El teorema general de Cauchy

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1 Tema 12 El teorema geeral de Cauchy La teoría local de Cauchy, cuyos dos resultados básicos fuero el teorema de Cauchy para domiios estrellados y la fórmula de Cauchy para ua circuferecia, os ha permitido probar umerosas propiedades de las fucioes holomorfas. Nuestro próximo objetivo es completar dicha teoría, ecotrado la forma más geeral posible de esos dos resultados iiciales. Co respecto al teorema local de Cauchy, es atural pregutarse cuales so los abiertos del plao e los que toda fució holomorfa admite ua primitiva. Es fácil dar ejemplos de domiios co esta propiedad que o so estrellados. Co respecto a la fórmula de Cauchy, cabe pregutarse lo que ocurre al sustituir la circuferecia por otros camios cerrados. Veremos que ambas pregutas está ítimamete ligadas, e cierto modo so equivaletes, y abordaremos su estudio empezado por la seguda. U breve aálisis de la fórmula de Cauchy motivará la oció clave que marca la trasició de la teoría local de Cauchy ya coocida, a la teoría global que ahora iiciamos. Se trata del ídice de u puto co respecto a u camio cerrado, ua oció que formaliza rigurosamete la idea ituitiva del úmero de vueltas que da u camio cerrado alrededor de u puto. Por otra parte, itroducimos u formalismo que os permitirá liberaros de la codició que debe cumplir dos camios para poder cosiderar su suma. Basta para ello cosiderar sumas formales de camios arbitrarios, que recibe el ombre cadeas, y e particular sumas formales de camios cerrados, que llamaremos ciclos. So ocioes propias de ua teoría muy geeral, llamada Álgebra Homológica, que ace co el estudio del teorema de Cauchy. Comprobaremos rutiariamete que la itegral de ua fució cotiua sobre ua cadea coserva las mismas propiedades que teía la itegral sobre u camio: liealidad, cotiuidad y aditividad. Co los preparativos cometados, podremos probar la forma geeral del teorema de Cauchy y de la fórmula itegral de Cauchy, los dos resultados equivaletes e los que se resume la teoría global. Haremos la demostració publicada por el matemático caadiese Joh D. Dixo e 1971, históricamete la primera que puede cosiderarse bie formalizada, por usar sólo argumetos aalíticos, evitado las cosideracioes geométricas más o meos ituitivas que aparecía e las demostracioes previamete coocidas. 135

2 12. El teorema geeral de Cauchy Ídice de u puto respecto a u camio cerrado Recordemos ua itegral que jugó u papel clave e la demostració de la fórmula de Cauchy. Fijados a C y r R +, para z C \C(a,r) se tiee { 1 dw 2πi C(a,r) = 1 si z a < r 0 si z a > r así que, el primer miembro de la igualdad aterior idica si la circuferecia C(a,r) rodea o o al puto z. Cabe pregutarse qué ocurrirá e geeral si, e vez de ua circuferecia, cosideramos u camio cerrado arbitrario. Ello motiva la defiició que sigue. Si γ es u camio cerrado y z C \ γ, el ídice del puto z respecto al camio γ, que se deota por Id γ (z), viee defiido por: Id γ (z) = 1 dw 2πi γ Nos pregutábamos si, como e el caso particular de ua circuferecia, Id γ (z) os iforma de la posició relativa del puto z co respecto al camio γ. Eseguida observamos, co ejemplos secillos, que el ídice es u cocepto más refiado: Si γ = C(a,r) +C(a,r), recorremos dos veces C(a,r) e setido positivo, y teemos { 2 si z a < r Id γ (z) = 0 si z a > r Si γ = C(a,r), recorremos ua vez la misma circuferecia e setido egativo y { 1 si z a < r Id γ (z) = 0 si z a > r Fialmete γ = C(a,r) C(a,r) recorre ua vez la circuferecia e cada setido y Id γ (z) = 0 z C \C(a,r) Estos ejemplos os hace sospechar que la iformació coteida e el ídice Id γ (z) o es la posició relativa de z respecto de γ, sio más bie el úmero de vueltas que da el camio γ alrededor del puto z. De hecho, hay que eteder que las vueltas se cueta positiva o egativamete segú el setido de giro, y que las vueltas e setidos cotrarios se compesa, para obteer lo que podríamos llamar u úmero eto de vueltas. Las propiedades del ídice que vamos a ir probado permite covecerse de que, efectivamete, la defiició de ídice formaliza la idea ituitiva de úmero de vueltas que hemos explicado. Para empezar, veremos que el ídice es siempre u úmero etero, cosa que o está ada clara si miramos a su defiició. Para probarlo, empezamos cosiderado el caso de u arco, pero u camio cerrado puede ser suma de arcos o cerrados, luego debemos trabajar co arcos arbitrarios.

