TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

Transcripción

1 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll TRANSFORMACIONES EN EL PLANO Si servms ls figurs siguientes ntrems que pr su diseñ se h tmd un diuj ási, que psterirmente fue rtd, desplzd ien tmd su imgen en espej. Deims entnes que el diuj h sufrid un trnsfrmión. En este pítul estudirems ls distints trnsfrmines ls que pdems smeter ls jets. 1

2 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll TRANSFORMACIONES EN EL PLANO TRANSFORMACIONES DEL PLANO EN SÍ MISMO Alguns trnsfrmines que se pueden relizr un jet pln: 1) Pdems mverl y mirl de psiión: d d 2) Pdems mplirl reduirl d d d 3) Pdems pryetrl en perspetiv d d 2

3 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll 4) Pdems diujrl en un lámin elásti y estirrl hst defrmrl ritrrimente d d Verems que: 1. Ls lngitudes se mntienen sl en el primer s 2. Ls ánguls se mntienen en el primer y el segund s 3. L lineión se mntiene en ls tres primers ss 4. El rdenmient de ls punts se mntiene en tds ls ss MOVIMIENTOS EN EL PLANO Estudims ls mvimients de un figur en el pln. En un mvimients, l úni trnsfrmión que se serv es el mi de psiión, es deir, l figur n se defrm. Pr es llmms ests trnsfrmines mvimients rígids. L figur ps de un psiión iniil un psiión finl, llmd trnsfrmd de l primer, pr el mvimient. Pr llegr l psiión finl, l figur ps pr un suesión de psiines intermedis y ls tryetris rerrids pueden ser distints. Ejempl: 3

4 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll Aunque l psiión finl es l mism, ls tryetris sn distints. N ns interesn ls tryetris ni el tiemp trnsurrid, sl ns interes l psiión iniil, finl y l rrespndeni que puede estleerse entre ls punts de un figur y su trnsfrmd. Es deir que nsiderms el mvimient m un rrespndeni de punts. A d punt de l figur iniil rrespnde un y sl un de l segund, llmd imgen trnsfrmd de l primer. es l imgen trnsfrmd de α α Q x P x Q x P x Al punt P exterir l triángul le rrespnde el punt P. Al punt Q interir l triángul, le rrespnde el punt Q. Result que td punt del primer diuj le rrespnde n punt del segund diuj, trnsfrmd, per siempre en el mism pln, deims que el pln se trnsfrm en sí mism, prque es el mism pln, per sus punts hn mid de psiión. 4

5 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS 1. TRASLACIÓN Si deims: trsldms 3 m. l figur F, est d lugr infinits mis de psiión. F F F F F 3 m 3 m F 3 m En tds ls ss hems trsldd l figur 3 m., per pr indir un trslión deems indir: ) Distni ) Direión ) Sentid R Q S P * P P Si quier trsldr l figur de md que el punt P upe l psiión P, de tmr l distni de P P, que será el segment PP. Per PP n es ulquier segment, sin que tiene direión y sentid. A est le llmms segment rientd vetr, y se indi PP, ien v. P v P es el rigen del vetr P es el extrem del vetr 5

6 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll v Ds vetres ngruentes, prlels y del mism sentid se llmn equiplentes. u R S v P Q R P Q Pr l tnt pr tener l imgen de un figur F, se trzn vetres equiplentes PP pr d vértie y se unen rdendmente ls punts tenids. Es deir, l trslión qued determind pr el vetr v. Definiión: Se llm trslión de vetr v l trnsfrmión del pln en si mism, que d punt P de éste, he rrespnder m imgen tr punt P del mism pln, tl que PP = v. VECTOR NULO TRASLACIÓN IDÉNTICA Se llm vetr nul l vetr uy rigen inide n su extrem. L trslión de vetr nul trnsfrm td punt en sí mism. A est trslión se l llm Trslión idénti identidd. Td punt que se trnsfrm en sí mism se llm punt dle unid. COMPOSICIÓN DE TRASLACIONES v 1 v 2 v Si l segment l trsldms n el vetr v 1 y lueg l trsldms l psiión n el vetr v 2, pdems llegr l mism psiión per n el vetr v = v 1 + v2 trslines. Es deir que pdems mpner 6

