CALIBRACIÓN AUTOMÁTICA DE PARÁMETROS EMPÍRICOS ASOCIADOS A FUNCIONES NO LINEALES

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1 CALIBRACIÓN AUTOMÁTICA DE PARÁMETROS EMPÍRICOS ASOCIADOS A FUNCIONES NO LINEALES Andrés Alcolea 1 & Germán A. Galarza 3 Resumen - El problema nverso en drología subterránea consste en la estmacón de los parámetros de un modelo, a partr de las respuestas del sstema (nveles, concentracones, etc.) y de nformacón preva sobre los propos parámetros, tanto físcos (conductvdad dráulca, almacenamento específco, etc.) como empírcos asocados a alguna funcón no lneal, tambén empírca, que controla la evolucón de los parámetros físcos en funcón de la varable de estado. Su uso es poco frecuente en la modelacón de procesos en la zona no saturada. El nconvenente se alla en el elevado grado de ncertdumbre que presentan estos parámetros empírcos (que, en la mayoría de los casos, controlan sobremanera la respuesta del modelo), así como en la dfcultad ntrínseca del problema matemátco. En este trabajo se presenta una metodología de aplcacón del problema nverso a casos complejos, referentes a la modelacón en zona no saturada. Así, en la prmera parte del presente trabajo se desarrolla la formulacón matemátca relatva al problema, para presentar en la segunda, a modo de ejemplo, los resultados obtendos por aplcacón de la metodología a un problema sntétco. Los msmos muestran las capacdades del método y el algortmo empleados. Palabras clave - Flujo No Saturado, Problema Inverso, Van Genucten. 1.- INTRODUCCIÓN Las ecuacones que gobernan la resolucón de problemas de flujo de agua en 1 Escuela Técnca Superor de Ingenería de Camnos, Canales y Puertos de Barcelona (ETSICCPB), Unversdad Poltécnca de Cataluña, Barcelona, España., Campus Norte UPC, Barcelona, España, e-mal:,andres.alcolea@ upc.es, Teléfono: , Fax: Escuela Colombana de Ingenería, Autopsta Norte, km. 13, Santa Fé, Bogotá, Colomba., e-mal: ggalarza@escuelang.edu.co, Teléfono: Ext 78, Fax: st Jont World Congress on Groundwater 1

2 medo poroso pueden presentar dstntos tpos de no lnealdad. Por ejemplo, en medo saturado y acuífero lbre, la transmsvdad es proporconal al nvel pezométrco (aproxmacón de Duput). En el caso más general, cualquer parámetro nvolucrado en dcas ecuacones puede depender de la varable de estado (ncógnta de la ecuacón). Para la descrpcón de dca dependenca se emplean dversas relacones (alguna de ellas empírca), entre los parámetros de la ecuacón y la varable de estado. Estas relacones suelen expresarse por medo de funcones no lneales. En este campo se an realzado numerosos estudos 1,,3 para ntentar obtener dstntas curvas de ajuste, tratando de reproducr la varabldad de los parámetros de las ecuacones en funcón de la varable de estado. La problemátca asocada a este tpo de funcones es la aparcón de parámetros de ajuste en sus expresones (y que, en adelante, denotaremos como empírcos), a veces sn sentdo físco alguno. Además, generalmente, el grado de ncertdumbre que presentan es elevado y controla sobremanera la evolucón de la varable de estado. Este ndeseado efecto puede dar lugar, en ocasones, a graves errores en la predccón del modelo. Así, resulta útl dsponer de una erramenta capaz de proporconar una buena estmacón de este tpo de parámetros (necesaramente de forma automátca), a partr de datos sobre la respuesta del sstema real (en este caso, nveles pezométrcos) y, s es posble, sobre los parámetros del modelo, ben sean dráulcos, como conductvdad dráulca, almacenamento específco, etc, o empírcos de las funcones no lneales. Con este propósto, entre otros, se a actualzado un códgo de elementos fntos 4 que, orgnalmente, sólo permtía la estmacón de parámetros dráulcos. El problema general, descrto anterormente, consta de dos partes ben dferencadas. La prmera de ellas, conocda como problema drecto o smulacón, consste en la resolucón numérca del problema físco (esto es, la obtencón de la varable de estado). Sobre ella trata la prmera parte del presente trabajo, s ben se encuentra amplamente documentada en la lteratura especalzada 4,5,6. La segunda, conocda como problema nverso, consste en la estmacón propamente dca de los parámetros ncertos, medante aplcacón de un método de optmzacón. La formulacón utlzada se descrbe amplamente en la segunda seccón del documento..- FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DIRECTO La erramenta más recurrda para estudar el movmento del agua a través de medos porosos es la ley de Darcy (1856). Esta ley establece que el flujo de agua entre dos puntos, en un medo saturado, es proporconal al gradente de nvel pezométrco 1 st Jont World Congress on Groundwater

