdo. c El producto de dos polinomios de grdo dos es siempre otro polinomio de grdo. d L diferenci de dos polinomios de grdo dos es siempre otro polinomio de grdo.. Consider el polinomio 7 7. Cuál de los siguientes números enteros es un cndidto rzonble pr ser un ríz su? b c d 7. L desiguldd < < 7 se verific pr los vlores:, b, 7 c, 7 d, 8. L solución de l inecución + 8 < es: < 0/7 b > +/0 c > 0/ 7 d < +/0. L sum de ls eddes de dos persons es mor de 0 ños su diferenci menor o igul que 8 ños. Cuál de los siguientes sistems de inecuciones nos permite clculr sus eddes? b c d El perímetro de un rectángulo es menor que cm. Si l bse es mor que el doble de l ltur menos cm, lgún vlor que verific es sistem es: bse = cm, ltur = cm b bse = cm, ltur = cm c bse =, ltur = cm d bse = 9 cm, ltur = cm 7. Un inecución cu solución se el intervlo, es: + < 9 + b < 9 + c + < d + > L solución de l inecución es:, b, c < > d, z 9. Cuál es l solución del siguiente sistem de ecuciones?: z 7z = = 0 z = b = = 0 z = c = = 0 z = d = 0 = z = 0. En el mercdo de ocsión del coche usdo nos venden un coche por 000. L empres tiene un entidd finncier que cobr un 8 % nul. Cuál debe ser l mortizción mensul pr sldr l deud en ños? 8 b 8 c 8 d 8

16 RESUMEN Noción Descripción Ejemplos Polinomio Epresión construid prtir de l sum de monomios 8 Sum, rest producto de polinomios Regl de Ruffini Frcciones lgebrics Ecuciones de primer segundo grdo Desigulddes de primer o segundo grdo Prámetros económicos sociles Anuliddes de cpitlizción o de mortizción El resultdo siempre es otro polinomio p = + ; q = +. p + q = + 0; p q = + ; p q = + +. Nos puede udr l hor de fctorizr un polinomio conocer sus ríces Es un frcción de epresiones lgebrics Son igulddes entre polinomios de primer o segundo grdo. Desigulddes entre polinomios de primer o segundo grdo Problems finncieros que se dn en l relidd su solución Son pgos que hcemos l principio de cd ño pr formr o mortizr, junto con sus intereses compuestos, un cpitl l cbo de un número determindo de t ños. 7 + > 0 su solución es el intervlo,. Tss Números índice. Interés simple compuesto T.A.E r. r C r Dr r t r t t

17 7. TIPOS DE FUNCIONES CAPÍTULO : FUNCIONES. ACTIVIDADES PROPUESTAS. Reliz un tbl de vlores represent l función identidd.. Clcul ls imágenes de los números ; ; 0; ; ; ; 0 por l función f = +.. Utiliz l rect nterior =, + pr obtener el porcentje de curciones esperdo pr un dosis de 7 mg.. Copi en tu cuderno ls siguientes gráfics de funciones e indic si el índice es pr o impr en ls representciones de ls siguientes funciones ríz:. Reliz en tu cuderno un tbl de vlores l gráfic pr un cso similr, suponiendo que el número de bcteris se duplic cd hor.. Vuelve repetir otr vez el ejercicio nterior suponiendo que el número de bcteris qued dividido por cd hor. Observrás que, en el primer cso, los vlores de umentn mucho más depris enseguid se slen del ppel. Mientrs que los vlores de umentn de en los vlores de se vn multiplicndo por. Esto se llm crecimiento eponencil. En el segundo cso, como en lugr de multiplicr se trt de dividir, tenemos un decrecimiento eponencil. 7. En tu cuderno, represent conjuntmente ls gráfics de = f =. función potencil f =. función eponencil, con vlores de entre 0. Observ l diferenci cuntittiv entre el crecimiento potencil el crecimiento eponencil. 8. Utilizndo l clculdor, hz en tu cuderno un tbl de vlores represent ls funciones f = e g = e Un person h ingresdo un cntidd de.000 euros interés del % en un bnco, de modo que cd ño su cpitl se multiplic por 0.. Escribe en tu cuderno un tbl de vlores con el dinero que tendrá est person l cbo de,,,, 0 ños. b. Indic l fórmul de l función que epres el cpitl en función del número de ños. c. Represent en tu cuderno gráficmente dich función. Piens bien qué uniddes deberás utilizr en los ejes. 0. Un determindo ntibiótico hce que l cntidd de cierts bcteris se multiplique por / cd hor. Si l cntidd ls 9 de l mñn es de 0 millones de bcteris: Hz un tbl clculndo el número de bcteris que h cd hor, desde ls de l mñn ls de mediodí observ que tienes que clculr tmbién hci trás. b Represent gráficmente estos dtos.. Represent en tu cuderno, medinte tbls de vlores, ls gráfics de ls siguientes funciones: 0. f log b f log/ c f log,. Comprueb que en todos los csos psn por los puntos, 0,, /,, donde es l bse.. Identific ls fórmuls de ls siguientes funciones prtir de sus gráfics, sbiendo que son funciones logrítmics: b c d. Represent gráficmente l función vlor bsoluto.

