Capítulo 3 Complejidad de algoritmos recursivos

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1 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos 3. Defcó de fucó de recurreca Ua recurreca es ua ecuacó o ua desgualdad que descrbe ua fucó e téros de su propo valor sobre etradas ás pequeñas. Por ejeplo, el cálculo del Factoral de u úero se puede descrbr co la ecuacó de recurreca F(). F F = ( ) f f > = La solucó del Factoral de 4 se puede obteer sguedo las reglas de la ecuacó de recurreca. F(4) = 4 F(3) F(3) = 3 F() F() = F() F() = F() F() = F(4) = 4 3 = 4 Ua recurreca es leal, s cada llaada recursva geera cuado ucho otra llaada recursva, e caso cotraro es o-leal. 3. Deduccó de recurrecas a partr de algortos Los recursos epleados por algortos recursvos (por ejeplo, el úero de coparacoes de clave y el úero de ultplcacoes) se puede descrbr co la recurreca T(), la cual tee ua estructura ductva: a) coplejdad de los casos base y b) coplejdad de los casos progresvos. Los casos base detee la recursvdad, etras los casos progresvos la reactva. coplejdad de los casos base s correspode a los casos base T = coplejdad de los casos progresvos s correspode a los casos progresvos Sguedo co el ejeplo del Factoral, ahora se aalza el desepeño del algorto recursvo correspodete. Algorto Factoral () Etradas: u úero etero Saldas: u úero etero correspodete al factoral de s = etoces //caso base Factoral 3 so // caso progresvo 4 Factoral *Factoral(-)

2 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos S la operacó básca es el úero de ultplcacoes, etoces la recurreca que de el desepeño de algorto Factoral se obtee detfcado sus casos y escrbedo las reglas que detera cada caso y las fucoes de desepeño correspodetes. E el caso base (=) o se realza gua ultplcacó y e el caso progresvo (>) se realza ua ultplcacó ás las ultplcacoes que el algorto ejecuta al ser llaado recursvaete co u valor de -, este últo calculo se deota co T(-). s = (caso base) T = + T ( ) s > (caso progresvo) Ates se expadó la recurreca F() para deterar el factoral de 4, ahora se expade la recurreca T() para calcular el úero de ultplcacoes. T(4) = + T(3)=4 T(3) = + T()=3 T() = + T()= T() = + T()= T() = T(4) = = 4 Se puede observar que para calcular el factoral de 4, el algorto realza cuatro ultplcacoes: Factoral(4)=4 3. Este úero de ultplcacoes cocde co el obtedo por la recurreca T(4)= Recurreca de peor caso del algorto de búsqueda secuecal recursvo Ua versó efcete del algorto de búsqueda secuecal es su pleetacó recursva. A pesar de sus ltacoes, esta versó es seclla y splfca la troduccó de los casos de u problea al aálss de algortos recursvos. Algorto busquedasecrec(e,p,u,k) Etradas: Arreglo E, e ídces p y u que delta el subarreglo a ordear cotedo e E[p,...,u]. Saldas: E[p,...,u] e orde ascedete. s p>u etoces //caso base de fracaso respuesta = - 3 so s (E[p]=k) etoces //caso base de éxto 4 respuesta p 5 so 6 respuesta busquedasecrec(e,p+,u,k)//caso progresvo 7 devolver respuesta El peor desepeño del algorto busquedasecrec sucede cuado la búsqueda fracasa. Este coportaeto se puede detfcar fáclete e el algorto. Prero la recursvdad se actva varas veces porque la llave k o ha sdo ecotrada (caso progresvo). Falete el algorto se detee cuado o exste ás datos para aalzar (caso base de fracaso). A cotuacó se detalla el aálss del peor caso.

3 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos a) Caso base de fracaso: p>u E el paso, cuado todos los eleetos de E ya ha sdo aalzados, el ídce p rebasa el valor del ídce u. E u p E estas codcoes el algorto se detee porque o tuvo éxto, así que el úero de coparacoes es cero porque o se tee eleetos e el segeto de búsqueda ya que p>u. Es portate otar que la codcó s p>u equvale a la codcó s =. W() paso =, s = b) Caso progresvo (vocacó de recursvdad): p u y E[p] k Después que e el paso se ecotró que p u, e el paso 3 se realza ua coparacó o extosa ya que E[p] k. E este paso el subarreglo sí tee eleetos ya que p u. De gual aera la codcó s p u equvale a la codcó s >. W() paso 3 =, > E el paso 6 se ejecuta ua vocacó recursva co u subarreglo dsudo e ua udad; e este paso el subarreglo tabé tee eleetos. W() paso 6 = W(-), > c) Recurreca del peor caso Cosderado todos los casos volucrados (caso base de fracaso y caso progresvo), la recurreca del peor caso queda coo sgue: W s = = + W( ) s > Itutvaete se puede observar que e cada llaada recursva se realza ua coparacó. Dado que se realza vocacoes al algorto, la solucó de la recurreca es. W = = =Θ

4 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS 3.. Recurreca de peor caso del algorto de búsqueda bara Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos U algorto uy popular es el de búsqueda bara. La aplcacó de este algorto requere u ordeaeto prevo de los datos. Algorto búsquedabara (E,p,u,k) Etradas: Arreglo E, e ídces p y u que delta el subarreglo a ordear cotedo e E[p,...,u]. Saldas: E[p,...,u] e orde ascedete. s (p>u)etoces //caso base de fracaso devolver - 3 edo (p + u)/ 4 s k = E(edo) etoces //caso base de éxto 5 ídce edo 6 so s (k < E[edo]) etoces 7 ídce búsquedabara(e,p,edo,k) //caso progresvo 8 so 9 ídce búsquedabara(e,edo+,u,k) //caso progresvo devolver ídce El peor desepeño del algorto búsquedabara sucede cuado la búsqueda fracasa. Prero la recursvdad se actva varas veces porque la llave k o ha sdo ecotrada e la poscó eda (caso recursvo). Falete el algorto se detee cuado o exste ás datos para aalzar (caso base de fracaso). a) Caso base de fracaso : p > u Cuado todos los eleetos de E ya ha sdo aalzados, el valor de p rebasa al de u; así que el úero de eleetos del segeto de búsquedas es cero. W() paso =, s = b) Caso progresvo (vocacó de recursvdad): p u y E[edo] k E el paso 5 del algorto se realza ua coparacó o extosa. W() paso 5 =, s > E el paso 7 se realza ua coparacó para ubcar la sguete búsqueda. W() paso 7 =, s > E las líeas 8 y 9 las vocacoes recursvas se realza co subarreglos de dferetes taaños. Cuado es par: el segeto zquerdo es / y el derecho es (/)-. Cuado es par: los segetos zquerdo y derecho so (-)/. El ayor de cada tpo de taaño es / y (-)/. Abos taaños áxos queda expresados co /. W() paso 8 o paso 9 = W( / ), s >

