TEMA 2. GEOMETRÍA 3º ESO

Transcripción

1 TE. GEETRÍ 3º ES eprtmento e rtes lástis y iujo 1

2 iámetro() rio (r) sente segmento irulr o3 tg o1 o tngente (tg) setor irulr o1 irunfereni sente o irunfereni tngente o3 irunfereni exterior o3 o1 tg o o1 irunfereni interior o irunfereni tngente exterior o3 irunfereni tngente interior ángulo insrito ángulo exterior ángulo entrl ángulo entrl si entones R Z R Z e olígono ISRIT olígono IRUSRIT TERE THES r r r EREIUR por el Extremo e un semirret r EREIUR un ret r por un punto e r EREIUR un ret r por un punto exterior RE un ret r por un punto exterior r t EITRIZ e un SEGET ISETRIZ e un GU ISETRIZ e un GU ÍG IRREGUR ÍG REGUR ÍG EXTRE IGES e un polígono E e un polígono omre e lumno urso RES GEETRÍ eprtmento e rtes lástis

3 Según sus los TRIÁGU EQUIÁTER == TRIÁGU ISÓSEES == Según sus ángulos TRIÁGU ESE == TRIÁGU UTÁGU < TRIÁGU TUSÁGU TRIÁGU RETÁGU > = untos y rets TES e un triángulo irunferenis EXISRITS m I = TURS = RTETR m = EIS = RIETR = ISETRIES I = IETR irunfereni insrit = EITRIES = IRUETR irunfereni irunsrit HRIZTES VERTIES IUS ines retsres ines urvs RES EREIURES omre e lumno urso RES GEETRÍ eprtmento e rtes lástis

4 TERIES UTIIZS E IUJ TÉI es e iujo ténio y prlex Eslímetros y plntills e letrs. rlex sero uhills, rotulores y estilógrfos Regls y plntills: esur, rtón, igoter, plntill e urvs lntills e letrs, írulos, urvs y elipses. ETUR ÁIES GRFIT ÁIZ UREZ 8,7 6 5,4 3, H F-H H, 3H 4H, 5H EXTR UY SRER. IUJ RTÍSTI IIÓ IUJS, ESRITUR RQUIS IUJ RQUITETUR URS IUJS TÉIS UY RTGRFÍ URS S REIÓ E UERIÓ H H 4H meiores e urvs y ÁIES ómo sr punt un ompás o lápiz ompses enles l rhivo e mteriles. 6

5 TE 1. STRUIES GEÉTRIS ÁSIS. Ies: os elementos que vmos ver urnte too el urso son ojetos que se istriuyen lo lrgo e un plno on iferentes ojetivos: representr l reli el espio en os imensiones o ien representr ls tres imensiones. Tos ests representiones o iujos están jo iertos oniionntes muy importntes: primero hn e ser muy preisos pr que sen relmente útiles. Seguno, hn e seguir un orm, es eir un uero internionl pr que en tos prtes se igul. Hy que tener en uent que el iujo ténio es un lenguje gráfio universl y omo meio e expresión se tiene que entener por toos los que prtiipen en este lenguje. or too ello el resulto e nuestro trjo h e ser R y II, que no ofrez onfusión ni que hyn elementos que nos puen istrer. Toos los tos hn e ser rigurosos y ofreernos to l informión neesri. os elementos que ntes menionámos y en lo que está so el iujo ténio son, por oren e simplez: E UT: El punto en reli sólmente existe omo ie filosófi, puesto que relmente no existe: no tiene imensiones. Sin emrgo nosotros lo vmos utilizr muho. form más usul e representr El punto será omo un mnh muy pequeñ, reon y rellen o ien omo l interseión e os rets tmién pequeñs. Se se nomr on letrs myúsuls,,,,,,.,... Un punto en el plno, es un punto RI. Un punto en el infinito será un punto IRI. ÍE: líne solmente exíste meis, un poo tmién omo ie filosófi pero que tmién se utiliz stnte: solmente tiene un imensión (1): l longitu. or lo tnto se puee meir su longitu. form e representr l líne se meinte l onseuión e multitu e puntos muy juntos y lineos: l líne es un onseuión line e puntos. uesto que l line está ompuest por un punto etrás el otro, uno os líne se ortn, su interseión, ovimente, será un punto. s línes pueen ser: urvs, rets, quers, mixts. Hy un líne ret uno se unen os puntos en su mínim istni. o tienen prinipio ni finl; el iniio y el finl e un ret estrá en el infinito, en un punto impropio. form e enominr un ret es on letrs minúsuls, normlmente onsonntes: r, s, t, u, v, et. uno un ret tiene un iniio en el plno y el finl en el infinito se llm semiret. uno se ot un ret por meio e os puntos el resulto se llm SEGET. os segmento más normles que vmos utilizr son los segmento retos. os segmentos se enominn on los nomres e los puntos que otn iho segmento:., Q,. Tmién se pueen nomrr on un letr minúsul. Según l isposiion espil en el plno y el ángulo que formn on otrs rets tenemos l siguiente lsifiión: tipos e línes r line ret line urv line mixt Segmento os puntos s line quer t u Segmento Horizontl liu Vertil erpeniulres Formn entre sí. rlels o se ortn nun y si lo hen es en un punto Impropio Semiret igonl 7

6 E : El plno existe meis puesto que solmente tiene os imensiones (): el nho y el lto. los plnos los llmmos por meio e letrs griegs: et. os plnos tmién son infinitos y los otmos por one nosotros nos onviene. Un plno se puee efinir omo l interseión e tres rets entre sí. os plnos pueen ortrse. interseión e os plnos que se ortn es un ret. os plnos tmién se representn meinte ls rets que formn en ls interseiones e otros plnos. Too lo estuio en este tem serán ls onstruiones geométris que preismente solmente tienen os imensiones y se representn preismente en un plno (que se puee onsierr nuestrs lámins e iujo). E VUE: uno trjmos on tres imensiones (3), estmos nte el volumen o el espio. Un figur on volumen tiene nho, lto y profuno y oup un lugr en el espio. El espio y el volumen se pueen representr en el plno meinte los iferentes SISTES E RERESETI que estuiremos en tems posteriores. STRUIES GEÉTRIS ÁSIS. lno lf r Hexero o uo rofuno lto nho s t r l orret relizión e los iferentes trzos geométrios neesitmos ser el mnejo preiso e toos los instrumentos e iujo: esur y rtón, ompás, lápies, trnsportor e ángulos, et. emás se neesit un iert titu omo limpiez, oren, preisión, lri,... En too trzo geométrio istinguiremos siempre tres fses e relizión: 1.- El onoimiento e los tos previos..- s operiones gráfis. 3.- El resulto finl. En l representión gráfi (iujo) ifereniremos un e ests fses el proeso por el grosor y l visulizión el trzo e ls línes: los tos e prti y ls línes uxilires que nos yun onstruir irán en líne muy fin y en un tono muy lro; los tos o elementos importntes irán en línes e grosor meio o tono meio; el resulto finl irá en líne grues y en un tono osuro. r ello utilizremos un lápiz e grfito uro, omo puee ser el 4H, siempre sin pretr y on suvi, filo y mrno más fuerte el resulto. r iujr utilizremos un lápiz filo, fino y e urez lt: un 4H o ien portmins e 0,5 mm. tos: fino y gris meio. onstruiones: fino y lro Resultos: más osuro y grueso Tnto el lápiz omo el ompás hn e estr siempre ien filos ppel e lij étoo pr oger ien ls regls rimers onstruiones: RES on ls regls. s rets prlels U se ortn. r empezr onstruiremos prlels on l esur y el rtón. ir tentmente el gráfio one se expli omo utilizr ls regls pr her prlels horizontles, vertiles y igonles, sí omo los ángulos que se pueen onstruir on ells. ngulo: ngulo: ngulo: 45º ngulo: 45º ngulo: 60º ngulo: 30º ESUR RTÓ

