ANÁLISIS FACTORIAL. Autor: Ramón Mahía Casado

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1 ANÁLISIS FACTORIAL Autor: Ramón Mahía Casado

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3 .- IDEA CONCEPTUAL BÁSICA - () Parte de un conjunto amplo de varables que presentan nterrelacones mportantes.. - () se asume que las relacones exsten porque las varables son manfestacones comunes de factores no "observables" de forma drecta...y - (3) se pretende llegar a un cálculo de esos factores: - (a)- resumendo nformacón - (b)- clarfcando las relacones entre ellas y - (c) sn pérdda excesva de nformacón..- DEFINICIÓN - () Proporcona la estructura nterna, las dmensones subyacentes, el transformado de un conjunto amplo de varables, elaborando una estructura más smple, con menos dmensones, que proporcone la msma nformacón y permta globalzar así el entendmento del fenómeno. - () Smplfca la modelzacón convrtendo, por elmnacón de redundancas expresadas en altas correlacones entre varables, un amplo conjunto de varables en factores "estructurales". 3.- DIFERENCIAS CON OTRAS TÉCNICAS - No es una técnca de dependenca (no hay seleccón a pror de dependente y exógenas), es una Técnca de Interdependenca - No es una técnca de agrupacón: Aunque puede aplcarse con fnes de agrupacón sobre matrces de correlacones entre objetos/sujetos (Factoral Q), lo habtual es su aplcacón sobre matrces de correlacones entre varables (Factoral R). 37

4 4.- MODELO FACTORIAL EXPLORATORIO (Un ejemplo): Se desea extrapolar de la provnca al muncpo, un modelo de regresón explcatvo del nvel de renta dsponble funcón de una sere de manfestacones de esa renta. Para ello, se parte de un amplo conjunto de varables provncales y para los muncpos españoles. Recaudacón de los dstntos mpuestos drectos e ndrectos Tasa de paro y actvdad Generacón neta de empleo Klómetros de carreteras de cada tpo en servcos Klómetros de línea férrea en servco Número de vehículos de dstntos tpos por habtante Líneas telefóncas por cada 00 habtantes Camas hosptalaras por cada 000 habtantes Empresas creadas y cerradas en el año Índce de precos al consumo Índce de precos ndustrales Índce de comerco al por menor Lcencas fscales conceddas.etc Con el fn de poder abordar con grados de lbertad sufcente la estmacón del modelo de renta, la nformacón relatva a estas varables se ntenta resumr en tres factores, sn perder excesva nformacón y logrando una ncorrelacón muy convenente. El factoral arrojó tres factores cuyos sgnfcados se asocaron a: Factor : Factor de renta y rqueza personal - famlar Factor : Factor de salud y desarrollo del mercado laboral Factor 3: Factor de desarrollo nfraestructural 5.- MODELO FACTORIAL CONFIRMATORIO (ejemplo): Se desea medr la capacdad de abstraccón, analítca y memora de los alumnos. Se observaron 0 notas de cada alumno de un determnado grupo de estudantes unverstaros. Entre estas notas, o al menos entre algunas de ellas, se observan correlacones 37

5 elevadas que, en certa medda, provenen de apttudes globales del alumno que no se observan drectamente: Nota en álgebra Nota en cálculo Nota en estadístca Nota en derecho mercantl Nota en derecho laboral Nota en contabldad fnancera y de socedades Nota en análss de costes Nota en comuncacón comercal Nota en actuarales Nota en econometría Un análss factoral permtó que la nformacón relatva a estas varables se resumese en tres úncos factores de fondo, sn pérdda excesva de nformacón y logrando, de nuevo, una ncorrelacón muy convenente. Cada uno de estos tres factores se nterpretó como: F - Factor de CAPACIDAD DE ABSTRACCIÓN F3 - Factor de MEMORIA F4 - Factor de CAPACIDAD ANÁLÍTICA Independentemente de estos tres factores relaconados con grupos de varables (notas) se dentfcó, claro está, una factor común que podríamos llamar ntelgenca en general y un factor específco para cada asgnatura (su propa dfcultad y componentes de tpos aleatoro relatvos a las dstntas formas de evaluacón). 6.- MODELO FACTORIAL TEÓRICO X j = a F j + a F j + a 3 F 3j + + d U j X j = Valor normalzado de la varable para el sujeto j Nota en Matemátcas () del alumno (j) F j = Valor del Factor para el sujeto j Valor del factor CAPACIDAD DE ABSTRACCIÓN del alumno j a = Relacón entre varable y factor 373

