TRANSFERENCIA DE CALOR FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS UANL DR. JORGE IBARRA RDZ.

Transcripción

1 RANSFERENCIA DE CALOR FACULAD DE CIENCIAS QUÍMICAS UANL DR. JORGE IBARRA RDZ.

2 ransferenca de Calor El concepto de Operacones untaras fue acuñado en 93, como una apromacón a las separacones físcas (destlacón, evaporacón, secado, etc.. Conlleva la dea de que esten smltudes en los fundamentos y equpo utlzado sn mportar el proceso del cual se trate. Debdo a esto, los fenómenos de transporte se estudan a nvel lcencatura por ser la base y prncpos que se llevan a cabo en dchos procesos. Fenómenos de ransporte ransferenca de calor ransferenca de masa ransferenca de momento

3 ransferenca de Calor Procesos de equlbro: La termodnámca trata báscamente con sstemas en equlbro, además de haber dferentes tpos de equlbro. Velocdad de proceso: Cuando se consderan sstemas que no están en equlbro, el sstema avanza de un modo tal que se aproma al equlbro. Esta velocdad está caracterzada por una fuerza mpulsora. La velocdad de transporte es proporconal a la fuerza mpulsora. Varables fundamentales: emperatura: Puede ser defnda sólo empírcamente como una medda relatva del calor. Se manfesta en el movmento de las moléculas. Presón: Es el resultado de la colsón de las moléculas adyacentes de un fludo. (F/A

4 ransferenca de Calor Volumen: Espaco ocupado por un cuerpo. Concentracón: Cantdad de matera dentro de un espaco o volumen dado. Se utlza usualmente en moles o masa por volumen. Esfuerzo de corte t: Es una fuerza ejercda por undad de área con componentes en todas las dreccones, por lo que se provoca un rozamento entre capas adyacentes de matera. Flu: Es una cantdad de algo medda por undad de área y undad de tempo. (Razón de transferenca. Fases. Undades.

5 ransferenca de Calor ransferenca de Calor El punto de partda para el análss de los problemas de C es la ª ley de la termodnámca. Cuando se trata con la conveccón tambén debe nvolucrarse la ley de la conservacón de la masa y la ª ley del movmento de Newton. En el análss de C se busca calcular la temperatura en un punto dado, la dstrbucón de temperaturas a lo largo de una frontera o regón o la razón de transferenca de calor. Así pues, las leyes físcas para el análss de C: ª Ley de la ermodnámca Conservacón de la matera ª Ley del movmento de Newton

6 ransferenca de Calor CONDUCCIÓN El más puro ejemplo de transporte molecular es la conduccón de calor desde una regón de alta temperatura a una de baja temperatura por una barra metálca. Desde el punto de vsta ngenerl, la fuerza conductora de la transferenca de calor es la dferenca de temperaturas. ANALOGÍA Se puede formular una ecuacón general de velocdad como: V=FC/R V= Velocdad de ransferenca FC= Fuerza conductora R= Resstenca

7 ransferenca de Calor Mecansmos para la conduccón: Interaccón molecular drecta Electrones lbres La ecuacón de Fourer se epresa usando la relacón de analogía: q A k q = razón de flujo de calor en la dreccón A= área normal al flujo d/d = gradente de temperatura en la dreccón k = Conductvdad térmca q

8 ransferenca de Calor CONVECCIÓN Esta forma de transferenca nvolucra ntercambo de energía entre un fludo y una superfce o nterfase. Este la conveccón lbre y la conveccón forzada. Conveccón forzada: Se oblga al fludo a moverse sobre una superfce con un agente eterno. Conveccón lbre: El fludo se mueve como consecuenca de los cambos de densdad debdos a dferencas en temperatura sobre dferentes regones. Ecuacón de transferenca de calor por conveccón: q ha( s f q = Flujo de transferenca de calor convectvo A = área normal a la dreccón de flujo s-f = Fuerza motrz h = coefcente convectvo de transferenca de calor

9 ransferenca de Calor RADIACIÓN No requere de un medo para propagarse. Se trata de un fenómeno electromagnétco, cuyo orgen o naturaleza se desconoce aún con eacttud. La ecuacón de calor para un cuerpo negro es: q A 4 q = emsón radante de energía A = área de la superfce emsva = temperatura absoluta de la superfce emsva = constante de Stefan-Boltzmann W/(m K 4

10 ransferenca de Calor ransferenca de Calor (K Perfl de temperaturas Cu (K t = t 0 (m Vapor Cu Helo t = t Edo. nestable (m (K Vapor Cu Helo t = t (m (K Vapor Cu Helo t = Edo. estable (m

11 ransferenca de Calor Se transfere calor desde el vapor hasta el helo que se funde. En estado estable, este calor transferdo por undad de área y tempo (flujo calorífco es drectamente proporconal a la dferenca de temperaturas e nversamente proporconal a la dstanca (gradente de temperaturas / : q k ª ley de Fourer A q = Calor transferdo por undad de tempo J/s A = Área m k = Conductvdad térmca W/(mK S se desea hacer la analogía V = q R = /(ka FC =

12 ransferenca de Calor En la forma matemátca de la analogía se puede escrbr: Ecuacón de la razón de transferenca undmensonal Ψ = Razón de transferenca de lo que se transfera en la dreccón por undad de tempo y área. = constante de proporconaldad ψ/ = dervada o gradente de la propedad ψ ψ = concentracón de lo transferdo (undades transferdas/undad de volumen

13 ransferenca de Calor Para la ª Ley de Fourer: q es la cantdad transferda (J/s. Por tanto, ψ debe tener undades de J/m 3. La capacdad calorífca c p es la propedad que se asoca con el contendo de calor de un cuerpo (J kg - K -. Por tanto, c p tene undades J/kg. Debe nclurse entonces la densdad (kg/m 3 para convertr el térmno en undades J/m 3.