18 8. Represent ls siguientes funciones trozos. Se indicn los puntos que tienes que clculr. si f si 0 Puntos: ; ; ; 0 ; 0; ; ; si 0 si Puntos: 9 ; ; ; 0 ; 0; ; ; g si si. Los dtos de l tbl indicn en l primer fil, los precios, en euros, por sco de nrnjs, en l segund fil, ls cntiddes demndds de nrnjs por semns, en l tercer fil, ls cntiddes ofrecids: Precio por sco euros 8 Cntidd demndd miles de scos por semn Cntidd ofrecid miles de scos por semn Dibuj un gráfic con los dtos de est tbl, representndo en el eje verticl los precios, en el eje horizontl ls cntiddes demndds ofrecids. Une con un trzo continuo mbs curvs. 7. Los dtos de l tbl indicn en l primer fil, los precios, en euros, del lquiler de un piso de 70 m, en l segund fil, l cntidd de persons que desen lquilr un piso, en l tercer fil, los pisos vcíos en un determind ciudd: Precio de un piso euros Cntidd demndd persons que desen lquilr Cntidd ofrecid pisos libres Dibuj un gráfic de ls curvs de ofert demnd. b Determin de form proimd el punto de equilibrio. OPERACIONES CON FUNCIONES 8. Reliz ls operciones indicds con ls siguientes funciones: p ; q 7 ; r ; s f ; g ; h ; j k e ; l ; m ; n e L ; b log ; c L ; d log p q b q r c q r s d s q e q r f r p g f p h j f i g k j m k b d l r m m p q n qr o q r: s p p : q q f p r j f s g: k t b u p q v b w r s f p j f z g k

19 9 9. Clcul en tu cuderno ls inverss que eistn de ls funciones del ejercicio nterior: p ; q 7 ; r ; s f ; g ; h ; j k e ; l ; m ; n e L ; b log ; c L ; d log FUNCIÓN INVERSA FUNCIÓN INVERSA p b q c r d s e f f g g h h j i k j l k m l n m n b o c p d 0. Clcul l función invers de:

20 0. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS. Clcul en tu cuderno el dominio de ls siguientes funciones: FUNCIÓN DOMINIO FUNCIÓN DOMINIO f b j c g e h g i d k f l h m. Clcul en tu cuderno el dominio de cd un de ls siguientes funciones: p ; q 7 ; r ; s f ; g ; h ; j k e ; l ; m ; n e L ; b log ; c L ; d log FUNCIÓN DOMINIO FUNCIÓN DOMINIO p b q c r d s e f f g g h h j i k j l k m l n m n b o c p d. Clcul en tu cuderno los puntos de corte con los ejes de ls funciones siguientes: p ; q 7 ; r ; s ; f g ; h ; j ; k e ; l ; m n e ; L ; b log ; c L ; d log FUNCIÓN PUNTOS CORTE EJES PUNTOS CORTE EJES FUNCIÓN Ordends Absciss Ordends Absciss p b q c r d s e f f g g h h j i k j l k m l n m n b o c p d