3 que exste entre ellos. En forma vectoral, puede escrbrse como: q = K (1) donde q [LT 1 ] es el flujo volumétrco de agua (comúnmente velocdad de Darcy), K [LT 1 ] es el tensor de conductvdad dráulca del medo y [L] es el nvel pezométrco, cuyo sgnfcado físco es potencal de energía por undad de peso de fludo. Este térmno se puede expresar en funcón de sus componentes: la gravtatora o de poscón (z) y la de presón (p/ρg), sendo z [L] la altura sobre un nvel de referenca, p [FL - ] la presón actuante en el fludo, ρ [ML -3 ] la densdad de éste y g la aceleracón de la gravedad. Por otra parte, la ecuacón de conservacón de masa establece el balance de fludo sobre un volumen de control (suponendo densdad constante), en un nstante dado como 7 : θ t = q + q r () en la que θ [-] representa el contendo volumétrco de agua, q r [T -1 ] engloba los térmnos fuente/sumdero y t [T] denota tempo. Combnando las expresones anterores, se obtene la llamada ecuacón de flujo: θ = t [ K ] + q r Como se esbozó en la ntroduccón, es conocdo que la conductvdad dráulca depende del grado de saturacón, por lo que, en el ámbto de la modelacón en zona no saturada, se suele escrbr como el producto de dos componentes: (3) 1 st Jont World Congress on Groundwater 3

4 (K) j = (K) j sat K r (S w ) (4) S w = θ φ (5) donde φ [-] denota porosdad, K s es el tensor de conductvdad dráulca correspondente al estado de saturacón y K r es una funcón no lneal, que depende del grado de saturacón S w. Resulta convenente defnr succón como: ψ = p ρg (6) Aplcando las expresones anterores, junto con la regla de la cadena a la ecuacón (3) se obtene: S w φ ψ + S w φ ψ ψ t = [ (S w ) ( ψ + z) ] + q r K (7) Por otra parte, la varacón del contendo volumétrco de agua en el sstema (3), se produce por dos fenómenos dstntos: en prmer lugar, por deformacón elástca del medo, ben sea ésta por varacón de porosdad (cambos en la presón ocasonan modfcacones en la estructura del medo) o por efecto de la compresbldad del fludo (varacones de densdad). En segundo lugar, evdentemente, por entradas/saldas de fludo en el medo. Dado que se a supuesto nula la varacón de la densdad, el cambo en el contendo volumétrco de agua se puede expresar en funcón del almacenamento específco S s, defndo como el volumen de fludo lberado o absorbdo por undad de volumen de acuífero, cuando se produce una varacón untara en el nvel pezométrco: S s = φ ψ (8) De esta forma, la ecuacón (7) se transforma en: 1 st Jont World Congress on Groundwater 4