14 ransferenca de Calor El térmno c p es la concentracón de calor, así que se llega a la forma análoga multplcando el lado derecho de la ecn. de Fourer por c p /c p ( c c q A k c p p El térmno k/(c p se representa por (m /s y se conoce como la dfusvdad térmca: =k/(c p p La epresón completa para el flujo de calor es: q A k ª ley de Fourer q = Vector de flujo de calor (flu calorífco = gradente espacal de temperatura

15 EJEMPLO ransferenca de Calor Calcular el flujo de calor en estado estable a través de un bloque de cobre de 0 cm de grosor. Uno de los lados se mantene a 0ºC y el otro a 00ºC. La conductvdad térmca es de 380 W/m K y se supone constante. =0ºC=73 K (q/a =00ºC=373 K 0 0 cm Separando las varables en la ª ley de Fourer se obtene: q A d k 00K dt 0cm 0.m q A q A ( k( 9.cal cm s q A (380( W m

16 EJEMPLO ransferenca de Calor Se transporta vapor por medo de un tubo de acero de.5 n calbre 80 de acero suave. Las temperaturas de las paredes nteror y eteror son 05 y 95 ºF respectvamente. Hallar: Pérdda de calor en 0 ft de tubo. Flujo de calor en base a las áreas nterna y eterna. =05ºF e =95ºF qr ka d dr omando el área A = rl nos queda q r = -k(rld/dr

17 ransferenca de Calor Para estado estable: q q q r r r r e e dr kl d r r re ln kl( e r kl e re ln r kl Para el acero suave k=4.8 Btu/hr ftºf y para tubo.5 n cal. 80 D e =.9 n y D =.5 n q r (4.8 Btu hr ft º F ln (0 ft(0º F.9.5 e 6598 Btu hr Las áreas nteror y eteror son: Por lo que los flujos son: A =(.5/ ft(0 ft=3.93 ft q r /A =6598/3.93 = 6773 Btu/hr ft A e =(.9/ ft(0 ft=4.97 ft q r /A e =6598/4.98 = 336 Btu/hr ft

18 ransferenca de Calor CONDUCCIÓN La transferenca de calor por conduccón se da por mecansmos. Interaccón molecular: sóldos, líqudos y gases. Las moléculas con mayor nvel de energía ceden a moléculas menos energétcas. Electrones lbres: sóldos metálcos puros. Por la alta ectacón de electrones en la banda de conduccón. q A k ª ley de Fourer

19 ransferenca de Calor Se puede defnr la relacón de C como el producto de una fuerza motrz por una conductanca térmca (ecuacón de analogía. Conductvdad térmca k Depende del medo estudado y determna la adaptabldad de un materal al calor para un uso dado. Dependenca de k con Para gases, k aumenta con la temperatura. La mayor agtacón y vbracón de las moléculas produce una mayor cantdad de choques y, por tanto, mayor ntercambo molecular de energía.

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21 ransferenca de Calor Para un gas monoatómco (consderacón de esfera rígda k 3/ d 3 K m d=dámetro molecular k=cte. De Boltzmann m=masa por molécula Consderando la teoría de Chapman-Enskog (gas monoatómco k.9890 W 4 k / M M=Peso molecular y W k = Parámetros de Lennard-Jones

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23 ransferenca de Calor Para materales sóldos y líqudos, debdo a la densdad atómca, la conductvdad térmca es completamente ndependente de la presón y menos dependente de la temperatura. En los metales puros, hay electrones lbres que aumentan la capacdad de conduccón.

24 ransferenca de Calor EORÍA CINÉICA DE LOS GASES La teoría cnétca de los gases ntenta eplcar las propedades de los gases en base a la molécula: es la menor cantdad de sustanca que retene sus propedades químcas. Las más mportantes suposcones de la CG: La molécula es la cantdad apropada de sustanca a tratar. Las leyes de conservacón de la mecánca son váldas: conservacón de momento y energía. El comportamento del gas es descrto por el comportamento promedo de las moléculas. Las moléculas son dealzadas como esferas rígdas, elástcas y lsas, de dámetro d. Se despreca la presenca de fuerzas de largo alcance. rayecto lbre promedo: Es la dstanca promedo que vaja una molécula antes de chocar con una superfce u otra molécula (o promedo estadístco de la dstrbucón de velocdades causada por la dstrbucón de temperaturas en la muestra de moléculas de gas en un contenedor de temperatura y presón promedo.

25 ransferenca de Calor En el caso de una molécula durante un largo período de tempo t en el que recorre una dstanca L: L = U t El número de colsones en este lapso de tempo es Qt La dstanca lbre promedo l es la dstanca promedo entre colsones y L es tambén el producto de la dstanca l por el número de colsones: L = U t = l Q t despejando para l: l = U/Q omando en cuenta la concentracón molecular en mol/m 3 (número total de moléculas en el volumen total de gas: C m = C N = / m = N / M N=# de Avogadro C =Conc. otal molar =densdad (kg/m3 m=masa de una molécula (kg/molécula M=Peso molecular (kg/kmol

26 ransferenca de Calor Para un gas deal: C = n / V C m C N nn V pn R p ( R / N p k B Cualquer molécula que esté en contacto con el clndro de nfluenca será colsonada por nuestra molécula, por lo que la regón de nfluenca será un círculo de dámetro d. El número de moléculas que chocan por undad de tempo (frecuenca de colsones será: Q d UC m omando en cuenta un promedo de velocdad y ángulos de choque (90 en promedo / Q d UC U l Q / d m C m kb d p

27 ransferenca de Calor Se obtene la velocdad promedo entonces como: U 8kB m BALANCE DE RANSPORE Se asume que la varacón en la concentracón de propedad es unforme en la dreccón. Se toma entonces el flu Ψ A a través de un plano colocado en = 0. El número de moléculas que cruzan el plano por undad de tempo y área será proporconal a /6C m U. Cada una de las moléculas que cruzan el plano tene la propedad ψ m característca de la regón de donde provene. La regón o fuente se ndcará por. es del msmo orden de magntud que l (trayecto lbre promedo.

