Métodos cuantitativos de análisis Significación de Parámetros de un ajuste

Transcripción

1 Undad 5 (Etensón) Métodos cuanttatvos de análss gnfcacón de Parámetros de un ajuste Método de cuadrados mínmos en el caso de datos con errores Incertdumbre en la etraccón de arámetros de un ajuste Ensayo de sgnfcacón estadístca de arámetros de un ajuste Bandas de redccón de valores ormaldad de una dstrbucón estadístca Caso de datos con error en las dos varables Método de cuadrados mínmos Datos con errores - Regresón lneal - Consderemos el caso de un conjunto de medcones (,Y ), con error en el valor de Y dado or σ. cuyas reresentacones gráfcas se muestran en la Fgura. El objetvo de esta seccón es descrbr el rocedmento estadístco que ermte obtener la línea que mejor ajusta los datos eermentales, línea de regresón, y las ncertezas asocadas en su determnacón. Asmsmo se desea tener un modo de estmar las ncertezas asocadas a la estmacón de un dado valor Y, a artr de un valor. y Dserson%4% - a_ft.3b_ft.3 - R.9- L.C.% Y_snt DY_snt Fgura.- Reresentacón gráfca de un conjunto de datos eermentales (,Y ) con errores en el eje Y dado or los valores σ. La línea contnua azul es la recta obtenda or cuadrados mínmos. Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares

2 Incertdumbre en la etraccón de arámetros de un ajuste La recta que mejor ajusta los datos vene dad or la ecuacón: Y ( ) a + b () Defnmos el valor de Ch-Cuadrado,, como: w ( Y a b) () Aquí es un factor de eso o onderacón que se uede defnr de dstntos modos según el roblema en estudo. Un modo usual de esar los datos es hacerlo usando sus resectvos errores σ del sguente modo: w. (3) σ con w (4) todos los datos tenen gual onderacón, es decr s, w, entonces número total de datos. Desde luego, la eresón (3) reresenta solo una de las tantas formas en que ueden onderarse los datos. La eleccón más adecuada de los factores de onderacón deende del roblema esecfco en consderacón. El método de cuadrados mínmos consste en elegr como los mejores valores de a y b aquellos valores que mnmcen el valor de ec.(). El resultado de este rocedmento resulta en -4 : o ben ( Y ) ( ) ( Y ) < Y > < > < Y > Cov( ( ) ( ) ( < > < > ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y Y < > < Y > < Y > ( ) ( ) ( < > < > ) Y ) a (5) < > b (6) b < Y > a < > (6 ) Donde usamos la notacón: Y w Y, (7) n w, (8) n Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares

3 Y w Y (9) y así sucesvamente. Tambén defnmos los valores medos de y y como: Y < Y > < > < n > w Y w w Las desvacones estándar venen dadas or: y w n, (), (), () ( ) Var( ) < > < > ( Y Y ) Var( Y ) < Y > < Y >, (3) Y w, (4) Los coefcentes de correlacón se defnen en forma smlar: Y ( ) ( Y Y ) < Y > < Y >< > Cov( Y, ) w, (5) y R < Y > < Y Y >< > Cov( Y ). (6) Y El error tíco de estmacón de Y sobre, está relaconado con el valor de Chcuadrado, Ν, or: w ( Y Y ( )) Error. tíco( Y ) (7) Tambén se defne el valor de Ch-cuadrado or grados de lbertad: v: Y ( v sd (8) ( ) w ( Y )) El arámetro, se relacona con la covaranza de Y, ara el caso de una Ν ajuste lneal (5)y (6), or la relacón: Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares 3