5 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS c) Recurreca del peor caso Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos La sguete recurreca expresa el úero de coparacoes de clave e el peor caso: s = W = + W s > 3.3 Ecuacoes de recurreca coues Muchos algortos cláscos ha sdo dseñados e base a dos téccas que perte platear la solucó de u problea e téros de varos subprobleas de eor desó Algortos basados e dvde-y-vecerás Usado la técca de dvde-y-vecerás, s u problea es deasado grade para resolverlo de ua vez, se descopoe e varas partes ás fácles de resolver. Co ás foraldad, dado u problea a resolver plateado e téros de ua etrada de taaño, la técca de dvde la etrada e b subprobleas, <b<. Estos subprobleas se resuelve depedeteete y después se coba sus solucoes parcales para obteer la solucó del problea orgal. E la fucó de recurreca para dvde-y-vecerás, es el taaño del problea prcpal, b so los subprobleas (<b< ), cada uo de taaño /c (<c< ). Para dvdr el problea e subprobleas y cobar las solucoes de los subprobleas exste certo costo o recursvo que se expresa e f(). T() = b T( /c ) + f() Núero de subprobleas (factor de rafcacó) Costo de dvdr e subprobleas y cobar las solucoes Costo de resolver u subproblea obtedo por dvsó El algorto de ordeaeto ergesort es u ejeplo de la aplcacó de la técca de dvde-y-veceras. Algorto ergesort (E, p, u) Etradas: Arreglo E, e ídces p y u que delta el subarreglo a ordear cotedo e E[p,...,u]. Saldas: E[p,...,u] e orde ascedete. s (p < u) etoces //caso progresvo (p + u)/ 3 ergesort(e, p, ) 4 ergesort(e, +, u) 5 fusoar(e, p,, u) El caso base del algorto ergesort o está explcto e el algorto, pero sucede cuado p u, e plca que o se realza coparacoes cuado el arreglo es de taaño. W( ) paso plcto =, s =

6 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos Cuado el arreglo es de taaño ayor de, el úero de coparacoes se puede dervar aplcado la fórula para los algortos de tpo dvde-y-veceras. ( ) W = W + ( ), s > Coparacoes para ordear por separado las parte derecha e zquerda que so de taaño / (b=, c=). Coparacoes para fusoar dos subarreglos ordeados de taaño /. E el peor caso se toa alteradaete u eleeto de cada subarreglo, requredose - coparacoes ( f() = - ). Reuedo e ua sola expresó los casos base y recursvo, la coplejdad del algorto ergesort e el peor caso es coo sgue. W s = = W + ( ) s > 3.3. Algortos basados e recorta-y-vecerás El problea prcpal de taaño se puede recortar a b subprobleas (<b< ), cada uo de taaño -c (<c< ), co costo o recursvo f() debdo a la tarea de recortar y cobar. T() = b T(-c) + f() Núero de subprobleas (factor de rafcacó) Costo de recortar e subprobleas y cobar solucoes Costo de resolver u problea obtedo por recorte S los subprobleas so de dstto taaño se puede obteer lítes astótcos que acota el desepeño. Cota superor expresada co O(): utlzado T() b T( c ax ) + f() Cota feror expresada co Ω(): utlzado T() b T( c ) + f() 3.4 Solucó de recurrecas edate el étodo teratvo Este étodo coverte la fucó de recurreca e ua suatora que posterorete se evalúa para obteer u líte de la fucó. De aera geeral el étodo teratvo cosste e: a) Expasó de la recurreca para detfcar patroes de regulardad y expresarlos coo suas de téros depedetes sólo de y las codcoes cales y, b) Evaluacó de la suatora Pasos del étodo teratvo La sguete secueca detallada de pasos perte deterar la coplejdad (O(), Θ(), o Ω()) de u algorto recursvo. Paso. Deterar ua fucó T() que represete el úero de operacoes báscas efectuadas por el algorto para el taaño base y para los casos defdos por recursvdad

7 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos fuera de la base. Para splfcar la explcacó del étodo usareos la sguete estructura de recurreca que geera e cada vel b probleas y deotareos co al taaño del problea e el vel de recurreca. c s correspode al caso base T ( ) = bt ( + ) + f ( ) s correspode al caso progresvo Paso. Evaluar la fucó T() del caso progresvo co u cojuto pequeño de valores cosecutvos de. T( ) = f( ) + bt( ) T( ) = f( ) + bt( ) T( ) = f( ) + bt( 3 ) T( 3 ) = f( 3 ) + bt( 4 ) T( 4 ) = f( 4 ) + bt( 4 ) Paso 3. Susttur los resultados del puto ateror e cada expresó atecesora. T( ) = f( ) + bf( ) +b f( ) + b 3 f( 3 ) + b 4 T( 4 ) Paso 4. Idetfcar u patró co el cual pueda geeralzarse la represetacó de los téros del desarrollo. Paso 5. Expresar e otacó de suatoras el patró detfcado, destacado dos partes e la expresó: u cojuto de téros ductvos y u téro llaado de base o de paro, referecado por. Paso 6. Deterar u valor de para el cual se satsfaga o al eos se aproxe a la gualdad taaño de problea taaño de problea del téro = que detee la referecado por recursvdad Paso 7. Susttur e la expresó de suatora obteda e el paso 5. Paso 8. Resolver la suatora co ua expresó equvalete o aproxada cuya úca varable depedete es. Para esta tarea puede ser de gra ayuda utlzar prograas coputacoales coo Derve Ejeplos de recurrecas resueltas co el étodo teratvo La sguete recurreca se utlzará para lustrar el étodo teratvo. T T + > = =