3 12. El teorema geeral de Cauchy 137 Dado u arco σ : [a,b] C, co a,b R y a < b, fijemos u puto z C\σ. Etoces la fució τ : [a,b] C, defiida por τ(t) = σ(t) z para todo t [a,b], admite u logaritmo derivable e [a,b], es decir, existe ua fució ϕ : [a,b] C que es derivable e [a,b] y verifica que τ(t) = e ϕ(t) para todo t [a,b]. Como cosecuecia, se tiee: σ dw = ϕ(b) ϕ(a) Log ( σ(b) z σ(a) z La fució ϕ buscada ha de ser ua primitiva de τ /τ, lo que la determia salvo ua costate aditiva. Como ϕ(a) debe ser u logaritmo de τ(a), la forma de defiir ϕ está clara: ) (1) ϕ(t) = log τ(a) + t a τ (s) τ(s) ds t [a,b] Por el teorema fudametal del Cálculo para la itegral de Cauchy, ϕ es derivable e [a,b] co ϕ (t) = τ (t) τ(t) = σ (t) σ(t) z t [a,b] (2) Para comprobar que ϕ es el logaritmo buscado, defiimos h : [ a, b] C por h(t) = τ(t)e ϕ(t) t [a,b] obteiedo ua fució derivable e [ a, b] co h (t) = τ (t)e ϕ(t) τ(t)ϕ (t)e ϕ(t) = 0 t [a,b] dode hemos usado (2). Aplicado el teorema del valor medio a la partes real e imagiaria de h obteemos que h es costate. Como e ϕ(a) = τ(a), teemos h(a) = 1, luego h(t) = 1 para todo t [a,b]. Usado la defiició de h obteemos que ϕ es el logaritmo buscado: τ(t) = e ϕ(t) para todo t [a,b]. Fialmete, lo demostrado sobre ϕ os lleva directamete a (1): σ dw = b a σ (t) dt = ϕ(b) ϕ(a) Log σ(t) z ( σ(b) z σ(a) z ) Co la misma otació, supogamos que el arco σ es cerrado, co lo que τ(a) = τ(b). Etoces ϕ(a) y ϕ(b) so logaritmos del mismo úmero, luego tiee la misma parte real. E vista de (1), para calcular el ídice Id σ (z), sólo os iteresa la parte imagiaria θ = Im ϕ, que es u argumeto cotiuo de τ, es decir, ua fució cotiua θ : [a,b] R tal que θ(t) Arg τ(t) para todo t [a,b]. A partir de (1) obteemos Id σ (z) = ϕ(b) ϕ(a) 2πi = θ(b) θ(a) 2π Como θ(a) y θ(b) so argumetos del mismo úmero complejo, difiere e u múltiplo etero de 2π, luego Id σ (z) Z. Probaremos lo mismo para cualquier camio cerrado, pero ates coviee resaltar que el argumeto cotiuo θ aclara la iterpretació ituitiva del ídice. (3)

4 12. El teorema geeral de Cauchy 138 Supoiedo que el arco τ describe u movimieto, que o pasa por el orige, Arg τ(t) es el águlo orietado etre el semieje real positivo y el vector de posició del móvil e cada istate t [a,b]. Ituitivamete, la cotiuidad de τ hace que este águlo varíe de maera cotiua, luego o es de extrañar, auque tampoco sea matemáticamete evidete, que podamos elegir para cada istate t [a,b] u úmero real θ(t) que mide dicho águlo, obteiedo ua fució cotiua. Nuestro argumeto cotiuo aumeta o dismiuye segú que el vector de posició gire e setido positivo o egativo. Por tato, la diferecia θ(b) θ(a), etre los valores fial e iicial del argumeto, se iterpreta como el águlo eto barrido por el vector de posició e todo el movimieto. Por cada vuelta completa que da el móvil alrededor del orige, e setido positivo, el águlo barrido aumeta 2π, mietras que cada vuelta e setido egativo lo hace dismiuir 2π. E vista de (3), al dividir por 2π, vemos que Id σ (z) es el úmero eto de vueltas que da uestro móvil, o si se quiere el arco cerrado τ, alrededor del orige. Cuado trasladamos el orige al puto z, el arco τ se covierte e σ, luego el úmero de vueltas que da σ alrededor del puto z coicide co el úmero de vueltas que da τ alrededor del orige, que era Id σ (z). Auque sólo la hemos explicado e el caso de u arco, la aterior iterpretació ituitiva del ídice puede hacerse para u camio cerrado, porque sigue existiedo el argumeto