BIOESTADISTICA ( ) Introducción a la regresión logística

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1 Deartamento de Estadístca Unversdad Carlos III de Madrd BIOESTADISTICA ( ) Introduccón a la regresón logístca. INTRODUCCIÓN La regresón logístca es un rocedmento cuanttatvo de gran utldad ara roblemas donde la varable deendente toma valores en un conjunto fnto. Su uso se mone de manera crecente desde la década de los 80 debdo a las facldades comutaconales con que se cuenta desde entonces. A contnuacón, desarrollaremos el caso esecal en que la varable deendente o resuesta es dcotómca. Suongamos que la varable deendente Y reresenta la ocurrenca o no de un suceso, or ejemlo: - un acente muere o no antes del alta. - una ersona deja o no de fumar desués de un tratamento. - en un estudo retrosectvo un ndvduo es caso o control. - un acente ostvo al VIH está o no en el estado IV. Podemos decr que la varable deendente Y toma valor s ocurre el suceso, y valor 0 s no ocurre el suceso. Por otra arte nos nteresa estudar la relacón entre una o más varables ndeendentes o exlcatvas: X, X,..., X y la varable Y. El modelo logístco establece la sguente relacón entre la robabldad de que ocurra el suceso, dado que el ndvduo resenta los valores X =x, X =x,...,x =x : Pr( Y= x, x,, x ) =. + ex( α β x β x β x ) Otra forma de resentar esta relacón es: Pr( Y= x) log t( Pr( Y= x )) = log = α + βx+ βx+ + βx, Pr( Y= x) donde denotamos con Pr( Y = x) la robabldad condconal Pr( Y= x, x,, x ). Un roblema mortante es estmar los arámetros α, ß 's, a artr de un conjunto de observacones. El rocedmento de estmacón de estos arámetros se basa en el método de máxma verosmltud. Exsten varos rogramas que realzan estas estmacones, or ejemlo: LOGIT, RELODI (que utlzaremos en nuestra exoscón), MULTLR, EPISTAT, BMDP, SAS, etc., medante la obtencón del máxmo del logartmo de la funcón de verosmltud: n L( y, β ) = y ln( ) + ( y )ln( ), = donde n es el número de observacones y = Pr( Y = y x ).

2 Una vez que hayamos calculado los estmadores máxmo-verosímles (MV) de ß 's, uede nteresarnos el cálculo de ntervalos de confanza de estos arámetros, ara ello odemos utlzar la estmacón de la matrz de covaranza de los estmadores MV de los ß. El ntervalo de confanza del 00*(-α)% uede calcularse or: β ± Var( - / β ).. z α Podemos tambén contrastar la hótess nula H 0 :ß =0 medante el sguente estadístco: Z = β. Var( β ) Otra vía ara robar la hótess anteror, cuando se consderan varas varables, es utlzando el máxmo de la funcón de verosmltud. Ejemlfcaremos el rocedmento ara el caso de dos varables X y X. Se consderan los sguentes modelos: Modelo : logt(pr( Y= X )) = α + β X. Modelo : logt(pr( Y= X )) = α + β X. Modelo 3: logt(pr( Y= X, X )) = α + β X + β X. Nos nteresa en el modelo 3 robar las hótess H 0 :ß =0 y H 0 :ß =0. Sean L, L y L 3 los máxmos de la funcón de verosmltud ara los modelos, y 3, resectvamente. Se cumle β que: -ln( L ) ln( L3) Z donde Z =, o sea, el estadístco ara la rmera de las hótess. Var( β ) β De manera análoga se tene: -ln( L ) ln( L3) Z con Z =. Var( β ) EJEMPLO: En una sala de teraa se desea estudar la relacón entre la sobrevvenca y las varables edad e nfarto agudo del mocardo. A contnuacón mostramos los resultados del rograma RELODI ara datos de 00 acentes tratados en esa sala. Salda abrevada de RELODI (Modelo ) Número de casos ara los cuales FALLECIDO es gual a : 76 Tamaño total de la muestra 00 - ln verosmltud fnal: EDAD Salda abrevada de RELODI (Modelo ) Número de casos ara los cuales FALLECIDO es gual a : 76 Tamaño total de la muestra 00 - ln verosmltud fnal: INFARTO