21 . Estudi ls simetrís los puntos de corte con los ejes de ls siguientes funciones: f 8 h k g 7 j 9. Clcul en tu cuderno el signo de ls siguientes funciones: p ; q 7 ; r ; s f ; g ; h ; j k e ; l ; m ; n e L ; b log ; c L ; d log FUNCIÓN SIGNO SIGNO FUNCIÓN POSITIVO NEGATIVO POSITIVO NEGATIVO p b q c r d s e f f g g h h j i k j l k m l n m n b o c p d. Interpret gráficmente los intervlos de signo del ejercicio nterior, siguiendo el ejemplo: f Ceros: 0 0 f l gráfic de l función f Polos: 0 f debe ir por l zon no sombred: f l e 0

22 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Esboz l gráfic de l función f: dd por si, f si.. Copi en tu cuderno reliz ls operciones indicds con ls siguientes funciones: p ; q 7 ; r ; s f ; g ; h ; j k e ; l ; m ; n e L ; b log ; c L ; d log s q b r p c p q d p qr s e qr s f p qr s g g h h s g i n k j g d k b d l c s m sqr n r p o q: p p s: q q g h r s: g s n k t g : d u s q v r p w q p g h s g z n k. Consider l función f: definid por f Determin los siguientes elementos: su dominio, puntos de corte. con los ejes, signo simetrís.. Dibuj el recinto limitdo por los semiejes positivos de coordends ls curvs, e.. Consideremos ls siguientes funciones: f h k 0 m 9 g j L l n Clcul ls siguientes composiciones: f h ; gh ; g j ; kh ; gh j ; m j ; lh ; mh ; jh ; l m b Clcul f, h, k, j, n verific que son ls inverss de f, h, k, j n. Por qué g m no son inverss? c Clcul todos los dominios. d Clcul los puntos de corte con los ejes de tods ls funciones.. Un objeto se lnz verticlmente hci rrib desde un determindo punto. L ltur en metros lcnzd l cbo de t segundos, viene dd por ht tt. Clcul l ltur desde l que se lnz el objeto l que se encuentr después de segundo. Determin en qué instnte lcnzrá l ltur máim cuál es. Por último, clcul el instnte en que cerá l suelo represent gráficmente l situción con los dtos obtenidos nteriormente. 7. Consider ls funciones f, g: [0, ], f sen g sen. Dibuj l región del plno limitd por ls gráfics de f de g. 8. Se l función dd por f bc. Determin, b c sbiendo que es impr que ps por el punto,.

23 9. Sen ls funciones definids medinte f g. Esboz ls gráfics de f g sobre los mismos ejes clcul los puntos de corte entre mbs. 0. El gsto por el consumo de luz en céntimos de euro de un viviend, en función del tiempo trnscurrido en hors, nos viene ddo por l epresión f t t t0 0 t. Represent gráficmente l función. b Cuál es el consumo ls hors? Y después de hors?. Consider l función definid por log f. Clcul su dominio.. Dibuj el recinto limitdo por ls curvs e, e , donde represent. Clcul el dominio, corte con los ejes, signo simetrís de dich función.. Ls gnncis de un empres, en millones de pesets, se justn l función f los ños de vid de l empres, cundo 0. Consider l función definid por g ln donde ln denot el logritmo neperino. Esboz el recinto limitdo por l gráfic de g l rect =. Clcul los puntos de corte entre ells.. Clcul el dominio de ls siguientes funciones: L f L indic logritmo neperino de ; g cos h. e si. Se l función. Dibuj su gráfic, l vist de ell, indic su dominio, sus puntos f 9 si 0 si de corte con los ejes su signo. 7. Estudi el dominio, puntos de corte con los ejes signo de ls siguientes funciones: b c d 8. El estudio de l rentbilidd de un empres revel que un inversión de millones de pesets produce un gnnci de f millones de, siendo: 8 8 si 0 f 0 si. Rzon cuál es el rngo de vlores de l vrible, los puntos problemáticos de cd un de ls fórmuls, finlmente, el dominio de l función. 9. Un objeto se lnz verticlmente hci rrib de modo que l ltur h en metros l que se encuentr en cd instnte t en segundos viene dd por l epresión ht t 0 t. En qué instnte lcnz l ltur máim? Cuál es es ltur? b Represente gráficmente l función ht. c En qué momento de su cíd se encuentr el objeto 0 metros de ltur? d En qué instnte lleg l suelo?

