ÍNDICE. 3. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE NÚCLEO EN ECOLOGÍA ESPACIAL José Manuel Blanco Moreno

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2 ÍNDICE IX 2.7. Apéndce Rutna de MATLAB para el cálculo de alfa de DFA Rutna de MATLAB para el cálculo del exponente de Hurst Rutna de MATLAB para generar movmento brownano fracconaro APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE NÚCLEO EN ECOLOGÍA ESPACIAL José Manuel Blanco Moreno 3.1. Introduccón Funcones de núcleo y estructura de pesos Estmacón de la densdad Uso de la estmacón de densdad Seleccón del ancho de ventana Ancho de ventana de referenca y anchos varables Valdacón cruzada Correccón de efectos de borde Inferenca para estmas de densdad Varabldad espacal de las estmas Homogenedad en patrones de dstrbucón Segregacón en patrones puntuales multvarados Dscontnudades en patrones de puntos Regresón no paramétrca Meda local Regresón lneal local Grados de lbertad Seleccón del parámetro de suavzacón Inconvenentes de la regresón no paramétrca en el espaco Inferenca medante regresón no paramétrca Varabldad del modelo Comparacón de curvas y superfces Dscontnudades en regresones no paramétrcas Obtencón del modelo dscontnuo Test de hpótess de dscontnudad Aplcacón en una superfce Regresón ponderada geográfcamente Establecmento de un modelo espacalmente varable Sgnfcacón estadístca de la varabldad espacal Casos práctcos Análss de los cambos en la colonzacón de ecotonos forestales Análss de la varabldad de la competenca en el espaco medante regresón ponderada geográfcamente Revsón de programas de ordenador y págnas Web Agradecmentos ANÁLISIS CONJUNTO DE DOS PATRONES PUNTUALES EN ECOLOGÍA Vrglo Gómez Rubo y Antono López Quílez 4.1. Introduccón

3 3. Aplcacones de las funcones de núcleo en ecología espacal Resumen José Manuel Blanco Moreno Exsten stuacones en las que, sea por la dspersón de los datos, por el rudo que afecte a la varable de respuesta, o la varabldad del proceso estudado, puede ser convenente obtener representacones contnuas, de varacón gradual en el espaco, que no sempre son fáclmente asgnables a un modelo teórco. En estos casos resultan especalmente atractvos los métodos de análss no paramétrcos estmados medante funcones de núcleo. Las funcones de núcleo dstrbuyen la probabldad asocada a cada observacón de una manera gradual en el espaco y consttuyen, por tanto, un sstema de asgnacón de pesos a las observacones en funcón de la dstanca que las separa de los puntos de estmacón del modelo. Medante estos sstemas de ponderacón se pueden estmar modelos que sean varables en el espaco. Más allá del análss exploratoro de los datos, estas aproxmacones no paramétrcas pueden servr para el contraste estadístco de hpótess. En este capítulo se ofrece un repaso de dversas metodologías, undas entre sí por el nexo común de las funcones de ponderacón en el espaco. Se procede desde los casos teórcamente más smples a los más complejos, desde cómo obtener una representacón contnua en el espaco de datos puntuales hasta cómo testar hpótess concretas medante estmas de densdad, desde la determnacón de la tendenca espacal de los datos a cómo testar s las tendencas de dos grupos son guales o paralelas, o cómo decdr s un modelo no paramétrco es contnuo o no en el espaco, y cómo explorar la varabldad espacal de un modelo de regresón paramétrco. Y sempre que sea posble se hace hncapé en las posbles lmtacones de la aplcacón de estos métodos en un entorno espacal, cas sempre sometdo a la autocorrelacón de los térmnos de error Introduccón Exste una multtud de métodos dsponbles para el análss prelmnar, la vsualzacón, la caracterzacón y el análss estadístco de los patrones espacales de las varables ecológcas (Dale 2000, Fortn y Dale 2005). Dversas stuacones pueden llevar al ecólogo a echar mano de las herramentas que se repasan en este capítulo, pues son métodos flexbles de aplcabldad general, para los que los nvestgadores pueden además encontrar sus propas aplcacones. Los casos en que se han aplcado las funcones de núcleo en ecología espacal son dversos, a contnuacón se expone una relacón de stuacones en los que una u otra forma de análss basada en el uso de funcones de núcleo puede ser aplcable: - En los estudos de patrones puntuales los datos no son contguos en el espaco

4 80 J. M. BLANCO MORENO por defncón, pero sn embargo puede ser de nterés la obtencón de un estadístco contnuo, como puderan ser las propedades de prmer orden (densdad o ntensdad). - Los estudos de campo del comportamento de anmales regstran sus localzacones con el objetvo de caracterzar las áreas de campeo y el uso del hábtat de éstos, y así probar certas hpótess sobre el uso de recursos, su dstrbucón o el solapamento de dferentes taxones, pero sn embargo el regstro de los datos no puede ser exhaustvo, por lo que se hace necesaro nferr estas áreas a partr de unos pocos puntos. - En muchísmos casos los datos ecológcos presentan una estructura espacal con una componente mportante de rudo, de manera que puede ser dfícl separar la señal que es de nterés de esta componente no nterpretable (y con frecuenca poco nteresante desde el punto de vsta del nvestgador). - En determnadas stuacones una respuesta ambental (abundanca de ndvduos, concentracón de un sótopo, etc.) puede presentar dscontnudades a lo largo de un transecto o en una superfce de muestreo, pero se desconoce tanto la forma de la respuesta en funcón del espaco como la localzacón real de las dscontnudades, y por lo tanto deben ser estmadas smultáneamente. - En algunos casos se puede sospechar que la relacón entre las varables no se mantene constante en el domno de estudo, e nterese estmar las superfces de varacón de coefcentes de regresón y probar estadístcamente s esta varabldad espacal de los coefcentes es sgnfcatva. No es raro que los muestreos ecológcos requeran algún método capaz de proporconar estmacones de las tendencas, de valores promedos, de varabldad de los coefcentes de una regresón, etc. en el espaco, ncluso en los casos en que no se dsponga de un modelo claro para la varabldad espacal. En estos casos es especalmente benefcosa la especfcacón de un modelo no paramétrco (o semparamétrco), lbre de asuncones sobre la forma de la funcón a determnar o sólo con un mínmo de éstas (p.e. lnealdad local), a partr del cual sea posble construr una descrpcón y una nferenca sóldas. El uso de funcones núcleo es especalmente atractvo, pues permten la determnacón local de funcones varables en el espaco, medante el establecmento de un sstema de pesos, sn depender de una forma paramétrca cerrada. Así, podemos contraponer la estmacón de modelos medante funcones de núcleo al ajuste de funcones paramétrcas al conjunto de datos georeferencados, como por ejemplo la estmacón de superfces de respuesta medante el ajuste de polnomos de las coordenadas de las