3 Salda abrevada de RELODI (Modelo 3) Número de casos ara los cuales FALLECIDO es gual a : 76 Tamaño total de la muestra 00 - ln verosmltud fnal: EDAD INFARTO Comrobemos las fórmulas aroxmadas: - ln( L ) ln( L3) = = 6.35 Z = ln( L ) ln( L3) = =.6 Z = Notemos que este enfoque nos ermte robar hótess del to: H 0 :ß + =0, ß + =0,..., ß +q =0 en el + q modelo: logt(pr( Y= x )) = α + β x = bastará calcular el máxmo de la funcón de verosmltud ara este modelo y ara el modelo sguente: logt(pr( Y= x )) = α + β x =. Se utlza el sguente estadístco: L χ =- ln, L +q donde L + q es el máxmo de la funcón de verosmltud ara el rmer modelo y L es el máxmo ara la funcón de verosmltud del segundo modelo. El estadístco, bajo la hótess nula, se dstrbuye como una χ. q Para evaluar el grado de concordanca entre los valores observados de Y, y los valores estmados de n ( y - ) se uede utlzar el sguente estadístco de bondad de ajuste: χ =. Esta medda es nestable = ( - ) ara valores de cercanos a 0 ó a.. EJEMPLOS DE USOS DE LA REGRESIÓN LOGÍSTICA Estudos Descrtvos: La regresón logístca uede utlzarse como método descrtvo cuando se desea estudar desde una ersectva edemológca la aarcón de un determnado evento en un gruo de ndvduos, or ejemlo: - los acentes de una determnada enfermedad desarrollan un certo sgno roo de ésta. - los nños dejan la lactanca materna exclusva. - el fallecmento de ndvduos de una cohorte. EJEMPLO: Se selecconan al azar n (300) hstoras clíncas de enfermos de la atología en estudo, se determna la fecha de deteccón de la enfermedad t d, s el acente tene el sgno de nterés se toma la fecha en que aarecó t s, s el acente no tene el sgno se toma la fecha de la últma consulta t e. Con estos datos defnmos la varable deendente Y como s el acente no tene el sgno, y como 0 s lo tene, y la varable ndeendente t como la dferenca en días de la fecha de aarcón y la deteccón en 3

4 caso de que Y=0 o la dferenca de la fecha de la últma anotacón en la hstora clínca y la fecha de ts-td s Y = 0 deteccón s Y=, o sea: t =. Se ajusta el sguente modelo: te-td s Y = Pr( Y = t ) =. + ex(-α - βt) Número de casos ara los cuales SIGNO es gual a : 0 Tamaño total de la muestra TIEMPO Se tene entonces que α.664 y ß Por tanto, la robabldad de que un acente no tenga el sgno a t días de la deteccón de la enfermedad se estma or: Pr( Y = t ) =. + ex( t) De esta manera odemos calcular Pr( Y = t) ara dstntos valores de la varable t = 0, 40, 60,..., esta robabldad no es más que la revalenca de acentes que a t días no tenen el sgno en estudo. En el fgura se resenta la curva de revalenca estmada or el modelo. S el ajuste de la curva es adecuado los datos emírcos (roorcón de ndvduos sn el sgno en un gruo de estudo cuya varable t esté en un rango redefndo), serán cercanos a la curva teórca. 4

5 Modelo Estadístco de Pronóstco: S se desea estmar la robabldad de la ocurrenca de un suceso en funcón de un gruo de varables exlcatvas (redctoras) conocdas: X, X,..., X, uede fjarse un modelo logístco, una vez que se hayan estmado los arámetros α y ß 's, uede calcularse la robabldad Pr( Y= x, x,, x ) ara cualquer ndvduo cuyos varables ndeendentes toman valores: x, x,..., x, resectvamente. Ejemlos de este to de estudos se resentan en la sguente tabla: Suceso a redecr El temo de duracón de la estanca de una hostalzacón es sueror a 7 días Sobrevvenca de un acente que ngresa a un servco de quemados Un nño adece de arastsmo ntestnal El temo de sobrevvenca de una acente que ha sdo oerada de cáncer de mama es sueror a 5 años Varables redctoras Edad, sexo, dagnóstco rncal, rocedmento qurúrgco rncal, hostalzacones anterores Edad, orcentaje de quemaduras de rmer y segundo grado, es o no dabétco Edad, lugar de resdenca, estatura, eso, resultados académcos Edad de la acente al momento de la oeracón, año calendaro de la oeracón, número de nódulos ostvos detectados EJEMPLO: Se desea conocer la robabldad de que un acente que se ngresa en una sala de teraa ntensva sobrevva. Para este to de estudos es recomendable la defncón de gruos dagnóstcos (conjunto de entdades o enfermedades que tenen en común afectar a un msmo sstema del organsmo), or tanto en nuestro ejemlo nos lmtaremos a algunas de las varables que uedan nflur el ronóstco de la evolucón de acentes con Enfermedades del Sstema Cardocrculatoro (ESCC): Edad (años) X Enfermedad Hertensva (S/N) X Insufcenca Cardaca (S/N) X 3 Dsrrtma (S/N) X 4 Infarto Agudo del Mocardo (S/N) X 5 Enfermedad Pulmonar Obstructva Crónca y afeccones afnes (S/N) X 6 Ingresos anterores or estas causas (#) X 7 Se estudarán entonces un gruo de acentes que ngresen a la sala de teraa ntensva con dagnóstco de ESCC, se les medrán las varables anterores, que defnremos como s hay resenca del roblema y como 0 s no. Se esera entonces al egreso de cada acente, s egresa vvo la varable Y toma valor, en caso contraro toma valor 0. La matrz de los datos de este estudo uede ser, or ejemlo: Y X X X 3 X 4 X 5 X 6 X : : : : : : : : Se ajusta el sguente modelo: Pr( Y = x, x,..., x7) =. + ex(-α - β x- β x-...- β x7) 7 5