cotiuo (auque ya o derivable) θ, y la igualdad (3) sigue siedo cierta. De hecho (3) sugiere la forma de defiir el ídice de u puto respecto a ua curva cerrada arbitraria, para que siga teiedo la misma iterpretació, auque ya o se exprese como ua itegral curvilíea. De esta forma se geeraliza la oció de ídice, que aquí sólo usaremos para camios cerrados, obteiedo de hecho u cocepto básico y muy útil e Topología Algebraica. Probemos ya, para camios cerrados, las tres propiedades clave del ídice: Para todo camio cerrado γ, se tiee: (i) Id γ (z) Z para todo z C \ γ (ii) La fució Id γ : C \ γ Z es cotiua. Equivaletemete, es costate e cada compoete coexa de C \ γ (iii) Si U es la compoete coexa o acotada de C\γ, se tiee que Id γ (z) = 0 para todo z U. (i). Sea a = t 0 < t 1 <... < t = b ua partició del itervalo [a,b] e el que γ esté defiido, verificado que, para cada k {1,2,...,}, la restricció de γ al itervalo [t k 1,t k ] es u arco, que deotaremos por γ k. Fijado z C \ γ, y k {1,2,...,}, teemos z C \ γk y podemos aplicar el resultado probado previamete para arcos, obteiedo que γ k dw Log ( γ(tk ) z γ(t k 1 ) z ) k {1,2,...,} La propiedad clave de los logaritmos de u úmero complejo os dice que ( ) dw γ = dw ( ) γ k Log γ(t k ) z γ(b) z = Log = Log 1 γ(t k 1 ) z γ(a) z Así pues, la itegral aterior es u múltiplo etero de 2πi, luego Id γ (z) Z.

5 12. El teorema geeral de Cauchy 139 (ii). Para abreviar, escribimos G = C \ γ, que es u cojuto abierto, pues γ es compacto. Claramete, la fució Φ : γ G C defiida por Φ(w,z) = 1 (w,z) γ G es cotiua. Por tato, el lema de cotiuidad de la itegral depediete de u parámetro os dice que la fució Id γ, que claramete verifica Id γ (z) = 1 Φ(w,z)dw 2πi γ z G es cotiua e G. Su restricció a cada compoete coexa de G es ua fució cotiua e u coexo co valores eteros, luego es costate. La equivalecia se debe a que las compoetes coexas de G so cojutos abiertos. Toda fució, de G e cualquier espacio topológico, que sea costate e cada compoete coexa de G, es costate e u etoro de cada puto de G luego, por el carácter local de la cotiuidad, es cotiua. (iii). Veamos previamete que G tiee ua úica compoete coexa o acotada. Como γ está acotado, sea R R + tal que γ D(0,R). Etoces C \ D(0,R) está coteido e G y es coexo, luego C\D(0,R) U dode U es ua compoete coexa de G, que o está acotada. Si V es otra compoete coexa de G, V U, se tiee V ( C \ D(0,R) ) V U = /0, así que V D(0,R) y V está acotada. Nótese que el mismo razoamieto puede usarse para cualquier cojuto acotado A C, obteiedo que C \ A tiee ua úica compoete coexa o acotada. Pues bie, usado (ii) sea m Z tal que Id γ (z) = m para todo z U. Tomado de uevo R R + de forma que γ D(0,R) teemos como ates que C \ D(0,R) U. Por tato, para z C co z > R podemos escribir Deducimos claramete que m = Id γ (z) = 1 2π m lím z γ dw l(γ) 2π ( z R ) = 0 l(γ) 2π ( z R ) luego m = 0 como queríamos demostrar. Cometemos fialmete que todas las propiedades ateriores era claramete esperables a la vista de la iterpretació ituitiva del ídice. El úmero de vueltas que da u camio cerrado γ alrededor de u puto z G debía ser u úmero etero. Al desplazar ligeramete z, dicho úmero de vueltas o debía cambiar, luego la fució Id γ teía que ser costate e u etoro de cada puto de G, y por tato cotiua, es decir, costate e cada compoete coexa de G. Por último, la compoete coexa o acotada U cotiee claramete putos que o puede estar rodeados por γ, luego el ídice teía que aularse e U.