28 ransferenca de Calor Balance sobre el plano ransporte del lado zq. = /6 C m U ψ m ( La propedad ψ m es ψ m = ψ m + dψ m /d ( ransporte del lado der. = /6 C m U ψ m ( La cantdad neta de propedad transportada a través de la undad de área y tempo es gual a la resta de ψ m y ψ m Se ha establecdo como del msmo orden de magntud que l, d d U C d d U C U C m m A m m m m m A l 3 ( 6 6 d d U C m m A l 3

29 ransferenca de Calor La energía ntercambada en la colsón entre dos moléculas de masa m es del tpo traslaconal: m mv v =cuadrado de la velocdad promedo Puede demostrarse que la presón ejercda por las moléculas de un gas es: p C 3 mv Multplcando esta ecuacón por el volumen V CmV mv pv mv nn 3 3 Así que en térmnos de la constante de Boltzmann: m nn pn p p C m C N V R ( R / N k mv nn 3R 3kB N 3k B m R N B

30 ransferenca de Calor Combnando las ecuacones correspondentes obtenemos el flu calorífco q A C Ulk m d d Comparando con la ecuacón de Fourer: B 3kB C 3 Se pueden realzar operacones adconales tomando en cuenta la capacdad calorífca (mv / = mc v, por lo que mc v = 3k B / y entonces: k k 3 C mc Ul C v = capacdad calorífca a volumen constante (kj/(kg K m A m k B m Ulc v / m d Ul d Ulc 3 v m

31 ransferenca de Calor Esten teorías con un tratamento más realsta y rguroso de los gases, como la teoría del gas no unforme (Chapman-Enskog: El gas está lo sufcentemente dludo El movmento de las moléculas está descrto por la mecánca clásca Las colsones son elástcas Las fuerzas ntermoleculares no dependen del ángulo. * e / k W A * ( A.645 D C ep( D B E.678 E ep( F ( / M W C / p c 0 (0 ( w c e / kb w c B k B * * F e = energía característca de nteraccó n = dámetro característco de colsón, m k [=] W m - K - M = Peso molecular, kg/kmol = emperatura absoluta, K p c = Presón crítca (atm c = emperatura crítca (K w = Factor acéntrco k 5 c v

32 ransferenca de Calor Gases polatómcos: Se consdera que k obtenda anterormente es debda a movmento traslaconal úncamente, de modo que se suma a otras contrbucones para obtener la correlacón de Eucken y de Eucken modfcada. g = c p /c v M c M c c k M R c M R c c k p v v v p v g g g

33 ransferenca de Calor Líqudos No este aún una teoría predctva para la conductvdad a partr de nformacón fundamental, solamente apromacones sem teórcas. k.05 / M c c p pe e 4/3 e e se refere al punto de ebullcón en K, M es el peso molecular en kg/kmol y k está en W m - K - Sóldos No este tampoco aún una teoría que determne las conductvdades en sóldos. Afortunadamente, esta propedad es fáclmente medble, contraro a los casos de gases y líqudos.

34 Balance o conservacón ENRADAS + GENERACIÓN = SALIDA + ACUMULACIÓN ( A + Generacón = ( A + Acumulacón Generacón = ( g V Acumulacón = ( / t(v ψ t ψ g = Ψ

35 ransporte molecular y convectvo ransporte molecular m = - ransporte convectvo,c =U Ψ = Ψ,m + Ψ,c = δ ψ + ψu Ψ ψ δ + (ψu = ψ t ψ g = δ ψ (ψu

36 LA ECUACIÓN DE BALANCE EN 3 DIMENSIONES Un elemento de volumen es dv = d dy dz El térmno de generacón en este elemento será g dv = g d dy dz Lo msmo aplca para la acumulacón (/ t dv = (/ t d dy dz Sn embargo, las entradas y saldas deben analzarse sobre caras paralelas en lados opuestos del elemento de volumen consderado. Las entradas y saldas se defnen de forma smlar Entradas: dy dz + y d dz + z d dy Saldas: dy dz + y d dz + z d dy Pero de la defncón de dervada = + ( /d

37 Al ntroducr todos los térmnos y smplfcar en la ecuacón de balance, se obtene ψ t ψ g = Ψ + Ψ y y + Ψ z z En el teorema de dvergenca se aplca el operador a un vector ψ t ψ g = ( Ψ S se aplca el msmo teorema al térmno convectvo úncamente ψu = (ψu + (ψu y + (ψu z y z ψu = ψ U + U y + U z y z + U ψ + U y ψ +U ψ y z z

38 Ahora obsérvense los térmnos y hágase notar que ψ U ψ = U + U ψ y +U ψ y z z Y que Por tanto ψ U = ψ U + U y + U z y z ψu = ψ U + U ψ Para obtener la dvergenca sobre el vector total : Ψ = δ ψ + ψu Así que se obtene la ecuacón general de balance susttuyendo todos los térmnos ψ t ψ g = δ ψ ψu Que se rearregla del modo más común ψ + U ψ = ψ g + δ ψ ψ U t

39 Ecuacón general de balance de propedad (C (ρc p t + U (ρc p = q g + α ρc p (ρc p U Ejemplo: Obtenga la ecuacón trdmensonal para transferenca de calor en notacón vectoral y muestra la forma que se obtene para propedades constantes. Eprese esta ecuacón completamente en coordenadas rectangulares.

40 ransferenca de Calor Para un sstema sn fuentes de calor: t Segunda ley de Fourer Para un sstema en estado estable con fuentes de calor: 0 Para un sstema sn fuentes de calor y en estado estable: q g k Ecuacón de Posson 0 Ecuacón de Laplace

41 ransferenca de Calor CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESADO ESABLE Para la conduccón de calor en estado estable sn generacón nterna de calor, se aplca la ecn. De Laplace y cuando este generacón, la de Posson: q 0 0 k Sstemas undmensonales sn generacón: Se utlza la ecuacón de Laplace. po de sstema Rectangular Clíndrcas Esfércas Ecuacón a usar d d 0 d dr r d dr 0 d dr r d dr 0

42 ransferenca de Calor La transferenca de calor a través de un medo es trdmensonal en el más general de los casos. Por tanto, la dstrbucón de temperaturas dentro de ese medo, así como la transferenca de calor en cualquer ubcacón se pueden descrbr por un conjunto de tres coordenadas. po de conduccón Sstema cartesano Sstema clíndrco Sstema esférco rdmensonal, y, z (,y,z r, f, z (r, f, z r, f, q (r, f, q Bdmensonal, y r, q r, q Undmensonal r r

43 ransferenca de Calor Ecuacón undmensonal combnada Podemos epresar los tres tpos de sstemas por una sola ecuacón: r n r r n k r Donde n=0 para una pared plana, n= para un clndro y n= para una esfera. q 0

44 Condcones de Frontera El flujo de calor y el perfl de temperatura dependen de las condcones de las superfces. La epresón matemátca de las condcones térmcas en las fronteras se llama condcones de frontera. Para soluconar un problema de C, deben darse dos condcones en la frontera para cada dreccón del sstema de coordenadas. Las condcones frontera más comunes son: De temperatura específca De flujo específco de calor De conveccón De radacón En una superfce, sn embargo, pueden darse todos los tpos de transferenca de calor smultáneamente, de modo que las condcones de frontera deben obtenerse de un balance de energía superfcal.