7 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll L mpsiión pr diión de vetres es: * Cnmuttiv v = v1 + v2 = v2 + v1 * Asitiv v = v + v ) + v = v + ( v + ) En trs plrs: ( v3 - L diión de vetres es nmuttiv, impli que l mpsiión de trslines es nmuttiv. - L diión de vetres es sitiv, impli que l mpsiión de trslines es sitiv. * El vetr nul es el element neutr pr l diión de vetres, impli que l trslión idénti es el element neutr pr l mpsiión de trslines. * Vetr puest v v L sum de un vetr y su puest es el vetr nul. L mpsiión de un trslión y su invers es l identidd. * Ley de ierre. L mpsiión de ds trslines es tr trslión. 2. ROTACIÓN Freuentemente servms jets que girn lrededr de un punt de un eje fijs. Pr ejempl un dis, un lesit, un rued, ls gujs de un relj. Tmién hy jets que tienen un mvimient pendulr m el péndul de un relj el limpividris de un ut. Ests ejempls rrespnden ls mvimients que llmms girs rtines. O α α α 7

8 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll Anliems ls elements que determinn un rtión. En este mvimient el punt O permnee fij. Se llm entr de rtión. Cd punt se mueve sre un r de irunfereni de entr O. Es deir que pr d punt l distni l entr permnee nstnte. O = O O = O O = O El ángul gird O = O = O = α se llm mplitud de l rtión ángul de gir. Vems que el ángul n vrí, es deir que d punt del triángul tiene l mism rtión. Si n fuer sí entnes se defrmrí el triángul. ÁNGULO ORIENTADO Si trtms de plir un punt P un rtión de mplitud α y entr O, se presentn ds psiiliddes. P Según el sentid de gir que elijms tendrems m trnsfrmd el punt P el punt P. P +α O -α P Es deir que demás de l mplitud deems ner el sentid de gir. Un ángul prvist de un sentid de gir se llm ángul rientd. Si el ángul es rientd, entnes POP POP ld extrem α ld rigen 8

9 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll Definiión: Se llm rtión de entr O y ángul de gir xoy l trnsfrmión del pln en si mism, que td punt P de éste le he rrespnder m imgen tr punt P del mism pln, tl que OP = OP y POP = xoy Expresd m funión: R (O,xOy) P P Se lee: el punt P se trnsfrm en P pr l rtión de entr O y ángul de gir xoy. Pr nvenión se llm sentid psitiv l gir ntihrri y sentid negtiv l gir hrri. ÁNGULO NULO - ROTACIÓN IDÉNTICA Se llm ángul nul l ángul uys lds iniden. Est rtión trnsfrm un punt en sí mism y se llm rtión idénti identidd. COMPOSICIÓN DE ROTACIONES DEL MISMO CENTRO O Si plims l segment un rtión R 1 de entr O y ángul de gir α 1 y ntinuión plims su trnsfrmd tr rtión R 2 del mism entr y mplitud α 2 que trnsfrm en, verems que el mism resultd se tiene si plims l segment un úni rtión igul l sum de ls rtines R 1 y R 2. L rtión R se llm prdut mpuest de R 1 y R 2. 9

10 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll R 1 0 R 2 = R se lee R 1 pr R 2 ien: R 1 erit R 2 ien: R 1 mpuest n R 2 En ell el ángul de gir de R es l sum de ls ánguls α 1 y α 2 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE ÁNGULOS ORIENTADOS Y DE LA COMPOSICIÓN DE ROTACIONES DEL MISMO CENTRO PROPIEDAD CONMUTATIVA α 1 + α 2 = α 2 + α 1 y R 1 R 2 = R 2 R 1 L diión de ánguls rientds es nmuttiv L mpsiión de rtines del mism entr es nmuttiv. PROPIEDAD ASOCIATIVA (α 1 + α 2 ) + α 3 = α 1 + (α 2 + α 3 ) y (R 1 R 2 ) R 3 = R 1 (R 2 R 3 ) L diión de ánguls rientds es sitiv. L mpsiión de rtines del mism entr es sitiv. ELEMENTO NEUTRO α + 0 = 0 + α = α y R I = I R = R El ángul nul es element neutr pr l diión de ánguls L rtión idénti es element neutr pr l mpsiión de rtines. LEY DE CIERRE L mpsiión de ds rtines de un mism entr es tr rtión. 10

11 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll ÁNGULOS OPUESTOS α + (-α) = (-α) + α = 0 y R R -1 = R -1 R = I L sum de ds ánguls puests es el ángul nul L mpsiión de ds rtines inverss es l identidd. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE ROTACIÓN 90º 90º O Sems que el entr equidist de y, es deir que: = Entnes pertenee l meditriz de Y sems que el entr equidist de y es deir que: = Entnes pertenee l meditriz Dnde se intersen ls meditries el punt (entr de gir) 3. SIMETRÍA CENTRAL Si plims l figur un rtión de 180º ls pres de punts hmólgs ( y ) ( y ) preen lineds n el entr. y y Sn semirrets puests es el punt medi de ls segments y, es deir que: = = 11