5 Aplcacones de las funcones de núcleo en ecología espacal 81 observacones (Legendre y Legendre 1998). Aunque los modelos no paramétrcos sempre tenen una potenca menor que los modelos paramétrcos equvalentes, el ajuste de estos últmos a la varabldad espacal de un proceso presenta nconvenentes, especalmente porque pueden llevar a conclusones erróneas s la funcón ajustada no es la adecuada. Es en estos casos, donde no se conoce (o no exste) un modelo para los datos en cuestón, donde el uso de funcones de núcleo especalmente útl Funcones de núcleo y estructura de pesos En un sentdo más o menos vago una funcón de núcleo es, en general, una funcón de pesos que satsface certas condcones de regulardad. Estas funcones de pesos habtualmente se defnen de forma que los pesos guardan una relacón monótonamente decrecente con la dstanca que separa los datos con respecto del punto de estmacón sobre los ejes que marcan las covarables (excepto en las funcones de núcleo unforme, véase la Tabla 1). De esta manera los valores estmados son más nfludos por las observacones cercanas en los ejes de covarables y progresvamente menos por las más alejadas. En el caso de la ecología espacal estas covarables, tal como las trataré en este capítulo, son las coordenadas en una o dos, raramente en tres dmensones y rarísmamente en más (exsten aplcacones en otros campos: Cho y Hall 1999, 2000, Grllenzon 2008). Estas funcones de núcleo son funcones ntegrables no negatvas y defndas en los reales, que satsfacen las sguentes condcones: 1. K( u) du 1, es decr su ntegral es 1 y 2. uk( u) du 0, es smétrca. El prmero de estos requermentos asegura que la estmacón de densdad medante una funcón de núcleo resulte en una funcón de densdad de probabldad. El segundo asegura que la meda de la funcón resultante sea gual a la de la funcón de orgen. Este segundo requermento, y el hecho de que normalmente se usan funcones de núcleo constantes en todo el domno, puede causar sesgos mportantes, especalmente en la estmacón de la densdad y en el cálculo de medas locales (Bowman y Azzaln 1997, Zheng et al. 2004). Las funcones que más frecuentemente se usan para la estmacón en una dmensón se exponen en la Tabla 3.1. La funcón núcleo óptma para la estmacón de densdad por crteros de (Epanenkov 1969, Eubank 1999). S además tenemos en cuenta las ventajas de computacón, es mucho más recomendable trabajar con una funcón de núcleo de domno compacto (es decr, que sea nula más allá de

6 82 J. M. BLANCO MORENO Tabla 3.1 Algunas de las funcones de núcleo más comunes para datos en una dmensón. El peso es una funcón de la dstanca entre el punto de estmacón x y la observacón x, en los casos de funcones de núcleo con domno compacto, I( x x observacón x es menor o gual al ancho de ventana h, y 0 en caso contraro. Todos los gráfcos están producdos para h = 1, excepto para el núcleo gaussano, donde h * 0,36. un límte) que con una funcón de domno global (p.e. la gaussana), más aún cuando certas funcones de núcleo de domno compacto son muy smlares a otras de domno global. Tener que calcular pesos para todas las observacones del domno de estudo y manejar grandes matrces densas no suele ser muy efcente, y mucho menos cuando el número de observacones es grande. Por este motvo las funcones de pesos de domno compacto han ganado certa populardad en la ecología espacal (Seaman y Powell 1996). En cualquer caso, el uso de una u otra funcón no es extremadamente relevante para el resultado, sempre que la funcón cumpla las condcones expuestas prevamente (Fg. 3.1).

7 Aplcacones de las funcones de núcleo en ecología espacal 83 Fgura 3.1 Dos estmacones medante núcleos dferentes. La línea contnua ndca la funcón de densdad medante el núcleo cuártco (zquerda) y el gaussano (derecha) con un parámetro de ancho de ventana equvalente. Se han representado los pesos (núcleos) de las observacones ndvduales con trazo dscontnuo. No exsten dferencas muy acusadas entre una y otra funcón núcleo, a pesar de que una es de domno compacto y la otra no. Exsten otras funcones de núcleo, que no son postvas en todo su domno, y que pueden llegar a tener mejores propedades de convergenca (Wand y Jones 1995). Sn embargo, estos núcleos optmzados para reducr el sesgo no producen realmente una funcón de densdad y solo son óptmos de manera asntótca, lo que en la práctca se traduce frecuentemente en un error más grande (Wand y Jones 1995) Estmacón de la densdad Uso de la estmacón de densdad Aunque la forma más fel de reflejar la estructura espacal de una poblacón o comundad de naturaleza dscreta pueda ser la representacón cartográfca de sus elementos (De la Cruz 2008), la vsualzacón humana es altamente dependente de la densdad (o de la ntensdad), por lo que es preferble representar varacones de la densdad de las observacones en el espaco muestral a representar drectamente las observacones. Densdad e ntensdad son proporconales, y sólo dferen en una constante n, el número de observacones. La manera más senclla de obtener una estmacón de la ntensdad de observacones por undad de espaco es medante el recuento de eventos en un número de muestras adyacentes sobre todo el espaco muestral (De la Cruz 2008, Fotherngham et al. 2000). Esta aproxmacón es equvalente, en una dmensón, a la obtencón de un hstograma de las poscones de las observacones. Sn embargo, la obtencón de representacones medante undades dscretas adolece de al menos tres nconvenentes (Bowman y Azzaln 1997, Fotherngham et al. 2000): - La nformacón se perde al reemplazar las poscones reales x de las