8 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos Prero se geera cuatro recurrecas para taaños de problea cosecutvos. = + ( ) ( ) = + T( 4) ( ) = + T 4 ( 8) 4 ( ) = + T( ) T T T T T Eseguda se usa las recurrecas de aterores para hacer la expasó de la recurreca orgal. = + + ( 4) = ( 8) = ( ) T T T T T T = T T Dado que se descooce e cuátos téros la fucó T() debe ser expadda para alcazar el caso base, se usará el ídce para hacer refereca al téro correspodete a la codcó de paro. [ ] 3 T = 3... téro téro Se fora ua suatora cuyo patró de regulardad es ( / ) co -. Posteror a esta suatora sgue el téro de paro, cuyo coefcete y taaño de problea sgue u patró slar co. ( ) T( ) ( ) ( ) 3 T= T T = + La suatora se splfca al cosderar que el últo tero correspode al caso base co = y T()=. ( ) ( ) () T = + T = + T = + Ecotraos el valor de gualado las dos codcoes de paro.

9 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos ( ) T = = = T() log = log = log La solucó de la recurreca dca que el algorto tee u creceto -logarítco. log T = + log T log = log + = log + =Θ( log ) Eseguda, u segudo ejeplo para clarfcar el étodo teratvo. T 3T + > = 4 θ () = Prero se geera recurrecas para dferetes taaños de problea. = + 3 ( 4 ) ( ) = + 3T 4 ( 6 ) 4 ( ) = + 3T 6 ( 64 ) 6 ( ) = + 3T ( ) T T T T T Eseguda se usa las recurrecas aterores para hacer la expasó de la recurreca orgal. T = + 3 T ( 4 ) ( 6 ) ( 64 ) ( ) 3 T = + + 9T T = T T = T

10 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos Dado que se descooce e cuátos téros la fucó T() debe ser expadda para alcazar el caso base, se usará el ídce para hacer refereca al téro correspodete a la codcó de paro T = téro referecado por [ ] Ates de la últa llaada recursva se fora ua suatora cuyo patró de regulardad (téro geeral) es 3 /4 co -. Después sgue el téro asocado a la codcó de paro, cuyo coefcete y taaño de problea sgue u patró slar co. ( ) T= 3 T T = 3 3 T + 4 ( 4 ) El últo téro de la suatora se splfca ya que éste correspode al caso base co = y T()=Θ(). () T = T 4 Usado el líte 4 4 téro de la suatora., ecotraos el valor de que hace refereca al últo ( ) ( ) T T, coo T = T(), etoces T T() log 4(4 ) log 4 log 4 El valor de se susttuye e la recurreca expadda. log 4 log Θ() 4 log 4 log 4 3 +Θ( 3 ) 4 log 4 log 4 (3) 3 +Θ( ) 4 T T T

11 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos El líte superor de la suatora de T() se puede susttur por fto para utlzar ua sere geoétrca fta. r = co r = 3/4 r T (3/4) +Θ T +Θ 3/4 T 4+Θ T = O log 4 (3) log 4 (3) log 4 (3) U líte superor ás ajustado para T() se obtee co ua sere geoétrca fta. k+ (( )/( ) ) k ar a r r =. Co las seres geoétrcas decrecetes, la sua total es a lo ás u factor costate ayor que el prer téro. Por lo tato e la solucó prevalece el prer téro que es eor que 4 por u factor de (3/ 4) = = Solucó de recurrecas edate el étodo de árbol de recursó Los árboles de recursó so ua herraeta vsual para aalzar el costo de procedetos recursvos asocados a ua estructura de árbol, por ejeplo los algortos de dvde-y-veceras Descrpcó del étodo de árbol de recursó Se costruye el árbol para orgazar por veles las operacoes algebracas ecesaras para resolver la recurreca. Cada odo del árbol tee ua estructura de dos copoetes: la fucó de costos y el costo o-recursvo. Los odos odos teredos se expade co los casos progresvo Fucó de costo Costo o-recursvo Los odos hoja so los casos base.

12 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos 3.5. Ejeplos de recurrecas resueltas co el étodo de árbol de recursó El sguete ejeplo lustra el étodo de solucó de recurrecas basado e árbol de recursó. T ( /) + > T = = Prero se costruye el árbol de recurreca deterado para cada odo la fucó de costos y el costo o recursvo. Para cada vel se calcula el costo total. T() T vel = log () T(/) (/) T(/) (/) T vel = (/) = / T(/4) (/4) T(/4) (/4) T(/4) (/4) T(/4) (/4) T vel = 4(/4) = /4 T() T vel = U aálss vsual del árbol revela que e cada vel el úero de subprobleas aueta e potecas de dos. ( ) ( ) ( )... ( ) E cada vel el taaño de los probleas dsuye e potecas de dos.... E cada vel la coplejdad algorítca total creeta e potecas de dos. Es portate observar que e el últo vel se tee odos y cada odo es de taaño (/ ).... ( ) T Usado el patró de coplejdad y las codcoes de teracó, la recurreca se expresa coo ua suatora. T = T + 4 T = = + 4

13 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS El valor de se detera gualado las dos expresoes del caso base. T () = T = ; = ; log = log = log Para la solucó de T() se usa la sere geoétrca co r=/. k+ (( )/( ) ) k ar a r r k = = k Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos La solucó de la recurreca T() revela que el algorto tee ua velocdad de creceto cuadrátca (log ) T = = (log ) = = T =Θ Co u segudo ejeplo se lustra el étodo de árbol de recursó. T ( /3) + T( /3) + > T = = Prero se costruye el árbol de recurreca deterado para cada odo la fucó de costos y el costo o recursvo. Para cada vel se calcula el costo total. T() T vel = log 3/ () T(/3) (/3) T(/3) (/3) T vel = (/3)+ (/3)= T(/9) (/9) T(/9) (/9) T(/9) (/9) T(4/9) (4/9) T vel = (/9)+ + (4/9) = T() T vel =

14 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos E cada vel el úero de subprobleas aueta e potecas de dos. ( ) ( ) ( )... ( ) E cada vel el taaño ás grade de problea dsuye por u factor de (/3) E cada vel la coplejdad algorítca peraece costate. T 3... ( ) Usado el patró de coplejdad y las codcoes de teracó, la recurreca se expresa coo ua suatora. Dado que esta suatora correspode a la trayectora ás larga (subprobleas ayores), se obtee ua cota superor de las trayectoras restates. T ( ) T 3 T + El valor de se detera gualado las dos expresoes que represeta la codcó de paro. T = T() = = 3 log = log = log 3/ 3/ 3/ Para la solucó de T() se usa ua dfereca de lítes.