4 [ < ( ) ( Y Y ) > ] Cov( Y, ) Y Y (9) Y La varacón total, t Y, da una medda de cómo los untos Y se dstrbuyen alrededor del valor medo de Y. t se defne como: t w ( Y Y ) Y () La varacón elcada, ne, mde la caldad del modelo, Y( ), ara elcar los datos observados, Y. Este nombre surge del hecho que ε (Y -Y( )) tenen una dstrbucón estadístca al azar. ne se defne como w ( Y Y ( ) ) ne sd () La varacón elcada e, se defne or: w ( Y ( ) Y ) e () A artr de (), () y () se demuestra que: t e + ne (3) de donde tenemos la roedad: Tambén tenemos que: e l ne R (4) t t Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares 4 Y ( ( ) ( Y Y ) R Y Cov(, Y ) ) (5) Una roedad mortante de los estmadores a y b, es que s los errores o resduos de las estmacones, ε ι : ε Y Y ), (6) ( ( ) tene una dstrbucón normal, s tomamos muestras sucesvas de la oblacón, o realzamos conjuntos ndeendentes de medcones, cada una tendrá un valor de a y b dstntos en general. Los valores a y b tendrán a su vez una dstrbucón estadístca y sus valores medos vendrán dados or <a>a y <b>b y sus desvacones estándar, o errores estándar, dadas or a y b resectvamente or: sd a a R (7)

5 y sd b < > < > a < >. (8) los errores ε ι tenen una dstrbucón normal, la varable aleatora t, defnda or: ( a < a > ) t (9) a resenta una dstrbucón t-tudent, con - grados de lbertad. Para calcular la ncerteza en la estmacón de a ( a) a artr de una muestra de tamaño, con un límte de confanza de P%, se calcula a artr de del valor t, que se obtene de la dstrbucón t-tudent con (-) grados de lbertad Probabldad_t-tudent (t<t )P% (3) se usa Ecel Mcrosoft este valor de t se calcula usando la funcón DITR.T.IV((-P), -). La ncerteza a se calcula como: sd (/ R ) a( P%) a t t a t a (3) ( ) El error en b vene dado or: b( P%) b a( P%) < >. (3) Ensayo de sgnfcacón estadístca de arámetros de un ajuste Un ensayo usual que es necesaro realzar, es el evaluar o docmar s el valor de la endente (a ) obtenda de un dado eermento, es sgnfcatvamente dstnta de otro ensayo que arrojo como resultado a A. En defntva lo que deseamos evaluar es la hótess nula # H : a A frente a la hótess H : a A. uonendo que la varable aleatora: t ( A aa ) (33) # Muchas veces formulamos una hótess con el únco objeto de rechazarla, or ejemlo s deseamos decdr s una moneda esta cargada o trucada, formulamos la hótess que la moneda en buena. Estas hótess se denomnan hótess nula 8 y se desgna con H. La máma robabldad con que deseamos rechazar una hótess cuando debó se acetada (Error to I), se llama nvel de sgnfcacón y se desgna con α. Valores frecuentes de α son.5 (5%) o. (%). Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares 5

6 tene un dstrbucón t-tudent con - grados de lbertad, s deseamos docmar H frente a H con un nvel de confanza de P%, evaluamos el corresondente coefcente de confanza t, dada or relacón (3). De modo tal que s: a t a < A < a t (34) a acetamos H, en caso contraro, la msma debe ser desechada. En artcular, s deseamos falsear (evaluar s es osble desechar o no) la hótess H : a, deseamos calcular la robabldad, P, que el valor efectvamente encontrado de la endente (a ) sea consstente con la hótess H : a, vne dada or: a P Dst. t, (34) a Donde la robabldad se calcula usando la dstrbucón usada es la t-tudent con (-) grados de lbertad. se usa Ecel Mcrosoft este valor se calcula usando la funcón DITR.T (a / a ; -, ), este últmo argumento () esta asocado al hecho que se usan las dos colas de la dstrbucón. Claramente, cuanto más cercana a cero sea esta robabldad, mayor será la confanza que tendremos en que la varable ndeendente ( en nuestro caso) es relevante ara elcar la varacón de la varable deendente Y, y mayor es nuestra confanza en que la hótess H : a es la correcta. Estas deas ueden generalzarse aún ara el caso no lneal. De este modo, ara evaluar s un dado arámetro b, es relevante o no ara elcar los datos, o sea s debe o no nclurse en el modelo, un crtero es calcular su robabldad usando la dstrbucón DITR.T (b / b ; -ν, ν ), sendo ν número grados de lbertad y verfcando s su valor suera un nvel de sgnfcacón α revamente establecdo, or ejemlo α5%. Bandas de redccón de valores Muchas veces, el objeto de un ajuste, el obtener los arámetros del modelo con el objeto de realzar erdcones o royeccones de una varable deendente, Y, ara nuevos valores de la varable ndeendente,. En otras alabras, queremos realzar redccones con nuestro modelo. Para estmar la ncerteza asocada a una royeccón de un nuevo valor, calculado ara un valor no meddo, obtendo usando la recta de regresón Y a. +b, con un límte de confanza de P% tenemos dos casos dstntos: a) estmacón de la robabldad que un valor ndvdual de una muestra, asocada al valor de caga con robabldad P% entre Y( ) - Y estm y Y( ) + Y estm. Y estm ( ) t t t sd a ( ) ( + + ( ) /( )) ( + + ( ) /( )) + ( Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares 6 ). (35)

