TRIÁNGULO. a) Datos Construcción. b) Datos Construcción. c) Datos Construcción. Lo que has observado se puede enunciar en la siguiente propiedad:

Transcripción

1 Triánguls Cirunferenis Cngrueni 1º Añ P r f. V e r ó n i F i l t t i P r f. M r í e l L u j á n M r t í n e z Có Mtemáti Dt. e M t emáti

2 1. DESIGUALDAD TRIANGULAR TRIÁNGULO 1.1 Prie e ls ls e un triángul Ativi Nº 1: Cnsierms tres segments ulesquier, uys lngitues se muestrn en un e ls siguientes rts siemre ems nstruir un triángul uys ls sen resetivmente ngruentes ihs segments? Vems lguns ejemls: ) Dts Cnstruión 6m 3m 5m Es sile ) Dts Cnstruión 8m 3m 5m N es sile ) Dts Cnstruión 10m N es sile 7m 1m En lguns e ls situines nterires hems i nstruir un triángul Qué rterístis servs, en ese s, n reset ls lngitues e ls ls que ermitiern nstruir el triángul?. L que hs serv se uee enunir en l siguiente rie: En t triángul, l sum e ls lngitues e s ls es myr que l lngitu el terer l. (1) P O L I T E C N I C O 1

3 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti Ativi Nº 2: Ds ls meis 2 ; 6 ; 10 ; 5 ; 8 elegir s terns que uen ser meis e ls e un triángul. Gráfi ess triánguls. Reliz l ifereni entre ls meis e s ls el triángul en s, y márl n l mei el terer l. Qué uees njeturr? L que hs serv se uee enunir en l siguiente rie: En t triángul l mei e l es myr que l ifereni entre ls meis e ls trs s ls. (2) De (1) y (2) ems enunir l siguiente rie: En t triángul l mei e l es myr que l ifereni entre ls meis e ls trs s ls y menr que l sum e ls misms. Simólimente En el mr, sien m r, r y m ls meis e ls ls e ih triángul ems exresr: r m r < m r < m + r m m m r < r < m + m r m r r < m < m r + r 1.2 Prie entre ls y ánguls e un triángul Amitirems sin emstrr que : En t triángul, l mei e ls ls están en l mism relión e ren que l mei e sus ánguls uests y reírmente. 2 P O L I T E C N I C O

4 r m Simólimente Si m > m r > r r (uest m) > (uest mr) > m ( uest r ) Exeriment nstruyen vris triánguls y verifi est firmión. PROBLEMAS: 1) Cmlet el siguiente ur mr r m Se frm triángul? Qué lse e triángul es? si ) C un e ls ls ngruentes e un triángul isóseles es e 10 m entre que vlres vrí el terer l?. 3) En un triángul mn sus ls están en l siguiente relión mn > n > m. Oren ls meis e ls ánguls en frm ereiente. 4) En el triángul retángul mlementris? es Qué r e ánguls resultn 5) Si l sum e s ánguls e un triángul es menr que 130º entre qué vlres uee vrir el terer ángul? P O L I T E C N I C O 3

5 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti 6) Cuál es el l e myr mei en un triángul retángul? r qué? 7) En ls siguientes triánguls nmr ls ls renánls e menr myr, e uer su mei =57º m r m =63º =37º 8) D el mn ren l mei e sus ánguls e myr menr e uer l ini en rt (l mei e ls ls se n reset un mism uni): ) mn = 17, n = 21, m = 18 ) mn = 15, n = 16, m = 17 9) Cuál es el menr l en el uriláter? Justifi 60º 45º 70º 15º 2. PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO En t triángul ueen trzrse tres meins, tres isetries, tres meitries y tres lturs, que están ntenis resetivmente en rets que se intersen en un mism unt, ni en s, m unt ntle el triángul. En el siguiente ur ms ls efiniines e mein, isetriz, meitriz y ltur e un triángul y ls nmres e un e ls unts ntles. 4 P O L I T E C N I C O