6 Número de casos ara los cuales VIVO es gual a : 00 Tamaño total de la muestra EDAD HIPERTENSION INSUFICIENCIA DISRRITMIA INFARTO 0, EPOC INGRESOS Dados los arámetros estmados la robabldad de sobrevvenca Pr( Y = x, x,..., x7) está dada or: Pr( Y = x, x,..., x7) =. + ex( x +.4x + 3.4x +.6x +.3x 0.3x x ) En la fgura se resentan dstntas curvas de sobrevvenca utlzando el modelo logístco anteror. 6

7 Notemos como dsmnuye la robabldad de sobrevvenca con la edad, con la cantdad de ngresos revos y la conjuncón de varas atologías. De esta msma manera odemos contemlar varables referentes a rocedmentos teraéutcos, determnándose cuales son mejores (ofrezcan una mayor robabldad de sobrevvenca) según las condcones del acente. Análss de Factores de Resgo: La regresón logístca uede utlzarse como método ara la estmacón de la razón de dsardad (odds rato OR). Veamos como obtenemos el OR en el caso de una varable ndeendente X, tenemos Pr( Y = X = )Pr( Y = 0 X = 0) que: OR =, y s asummos el sguente modelo: Pr( Y = 0 X = )Pr( Y = X = 0) Pr( Y = X) logt(pr( Y = X )) = ln = α + β X que ara X= y X=0 toma las sguentes exresones: Pr( Y = 0 X ) ln Pr( Y = X = ) = α + β y Pr( Y = 0 X = ln Pr( Y = X = 0) = α, de donde obtenemos, ) Pr( Y = 0 X = 0) Pr( Y = X = ) Pr( Y = 0 X = 0) ln( OR ) = ln = β u OR = ex( β ). Por tanto robar la hótess Pr( Y = 0 X = ) Pr( Y = X = 0) H 0 :OR= es equvalente a la hótess H 0 :ß=0. De manera smlar se obtene en el caso de dos o más varables ndeendentes la sguente relacón: donde X=(X, X,...,X ). S el valor de X '=X, entonces el térmno ß (X ' - X ) es gual a cero y or tanto la exresón anteror no deende de X. Entonces s una de las varables, X or ejemlo, reresenta la exoscón a un factor de esecal nterés, el OR ara ndvduos que son guales en las restantes varables es OR=ex(ß (X '-X )), en artcular s la varable X está codfcada como s el factor está resente y como 0 s está ausente, entonces OR=ex(ß ). El odds rato calculado de esta manera recbe el nombre de odds rato ajustado or las varables X,..., X. Veamos el sguente ejemlo del cálculo de OR ajustado. ( β X X ) Pr( Y = X )Pr( Y = 0 X) = ex ( ), Pr( Y 0 X = )Pr( Y = X) EJEMPLO: Estudo de casos-controles de cáncer de ulmón y consumo de alcohol. = Casos Controles Alcohol 68 3 No Alcohol 3 68 El odds rato estmado es OR=4.5 con un ntervalo de confanza gual a (.39, 8.55). S estratfcamos or la varable fumar, obtenemos: 7