7 b) estmacón de la robabldad que un valor medo de los valores una muestra, asocada al valor de caga con robabldad P% entre Y( ) - Y estm_meda y Y( ) + Y estm_meda. Y estm _ meda ( ) t t t sd a ( ) ( + ( ) /( )) ( + ( ) /( )) + ( ). (36) Es usual ndcar las bandas de los ntervalos de confanza dadas or (36) como las bandas de confanza. Tambén se utlzan las bandas determnadas or (35) y usualmente se las desgna como bandas de redccón. Para cada ordenada, los valores de Y( ) defnen dos curvas: y()+ Y( o ) y y()- Y( o ) entre las cuales encontraremos el P% de los datos observados. Estas bandas defnen los límtes de confanza de P% ara las redccones de Y. Ver fgura. ormaldad de una dstrbucón estadístca ormaldad de los resduos o erturbacones: En muchos de las seccones anterores, suusmos que los errores de las estmacones o resduos ε, EC. 6, tenían una dstrbucón normal. Para evaluar en un dado caso de nterés s esta hótess se cumle, se ueden realzar varos "test de normaldad." Tal vez el más smle y drecto consste en construr un hstograma de los resduos y calcular los rmeros momentos de la dstrbucón de ε, m k.k,,3, el hstograma de los resduos emírcos, tene forma de camana arecda a la de la dstrbucón ormal (m,σ), sendo mm y σ m -m. Entonces tenemos una rmera ndcacón, muy cualtatva, una dstrbucón normal. Un crtero algo más cuanttatvo consste en construr un hstograma de las robabldades emírcas acumulas y reresentarlo en escala Probablstca. En esta escala una dstrbucón normal tendría una tendenca lneal. Fgura 3. Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares 7

8 y Dserson%4% - a_ft.3b_ft.3 - R.9- L.C.% Y_snt DY_snt Fgura.- Reresentacón gráfca de un conjunto de datos eermentales (,Y ). Las bandas laterales reresentan los lmtes de confanza de 95% (bandas de confanza).. Prob. Cumulatva Cuentas 5-5 ε 5 Fgura 3.- Hstograma de los resduos ε (Ec. 6). En el cuadro sueror tenemos la dstrbucón acumulada del hstograma en funcón del los valores de ε. La escala vertcal es Probablstca, de modo que una dstrbucón normal acumulada daría una línea recta en estas escala. En el cuadro nferor se muestra la dstrbucón emírca de los resduos (barras) junto con la curva normal de gual meda m y desvacón estándar que la emírca. Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares 8