6 NOMBRE GRÁFICA DEFINICIÓN PUNTO NOTABLE MEDIANA Es el segment etermin r el vértie y el unt mei el l uest Ls tres meins se intersen en un unt llm BARICENTRO BISECTRIZ Es el segment que está inlui en l isetriz el ángul interir e un triángul Ls tres isetries se intersen en un unt llm INCENTRO MEDIATRIZ ALTURA PROBLEMAS Es l ret meitriz e l Es el segment ereniulr ese el vértie l ret que ntiene l l uest Ls tres meitries se intersen en un unt llm CIRCUNCENTRO Ls tres rets que ntienen ls lturs se intersen en un unt llm ORTOCENTRO 10) Diuj tres triánguls eslens, un utángul, tr retángul y el terer tusángul. ) Enuentr en ells el rientr. ) Investig qué rie tiene el rientr ese el unt e vist e l Físi. ) Cmrue en ls triánguls iujs que el rientr tiene l rie e estr ui 2/3 e mein, rtir el vértie 11) Diuj r rt, tres triánguls eslens e igules rterístis que en el rlem nterir y hll en un e ells ) el inentr. ) el irunentr ) el rtentr 12) Diuj ) un triángul isóseles n equiláter, hll en él ls unts ntles. Cóm resultn ess unts? ) un triángul equiláter, hll en él ls unts ntles. Cóm resultn ess unts? 13) Cnsier un triángul isóseles uys ls igules mien 5m y uy se mie 6m.Clul l istni el rientr el triángul l se. P O L I T E C N I C O 5

7 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti 3. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO 3.1 Definiión e irunfereni: Lugr gemétri: njunt e unts que verifin ierts riees Se llm irunfereni l lugr gemétri e ls unts el ln que están igul istni e un unt fij e ese ln, llm entr. L istni e un unt e l irunfereni l entr e l mism, se llm ri. En el gráfi: es un ri uy mei es r A l irunfereni e entr y ri e mei r l ntrems: C( ;r ) Lueg, l efiniión en símls será: Oservión : llmrems ri inistintmente, l segment y su mei C(; r) (; ) r 3.2 Definiión e írul: Llmrems írul e entr y ri r l lugr gemétri e ls unts el ln uy istni l entr se menr igul que r. Ntión: C r ( ; r ) r L efiniión en símls será: Cr (;r) (; ) r Un unt uy istni l entr es menr que el ri, reie el nmre e unt interir el írul. 6 P O L I T E C N I C O

8 3.3 Ars y ánguls entrles Ds unts e l irunfereni eterminn en ell s sunjunts llms rs e irunfereni Así ls unts y eterminn ls rs : y x (m verás, gregms un unt en un e ells r er istinguirls, uest que ms tienen ls misms extrems) x C r tiene un ángul entrl rresniente, que es quél uy vértie es el entr e l irunfereni y sus ls sn r ls extrems el r. En el gráfi es el ángul entrl rresniente α l r y rresniente x. (ónv) el ángul entrl β x Nt: Cnvenims que un nmrms un ángul éste es nvex, en s e ser ónv se eseifirá 3.4 Cuer Diámetr Al segment que tiene r extrems s unts ulesquier e l irunfereni, l llmrems uer e l C (,r ) En símls: uer C y C ( ; r ) ( ; r ) T uer que se r el entr e l irunfereni reie el nmre e iámetr. En el gráfi q es un iámetr Oservión: llmrems Si llmms l mei el iámetr, es inmeit que: iámetr inistintmente, l segment y su = 2r mei Ls extrems e un iámetr eterminn en l irunfereni s rs llms semiirunferenis. En el gráfi q y q sn semiirunferenis. r q P O L I T E C N I C O 7

9 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti 3.5 Psiines reltivs e rets y irunferenis Ds en el ln, un ret y un irunfereni, ueen rse sl tres ss: ) Que l ret y l irunfereni n tengn ningún unt en mún. En este s irems que l ret es exterir ih irunfereni r R En símls: R es exterir l C R C (;r) (;r) ) Que l ret nteng un uer e l irunfereni, es eir, teng s unts en mún n ell. En este s irems que l ret es sente l irunfereni. r R En símls: R es sente l C R C ; ;r ;r ) Que l ret y l irunfereni tengn un sl unt en mún. En tl s l ret reie el nmre e tngente l irunfereni r t R En símls: C R es tngente l R t C ( ; r ) ( ;r ) El unt t reie el nmre e unt e tngeni. 8 P O L I T E C N I C O