7 ámin º 1: RES Y EREIURES REGS I. ÁGUS REGS TERIES: ápiz grfito 4H. Esur y rtón. ámins e iujo ténio. REIZIÓ: Un sesión 50 minutos SS: 1. iviir l lámin en utro (4) prtes igules. En l primer prte iujr línes rets prlels horizontles 0,5 m e istni... iujr un line igonl que forme on ls horizontles un ángulo e 75º. Este ángulo se relizrá on l esur y el rtón. (figur 1) 3. En l segun prte iujr línes rets vertiles 0,5 m e istni iujr un line igonl que forme on l horizontl un ángulo e 60º. Este ángulo se relizrá on el rtón. (figur ) 4. En l terer prte iujr línes rets igonles 0,5 m e istni on un ángulo sore l horizontl e 30º. Relizrlo on el rtón. (figur 3) 4... iujr un line igonl que forme on ls prlels e (ángulo reto). Este ángulo se relizrá on l esur y el rtón. (figur 3) 5. En l urt prte iujr línes rets igonles 0,5 m e istni on un ángulo sore l horizontl e 45º en los os sentios. Relizrlo on l esur y el rtón. (figur 4) 5... s igonles eerán formr entre sí uros e 0,5 m e lo por lo tnto ls os igonles eerán formr un ángulo e. (figur 4) (figur 1) (figur ) 75º 60º 1 m 1 m 10º 75º 75º 60º 30º (figur 1) (figur 3) 30º 45º 45º 60º omre e lumno urso RES Y EREIURES REGS. ÁGUS 30º (figur 3) (figur 4) (figur ) (figur 4) 45º REIZIÓ el SIER pr notr los TS e l ÁI y el UTR: Se relizrá un sillero on os rets prlels horizontles 1 m e seprión entre ells. entro el mrgen. iujr os prlels vertiles 30 mm. e los márgenes ereho e izquiero respetivmente. El sillero se relizrá lápiz H o 4H sin pretr y los tos se esriirán en YÚSUS y on letr pequeñ. 3 m 3 m 1 m 1 m omre e lumno RES Y EREIURES REGS. ÁGUS urso

8 75º 60º 30º omre e lumno 45º eprtmento e rtes lástis urso RES Y EREIURES REGSI. ÁGUS 10

9 1 1 horizontl vertil º-105º 1 45º 135º 30º 1 60º 45º45º 135º 75º 45º 60º-10º 105º 3 10º 105º 60º 10º 150º-30º 150º uro 150º 1 30º omre e lumno RES Y EREIURES REGS. ÁGUS eprtmento e rtes lástis urso: : 11

10 1 1 horizontl vertil º-105º 1 45º 135º 30º 1 60º 45º45º 135º 75º 45º 60º-10º 105º 3 10º 105º 60º 10º 150º-30º 150º uro 150º 1 30º omre e lumno RES Y EREIURES REGS. ÁGUS eprtmento e rtes lástis urso: : 1

11 ámin º : RES Y EREIURES REGS II. FIGURS TERIES: ápiz grfito 4H. Esur y rtón. ámins e iujo ténio. REIZIÓ: sesiones e 30 minutos figur. EUI Y SS: 1º iujr l figur propuest on l esur y rtón, según ls ots y los ángulos os. 1.- iujr un líne ret en l se el reuro one se v rlizr el iseño. En l líne ret se mrn ls meis priniples: 30mm. y tres e 0 mm..- iujr los ángulos on l esur y el rtón. ese el punto inio el vértie el ángulo poner el ángulo e 60º on el rtón. El ángulo e 135º puee relizrse on l ominión e ls regls o ien on el ángulo suplementrio: 45º on l esur. 135º 60º 30º 60º 45º45º 60º 0 mm. 0 mm. 0 mm. 30 mm. 0 mm. 0 mm. 0 mm. 30 mm. 3.- Relizr l vertiles y prlels por ls zons mrs. 4.- rr ls ots vertiles 50 mm, 0 mm, 16 mm. 5.- rr los ángulos en los vérties inios omo en el punto. 6.- Unir los extremos superiores, los puntos y. Hllr el punto meio on l meitriz e. iujr un ro e irunfereni e iámetro 16 mm. 50 mm. 0 mm. 30º 60º 30º 60º 7. Relizr prlels 0,5 m en el interior e to l figur. rr más osuro o olor l figur omplet. r relizr l SEGU figur, elegir U, l que más te guste o iseñ tú un nuev. Se trt e que utilies l esur y el rtón pr relizr horizontles, vertiles y olius, prlels, perpeniulres y igonles. figur puee eorrse en lno y negro, on mnhs negrs o ien pintrlos y relizr un eorión en olor.

12 Reliz l siguiente figur on l esur y rtón, según ls ots y los ángulos os. 50 mm. 0 mm. 30º 60º 135º 16 mm. 60º 0 mm. 0 mm. 0 mm. 30 mm. 70 mm. Elige un figur e ls e jo, o ien iseñ tu un nuev. Ten en uent ls prlels. omre e lumno urso RES Y EREIURES REGS II

13 ÁIS E IUJ TÉI: ámin nº : RES Y EREIURES III. on ompás r l relizión e ls siguientes onstruiones hy que tener en uent too los visto nteriormente y seguir los psos metiulosmente. 1.- Sum e segmentos. os segmentos se pueen meir. Es l istni que hy e un punto e un extremo l otro extremo. Es istni puee ser métri (en m, mm, et.) o ien solmente gráfi (l istni que se puee meir meinte el ompás). r relizr este ejeriio se utilizrá el ompás y se sumrn ls istnis gráfis..-rest e segmentos: El ejeriio es igul que el nterior pero en este so se rest l primer istni l segun istni on el ompás. 3.-ultiplir un segmento: omo en mtemátis, se sumn onseutivmente ls unies tnts vees omo se quier multiplir. 4.- iviir un segmento por (EITRIZ e un segmento) r relizr un meitriz e un segmento se pone el ompás en un extremo el segmento y se re éste un poo más e l mit el segmento. Se trz un semiirunfereni. Estos mismos psos se relizn en el otro extremo el segmento. Sum los siguientes segmentos tos: Relizión: Rest los siguientes segmentos tos: Relizión: Resulto Resulto ultipli el siguiente segmento por 3. ivie el segmento por (EITRIZ e ) meitriz es el primer elemento omplejo e geometrí y se utiliz muhísimo en iujo. rterísti geométri e l meitriz es que si e ulquier punto e ell lo unimos los extremos el segmento l istni el punto un extremo y l otro es l mism. UGR GEÉTRI: Un lugr geométrio es uno hy un grupión e puntos que tienen en omún lgun ley mtemáti o geométri. ugr geométrio son: l meitriz, l isetriz, l irunfereni, l poteni e un punto, el ro pz, et. Ejemplo: EITRIZ es el lugr geométrio e toos los puntos el plno que unios los extremos e un segmento son equiistntes. 5.- iviir un segmento en prtes igules. (Teorem e Thles). r iviir un segmento en ulquier número e prtes igules hemos e iujr un ret por el extremo el segmento. istni y el ángulo pueen ser ulquier. En es ret y on el ompás, poner l mism mei tnts vees omo quermos iviir el segmento (ver sum e segmentos). on l últim mei: unirl on un ret l otro extremo el segmento. or último iujr prlels est últim ret. TERE E THES: Si un hz e rets prlels son orts por os ret no prlels (que se orten entre sí) toos los segmentos resultntes son RRIES. Est es un proporion iret: vrin e tl form que se rzón permnee onstnte. /=/=p/q= k (se verá más elnte en l RRII IRET). ivisión e un segmento en prtes igules. (TERE E THES) Relión e proporionli: = = 14