24 AUTOEVALUACIÓN. Señl cuál de ls siguientes gráfics no corresponde un función: b c d. L fórmul de l composición fog de ls funciones f = g = + es: + b c + + d. L fórmul de l función invers o recíproc de f es: b c d. L gráfic de l función f es: b c d. El dominio de l función f e es: b {} c {, } d {0}. El recorrido de l función es:, b, c, d {} 7. Los puntos de corte con el eje de bsciss de l función f ln son: No tiene b 0, ; 0, c, 0; 0, d 0,ln 8. L únic función impr entre ls siguientes es: b c d 9. El intervlo donde l función es negtiv es:, b, c, d, 0

25 TIPOS DE FUNCIONES Polinómics ALGEBRAICAS Rcionles Irrcionles Eponenciles TRASCENDENTES Logrítmics Trigonométrics DEFINIDAS A TROZOS RESUMEN FÓRMULA Polinomio Cociente de polinomios Ríz de un rcionl Eponencil vrible en el eponente Logritmo vrible como rgumento de un logritmo Trigonométric vrible como rgumento de un rzón trigonométric Vris fórmuls dependiendo de los vlores de l vrible OPERACIÓN EJEMPLO: f ; g Función sum f g f g f g f g Función compuest Función invers f : f f I f f I Si eiste, l invers es únic su gráfic l de l función son simétrics respecto l de l función identidd. Función rest f g f g f g f g se lee primero l función que ctú ntes, NO de izquierd derech se lee primero l función que ctú ntes, NO de izquierd derech Función producto f g : f g f g f g Función cociente f g : f f, g g g f g donde pong en f, f g f g f g f ponemos g g compuesto con f donde pong en g, g f g f g f g ponemos f f compuesto con g º Llmmos f º Despejmos en función de º Cmbimos los ppeles de e CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Dominio Conjunto de vlores que tienen imgen. Puntos de corte con los ejes Simetrí Ordends OY f 0 0, f 0 f No h g f Operción numéric 0 Nd Absciss OX -CEROS- f 0,,..., 0;, 0 ;... Ecución Pr f f Impr f f Operción lgebric 0

26 FAMILIAS DE FUNCIONES Dominio D {polos} Rcionl Irrcionl Eponencil Logrítmic Definid trozos Índice pr { ; rdicndo 0} Índice impr {puntos problemáticos rdicndo} {puntos problemáticos eponente} { ; rgumento > 0} -Vlores de l vrible -Puntos problemáticos de cd fórmul {vlores que no tom l vrible puntos problemáticos incluidos en el rngo} Puntos de corte con los ejes OY 0, f0 si 0Dom f 0, f0 si 0Dom f 0, f0 si 0Dom f 0, f0 si 0Dom f 0, f0 si 0Dom f OX Numerdor = 0 Rdicndo = 0 Rdicndo = 0 No h Argumento = 0, f0 si 0Dom f sustituendo en l fórmul cuo rngo contiene l 0 Cd fórmul = 0 Soluciones que pertenecen su rngo Signo Ceros polos Estudio del signo en l rect rel Positivo siempre slvo en los ceros Signo del rdicndo Positivo en todo su dominio 0<<: rgumento<: + rgumento>: >: rgumento<: rgumento>: + Ceros, polos puntos donde cmbi l definición Estudio del signo en l rect rel Simetrí PAR IMPAR Todos los grdos pres o impres Todos los grdos del n dor pres del d dor impres o vicevers Nunc Simetrí del rdicndo Argumento pr Nunc Argumento pr Nunc Es tn infrecuente l simetrí en este tipo de funciones que no merece l pen estudirl CARACTERÍSTICAS 0 < < > log log Dominio =, + = 0, =, + = 0, Recorrido + = 0, =, + = 0, =, Ordends 0, 0, 0, Absciss, 0, 0 Puntos de corte con los ejes Signo Simetrí Positivo =, 0, =,, Negtivo, 0, DIBUJO

27 7. LÍMITES CAPÍTULO : LÍMITES Y CONTINUIDAD ACTIVIDADES PROPUESTAS. Utiliz l definición de ite pr probr que.. Clcul los ites lterles determin si eiste el ite en ls funciones siguientes definids trozos, en los puntos en los que se unen dos rms: si si f b f si si c 7 f si si. Clsific los siguientes ites en finitos o infinitos, clcúllos: b c. Clcul los siguientes ites, indicndo el signo: b c d d. Clcul los siguientes ites, indicndo el signo: b c d e. Clcul el ite: 9 7. Clcul el ite: 8. Clcul el ite: 9. Clcul el ite: 0. Clcul el ite: 9. Clcul el ite:. Clcul el ite: 9. Clcul el ite:. Clcul el ite: 0. Clcul el ite:. Escribe, sin hcer cálculos, el vlor de los ites siguientes: b c 7 d