5 S w φ + S w S s ψ ψ t = [ ( ψ + z) ] + q r K (9) La resolucón analítca de la ecuacón anteror no es posble más que en unos pocos casos sencllos, debendo recurrr a técncas de resolucón numérca. En este caso, se realza una dscretzacón del modelo, separadamente en el espaco y en el tempo. En el espaco se dscretza medante elementos fntos, mentras que el tratamento temporal se realza según dferencas fntas ponderadas. Tras algunas manpulacones, la ecuacón anteror adquere la expresón sguente 6, 7, 8. k+ 1 k k+ ε k+θ k+ε ψ ψ k+θ A( ψ ) ψ + D( ψ ) = b t (10) donde A y D son matrces que dependen de la forma de los elementos, de los parámetros de flujo (conductvdad dráulca y almacenamento específco respectvamente) y del vector varable de estado ψ a través de las funcones no lneales; b es un vector que engloba los térmnos fuente/sumdero, además de las condcones de contorno del modelo. En la expresón anteror, la ponderacón temporal de la varable de estado se realza medante el escalar θ, mentras que las matrces A y D se evalúan con el valor de la msma en el tempo k+ε. El método utlzado para la resolucón de la ecuacón (10) es el de Newton- Rapson completo pues, de este modo, la matrz de coefcentes relatva a la solucón de los problemas drecto e nverso concde. No obstante, caso de resolverse úncamente el problema drecto, pueden usarse otras aproxmacones, menos sofstcadas, como las del método de Newton-Rapson modfcado, el método de Pcard, etc. En defntva, se trata de allar un vector de ncógntas ψ, de forma que la funcón vectoral de error f se anule, según la expresón sguente: k+ 1 k k + ε k +ε k +θ k+ε ψ ψ k+θ f ( ψ ) = A( ψ ) ψ + D( ψ ) b = t 0 (11) El sstema de ecuacones anteror se resuelve de forma teratva, asta consegur 1 st Jont World Congress on Groundwater 5

6 que la funcón vectoral de error (11), sea lo sufcentemente pequeña. Se toma dca decsón en funcón de una sere de tolerancas de convergenca. 3.- PROBLEMA INVERSO. FORMULACIÓN El problema nverso consste en obtener el mejor estmador de los parámetros de la ecuacón que representa el sstema físco, utlzando nformacón preva sobre los msmos (obtenda, por ejemplo, medante ensayos de laboratoro, documentacón al respecto o por experenca preva), su estructura de correlacón y sobre la propa varable de estado. El problema nverso en el contexto de las aguas subterráneas, consste en la estmacón de los parámetros de un acuífero (ben sean estos físcos, tales como conductvdad dráulca, almacenamento específco, etc., o empírcos asocados a funcones no lneales), a partr de meddas drectas de los msmos y de varables dependentes de los msmos, tales como nveles, concentracones, etc. Exsten dversas formulacones del problema nverso 9, 10, 11. En lo que sgue, se adopta la basada en el método estadístco de la Máxma Verosmltud, ncluyendo nformacón preva sobre los parámetros del modelo 1. Por complettud, en este apartado se presentan las característcas báscas de dca formulacón. Para un mayor nvel de detalle, se puede consultar la bblografía especfcada. La verosmltud L(p z * ) de una pótess sobre los valores de los parámetros p, dados los datos z * = ( *, p * ) ( * denota el conjunto de datos de nveles pezométrcos, mentras p * denota los referentes a los parámetros del modelo) y una estructura del modelo prefjada, se defne como proporconal a f (z * p), funcón de densdad de probabldad de aber observado z * dados los parámetros p. Así, la estmacón empleando el método de Máxma Verosmltud consste en allar los parámetros p, de forma que L(p z * ) sea máxma. Para completar los datos, es necesaro especfcar el vector z* y la estructura de correlacón o de error entre las componentes de dco vector. En adelante, se supondrá que la estructura de dco error se aproxma por una dstrbucón mult-gaussana con meda nula, con lo que quedará perfectamente defnda medante la matrz de covaranza. Esta pótess se basa en el teorema del límte central, según el cual, la dstrbucón de un gran número de pequeños errores aleatoros (en este caso, errores de medda), se puede aproxmar medante una dstrbucón mult-gaussana. Además, la pótess de multnormaldad permte el cálculo de ntervalos de confanza de la estmacón de los parámetros y la realzacón de tests de sgnfcacón 9, s ben esto tambén puede realzarse adoptando otras dstrbucones estadístcas. 1 st Jont World Congress on Groundwater 6