10 Prie e l ret tngente Si un ret es ereniulr un ri en un unt e l irunfereni entnes l ret es tngente l mism. q H) T) t C(;r) t R R tngente C(; r) Demstrión: Si tmms un unt ulquier q e l ret R, istint e t, result retángul en tq q hitenus r t R tq es Lueg q t r q C ;r Entnes R C ;r t R es tngente l irunfereni. Amitirems sin emstrr l Prie Reír: l ret tngente un irunfereni es ereniulr l ri rresniente en el unt e tngeni. 3.6 Plígns insrits y irunsrits Definiines Un lígn nvex se llm insrit en un irunfereni si ts sus vérties sn unts e l irunfereni. L irunfereni se ie irunsrit l lígn. e El lígn e está insrit en l irunfereni Un lígn nvex está irunsrit en un irunfereni si ts sus ls están inluis en rets tngentes l irunfereni. L irunfereni se ie insrit en el lígn. q r s El lígn qrst está irunsrit en l irunfereni t P O L I T E C N I C O 9

11 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti PROBLEMAS 14) Cnstruye l irunfereni insrit un triángul. Justifi l nstruión. 15) Cnstruye l irunfereni irunsrit un triángul. Justifi l nstruión. 16) Se ese nstruir un Estión e Serviis que equiiste e tres uels Almfuerte, Bln y Centen uis m ini el gráfi. Cóm uee llizrse el unt ne se uee nstruir es estión? B A C 3.7 Ánguls insrits en rs e irunfereni Definiión: Un ángul se llm insrit en un r e irunfereni, un su vértie es un unt e ih r y sus ls sn r sus unts extrems. El insriten que r el r y que tiene su rresniente, y vértie en es el ángulentrl quer el mism r que 10 P O L I T E C N I C O

12 TEOREMA T ángul insrit en un r e irunfereni, es ngruente n l mit el entrl rresniente. Hiótesis: insriten ángulentrl rresniente entr elirunfereni Tesis: 1 2 Demstrión: 1º s : el entr e l irunfereni ertenee un e sus ls (1) isóseles (1)Ris e l irunfereni 1 2 exterir el (2) 2 (2)Pr. el áng.ext. e un triángul 2º s : el entr e l irunfereni es un unt interir e 1 (1º s) (1º s) 2 3º s : el entr e l irunfereni n ertenee. Efetú l emstrión P O L I T E C N I C O 11

13 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti PROBLEMAS 17) entr e l irunfereni 35º27'40'' ) Hll : y ) Diuj tr ángul ulquier, insrit en ángul? r qué? uánt mie ese Cnlusión: Ls ánguls insrits en un mism r e irunfereni sn ngruentes 18) Clul ε en rt. Justifi ) ) ) 19) En un irunfereni e entr 0, el ángul insrit en un r es e 45º.Demuestr que ls ris y sn ereniulres 20) ) Cuánt mie un ángul insrit en un semiirunfereni? ) Qué ti e triánguls sn ls insrits en un semiirunfereni tl que un l es l myr e ls uers? Dóne se hll el entr e l mism? 21) Demuestr que ls ánguls uests e un uriláter insrit en un irunfereni sn sulementris. 12 P O L I T E C N I C O

14 22) Sien que l mei e ls ánguls entrles f e, y sn resetivmente 160º, 75º y 45º hll l mei e ts ls ánguls el f y f en rines. 23) e Si es l isetriz el ángul y ls meis e ls ánguls entrles e ls rs y sn resetivmente 80º17 y 160º24, hll l mei e ls ánguls el. 24) e entr e l irunfereni = 62º 25 37, 7 e = 21º 47 53, 8 lul l mei e Sugereni: trz l uer 25) e entr e l irunfereni = 32º 27 12, 8 e = 67º 12 lul l mei e Sugereni: trz e P O L I T E C N I C O 13

15 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti 26) r 0 entr e l irunfereni ón = 248º 30 y r tngente l irunfereni. Clul ˆ ; ˆ y ˆ 27) = 104º = 75º y sn tngentes l irunfereni en y resetivmente. Clul ls ánguls interires el y el uriláter. 14 P O L I T E C N I C O