14 6.- iviir un segmento en prtes proporionles. (Teorem e Thles). r iviir un segmento en prtes proporionles otros segmentos os hemos e tur igul que on el ejeriio 5: hemos e iujr un ret por el extremo el segmento. istni y el ángulo pueen ser ulquier. En es ret y on el ompás, poner ls meis e los segmentos os (se he on el ompás). on l últim mei el último segmento: unirl on un ret l otro extremo el segmento. or último iujr prlels est últim ret por los extremos e los segmentos os. ivisión e un segmento en prtes proporionles. Segmentos os Ejeriio = = 7.- evntr un perpeniulr por el extremo e un semiret: oner el ompás en el extremo e l semirret (). rir el ompás on un mei ulquier. iujr un semiirunfereni. one l semiirunfereni ort l semiret, punto, poner el ompás, y sin erpeniulr un semiret. mover l nhur, iujr otro ro que orte l primero en. Igulmente, ese, iujr otro ro que vy ese el extremo e l r semiret. ortrá l primer ro en. ese, iujr otro ro hst que orte en. Se unen y on un ret. 8.-iujr un perpeniulr l ret s por un punto e l ret o. Se pone el ompás en y se re on un istni ulquier. Se iuj un ro e irunfereni que orte s en os prtes. y son os puntos que equiistn e, luego es el entro e un segmento formo por y. r hllr l perpeniulr se iuj l meitriz e. 9.- iujr un perpeniulr l ret t por un punto exterior l ret o. El ejeriio es iéntio l primero, pero en este so el punto está fuer e l ret. s 10.- iujr un ret prlel otr y que pse por un punto. l ret u y el punto, exterior ell. iujr un ro e irunfereni, on entro en y que orte u, on t un rio ulquier. Este ro ort u en. ese iujr el mismo ro, est vez que pse por, ortrá u en. on el ompás se mie l istni que hy e y trslr es istni ese hst que orte l ro que ps por =. Unir y meinte un ret. TERI E S RES: uno un pr e rets prlels son orts por un hz e rets tmién prlels, los segmentos prouios son IGUES y los ángulos tmién. === u En un trpeio l se menor es igul que el prouio por os los prlelos ese uno e sus vérties. 16

15 1.- Sum los siguientes segmentos.- Rest los siguientes segmentos 3.- ultipli el siguiente segmento por 3 (x3) 4.- ivie el segmento por (meitriz e ) 5.- ivie el segmento por 3 ivisión e un segmento en prtes igules (teorem e Tles) 6.- ivie el segmento en prtes proporionles los siguientes segmentos (teorem e Tles) 7.- erpeniulr por el extremo e un semiret 8.-erpeniulr por el punto perteneiente l ret r r s 9.-iuj un perpeniulr l ret r por un punto exterior ell. 10. iuj un prlel l ret r por un punto exterior ell. u t omre e lumno eprtmento e rtes lástis urso ERIES SEGETS y RETS 17

16 1.- Sum los siguientes segmentos.- Rest los siguientes segmentos 3.- ultipli el siguiente segmento por 3 (x3) 4.- ivie el segmento por (meitriz e ) 5.- ivie el segmento por 3 ivisión e un segmento en prtes igules (teorem e Tles) = = = = = = T 6.- ivie el segmento en prtes proporionles los siguientes segmentos (teorem e Tles) 7.- erpeniulr por el extremo e un semiret 8.-erpeniulr por el punto perteneiente l ret r r s 9.-iuj un perpeniulr l ret r por un punto exterior ell. 10. iuj un prlel l ret r por un punto exterior ell. u t omre e lumno eprtmento e rtes lástis urso ERIES SEGETS y RETS. 18

17 1.- Sum e segmentos. os segmentos se pueen meir. Es l istni que hy e un punto e un extremo l otro extremo. Es istni puee ser métri (en m, mm, et.) o ien sólo gráfi, es eir, l mei el segmento se trsl on el ompás y no nos import uánto mie en m. r relizr el ejeriio se iuj un líne ret ulquier y sore ell se trsl, on el ompás, ls iferentes meis e, y. 1.- Sum los siguientes segmentos.- Rest los siguientes segmentos.- Rest e segmentos. -. Sore un líne ret ulquier situr l mei el segmento myor y espués ese situr l mei e. El resto e - será. 3.- ultipli el siguiente segmento por 3 (x3) 3.- ultipliión e segmentos. X 3 Sore un líne ret ulquier situr l mei el segmento () son el ompás tres vees e form onseutiv. 4.- ivisión e un segmento en os prtes igules. iujr l EITRIZ e un segmento, (). 1. Se iuj un ro e irunfereni uyo entro es un extremo el segmento, por ejemplo, y uyo rio es myor que l mit el segmento (se re el ompás ojo lrmente myor que l mit. Se puee oger omo rio ).. Sin tor el ompás y on el mismo rio se olo en y se iuj otro ro. 3. Se une y Q que son los puntos one se ortn los ros. Ser preisos l unir los puntos y que psen solo por y Q. Señlr más osuro o on olor fino l meitriz. 4.- ivie el segmento por (meitriz e ) Q 5.- ivisión e un segmento en iverss prtes IGUES. 1. iujr el segmento..trzr un líne ret ese y on ulquier ángulo (no te quees orto, igul que pse e. 3. oner meis IGUES sore l ret iuj. En este so el ejeriio 3 meis igules. 4. or el último extremo e ls 3 meis, el punto T, iujr un líne que lo un on. 5. Trzr RES T por los puntos nteriormente mros. 6. Ests prlels ortrán l segmento en tnts prtes IGUES omo nos pien en el ejeriio. - El ejeriio estrá si primero intentmos o ponemos ls meis en y luego hemos prlels pr ortr T. - El ángulo que form T TIEE R QUE SER RET. por lo tnto no iujr l perpeniulr primero y luego iviir, si T que ntes o espués e no import. 5.- ivie el segmento por 3 ivisión e un segmento en prtes igules (teorem e Tles) = = = = = = T omre e lumno eprtmento e rtes lástis urso ERIES SEGETS y RETS.

18 6.- ivisión e un segmento en iverss prtes RRIES. Teorem e Thles. 1.iujr el segmento..iujr un líne ret ese y on ulquier ángulo. istni e est ret es sufiiente pr ontener, y. 3.ese situr en l ret nterior, y on el ompás, ls meis e los segmentos, y. Empezr por ejemplo por. ese situr l mei e. 4. ese situr l mei e y ese situr on el ompás l mei e. 5.Unir on meinte un líne ret. 6.iujr prlelr por y por hst que orten. - El ejeriio estrá si primero intentmos o ponemos ls meis en y luego hemos prlels pr ortr T. - sum e ++ ES IGU que, es RRI - El ángulo que form T TIEE R QUE SER RET. por lo tnto no iujr l perpeniulr primero y luego iviir, si T que ntes o espués e no import. 6.- ivie el segmento en prtes proporionles los siguientes segmentos (teorem e Tles) = = 7.- iujr un perpeniulr por el extremo e un semiret. 1. oner el ompás en el punto y rirlo on un rio ulquier.. Trzr un ro hst que orte r. (l semiret) 3. one orto el ro l semiret, el punto, y on el mismo rio nterior, poner el ompás( sin mover el rio). Este nuevo ro ortrá l primero en el punto. 4. oner omo ntes el ompás en y iujr un nuevo ro que psrá por el punto y que ortrá l ro nterior en el punto. 5. oner el ompás en y iujr un nuevo ro que orte l nterior en el punto. 6. Unir el punto on el punto. 7. rr más osuro o en olor fino l perpeniulr. 8.- iujr un EREIUR l ret s y que pse por el punto perteneiente s. 1. oner el ompás en el punto y rirlo on ulquier rio..iujr un ro ulquier que orte l ret s en os puntos y. 3. os punto y son los extremos e un segmento el. 4. iujr l EITRIZ el segmento omo en el ejeriio 4. meitriz e será l EREIUR s que emás ps por. 9.- iujr un EREIUR l ret t y que pse por el punto exterior l ret t. Igul que en el ejeriio 8 1. oner el ompás en el punto y rirlo on ulquier rio siempre que orte l ret t holgmente..iujr un ro ulquier que orte l ret t en os puntos y. 3. os punto y son los extremos e un segmento el. 4. iujr l EITRIZ el segmento omo en el ejeriio 4. meitriz e será l EREIUR t que emás ps por. 7.- erpeniulr por el extremo e un semiret 8.-erpeniulr por el punto perteneiente l ret r s 9.-iuj un perpeniulr l ret r por un punto exterior ell. r t omre e lumno eprtmento e rtes lástis urso ERIES SEGETS y RETS.