6 Relacón entre las Matemátcas y la CAPACIDAD DE ABSTRACCIÓN F j = Valor del Factor para el sujeto j Valor del factor MEMORIA del alumno j a = Relacón entre varable y factor Relacón entre las Matemátcas y la MEMORIA d U j = Parte aleatora ndependente de los factores: Donde: - D es la/s partculardad/es de la nota en Matemátcas - Uj es la forma en que esa peculardad afecta al alumno j. (P.ej. d puede hacer referenca a la concentracón que se requere en un examen de matemátcas y Uj a la capacdad de concentracón del alumno): S los factores están normalzados (esperanza núla y varanza untara) y son ndependentes los unos de los otros pueden obtenerse los sguentes resultados: A) a k SERÁ EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN SIMPLE ENTRE LA VARIABLE Y EL FACTOR k : a k = N j X j F kj - Cargas factorales: Coefcentes báscos para determnacón contendo conceptual de los factores en análss exploratoro. - Matrz de cargas: Se denomna así a la matrz que recoge las cargas entre todas las varables orgnales y la seleccón fnal de factores. B) LA VARIANZA DE LA VARIABLE OBSERVADA PUEDE DESCOMPONERSE EN UNA PARTE EXPLICADA POR LOS FACTORES COMUNES AL RESTO DE VARIABLES Y OTRA EXPLICADA POR EL FACTOR ESPECÍFICO: 374

7 Var ( X ) = m k = a k + d - Comunaldad: Uno de los térmnos más cláscos del análss factoral expresa la parte de cada varable (su varabldad) que puede ser explcada por los factores comunes a todas ellas. - Especfcdad: Es el térmno opuesto a comunaldad ya que expresa la parte específca de cada varable que escapa a los factores comunes. C) EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES DEPENDERÁ EXCLUSIVAMENTE DE LA FORMA EN QUE AMBAS VARIABLES COMPARTAN FACTORES COMUNES: Cov ( X X s ) = m k = a k a sk 7.- PASOS A COMPLETAR 7..- SELECCIÓN DE VARIABLES Dmensón conceptual: Varables en relacón con el fenómeno de análss. Aún en el caso de un análss exploratoro, tener claro el modelo factoral teórco ayuda a la seleccón conceptual de las msmas. "Basura dentro - Basura Fuera" Dmensón técnca: () Deben ser métrcas, aunque se admte la presenca (no generalzada) de fctcas (0,). () Un número elevado no garantza un mejor análss, es más, debe optarse por la mnmzacón del número ncal. (3) Las correlacones son la base del planteamento. 375

8 3.A) Deben exstr altas correlacones en general para encontrar factores comunes. 3.B) Todas deben presentar, al menos, alguna relacón fuerte: varables asladas del resto constturán factores aslados SELECCIÓN DE LA MUESTRA Ampltud: Cuanto mayor rato observacones/varables, mejor. (receta: Nº observacones 5 veces mayor que el de varables). Una rato reducda aumenta las posbldades de encontrar correlacones espuras, propas de la muestra, no de la poblacón general. Heterogenedad: Evdente pero a veces se olvda: una muestra de objetos/sujetos homogénea no contene nformacón EXTRACCIÓN DE FACTORES: Nos refermos al cálculo analítco de los factores a partr de las varables orgnales. La extraccón mplcará: () Decdr el método analítco - matemátco de cálculo de los msmos..a) Factoral por componentes prncpales: El análss explora toda la varanza de cada varable: la común al resto, la específca y la debda a errores de observacón. - Recomendable para reduccón de datos - Recomendable en conjuntos con varanza común elevada.b) Factoral Común: El análss explora sólo la parte común al resto, de la varanza de cada varable. - Recomendable en análss confrmatoro de dmensones latentes (objetvo de reduccón en º plano) 376