7 Es convenente suponer la matrz de covaranza como: C C = σ = σ V V (1) donde C y C son las matrces de covaranza de los nveles observados y la asocada al tpo -ésmo de parámetro, respectvamente; postvas y σ y V y σ son escalares desconocdos. V son matrces conocdas y defndas Con las pótess anterores y suponendo la dstrbucón mult-gaussana antes comentada, la verosmltud de p dado z *, se expresa como: L( p z * ) = (π) N C 1 * t exp ( z z ) C 1 1 ( z z * ) (13) sendo N el número total de datos dsponbles y C la matrz de covaranza. En general, dado que las meddas de nveles y la nformacón preva sobre los parámetros no están correlaconadas, puede suponerse que la matrz C presenta la sguente estructura: C C = 0 0 C p (14) donde la matrz C p ncluye las correlacones entre todos los parámetros y es dagonal por bloques, suponendo que las estmacones prevas de los dferentes parámetros no estén correlaconadas. Hallar el máxmo de L(p z * ) es equvalente a allar el mínmo de: S = ln * ( L( p z )) Se denota como J y J las contrbucones de los nveles y de la nformacón preva asocada al -ésmo tpo de parámetro: (15) J J = ( = ( p * p ) t * ) V t 1 V ( 1 ( p * ) p * ) (16) Así, susttuyendo susttuye las expresones anterores en (15), se obtene que: J J S = + + ln + ln + n ln σ + n lnσ V V σ σ + N ln(π) (17) 1 st Jont World Congress on Groundwater 7

8 donde n es el número de datos de nveles y n el número de datos sobre el tpo de parámetro -ésmo. Suponendo conocda la estructura de correlacón (matrces C y C ), la expresón anteror se reduce a: S = J + λ J +constante (18) σ λ = (19) σ En este caso, la formulacón del problema nverso, según el método de la Máxma Verosmltud, se reduce a la mnmzacón de la expresón (18), convrténdose en un problema de optmzacón. Para ello, se a adoptado el método de Marquardt 13, 14, s ben exsten numerosas alternatvas como el método de Smulated Annealng 15, 16, métodos íbrdos 17, 18,etc. 4.- DESCRIPCIÓN DE LAS FUNCIONES NO LINEALES DE VAN GENUCHTEN Van Genucten 1 formuló, de forma empírca, dos tpos de funcones no lneales, una para la conductvdad dráulca (en funcón del grado de saturacón) y otra para el grado de saturacón (en funcón de la presón). A contnuacón se descrben dcas funcones y sus parámetros asocados. La conductvdad dráulca relatva se calcula como (recúerdese la expresón (4)): K r (S w ) = S S w max S S mn mn S 1 1 S w max S S mn mn 1 λ λ (0) donde S w es el grado de saturacón del medo, S max y S mn son las saturacones máxma y mínma, respectvamente y λ es un parámetro empírco que controla la forma más o menos abrupta de la curva. El grado de saturacón vene dado por la expresón: S w ( p) = S + ( S ) mn S max λ 1 p 1 λ 1 + mn p c (1) 1 st Jont World Congress on Groundwater 8