15 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos T log 3/ T log 3/ T () T (log + ) 3/ T log 3/ T = O ( log ) Co u tercer ejeplo se lustra el étodo de árbol de recursó. T ( /) + > T = = Prero se costruye el árbol de recurreca deterado para cada odo la fucó de costos y el costo o recursvo acordes al vel de recursvdad que le correspoda. Para cada vel se calcula el costo total. T() T vel = log () T(/) (/) T(/) (/) T vel = (/)+ (/)= T(/4) (/4) T(/4) (/4) T(/4) (/4) T(/4) (/4) T vel = (/4)+ + (/4) = T() T vel = E cada vel el úero de subprobleas aueta e potecas de dos. ( ) ( ) ( )... ( ) Establecedo el supuesto que e todos los veles del árbol es par, e cada vel el taaño del problea dsuye e potecas de dos....

16 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS E cada vel la coplejdad algorítca peraece costate. T... ( ) Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos Usado el patró de coplejdad y las codcoes de teracó, la recurreca se expresa coo ua suatora. T = ( ) T = + El valor de se detera gualado las dos expresoes que represeta la codcó de paro. T = log = = = log = log Para la solucó de T() se usa ua dfereca de lítes. T = log log T = = T = = T = () T = log T =Θ( log ) 3.6 Solucó de recurrecas edate el étodo aestro El étodo aestro es ua receta para resolver recurrecas dervadas de aplcar la técca de dvde-y-vecerás. T() = b T( /c ) + f() 3.6. Descrpcó del étodo aestro E la aplcacó del étodo se puede otr el pso y techo del taaño del problea ya que o afecta a la solucó de la recurreca porque ésta se expresa co fucoes astótcas.

17 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS / c / c / c Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos La solucó de ua recurreca está sujeta al caso que le correspoda. Se puede probar cada uo de los casos, o usar el árbol de recursvdad para detfcar la sere que ejor lo descrbe. Caso : La coplejdad es ua sere geoétrca crecete s f logc ( b ε ) =Ο para algua costate ε > logc etoces T =Θ ( b ) Caso : La coplejdad es costate e cada vel s f logc =Θ ( b ) logc etoces T =Θ ( b lg ) Caso 3: La coplejdad es ua sere geoétrca decrecete s f logc ( b +ε ) =Ω para algua costate ε >, y s bf(/c) c f() para algua costate c < y para sufceteete grade, etoces T =Θ ( f ) La seguda codcó prueba que bf(/c), la coplejdad del vel, dsuye o se atee co respecto a c f(), que es la coplejdad del vel Iterpretacó del étodo aestro E los tres casos se copara f(), que es el prer téro de la suatora expadda de la recurreca orgal, co log cb, que es el últo: Recurreca T = bt( c / ) + f Suatora logc ( / )... b T = f+ bf c + + a) E el caso la fucó f() es poloalete ás pequeña que log cb. Esto es, f() es astótcaete ás pequeña por u factor de ε. Esto sucede e las seres geoétrcas crecetes. b) E el caso la fucó f() es astótcaete equvalete a log cb, esto sucede e las seres costates.

18 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos c) E el caso 3 la fucó f() es poloalete ás grade que log cb por u factor de ε. Esto es, f() es astótcaete ás grade por u factor de ε. esto sucede e las seres geoetrcas decrecetes. La superordad de ua fucó h() sobre otra g() se dce que es poloal, s es sgfcatva. Esto es, exste ua costate ε> tal que g() es astótcaete ás pequeña que h() por u factor ε. ε g h E el caso : logc b h =, g = f ε logc b f logc b ε f E el caso 3: h = f, g = ε logc b f logc b+ε f logc b Las recurrecas e las que f() es superor o feror por u factor que o es poloal, o debe ser resueltas co el étodo aestro Ejeplos de recurrecas resueltas co el étodo aestro El sguete ejeplo lustra el prer caso correspodete a ua sere geoétrca crecete. 9 T ( /3) + > T = = De la fórula geeral de dvde-y-vecerás: T() = b T( /c ) + f() b=9, c=3, f() =, Para deterar que la recurreca correspode al caso del Teorea Maestro, sea: f = c g = b = = log log3 9 ε ε ε Se deuestra que f() = O(g()):

19 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos f l = l x x ε g l s ε x ε = ε = = l s > ε x ε = ε = < logc b ε ( ) f = Ο para ε > Por lo ateror, etoces el últo téro de la recurreca es el doate, T=Θ =Θ =Θ logc log3 9 ( b ) Alteratvaete se puede resolver la recurreca edate la costruccó del árbol de recursó. T() T vel = log 3 () T(/3) (/3). T(/3) (/3).. T(/9) (/9) T(/9) (/9) T(/9) (/9) T(/9) (/9).... T() T vel = (/3)+ +(/3)=9/3=3 T vel = (/9)+ + (/9) =8/3=9 T vel = + +=3 =3 log 3 = Se obtee el patró del taaño de problea: / E la profuddad del árbol el taaño del problea es 3 = 3 = log = log 3 3 = log 3 Se obtee el patró de coplejdad 3, que da lugar a ua sere crecete dode el últo téro es el doate.