9 - Recomendable cuando las puntuacones factorales no son mportantes (no van a usarse); el método adolece de ndetermnacón de factores. () Selecconar el número de factores que son necesaros para captar una cantdad razonable de nformacón de los datos orgnales..a) Valor de los Autovalores o Raíces Latentes.B) Seleccón a pror (modelo teórco conocdo).c) Utldad práctca (conceptual) de los factores.d) % global varanza orgnal explcada.e) Contraste de caída en la comunaldad acumulada INTERPRETACIÓN Y ROTACIÓN: La matrz de cargas, factoral o de componentes relaconarán factores y varables para aproxmarnos a su sgnfcado. (Matrz de estructura: Matrz que contene los coefcentes de correlacón entre factores y varables orgnales. Para factores ortogonales concde con la de cargas). - A la hora de valorar s una carga expresa relacón o no (es sufcentemente elevada), deberemos ser tanto más exgentes cuanto: - Menor sea el tamaño muestral - Menos varables se ncluyan en el factoral - El factor analzado sea de los últmos extraídos S esta msón es dfícl, la rotacón elmna ambgüedades, ayudando a hacerlo: - Rotacones ortogonales (Varmax, Equamax, Cuartmax): Es conceptualmente menos realsta, pero maxmza la varanza "explcada" y, en ocasones, la ortogonaldad resulta útl. - Rotacones oblcuas (Oblmn): Es más realsta (es dfícl suponer ortogonaldad conceptualmente), suele ofrecer resultados más claros y además aporta nformacón sobre la relacón entre factores. 8.- DETALLE TÉCNICO 377

10 8..- ALGO MÁS SOBRE EL ANÁLISIS DE CORRELACIONES Trple condcón de análss: A.- En general, la mayor parte de las varables deben estar relaconadas de forma mportante B.- Todas las varables deben estar relaconadas con, al menos, otra del conjunto C.- Las correlacones parcales no ndcan presenca de factores subyacenetes comunes. Matrz Ant - Imagen: Matrz de correlacones parcales. Test de esfercdad de Bartlett: Test paramétrco basado en el determnante transformado de la matrz de correlacones: permte contrastar la doble hpótess de que los elementos de la dagonal prncpal de la matrz son la undad y el resto cero. Test Kaser Mayer Olkn: Rato senclla entre correlacones smples entre parcales + smples debe ser cercano a. La msma medda puede elaborarse para una sola varable atendendo sólo a sus relacones con el resto de varables (Test MAS ) ALGO MÁS SOBRE LA EXTRACCIÓN POR COMPONENTES PRINCIPALES (MARCO GENERAL) "P" varables ncales: X = [X, X...X p ] Construremos p componentes prncpales guados por: () funcón lneal de las varables orgnales, () que absorban el máxmo de varacón de las varables X y (3) que estén ncorrelaconados. Y j = Y = β ˆ X ˆ X ˆ j β j β X βˆ p X + ; j =,,..., n Y X X... X βˆ p Y X X... X p βˆ Y =. ; X =... ; βˆ = Y n X n X n... X pn βˆ p La varacón de la varable Y, será: Y Y = β ˆ S β donde S = X X pj 378

11 8.3.- DETALLE OBTENCIÓN ER Y º COMPONENTES PRINCIPALES Y = X βˆ El prmer componente es: Y Y β ˆ S βˆ... y debemos procurar que se maxmce: β ˆ' βˆ Para abordar el proceso debemos exgr: = ˆ'... por tanto al fnal: Max Z = β S β ( β β )... o sea: Z βˆ S βˆ ( S = S βˆ λˆ ˆ β λˆ I ) ˆ β λˆ = 0 = 0 βˆ = 0 Huyendo de la solucón trval tenemos: S ˆ I = 0 ˆ λˆ = ˆ' ˆ λ a partr de aquí, hallamos λˆ que susttuda en ) β 0 El segundo componente es: βˆ Y = X ˆ λˆ I = (... y de nuevo debemos procurar maxmzar: ' Y β β S nos da βˆ ˆ' ˆ Y = S... sujeto de nuevo a la β ˆ' βˆ = a la que ahora añadmos la ausenca de correlacón con el prmer componente: Y Y =0...o lo que es gual β ˆ' S βˆ = 0 que puede escrbrse tambén β ˆ' βˆ como = 0 Por tanto, la funcón a maxmzar queda: Max Z βˆ' = S βˆ λˆ ( ˆ ) ( ˆ βˆ' µ βˆ' β β tras hallar la prmera dervada y realzar una sere de reduccones, tenemos que: ) S ˆ λˆ βˆ β = 0 o sea... ( S ˆ I ) ˆ 0 λ β = 379

12 que se resuelve como para el er componente. 380