8 84 J. M. BLANCO MORENO Fgura 3.2 Dependenca de los recuentos en undades dscretas en el orgen y el tamaño del ntervalo. Para el msmo conjunto de datos (ndvduos de Pnus uncnata Ramond ex DC. en un ecotono del límte forestal prenaco) se han representado medante barras grses las estmas de densdad en ntervalos adyacentes de una (fla superor) y dos undades (fla nferor), en un transecto con orgen varable (0,25, 0,5 y 0,75 undades antes del prmer pno). La línea contnua representa la estma de densdad medante se observan cambos pues sólo depende de la poscón en la que se calcule. observacones por el punto central del ntervalo al que pertenecen. - En la mayoría de crcunstancas la funcón de densdad real se asume que es suave (y en muchos casos contnua), pero el estmador obtendo no es suave n contnuo, debdo a los límtes bruscos de las undades sobre las que se construye. - El comportamento de estos estmadores es dependente tanto del tamaño de las undades de muestreo utlzadas como de la localzacón de la undad ncal (Fg. 3.2). Una solucón a estos problemas dervados de la dscretzacón de las coordenadas de las observacones suele ser la estmacón no paramétrca de la densdad medante funcones núcleo (véase las Fguras 3.1 y 3.2). En el proceso de estmacón de densdad de tpo núcleo se substtuye cada observacón por su funcón de dstrbucón de probabldad asocada, de acuerdo con la funcón de núcleo determnada por el nvestgador, la densdad del proceso equvale al

9 Aplcacones de las funcones de núcleo en ecología espacal 85 promedo de los pesos de todas las observacones para cada poscón del domno de estudo, la ntensdad corresponde con la suma de los pesos: n n 1 w( x x; h) ˆ( x) nfˆ( x) w( x x; h) 1 1 fˆ ( x) n (3.1) Estas aproxmacones son ben conocdas para muchos ecólogos como herramentas orentadas a la obtencón de representacones gráfcas más vsuales que la representacón drecta de los datos sobre sus coordenadas geográfcas o sobre las coordenadas temporales. De hecho, la estmacón medante funcones de núcleo fue ntroducda por nvestgadores en el campo de las seres temporales (Parzen 1962, Rosenblatt 1956) y cas todo lo expuesto para datos georeferencados en una dmensón es váldo para datos tomados en el tempo, excepto la asmetría de esta dmensón. Este proceso de obtencón de representacones suavzadas de la frecuenca de observacones sobre el espaco geográfco es la base para los estudos del domno vtal y del uso del hábtat por parte de anmales, aunque estas aproxmacones por funcones de núcleo han sdo el objeto de mucha controversa, pues tenden a sobreestmar las áreas que los anmales ocupan (Horne y Garton 2006, Laver y Kelly 2008), especalmente cuando se utlza el ancho de ventana de referenca (ver la seccón sguente) Seleccón del ancho de ventana Más delcado que la eleccón de una funcón de núcleo suele ser la seleccón del parámetro de suavzado de esta funcón, el ancho de ventana (o ancho de banda, del nglés bandwdth). Este parámetro determna el grado de dspersón de la probabldad asocada a una observacón sobre el espaco muestral. De esta manera, s la dsmnucón de la probabldad de las observacones es progresva, la funcón estmada resultante es suave, y su grado de suavdad (para una funcón de núcleo determnada) sólo está determnado por el ancho de ventana, el únco coefcente que el nvestgador modfca en estas aplcacones Ancho de ventana de referenca y anchos varables En no pocas ocasones se ha recomendado explorar un conjunto de anchos de ventana y escoger aquél que produzca unos resultados plausbles (Illan et al. 2008, Wand y Jones 1995), a la vsta de la poca nformacón que ofrecen los patrones puntuales a pror. Sn embargo, en los casos en que no se requera un crtero estadístco, es mejor consderar un crtero externo lgado a hpótess específcas sobre el patrón a analzar, por ejemplo las dstancas de dspersón desde las plantas madre (Illan et al. 2008). En cuanto a crteros nternos a la muestra, quzás el más sencllo es el propuesto por Dggle (en la obra de 1983, pero no en la revsón de 2003), quen recomenda usar n 0,5 (n es el número de

10 86 J. M. BLANCO MORENO eventos en el área de estudo) para patrones puntuales en el plano. S la muestra puede suponerse que derva de una dstrbucón bvarada normal, exsten recomendacones determnadas analítcamente para la funcón núcleo Gaussana, que a veces se han denomnado ancho de ventana de referenca (Worton 1995), este ancho de ventana de referenca se calcula para cada dmensón de la sguente manera: h A n1 d (3.2) 4 donde A es una constante que ajusta el ancho de ventana a la funcón de núcleo que se utlce (Slverman 1986), es la desvacón estándar de los n datos en la dmensón, y d es el número de dmensones (en el análss espacal en general serán una, dos o tres). Esta solucón puede llevar con frecuenca a la seleccón de anchos de ventana dferentes para cada dmensón, lo que en ecología espacal no es frecuente, a menos que exsta una fuerte ansotropía o que se ncluya la dmensón temporal. A pesar de la facldad de aplcacón de estos métodos de seleccón, estas opcones de ancho de ventana con frecuenca son nsatsfactoras. Este hecho ha sdo debatdo con frecuenca para aplcacones relaconadas con la determnacón el área de campeo y el uso del hábtat (Horne y Garton 2006, Seaman y Powell 1996), pues la dstrbucón de puntos rara vez es una normal multvarada y con frecuenca los anmales presentan múltples centros de actvdad con dferente extensón, lo que dfculta una estmacón no sesgada a partr de un únco ancho de ventana. La bblografía en el campo del movmento anmal es extensísma (véanse las referencas en los trabajos de Laver y Kelly 2008, Seaman y Powell 1996, Worton 1995) y las recomendacones son dversas. Esto no quere decr que, para una prmera exploracón de los datos, estas solucones automátcas no sean aceptables. Es más, esta estmacón ploto de la densdad consttuye la base para la seleccón de anchos de ventana varables en el espaco, que corrgen las dferencas locales en la dspersón de los datos. Slverman (1986) propone el uso de un ancho de ventana corregdo medante la rato de la meda geométrca de las densdades y las densdades locales estmadas con un ancho de ventana constante: ~ g h( x (3.3) ) href ~ ( x ) donde ~ g es la meda geométrca de las estmas de densdad, y ( x ) es la estma local en el punto. es un parámetro de sensbldad que varía entre 0 y 1, de manera que = 0 equvale a no hacer nngún ajuste. Otros ajustes locales para controlar la cantdad de datos que se ncluyen en las estmacones de densdad conssten en expresar el ancho de ventana como una funcón de la dstanca al vecno más cercano (Bowman y Azzaln 1997), pues ~