45 ransferenca de Calor El caso de una pared plana 0 L Las condcones frontera que deben satsfacerse son: L en = 0 (0 = 0 en = L (L = L Resolvendo la ecuacón de Laplace para este caso: ( = C + C Se aplcan las condcones de frontera para evaluar C y C : 0 = C L = C L + C L 0 = C L C = ( L 0 / L Luego se susttuyen las constantes en la solucón: L 0 0 ( 0 0 L L L Perfl de emperatura para la pared plana

46 S se consdera la a. Ley de Fourer para calcular el flujo de calor y utlzamos la solucón de la ecuacón de Laplace para resolverla: El térmno ka/l se conoce como la conductanca térmca de la pared. El nverso L/(kA se conoce como la resstenca térmca. ( ( L L L L L ka L ka q L d d L ransferenca de Calor

47 Consdérese una pared compuesta por materales, cada uno tene su propa epresón de calor con la msma forma, dfrendo en los límtes. M M 3 k k L L Para el materal M se obtene: Como se tene estado estable, todos los calores deben ser guales, y s se epresan las temperaturas en funcón de los calores: ( 0 L A k q d A k d q M L M ( 3 L A k q M A k L q A k L q 3 ransferenca de Calor

48 Así que s se suman las dos epresones, se obtene: Cada térmno es la resstenca térmca, de modo que podemos decr: Se construye una pared de horno con ladrllo de arclla refractara de 3 n (k = 0.65 Btu/ht-ft- F y acero suave de ¼ de pulgada (k = 4 Btu/hr-ft- F en el eteror. La superfce nteror del tabque está a 00 F y la del acero en el eteror a 78 F. Encontrar a el flujo de calor a través de cada pe cuadrado de acero. b la temperatura en la nterfase ladrllo - acero. A k L A k L q A k L A k L q A k L q A k L q 3 3 R t q ransferenca de Calor

49 ransferenca de Calor El caso de clndros huecos o tubos r r e e d r dr d dr c d dr c r ln r c 0 S se aplcan las condcones frontera (r = y (r e = e r ln r ( r ( e re ln r c c re ln r c e ln r

50 ransferenca de Calor Se susttuyen las constantes y dervadas obtendas en la ecuacón de Fourer en forma clíndrca para obtener el flujo de calor en un tubo: q r kl ( re ln r e

51 S se realza el msmo tpo de procedmento para una esfera hueca, se obtene la epresón de flujo de calor y por tanto, la resstenca. k r r r r R r r k r r q e e t e e e r 4 ( 4 ransferenca de Calor El caso de esferas huecas

52 ransferenca de Calor Condcón de frontera de flujo específco de calor En algunas ocasones puede ser posble medr el flujo de calor que pasa por una superfce, W/m, por lo que esa nformacón se puede utlzar como condcón frontera. Se usa la ecuacón de Fourer para epresarla: q A k Flujo de calor en (W/m

53 ransferenca de Calor Fronteras asladas La transferenca de calor a través de una superfce aslada se puede tomar como cercanamente cero, por lo que el flujo específco de calor en su superfce es cero. La condcón de frontera sobre una superfce perfectamente aslada es: ( 0 k 0 o 0 0 La dervada de la temperatura con respecto a la varable espacal en la dreccón normal a esa superfce es cero; esto sgnfca que la funcón de la temperatura debe ser perpendcular a la superfce de aslamento.

54 ransferenca de Calor Smetría térmca 0 L/ L En algunos problemas de C se tene la smetría térmca en cuerpos smétrcos. Por ejemplo cuando una placa calente se suspende en are frío. Se tene smetría térmca sobre el plano central en =L/. La dreccón del flujo de calor se dará haca la superfce más cercana y en el plano central no habrá flujo de calor. El plano central se puede perflar como una superfce aslada y es una solucón muy parecda al caso anteror. ( L / 0

55 ransferenca de Calor Condcón de conveccón La mayor parte de los problemas práctcos de C nvolucran el contacto con un medo fludo en una superfce. Estas condcones frontera se resuelven por un balance de energía superfcal: Conduccón en la superfce = Conveccón en la superfce Para una placa de espesor L, las condcones en las superfces son: (0 k h (0 h ( - 0 ( L k h ( L 0 k h ( - 0 k 0 L L

56 ransferenca de Calor Rado Crítco de Aslamento El aslamento sobre paredes es efectvo debdo al área constante que se maneja y ésta tene un efecto obvo sobre la ecuacón de transferenca de calor. Sn embargo, ocurre algo dferente al aplcar aslante sobre un clndro. Al aumentar el espesor de aslamento, tambén se ncrementa el área epuesta a la conveccón, como puede suponerse de la ecuacón para el área de un clndro A c =rl. El rado de un clndro al cual se encuentra un mámo en la transferenca de calor se conoce como rado crítco de aslamento. Es decr, al aumentar el espesor de un clndro se observa que aumenta la transferenca de calor hasta un valor mámo, tras lo cual la transferenca de calor empeza a dsmnur.

57 ( ln ln O O r r O O r r t Lr h Lk A h kl R O O ln ( ln O O r r O O r r r r h k L Lr h Lk q O O ln ( 0 O O O O O r r O r h k r r h k L dr dq O O O c O O O h k r r h k r, 0 ransferenca de Calor

58 ransferenca de Calor PROBLEMAS Y EJERCICIOS Dos clndros de materales dferentes se ponen en contacto. El clndro tene m de longtud con un área transversal de 0.03 m y k = 0.7 W/(m K. El clndro es de 3 m de longtud con área transversal de 0.04 m y k =. W/(m K. Las temperaturas en los etremos son 80 K ( y 30 K ( 3. Encuentre la temperatura en el punto en que los clndros están en contacto. Imagne el msmo problema que el anteror, pero para el clndro no se conoce la conductvdad k. S la temperatura en el punto de unón es 300 K, halle la conductvdad térmca del clndro. Obtenga una epresón para el flujo de calor y para la resstenca en una esfera hueca, sabendo que A = 4r.