19 ÁIS E IUJ TÉI: ámin nº 6: ÁGUS Un ángulo se form uno os rets se ortn. El punto e interseión es el vértie y ls rets los los e los ángulos que se formn. Se puee eir que un ángulo es l prte el plno limit por os semirets, llms los, que prten e un mismo punto, llmo vértie. os ángulos se nomrn on letrs griegs minúsuls o on l mism letr que su vértie (que es un punto). os ángulos se mien en gros, on un trnsportor. gro tiene 60 minutos y minuto 60 segunos. - uno un ángulo mie se llm ángulo reto. - Si mie 180º, ángulo llno. -os ángulo e menos e se llmn guos y los que tienen más e otusos. -os ángulos son omplementrios, si su sum es un ángulo reto y se llmn suplementrios si su sum es un ángulo llno. reto < guo omplementrios 180º llno > tuso Suplementrios -uno un ret ort otrs os prlels formn ángulos on ls siguientes propiees: Toos los ángulos y los son igules. servr en los otros iujos omo oinien los ángulos en etermins figurs geométris. ISETRIZ E U ÁGU: isetriz es un ret que ivie un ángulo en os prtes igules. Es el ugr Geométrio e los puntos el plno que equiistn e os rets llms los el ángulo. r iujrl se trz un ro on entro en V que orte los los en los puntos y. isetriz oinie on l meitriz el segmento. r trzr l isetriz e os rets que no se ortn en el ppel: 1. Se trz l isetriz e os rets prlels los los el ángulo igul istni.. Tmién se puee her ortno on un ret los os los el ángulo y trzno ls isetries e los ángulos que formn. ISETRIZ E U ÁGU r trzr ángulos on ls regls y se h visto en el primer ejeriio o lámin. r trzr ángulos on el ompás: - ángulos e, vistos en l lámin nterior. -r un ángulo e 45: trzr l isetriz el e -ángulo e 60º: iujr un triángulo equilátero, trzno os ros on V el mismo rio y on entro en V y. V ISETRIZ E U ÁGU U S S SE RT E E E

20 6 º 105º os ángulos se mien en gros, minutos y segunos 60º35 4 = 180º YETE Y/ SEUTIV Ángulo GU Ángulo TUS Ángulo RET Ángulo EETRIS SUEETRIS 60º 30º Esur Ángulos e ls regls rtón onstruión e ángulos on l esur y el rtón. 60º 135º 75º 30º 135º 45º45º lgunos ángulos se pueen onstruir on el ángulo suplementrio. 15º 165º 150º 30º 60º 10º 10º 105º 150º Ángulos e l irunfereni 10º Ángulo Insrito Ángulo entrl o = = =180º o Ángulo Seminsrito o Tg Ángulo Exterior o V Ángulo Exterior o V Ángulo Interior o El ángulo insrito siempre es l mit el ángulo entrl, por eso ulquier punto e l semiirunfereni es un ángulo e on respeto l iámetro e l mism. orresponeni e ángulos uno os rets prlels son orts por otr ret ulquier. lternos:1-,3-4,... orresponientes: -5, 3-8,... ISETRIZ e un ángulo ivisión e un ángulo en os prtes igules ivisión e un ángulo en prtes igules puestos por el vértie Ángulos e los prlelos r olígono ónvo. Ángulos e los perpeniulres 30º E F E,,,..interiores e un polígono. E exterior. olígono onvexo es ónvo onvexo. Ángulos e un trpeio isóseles Sum e ángulos e un triángulo:180º Sum e ángulos e un urilátero: 360º. = 180º isetriz uno el vértie está fuer el ppel. r Ángulos igules t 30º = 180º Ejemplo: si mie 75º entones 75º+75º=150º uánto mie?. 360º-150º=10º/=105º. o o o ro pz. ro pz e t omre e lumno Resumen reortorio e ÁGUS eprtmento e rtes lástis y iujo urso 3

21 ámin º 4: ÁGUS E ÁS. TERIES: ápiz grfito 4H. Esur y rtón. ámins e iujo ténio. lámin se eerá relizr en un sesión e 55 minutos.. EJERIIS: 1.- onstruir un ángulo on el semiírulo que se e 60º y otro e 10º.- eir on el trnsportor e ángulos los utro ángulos iujos en l fih. 3.- iujr l ISETRIZ el ángulo o. 4.- iviir un ángulo el ángulo e o en tres prtes igules. 5.- Sumr los ángulos y os. 6. onstruir los siguientes ángulos on el ompás: 15º, º30, 30º, 45º, 60º, 75º,,105º, 10º, 135º. ISETRIZ e un ángulo. 1. o primero que eemos her es un R on entro en el vértie V y rio ulquier. Este ro ortrá los los el ángulo en os punto y Q.. ese y ese Q iujr os ros on el mismo rio. 3. Estos ros se ortrán entre sí en F. 4. Unir F on V y mrr más osuro o en olor. 1.- ISETRIZ e un ángulo ivisión e un ángulo en os prtes igules. F V Q iviir un ángulo reto en tres prtes igules..- iviir un ángulo e en tres prtes igules on el ompás Un ángulo reto es e. iviir un ángulo e en tres prtes igules slrí 30º uno. El ejeriio onsiste en relizr ángulo e 60º. sos: 1. iujr un ro ulquier que orte los los el ángulo en los punto y. on el mismo rio que el ro nterior poner el ompás en y en y iujr os ros igules que ortrán l primero en los puntos y Q. 3. Unir V on y on Q. V Q 30 Sumr o restr ángulos. 3.- Sum los siguientes ngulos y En este ejeriio sumremos os ángulos y, que serán trslos y se ponrán uno espués e otro. 1. iujr un ret ulquier en el lugr que nos interese. oner un punto que será el vértie V. (si y están puestos estos tos relizrlo ese llí). iujr un ro IGU pr los os ángulos y y iujrlo igulmente ese V. 3. on el ompás meir el ro y ponerlo prtir e. 4. eir on el ompás el ro y ponerlo prtir e. 5. ese, iujr un ret hst V. 6. rr más osuro o en olor el ángulo resultnte. V V V t omre e lumno eprtmento e rtes lástis urso ERIES GUS.