11 Aplcacones de las funcones de núcleo en ecología espacal 87 esta medda está nversamente correlaconada con la densdad de objetos en el espaco muestral, o medante aproxmacones más complejas basadas en dstrbucones mezcladas de funcones de núcleo (Marchette 2009) Valdacón cruzada Uno de los métodos que más se utlza para establecer el ancho de ventana es el de la valdacón cruzada por subconjuntos (cross-valdaton) o más estrctamente la valdacón cruzada dejando uno fuera (leave-one-out). Este método, aunque presenta certos problemas de establdad (Bowman y Azzaln 1997, Wand y Jones 1995), tene la ventaja de que la dea subyacente es generalzable a los dferentes procesos de estmacón medante funcones núcleo, y es un método que resulta famlar e ntutvo. Las formulacones más utlzadas son la valdacón cruzada medante la mnmzacón de la meda del error cuadrátco ntegrado (MECI) (Bowman y Azzaln 1997, Eubank 1999) y medante la maxmzacón de expresones de la verosmltud (Brunsdon 1995, Dggle et al. 2005). Para la estmacón de densdad medante funcones de núcleo la optmzacón estrcta de esta funcón conducría a un absurdo, que sería la eleccón de anchos de ventana h = 0, y que obtendría una representacón de los datos medante la delta de Drac. Para ello, la valdacón cruzada se ejecuta medante la estmacón de la funcón de densdad en cada punto de observacón, pero excluyendo de esa estmacón el valor correspondente al msmo. De esta manera, el proceso de valdacón cruzada seleccona el valor de ancho de ventana que mnmza el error local a partr de la nformacón en los puntos vecnos. En el caso concreto del cálculo de densdades la valdacón cruzada se puede llevar a cabo medante el examen de la MECI en funcón de una sere crecente de anchos de ventana. La MECI se puede estmar (sn tener en cuenta una constante de ntegracón, ver: Bowman y Azzaln 1997, Wand y Jones 1995) medante la expresón: n n fˆ 2 2 ( x) dx n fˆ 1 n ( x) 1 1 (3.4) donde fˆ ( x) es el estmador de la funcón de densdad omtendo la observacón. El valor de ancho de ventana que mnmza esta expresón provee una estmacón del parámetro de suavzacón óptmo. Exsten además alternatvas más complejas destnadas a la seleccón de anchos de ventana adaptatvos (varables en el espaco). Brunsdon (1995) propone el uso de la valdacón cruzada para selecconar no sólo el parámetro de ancho de ventana sno tambén el parámetro de la expresón 3.3. Sn embargo, la valdacón cruzada presenta una elevada varabldad para estmacones de un msmo proceso, puede presentar dversos mínmos locales y con frecuenca produce estmacones de anchos de ventana pequeños (Hall et al. 1991, Wand y Jones 1995).

12 88 J. M. BLANCO MORENO Fgura 3.3 Comportamento de dferentes selectores del ancho de ventana. Los anchos de ventana selecconados corresponden a 500 muestras smuladas de tamaño muestral n = 150 a partr de los 200 datos utlzados en la Fgura 3.2 (realzada con un ancho de ventana óptmo h = 3,13 m). Se puede observar el comportamento mucho más varable de la valdacón cruzada (MECI), y la seleccón de anchos de ventana sustancalmente más grandes medante la aproxmacón normal o de referenca. El método plug-n de Sheather-Jones proporcona estmacones más varables que la aproxmacón normal, pero más cercanas al valor óptmo por mínmos cuadrados. Otros selectores más robustos (denomnados de plug-n) se basan en procedmentos teratvos que tenen en cuenta la segunda dervada de la funcón de densdad. La segunda dervada ndca los cambos de curvatura y localzacón de máxmos y mínmos de ésta y por tanto permte corregr el sesgo de la estmacón (Fg. 3.3). Un método de este tpo, el de Sheather-Jones, es más robusto que la valdacón cruzada (Sheather y Jones 1991, Wand y Jones 1995), pero sólo está defndo para datos en una dmensón, y en prncpo no está dseñado para datos tomados en un domno fnto, lo que suele ser la norma en trabajos ecológcos y epdemológcos (Kelsall y Dggle 1995a) Correccón de efectos de borde Como en otras técncas de análss espacal aplcadas en domnos fntos, puede ser necesaro realzar correccones del efecto borde. Este efecto se produce cuando la funcón de pesos se aplca para estmar la densdad cerca de los límtes del área de estudo, y por tanto ntervene en la estmacón un área fuera de éstos, que no presenta observacones (Dggle 1985). La solucón más fácl, de la msma manera que para el cálculo de estadístcos espacales como la funcón K de Rpley, consste en extender el domno de estudo

13 Aplcacones de las funcones de núcleo en ecología espacal 89 Fgura 3.4. A: Correccón del efecto borde medante una aproxmacón a la ntegracón numérca. Para cada punto de estmacón se calcula la cantdad de sectores radales del núcleo que yacen dentro del área de estudo y se suma su volumen (área peso asgnado), lo que equvale a ntegrar el volumen del núcleo dentro del área de estudo. El factor de correccón que recben los puntos de evaluacón es el recíproco del volumen nteror. B: Estmacón de la ntensdad del patrón puntual a partr del total de observacones, sólo se representa dentro del área polgonal, que smula un domno de estudo rregular. C: Estmacón de la ntensdad dentro del domno de estudo, sn aplcar nnguna correccón del efecto borde, se observa la dsmnucón muy acusada de la ntensdad estmada haca los límtes del polígono. D: Factor de correccón para un núcleo gaussano de ancho de ventana h = 0,09, en el centro del área no se aplca nngún factor de correccón (f c = 1) porque todo el volumen del núcleo está ncluso en el domno de estudo. E: Intensdad estmada dentro del domno de estudo, obtenda por aplcacón del factor de correccón a la ntensdad en el panel superor derecho, se observan mejoras en el comportamento del estmador cerca del límte. La meda de las dferencas absolutas entre la ntensdad real y la no corregda es 1,33, la meda de las dferencas absolutas con la ntensdad corregda es 0,23. medante la técnca de la traslacón torodal. En la aplcacón de este método, que sólo es váldo en áreas de estudo rectangulares, se asume que el patrón es homogéneo en todo el domno. En el caso de áreas de estudo heterogéneas, este método de correccón ntroduce dscontnudades artfcales en los datos (Fortn y Dale 2005). Exsten propuestas gualmente sencllas pero menos arresgadas, que conssten en la extensón de los datos medante la colocacón de copas smétrcas de los datos en el lado externo de los límtes de estudo. Esta técnca se ha denomnado reflexón de la señal en el análss de seres temporales medante wavelets (Addson 2002, p. 58), y evta la ntroduccón de dscontnudades fuertes en los límtes del área de estudo, aunque tambén puede ntroducr efectos espuros en los resultados.