6 12. El teorema geeral de Cauchy Cadeas y ciclos Para estudiar la forma geeral del teorema de Cauchy, pero sobre todo a la hora de deducir de ella alguas cosecuecias iteresates, es útil itroducir u formalismo que permite maejar cómodamete la suma de las itegrales de ua fució sobre varios camios, auque la suma de dichos camios o tega setido. Llamaremos cadea a toda suma formal = γ 1 + γ γ = γ k (4) dode N y γ k es u camio para todo k {1,2,...,}. Resaltamos que dichos camios so completamete arbitrarios, o es ecesario, como ocurría cuado defiíamos la suma de camios, que el extremo de cada camio coicida co el orige del que le sigue. Se verifique o o dicha codició, siempre podemos cosiderar la suma formal. Por tato, dos cadeas = γ k y Σ = m σ k sólo so iguales cuado m = y σ k = γ k para todo k I. Dicho de otra forma, la cadea dada por (4) determia e forma úica al úmero atural y a los camios γ 1,γ 2,...,γ. Esto permite hacer las defiicioes que sigue. La image de la cadea que aparece e (4) es el subcojuto de C dado por = γ k que como e el caso de ua curva, es compacto, pero ahora puede o ser coexo. Usaremos tambié la logitud de la cadea, que se defie como la suma de las logitudes de los camios que la forma: l() = l(γ k ) Si ahora Σ = m σ k es otra cadea cualquiera, defiimos la suma de las cadeas y Σ como ua simple yuxtaposició de sumas formales: + Σ = γ 1 + γ γ + σ 1 + σ σ m Tambié usaremos la cadea opuesta de, que viee dada por = ( γ 1 ) + ( γ 2 ) +... ( γ ) = Es claro que ( + Σ) = Σ, así como que ( ) =. ( γ k ) Geeralizamos ahora, de forma bastate obvia, la itegral sobre u camio. Para la cadea dada por (4), cosideramos el espacio de Baach complejo C( ) de las fucioes complejas cotiuas e el compacto, co la orma del máximo: f = máx { f (z) : z } f C( )

7 12. El teorema geeral de Cauchy 141 Para f C( ) defiimos la itegral de f sobre la cadea por f (z)dz = f (z)dz γ k Las propiedades básicas de la itegral sobre u camio se extiede obviamete a esta situació formalmete más geeral. La itegral sobre es ua aplicació lieal y cotiua de C( ) e C. Cocretamete, es claro que f (z)dz l() f f C( ) Además, la itegral es aditiva, e el setido de que, para cualesquiera cadeas y Σ se tiee f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz f C( Σ ) +Σ y tambié es obvio que Σ f (z)dz = f (z)dz f C( ) Llamaremos ciclo a toda suma formal de camios cerrados. Se trata obviamete de u tipo particular de cadea, así que todo lo dicho ateriormete sobre cadeas se aplica e particular a los ciclos. Es claro que la suma de dos ciclos es u ciclo, así como que la cadea opuesta de u ciclo tambié es u ciclo. Tambié está clara la forma de exteder la oció de ídice respecto de u camio cerrado, defiiédola para ciclos. Si = γ k es u ciclo, y z C \, teemos z C \ γ k k = 1, 2,...,, luego podemos defiir el ídice del puto z respecto al ciclo por Id (z) = 1 dw 2πi = 1 dw 2πi γ k = Id γk (z) para todo Comprobamos fácilmete que el ídice respecto a u ciclo tiee la tres propiedades clave que teía para camios cerrados: Si es u ciclo, se tiee Id (z) Z para todo z C\, la fució Id : C\ Z es costate e cada compoete coexa de C \ y se aula e la compoete o acotada. Pogamos = γ k dode N y γ k es u camio cerrado para todo k I = {1,2,...,}. Para z C \, está claro que Id (z) es u úmero etero, por ser ua suma de úmeros eteros. Si V es ua compoete coexa de C \ y k I, se tiee que V está coteida e ua compoete coexa de C\γk, luego la fució Id γ k es costate e V. Como esto ocurre para todo k I, cocluimos que Id tambié es costate e V. Fialmete observemos que, por ser acotado, C \ tiee ua sola compoete coexa o acotada, digamos U. Etoces, para todo k I, U está coteida e la compoete coexa o acotada de C \ γ k, así que Id γk se aula e U. Como esto ocurre para todo k I, vemos que Id tambié se aula e U.