12 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll Definiión: Se llm simetrí de entr l trnsfrmión del pln en sí mism, que d punt p de éste he rrespnder tr punt p del mism pln, tl que ls semirrets p y p sn puests y p = p. Ls punts y se llmn simétris n respet l entr. De l definiión se dedue que pr tener el simétri de un punt p respet un entr, se trz l ret p, y sre l semirret puest p se trz p = p. COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS CENTRALES Hems vist que l mpsiión de ds trslines es tr trslión, y que l mpsiión de ds rtines del mism entr es tr rtión del mism entr. Pree nturl pensr que l mpsiión de ds simetrís entrles es tr simetrí entrl. O 1 O 2 v // = 2 (O 1 O 2 ) El prdut de ds simetrís de entrs O 1 y O 2 es un trslión de vetr v, de lngitud igul l dupl de l distni de ls entrs. v = 2 (O 1 O 2 ) O se que NO se umple l LEY DE CIERRE. Es deir que NO ES CONMUTATIVA 12

13 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll Si mpnems l segment primer n O 1 y lueg n O 2 tenems. Si invertims el rden, es deir, mpnems primer n O 2 y lueg n O 1, vems que se ui en un psiión ttlmente distint l primer s. Es deir que l mpsiión de simetrís entrles n es nmuttiv. O 1 O 2 * O 1 O 2 4. SIMETRÍA AXIAL p E p Se llm simetrí xil, de eje E, l trnsfrmión del pln en sí mism, que td punt p de éste, le he rrespnder tr punt p del mism pln, tl que el eje E es l meditriz del segment pp. Aquí l imgen está en espej respet de l riginl. COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS AXIALES L mpsiión de ds simetrís xiles n umple l ley de ierre, es deir que n es tr simetrí xil. Pr determinr uál es l trnsfrmión resultnte de l mpsiión de ds simetrís xiles deems nlizr tres ss: 13

14 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll 1º) Eje 1 // Eje 2 E 1 E 2 m 1 m 2 d v = 2d El prdut de ds simetrís de ejes prlels es un trslión tl que l lngitud del vetr es igul l dupl de l distni entre ls ejes. d = m 1 + m 2 v = = m 1 + m 1 + m 2 + m 2 per m 1 = m 1 y m 2 = m 2 entnes: v = m 1 + m 1 + m 2 + m 2 v = 2 m m 2 = 2 (m 1 + m 2 ) v = 2 d d 2º) E 1 liu E 2 β β α γ E 1 γ E 2 El prdut de ds simetrís uys ejes se rtn en un punt es un rtión de entr y uy ángul de gir es el dupl del ángul frmd pr ls ejes. ^ ^ ^ α = β + γ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ β + β + γ +γ = 2 β + 2 γ = 2 (β + γ) = 2 α 14

15 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll 3º) E 1 perpendiulr E 2 E 1 El prdut de ds simetrís xiles de ejes perpendiulres es un simetrí entrl uy entr es el punt de interseión de ls ejes. Este prlem nstituye un s prtiulr del nterir. E 2 15

16 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll HOMOTECIA En este s l figur y su trnsfrmd mntienen l frm per hn mid l psiión y el tmñ. d e d e Se puede mplir l figur reduirl. Si hems l relión: y l mprms n: verems que: d e ; ; ; d e d e = = = = = k d e est impli que: = k. = k. = k. d = k. d e = k. e Ests funines puntules se llmn hmteis de entr y rzón k. 16

17 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll L rzón k puede tmr vlres psitivs negtivs. Si sn psitivs l figur y su imgen estrán en l mism semirret. Si l rzón es negtiv, estrá l figur en un semirret y l imgen en l semirret puest. Ejempls: p p p = k = 3 p = 3. p p P P 1/3 2/3 3/3 p = p p = p 3 P P p = 1 p = p p Definiión: Se un punt fij del pln y k un númer rel distint de er. Se llm hmtei de entr y rzón k l funión que td punt p del pln, he rrespnder tr punt p tl que p = k. p Se die que p es el hmtéti de p pr l hmtei dd. PROPIEDADES DE LAS FIGURAS HOMOTÉTICAS es. m L imgen de es Entnes: y l imgen de = = k // (sn segments prlels) 17