14 90 J. M. BLANCO MORENO Más complejas pero mucho más efectvas, sobre todo por su aplcabldad general y flexbldad, son las solucones basadas en la aplcacón de una correccón a la funcón de pesos, sea por modfcacón drecta de la funcón núcleo (Eubank 1999) o en relacón con la extensón del núcleo que excede el domno de estudo (Haase 1995). Dggle (1985) propuso una correccón para la estmacón de ntensdades medante funcones de núcleo basada en la ntegral defnda de la funcón de núcleo dentro del área de estudo, lo que corrge el sesgo de prmer orden. En la msma línea, Fortn y Dale (2005, p. 39) sugeren el uso de una ntegral aproxmada medante sectores dscretos de la funcón de pesos (Fg. 3.4). Sn embargo, estas correccones pueden llegar a ser computaconalmente costosas, especalmente para límtes de estudo de forma muy compleja. Un problema colateral de las correccones del efecto borde es que la densdad estmada deja de sumar la undad, aunque esta dscrepanca suele ser pequeña (Kelsall y Dggle 1995a) Inferenca para estmas de densdad Varabldad espacal de las estmas Aunque generalmente la estmacón de la densdad medante funcones de núcleo es un proceso orentado a la exploracón de los datos (Illan et al. 2008), tambén exsten algunas herramentas destnadas a la nferenca. El prmer aspecto a consderar es el establecmento de bandas de varabldad de la densdad de los datos. Uno de los problemas a tener en cuenta es que las dos componentes de la varabldad del proceso, sesgo y varanza, están nversamente relaconados, porque dependen de manera nversa del número de datos que se ncluyen en las estmas locales de la densdad. El sesgo es además especalmente problemátco pues depende de la curvatura (la segunda dervada) de la funcón de densdad real (que es desconocda), por lo que frecuentemente las solucones adoptadas suelen tratar el objetvo de cuantfcar la varabldad sn tener en cuenta el sesgo (Bowman y Azzaln 1997). La dervacón matemátca de las bandas de varabldad es relatvamente compleja y sólo está ben defnda para los núcleos gaussanos (ver Bowman y Azzaln 1997, p.29). Estas bandas de varabldad no deben ser consderadas ntervalos de confanza en sentdo estrcto debdo a la presenca del sesgo, a lo que se suma, además, la nterdependenca de las observacones que es la norma más que la excepcón en muestreos espacales (debdo a procesos de dspersón a partr de plantas madre, áreas de campeo lmtadas, etc.). Estas bandas de varabldad no pueden consttur una herramenta potente para examnar hpótess partculares sobre la funcón de densdad, pues se construyen punto a punto, lo que subestma el error de tpo I (De la Cruz 2008), pero aún pueden ayudar a decdr s una partculardad de la funcón de densdad es una característca genuna

15 Aplcacones de las funcones de núcleo en ecología espacal 91 Fgura 3.5 Bandas de varabldad para estmas de densdad obtendas medante la aproxmacón normal para núcleos gaussanos (zquerda) y medante bootstrap (5000 muestreos con reemplazamento) de las observacones (derecha). En nnguno de los dos casos se ha aplcado la correccón del efecto borde para evdencar el sesgo. Es partcularmente obva la dferenca entre ambos métodos en los extremos, donde se acentúa el efecto del sesgo para la aproxmacón normal (Bowman y Azzaln 1997), por comparacón de la densdad estmada con las bandas de varabldad, y s éstas dstan o no de cero. Como hemos vsto, el sesgo y la varanza de las estmas de densdad complcan cualquer ntento de llevar a cabo nferenca. El bootstrap no paramétrco (re-muestreo con reemplazamento) consttuye una alternatva factble aunque computaconalmente costosa a los métodos analítcos. El procedmento de bootstrap para estmas de densdad sgue la lógca usual para este tpo de análss por re-muestreo. Se muestrea con reemplazamento un número elevado de veces el conjunto de datos, y sobre las nuevas muestras x* se calculan las respectvas estmas de densdad fˆ * ( x* ), de manera que se puede usar la dstrbucón de estas estmas de densdad alrededor de fˆ ( x) para comprender el comportamento de fˆ ( x) alrededor de la funcón de densdad real (y desconocda) f (x). Una de las prncpales ventajas de este método es que la dstrbucón del nuevo estmador no contene el sesgo del estmador f ˆ( x) (Hall 1992). Las bandas de varabldad estmadas medante bootstrap no se extenden más allá de la estmacón de densdad de las muestras, y no están desplazadas haca valores postvos en los extremos (Fg. 3.5) Homogenedad en patrones de dstrbucón Las estmacones de densdad tambén pueden ser usadas para comprobar s los eventos de dos o más tpos sguen el msmo patrón de dstrbucón. Para la dstrbucón de eventos de dos tpos (p.e. ndvduos de especes dferentes a lo largo de un transecto) podemos

16 92 J. M. BLANCO MORENO preguntarnos s sus densdades en funcón de la poscón fˆ ( x) y gˆ ( x) Formalmente esto correspondería a: son smlares. H : fˆ( x) gˆ( ) para todo el ntervalo de coordenadas x, o ben 0 x H : fˆ( x) gˆ( ) para algunas de las coordenadas x. 1 x El estadístco más adecuado para el contraste de estas hpótess es la ntegracón del área entre ambas curvas (Bowman y Azzaln 1997): 2 { fˆ( x) gˆ( x)} dx (3.5) Como hemos vsto se pueden obtener bandas de varabldad para las funcones de densdad, y de manera smlar tambén para la dferenca entre funcones de densdad. Sn embargo, como tambén hemos vsto, estas bandas de varabldad no pueden ser usadas drectamente como s fueran auténtcos ntervalos de confanza, sno sólo como guías para la dentfcacón de las zonas en que se producen las mayores dscrepancas entre las funcones de densdad o las mayores contrbucones a la sgnfcacón global. La sgnfcacón del estadístco de contraste se debe obtener de manera no paramétrca medante el etquetado aleatoro de las observacones. Bajo la hpótess nula, ambos tpos de eventos dervan de un únco proceso espacal, por lo que las etquetas que los dentfcan como uno u otro grupo deberían ser ntercambables. La sgnfcacón del estadístco observado es smplemente la proporcón de valores smulados que son más grandes que éste. En el caso de que haya más de dos grupos que queran ser comparados, el estadístco más adecuado es la suma de las ntegrales de las dferencas al cuadrado para cada grupo respecto a la densdad conjunta: k n 1 2 { fˆ ( x) fˆ( x)} dx (3.6) En este caso se ponderan estas dferencas ntegradas por el número de observacones n en cada uno de los k grupos. Para mantener un sesgo nulo en las comparacones se debe utlzar un ancho de ventana común para todos los grupos. Bowman y Azzaln (1997) recomendan el uso de la meda geométrca de los parámetros óptmos de suavzacón. Uno de los problemas que puede encontrarse en el uso de esta ndcacón es el desequlbro entre eventos de uno y otro tpo, pues los eventos raros requeren anchos de ventana relatvamente amplos, mentras que para los eventos comunes es sufcente con anchos de ventana relatvamente pequeños. En cualquer caso, para la nferenca es más mportante mantener el sesgo nulo de las comparacones y asegurar que, s ambas