22 ámin º 4: ÁGUS E ÁS. 6. onstruir los siguientes ángulos on el ompás: 15º, º30, 30º, 45º, 60º, 75º,,105º, 10º, 135º. onstruión e ángulos on el ompás está so en l geometrí. lgunos los hemos visto y omo es el e (perpeniulr un ret on el ompás), el e 45º (isetriz e ), º 30 (isetriz e 45º) y otros están sos en l ostruión e triángulos, por ejemplo los relionos on ángulos e 60º (l mit 30º, l mit e 30º, 15º, et.). Un triángulo equilátero (tiene los tres los igules y por lo tnto los tres ángulos igules) tiene tres ángulos e 60º, puesto que 60º x 3 = 180º, que es l sum e los ángulos e los triángulos. os emás ángulos omo 75º, 135º, et. están sos en l sum e iferentes ángulos o en ángulos omplementrios o suplementrios. Ejemplo: 75º = 45º + 30º, pr onstruir un ángulo e 75º hy que sumr un ángulo e 45º y otro e 30º. ÁGU E 60º y e 10º 1. omo hemos iho nteriormente un ángulo e 60º es el e un triángulo equilátero, por lo tnto l soluión estrá en onstruir uno, e ls meis el lo que quermos.. iujr un ret ulquier omo se. 3. oner el ompás one quermos e l ret, por ejemplo. 4. rir el ompás on un rio letorio, por ejemplo hst. 5. Trzr un ro. Sin mover el rio poner el ompás en y trzr otro ro (e rio ). 6. Unir on, punto one se ruzn los os ros. 7. Señlr meinte un ro más pequeño el ángulo e 60º. - El ángulo e 10º será el suplementrio e 60º. Es eir, l ret es un ángulo llno e 180º, si onstruimos unos e 60º, lo que nos que será un ángulo e 10º; 60º + 10º = 180º. 1.- ÁGU E 6º y 10º gros 6 º 10º ÁGU E 30º, e 15º y e 150º..- ÁGU E 30º y 15º gros. Ángulo e 150º. 1. El ángulo e 30º es l mit e 60º. or lo tnto pr onstruir uno hrá que trzr l ISETRIZ e un ángulo e 60º.. Sore un ret ulquier omo se onstruir un ángulo e 60º y trzrle posteriormente l isetriz. 3. Si este ángulo e 30º onstruio le trzmos l isetriz igulmente otenremos os ángulos e 15º. 4. El ángulo SUEETRI e 30º es el e 150º. 150º 30º 165º Un vez onstruio el e 30º 15º ÁGU E y e 45º. 1. r onstruir el ángulo e, relizr el ejeriio nº 7 e l lámin e rlels y perpeniulres on el ompás visto nteriormente.. r onstruir el ángulo e 45º, hllr o iujr l ISETRIZ el ángulo e. 3. El ángulo º30' es l isetriz e 45º. 4. El ángulo 135º es el suplementrio e 45º. 3.- ÁGU E, e 45º y e 135º gros 135º 45º ÁGU E 75º. 1. r relizr el ángulo e 75º tienes os opiones: ) Sum los ángulos e 30º + 45º onstruios nteriormente on el proeimiento prenio en l fih. ) e un ángulo e ivíelo en tres prtes, omo en el ejeriio e l págin nterior y iuj l isetriz e uno e los ángulos e 30º resultntes. Sum entones 15º (isetriz e 30º) + 60º (30º + 30º) omre e lumno ERIES GUS. ÁGU E 105º. 1. Tmién tienes os opiones: un es que sumes los ángulos 45º + 60º, y l otr opión es que iujes un ángulo e 75º, el ángulo suplementrio es el e 105º uso. eprtmento e rtes lástis urso

23 onstruión e un ÁGU E 6º on el semiirulo ie los siguientes ngulos on el trnsportor GUS STRUIS E ÁS.- iviir un ngulo e on el ompás 3.- Sum y rest e ngulos 1.- ISETRIZ e un ángulo V V 90 V V V STRUIR S SIGUIETES ÁGUS E S 15º, º30,30º,45º, 60º, 75º,, 10º y 135º 1.- ÁGU E 6º y 10º gros.- ÁGU E 30º y 15º gros, Ángulos e 150º y 165º. 3.- ÁGU E, 45º y º30 gros 5.- ÁGU E 45º + 30º = 75º 6.- ÁGU E 105º omre e lumno eprtmento e rtes lástis urso ÁGUS E ÁS

24 30 eis e ángulos on el Trnsportor e ángulos o onstruión e un ÁGU E 6º on el semiirulo ie los siguientes ngulos on el trnsportor GUS STRUIS E ÁS.- iviir un ángulo e en tres prtes igules on el ompás 3.- Sum y rest e ngulos 1.- ISETRIZ e un ángulo ivisión e un ángulo en os prtes igules. V V V V V STRUIR S SIGUIETES ÁGUS E S 15º, º30,30º,45º, 60º, 75º,, 10º y 135º 1.- ÁGU E 6º y 10º gros.- ÁGU E 30º y 15º gros, Ángulos e 150º y 165º. 10º 6 º 150º 165º 15º 30º 3.- ÁGU E, 45º y º30 gros 5.- ÁGU E 45º + 30º = 75º 6.- ÁGU E 105º 15º 105º 45º 135º 45º 30º 75º 75º 45º 6º omre e lumno ÁGUS E ÁS eprtmento e rtes lástis y iujo urso

25 45 0 eprtmento e rtes lástis GEETRÍ. 3º e ES Relión e lámins e geometrí pln e l primer evluión Ests lámins ls tienes tu isposiión en l págin e internet: 1 Reliz l siguiente figur on l esur y rtón, según ls ots y los ángulos os º 60º 150º º 60º Elige un figur e ls e jo, o ien iseñ tu un nuev. Ten en uent ls prlels. 75º 60º 30º omre e lumno 45º urso omre e lumno urso RES Y EREIURES REGS. ÁGUS RES Y EREIURES REGS II Sum los siguientes segmentos Rest los siguientes segmentos 3 4 onstruión e un ÁGU E 6º on el semiirulo ie los siguientes ngulos on el trnsportor ultipli el siguientes segmento por 3 ivie el segmento por (meitriz e ) ivie el segmento por 3 ivisión e un segmento en prtes igules (teorem e Tles) ivie el segmento en prtes proporionles los siguientes segmentos (teorem e Tles) GUS STRUIS E ÁS 1.- ISETRIZ e un ángulo.- iviir un ngulo e on el ompás 3.- Sum y rest e ngulos STRUIR S SIGUIETES ÁGUS E S 15º, º30,30º,45º, 60º, 75º,, 10º y 135º erpeniulr por el extremo e un semiret erpeniulr por el punto perteneiente l ret r 1.- ÁGU E 6º y 10º gros.- ÁGU E 30º y 15º gros 3.- ÁGU E gros r r 10º 6 º 30º iuj un perpeniulr l ret r por un punto exterior ell. iuj un prlel l ret r por un punto exterior ell. 4.- ÁGU E 45º gros 5.- ÁGU E 45º + 30º = 75º 6.- ÁGU E 105º 105 r r omre e lumno urso omre e lumno urso ERIES SEGETS. ÁGUS E ÁS

26 eprtmento e rtes lástis GEETRÍ. 3º e ES Relión e lámins e geometrí pln e l primer evluión Ests lámins ls tienes tu isposiión en l págin e internet: 1. iujr un TRIGU EQUITER e lo = 50 mm..- Insriir un TRIÁGU EQUIÁTER en un irunfereni e rio r = 5 mm iujr un UR e lo = 38 mm..- iujr un UR l igonl. 3. iujr un TRIÁGU ISÓSEES on ls siguientes meis:. SE = 5 mm y los igules = 55 mm. 4. iujr un TRIGU ESE e los: = 55 mm = 45 mm = 65 mm 3. iujr un RETÁGU e los: 1 4. iujr un RETÁGU e meis: IG = = 1 5. Hllr l irunfereni irunsrit l siguiente triángulo: 6.-os los siguientes los, iujr un TRIÁGU RETÁGU. = un lo = hipotenus. 5.-iujr un R s ls igonles: iujr un R o el lo y l igonl: 7.-iujr el R o el lo y el ángulo: ángulo 60º 60º 8.-TREI ISÓSEES. o: h m 9.-TREI RETÁGU: m h m TREZIE: 3 h h 1 4 omre e lumno TRIÁGUS eprtmento e rtes lástis y iujo urso : omre e lumno URIÁTERS eprtmento e urso rtes lástis y iujo 1.- ETÁG o el RI r = 5 mm..- ETÁG o el = 30 mm. 7 8 IG E 9 S IRUFEREI E RI = 40 mm ET GEER E E r Q HEXG o el RI r = 35 mm. 4.- TG E RI R=30 mm. 9 H F UEG E = 36 mm. G r G ET GEER H F F E E I E El lo el hexgono es igul l rio El rio el otógono es l irunfereni el uro ETG ESTRE E RI r = 30 mm. 6.- HETG ESTRE E RI r = 30 mm. J E G 7 6 K E F omre e lumno urso eprtmento e rtes lástis omre e lumno urso eprtmento e rtes lástis ÍGS REGURES ÍGS REGURES ÉT GEER