18 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll Si pr el punt trzms un prlel tendrems el punt m. Si nsiderms el triángul tendrems: = m Cm m es un prlelgrm, pues sus lds puests sn prlels, será entnes: m = Reemplznd en l nterir, qued: = y m = k será entnes: = k En nseueni: L imgen de un segment pr un hmtei de entr y rzón k es tr segment, tl que: es prlel L rzón entre y es igul l rzón de l hmtei 18

19 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll IMAGEN DE UN VECTOR Análgmente, pdems enunir que l imgen de un vetr pr un hmtei de entr y rzón k es tr vetr tl que: es prlel l vetr L rzón de ls móduls es igul l rzón de l hmtei = k Se nserv el sentid, si k es psitiv y mi de sentid se k es negtiv. Ejerii: Cnstruye el hmtéti de ls siguientes vetres: ) H (0; -2) (hmtei de entr y rzón k = -2 del vetr ) * = 2 = 2 = 2 = 2 // per de sentids puests. 19

20 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll ) H (;5/2) d (hmtei de entr y rzón k = 5/2 4/2 * 2/2 d 3/2 1/2 * 5/2 * d * d 5 = = 2,5 d = 2, 5 d d 2 d // d y del mism sentid ) H (;-1/2) (Hmtei de entr y rzón k = -1/2 del vetr ) * * = 1 2 = 1 2 = es deir que inide n d) H(;3/2) d (hmtei de entr y rzón k = 3/2 del vetr d) d d * d 3 = = 1,5 d = 1, 5 d d 2 el punt inide n * * 20

21 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll IMAGEN DE UNA RECTA L hmtéti de un ret R n respent un entr, es tr ret R prlel ell. R R IMAGEN DE UN ÁNGULO Pr determinr l imgen de un ángul pr un hmtei H (;k) es sufiiente hllr el hmtéti del vértie y el de un punt perteneiente d ld, y que en un hmtei vrí sl el tmñ de l figur, per n sus ánguls. v α v α v // v v // v α = α 21

22 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll COMPOSICIÓN DE HOMOTECIAS DEL MISMO CENTRO Cm l hmtei es un funión puntul, pdems hllr el resultd de l mpsiión de ds hmteis. Se pr ejempl: ) H (; 2) = k 1 = 2 H (; 3) = k 2 = 3 H (; 2) H (; 3) = H (; 6) k = k 1. k 2 = 2 x 3 = 6 ) H (; -2) = k 1 = -2 H (; 3) = k 2 = 3 H (; -2) H (; 3) = H (; -6) k = k 1. k 2 = (-2) x 3 = -6 22

23 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll De uerd n ls resultds nluims: L mpsiión de ds hmteis del mism entr es tr hmtei del mism entr, uy rzón es el prdut de ls rznes de ls hmteis dds Se puede demstrr que l mpsiión de hmteis umple ls siguientes prpieddes: Ley de ierre (es tr hmtei del mism entr) Ley sitiv Existe neutr Td hmtei tiene invers Ley nmuttiv SEMEJANZA Ls hmteis y ls mvimients sn funines puntules y en nseueni pdems mpner un hmtei n un mvimient. Definiión: Se llm semejnz td mpsiión de un mvimient n un hmtei Ejempl: ) T v H (; 3) F F (Trslión n hmtei) F F v F Aquí l hmtei trnsfrm F en F, lueg l trslión trnsfrm F en F 23

24 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll ) H (; -3/2) S E : F F E (Hmtei n Simetrí xil) Aquí l Simetrí trnsfrm F en F, lueg l hmtei trnsfrm F en F Nt: Oservems que en el primer s l mpner un trslión n un hmtei, hems relizd primer l hmtei y su resultd le plims l trslión. Es deir que hems relizd un trslión de l hmtei. En el segund s, dnde hems mpuest un hmtei n un simetrí, hems relizd primer l simetrí y lueg su resultd le plims l hmtei. Es deir que hems relizd un hmtei de l simetrí. Es imprtnte tener en uent el rden en que se reliz l mpsiión, y que si invertims el rden el resultd será ttlmente distint. Rerdems ls siguientes nepts: Cngrueni: es un mpsiión de mvimient. Semejnz: es un mpsiión de un mvimient n un hmtei. Oservems que un ngrueni n impli semejnz, per un hmtei si impli un semejnz y que l hmtei tiene inrprd un trslión. PROPIEDADES DE LA SEMEJANZA Es REFLEXIVA: un figur puede dr sí mism m imgen (si l rzón es er) Es SIMÉTRICA: F d m imgen F y F puede vlver dr F Es TRANSITIVA: Si F F y F F, entnes F F Deims que ls figurs semejntes tienen l mism frm, n el mism tmñ. 24