17 Aplcacones de las funcones de núcleo en ecología espacal 93 dstrbucones son guales, sus medas estmadas sean guales (lo que sólo se consgue s el ancho de ventana es homogéneo entre grupos). Una aplcacón de la comparacón de funcones no paramétrcas de densdad la encontramos en el campo de la epdemología y el establecmento de superfces de resgo de una enfermedad respecto al grupo de pacentes control (Bthell 1990, Kelsall y Dggle 1995a, b). La varabldad espacal del resgo relatvo de una enfermedad se puede calcular como la proporcón entre la funcón de densdad de un grupo g(x) respecto a la densdad total de eventos f(x). Este tpo de modelos enlazan con la regresón no paramétrca, pues la determnacón de superfces de resgo se puede formular como un problema de regresón bnara en el espaco (Kelsall y Dggle 1998), donde cada ndvduo es una muestra y la varable a ajustar espacalmente es la probabldad de que cada ndvduo presente la enfermedad. Este método es más flexble que la estmacón de la razón entre densdades o ntensdades y, dada su formulacón en térmnos de probabldades, es posble escoger el parámetro de ancho de ventana medante log-verosmltud, lo que proporcona un menor error cuadrátco y mayor establdad en las estmacones (Kelsall y Dggle 1998). La varabldad espacal de estas superfces se puede testar de manera local o de manera global. Kelsall y Dggle (1995b) proponen un método de Monte Carlo para la obtencón de contornos de toleranca ndcando valores nusualmente altos o bajos, además, puede obtenerse una prueba estadístca global sobre la sgnfcacón de las desvacones con respecto a una superfce de resgo constante medante el sguente estadístco (Barnard 1963, Kelsall y Dggle 1998): t n n 1 1 sˆ( ) x 2 (3.7) donde las sˆ ( x ) son las dferencas entre el resgo local y el resgo promedo (de hecho es una estma de la varanza de la superfce de resgo). El estadístco de contraste se compara con un número sufcentemente elevado de estadístcos t j obtendos medante smulacón del patrón de puntos Segregacón en patrones puntuales multvarados Un patrón puntual multvarado es un proceso estocástco que genera eventos en un espaco bdmensonal, cada evento correspondente a una de dos o más clases cualtatvamente dstntas (marcas categórcas). De la Cruz (2008) presenta una revsón de métodos para el análss de patrones puntuales multvarados medante estadístcos de segundo orden, pero tambén exsten métodos para el análss de patrones puntuales multvarados basados es estadístcos de prmer orden. En los casos en que exsten dferentes tpos de puntos, no sólo cabe preguntarse s los patrones de densdad de los dferentes tpos de eventos son smlares (como hemos vsto en el apartado anteror), sno s

18 94 J. M. BLANCO MORENO exste la segregacón entre los dferentes tpos. Dggle et al. (2005) presentan una metodología para el análss de patrones puntuales multvarados basada en la estmacón de la funcón de densdad de eventos medante funcones de núcleo. Estos autores consderan que un patrón multvarado presenta segregacón espacal de los dstntos componentes s para alguna pareja de tpos y j (j ) la ntensdad (densdad) condconal de los eventos de tpo j en el punto x dado un punto de tpo en x es menor que la ntensdad margnal de eventos j en x. El modelo asume que los subprocesos componentes son procesos heterogéneos de Posson con ntensdades k (x) para los dferentes k tpos. S defnmos p k (x) como la probabldad condconal en x de los elementos de tpo k que puede ser calculada como: p ( x) ( x) ( x) k k m j1 k (3.8) podemos afrmar que el proceso de Posson subyacente es al azar s p k (x) = p k, es decr que las probabldades de los dferentes k tpos son constantes en el espaco e guales a las probabldades promedo de los eventos de tpo k. Las ntensdades se pueden estmar medante una funcón de núcleo como hemos vsto para la estmacón de densdades unvaradas, sn embargo, resulta más drecto hacerlo drectamente medante un estmador de la probabldad (Dggle et al. 2005). El proceso se puede entender como una modfcacón del método propuesto por Kelsall y Dggle (1998) para la estmacón de la varacón espacal del resgo. En este caso, puesto que se puede entender todo el proceso como una regresón multnomal, la seleccón del ancho de ventana se puede llevar a cabo medante la valdacón cruzada de la log-verosmltud: L VC ( h) n g 1 k 1 I( z k)log( pˆ k ( x )) (3.9) donde la funcón I(z = k) es un ndcador que devuelve uno s la marca z es del grupo k, y cero en caso contraro, y pˆ k ( x ) es la funcón de probabldad estmada en x pero sn tener en cuenta este punto. El valor óptmo de ancho de ventana es aquél que maxmza esta expresón. La eleccón de un ancho de ventana común presenta la ventaja de que las probabldades específcas calculadas suman uno para cualquer punto en el espaco, de manera que ndcan la probabldad de que un evento en el punto x sea de tpo k. Para probar estadístcamente la varacón espacal de las probabldades condconales, Dggle y colaboradores (2005) sugeren comparar las pˆ k ( x) estmadas con la esperanza de las probabldades específcas k, que pueden ser estmadas medante ˆ k n k / n. El estadístco de contraste sugerdo es: T n m 1 k 1 { p k ( x ) k} 2 (3.10)