27 1 3 4 eprtmento e rtes lástis GEETRÍ. 3º e ES Relión e lámins e geometrí pln e l primer evluión Ests lámins y ls soluiones ls tienes tu isposiión en l págin e internet: ÁI 1. RES Y EREIURES S REGS 1. (ángulos on l esur y rtón) Relizr ls prlels on l esur y rtón 5 mm. e seprión. ñir los ángulos inios: iviir l lámin en 4 prtes igules. 1. En el primer reuro iujr prlels horizontles. iujr un igonl 75º que orte ls prlels.. En el seguno reuro iujr prlels vertiles. iujr un igonl 30º 3.- En el terer reuro iujr prlels igonles on un ángulo e 60º. iujr un ret perpeniulr l s prlelr (ángulo ). 4. En el urto reuro iujr uros on un inlinión on respeto l horizontl e 45º. ÁI. RES Y EREIURES S REGS. (onstruión e figurs geométris).- Relizr l figur propuest esl 1:1 según ls meis e ls otiones. Tomr ls meis el roquis e l fotoopi..- ontinuión relizr un iseño invento omo los que preen jo e ejemplo. oniión es que ee reflejr línes rets prlels y ángulos, relizno un omposiión geométri. ÁI 3. SEGETS. RES Y EREIURES E ÁS. Relizr los ejeriios propuestos: 1.- Sumr tres segmentos os. Se olon e form onseutiv uno espués el otro unios por los puntos en omún. rimero se iuj un ret y espués se olo sore ell ls meis e,, que se hn tomo un un on el ompás..- Restr os segmentos os. Se olo el segmento más grne y se le rest el más pequeño. (se ogen ls meis on el ompás) 3.- ultiplir un segmento por 3. Se iuj un ret. Se tom l mei el segmento on el ompás. Se pone es mei tnts vees omo se pi sore l ret. 4.- iviir un segmento en os prtes igules (eitriz e un segmento). Se pone el ompás sore o y se re más e l mit el segmento. Se iuj un ro rri y jo el segmento. mism operión se reliz en el otro extremo el segmento. Unir ls interseiones e e los ros que se ortn meinte un ret. 5.- iviir un segmento en RTES IGUES (Teorem e Tles). Se iuj un ret (r) ese ulquier extremo el segmento y on ulquier ángulo (por ejemplo ese ). Sore ell (r) poner on el ompás, ierto on ulquier pertur, tnts meis omo nos propongn iviir el segmento originl (sumr ls meis, segmentos, uno trs otro ese ). Unir l últim prte e ests ivisiones on el otro extremo el segmento (): se otiene un ret (t). iujr prlels est ret (t) por ls ivisiones que hemos iujo l prinipio hst que orten l segmento. 6.- iviir un segmento en RTES RRIES (Teorem e Tles). El proeimiento es igul que el nterior pero en l ret r sumnos los segmentos, prtir e, que nos el enunio. En el ejeriio nterior sore r se sumn segmentos igules, y en este ejeriio se sumn segmentos iferentes. 7.- onstruir un EREIUR por el extrem e un semiret (ángulo e ).Se iuj un ro e irunfereni e rio ulquier y on entro en el extremo e l semiret. prtir e hor, y sin mover el rio el ompás, se vn hieno los mismos ros on entro one vyn ortno los nteriores. 8.- iujr un perpeniulr un ret por un punto e l mism. Se trt e her un perpeniulr un segmento ulquier uyo entro es el punto que nos n. m9.- iujr un perpeniulr un ret por un punto exterior l mism. Iem nterior pero en este so el punto está fuer e l ret Trzr un prlel un ret por un punto exterior ell. Vrios métoos. ÁI 4. ÁGUS (ángulos on el trnsportor y onstruión e ángulos on el ompás) 1.- eir los utro ángulos iujos on el trnsportor e ángulos si señlrlos en l fih..- Relizr los tres ejeriios propuestos:. iviir un ángulo ulquier en os prtes igules (ISETRIZ e un ángulo). Se re el ompás on ulquier rio. Se olo en el vértie el ángulo y se trz un ro que orte los os los el ángulo. on entro en estos lo, one ortó el ro nterior y rieno el ompás lo sufiiente, se trzn os ros que se ortn en un punto e l isetriz. Unir meinte un ret este punto último on el vértie el ángulo.. iviir un ángulo e en tres prtes igules (3 ángulos e 60º). iujr ángulo e 60º igules (o triángulos equiláteros) ese el vértie el ángulo.. Sumr o restr os o más ángulos. 3.- iujr o onstruir los siguientes ángulos on el ompás: 15º, º y 30, 30º 45º, 60º, 75º,, 10º, 135º. Se trt e iujr pr los e un perpeniulr un ret. El e 45º l isetriz el ángulo nterior. et. r el e 60º un triángulo equilátero. r el e 30º l isetriz el e 60º, et. Tmién se puee her on el ejeriio.. r los emás ángulo se trt e sumr o retr lo ángulos nteriores o ien pensr omo slrín si resto 180º (un ret) un ángulo y onstruio (por ejemplo pr hllr el e 135º, 10º, et y estuios.