25 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll Ejempls de figurs que nservn l frm per que vríen su tmñ sn ls ftgrfís mplids reduid, ls plns de un viviend en distints esls, ls mps de un pís, et. Desde el punt de vist mtemáti, interes ner ls relines entre ds figurs semejntes. En td semejnz ls ánguls sn ngruentes y ls segments prprinles. TEOREMA FUNDAMENTAL DE SEMEJANZA Si se trz l prlel un ld de un triángul, ést determin n ls rets que perteneen ls trs ds lds, un triángul semejnte l dd. Cnsiderems ls tres ss psiles: En ls tres ss ls triánguls y sn semejntes. = = k En el primer s: 0 < k < 1 En el segund s k > 1 En el terer s k < 0 25

26 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll POLÍGONOS SEMEJANTES Dijims que medinte l hmtei teníms triánguls semejntes; m ls plígns están frmds pr triánguls, ésts tmién serán semejntes, es deir que sus ánguls serán ngruentes y sus lds prprinles. d d Ls triánguls y sn semejntes Ls trpeis d y d sn semejntes ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d ˆ d ˆ = = = k d d = = = = k d d EJERCICIOS DE TRANSFORMACIONES EN EL PLANO TRASLACIÓN 1) Determinr l imgen de R pr l trslión T v R R P 1 P 2 v α1 α2 R P 1 P 2 ) Cuánts punts neesits trsldr pr determinr l ret trnsfrmd de R? )Demuestr que l trnsfrmd de R es un rt R prlel R. ) Trnsfrmnd ds punts P 1 y P 2 P 1 y P 2 teng determind l ret R. ) Se frmn ds triánguls P 1 P 1P 2 y P 2 P 1 P 2 dnde: P 1 P 2 es ld mún ls ds triánguls P 1 P 1 = P 2 P 2 pr nstruión (demás sn prlels) α 1 = α 2 pr ser lterns interns entre prlels 26

27 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll Cnlusión: Si ls triánguls tienen ds lds ngruentes y el ángul mprendid ngruente, el terer ld P 1 P 2 dee ser igul P 1P 2 y pr l tnt prlels. 2) Apli l ret R un trslión de vetr v prlel ell. v R ) Cuál es l ret trnsfrmd de R? ) Existe lgún punt unid en l trslión? R * P 2 * P 2 * P 1 R * P 1 ) L ret trnsfrmd R inide n R. ) Pr que exist lgún punt unid el vetr v dee ser nul, pr l tnt n existe en este s. El punt P 1 ps P 1 y el punt P 2 ps P 2. 3) Apli l figur l trslión indid pr el vetr. d d v 4) Apli l figur un trslión uy vetr se v = v El vetr v tendrá el mism lrg que el ld y su sentid será desde hi, pr l que el punt inidirá n el punt. 27

28 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll 5) Se puede psr de F F pr un trslión? F F N, prque en l trslión ls lds se mntienen prlels y l figur n mi de sentid, sl se desplz prlel sí mism. COMPOSICIÓN DE TRASLACIONES 6) Hllr el resultd de ls siguientes mpsiines: ) T 1 T 2 T -1 1 = T 1 : T -1 1 : T 2 : L mpsiión es = T 2 ) T I T -1 = T: T -1 1 : I: L mpsiión es = I 7) Apli l triángul l mpsiión de trslines Tv 1 Tv 2 Tv 3 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 v resultnte 28

29 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll ROTACIÓN 8) Demuestr que un segment y su trnsfrmd pr un rtión sn ngruentes. α y ó ˆ ˆ Será entnes: y 9) Apli l triángul l rtión R (; +100º) y demuestr que +100º Rerdr que +100º es un gir ntihrri 10) ) Apli l segment un rtión R (; +180º) R (; +180º) : ) Apli l segment un rtión R (; -180º) R (; -180º) : 29

30 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll ) Qué puedes deir de y? -180º = +180º = Vems que inide n y inide n, es deir que es indistint girr 180º en un sentid en tr. 11) Apli l ret S l rtión R (; -70º). Cn que n pertenee l ret S. Cuánts punts neesits trnsfrmr pr nseguir l imgen de S? S * P 2 P 1-70º * P 2 * * P 1 Se neesit trnsfrmr 2 punts pr nseguir l imgen de S. S 12) Apli l ret S l rtión R (; +50º) n perteneiente l ret S. Cuánts punts se neesit en este s pr nseguir l imgen de S? P 1 * +50º * * P 1 Se neesit sl un punt, y que el tr es el mism punt (entr de gir). 30