9 donde p c es un valor umbral de presón, conocdo como presón de entrada o de burbujeo. Esta últma representa el valor mínmo de la presón de la fase gasesosa en el medo, para que ésta penetre en los poros del msmo, desplazando así la fase fluda (nco del proceso de desaturacón) 5. En forma gráfca, podemos observar la sensbldad de ambas curvas al parámetro empírco λ donde, por comoddad, se utlza en el eje orzontal de las gráfcas la saturacón efectva, defnda como: S e S = S w max S S mn mn () Obsérvese que la últma expresón adquere valores entre 0 y 1, correspondendo el prmer valor al estado de saturacón mínma y el segundo al de saturacón máxma. 1.0E+00 PERMEABILIDAD RELATIVA [-] (log) 1.0E-0 1.0E E E E E-1 LAMBDA=0.95 LAMBDA=0.5 LAMBDA= E SATURACION EFECTIVA [-] Fgura 1. Sensbldad de la permeabldad relatva al parámetro empírco λ. Consdérese, por ejemplo, un valor de 0.95 para la saturacón específca. La permeabldad relatva del medo adquere valores de 0.85, 0.45 y para valores del parámetro específco 0.95, 0.5 y 0.1, respectvamente. Esto mplca que una reduccón del valor de λ mplca una reduccón de la permeabldad total del medo, s se mantenen nalterados el resto de condcones y parámetros. 1 st Jont World Congress on Groundwater 9

10 Consdérese aora un valor 0.1 para la saturacón específca. La succón adquere valores de unas pocas atmósferas (próxmos a la presón de entrada) para un valor elevado del parámetro empírco (0.95), mentras que la succón es muy elevada para valores nferores del msmo (0.5 y 0.1). En la fgura se observa la gran sensbldad de la varable de estado al valor del parámetro específco. 1.0E E+03 LAMBDA=0.95 LAMBDA=0.5 LAMBDA=0.1 PRESIÓN [L] (log) 1.0E E E SATURACIÓN ESPECÍFICA Fgura. Sensbldad de la curva de retencón al parámetro λ Para este tpo de funcones no lneales, el parámetro λ podría consderarse como una medda de la velocdad de saturacón del medo: un valor del parámetro próxmo a cero mplca que el medo no comenza a saturarse (succón próxma a cero) asta que el grado de saturacón es próxmo al máxmo (la saturacón efectva tende a la undad). En cambo, un valor de λ próxmo a la undad permte que el medo comence a saturarse para valores de saturacón efectva nferores. 5.- EJEMPLO La metodología descrta se aplca a la modelacón de la nfltracón de agua en una seccón de 1x0.7 de superfce (en adelante se trabajará con undades genércas y se supondrá una profunddad untara en la tercera dmensón), en estado ncal no 1 st Jont World Congress on Groundwater 10

11 saturado, con un nvel pezométrco ncal defndo por la funcón =-y, sendo y la coordenada del punto. Se consdera una condcón de contorno de nvel nulo en el borde nferor, mentras que el resto se consderan mpermeables. Por otra parte, en la seccón se produce una entrada de agua constante en el tempo, en su esquna superor zquerda, de valor 10 1 [L 3 T -1 ]. El medo está formado por dos materales, cuyos parámetros son los descrtos en la sguente tabla: Parámetro / materal Materal superor Materal nferor Cond. dr. estado saturado Almacenamento específco 1E-6 1E-6 Parám empírco λ Saturacón mínma Saturacón máxma Presón de burbujeo Porosdad Tabla 1. Parametrzacón del modelo Q=0.1 H=0 Materal 1 Materal Punto de observacón 1 st Jont World Congress on Groundwater 11

12 Fgura 3. Geometría del modelo, condcones de contorno y dstrbucón de los puntos de observacón. La dscretzacón espacal se realza medante doscentos elementos trangulares, tal y como se esboza en la fgura anteror. El ntervalo de tempos de smulacón es de 0.1 [T], sufcente para que el medo se sature (parcalmente). Los resultados de la smulacón se presentan en la fgura sguente, para el tempo ncal y uno próxmo a éste (t=0.059). CONDICION INICIAL (t=0) t=0.059 Fgura 4. Dstrbucón de nveles pezométrcos para t=0 y t= st Jont World Congress on Groundwater 1