28 eprtmento e rtes lástis GEETRÍ. 3º e ES Relión e lámins e geometrí pln e l primer evluión Ests lámins y ls soluiones ls tienes tu isposiión en l págin e internet: onstruir ls siguientes figurs geométris según los tos e enunio: uno los tos sen numérios relizrlos on ls regls milimetrs. uno los tos son gráfios utilizr el ompás pr trslr ls meis. (Ejemplo: si los los e un triángulo están iujos omo segmentos, oger ls meis on el ompás. o utilir ls regls pr meirlo porque puee ser que no sen números enteros.) 5 6 ÁI 5. TRIÁGUS. 1.- iujr un triángulo EQUIÁTER e lo 50 mm. (toos los los igules. Sus ángulos formn 60º, reorr ángulos). iujr el segmento = 5 m. en l prte inferior. oner el ompás en y rir hst, iujr un ro. Relizr l mism operión ponieno el ompás en. Unir one se ortn los os ros on y on..- iujr un triángulo EQUIÁTER que está insrito en un irunfereni (El triángulo está entro e l irunfereni y sus vérties perteneen l mism). Rio e l irunfereni 5 mm. El lo e un hexágono es igul que el rio e l irunfereni irunsrit. Un triángulo es l mit e un hexágono. iujr un iámetro l irunfereni. oner el ompás en un extremo el iámetro. rir el ompás hst el entro e l irunfereni y iujr un ro hst que orte ést en mos los. Unir el extremo el iámetro on estos os puntos. 3.- iujr un triángulo ISÓSEES e se 5 mm y e lo 55 mm. iujr l se. on el ompás y e rio el lo iujr os ros on entro en y en. 4.- iujr un triángulo esleno e los: =55mm. =45mm, =65mm. 5.- irunsriir un irunfereni un triángulo ulquier. onsierr sus vérties omo tres puntos. El ejeriio se resuelve omo si fuer psr un irunfereni por tres puntos. Hllr ls meitries e uno e los los el triángulo. one se ruen ls meitries será un punto (llmo irunentro) que es el entro e l irunfereni que se pie. irunfereni h e psr por los punto, y. 6.- iujr un triángulo retángulo e meis s. os los son =teto y =hipotenus. iujr primero un ángulo e. olor en uno e los los el teto y en su extremo, on el ompás her un ro igul l mei e l hipotenus. I 6. URIÁTERS. 1.- iujr un uro e lo 38 mm. iuj un lo on l mei. or extremo e este segmento iuj os perpeniulres. lev on el ompás l mei el lo perpeniulr..- iujr un uro l igonl. rimero hllr l meitriz e l igonl. espués iujr un irunfereni on l igonl (rio l mit e l igonl). or l mit e l igonl trzr un perpeniulr. or extremo e igonl unir pr hllr los los el uro. 3.-iujr un retángulo e los os. rimero iujr el lo myor y en extremo levntr perpeniulres one se pone el lo menor. 4.-iujr un retángulo l igonl y un lo. on l igonl, y omo hemos explio on el uro, se iuj un irunfereni. os extremos e l igonl son los puntos-vérties y. oner el ompás en y iujr un ro on rio el lo el retángulo. Her lo mismo on el extremo. 5.-iujr un romo s ls os igonles. iujr ls os igonles perpeniulres y que se orten por l mit. Unir extremo e ls igonles. 6.-iujr un romo o el lo y l igonl. rimero se iuj l igonl y on el ompás y e rio el lo, se hen ros on entro en los extremos e l igonl. 7.-iujr un romo o el lo y un ángulo. Se iuj un lo y en su extremo se iuj el ángulo. En lo se pone l mei el lo y pr finlizr hy os opiones, o ien se iujr prlels lo o ien en extremo e los los iujos y on el ompás se iujn ros on el rio el lo. 8.- iujr un trpeio isóseles o l se myor, el lo y l ltur el trpeio (istni entre ls os ses). Se olo el lo myor en l prte inferior, por l mit se levnt un perpeniulr on l mei e l ltur. on es istni se iuj un prlel l se myor (o perpeniulr l ltur). on el ompás y e rio el lo se iuj un ro hst que orte l prlel nterior. El ompás hy que ponerlo en los extremos e l se myor. 9.-iujr un trpeio retángulo l se myor, l se menor y l ltur. onstruir un ángulo e y poner en lo el ángulo ls meis e l se myor y e l ltur. erpeniulr l ltur (o prlel l se myor) se iuj l se menor. Unir el extremo lire e l se myor on el e l se menor iujr un trpezoie on ls meis s. soluión onsiste en iujr triángulos on los tos que nos n. Vmos empezr on l igonl y os e los los, y 3. Si tommos omo se l igonl y iuj, onstruimos otro triángulo on los los que nos fltn.

29 h SEGÚ SUS S S ÁGUS SEGÚ SUS ÁGUS ÁGUS Equilátero Toos igules == Igules. Son los tres e 60º Retángulo Un ángulo reto. El lo myor = hipotenus. os los menores = tetos. = Isóseles Esleno os igules = los Un iferente = se == os tres iferentes == os igules. Uno, el opuesto l se, iferente. os tres iferentes. utángulo tusángulo enores e Ángulos guos < Uno e los ángulos myor e Un ángulo otuso > En un triángulo el vértie y el lo opuesto se nomrn on l mism letr, en myúsuls y minúsuls respetivmente. ltur e un triángulo (h) es l ret perpeniulr un lo hst el vértie opuesto. h h TRS RIEES - sum e los tres ángulos interiores e un triángulo es igul 180º - lo e un triángulo es menor que l sum e los otros os, pero myor que su ifereni. - En un triángulo retángulo l hipotenus es myor que uno e los los (tetos). - hipotenus e un triángulo retángulo mie mees su mein. Ret e Euler: ret que ps por el rientro, ortoentro y irunentro e un triángulo. - Si iviimos l mein e un triángulo en tres prtes igules, el rientro estrá /3 e es ret. UTS TES E U TRIÁGU RIETR. EIS. s meins son ls rets que vn e el punto meio e un lo hst el vértie opuesto. IRUETR EITRIES. s meitries e sus los. El irunentro es el entro e l irunfereni irunsrit. m Se umple que = m IETR ISETRIES. isetries e los ángulos el triángulo. Es el entro e l irunfereni insrit. s meitries y ls lturs se pueen ortr fuer el triángulo, por lo que el irunentro y el ortoentro pueen estr fuer tmién. I RTETR TURS h = TURS TRIÁGU R Resulto e unir los pies e ls perpeniulres ese un punto ulquier TRIÁGU EETRI Resulto e unir los pies e ls meins (rientro) Q TRIÁGU ÓRTI Resulto e unir los pies e ls lturs (ortoentro) omre e lumno ESQUE TRIÁGUS. RTERÍSTIS urso º HIERT

30 1. iujr un TRIGU EQUITER e lo = 50 mm..- Insriir un TRIÁGU EQUIÁTER en un irunfereni e rio r = 5 mm. 3. iujr un TRIÁGU ISÓSEES on ls siguientes meis:. 4. iujr un TRIGU ESE e los: SE = 5 mm y los igules = 55 mm. = 55 mm = 45 mm = 65 mm se = = lo y 5. l hipotenus e un triángulo retángulo, se pie: iujr el triángulo retángulo sieno que un teto mie 5 m. El vértie estrá más próximo e que e. 6.-os los siguientes los, iujr un TRIÁGU RETÁGU. = un lo = hipotenus. omre e lumno TRIÁGUS eprtmento e rtes lástis y iujo urso :

31 1. iujr un TRIGU EQUITER e lo = 50 mm..- Insriir un TRIÁGU EQUIÁTER en un irunfereni e rio r = 5 mm. 3. iujr un TRIÁGU ISÓSEES on ls siguientes meis:. SE = 5 mm y los igules = 55 mm. se = = lo y 4. iujr un TRIGU ESE e los: = 55 mm = 45 mm = 65 mm = lo se 5. l hipotenus e un triángulo retángulo, se pie: iujr el triángulo retángulo sieno que un teto mie 5 m. El vértie estrá más próximo e que e. 6.-os los siguientes los, iujr un TRIÁGU RETÁGU. = un lo = hipotenus. o omre e lumno TRIÁGUS eprtmento e rtes lástis y iujo urso :

32 onstruión e un triángulo equilátero onoieno el lo. Figur 1 omo los tres los son igules sore un ret ulquier se sitú uno e ellos. ese y ese se trzn ros omo rio el lo y one se ruzn los ros se enuentr el terer vértie Figur 1 Insriir un TRIÁGU EQUIÁTER en un irunfereni Figur 1. iujr l irunfereni on el rio inio.. iujr un iámetro (que pse por el entro e l irunfereni ). 3.El iámetro ort l irunfereni en y en. es un vértie el triángulo. 4. oner el ompás en, y on rio igul que el e l irunfereni, iujr un ro (ee e psr por ), que ortrá ést en y, los vérties el triángulo. 5. iujr el triángulo unieno, y. o Figur iujr un TRIÁGU ISÓSEES o el lo igul y l se (lo esigul) se o 1. iujr l se en l prte inferior el reuro.. on el ompás meir el lo, ien e form gráfi si nos n el lo iujo o ien miieno on el ompás l mei que nos en numéri. 3. on l mei el lo y ponieno el ompás en uno e los extremos e l se ( y ) iujr os ros que se ortrán en el vértie. 4. iujr el triángulo isóseles unieno, y. 5. oner l nomenltur e los los, y. iujr un TRIGU ESE uno nos n los tres los. 1. En un ret ulquier iujr uno e los los en l se el espio one tengmos que olorlo. En este ejemplo se iuj el lo (). Tomr l mei e uno e los lo (por ejemplo el lo - ) y olono el ompás on est mei en iujr un ro e irunfereni. 3. Tomr l mei on el ompás el otro lo que nos que, el lo - y sore el vértie iujr un ro e irunfereni. 4.one se orten los os ros e irunferenii que hemos iujo estrá el vértie. 5. iujr el triángulo unieno los vérties, y. 6. oner l nomenltur e los los y los vérties. os e los los el triángulo een e sumr más que el terer lo. iujr un TRIGU RETÁGU, uno nos n l hipotenus y un teto. 1. semiirunfereni es es R Z e un ángulo e, es eir que ulquier punto que ojmos e un semiirunfereni será vértie e un triángulo retángulo y el iámetro e l semiirunfereni será l hipotenus. 1. Hllr el punto meio e l hipotenus.. on entro en ese punto iujr un semiirunfereni que pse por y por. 3. on l mei que nos en el teto o lo her un ro ese que orte l semiirunfereni: ese punto será el vértie. o iujr un TRIÁGU RETÁGU o un lo y l hipotenus. 1. Sore un ret ulquier olor el lo.. or un extremo e iujr un perpeniulr. (en el ejemplo es el punto ) 3. or el otro extremo e (el punto ) y on l mei e l hipotenus iujr on el ompás un ro e irunfereni hst que orte l perpeniulr en el punto, vértie el triángulo. 4. Unir los puntos, y pr iujr el triángulo uso. = un lo = hipotenus. omre e lumno eprtmento e rtes lástis urso TRIÁGUS