16 4. TRIÁNGULOS CONGRUENTES Cuán s triánguls sn ngruentes? Ds triánguls sn ngruentes si un es l imgen el tr, r l liión e un trnsfrmión rígi. t: trnsfrmión rígi Aemás sems que: si s triánguls sn ngruentes sus elements hmólgs (ls y ánguls) sn ngruentes. Así : t() t() t() q q t(â) ˆ â ˆ qr qr t( ) qˆ qˆ r r t(ĉ) rˆ ĉ rˆ Llmms elements hmólgs quells que se rresnen en un trnsfrmión. Es eir: un element y su imgen Será ver que s triánguls que tienen sus ls y ánguls resetivmente ngruentes, sn ngruentes? Es eviente que l sn, er l intuiión ns ie que n es neesri ner l ngrueni e ls seis res e elements resetivs. Anliems l nti e elements que se neesitn ner. Prems rimer n un element: n m Ls Δ y tienen un l en mún y n sn ngruentes Δ Δ y nm tienen un r e ) ánguls ngruentes ( n 90º y n sn ngruentes P O L I T E C N I C O 15

17 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti Prems rimer n s elements: e r ris r ris Y ls triánguls y e n sn ngruentes y sin emrg e Prems n tres elements : q sin emrg r qr e e Te ree que ngruentes? y e sn Tu resuest, surgi e un nálisis urmente intuitiv será segurmente, que ests triánguls sn ngruentes. 16 P O L I T E C N I C O

18 Se h serv, entnes que es sufiiente ser que ls triánguls tenien lguns e sus elements rresnientes ngruentes, se uee emstrr que ests triánguls sn ngruentes. Ests niines se nen m Criteris e Cngrueni e Triánguls, ls misms sn: ) Ds triánguls que sen s ls y el ángul mreni entre ells, resetivmente ngruentes, sn ngruentes n mn Δ Δ m mn m m ) Ds triánguls que tienen s ánguls y el l mún ells resetivmente ngruentes, sn ngruentes. m n m Δ Δ m mn P O L I T E C N I C O 17

19 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti NOTA: Oserv ls s triánguls en ls que se hn mr elements ngruentes n el mism ti e mr m n Están ests triánguls en ls niines que estlee el riteri emstr?... Sin emrg, m result m n 180º 180º m n (*) lueg mrn ihs triánguls result: y mn m (*). m 1 mn 1 r riteri nterir Hems emstr que, ún ls ánguls ngruentes n sen yentes l l ngruente, ls triánguls resultn ngruentes, si este r e ánguls están igulmente isuests. Pr l exuest uee generlizrse este riteri e ngrueni enuniánl: Ds triánguls que seen s ánguls y el l igulmente isuests, resetivmente ngruentes sn ngruentes. 18 P O L I T E C N I C O

20 ) Ds triánguls que sen sus tres ls resetivmente ngruentes sn ngruentes. m n m Δ Δ mn mn n ) Ds triánguls sn ngruentes si tienen s ls y el ángul uest l myr e ess ls, resetivmente ngruentes m n n Δ Δ mn mn L liión e ls riteris e ngrueni es un ers herrmient r emstrr riees. Pr que l mruees te rnems ls siguientes rlems: P O L I T E C N I C O 19

21 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti PROBLEMA Nº 1 Dts Demuestr que: // Demstrión Cmrems ls triánguls y r... r... r... r tener s... y el...resetivmente... PROBLEMA Nº 2 Demstrr que ls meins rresnientes ls ls ngruentes e un triángul isóseles, sn ngruentes y frmn n l se ánguls ngruentes. f Cmlet: H) unt mei e f unt... T) f... f P O L I T E C N I C O

22 Demstrión: f f...r f... f...r 2. f... f... r(5) 1 1 (1) r t f 2 2 (2) en el triángul ls ngruentes se nen... (3) r seer s ls y... (4) r ser elements hmólgs e triánguls ngruentes. (5) r rie reflexiv e l ngrueni Prlems: 28) m l s Sien que y ml ls emuestr que existen trs segments y ánguls ngruentes en es figur t 29) H) e T) e Reliz l emstrión e P O L I T E C N I C O 21