28 8 7. Clcul los ites siguientes: b 8. Clcul los ites siguientes: 9. Determin los ites siguientes: b c b sen 0. Determin los ites siguientes observ que no son tipo e: b c c c 7 00 d e d d d d ln 0. ASÍNTOTAS. Determin ls síntots verticles de ls funciones siguientes: f b f c f d f. Determin l síntot horizontl de cd un de ls funciones siguientes: f b f c f d f. Determin l síntot oblicu, si eiste, de cd un de ls funciones siguientes: f b f c f d. Anliz el comportmiento en el infinito de cd un de ls funciones siguientes: f b f c f d f f. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. Estudi l continuidd de ls funciones siguientes: f b f c f log d. Determin el vlor de k pr que l función f e si se continu en tod l rect rel. f k si 7. Estudi l continuidd de ls funciones siguientes: si f si b f c f si si 0 si 0

29 9 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Límites. Clcul los ites siguientes: 9 b 9 c 7 d e 8 f g 8. Clcul los ites siguientes: 8 b 8 c 8 d e f g h. Determin ls síntots de ls funciones siguientes: f b f c f d f e f f f g ln f h f Continuidd. Estudi l continuidd de ls funciones siguientes, indicndo en cd cso el tipo de discontinuidd. log f b 0 0 g c h. Estudi l continuidd de ls funciones siguientes, indicndo en cd cso el tipo de discontinuidd. f b g c h. Estudi l continuidd de ls funciones siguientes, indicndo en cd cso el tipo de discontinuidd. f b g 7 c h 7. Estudi l continuidd de ls funciones siguientes, indicndo en cd cso el tipo de discontinuidd. f b g c h 8. Estudi l continuidd de ls funciones siguientes, indicndo en cd cso el tipo de discontinuidd. ln f b ln g c 9 ln h 9. Estudi l continuidd de ls funciones siguientes, indicndo en cd cso el tipo de discontinuidd. d e f 7 9 e g h 0. Dd l función 0 0 e f. Estudi su continuidd. b Represent su gráfic. Dd l función k f Determin el vlor de k pr que l función se continu en tod l rect rel. Represent su gráfic

30 0. Dd l función. Dd l función f f. Esboz l gráfic de l función. Esboz l gráfic de l función. Estudi su continuidd. b Represent su gráfic. Estudi su continuidd. b Represent su gráfic f indicndo sus síntots sus puntos de discontinuidd. f indicndo sus síntots sus puntos de discontinuidd. AUTOEVALUACIÓN. El ite es igul : b 0 c d /. El ite es igul es igul : b 0 c d. El ite es igul : b 0 c / d. El ite es igul : / b 0 c d 7. El ite es igul : b 0 c d 7. El ite es igul : b 0 c d 7. El ite es igul : b 0 c d 8. Estudi l continuidd de si 0 f en = 0. si 0 Es continu b Tiene un discontinuidd evitble c Un slto finito d Un slto infinito 9. Estudi l continuidd de si f en =. si Es continu b Tiene un discontinuidd evitble c Un slto finito d Un slto infinito 0. Estudi l continuidd de si f en =. si Es continu b Tiene un discontinuidd evitble c Un slto finito d Un slto infinito

31 Definición de ite RESUMEN f L Pr todo > 0, eiste un > 0 tl que, siempre que <, se cumple f L <. Límite lterl l derech Límite lterl l izquierd Eistenci de ite Asíntots Propieddes de los ites f L el vlor de f cundo tiende, siempre que se cumpl l condición > f L el vlor de f cundo tiende, siempre que se cumpl l condición < f f L función si tiene f si de ite lterl l izquierd 8, de ite lterl l derech tmbién 8, pues 8 8 f L L función Si f K h un síntot horizontl = K. Si f h un síntot verticl =. tiene ite en = f si si f síntot horizontl, = 0 síntot verticl = 0 f g f g f g f g K f K f f g f g si g 0. Continuidd de un función en un punto Propieddes de ls funciones continus Un función f es continu en el punto =, si pr culquier > 0, eiste un > 0 tl que siempre que <, se cumple quef f <. L sum el producto de funciones continus es un función continu. El cociente de funciones continus es un función continu si no se nul el denomindor. L función continu en = f Los polinomios son funciones continus en si si f es continu en {0} es Tipos de discontinuidd Evitble. De primer especie de slto finito. De primer especie de slto infinito. De segund especie f si si evitble en = f= / de primer especie con slto infinito en = 0