33 1. iujr ls meins y hllr el RIETR el siguiente triángulo: ompror que si ivies un mein el triángulo, el rientro estrá /3 el vértie.. Hllr ls isetries y el IETR el siguiente triángulo. iujr l irunfereni ISRIT 3. Hllr el RTETR el siguiente triángulo. 3. iujr l irunfereni IRUSRIT l siguiente triángulo í ómo se llm el punto le, entro e l irunfereni: í ómo se llm ls rets notles que efinen en punto notle nterior. omre e lumno TRIÁGUS. UTS TES eprtmento e rtes lástis y iujo urso :

34 m 1. iujr ls meins y hllr el RIETR el siguiente triángulo: ompror que si ivies un mein el triángulo, el rientro estrá /3 el vértie.. Hllr ls isetries y el IETR el siguiente triángulo. iujr l irunfereni ISRIT I Se umple que = 3. Hllr el RTETR el siguiente triángulo. 3. iujr l irunfereni IRUSRIT l siguiente triángulo í ómo se llm el punto le, entro e l irunfereni: í ómo se llm ls rets notles que efinen en punto notle nterior. h omre e lumno TRIÁGUS. UTS TES eprtmento e rtes lástis y iujo urso :

35 I iujr ls EIS y el RIETR el triángulo o. 1. r iujr un EI el lo e un triángulo hy que hllr el UT EI el lo, por meio e un meitriz. Unir este punto on el vértie opuesto.. Hy que iujr ls tres meins el triángulo, un por lo. 3. one se ortn ls tres meins es el punto llmo RIETR. 4. r ompror que es 1/3 e, oger on el ompás l mei y ompror que se puee poner os vees ese hst. Se umple que = iujr ls ISETRIES y el IETR el triángulo o. iujr l irunfereni ISRIT. 1. r iujr ls isetries el triángulo hy que iujr ls isetries e uno e los ángulos.. one se orten ls isetries estrá el punto notle que llmmos IETR, entro e l irunfereni insrit. 3. ese el inentro iujr perpeniulres los los pr hllr los puntos e tngeni = rio e l irunfereni que hy que iujr. Hllr el RTETR el siguiente triángulo. 1. s rets notles e un triángulo pr hllr el ortoentro son ls TURS. ltur e un triángulo es l ret que es perpeniulr un lo el triángulo y que ps por el vértie opuesto.. r hllr el ortoentro hy que iujr ls tres lturs e los tres los el triángulo. h Hllr el IRUETR e un triángulo o. 1. El irunentro es un punto le e los triángulos ese el ul se puee iujr un irunfereni que se IRUSRIT l triángulo y que psrá por sus tres vérties, y. or lo tnto si el rio e ih irunfereni es el mismo hst, hst y hst signifi que estrán en sus respetivs EITRIES.. s meitries son por lo tnto ls rets notles e un triángulo pr hllr el irunentro. 3. ese iujr un irunfereni que pse e l mit e. 4. ese y on el mismo rio que l irunfereni nterior iujr un ro que orte l nterior. 5. ese iujr otro ro on el mismo rio y que tmién orte l primer ro. 6. Unir on rets los puntos e ortes e los respetivos ros: meitries. 7. Un vez hllo el irunentro iujr l irunfereni que pse por, y. m omre e lumno eprtmento e rtes lástis urso TRIÁGUS. UTS TES

36 vértie lo iámetro() ángulo interior ángulo exterior ÍG REGUR ÍG IRREGUR ÍG VEX ÍG ÓV ÍG EXTRE rio - potem rio olígono IRUSRIT r = potem el polígono r = rio e l irunfereni inrit olígono ISRIT r = rio irunfereni irunsrit IGES e un polígono s forms poligonles están en l estrutur e muhos ojetos y onstruiones. plr polígono es e origen griego y quiere eir vrios ángulos. Un polígono es: un superfiie pln limit por un líne poligonl err. Se llm perímetro e un polígono l sum e ls meis e sus los. os elementos ásios e los polígonos son: vérties, igonles, ángulos interiores y exteriores. El número e los e los polígonos etermin su nomre: triángulo, urilátero, pentágono, hexágono, et. omre e lumno urso º HIERT

37 UR RETÁGU REGR 1 Áre: Áre: x Áre: x TRIÁGU RETÁGU TRIÁGU UTÁGU TRIÁGU TUSÁGU h h h Áre: x / = + Áre: x h Áre: x h TREI TREZIE ETÁG h 1 h 1 H R r 108º Áre: + x h HEXÁG Áre: (h + H) +h +H TRIÁGU ISRIIE Áre: perímetro x potem (r) R r 60º 10º RES Y RIEES E S ÍGS ÍG: Es l porión el plno limit por rets que se ortn. - olígono regulr: tiene toos los los y ángulos igules. -olígono irregulr: no son igules toos los los ni toos los ángulos. -olígono insrito: es el que tiene sus vérties en un irunfereni. -olígono irunsrito: sus los son tngentes un irunfereni. -olígonos estrellos: tienen form e estrell y se otienen l unir e en, 3 en 3, et. los vérties el polígono regulr. omre e lumno urso º HIERT

38 URIÁTERS S ÁGUS IGES uro Igules prlelos os os Igules. Son toos retos. Igules. erpeniulres Se ortn en el punto meio. REGRS Retángulo Romo Son Igules los los prlelos. os utro igules. rlelos os os. Igules. Son toos retos. Igules los opuestos. o son retos. Igules. o perpeniulres Se ortn en el punto meio. istints, perpeniulres y se ortn en un punto meio. Romoie Son igules los los prlelos. Igules los opuestos. o son retos. istints, o perpeniulres Se ortn en un punto meio. os trpeios tienen siempre os los prlelos: son ls ses. o Trpeios se enor o Trpezoie os trpezoies no tienen ningún lo prlelo se yor igonles Trpeio Isóseles Son igules Es el únio tipo e trpeios que es insriptile en un irunfereni. os que se poyn en l mism se son igules. Son igules. o se ortn en el punto meio. TREI Trpeio Esleno Son istintos Son toos istintos o son retos Son istintos. o se ortn en un punto meio. Trpeio Retángulo Son istintos Un lo es perpeniulr ls ses Tienen os ángulos retos. Son istintos. o se ortn en un punto meio. omre e lumno urso º HIERT ESQUE URIÁTERS. RTERÍSTIS