8 12. El teorema geeral de Cauchy Cometario sobre el teorema de Cauchy Varios teoremas coocidos, que eseguida revisaremos, sigue u mismo esquema. Dados u abierto Ω del plao, u camio cerrado γ e Ω y ua fució f H(Ω), el teorema afirma que la itegral de f sobre γ se aula. Asumiedo el formalismo que acabamos de itroducir, a partir de ahora sustituimos el camio cerrado γ por u ciclo e Ω, es decir, tal que Ω, co lo que la tesis comú a los teoremas e cuestió será: f (z)dz = 0 (5) Como esto o siempre es cierto, cada teorema tiee ua hipótesis adicioal, que puede referirse a la fució f, al ciclo o al abierto Ω, dado lugar a tres tipos de teorema. Para abordar la forma geeral del teorema de Cauchy, es atural pregutarse cual es la hipótesis más geeral posible sobre la fució f, sobre el ciclo o sobre el abierto Ω. Ahora bie, la codició suficiete más geeral para que se verifique ua afirmació es siempre la que sea a la vez ecesaria y suficiete, luego la forma más geeral de cada tipo de teorema siempre será ua equivalecia, o si se quiere, ua caracterizació. Teemos por tato tres problemas diferetes, que vamos a ir aalizado: Dado u abierto Ω del plao, caracterizar las fucioes f H(Ω) que verifica (5) para todo ciclo e Ω. Coocemos la respuesta a este problema: es la caracterizació de la existecia de primitiva, pues la fució f verifica (5) para todo ciclo e Ω, si y sólo si, la verifica para todo camio cerrado e Ω, lo que equivale a que f admita ua primitiva e Ω. Así pues, para este primer tipo de teorema de Cauchy teemos ya la forma más geeral posible, pero la respuesta o es satisfactoria, pues la existecia de primitiva fue precisamete la motivació para estudiar los teoremas de Cauchy. Pasemos pues al segudo problema: Dado u abierto Ω del plao, caracterizar los ciclos e Ω que verifica (5) para toda f H(Ω). Sobre este problema teemos aú poca iformació. El teorema de Cauchy para el triágulo os da ciclos muy cocretos que verifica la codició requerida: los del tipo = [a,b,c,a], siempre que todo el triágulo (a,b,c) esté coteido e Ω. Podríamos mejorar fácilmete el resultado, ecotrado otras poligoales co la misma propiedad, pero o merece la pea, ya que vamos a resolver completamete el problema, e la forma que pasamos a explicar. Partimos de ua codició claramete ecesaria: si verifica (5) para toda f H(Ω), fijado z C \ Ω, podemos tomar f (w) = 1/() para todo w Ω, y obteemos que Id (z) = 0. Demos u ombre a los ciclos que verifica esta codició: Si Ω es u abierto del plao y u ciclo e Ω, se dice que es ul-homólogo co respecto a Ω, cuado verifica que Id (z) = 0 para todo z C \ Ω. Por ejemplo, es claro que todo ciclo es ul-homólogo co respecto a C.

9 12. El teorema geeral de Cauchy 143 Esta omeclatura viee del Álgebra Homológica. E realidad, se dice que dos ciclos e Ω so homólogos co respecto a Ω cuado todos los putos de C \ Ω tiee el mismo ídice respecto a ambos. Se trata claramete de ua relació de equivalecia e el cojuto de todos los ciclos e Ω y es fácil ver que la operació de suma de ciclos permite covertir el cojuto cociete e u grupo abeliao que es el grupo de homología del abierto Ω. Claramete u ciclo es ul-homólogo co respecto a Ω cuado su clase de equivalecia es el elemeto eutro (el cero) de dicho grupo. Pues bie, la forma geeral del teorema de Cauchy os dirá que la codició de que u ciclo e Ω sea ul-homólogo co respecto a Ω, que segú hemos visto, es ecesaria para que se verifique (5) para toda f H(Ω), tambié es suficiete, cosiguiedo la caracterizació buscada. La diferecia clave co la respuesta dada al primer problema estriba e que, gracias a la iterpretació del ídice como úmero de vueltas, prácticamete podemos saber a simple vista si u ciclo e Ω es o o ul-homólogo co respecto a Ω. Así pues, teemos ua respuesta satisfactoria al segudo problema plateado, de la que se