23 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti 30) D el entágn regulr e e l figur, emuestr que e 31) Sre l ret que inluye l se e un triángul isóseles se nsiern s segments y q ngruentes y n inluis en l se. Demuestr que el triángul q es isóseles. 32) Si en l siguiente figur e inluye l isetriz e y e, emuestr que e 33) Si 1 ret y, emuestr que e e 34) Si y emuestr que e es isetriz 22 P O L I T E C N I C O

24 35) x y z v H) zx zu y unt mei e zx t unt mei e zu t u T) z x t y zu y x v v t u Reliz l emstrión 36) e f Demuestr que ef si f, f y 37) En l figur es, f e y f e. Demuestr que f e f e 38) Demuestr que y e f sn ngruentes, si se se que ls ls l mein x sn resetivmente ngruentes ls ls ey, y e, f y l mein P O L I T E C N I C O 23

25 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti 39) Demuestr l rie e l meitriz e un segment En símls Un unt ertenee l meitriz e un segment sí y sól si equiist e sus extrems. sí y sól si niión neesri y, M (;) (;) sufiiente ), M Hiótesis (;) (;) Tesis Demstrión:..... m ),(;) (;) M Hiótesis Tesis (Sugereni: Trz el segment / ) Demstrión: ) Demuestr l rie e l isetriz e un ángul : Un unt interir e un ángul ertenee l isetriz el mism, si y sól si, equiist e ls rets que inluyen ls ls el ángul En símls ; B (;) (;) x m 24 P O L I T E C N I C O

26 41) Demuestr l siguiente terem utilizn ngrueni e triánguls: L isetriz el ángul uest l se e un triángul isóseles inie n l mein y l ltur y ls tres están inluis en l meitriz e ese l. H) ; m isetriz el T) m mein el m m ltur el M m Cmlet r tener l emstrión e este terem m m m m m 1 2m m 3 4 (1)... (2)... r (3) m m r (4) m m m mein el 5 m m ltur el Δ m meitriz el (5) ls ánguls sn yentes y ngruentes 42) Demuestr que si un ltur e un triángul inie n un isetriz el mism el triángul es isóseles. 43) Demuestr que si un ltur e un triángul inie n un mein el mism, el triángul es isóseles P O L I T E C N I C O 25

27 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti ALGO MÁS SOBRE CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS... PROPIEDAD : Ds rs inluis en un irunfereni sn ngruentes sí y sól sí l sn ls ánguls entrles rresnientes. En símls Se C(,r), r PROBLEMAS 44) Demuestr que en un irunfereni e entr y ri R, rs ngruentes sutienen uers ngruentes H) C(,r) T) 45) H) C ( ; ) T) 26 P O L I T E C N I C O

28 TEOREMA : T iámetr ereniulr un uer ivie ést, ls rs que sutienen y ls ánguls entrles rresnientes en rtes ngruentes. H ) uer iámetr en m T ) m m ; ; Demstrión: Trzms ls segments * El es isóseles r ser y R ( 1) (2) ** m m m esltur e (1) Pr hiótesis (2) Definiión e ltur e un triángul De * y ** (3) m m m (***) (3) En un triángul isóseles l ltur n reset l se está inlui en l meitriz ( ) e l mism y en l isetriz el ángul uest ih se. 2R r ser yentes 2R r ser yenes (* * **) r (***) Pr (***) y r (4) Pr (****) y r (4) (4) Ánguls insrits ngruentes sutienen rs ngruentes P O L I T E C N I C O 27

29 Triánguls y Cirunfereni Mtemáti PROBLEMAS : 46) En un irunfereni ls uers equiistntes el entr sn ngruentes. 47) Si Δ m qr y qs es equiláter. Demuestr msq = rs 48) H ) C(;r) 1R T) r 2 Biligrfí: Gemetrí Métri Cngrueni e triánguls- Prlelgrms e Hinrihsen B. e Gnzález Beltrán y Lilin L. e Cttáne Gemetrí e Clemens-O Dffer- Cney.Eitril Aisn weslwy Lngmn 28 P O L I T E C N I C O