19 Aplcacones de las funcones de núcleo en ecología espacal 95 Fgura 3.6 Análss de segregacón de marcas medante una aproxmacón por funcones de núcleo. Se establece el ancho de ventana medante valdacón cruzada de la verosmltud para el conjunto de especes; y con este ancho de ventana se realza la estmacón de las densdades relatvas y de reestmacón (500 veces) de las densdades con las marcas (especes) dstrbudas al azar, de las cuales se obtene la sgnfcacón respecto a un patrón homogéneo. El patrón de dstrbucón conjunto así como las dstrbucones de las dferentes especes son dferentes respecto a uno homogéneo (P 0,002, los contornos ndcan los ntervalos de confanza del 95 %). Éste puede ser probado medante smulacón de Monte Carlo (Dggle et al. 2005): bajo la hpótess nula las marcas de los eventos se pueden redstrbur aleatoramente (random labellng), de manera que la proporcón entre las dferentes clases y la dstrbucón espacal de los eventos se mantenen constantes. La sgnfcacón se obtene de la manera habtual, a partr el número de estadístcos t permutas (obtendos para un número elevado de permutas de las marcas) que son mayores o guales al estadístco orgnal t observado (obtendo

20 96 J. M. BLANCO MORENO para la dstrbucón orgnal de las marcas). Por otra parte, este estadístco puede ser descompuesto en sus componentes espacales, de manera que permte evaluar las localzacones que más se apartan del modelo nulo de homogenedad espacal, tanto en lo referente al conjunto de k marcas como a cada una de los marcas (Fg 3.6). Sn embargo, como hace notar De la Cruz (2008), la aleatorzacón de las marcas corresponde a procesos que puedan ser entenddos como resultado de un proceso jerárquco, uno que genera el patrón de puntos, y otro que asgna las marcas a los procesos. En los casos epdemológcos, esta hpótess es adecuada, pues exste una poblacón de resgo que contrae una u otra enfermedad. Sn embargo, en algún caso se ha sugerdo el uso del etquetado aleatoro para testar la ndependenca de dos patrones puntuales, por ejemplo la dstrbucón de árboles de dferentes especes (Zheng y Dggle 2009), aunque esta no sería la manera más adecuada de generar la hpótess nula (Dxon 2002). En este caso, el desplazamento torodal o la smulacón de nuevos patrones puntuales de acuerdo a una funcón de segundo orden serían más adecuados Dscontnudades en patrones de puntos La delneacón de fronteras requere una aproxmacón un tanto especal en patrones de puntos. La aproxmacón más habtual a las fronteras en patrones puntuales ha sdo medante la agregacón de los datos en undades de muestreo predefndas por el nvestgador, y la aplcacón de los métodos cláscos a estos datos (Camarero y Fortn 2008, Fortn 1994, Fortn y Dale 2005). Sn embargo, como hemos vsto en la seccón 3.2.1, este procedmento es poco recomendable, dados los problemas de la conversón de las coordenadas a undades dscretas y la marcada reduccón del tamaño muestral. Hasta donde conocemos, solo Blanco-Moreno y Dale (2008) han abordado el problema desde un punto de vsta contnuo en el espaco, por lo que del método propuesto sólo podemos ofrecer unas pnceladas prelmnares, mucho más destnadas a la descrpcón de los patrones que a la nferenca estadístca. S pensamos en un patrón de puntos multvarado como una superposcón de patrones unvarados parcalmente concdentes, las fronteras se pueden nterpretar como aquellas zonas que presentan la tasa de cambo más elevada en la composcón de los vecndaros. Para poder defnr la tasa de cambo de la composcón de los vecndaros a lo largo de la línea magnara que conforma la frontera, podemos utlzar una funcón de núcleo. La estmacón de la ntensdad medante una funcón núcleo para la deteccón de cambos presenta un problema dervado de una de las propedades de estas funcones de pesos. Dado que las estmacones se construyen a partr de las observacones dentro del rado del núcleo, s tenemos una estmacón centrada sobre una frontera la ntensdad estmada tendrá en cuenta los datos de uno y otro lado de la dscontnudad, por lo que

21 Aplcacones de las funcones de núcleo en ecología espacal 97 quedará dluda su mportanca. Por esta razón se debe ejecutar el análss con una funcón núcleo unlateral (es decr, sólo medo núcleo), de la msma manera que se ha propuesto para el análss de bordes y líneas de cambo en mágenes (Garlpp y Müller 2006, Müller y Garlpp 2005, Qu 1997). Como en otros problemas sobre el plano (dos dmensones), el proceso comenza con el establecmento de una red densa de puntos de evaluacón. Para cada uno de estos puntos, se obtene un par de estmacones de ntensdad multvaradas gˆ y gˆ, que no son más que el conjunto de las ntensdades estmadas para cada uno de los tpos de puntos en el patrón. Se puede consderar, de manera análoga al womblng (Camarero y Fortn 2008, Fortn 1994, Womble 1951), que la magntud de la dferenca entre estas estmas consttuye un buen ndcador de la presenca de dscontnudades. La dferenca se debe calcular medante una métrca adecuada. El womblng y otros procedmentos smlares se basan en la métrca eucldana, ya que calculan pendentes de las superfces de cambo entre puntos de muestreo (Camarero y Fortn 2008, Fortn y Dale 2005), a pesar de que la dstanca eucldana puede no ser la más adecuada para datos de composcón de especes (Legendre y Gallagher 2001). En este caso, se puede utlzar cualquer métrca para comparar las dos estmas gˆ y gˆ, para que represente alguna medda de dsmlardad ecológca con las propedades más relevantes en cada caso. De esta manera, s se queren poner de manfesto las dferencas entre proporcones, las dstancas más apropadas serían la dstanca de la cuerda o la dstanca entre perfles de especes, s se quere obtener un compromso entre las abundancas absolutas y las relatvas, la dstanca de Hellnger o la de Bray-Curts consttuyen alternatvas más adecuadas (Legendre y Legendre 1998). Para los patrones puntuales en dos dmensones las dferencas de ntensdad pueden obtenerse para nfntas dreccones, por lo que hay que defnr la drecconaldad de la línea de cambo. Para encontrar la orentacón más probable de la dscontnudad se deben probar dferentes orentacones con el objetvo de encontrar el ángulo que consgue la máxma (Garlpp y Müller 2006). Tras este proceso se obtene una superfce de tasas de cambo (asocadas a sus ángulos ), de la cual solamente nteresan las crestas, o líneas que unen los puntos de máxmo cambo, que pueden ser defndas medante las dervadas drecconales de esta superfce de cambo. Se pueden realzar pruebas estadístcas globales de la presenca de dscontnudades medante etquetado aleatoro de los puntos (Blanco-Moreno y Dale 2008) a partr de las meddas propuestas por Oden et al. (1993), aunque seguramente estas pruebas son excesvamente lberales (error de tpo I elevado, ver Fortn 1994, Fortn y Drapeau 1995) pues al etquetar aleatoramente los puntos se destruye la estructura espacal de los datos.