13 En la fgura anteror se puede aprecar cual es la evolucón del nvel pezométrco (eje vertcal) en la seccón. En ella se dstngue claramente la poscón y el efecto de la nyeccón de agua. Obsérvese que, para un tempo próxmo al ncal (t=0.059), la parte del medo colndante al punto de nyeccón ya se a saturado. El propósto de este ejercco es allar una estmacón para los parámetros empírcos de las funcones no lneales que caracterzan los materales, más en partcular, para los parámetros λ, dada la alta sensbldad de la varable de estado a estos, como se comentó en el apartado anteror. La metodología empleada 19 para la calbracón de los parámetros ncertos se puede resumr en dos pasos. Prmero, a partr de la estructura del modelo antes comentada (consderada como real ), se resuelve el problema drecto o smulacón, obtenéndose el valor de la varable de estado en todos los puntos de la malla de elementos fntos (valores reales ) y, en partcular, en la red de puntos de observacón dspuesta en la Fgura 3. Dado que todo proceso de medda está sujeto a error, los valores meddos se obtenen añadendo a los reales una componente aleatora, representando el error de medda. En este caso, dco error se representa medante una dstrbucón Gaussana de meda nula y desvacón mpuesta (valores de 0.01 y 0.05) en vrtud, de nuevo, del teorema del límte central. En la sguente fgura se observa la magntud del error de medda para el punto de nyeccón, con una desvacón de NIVEL [L] TIEMPO [T] NIVEL REAL NIVEL MEDIDO ERROR DE MEDIDA Fgura 5. Evolucón del nvel calculado vs nvel meddo. Error de medda 1 st Jont World Congress on Groundwater 13

14 En el caso de estudo se dspone de un total de 500 meddas de nveles pezométrcos, correspondentes a 10 puntos de observacón y 50 tempos de medda. En cuanto a los valores ncales de los parámetros a calbrar, se toman unos muy dstntos a aquellos supuestos como reales (los que deron lugar a los nveles reales ). La desvacón estándar consderada para estos es de 0.1. Los resultados se presentan en la tabla sguente, donde se puede observar que, pese a la dspardad entre los valor reales de los parámetros y los mpuestos ncalmente, el algortmo consgue alcanzar los valores óptmos de los parámetros (bajo ambas pótess de nvel de error). Se presentan resultados bajo cuatro pótess dstntas: en prmer lugar, consderando o no nformacón preva sobre los parámetros a estmar, y cada una de éstas, bajo dos nveles dstntos de error de medda en los nveles pezométrcos. Varable/pótess σ=0.01 σ=0.05 Funcón objetvo total (fnal) Func. obj. de parámetros (fnal) Func. obj. óptma (valor esperado) Norma del gradente (fnal) Parám. ncal (zona sup.) Parám. calbrado (zona sup.) Parám. ncal (zona nf.) Parám calbrado (zona nf.) Número de teracones p. nverso 16 9 Número de teracones p. drecto Tabla. Resultados obtendos consderando nformacón preva sobre los parámetros a estmar. Varable/pótess σ=0.01 σ=0.05 Funcón objetvo total (fnal) Func. obj. óptma (valor esperado) Norma del gradente fnal) Parám. ncal (zona sup.) st Jont World Congress on Groundwater 14