20 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos T = (log 3 ) T = (log 3 ) T = (3 ) k k+ Usado la sere ar = a (( r )/( r ) ), se resuelve la recurreca. log 3 (3 ) ( ) T = = == 3 T =Θ El sguete ejeplo lustra el segudo caso correspodete a ua sere costate. T( /3) + > T = = De la fórula geeral de dvde-y-vecerás: T() = b T( /c ) + f(), b=, c=3/, f() =, Para deterar que la recurreca correspode al caso del Teorea Maestro, sea, f = g log c log 3/ = b = = = Se deuestra que f() = Θ(g()): f l = l = x g x c f =Θ log b logc Coo f( ) =Θ ( b ), etoces todos los lg téros de la recurreca so guales al últo téro, T=Θ =Θ =Θ logc log3/ ( b lg ) ( lg ) (lg ) Alteratvaete se puede resolver la recurreca edate la costruccó del árbol de recursó.

21 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos T() T vel = log 3/ () T(/3) T vel = T(4/9) T vel = T() T vel = Se obtee el patró del taaño de problea: (/3).... = E la profuddad del árbol, el taaño del problea es. = 3 3 = 3 log = log = log 3/ 3/ 3/ Se obtee coo patró de coplejdad ua costate que prevalece hasta la profuddad del árbol. T = log 3/ T = T = log 3/ + T =Θ(lg ) El sguete ejeplo lustra el tercer caso correspodete a ua sere geoétrca decrecete. 3 T ( /4) + lg > T = =

22 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos De la fórula geeral de dvde-y-veceras: T() = b T( /c ) + f(), b=3, c=4, f() =lg. Para deterar que la recurreca correspode al caso 3 del Teorea Maestro, sea f = lg c g = b = log + ε log4 3+ ε Se deuestra que f() = Ω(g()) f lg l = l x log4 3 x + ε g lg l l lg s ε.7 x.793 ε = = = x lg l s < ε.7 x.793 ε = logc b+ ε f =Ω para ε > Adeás, se deuestra que bf(/c) c f() para algua costate c < y para sufceteete grade 3 3 lg c lg s c = lg lg bf ( / c) c f para c < Por lo ateror, T =Θ ( f ) =Θ ( lg ) 3.7 Solucó de recurrecas edate el étodo de substtucó Se usa cuado las ecuacoes so o leales. Medate duccó ateátca se prueba que ua solucó advada para T() es correcta e codcoes líte Pasos del étodo de substtucó Paso: Advacó

23 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Se cojetura que la solucó de T() perteece a algú orde de O(f()). Paso: Prueba ductva a) Hpótess: La fucó advada se establece coo hpótess ductva T() cf() para ua c> b) Caso Base: Para pequeña se prueba T() cf(). Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos La hpótess ductva se prueba co el taaño de problea ás pequeño. Coo la solucó advada se expresa e otacó astótca sólo basta ecotrar ua, tal que la hpótess ductva se cupla para cualquer >. El valor de se substtuye e la recurreca para ecotrar su solucó co pequeña. La prueba es correcta s la hpótess y la recurreca cocde e algua costate c. c) Caso Geeral: Supoedo T() cf() verdadera deostrar que T(-) cf(-) La hpótess ductva se prueba co u valor de problea grade. Para ello se asue que dcha hpótess es válda co el taaño ateror k f- al del ás grade que es k f. Esta se substtuye e la recurreca evaluada e k f, y se cosdera correcta s alcaza la fora exacta de la hpótess ductva Ejeplos de recurrecas resueltas co el étodo de susttucó El sguete ejeplo lustra el étodo de susttucó. T( / ) + > T = = Paso : Advacó Sea T() = O(lg) la solucó advada Paso : Prueba ductva a) Coo hpótess ductva se establece la fucó T() c(lg) para ua c>. b) Para probar que la hpótess ductva es válda co u taaño de problea grade k f =, prero se asue que esta hpótess es valda co u valor k f- = / ateror al de k f. La hpótess ductva de la solucó advada es:

24 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS T = O ( log ) T c ( log ) Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos La hpótess ductva para k f- = / queda: T / c / lg / La recurreca orgal para k f = es: T = T( / ) + La hpótess ductva que es valda e k f- se susttuye e la recurreca especfcada e el taaño de problea ás grade k f. La recurreca orgal, co la susttucó de la hpótess ductva, queda T c / lg / + T c lg( / ) + T c lg c lg + T c lg c + Para c= se ecuetra la fora exacta de la hpótess ductva: T T () lg () + lg c) Se busca u valor pequeño de para el cual la hpótess ductva es válda. Para =, que es el taaño de problea ás pequeño, la hpótess ductva queda: () T c lg T c() lg() = La hpótess es cosstete co el caso base de la recurreca ya que o exste ua c que pueda obteer su codcó líte T()=. Cuado = la hpótess ductva o se cuple. Para =, la hpótess ductva queda: T T c lg c()lg() = c El valor de = se susttuye e la recurreca:

25 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos T = T( / ) + T = T ( / ) + T = () + = 4 Para c = la hpótess ductva correspode co la recurreca. T T c () = 4 Cuado = la hpótess ductva se cuple. Dado que se ecotró la fora exacta de la hpótess co grade y o se llegó a cosstecas co pequeña, queda deostrado que T = O ( log ) Cosejos para ua buea advacó a) Usar la solucó de ua recurreca slar a la recurreca co solucó coocda. Recurreca co solucó coocda T c = T( / ) + T() c = O(lg) Recurreca co solucó descoocda T c = T( / ) + 3+ Probar la solucó T() c = O(lg) b) Probar lítes superores e ferores holgados y después reducrlos hasta que coverja. Para la recurreca T = T( / ) + Probar coo líte feror el costo o recursvo T =Ω( ) Probar coo líte superor ua poteca del costo o recursvo

26 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos T =Ο( ) Reducr el líte superor y elevar el líte feror hasta que coverja e el correcto T() = Θ(lg) c) Covertr ua suposcó ductva débl e ua fuerte, restado el téro de ás bajo orde. Suposcó ductva débl Recurreca a resolver: T = T( / ) + T( / ) + Advacó de la fórula de la solucó: T = O Hpótess ductva: exste ua c> que haga certo que, T c Susttucó e la recurreca de la hpótess ductva evaluada e k f- = / T c / + c /+ T c+ La hpótess ductva se rechaza ya que o exste ua c que haga certa la hpótess e la recurreca ya que para toda c>, c c+ Suposcó ductva fuerte El téro de ás bajo orde de la recurreca es, el cual se resta de la hpótess ductva coo ua costate, quedado: T c b, co b Susttuyedo e la recurreca la hpótess ductva evaluada e k f- = / se tee: T c/ b+ c/ b+ T c b+ Para b= la recurreca y la hpótess cocde Recurreca