59 ransferenca de Calor Problemas y ejerccos Consdere un tubo con vapor de agua de longtud L=0 m, rado nteror r =6 cm, rado eteror r e =8 cm y conductvdad térmca k=0 W/mºC. Las superfces nteror y eteror del tubo se mantenen a las temperaturas promedo de =50ºC y e =60ºC, respectvamente. Determne la razón de pérdda de calor del vapor a través de las paredes del tubo. Consdere la placa base de una plancha doméstca de 00 W que tenen un espesor de L=0.5 cm, con área de A=300 cm y conductvdad térmca k=5 W/m K. La superfce nteror de la placa base se sujeta a un flujo de calor unforme generado por las resstencas del nteror de la plancha, y el eteror perde calor por conveccón haca los alrededores que están a una temperatura =0ºC. omando el coefcente h=80 W/m K y descartando la pérdda de calor por radacón, obtenga una epresón para el perfl de temperatura en la placa base y evalúe las temperaturas en las superfces eteror e nteror. Se vacía una columna clíndrca de concreto de 3 ft empleada para la construccón de un puente. La longtud de la columna es tal que se despreca la varacón de la temperatura en su dreccón de la longtud. S se trata a la columna como concreto sóldo con k=0.54 Btu/hr ft ºF, determnar la temperatura al centro del clndro, tomando en cuenta que la temperatura en la superfce de la columna es de 80ºF. Se puede consderar que el calor de hdratacón del concreto es gual a. Btu/lb m hr, con una densdad promedo de 50 lb/ft 3.

60 ransferenca de Calor Superfces etenddas Para aumentar la transferenca de calor entre una superfce y un fludo, se aumenta el área de contacto entre el metal y el fludo que es mal conductor. Esto se logra con álabes, puntas y otros tpos de superfces. En estado estable, el análss sobre un elemento de la aleta se tene: dq Análss del modelo: 0 dt. vara en dos dmensones, pero la varacón en es más mportante. Se perde una cantdad de calor muy pequeña por los etremos 3. El coefcente h de C es funcón de la poscón. (ρc p + U (ρc t p = q g + α ρc p (ρc p U

61 ransferenca de Calor Consderando un balance de energía en un elemento de la aleta, tenemos que la energía de entrada por conduccón en es gual a la energía de salda en + más la energía de salda por conveccón: q q + q conv = 0 d ka d d ka d d d ka( d ka d d ka d d d hs( hp( hp( omando el área del segmento de la aleta como el producto del perímetro P por el grosor del elemento, S=P omando el límte cuando 0.

62 ransferenca de Calor Aletas de seccón transversal unforme En este caso el área y el perímetro son constantes a lo largo de. S se tene tambén como constantes a k y h, se obtene la ecuacón para este caso: Solucón d d hp ka ( 0 Se realza un cambo de varable con susttucón de hp/(ka=m, y q=- para tener la ecuacón en la forma: d d hp d q ( 0 m q 0 ka d La solucón a este tpo de ecuacón dferencal es de la forma q q c e m c Acosh( m Bsnh( m e m

63 ransferenca de Calor Conjunto Condcones frontera Relacón q/q 0 Para evaluar las constantes de ntegracón aplcando condcones frontera, hay cuatro posbldades: Aleta muy larga q=q 0 en =0 q=0 en e -m ql q 0 Una temperatura conocda en =L e q=q 0 en =0 q=q L en =L ml e e m ml e e m ml e m Aslamento en el etremo q=q 0 en =0 dq/d=0 en =L cosh[ m( L ] cosh ml Conduccón gual a la conveccón en el etremo q=q 0 en =0 kdq/d=hq en =L cosh[ m( L ] ( h / mksnh[ m( L ] cosh ml ( h / mksnh ml Flujo de calor q( kamq 0 ml ( q L q0e kamq ml ml kamq 0 0 tanh( ml e e snh ml ( h / mkcosh ml kamq 0 cosh ml ( h / mksnh ml El cálculo de la transferenca de calor puede hacerse por la ecuacón de enframento de Newton q= hqds o por la a. Ley de Fourer consderando la transferenca en la base q=-kadq/d =0.

64 Superfces rectas con seccón transversal unformemente varable S el área de la aleta varía lnealmente con, se puede epresar el cambo de A( y P( tomando los valores ncales y fnales A 0, P 0, A L, P L. Superfces curvas con espesor unforme Debe consderarse el problema con coordenadas clíndrcas y área y perímetro como A(r=4rt y P(r=4r 0 ( ( ( ( ( L P P P k h d d L A A A d d L P P P P L A A A A L L L L 0 ( kt hr dr d r dr d ransferenca de Calor

65 ransferenca de Calor La transferenca de calor en una aleta es más efectva s la temperatura en todo su perímetro es gual a la temperatura de la base, de modo que el flujo de calor para una aleta 00% efectva se calcula por q=hs( 0 -. Pero la temperatura a lo largo de la aleta es menor a la de la base, hacendo que el flujo de calor transferdo al fludo sea menor. Por tanto, se puede establecer una efcenca de la aleta: aleta q q real mámo Para una superfce con aletas, la transferenca de calor total está dada por: q total = q s + q aletas El flujo de calor en la superfce de la pared es de tpo convectvo, mentras que el debdo a las aletas puede epresarse tambén como un flujo de calor convectvo en funcón de la superfce de la aleta. Consderando además la efectvdad de la aleta menconada anterormente, se tene: q total q ha total 0 ( 0 h( A 0 ha A aletas aletas aletas aletas ( 0 ( 0

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67 La efcenca de la aleta puede obtenerse como una ecuacón en algunos casos smples, tomando las ecuacones de C para el caso, por ejemplo, de una aleta muy larga: aleta kam( ha ( aleta 0 L ka hp 0 ml

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69 ransferenca de Calor Fnalmente, la efectvdad de una aleta es el desempeño que tene una aleta a la transferenca de calor, relaconada con el área de su base. e q q aleta snaleta aleta ha ha ( b aleta 0 ( 0 A A aleta b aleta q aleta representa el flujo de calor que dspa la aleta completa, mentras que q snaleta es el flujo de calor que pasa por el área de la base de la aleta, sn que ésta esté presente. Se tene un transstor protegdo del ambente por una caja que tene una resstenca térmca de 0ºC/W. El transstor tene una potenca nomnal de 0 W y se aconseja por el fabrcante que la temperatura de la caja no debe ser mayor a 85ºC. Determne la potenca de operacón de este transstor s la temperatura del medo en el que se opera está a 5ºC.