15 Parám. calbrado (zona sup.) Parám. ncal (zona nf.) Parám calbrado (zona nf.) Número de teracones p. nverso Número de teracones p. drecto Tabla 3. Resultados obtendos sn consderar nformacón preva sobre los parámetros a estmar En las tablas anterores, se entende por valor óptmo de la funcón objetvo, aquel que se obtene por smulacón del modelo real, utlzando como meddas los datos perturbados (meddos) de nvel pezométrco. A contnuacón se presentan los resultados de forma gráfca, bajo la pótess supuesta en la tabla, con errores de medda correspondentes a una desvacón σ= FUNCIÓN OBJETIVO F. Obj. Óptma F. Obj. Total F. Obj. Parám NÚMERO DE ITERACIONES Fgura 6. Evolucón del valor de la funcón objetvo, en funcón del número de teracones efectuadas por el método de Marquardt. 1 st Jont World Congress on Groundwater 15

16 0.7 VALOR DEL PARÁMETRO 0.5 Lambda zona superor calb. Lambda zona superor real Lambda zona nferor calb. Lambda zona nferor real NUMERO DE ITERACIONES Fgura 7. Hstora de parámetros estmados, en funcón del número de teracones efectuadas por el método de Marquardt. Los resultados reflejan como, para el caso de estudo, el uso de la nformacón preva sobre los parámetros a estmar resulta rrelevante, eco atrbuble a que, dada la cantdad de datos de nvel pezométrco dsponbles, dca nformacón resulta nnecesara. Asmsmo, se observa como, en los cuatro casos, se consgue alcanzar un valor (fnal) muy smlar en cuanto a los parámetros a calbrar. Además, la caldad de la calbracón puede contrastarse medante la comparacón de los nveles meddos con los calculados tras el proceso de calbracón. Se presenta a contnuacón una de estas gráfcas, obtenda bajo la pótess de nformacón preva y error de medda de nveles pezométrcos correspondente a una desvacón de 0.05, así como una tabla resumen con nformacón sobre los errores (tras la calbracón) en los puntos de observacón para dca pótess. 1 st Jont World Congress on Groundwater 16

17 mín máx (1/n) mín máx (1/n) σ σ (- * ) (- * ) (- * ) - * - * - * (abs.) P P P P P P P P P P Tabla 4. Errores (tras la calbracón) en los puntos de observacón, bajo la pótess de exstenca de nformacón preva sobre los parámetros a calbrar y un error de medda correspondente a una desvacón de Se presentan, de zquerda a dereca, el mínmo y máxmo error cometdo en cada uno de los puntos de observacón, el error medo por pozo y su desvacón (se repten los msmos cálculos, pero en valor absoluto). 1 st Jont World Congress on Groundwater 17

18 NIVEL [L] NIVEL CALCULADO NIVEL MEDIDO ERROR -0.3 TIEMPO [T] Fgura 8. Errores de calbracón para un punto de observacón 6.- CONCLUSIONES Se a presentado una metodología para la estmacón de parámetros empírcos asocados a funcones a no lneales, medante el empleo del método estadístco de Máxma Verosmltud, ncluyendo nformacón a pror sobre los parámetros a estmar. Este método termna reducéndose a la mnmzacón de la llamada funcón objetvo, operacón realzada medante el método de Marquardt (mnmzacón sn restrccones). Se aplca dca metodología a la estmacón de los parámetros empírcos que aparecen en las funcones no lneales formuladas por Van Genucten. Tras analzar las respuestas del modelo, resulta evdente la elevada sensbldad de la respuesta del msmo al valor de dcos parámetros y, por tanto, el uso de una estmacón adecuada de dcos valores resulta crucal en la modelacón en zona no saturada. Como lustran los resultados anterormente expuestos, la metodología se muestra válda para la obtencón de dcas estmacones. No obstante, y debdo al uso de un método de mnmzacón sn restrccones, pueden obtenerse valores sn sentdo (n físco n matemátco) para alguno de estos parámetros. Así, una posble respuesta frente a la calbracón de un grado de saturacón puede ser un valor mayor que la undad. Resulta pues necesaro, el uso de algortmos de mnmzacón con restrccones, así como el desarrollo de nuevas técncas de optmzacón a tal efecto. 1 st Jont World Congress on Groundwater 18