22 98 J. M. BLANCO MORENO Probablemente el uso del desplazamento torodal para áreas rectangulares puede alvar parcalmente el problema. Este aspecto así como la sgnfcacón de las dscontnudades ndvduales requeren una nvestgacón más rgurosa Regresón no paramétrca Así como la estmacón de densdad busca obtener un promedo local de conteos de datos o de ndvduos, la regresón no paramétrca de una varable respecto a las coordenadas cartesanas pretende obtener localmente un valor medo de las observacones de la varable de respuesta. Las técncas de suavzacón de datos pueden resultar útles para mostrar la estructura espacal de los datos, sn hacer referenca a modelos paramétrcos, como podrían ser las superfces de tendenca (trend surface) (Legendre y Legendre 1998) u otros modelos más analítcos, mecancstas (regresones logístcas, etc.) El modelo no paramétrco, sn embargo, puede sugerr los modelos paramétrcos o llevarnos a consderar s éstos son adecuados en absoluto Meda local La aproxmacón de tpo núcleo más smple a la regresón no paramétrca es la construccón de un estmador de la meda local, un proceso de estmacón smlar a la meda móvl pero más flexble: n w( x x; h) y ~ y m~ ( 1 x) (3.11) n w( x x; h) 1 donde m ~ ( x ) es el estmador en x, w( x x; h) son los pesos de los puntos x, cuyo valor meddo es y, para una estmacón en x medante un ancho de ventana h. Cabe destacar que este estmador es una generalzacón, por así decrlo, del estmador de la meda artmétca, pues la meda artmétca global es un caso partcular de la funcón m ~ ( x ) cuando el ancho de ventana h tende a nfnto (ver la Fgura 3.7). De la msma manera que un ancho de ventana demasado grande no es muy útl para la caracterzacón local de los datos, un ancho de ventana excesvamente pequeño tampoco es útl, porque conduce a la nterpolacón de los datos. Una aplcacón de la meda local, en muestras multvaradas (p.e. estudos de la vegetacón en transectos) la encontramos en la regularzacón de los datos. Se pueden obtener estmacones smultáneas de los dferentes elementos que conforman la comundad local medante el suavzado de las muestras completas, a partr de un ancho de ventana selecconado para la comundad en conjunto medante valdacón cruzada (ver la seccón 3.3.4) de manera que se mnmce el error conjunto. De esta manera, podemos obtener

23 Aplcacones de las funcones de núcleo en ecología espacal 99 Fgura 3.7. Comparacón de la estmacón de la meda local con dferentes anchos de ventana. Se puede defnr un ancho de ventana óptmo, para el cual la suavzacón de los datos es adecuada, para anchos de ventana más amplos (zquerda), se produce una sobre-suavzacón y no representa correctamente la estructura de los datos, para anchos de ventana muy pequeños (derecha) se tende a la nterpolacón de los datos, lo que no es útl para detectar las tendencas ordenacones o clasfcacones más estables de las muestras de un transecto, menos sensbles a las varacones aleatoras entre muestras contguas (Fg. 3.8) lo que equvale a realzar un análss con constrccones espacales. Este tpo de análss puede ser útl, por ejemplo, para delnear zonas de gestón aproxmadamente homogéneas. El cálculo de la meda local puede ser atractvo por su facldad de mplementacón y su sgnfcado ntutvo, pero este estmador puede tener un sesgo mportante cerca de los límtes del área de estudo, debdo a que el número de datos ncludos en las estmacones externas es más reducdo que para el resto de puntos de evaluacón de la funcón. Por esta razón, en las estmacones de medas locales cerca de los límtes del área de estudo es convenente aplcar algún tpo de correccón del efecto borde, análogo al que se aplca en las estmacones de la densdad (ver apartado 3.2.3) o en estmacones de las funcones de segundo orden de procesos puntuales (Goreaud y Pélsser 1999, Haase 1995), de los métodos de regresón no paramétrca, la estmacón de la meda móvl es el más afectado por el efecto borde y este problema es muchísmo más leve con modelos de regresón lneal local (Bowman y Azzaln 1997, Zheng et al. 2004) Regresón lneal local La dea de ajustar una recta localmente para obtener una funcón suave de la respuesta es relatvamente veja (Cleveland 1979), pero sus excelentes propedades estadístcas (Fan 1993, Fan y Gjbels 1992) han hecho que perdure y que se haya hecho un hueco entre las

24 100 J. M. BLANCO MORENO Fgura 3.8. Efecto de la regularzacón de los datos medante medas locales en los resultados de una clasfcacón. En el prmer panel se muestran los datos de abundanca (en una escala ordnal) de trenta y cuatro especes de plantas en un nevero prenaco, a lo largo de un transecto desde la parte exteror del nevero hasta el centro de éste. La clasfcacón de las muestras medante un análss de conglomerados dfuso en tres grupos presenta certas rregulardades, lo que no faclta la delneacón de regones homogéneas. La regularzacón de la abundanca de las especes es equvalente en certa manera a la obtencón de un modelo no paramétrco de su abundanca en relacón con la permanenca de la neve, suavzando las rregulardades en la presenca de especes que pueden deberse a efectos estocástcos. La regularzacón se llevó a cabo medante la meda local de cada espece con una funcón de núcleo común (representado en trazo dscontnuo en el cuarto panel). La clasfcacón de los datos regularzados perfla con más clardad la presenca de regones. técncas habtuales de análss estadístco (Bowman y Azzaln 1997). Una regresón lneal es ajustada de manera local en las poscones de la coordenada x de nterés medante la mnmzacón de la funcón: n 1 { y ( x 2 x)} w( x x; h) (3.12) sobre los parámetros. Como el problema smplemente se basa en la resolucón de un problema de mínmos cuadrados, la solucón puede expresarse como mˆ ( x) Sy, donde S denota un vector de constantes conocdas defndas sobre x, las x y la funcón w(u), e y es el vector de varables de respuesta. La resolucón de la regresón lneal local tene una