70 ransferenca de Calor En un sstema de calefaccón, el vapor de agua fluye por tubos cuyo dámetro eteror es D =3 cm y cuyas paredes se mantenen a una temperatura de 0ºC. Se sujetan al tubo aletas crculares de alumno (k=80 W/m ºC con un dámetro eteror D =6 cm y espesor constante t= mm. El espaco entre las aletas es de 3 mm, lo que arroja 00 aletas por cada metro de longtud de tubo. El calor se transfere al are crcundante que está a =5ºC, con un coefcente superfcal de C h=60 W/m ºC. Determne el ncremento en la transferenca de calor del tubo por metro de longtud.

71 ransferenca de Calor Se separan agua y are por una pared plana de acero dulce. Se quere aumentar la razón de transferenca de calor entre los dos agregando a la pared aletas rectangulares rectas de acero dulce de 0.05 n de espesor, n de longtud y espacados a 0.5 n entre los centros. Cuál es el porcentaje de aumento en la transferenca de calor que se puede lograr agregando aletas a al lado eteror, b al lado del agua y c a ambos lados de la pared plana? Los coefcentes h del are y del agua son y 45 Btu/hr-ft - F. Una tubería lleva vapor saturado a 300 ps y pasa por un cuarto con are a temperatura de 80 F. S los valores de h para la pared nterna y eterna son 700 y 7 Btu/hr-ft - F respectvamente, cuál sería la pérdda de calor por metro de tubería? La tubería es de.5 n de acero suave calbre 80. S se aísla la tubería con magneso de n de espesor al 85%, cuál sería la dsmnucón de flujo de calor comparado con el caso anteror?

72 ransferenca de Calor Prueba #.- Hay are encerrado entre las paredes nteror y eteror de una casa. Este espaco es de 3-5/8 n y es bastante grande como para consderar que la transferenca es undmensonal. Se supone tambén que la conduccón es el modo domnante en la transferenca de calor. La pared eteror e nteror están a F y 73 F respectvamente; cuál es el flujo de calor en estado estable? Comparar este flujo de calor con el correspondente cuando este espaco se ha rellenado con aslante de lana de roca..- Una tubería lleva vapor saturado a 300 ps y pasa por un cuarto con are a temperatura de 80 F. S los valores de h para la pared nterna y eterna son 700 y 7 Btu/hr-ft- F respectvamente, cuál sería la pérdda de calor por metro de tubería? La tubería es de.5 n de acero suave calbre 80. S se aísla la tubería con magneso de n de espesor al 85%, cuál sería la dsmnucón de flujo de calor comparado con el caso anteror? 3.- Partendo de la forma clíndrca de la ecn. de calor, bajo condcones de estado estable se aplca la ecn. de Laplace y aparece en la forma mostrada abajo. a A qué forma se reduce esta ecuacón s la conduccón va solamente en la dreccón radal? b Obtener la varacón de temperatura (r en el caso de conduccón radal con condcones límte (r = y (r e = e. c Epresar la razón de flujo de calor q r. d Cuál es el factor de forma para esta confguracón?

73 ransferenca de Calor El concepto de analogía es útl para relaconar la transferenca de calor con el flujo de corrente. Esto oblga a transformar la ª ley de Fourer en una forma apropada, aunque sgue sendo la msma ecuacón. Se puede hacer una sere de transformacones adconales para observar los factores de la ecuacón en dferentes maneras: Puede escrbrse la ecuacón de Fourer como q=ua, englobando todos los mecansmos sobre un msmo coefcente U. U es el coefcente global de transferenca de calor (Btu/hr ft ºF Otra forma es q=kf, donde F es el factor de forma, ya que nvolucra los valores de la geometría del sstema analzado. La forma de relaconar todos estos factores es: kf UA R t

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75 Conduccón de calor bdmensonal (estado estable Aún cuando se trate de estado estable, la transferenca de calor en y 3 dmensones es de dfícl análss. Las solucones gráfcas son más accesbles. Para resolver la ecuacón bdmensonal de Laplace se puede usar la grafcacón de flujo con (,y=constante para todas las fronteras (fronteras sotérmcas. 3 4 = + y 0 n Líneas de flujo de calor A lo largo de las sotermas no hay flujo de calor. Isotermas m

76 Consderando entonces la rejlla de sotermas de N seccones de flujo de calor total, por cada una de las cuales fluye una cantdad de calor q, el flujo de calor total está dado por: q t = N q Supongamos que podemos aslar un solo segmento de flujo de calor, el gradente de temperatura es ( m m Usando la ecuacón de razón de Fourer en el segmento: ( q n(/m q kn m S hacemos que el sstema de mallas tenga m = n, la ecuacón se vuelve q k La dferenca de temperaturas entre sotermas está dada por = ( c f /M sendo M el número de nodos o sotermas dbujadas: q q t t Nq N M k Nk ( c f

77 Se determna que las superfces nteror y eteror de una chmenea rectangular son guales a 300 F y 00 F respectvamente. Cuánto calor se transfere a través de la pared de tabque (k=0.40 Btu/hr-ft- F de la chmenea por pe de altura? En este ejemplo el número de ncrementos de temperatura es M=6; el número de canales de flujo de calor es y para el total es 4(=88; el factor de forma por tanto es F=N/M=88/6=4.7 y la pérdda de calor para la chmenea es q = k F = (0.40 Btu/hr-ft- F(4.7(00 F q = 47 Btu/hr ft de chmenea

78 La solucón nvolucra el tratamento de la ecuacón de calor en su forma más compleja, aunque puede aplcarse sobre las ecuacones smplfcadas (Posson, Laplace. En este caso, al volumen sobre el que se realzó el balance de materal se le llama nodo, por lo que el balance de energía da una epresón como la que sgue: Solucón numérca a conduccón de calor bdmensonal t k q q y k y k t c V t y q y k y k y k y k V t c c y y y y y y t t t,, (

79 k y y yy ky ky k y y y

80 Dferencas fntas El método de dferencas fntas hace uso de la sere truncada de aylor para obtener ecuacones de las dervadas de la temperatura. Bajo este enfoque, la temperatura alrededor de un punto es: Se puede obtener la segunda dervada de la temperatura por medo de una operacón de dferenca central de 3 puntos, truncando la sere de aylor después del térmno de orden en h y sumando ambas ecuacones:... 6 ( (... 6 ( ( d d h d d h d d h h d d h d d h d d h h ( ( ( ( ( O d d h O h h h d d