32 CAPÍTULO : DERIVADAS ACTIVIDADES PROPUESTAS. CONCEPTO DE DERIVADA.. Hll l ts de vrición medi en los intervlos [, ], [, ] [0, ] de ls funciones siguientes: = b = c = 0 + d = A l vist de lo que hs obtenido, crees que l ts de vrición medi de ls funciones polinómics de primer grdo es siempre constnte e igul l pendiente de l rect que l represent?. Hll l ts de vrición medi de l función = en los intervlos [, ], [, ] [0, ]. Es hor constnte?. Hll l ts de vrición medi de l función = + en los intervlos [, ], [, ] [0, ]. Hbrás comprobdo que en los dos últimos ejercicios l ts de vrición medi no es constnte.. Al hcer un estudio sobre el terrizje de viones se grb un películ desde el momento en que el vión toc tierr hst que se pr, se miden los tiempos ls distncis recorrids: Tiempo t en segundos Distnci d en metros Clcul l velocidd medi del vión. b Clcul l velocidd medi en los intervlos: [0, ], [, 0] [, ]. c Es constnte?. Se estudi l posición de un coche respecto de l slid de un túnel se obtienen los dtos siguientes: Tiempo segundos Distnci metros Clcul l velocidd medi del coche en el intervlo [0, 0]. b Clcul l velocidd medi en los intervlos [, ] [0, 0]. Es contnte? c Si l velocidd máim permitid es de 0 km/h, considers que h podido sobrepsrl en lgún momento? Y si l velocidd máim fuese de 80 km/h?. El tren AVE sle de l estción ument su velocidd hst llegr 0 km/h en 0 minutos, mntiene entonces es velocidd constnte durnte hor medi, comienz disminuirl hst prrse en otros 0 minutos. Represent en un gráfic l función tiempo - velocidd. b Y sbes que l celerción nos indic l vrición de velocidd. Indic l celerción medi en los primeros 0 minutos. c Indic l celerción medi entre el minuto 0 el minuto 90. d Determin l celerción en los últimos 0 minutos. 7. L función de beneficios de un ciert empres viene dd por: B = + 7 +, donde B indic el beneficio que obtiene l empres cundo fbric uniddes. Clcul l ts de vrición medi de los beneficios entre 0 00 uniddes, l ts de vrición medi de los beneficios entre 00 uniddes. 8. Un empres determin que los costes de producción por trbjdor contrtdo son C = +, que los ingresos por vents tmbién por trbjdor contrtdo vienen ddos por I = +. Por tnto los beneficios B por trbjdor contrtdo son ingresos menos costes. Observ que ests funciones no son continus, no se pueden contrtr 7 trbjdores, es un función esclond, pero vmos trbjr con ells como si fuern continus. Determin l ts de vrición medi si se contrtn entre trbjdores. 9. Hll l derivd de ls funciones siguientes en los puntos =, = = : = b = c = 0 + d = A l vist de lo que hs obtenido, crees que l derivd de ls funciones polinómics de primer grdo es siempre constnte e igul l pendiente de l rect que l represent? 0. Hll l derivd de l función = en los puntos =, = =. Es hor constnte?. Hll l derivd de l función = + en los puntos =, = =. Hbrás comprobdo que en los dos últimos ejercicios l derivd no es constnte.. En el vije de l ctividd de introducción el coche recorrí entre l primer hor l segund un distnci dd por l ecución: = Determin l velocidd que llevb el coche pr =.. En dicho vije l distnci recorrid pr viene dd por l ecución = 0. Y pr por = 0 ² + 8. Pr = h un cmbio en l velocidd. Clcul l velocidd ntes de =, l velocidd después de =.. Un vehículo espcil despeg de un plnet con un trectori dd por: = 0 0 ² e en km. L dirección del vehículo nos l proporcion l rect tngente en cd punto. Determin l dirección del vehículo cundo está km de distnci sobre el horizonte. Posiciones de l pelot intervlos regulres de tiempo,