31 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll COMPOSICIÓN DE ROTACIONES 13) Hll l sum de ls siguientes ánguls rientds. ) +100º +50º +50º +100º 100º+50º= 150º ) +100º -40º -40º 100º-40º= 60º 60º 14) Clul l sum de ls siguientes ánguls rientds. ) α 1 = + 30º α 2 = + 75º 30º + 75º = 105º ) α 1 = - 65º α 2 = - 80º - 65º - 80º = - 145º ) α 1 = - 135º α 2 = + 50º - 135º + 50º = - 85º 15) Hllr el resultd de ls siguientes mpsiines: ) R 1 R 2-1 I R 2 = R 2 se nul n R 2-1, lueg qued R 1 I = R 1 31

32 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll ) R 1-1 (R 1-1 ) -1 R 2 = R 1-1 se nul n su invers (R 1-1 ) -1, lueg qued l mpsiión igul R 2 16) Cmplet n un rtión nveniente pr que se verifique l iguldd. ) R (+32º) R (+25º) _ = I Respuest: R (+32º) R (+25º) R (-35º-25º=-57º) = I ) R (-74º) R (+18º) _ = R (-56º) Respuest: m -74º + 18º = -56º l úni mpsiión psile es l identidd R (-74º) R (+18º) I = R (-56º) 17) Apli l segment el prdut de ls rtines siguientes: R (; -65º) R (; +140º) L mpsiión de ls rtines meninds es: R (; -65º+140º) = R (; +75º) 75º 18) Apli l figur d el prdut de ls rtines siguientes: R (; d) R (; d) R (; d) = L mpsiión de ess tres rtines d m resultd = R (; 3 d) ^ En este s prtiulr d: 3 d = 3 x 60º = 180º 32

33 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll d 60º 60º 60º d Nt: si huiese elegid un ángul distint de 60º el resultd huier sid distint de 180º, pr l tnt l psiión de l figur trnsfrmd serí tr. 19) Aplir l triángul l mpsiión de rtines siguiente: R (; 90º) R (; 90º) R (; 90º) R (; 90º) = Cm gir utr vees 90º lrededr del entr, en relidd h gird 360º, entnes vuelve el triángul su psiión riginl. * 360º SIMETRÍA CENTRAL 20) Cnstruye l figur simétri de n respet l entr. 33

34 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll 21) Cnstruy l figur simétri de d n respet l punt d. d 22) Cnstruy l figur simétri de d n respet l punt d d 23) Cuál es tu nlusión? ) Cnstruye l simétri de l ret S n respet l entr n perteneiente ell. S S Cnlusión: L simétri de un ret n respet un entr n perteneiente ell es prlel ell. 34

35 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll ) Cnstruye l simétri de l ret S n respet un entr que pertenez l mism * S * * * * S Cnlusión: L simétri de un ret n respet un entr que pertenez l mism es inidente. ) Hy punts unids en lgun de ls ds simetrís? En l ret del punt ) n hy elements unids. En el s ), si ien l ret S y l S sn inidentes, el úni punt unid es el. 24) Apli l segment l siguiente mpsiión de tres simetrís entrles: S 1 S 2 S 3 1 O 2 O 3 El mvimient M que trnsfrm en es un trslión un simetrí entrl? Es un simetrí entrl, su entr se determin uniend n y n. Dnde se rtn es el entr de simetrí.(punt M del diuj de j) 1 O 2 M O 3 35

36 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll Oj! N siempre es un simetrí entrl, vees es un trslión, pr ejempl si nsiderms n, verems que llí tenems un trslión, en trs plrs tenems que tener en uent si el númer de vees que hems mpuest ls simetrís es pr impr. 25) Verifir en el siguiente ejempl, que l mpsiión de simetrís entrles n es nmuttiv. Primer hg S 1 S 2 O 1 O 2 Ahr mpng: S 2 S 1 O 1 O 2 Vems que el diuj de l págin nterir n tiene nd que ver n el de est págin. El segment e en un psiión ttlmente distint en ls ds diujs. Es prue que l mpsiión de simetrís entrles n es nmuttiv. 36