81 runcando las seres de aylor y sumando y restando pueden obtenerse ecuacones para la prmera dervada de, tanto haca adelante, haca atrás, como en punto central: Así pues, para la ecuacón de Laplace, estas dferencas se escrben en la forma: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( O h O h h h d d O h O h h d d O h O h h d d 4 0,,,,,,,,,,, j j j j j j j j j j j y

82 Crteros de convergenca Para estos casos de programacón en computadora, se usa uno de dos métodos posbles para detener el proceso:.- Establecer un límte a la dferenca entre temperaturas sucesvas entre cálculos ( llega a ser constante: má (k (k- < e.- Establecer un límte a la dferenca relatva entre cálculos de : má ( (k (k- / (k < e Una vez que se ha soluconado un problema, se descompone la superfce en un arreglo cuadrado. Se observa que en este tpo de problema, la transferenca de calor ocurre solamente de nodo a nodo y ocurre a lo largo de camnos que comuncan a los nodos adyacentes. El calor debe ser sumnstrado a la superfce con mayor temperatura, por lo tanto, esta cantdad de calor proporconada a esta frontera debe ser gual al conducdo por los nodos adyacentes a esta frontera. total j (, j, j por cada undad de profunddad (dreccón de z. q y k M

83 En el caso de que se establezca la rejlla como cuadrada, y/ =, por lo que q es: Este calor total consdera solamente al que se adcona al lado calente de una placa o materal. Sn embargo, para que las fronteras permanezcan a la temperatura dada, debe etraerse calor al materal, por lo que este calor es gual a la suma del calor conducdo por todos los nodos adyacentes a la(s frontera(s frías. Este calor es: M j j j total k q,, ( M j j N j N N N M M t M j j N j N N N M M t k q y y y k q,,,,,,,,,,,, ( ( ( ( ( (

84 Método del balance de calor Problemas con el método de dferencas fntas: Efectos adconales por dferentes mecansmos Varacón de propedades con el espaco Generacón de calor varable con el tempo amaños desguales de nodos Forma de nodo varable Cambos de fase Se realza un balance de calor sobre cada uno de los elementos y se aplca sobre la ecuacón de calor de la a ley de la termodnámca. Supóngase un elemento central rodeado de 4 elementos. Esto resulta en:

85 ( ( ( ( ( ( ( ( K R R q K R R q K R R q K R R q 4 3

86 S se aplcan estas ecuacones para un balance de calor en las fronteras de un elemento, se obtene la ecuacón: N j K j j N j K j q V 0 La aplcacón de esta ecuacón sobre una sucesón de elementos en una dreccón resulta en ecuacones smultáneas del tpo: Con =,,3,N-. Solamente en los nodos etremos la ecuacón camba dadas certas condcones frontera. Con un técnca adecuada como la elmnacón de Gauss se resuelve el conjunto de ecuacones algebracas para las temperaturas de cada nodo. q k

87 Forma fnal q A ka 3 ka 4 ka qa

88 Smplfcando, se trata una malla cuadrada con conduccón bdmensonal en y y. Se consdera una profunddad untara z=, mentras el espacamento entre nodos en y y es y y respectvamente. S se supone que las temperaturas entre nodos varían lnealmente y las áreas de transferenca son A =y(=y en la dreccón y A y =(= en la dreccón y se obtene: Las dferencas fntas se obtenen al sumar las temperaturas de los cuatro vecnos más cercanos al nodo, menos el cuádruplo de la temperatura de ese nodo, más el térmno de generacón de calor. De este modo, la temperatura de cada nodo nteror es el promedo artmétco de las temperaturas de los nodos vecnos (cuando no hay generacón de calor. k l q y q y k y k y k y k j j j j j j j j j j j j j j j,,,,,,,,,,,,,,, 4

89 Recomendacón de ejerccos en Grupo: Problema 5-35 Çengel (aletas X Problema 5-38 Çengel (aletas X Problema 5-36 Çengel (aletas X Problema 5-49 Çengel (bdmensonal X Problema 5-58 Çengel (bdmensonal. Omtr la parte de radacón de la chmenea. X Un elemento calefactor de varlla de 0.5 n de dámetro está embutdo en el centro de un bloque de alumno de 9 n. La nterfase varlla-alumno está a una temperatura de 600ºF y la superfce eteror del alumno a 50ºF. Cuál es la pérdda de calor por pe de este sstema compuesto? Consderar el msmo problema anteror, sólo que por errores de construccón el calentador en forma de varlla queda fuera del centro del bloque.

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91 Conduccón en estado nestable La ecuacón de calor en una dmensón en estado transente es: n n = α t n=0 para paredes, para clndros y para esferas. Suponendo que el calor se transfere entre el sstema y el medo ambente por conveccón, sn flujo dentro del sstema, sn efectos de trabajo y que es un sstema cerrado, se tene que la ecuacón de calor es: ρvc d dt = hs( Para separar las varables efectvamente debe hacerse un cambo de varable: q(t = (t - dθ θ = hs ρvc dt θ θ dθ θ = hs ρvc t 0 ln θ θ = hs ρvc t dt con q(0 = q

92 Establecendo una relacón de temperaturas (o una temperatura admensonal θ = ep hs θ ρvc t Se puede ntroducr la conductvdad en el térmno constante, hs ρvc, y descomponerlo en dos cantdades admensonales. El prmer número admensonal es el módulo de Bot B h V S k Puede nterpretarse la cantdad en el numerador como la resstenca por conduccón, (V/S/k, mentras que el resto se puede nterpretar como la resstenca por conveccón, /h. Un valor alto de B ndca que la resstenca por conduccón es domnante, mentras que un valor bajo de B ndca que domna la resstenca por conveccón. Cuando B es menor a 0. el problema puede suponerse razonablemente undmensonal en la transferenca de calor. Por tanto este es el prmer paso a realzar en el análss.