27 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS T c () + T c Hpótess Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos T c b T c d) Cabo de varables. Medate ua apulacó algebraca hacer que ua recurreca descoocda sea slar a ua coocda Por ejeplo: T = T + lg. Para elar el logarto se troducedo ua ueva varable =lg. = T = T( ) + / T = T + La recurreca orgal T se reobra co S, cuyo taaño de problea es. S = T S = S ( /) + La ueva recurreca S es slar a otra recurreca de solucó coocda. T = T ( /) + T = O ( log ) Por lo tato, S tee la sa solucó que la recurreca coocda. S = O ( log ) Se restablece los valores orgales para obteer la solucó de la recurreca orgal. T = T = S T = O ( lg ) = O(lg (lg(lg ))), T = O(loglg )

28 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS 3.8 Ejerccos resueltos Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos E los sguetes ejerccos, para la fucó de recurreca dada, se aplca los étodos de solucó dcados. Posterorete se detere el orde astótco de la fucó. Falete la solucó la solucó se coprueba utlzado la herraeta Derve Utlce el étodo aestro y al árbol de recurreca para resolver la fucó T() defda para todas las potecas de. T = -+ T / T () = a) Aplcacó de étodos de solucó de recurrecas Medate u aálss del árbol de recurreca se observa que la coplejdad e los dferetes veles del árbol o es costate y tapoco es ua sere geoétrca. Por lo ateror el teorea aestro o se puede utlzar para resolver la recurreca. T() - Coplejdad - T(/) (/)- T(/) (/)- - T(/4) (/4)- T(/4) (/4)- T(/4) (/4)- T(/4) (/4) Para facltar la detfcacó de patroes, se elabora ua tabla que resue la evolucó del taaño del problea, la coplejdad de u odo y la coplejdad de u vel. Nvel Taaño del problea Coplejdad (de u subproblea) No. de suprobleas Coplejdad (de todo el vel) - (-) = - / / - (/ -) = - /4 /4-4 4(/4 -) = -4 9 = T = T() = T T() () = = Patró de Coplejdad: -

29 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos T = ( ) + T() = ( ) + () = ( ) L Para =, que es el taaño de problea ás pequeño, y aplcado: b = x ; log x = L T () = T = = = lg Logrado co ello establecer el líte al cual llegará, es decr, la profuddad del árbol k + Utlzado la sere geoétrca = k b lg - lg - lg - T = ( - ) = - lg - lg - (lg -) + lg = - = (lg ) - ( -) = (lg ) - + T T = lg-+ b) Deteracó del orde astótco T =Θ ( lg ) c) Coprobacó co Derve GEOMETRIC es ua fucó que resuelve ecuacoes de recurreca lear-geoétrca obtedas de algortos de los tpos dvde-y-vecerás. La Fucó T() se debe trasforar para adqurr la fora esperada por GEOMETRIC. T = + T /, T() = T = T + ykx = pxyx + qx k =, x=, px =, q( x) =, x =, y = GEOMETRIC( k, p( x), q( x), x, x, y )

30 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos #: GEOMETRIC(,, -,,, ) LN() #: - + LN() Utlce el étodo aestro para resolver la fucó W defda por la ecuacó de recurreca y caso base sguetes: ( ) W = W / + W () = a) Aplcacó de étodos de solucó de recurrecas W() Coplejdad W(/) (/) W(/) (/) W(/4) (/4) W(/4) (/4) W(/4) (/4) W(/4) (/4) Observado el árbol de recurreca se puede otar que el patró de coplejdad se atee costate, correspodedo al caso del étodo aestro. De la forula geeral de dvde-y-vecerás se tee: T = bt( / c) + f b =, c =, f = logc Deostrar que f =Θ ( b ), requere detfcar las fucoes f() y g() f = lg g = = Coo f = g, se deuestra que f logc =Θ ( b ) Del teorea aestro se obtee la fora astótca de la solucó W log log =Θ ( c b lg ) =Θ ( lg ) =Θ ( lg )

31 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS b) Coprobacó co Derve Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos ( ) W = W / +, W() = W = W + ykx = pxyx + qx k =, x =, p( x) =, q( x) = GEOMETRIC( k, p( x), q( x), x, x, y) #: GEOMETRIC(,,,,, ) LN() #: LN() Utlce el étodo aestro y el árbol de recurreca para resolver la fucó T defda por la ecuacó de recurreca y caso base sguetes: T = T( /) + lg, T() = a) Aplcacó de étodos de solucó de recurrecas Del aálss del árbol de recurreca se observa que la coplejdad o es costate y o es ua sere geoétrca decrecete, por lo que o posble aplcar el Teorea aestro para resolver la recurreca. T() T(/) T(/4) lg lg(/) lg(/4) Coplejdad lg lg(/) lg(/4)... lg(/ ) Nvel Taaño del problea Coplejdad (de u subproblea) No. de subprobleas Coplejdad (de todo el vel) lg lg / lg(/) (lg(/)) /4 lg(/4) (lg(/4)) / lg(/ ) lg(/ ) / = T(/ )=T()= T(/ )= T()=

32 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Patró de coplejdad: lg Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos L Para, que es el taaño de problea ás pequeño, y aplcado: b = x ; log x = L T ( / ) = T() = = = lg Logrado co ello establecer el líte al cual llegará, es decr la profuddad del árbol lg T = lg + T() lg lg lg lg T = lg lg + = lg + lg (lg ) (lg ) lg T = lg (lg ) + = (lg ) + (lg ) (lg ) + lg (lg ) + lg T = + = + b) Deteracó del orde astótco T =Θ ((lg ) ) c) Coprobacó co Derve T = T ( /) + lg, T() = T = T + lg b ykx = pxyx + qx k =, x=, p( x) =, q( x) = lg GEOMETRIC( k, p( x), q( x), x, x, y) #: GEOMETRIC(,, LOG(, ),,, ) LN() LN() #: + + LN() LN()