33 . Desde un vión nodriz se suelt un vión eperimentl cuo impulsor se enciende l máim potenci permnece encendido 0 segundos. L distnci que sepr l vión eperimentl del vión nodriz viene dd por d = 0 t⁴. Clcul l velocidd del vión eperimentl los,, 7 0 segundos de hber sido soltdo.. Represent gráficmente l función =, determin su derivd pr =,,.... Cuánto vle? Es siempre l mism? Ocurrirá lo mismo pr culquier rect horizontl = b? 7. Dibuj un función culquier dos puntos sobre ell, f f, correspondientes ls ordends,. Interpret geométricmente l definición de derivd prtir del dibujo. 8. Dibuj un función culquier un punto culquier sobre l función f. Dibuj tmbién un segmento sobre el eje de bsciss con origen en longitud h. Interpret de nuevo l definición de derivd en un punto bsándote en dich figur. 9. En un ejercicio nterior vimos que un empres determin que los ingresos por vents por trbjdor contrtdo vienen ddos por I = +. Observ que est función no es continu, no se pueden contrtr 7 trbjdores, es un función esclond, pero vmos trbjr como si lo fuer. Determin l derivd de l función ingresos respecto ls persons contrtds. Qué significdo crees que tiene? 0. Cíd libre de un pelot. En l figur se muestrn, medinte fotogrfí estroboscópic, ls posiciones de l pelot intervlos regulres de tiempo: pr t =,,,,,..., el espcio recorrido es proporcionl,, 9,,,..., etc. Clcul l función de posición = ft, clcul l velocidd l celerción derivndo l función de posición.. Clcul l derivd medinte el ite de l función = ² + en el punto =. Clcul l derivd medinte el ite de l función = ² + en el punto =. Clcul medinte l epresión resultnte f, f, f, f f 7.. Complet en tu cuderno l siguiente tbl con ls derivds: Función f = ³ f = f = ² f = f = k f = + f = ² + Derivd f = ² f = f = f = f = f = f =. Piens en un ejemplo de función no derivble que sí se continu.. REGLAS DE DERIVACIÓN. Escribe ls funciones derivds de ls funciones siguientes: f = ²⁴; b g = ¹⁰; c h = /7¹³; d j = ⁴ ² + 7; e p = ³. Clcul ls derivds de ls siguientes funciones polinómics: = + ²; b = ² 7 + ⁵; c = /⁷ + 8/⁵ 9/⁴; d = ⁸. Y hemos obtenido l derivd de. Utilízl pr obtener l derivd en =,,... Puedes obtener l derivd en = 0? Rzon l respuest. 7. Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: = ² + ⁶ ; b = 7³ ⁴ + ; c 8. Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: ; b = ² + /³ + 7; c ; d 9. Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: 7 ; b ; c ; d. 0. En un ejercicio nterior vimos que un empres determin que los costes de producción por trbjdor contrtdo ern C = +, que los ingresos por vents tmbién por trbjdor contrtdo vienen ddos por I = +. Por tnto los beneficios B por trbjdor contrtdo son ingresos menos costes. Observ que ests funciones no son continus, no se pueden contrtr 7 trbjdores, es un función esclond, pero vmos trbjr con ells como si fuern continus. Determin l derivd de l función costes C de l función beneficios B respecto del número de trbjdores contrtdos. Qué significdo tienen? Un lámpr estroboscópic es un instrumento que ilumin un escen durnte intervlos regulres de tiempo. Si utilizmos este tipo de luz sobre un movimiento repetitivo, como l rotción de un rued, el intervlo coincide con un periodo completo de movimiento, el objeto precerá estático l observdor.