37 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll 26) Apli l siguiente figur l mpsiión de simetrís S 1 n S 2 : O 1 = O 2 SIMETRÍA AXIAL 27) Cnstruye l figur simétri de n respet l eje E E 28) Cnstruye ls simétris de, d y ef n respet l eje E. Mr ls punts unids. f d = d e E e punt unid f 37

38 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll 29) Cnstruye l figur simétri de d n respet l eje E. Mr ls punts unids d=d = E Ls punts unids sn ls rrespndientes l segment d 30) Cnstruye l figur simétri de d n respet l eje E. d d E 31) Cuál es tu nlusión? ) Cnstruye l simétri de l ret s n respet l eje E prlel ell. (S//E) S E S Cnlusión: S // E // S 38

39 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll ) Cnstruye l simétri de S liu l eje E S P E S Cnlusión: el úni punt unid es el punt P. ) Cnstruye l simétri de S perpendiulr l eje E S P E S Cnlusión: L ret S es inidente n l ret S, per el úni punt unid es el P. 39

40 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll 32) Demuestr que el prdut de ds simetrís de ejes prlels es un trslión tl que l lngitud del vetr es igul l dupl de l distni entre ls ejes. Si E 1 // E 2 S E1 S E2 = T v n v = = dist (E1E2) v 2 dist E 1 E 2 E 1 E 2 = = 1 1 = = = 2.( ) = 2 (dist ) = v ) Demuestr que el prdut de ds simetrís uys ejes se rtn en un punt es un rtión de entr y uy ángul de gir es el dupl del ángul frmd pr ls ejes. E E 2 40

41 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll S E1 S E2 = R (; ) = = 1 y 2 = 2 entnes: = = 2 ( ) = 2 (ángul entre ejes) 34) Cuál es tu nlusión? Apli l segment l siguiente mpsiión de simetrís de ejes prlels. S E1 S E2 S E3 S E4 S E5 S E E 2 E 1 E 3 E 4 E 5 E 6 Si nlizms ls resultds de ls mpsiines efetuds verems que: S E1 S E2 = T 1 S E1 S E2 S E3 = S 1 S E1 S E2 S E3 S E4 = T 2 S E1 S E2 S E3 S E4 S E5 = S 3 S E1 S E2 S E3 S E4 S E5 S E6 = T 3 Cnlusión: 41

42 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll El prdut de un númer PAR de simetrís xiles de ejes prlels es un TRASLACIÓN. El prdut de un númer IMPAR de simetrís xiles de ejes prlels es un SIMETRÍA AXIAL. En trs plrs n umple l ley de ierre. 35) ) Apli l segment el prdut de simetrís S E1 S E2 ) Apli el prdut de simetrís S E2 S E1 ) E 1 E 2 ) E 1 E 2 Cnlusión: L mpsiión de simetrís xiles n es nmuttiv. 42

43 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll HOMOTECIA 36) Cuál es l imgen de en td hmtei de rzón k? H (; k) : = Cm l hmtei es l distni desde el punt hst el entr multiplid pr k y quí l distni entre y el mism es er, result que l imgen inide n el punt. 37) ) Cuál es l imgen de un punt ulquier P en l hmtei de entr y rzón k = 1? H (; 1) : P = P Al multiplir l distni pr 1, ést n vrí, pr l tnt l imgen de p inide n P. ) Qué punts del pln sn dles en est trnsfrmión? Tds, y que l multiplir ls suesivs distnis pr k = 1 tds ls imágenes inidirán n sus respetivs punts de rigen. 38) Determin ls hmtétis de ls punts y según l rzón indid en d s. ) k = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 ) k = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 43

44 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll ) k = 3 1 = = = 3 1 = 3 39) Hll el hmtéti de d segment de uerd n ls dts nsignds: ) H (; -3/4) 3 = 4 3 = 4 Supngms que: = 1,7 m -3/4 x 1,7 m = - 1,28 m = 2,2 m -3/4 x 2,2 m = - 1,65 m ) H (; -5/2) 5 = 2 5 = 2 44

45 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll 5 Supngms: = 2,6 m = 2,6m = 6, 5m 2 5 = 1,8 m = 1,8m = 4, 5m 2 40) Hllr ls imágenes de ls vetres, y pr ls hmteis indids. H (; 3/2) H (; 3/2) H (; 3/2) 3 3 = = 2,5m = 3, 75m = = 1,9m = 2, 85m = = 1,9m = 2, 85m )nstruye el hmtéti de d vetr: ) H (; -2) = 2 = 2 1,8m = 3, 60m x = 2 = 2 2,2m = 4, 40m 45