deducirá como veremos ua respuesta tambié satisfactoria al tercero. Se comprede por tato que este resultado se coozca como forma geeral del teorema de Cauchy. Pasemos ya al tercer problema: Caracterizar los abiertos Ω del plao que verifica (5) para todo ciclo e Ω y para toda f H(Ω). Este problema parece el más ambicioso de los tres, pero e realidad se reduce a cualquiera de los otros dos. Por ua parte, usado la respuesta al primer problema, vemos que u abierto Ω tiee la propiedad pedida si, y sólo si, toda fució holomorfa e Ω admite ua primitiva. De uevo esta respuesta o es satisfactoria, lo que os gustaría es teer ua caracterizació más secilla. Hasta ahora sólo teemos ua respuesta parcial, la que os da el teorema local de Cauchy: todo domiio estrellado verifica la codició requerida. Usado la solució ya auciada del segudo problema, obteemos ua respuesta al tercero mucho más prometedora: los abiertos que os iteresa so los que pasamos a defiir. Se dice que u abierto del plao es homológicamete coexo, cuado todo ciclo e Ω es ul-homólogo co respecto a Ω. Esto es tato como decir que el grupo de homología de Ω es trivial: se reduce al elemeto eutro. Nótese tambié que e realidad basta cosiderar los ciclos que costa de u sólo camio cerrado. Es obvio que, si todo camio cerrado e Ω es ul-homólogo co respecto a Ω, todo ciclo e Ω tambié lo será. Coviee fialmete resaltar que, para u abierto del plao, ser homológicamete coexo o guarda relació co ser coexo. Es claro que existe domiios que o so homológicamete coexos, como C si ir más lejos, mietras que, por ejemplo la uió de dos discos abiertos disjutos es u abierto homológicamete coexo que o es coexo. E realidad, es fácil ver que u abierto del plao es homológicamete coexo si, y sólo si, lo so todas sus compoetes coexas. La respuesta a este tercer problema es satisfactoria por la misma razó que la del segudo: prácticamete podemos adiviar a simple vista si u abierto Ω es homológicamete coexo. Si o lo es, existe u camio cerrado γ e Ω y u puto z C \ Ω tales que Id γ (z) 0. Ituitivamete, esto sigifica que el puto z está rodeado por putos de Ω, los putos de γ, pero o perteece a Ω, luego Ω tiee u agujero. Así pues, hablado ituitivamete, los abiertos homológicamete coexos so los que o tiee agujeros.

10 12. El teorema geeral de Cauchy 144 Pasemos a cometar la forma e que vamos a geeralizar la fórmula de Cauchy, empezado por recordar cómo se obtuvo. Fijados z D(a,r) D(a,r) Ω y f H(Ω), el paso clave fue comprobar que f (w) f (z) dw = 0 C(a,r) para lo cual se usaba el teorema local de Cauchy, aplicado a la fució itegrado, que ahora sabemos que es holomorfa e Ω. Si usamos la versió geeral del teorema de Cauchy que hemos auciado, podemos sustituir C(a, r) por cualquier ciclo e Ω que sea ul-homólogo co respecto a Ω, obteiedo f (w) f (z) dw = 0 z Ω \ (6) Por la liealidad de la itegral y la defiició de ídice, esta igualdad equivale a 1 f (w) 2πi = Id (z) f (z) z C \ (7) Esta es la forma geeral de la fórmula de Cauchy. Nótese que la codició D(a,r) Ω equivale precisamete a que la circuferecia C(a,r) sea u ciclo e Ω, ul-homólogo co respecto a Ω, luego ahora teemos ua versió mucho más geeral de la fórmula, al haber sustituido la circuferecia C(a,r) por u ciclo arbitrario que cumpla la misma hipótesis. Así pues, la versió geeral del teorema de Cauchy ya auciada, permitiría geeralizar tambié la fórmula de Cauchy, co aálogo razoamieto al usado para las versioes locales. La primera idea de Dixo fue probar ambos resultados e orde iverso, empezado por geeralizar la fórmula, pues luego el teorema es ua cosecuecia imediata, como veremos. Así pues, e sus versioes geerales, ambos resultados so equivaletes. Se trata por tato de probar directamete (7), o lo que es lo mismo (6), y aquí viee la seguda gra idea de Dixo: observar que el primer miembro de (6) es ua fució holomorfa, e pricipio defiida para z Ω \, y extederla para obteer ua fució etera que, gracias al teorema de Liouville, acaba siedo idéticamete ula La demostració de Dixo Veamos ya co detalle la prueba del siguiete resultado: Forma geeral del teorema de Cauchy y de la fórmula itegral de Cauchy. Sea Ω u abierto del plao y u ciclo e Ω, ul-homólogo co respecto a Ω. Para toda fució f H(Ω) se tiee: (i) Id (z) f (z) = 1 f (w) 2πi dw (ii) f (w)dw = 0 z Ω \