8 En Fumadores: OR=.00 (0., 3.7) En No fumadores: OR=.00 (0., 3.7) Casos Controles Alcohol 64 6 No Alcohol 6 4 Casos Controles Alcohol 4 6 No Alcohol 6 64 La varable FUMAR es un factor de confusón de la asocacón entre cáncer de ulmón y consumo de alcohol. El OR de Mantel-Haenszel ( estratos) =.0 (0.36,.49). Veamos el msmo análss con un modelo de regresón logístca. El fchero de datos ara el ejemlo anteror utlzando el rograma RELODI es:,agruados,cáncer,alcohol,fumar,64,,,6,0, 0,6,, 0,4,0,,4,,0,6,0,0 0,6,,0 0,64,0,0 Número de casos ara los cuales cáncer es gual a : 00 Tamaño total de la muestra alcohol alcohol En este caso solo consderamos la varable alcohol, y or tanto obtenemos un resultado smlar a la rmera tabla alcohol fumar alcohol fumar 8

9 Se obtene entonces el OR=.00 ajustado or la varable fumar, que es gual al OR de Mantel-Haenszel. S ben en un ejemlo como este en que sólo hay varables ndeendentes dcotómcas, el análss estratfcado es recomendable or su facldad y comrensón, a medda que el número de varables crece o se consderan varables con más categorías, el análss estratfcado se hace muy laboroso. Por ejemlo, s consderamos 5 varables dcotómcas habría que calcular 4 =6 tablas de x. S alguna de las varables ndeendentes es contnua se deberá clasfcar la msma con la consguente érdda de nformacón, en esos casos la regresón logístca es un rocedmento sumamente útl. Evaluacón de la Interaccón: Consderemos dos factores de exoscón X y X (varables dcotómcas) odemos defnr el resgo Rj = Pr( D = X =, X = j) ara los dstntos nveles de exoscón a X y X, y calcular el OR ara Rj.(- R 00) cada uno de estos nveles or: OR j =. R.(- R ) 00 j La hótess nula de no nteraccón bajo un modelo multlcatvo es: H 0 :OR =OR 0 OR 0, que uede contrastarse utlzando el sguente modelo de regresón logístca: Pr( Y = X, X, X X ) =, + ex(-α - βx - β X - β 3X X ) OR ues se tene la sguente gualdad: β 3 = logt. OR0OR0 EJEMPLO: Consderemos el sguente estudo de cáncer de ulmón y los sguentes factores de exoscón: X FUMAR y X VIVIR EN ZONA RURAL Zona de Resdenca Fumadores No fumadores Casos Controles Casos Controles Rural Urbana El fchero de datos ara este ejemlo utlzando el rograma RELODI es: 3,agruados,CANCER,FUMAR,CAMPO,CAMPO*FUMAR,50,,,,30,0,,0,300,,0,0,50,0,0,0 0,80,,, 0,0,0,,0 0,00,,0,0 0,500,0,0,0 Veamos los resultados de los sguentes modelos: ) logt(pr( Y X)) α β X = = +, o sea consderando solo la varable FUMAR. 9

10 FUMAR FUMAR Como eseramos la varable fumar aarece asocada al cáncer de ulmón. ) logt(pr( Y X)) α β X = = +, o sea consderando solo la varable VIVIR EN ZONA RURAL CAMPO CAMPO Algo que no eseramos, la varable vvr en zona rural aarece asocada al cáncer de ulmón. Veamos s la varable FUMAR es de confusón? FUMAR CAMPO FUMAR CAMPO Notemos que el OR ajustado or la varable FUMAR (OR=0.7473) nos ndca que vvr en zona rural es un factor "rotector" del cáncer de ulmón. FUMAR actúa como varable de confusón en esa relacón. 3) logt(pr( Y X, X, XX )) α βx β X β 3XX = = FUMAR CAMPO CAMPO*FUMAR FUMAR CAMPO CAMPO*FUMAR 0

11 Notemos que el coefcente ß 3 es dstnto de cero, or tanto se concluye que exste nteraccón entre ambos factores. S utlzamos el sguente fchero de datos odemos estmar: R (- R ) OR = : R00( - R),agruados,CANCER,CAMPO*FUMAR,50,,50,0 0,80, 0,500,0 4) logt(pr( Y = XX )) = α + β 3XX CAMPO*FUMAR CAMPO*FUMAR Notemos que OR =9.695 dfere de OR 0 OR 0 =.8333*.74.47, que sería el valor de OR s no hubese nteraccón. Ejercco:.- Consdere los sguentes resultados de estudo de cohortes donde se evalúa la exoscón a dos factores E y F como osbles factores de resgo de una enfermedad que denotaremos D. Exuestos a E No exuestos a E Casos Controles Casos Controles Exuestos a F No exuestos a F a) Medante un modelo de regresón logístca estme el OR crudo ara los factores E y F. b) Estme el OR ajustado de F controlando E y el OR ajustado de E controlando F. c) Alguno de los factores es de confusón? d) Exste nteraccón entre E y F?