93 El segundo térmno se conoce como el módulo de Fourer Fo αt V S Que es una forma de representar el tempo admensonalmente. Una vez que se obtene (t se puede calcular el calor desprenddo o absorbdo Q = mc p t q t = hs t

94 Se mde la temperatura de un flujo de gas por medo de termopares cuya unón se puede consderar como esférca de mm de dámetro. Las propedades de la unón son k=35 W/m K, densdad=8500 kg/m 3 y c p =30 J/kg K, mentras h=0 W/m K. Determne cuanto tempo se necesta para que la lectura del termopar sea del 99% de la dferenca ncal de temperaturas. Un lngote clíndrco de acero nodable de 4 n de dámetro y ft de longtud pasa por un horno de 0 ft de longtud. La temperatura ncal del lngote es de 00ºF y debe llegar a 500ºF antes de trabajarlo. El gas del horno está a 300ºF y el coefcente h combnado es h=8 Btu/hr ft ºF. Cuál debe ser la velocdad máma de avance del lngote? k=3 Btu/hr ft ºF, =0.7 ft /hr. La placa de una plancha doméstca tene un área de 0.5 ft y se fabrca de acero nodable con un peso de 3 lb. S h=3 Btu/hr ft ºF y la temperatura del are es de 80ºF, cuánto tarda la plancha en llegar a 40ºF? La plancha consume 500 W y al nco está a la temperatura ambente.

95 Solucones numércas para la conduccón en estado nestable Para este caso en que sólo hay conduccón, con generacón de calor y estado nestable, la ecuacón a consderar es: + q g k = α t omando en cuenta la defncón de dervada usando métodos numércos:,j,j + +,j +,j,j + +,j y + q g k =,j α t Se ha tomado la defncón de dervada en su forma central. S consderamos que el arreglo de la malla descrptva del sóldo es cuadrado, de manera que = y entonces la ecuacón es:,j,j + +,j +,j,j +,j+ + q g k = α,j t A partr de aquí, se puede epresar la dervada temporal de la temperatura en forma de dferenca haca adelante, haca atrás o central. Se recomenda usar esta dervada en forma de dferenca haca adelante o haca atrás.

96 S usamos la forma de dferenca haca adelante para la dervada temporal: n,j n n,j + +,j n +,j n n,j +,j+ + q g k = α t,j n+ n,j Esta es la ecuacón de conduccón bdmensonal transtora con generacón nterna de calor. En esta ecuacón n sgnfca el enésmo paso en el tempo. Como la varable n+,j aparece sólo una vez, es fácl despejarla y el método sería de tpo eplícto: n+ = α t n + n + + q g k + α t Para una sola dmensón. n n+,j = α t n,j n n n + +,j +,j +,j+ + q g k + 4α t Para dos dmensones. n,j

97 Para el caso eplícto undmensonal, se tene un crtero de establdad para esta clase de sstemas: α t Una pared de tabque (=0.08 ft /hr de ft de espesor ncalmente está a una temperatura unforme de 70ºF. Cuánto tempo tene que pasar para que el centro de la pared llegue a 300ºF s se eleva la temperatura de ambas superfces smultáneamente a 700 y 300ºF y se mantene en esos nveles? La ecuacón es: n+ = ½( n - + n + Consderando un crtero de establdad de t/ = ½ S se escoge ncalmente un = 0.5 ft, se tenen 9 nodos.

98 Cuando se usa la forma de dferencas haca atrás, se obtene una formulacón mplícta. Por tanto, las ecuacones deben resolverse de manera smultánea. n+,j n+,j + n+ +,j + n+,j n+,j + n+,j+ + q g k = α t,j n+ n,j En este caso, para un conjunto de N ecuacones smultáneas, la forma matrcal es: A A A A A N A N A N A N A NN A = B n+ n+ N n+ = B B B N La matrz de coefcentes A ncluye los valores de las temperaturas determnadas en ncrementos anterores de tempo.

99 La elmnacón de Gauss proporcona una solucón drecta a los sstemas de ecuacones mplíctos de transporte transtoro de transferenca de calor. Sn embargo, cuando esten no lnealdades en los coefcentes de la matrz A, y con un ncremento en el número de ncógntas (sstemas grandes, puede ser mejor usar una técnca de teracón como la de Gauss- Sedel o ben, algún método numérco de predccón ncal o dsparo (métodos de colocacón. En la técnca de Gauss-Sedel se sguen varos pasos:. Suponga valores apromados para 0, 0, 30, etc.. Con 0, 30, etc., resuelva la prmera ecuacón para. 3. Con, 30, etc., resuelva la segunda ecuacón para. 4. Con,, etc., resuelva la tercera ecuacón para Sga este procedmento para todas las, cudando que se obtenga un error pequeño. 6. Repta para el sguente segmento temporal.

100 PROBLEMA Se tene una placa plana de magneso de ft de espesor y las otras dmensones son sufcentemente grandes como para consderar desprecables los otros efectos. La placa se encuentra ncalmente a la temperatura de 00ºF. De repente se baja la temperatura de la superfce del magneso y se mantene a 0ºF. Se puede consderar que la superfce nferor de la placa está aslada. Descrbr la dstrbucón de temperatura en la placa con el tempo para un período de mnutos después que se reduce la temperatura superfcal. La ecuacón en forma de dferencas fntas que aplca para este problema es n+ = α t n n α t Las propedades del magneso son k=99.5 Btu/(hr ft ºF, =09 lb/ft 3, c p =0.3 Btu/(lb ºF. Úsense 5 nodos nternos para el sstema, con ncrementos de tempo de hr. n

101 Cuando el msmo problema se solucona con la formulacón mplícta, la ecuacón a utlzar es: n+ = α t n+ n+ + n+ + + n Este tpo de ecuacón puede epresarse de una forma genérca como En donde las constantes son n+ = D + A B n+ n+ + + B = A = α t + α t = + A C = n B

102 PROBLEMA Se tene una barra larga de seccón transversal a la temperatura unforme ncal de 50ºF. Determnar la dstrbucón de temperatura en funcón del tempo para la barra después de que se eleva y mantene la temperatura de un etremo hasta 00ºF y se bajan y mantenen las temperaturas de los tres lados restantes a 0ºF. La ecuacón aplcable en este caso es la de tpo bdmensonal. t = k ρc p + y k t ρc p,j n+ n+,j + n+ +,j + n+,j n+ n+,j +,j+ Que al despejar n+,j produce n+,j = D,j + E n+,j + n+ +,j + n+ n+,j +,j+ A = k t ρc p,j D,j = + 4A E = A + 4A = n+ n,j,j