34 . Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: = ⁵ 7³¹² b = ³ ²⁷ c 8 7 d. Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: b 7 7 c d 8. APLICACIONES DE LA DERIVADA. Determin l ecución de l rect tngente l gráfic de l función = 7² + en el punto =. El perfil de un ciert montñ tiene l form de un prábol: = ², donde e se miden en km. Escribe l ecución de l rect tngente pr = 0, =, =, = km.. El deprtmento de mrketing de un empres estim que los ingresos mensules que v producir el lnzmiento de un nuevo producto vienen ddos por: = 0 + t² 0 t³, donde t es el tiempo epresdo en meses desde que el producto slg l mercdo, e son los ingresos en cientos de euros. Clcul si los ingresos están creciendo o decreciendo los meses de lnzmiento del producto. b Durnte qué periodo de tiempo umentn los ingresos? c Durnte qué periodo de tiempo disminuen? Solución: = 0t t², = > 0. Creciente. b 0t t² = 0 t0 t = 0 t = 0, 0 = t t = 8. Aproimdmente poco más de los 8 meses empiezn descender los ingresos.. Determin los intervlos de crecimiento decrecimiento de l función: = ³ +. Determin los intervlos de crecimiento decrecimiento de l función: = ³. Cómo es en = 0? Y en =? Y en =? 7. En un ejercicio nterior vimos que un empres determin que los costes de producción por trbjdor contrtdo ern C = +, que los ingresos por vents tmbién por trbjdor contrtdo vienen ddos por I = +. Por tnto los beneficios B por trbjdor contrtdo son ingresos menos costes. L función beneficios B respecto del número de trbjdores contrtdos, es creciente o decreciente? 8. Clcul los máimos mínimos de ls funciones siguientes: = ² + ; b = ⁴ ; c = ³ + ; d = ⁴ ² + ; e = 7³. 9. Se dese fbricr envses con form de prism recto cudrngulr de bse cudrd de form que el volumen se de un litro l superficie empled se mínim. 0. Determin los máimos mínimos de ls funciones siguientes: = ³ ² + + 7; b = ³ + ; c = I I; d = I + I + I I.. Clcul los máimos mínimos reltivos bsolutos de l función: f = + 7, en el intervlo [, ] en el intervlo [0, ].. Determin los máimos mínimos, bsolutos reltivos, de l función f = + en el intervlo [, ].. Determin ls dimensiones de un cono de volumen mínimo inscrito en un esfer de rdio R = cm. Aud: L ltur del cono es igul R +, el rdio de l bse r = R.

35 EJERCICIOS Y PROBLEMAS Definición de derivd. Utiliz l definición de derivd pr clculr l derivd de l función = ³ en el punto =.. Utiliz l definición de derivd pr clculr l derivd de l función = en =.. Utiliz l definición de derivd pr clculr l derivd de l función = /² en =.. Utiliz l definición de derivd pr clculr l derivd de l función = ² + en el punto de bscis =.. Utiliz l definición de derivd pr clculr l derivd de l función = en =. Cálculo de derivds. Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: = ² + b = ³ ² c = ² + d = 8⁷ 9⁶ ³ 7. Clcul: D² + 7 b D ² c D 7 + d d 9⁶ 8 d 8. Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: = 7² + / b = ³ ² + c d 9. Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: = 7²/ + / 8/ b = ³/ ²/ + / c 7 = ³/ ²/7 + 7/ 0. Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: b 7. Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: 8 7 c d 9 = b c = ³ + ⁵ d = ² + ⁹. Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: = ⁷ + ²⁶ b. Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: 9 c = ³ + ⁵ ⁵ ⁸ d 7 = e ⁵ + ³ b = e ³ 7² ⁷ c = e ⁵ + ³ 9 ⁵ d 8 e. Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: = cos⁵ 7³sen⁵ 7³ b = cos 7 ³ ² sen ³ ² c = cos⁵ 8³⁵ d cos 7 Aplicciones de l derivd. Clcul ls rects tngentes de l gráfic de l función = ³ en = 0, = =.. Clcul ls rects tngentes de ls gráfics de ls funciones siguientes en los puntos indicdos: = ³ en =. b = + en =. c = ³ 7 + en = Indic l pendiente de l rect tngente de: = ³ + en =. b + = 0. c = ³ + en =. 8. Determin ls coordends de los puntos de l gráfic = ³ + en los que su tngente se prlel: l rect = 0; b l rect =. 9. Determin l rect tngente de l gráfic de l función en = Si f =, cuál de ls siguientes gráfics podrí ser l de f?. Determin ls rects tngentes l función f = en los puntos en los que l pendiente es. Cuál es el menor vlor que puede tener l pendiente est curv? En qué puntos se lcnz?