9 Un crtero más cuanttatvo es el de Jarque-Bera, ara ello debemos calcular los coefcentes de asmetría Asm y la Curtoss (Auntamento) defndas or: y m Asm (37) m 3 3/ m Curtoss (38) m Para una dstrbucón normal, la Asmetría (y todos los momentos mares) son cero y la Curtoss es gual a 3. Defnmos el coefcente JB como: 4 ( Curtoss ) ( JB) JB datos Asm ν (39) la dstrbucón de ε es normal, estos coefcentes tene una dstrbucón estadístca asmtotca Ch-cuadrado con ν grados de lbertad. Es claro que ara una dstrbucón normal, el arámetro JB. La robabldad, de que sendo normal la dstrbucón de resduos emírcos, el valor de JB tenga un valor fnto, vendrá dad or: P( JB) ν ( ) d DITR.CHI(JB, ) (4) JB Así s trabajamos con un límte de sgnfcacón α5%, s JB>6 debemos rechazar la hótess de que los resduos ε están normalmente dstrbudos. En Ecel, esta robabldad se calcula con la funcón DITR.CHI(JB,ν). Caso de datos con error en las dos varables Caso de Error en ambas varables: En general las técncas estadístcas ara consderar estos casos es motvo dscusón entre los dstntos autores y eertos en este tema. Aquí roonemos un esquema aromado, basado fundamentalmente en las ref.4-6. las medcones (,y ) tene errores: y y recetvamente. Defnmos los factores de eso ara cada unto como: / σ (4) donde: σ a + y. (4) En general s los factores de onderacón de la varable e y son w y w y, resectvamente, entonces: w, wy, w (43) a w + w y,, Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares 9

10 donde a es la endente de la recta de regresón, ec.(5). El roblema es que ara determnar a debemos de resolver el roblema de regresón. Para ello necestamos los factores de eso, que a su vez deenden de a. Para resolver este roblema odemos roceder de modo teratvo. Usamos como onderacón ncal solo los valores de w y (/ y ), Con estos coefcentes, usando (5) obtenemos el valor de a, con este valor calculamos los esos w usando (4) determnamos de nuevo los coefcentes w y a artr de la ec.(5) los nuevos coefcentes a. Iterando hasta que los sucesvos valores de a no camben, se obtenen los arámetros de la regresón lneal buscada, o sea la regresón lneal ara el caso de datos con errores en las dos varables. Estas deas ueden etenderse al caso no lneal, en que la funcón f(;a,b,c,...) cuyos arámetros, a, b, c,... se buscan determnar, deende de un modo no lneal de. En este caso la generalzacón de (4) conduce al conceto de error efectvo 6 : df σ + y. (44) d Análogamente, la eresón (4) ara los esos o onderacón se uede generalzar en: w w, w y, ( df d) w + w y,,. (45) Bblografía. P. Bevngton and D. K. Robnson, Data reducton and error analyss for the hyscal scences, nd ed. (McGraw Hll, ew York, 993).. tuardt L. Meyer, Data analyss for scentsts and engneers (John lley & ons, Inc., ew York, 975). 3. D. C. Bard, Eermentacón, ª ed. (Prentce-Hall Hsanoamercana.A., Méco, 99). 4. J. Hgbe, Uncertanty n the lnear regresson sloe Am. J. Phys. 59, 84 (99) 5. J. Orear, Least squares when both varables have uncertantes, Am. J. Phys. bd., 5, 9 (98). 6. mle method for fttng data when both varables have uncertantes D. Barker and L.M. Dana Am. J. Phys. 4, 4 (974). 7. Lnear least-squares fts wth errors n both coordnates. II: Comments on arameter varances - B. Cameron Reed - Am. J. Phys., Vol. 6, o., Estadístca M. egel McGraw Hll da. Ed. Bogotá 997 Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares

11 Aéndce Funcones de Ecel Includas en la lanlla de cálculo de Ecel error_sgk.ls, en el módulo Regresson_sg, escrto en Vsual Basc for Alcaton se defneron las funcones que se descrben a contnuacón y que fueron defndas en el teto de esta ntroduccón. En dchos rogramas las dmensones de los vectores son de 3, s se trabaja con vectores de dmensones mayores, se deben modfcar dchos rogramas. A estas funcones se accede a través del botón egar funcones, seccón: defndas or el usuaro. se desea ver el códgo en Vsual Basc, el menú de herramentas de Ecel, elegr Macro: edtor de Vsual Basc. La mayoría de las funcones tene ncluda la ocón Mode que se defne a contnuacón: mode o eght w mode eght w / Y ι mode3 eght w /Abs(Y ι ) mode4 eght w / Y ι mode 5 eght w abs( Y ι ) w (A) En general suonemos que los datos son resultados de medcones reresentados or las ternas (,Y, y ) las cuaternas (,Y, y, ), donde los datos reresentan la varable ndeendente, reresentados genércamente or el vector dat. Las errores asocados a la varable ndeendente, vene dados or los valores, genércamente reresentado or el vector D_dat. De modo análogo se defnen datos Y que reresentan la varable deendente, reresentados genércamente or el vector Ydat. Las errores asocados a esta varable deendente, los desgnamos y, genércamente los reresentamos or el vector DY_dat. Usando estas convencones defnmos las sguentes funcones: a_lft(dat, Ydat, DYdat, mode) Pendente de la recta de regresón ec.(5): ( Y ) ( ) ( Y ) Cov( ( ) ( ) Y ) a _ Lft a (A) Cuando todos los datos tenen gual eso, esta funcón concde con la funcón endente de Ecel. b_lft(dat, Ydat, DYdat, mode) Ordenada en el orgen de la recta de regresón ec.(6): b _ Lft b < Y > a < > (A3) Cuando todos los datos tenen gual eso, esta funcón concde con la funcón Inteseccón.eje de Ecel. Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares

12 Da_Lft(dat, Ydat, DYdat, mode) Error en la endente de la recta de regresón ec.(5) y (9): a Da _ Lft ( ) sd (A5) Db_Lft(dat, Ydat, DYdat, mode) Error en la endente de la recta de regresón ec.(6) y (3): b Db _ Lft b a < > (A6) Prom_esado_n(Ydat, DYdat, nn, mode) n w n Pr om _ esado _ n( ) < > (A7) Varanza(Ydat, DYdat, mode) w Y Y ( ) Varanza( Y ) (A8) ( ) Cuando todos los datos tenen gual eso, esta funcón concde con la funcón var de Ecel. Y_corr (Ydat, Yft, DYdat, mode) n Y _ corr w (A9) n ( ) Y y y( ) Y Cuando todos los datos tenen gual eso, esta funcón concde con la funcón error.tco.y de Ecel. Ynm (Ydat, dat, DYdat, nn, mm, mode) n m ( y ) w Ynm (A) Prom_esado_n(Ydat, DYdat, nn, mode) n m w ( y ) Ynm (A) Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares

13 R_ln (dat, Ydat, DYdat, mode) R < Y > < Y >< > Y _ ln. (A) Y Y Cuando todos los datos tenen gual eso, esta funcón concde con la funcón Coefcente.de.correl de Ecel. regress_(ydat, Yft, DYdat, mode) ( ( )) _ w Y Y regress R ( < Y > < Y > ) (A3) Cuando todos los datos tenen gual eso, esta funcón concde con la funcón Coefcente.R de Ecel. Functon Ch_un (Ydat, Yft, DYdat, mode, aram) w ( Y Y( )) Ch _ u (A4) _ aram Ch_tot (Ydat, Yft, DYdat, mode) w ( Y Y ( )) Ch _ tot (A5) Covar_Y (_datos,y_datos, DY_dat, mode) Cor _ Y Cov( Y, ) Ynm (Ydat, dat, DYdat, nn, mm, mode) w ( ) ( Y Y ) < Y > < Y >< >, (A6) Ynm w n Y m < Y n m >, (A7) Dy_lm_confanza(_new, t, dat, Ydat, DYdat, mode) sd ( ) Dy_ lm _confanza(, t,, Y, Y, Mode) t +, (A8) dy_estma_meda(_new, t,ch_n,, _bar,var()) ( ) dy_estma _ meda(, t,,,, Var( )) t +, (A9) dy_estmacon(_new, t,ch_n,, _bar,var()) Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares 3

14 dy_estmacon(, t, ( ),,, Var( )) t + + ( ), (A) lo_d(dat, Ydat, _dat) Y ) lo _d a (A) lo_d(dat, Ydat, y_dat, _dat) ( Y ) ( ) ( Y ) Cov( ( ) ( ) ( Y ) ( ) ( Y ) ( ) ( ) lo _ d a (A) La rutna que calcula la endente en esta caso, realza teracones, varando los esos w, como las descrtas en el teto. Físca re-creatva -. Gl y E. Rodríguez - Buenos Ares 4