11 12. El teorema geeral de Cauchy 145 Demostració. (i). Empezamos cosiderado la fució Φ : Ω Ω C defiida, para cualesquiera w,z Ω, por f (w) f (z) si w z Φ(w,z) = f (w) = f (z) si w = z Como lema previo al teorema de la fució iversa se probó e su mometo que Φ es cotiua, luego tambié lo es su restricció a Ω. Además, fijado w, la fució Φ w : Ω C dada por Φ w (z) = Φ(w,z) = f (w) f (z) z Ω \ {w} y Φ w (w) = f (w) es claramete holomorfa e Ω \ {w} y cotiua e el puto w. Por el teorema de extesió de Riema, Φ w H(Ω) para todo w. El teorema de holomorfía de la itegral depediete de u parámetro os dice que ϕ H(Ω) dode ϕ(z) = Φ(w,z)dw z Ω A decir verdad, el teorema se refiere a la itegral sobre u camio, pero el ciclo es suma formal de camios, luego ϕ es ua suma de fucioes a las que sí se aplica literalmete el teorema. El próximo paso será exteder ϕ para teer ua fució etera. Repetimos el razoamieto hecho para Φ, co otra fució de dos variables, muy similar pero más secilla. Cocretamete cosideramos, el cojuto U = { z C\ : Id (z) = 0 }, que es abierto por ser ua uió de abiertos, las compoetes coexas de C \ e las que el ídice se aule. Defiimos etoces Ψ : U C por Ψ(w,z) = f (w) (w,z) U y esta vez es obvio que Ψ es cotiua, así como que, fijado w, la fució z Ψ(w,z) es holomorfa e U, pues se trata de ua fució racioal. Aplicado de uevo la holomorfía de la itegral depediete de u parámetro, teemos ψ H(U) dode ψ(z) = Ψ(w,z)dw z U Como, por hipótesis, es ul-homólogo co respecto a Ω, para todo z C \ Ω teemos Id (z) = 0, luego z U. Así pues, C \ Ω U, es decir, Ω U = C. Además, para todo z Ω U teemos ϕ(z) = f (w) f (z) = ψ(z) 2πi f (z)id (z) = ψ(z) Teemos ya la extesió buscada, pues podemos defiir h : C C escribiedo h(z) = ϕ(z) z Ω y h(z) = ψ(z) z U

12 12. El teorema geeral de Cauchy 146 El carácter local de la holomorfía os asegura que h es ua fució etera, pero acabaremos viedo que h es idéticamete ula. Si R = máx{ w : w }, el cojuto C \ D(0,R) está coteido e la compoete coexa o acotada de C \, y por tato e U. Si además M = máx{ f (w) : w }, para todo z C que verifique z > R se tedrá h(z) = ψ(z) = f (w) dw M l() z R Deducimos que lím z h(z) = 0 y e particular h está acotada. Por el teorema de Liouville, h es costate, luego es idéticamete ula. Para z Ω \ teemos etoces 0 = h(z) = ϕ(z) = f (w) f (z) de dode se deduce claramete la igualdad (i). (ii). Fijamos z Ω \ arbitrario y defiimos dw = f (w) dw 2πi Id (z) f (z) g(w) = () f (w) w Ω Es claro que g H(Ω) y, al aplicarle la fórmula de Cauchy recié demostrada, obteemos como queríamos demostrar. 0 = Id (z)g(z) = 1 2πi g(w) dw = 1 f (w)dw 2πi Abiertos homológicamete coexos Como habíamos auciado, deducimos del teorema aterior ua útil caracterizació de los abiertos e los que toda fució holomorfa admite ua primitiva. De paso resolvemos otro problema que teíamos plateado, acerca de la existecia de logaritmos holomorfos. Teorema. Para u abierto Ω del plao, las siguietes afirmacioes so equivaletes: (i) Ω es homológicamete coexo, es decir, Id (z) = 0 para todo ciclo e Ω y todo z C \ Ω (ii) Para todo ciclo e Ω y toda f H(Ω) se tiee que f (z)dz = 0 (iii) Toda fució holomorfa e Ω admite ua primitiva, es decir, para cada f H(Ω) existe F H(Ω) tal que F (z) = f (z) para todo z Ω (iv) Toda fució holomorfa e Ω, que o se aule, admite u logaritmo holomorfo, es decir, para cada f H(Ω) co f (Ω) C, se puede ecotrar g H(Ω) tal que f (z) = e g(z) para todo z Ω