46 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll ) H (; 5/2) d 5 5 = = 3m = 7, 50m 2 2 x 5 5 d = d = 3m = 7, 50m ) Cnstruye el hmtéti de d vetr: ) H (; -1/2) 1 1 = = 2,7m = 1, 35m 2 2 = x 1 1 = = 0m = 0m 2 2 ) H (; 3/2) d d d 3 3 d = d = 2,5m = 3, 75m 2 2 = 3 3 = = 0m = 0m 2 2 ) H (; -2) mn n m n m m = 2m = 2 0,8m = 1, 6m n = 2n = 2 1,3m = 2, 6m 46

47 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll d) H (; 2) rs r = 2r = 2 1m = 2m r r s s s = 2s = 2 2m = 4m De uerd ls resultds servds en ls ejeriis nterires pdems firmr que: Ds vetres hmtétis en un hmtei de rzón k > 0 tienen el mism sentid. Ds vetres hmtétis en un hmtei de rzón k < 0 tienen sentid puest. 43) Cnstruye l irunfereni hmtéti de C (; R) de uerd n l rzón dd: ) H (; 2) {C (;R) } = 2 = 2 1,1 m = 2, 2m R = 2. R = 2 x 1,1 m = 2,2 m ) H (; -2) {C (;R) } = 2 = 2 1,1 m = 2, 2m R = -2. R = -2 x 1,1 m = -2,2 m 47

48 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll 44) Cnstruye l hmtéti de l figur dd. H (; 5/2) d d d 5 5 = = 1,5m = 3, 75m = = 1,5m = 3, 75m = = 0,6m = 1, 5m d = d = 0,6m = 1, 5m 2 2 COMPOSICIÓN DE HOMOTECIAS DEL MISMO CENTRO Rerdr que es tr hmtei del mism entr, uy rzón es el prdut de ls rznes de ls hmteis dds 45) Expres en d s l hmtei resultnte de l mpsiión: ) H (; 3) H (; -1) = H (;-3) ) H (;- 3/4) H (; -5/6) = H (;5/8) 3 5 ( ) ( ) = ) H (; 1/3) H (; 3) = H (; 1) d) H (; -2) H (; 1/4) H (-2/5) = H (;1/5) 1 2 ( 2) ( ) =

49 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll 46) Hllr l imgen de en l mpsiión de hmteis: H (; - 3) H (; 1/2) = H (; -3/2) 3 3 = = 2,7m = 4, 05m = = 2,1m = 3, 15m 2 2 SEMEJANZA Semejnz es l mpsiión de un mvimient(trslión, simetrí, et) n un hmtei 47) Cnstruye l imgen de en ls siguientes semejnzs. H (O2; 3/2) S = 2 = 2m = 3m = 2 = 3,6m = 5, 4m 2 2 Oj: Si primer hg l hmtei y lueg l simetrí, el resultd es distint. N es nmuttiv. L mpsiión indid es un hmtei de un mvimient, pr l tnt primer se efetú el mvimient y finlmente se prti l hmtei. 49

50 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll 48) T v H (; -2) v Aquí tenems un trslión de un hmtei, pr l tnt primer hg l hmtei y finlmente l trsld. v = 2 = 2 1,7m = 3, 4m = 2 = 2 2,5m = 5m v 50

51 Mtemáti Diseñ Industril Trnsfrmines en el pln Ing. Avil Ing. Mll PREGUNTAS DE AUTOEVALUACIÓN 1) Qué similitud enuentr entre relizr un trslión de un punt, un segment un figur ulquier? 2) Cóm reliz l mpsiión de ds trslines? 3) Qué similitud enuentr entre relizr un rtión de un punt, un segment un figur ulquier? 4) Cóm reliz l mpsiión de ds rtines del mism entr? 5) Qué similitud enuentr entre relizr un simetrí entrl de un punt, un segment un figur ulquier? 6) Vims que l mpsiión de ds trslines es tr trslión y que l de ds rtines es tr rtión. Es l mpsiión de ds simetrís entrles tr simetrí entrl? 7) Cóm reliz un simetrí xil? 8) Vrí el tmñ del jet sus ánguls interns l relizr lgun de ls mvimients vists en ls pregunts nterires? 9) Vrí el tmñ del jet sus ánguls interns l relizr un hmtei? 10) Cuál es l relión mtemáti fundmentl en l hmtei? 11) Oserve ls figurs de l primer págin del pítul y determine que mvimients se utilizrn l rerls. 51