19 AGRADECIMIENTOS El trabajo del prmero de los autores fue fnancado por ENRESA. Asmsmo, ambos dejan constanca expresa de su grattud al Dr. Agustín Medna. REFERENCIAS [1] M. T. Van Genucten & D. R. Nelsen, On descrbng and predctng te ydraulc propertes of unsaturated sols, Ann. Geopys., 3, (1985). [] P. Broadbrdge & I. Wte, Constant rate ranfall nfltraton: a versatle nonlnear model. 1. Analytc soluton. Water resources researc, 4 (1), (1988). [3] W.J. Rawls & D.L. Brakensek, Estmaton of sol water retenton and ydraulc propertes, de Unsaturated Flow n Hydrologc Modellng. Teory and practce, Kluwer Academc Publsers, (1989). [4] G. Galarza, A. Medna & J. Carrera, Transn III. Fortran code for solvng te coupled non-lnear flow and transport nverse problem. User s gude, de El Berrocal Project. Topcal Reports, ENRESA, (1996). [5] G.F. Pnder & W.G. Gray, Fnte element smulaton n surface and subsurface ydrology. Academc Press, Inc. (1977) [6] G. Galarza, Calbracón automátca de parámetros en problemas no lneales de flujo y transporte. Tess Doctoral, ETSICCPB-UPC, (1993) [7] J. Bear, Dynamcs of fluds n porous meda, Dover Publcatons (197). [8] P.S. Huyakorn & G.F. Pnder, Computatonal metods n subsurface flow. Academc Press, Inc. (1983) [9] S. Fnsterle & J. Najta, Robust estmaton of ydrogeologc model parameters, Water Resources Researc, Vol. 34 (11), pp (1998). [10] A. Medna, Estmacón conjunta de parámetros de las ecuacones de flujo y transporte, Tess Doctoral, ETSICCPB-UPC, (1993) [11] J. Carrera & S.P. Neuman, El problema nverso de la drología subterranea. Estado del arte y método de solucón, Revsta nternaconal de métodos numércos para cálculo y dseño en ngenería, (1), 3-5 (1986). [1] J. Carrera & S.P. Neuman, Estmaton of aqufer parameters under Transent and Steady State Condtons, I. Maxmum Lkelood Metod Incorporatng Pror Informaton. Water Resources Researc, Vol., No., (1986) 11-7 [13] Marquardt, D. W. An algortm for least squares estmaton of nonlnear parameters. Journal of SIAM, Vol. 11,, (1963). 1 st Jont World Congress on Groundwater 19

20 [14] Alcolea, A. Método íbrdo entre Marquardt y Smulated Annealng para la resolucón del problema nverso. Aplcacón a Hdrología Subterránea. ETSICCPB-UPC, (1999) [15] van Laaroven, P. J. M. & Aarts, E. H. L., Smulated Annealng; Teory and Applcatons, Kluwer Academc Publsers, (1987). [16] Deutsc, C.V. Condtonng reservor models to well test nformaton, GeoenvI- Geostatstcs for envronmental Applcatons, Kluwer Academc Publsers, Vol, (1996), [17] Alcolea, A., Medna, A. & Carrera, J. A ybrd Marquardt-Smulated Annealng metod for solvng te groundwater nverse problem., publcado provsonalmente en Preproceedngs del Congreso Model-Care 99. Calbraton and relablty n groundwater modellng, Vol I, (1999), Aceptado para la versón fnal, en preparacón. [18] Renyuan, T. et al., Combned strategy of Improved Smulated Annealng and Genetc algortm for Inverse Problem, IEEE Transactons on Magnetcs, 3 (1), (199). [19] Alcolea, A., Medna, A. Estmacón de parámetros específcos asocados a funcones no lneales, Proceedngs del Congreso Internaconal de Métodos Numércos en Ingenería. Publcacón en CD-ROM. 1 st Jont World Congress on Groundwater 0