13 12. El teorema geeral de Cauchy 147 Demostració. Las implicacioes (i) (ii) (iii) so, respectivamete, la forma geeral del teorema de Cauchy y la caracterizació de la existecia de primitiva. (iii) (iv). Esta implicació se probó e su mometo, e el caso particular de u domiio estrellado, y ahora el razoamieto es el mismo. De (iii) se deduce que la fució f / f H(Ω) admite ua primitiva, pero sabemos que eso equivale a que f admita u logaritmo holomorfo. De hecho, si F H(Ω) verifica que F = f / f, sabemos que existe ua fució λ H(Ω), costate e cada compoete coexa de Ω, tal que e λ(z)+f(z) = f (z) para todo z Ω. (iv) (i). Fijado u puto z C\Ω, la fució w w z es holomorfa e Ω y o se aula, luego (iv) os da ua fució g H(Ω) tal que = e g(w) w Ω Se tiee etoces claramete 1 = e g(w) g (w) = ()g (w) w Ω, es decir, g (w) = 1 w Ω Así pues, la fució w 1/() admite ua primitiva e Ω, luego su itegral sobre cualquier camio cerrado e Ω es cero. Esto implica claramete que Id (z) = 0 para todo ciclo e Ω, como queríamos demostrar. Como ya quedó explicado, las equivalecias del teorema aterior puede etederse como respuesta satisfactoria a todos los problemas que e él aparece, pues e la práctica, es bie fácil saber si u abierto Ω del plao es homológicamete coexo. Ituitivamete, esto sigifica que Ω o tiee agujeros, y ua maera fácil de formalizar esta idea cosiste e defiir los agujeros de Ω como las compoetes coexas acotadas de C \ Ω. Es fácil etoces probar ua implicació: Si Ω es u abierto del plao y C \ Ω o tiee compoetes coexas acotadas, etoces Ω es homológicamete coexo. Dados u ciclo e Ω y u puto z C \ Ω, deberemos comprobar que Id (z) = 0. Si V es la compoete coexa de C \ Ω que cotiee al puto z, al ser V C \ Ω C \, deducimos que V U dode U es ua compoete coexa C \. Por hipótesis, V o está acotada, luego U es la compoete coexa o acotada de C \. Como z V U teemos Id (z) = 0 como se quería. Auque o vamos a demostrarlo, coviee saber que el recíproco del euciado aterior tambié es cierto. Por tato, u abierto Ω del plao es homológicamete coexo si, y sólo si, C \ Ω o tiee compoetes coexas acotadas. Se tiee así ua caracterizació topológica de los abiertos homológicamete coexos del plao, auque o mediate ua propiedad itríseca al abierto Ω co el que trabajamos, pues se trata de ua propiedad topológica de C \ Ω. Se puede argumetar que la acotació o es ua propiedad topológica, pero e uestro caso sí lo es: u cojuto V C\Ω está acotado si, y sólo si, su cierre relativo a C es compacto y, puesto que C \ Ω es cerrado e C, el cierre de V e C es el mismo que e C \ Ω.

14 12. El teorema geeral de Cauchy 148 E Topología Algebraica se maeja otra caracterizació de los abiertos homológicamete coexos del plao que sí es ua propiedad topológica itríseca del abierto co el que se trabaja, y de hecho tiee setido para cualquier espacio topológico: la coexió simple. No vamos a explicar la defiició de esta propiedad topológica, que se basa e otra oció básica de la Topología Algebraica, la homotopía Ejercicios 1. Euciar co detalle y demostrar que el ídice de u puto respecto a u camio cerrado se coserva por giros, homotecias y traslacioes. 2. Sea ρ : [ π,π] R + ua fució de clase C 1, co ρ( π) = ρ(π), y sea σ : [ π,π] C el arco defiido por σ(t) = ρ(t)e it t [ π,π] Calcular Id σ (z) para todo z C \ σ. 3. Sea γ 1,γ 2 : [a,b] C camios cerrados y z C verificado que Probar que Id γ1 (z) = Id γ2 (z). γ 2 (t) γ 1 (t) < γ 1 (t) z t [a,b] 4. Sea α : R + 0 C ua fució cotiua, tal que: α(0) = 0 y α(t) (t + ) y sea Ω = C \ α(r + 0 ). Probar que Ω es abierto y que existe f H(Ω) tal que e f (z) = z para todo z Ω. 5. Sea Ω u abierto homológicamete coexo del plao tal que R + Ω C. Probar que existe f H(Ω) tal que f (x) = x x x R +