33 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos Utlce el étodo aestro para resolver la fucó T defda por la ecuacó de recurreca y caso base sguetes: T = T ( /) +, T() = a) Aplcacó de étodos de solucó de recurrecas Del aálss del árbol de recurreca se observa que la coplejdad es ua sere geoétrca decrecete, por lo que es recoedable aplcar el caso 3 del Teorea aestro. T() T(/) T(/4) (/) (/4) Coplejdad (/) (/4) (/ ) Nvel Taaño del problea Coplejdad (de u subproblea) Coplejdad (de todo el vel) / / / /4 /4 /4 De la forula geeral T = bt( / c) + f se tee se tee b =, c =, f =. logc Deostrar que ( b + ε f =Ω ) para ε >, requere detfcar las fucoes f ( ) y g f = log c log b + g ε + ε ( + = = = ε ) = ( ε ) Coo f ( / c) c' g se deuestra que f = Ω ( ε ) para ε = y c = El Teorea Maestro tabé pde deostrar que bf ( / c) c ' f para c ' <. bf ( / c) / bf = 3 para c ' = 3 Coo exste ua c ' <, se deuestra que bf ( / c) c ' f Cuado las deostracoes so extosas, el teorea aestro señala que T f Por tato, la fora astótca de la solucó queda: T =Θ =Θ.

34 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS b) Coprobacó co Derve T = T ( /) +, T() = T = T + Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos ykx = pxyx + qx k =, x=, p( x) =, q( x) = GEOMETRIC( k, p( x), q( x), x, x, y) #: GEOMETRIC(,,,,, ) #: Utlce el étodo aestro para resolver la fucó T defda por la ecuacó de recurreca y caso base sguetes: T = T( /) +, T() = a) Aplcacó de étodos de solucó de recurrecas T() Coplejdad T(/) (/) T (/) (/) T(/4) (/4) T(/4) (/4) T(/4) (/4) T(/4) (/4).. Nvel Taaño del problea Coplejdad (de u subproblea) Coplejdad (de todo el vel) = / / (/) = /4 /4 4(/4) = Observado el árbol de recurreca se puede otar que el patró de coplejdad se atee costate, correspodedo al caso del étodo aestro. De la forula geeral de dvde-y-vecerás T = bt( / c) + f se tee b =, c =, f = Deostrar que f logc ( b ) =Θ, requere detfcar las fucoes f() y g() lg f =, g = =

35 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Coo f = g,se deuestra que f logc =Θ ( b ) Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos Del teorea aestro se obtee la fora astótca de la solucó log log W =Θ ( c b lg ) =Θ ( lg ) =Θ ( lg ) b) Coprobacó co Derve T = T( /) +, T() = T = T + ykx = pxyx + qx k =, x =, p( x) =, q( x) = GEOMETRIC( k, p, q, x, x, y) #: GEOMETRIC(,,,,, ) LN() #: + LN() Utlce el étodo aestro y el árbol de recurreca para resolver la fucó T defda por la ecuacó de recurreca y caso base sguetes: T = T( /) + lg, T() = a) Aplcacó de étodos de solucó de recurrecas Del aálss del árbol de recurreca se observa que la coplejdad o se atee costate y o es ua sere geoétrca decrecete, por lo que o es posble utlzar el Teorea aestro para la solucó de la recurreca T() lg Coplejdad lg T(/) (/) lg / T(/) (/) lg (/) lg (/) T(/4) (/4) lg (/4) T(/4) (/4) lg ( /4) T(/4) (/4) lg (/4) T( /4) ( /4) lg (/4) lg (/4).... lg (/ )

36 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos Nvel Taaño del problea Coplejdad (de u subproblea) No. de subprobleas Coplejdad (de todo el vel) lg ( lg ) = lg() / (/)lg(/) 4 ((/) lg(/)) = lg(/) /4 (/4)lg(/4) 8 4((/4) lg(/4)) = lg(/4) / (/ )lg(/ ) lg(/ ) / T(/ )=T()= T(/ )= T() Patró de coplejdad: lg L Para =, que es el taaño de problea ás pequeño, y aplcado: b = x ; log x = L T ( / ) = T() = = = lg Logrado co ello establecer el líte al cual llegará, es decr, la profuddad del árbol b T T T lg log = lg () lg () + = + lg lg lg lg lg lg T = lg lg + = lg + = lg + lg (lg ) T = lg (lg ) + T = lg lg + lg+ T = lg + lg + b) Deteracó del orde astótco =Θ( log ) T

37 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS c) Coprobacó co Derve Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos T = T ( /) + lg, T() = T = T + (lg ) ykx = pxyx + qx k =, x=, p( x) =, q( x) = lg GEOMETRIC( k, p( x), q( x), x, x, y) #: GEOMETRIC(,, LOG(, ),,, ) LN() LN() #: + + LN() LN() Utlce el étodo aestro y el árbol de recurreca para resolver la fucó T defda por la ecuacó de recurreca y caso base sguetes: T T T = ( /) +, () = a) Aplcacó de étodos de solucó de recurrecas Del aálss del árbol de recurreca se observa que la coplejdad es ua sere geoétrca decrecete, por lo que para la solucó de la recurreca se utlzará el caso 3 del Teorea Maestro. /4 T() Coplejdad T (/) (/4) T(/) (/4) (/) T(/4) (/6) T(/4) (/6) T(/4) (/6) T(/4) (/6) (/4).. (/ )

38 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Nvel Taaño del problea Coplejdad (de u subproblea) Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos Coplejdad (de todo el vel) = (/) / (/) (/) = (/) /4 (/4) 4 (/4) = (/4) 3 /8 (/8) 8 (/8) = (/8) De la forula geeral T = btc ( / ) + f se tee b =, c =, f = Deostrar que f f = =Ω ε >, requere detfcar las fucoes f ( ) y g logc ( b + ε ) para g logc ( b + ε + ε = ) = Coo f c g, se deuestra que f c + ε = Ω para ε = y = El Teorea Maestro tabé pde deostrar que bf c f para c ' <. ( ) bf c = = c' f = ( 3 ) para c ' = 3 Coo exste ua c ' <, se deuestra que bf c f Cuado las deostracoes so extosas, el teorea aestro señala que T f tato, la fora astótca de la solucó queda: =Θ ( ) T b) Coprobacó co Derve T= T + T = ( /), () T = T + 4 =Θ. Por ykx = pxyx + qx k =, x=, p( x) =, q( x) = 4 GEOMETRIC( k, p( x), q( x), x, x, y)

39 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos #: GEOMETRIC(,, 4 ^,,, ) #: Utlce el étodo de árbol de recurreca para resolver la fucó: T( ) =, T( ) = 3T( - ) + a) Aplcacó de étodos de solucó de recurrecas T() Coplejdad T(-) T(-) T(-) (3) T(-) T(-) T(-) T(-) T(-) T(-) T(-) T(-) T(-) (9)... (3 ) Nvel Taaño del problea Coplejdad (de u subproblea) No. de subprobleas Coplejdad (de todo el vel) - 3 3() - 9 9() () () - T(-)=T()= 3 3 T(-)=3 T() =3 () Patró de Coplejdad: (3 ) () T = L Para, que es el taaño de problea ás pequeño, y aplcado: b = x ; logb x = L T(-)=T() -= =

40 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos Logrado co ello establecer el líte al cual llegará, es decr, la profuddad del árbol 3 3 T = T() = + 3 = T = = 3 =Θ(3 ) b) Coprobacó co Derve + LIN_DIFFERENCE es ua fucó que resuelve ecuacoes de recurreca de prer orde obtedas de algortos de los tpos recorta-y-vecerás. La Fucó T() se debe trasforar para adqurr la fora esperada por LIN_DIFFERENCE. T = 3 T ( - ) +, T() = T ( + ) = 3T + yx ( + ) = pxyx + qx x=, px = 3, qx = LIN_DIFFERENCE( p( x), q( x), x, x, y) #: LIN_DIFFERENCE(3,,,, ) - #: Utlce el étodo de expasó para resolver la sguete recurreca: T()=8, T()=3T(-)-5 a) Aplcacó de étodos de solucó de recurrecas La ecuacó ductva se expresa co dferetes taaños de problea T = 3 T( ) 5 T( ) = 3 T( ) 5 T( ) = 3 T( 3) 5 La ecuacó ductva se expade Expasó co T( ) T = 3 T( ) 5 Expasó co T ( ) T = 3 3 T ( ) 5 5 = (3)(3) T ( ) 3(5) 5 = 5 3(5) + 3 T ( )

41 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos Expasó co T( ) T = (3)(3) 3 T ( ) 5 (3)5 5 = 5 3(5) 3 (5) + 3 T ( 3) 3 () La ecuacó ductva se expresa co suatoras T = T ( ) E el caso base, T () = 8, por lo tato = y = ( ) = T() T = T() T T T = = (5) + (3 )(8) T = b) Coprobacó co Derve T = 3 T ( -)-5, T() = 8 T ( + ) = 3T 5 yx ( + ) = pxyx + qx x=, px = 3, qx = 5 LIN_DIFFERENCE( p( x), q( x), x, x, y) #: LIN_DIFFERENCE(3, -5,,, 8) #: Utlce el étodo de expasó para resolver la sguete recurreca: T () =, T = T( ) +

42 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS a) Aplcacó de étodos de solucó de recurrecas Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos La ecuacó ductva se expresa co dferetes taaños de problea T = T( ) + T( ) = T( ) + T( ) = T( 3) + 3 La ecuacó ductva se expade Expasó co T( ) T = + T ( ) Expasó co T ( ) T = + ( T( ) + ) = ( ) + ( ) + T( ) Expasó co T( ) T = ( ) + ( ) + ( T( 3) + 3) = ( ) + ( ) + ( 3) + T( 3) La ecuacó ductva se expresa co suatoras T = ( ) + T ( ) E el caso base, T () =, por lo tato = y = T = ( ) + T() = ( ) + ( ) T = ( ) + = ( ) + = + + = + T b) Coprobacó co Derve T = T ( ) +, T() = T ( + ) = T + yx ( + ) = pxyx + qx x=, p( x) =, q( x) = LIN_DIFFERENCE( p( x), q( x), x, x, y)

43 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos #: LIN_DIFFERENCE(,,,, ) #: Ejerccos propuestos 3.9. Usado la otacó vsta e el curso de Aálss y Dseño de Algortos II, escrba la defcó de cada tpo de fucó de recurreca de la lsta de abajo. Para cada tpo de fucó, tabé presete u ejeplo y su solucó co alguo de los étodos vstos e el curso de aálss y dseño de Algortos I. a) Recurreca hoogéea leal de prer-orde co coefcetes costates b) Recurreca hoogéea leal de segudo-orde co coefcetes costates c) Recurreca o-hoogéea de prer-orde d) Recurreca o-hoogéea de segudo-orde e) Recurreca o-leal 3.9. Use el árbol de recurreca para resolver las recurrecas de los ejerccos 3.8. y 3.8.4, 3.8.5, Resuelva las sguetes recurrecas usado el étodo aestro, árbol de recurreca y expasó. Verfque la solucó co la herraeta Derve. + + T = = 3 T ( /) Resuelva las sguetes recurrecas usado el étodo aestro, árbol de recurreca y expasó. Verfque la solucó co la herraeta Derve. T ( ) T =... = = Ecuetre u ejeplo de recurreca de solucó coocda e el que las sguetes reglas aestras obtee la sa solucó que las reglas utlzadas e los ejerccos resueltos. k Para recurrecas co la fora geeral T = bt ( c) + a, la solucó de la recurreca se obtee co las sguetes reglas:

44 Isttuto Tecológco de Cudad Madero Udad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Capítulo 3 Coplejdad de algortos recursvos k Θ ( ) s b< c k T = Θ ( log ) s b= c Θ logc b s > b c k k k Bblografía. CoreT.H., LesersoC.E., RvestR.L: Itroducto to Algorths, MIT Press 99.. Sara Basse, Alle Va Gelder. Algortos Coputacoales: Itroduccó al aálss y dseño. Tercera Edcó. AddsoWesley.. 3. Ia Parberry, Wlla Gasarch. Probles o Algorths. Pretce Hall, 994