= {... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}

Transcripción

1 NÚMEROS ENTEROS INTRODUCCIÓN Co los úmeros turles o er posible relizr diferecis dode el miuedo er meor que el que el sustredo, pero e l vid os ecotrmos co opercioes de este tipo dode u umero meor hy que restrle uo myor. Por ejemplo, l ecesidd de represetr el diero deuddo, tempertur bjo cero, profudiddes co respecto l ivel del mr, etc. Ls teriores situcioes os oblig mplir el cocepto de úmeros turles, itroduciedo u uevo cojuto umérico llmdo úmeros eteros. El cojuto de los úmeros eteros está formdo por: Es decir, los turles, sus opuestos (egtivos) y el cero. = {... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...} Represetció de los úmeros eteros 1. E u rect horizotl, se tom u puto culquier que se señl como cero. 2. A su derech y distcis igules se v señldo los úmeros positivos: 1, 2, 3, A l izquierd del cero y distcis igules que ls teriores, se v señldo los úmeros egtivos: 1, 2, 3,... Orde e los úmeros eteros Los úmeros eteros está ordedos. De dos úmeros represetdos gráficmete, es myor l que él está situdo más l derech, y meor el situdo más l izquierd. VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO ENTERO El vlor bsoluto de u úmero etero es el úmero turl que result l suprimir su sigo. El vlor bsoluto lo escribiremos etre brrs verticles. 5 = 5 5 = 5

2 Criterios pr order los úmeros eteros 1. Todo úmero egtivo es meor que cero. 7 < 0 2. Todo úmero positivo es myor que cero. 7 > 0 3. De dos eteros egtivos es myor el que tiee meor vlor bsoluto. 7 > 10 etoces 7 < De los eteros positivos, es myor el que tiee myor vlor bsoluto. 10 > 7 etoces 10 > 7 Sum de úmeros eteros 1. Si los sumdos so del mismo sigo, se sum los vlores bsolutos y l resultdo se le poe el sigo comú = 8 ( 3) + ( 5) = 8 2. Si los sumdos so de distito sigo, se rest los vlores bsolutos (l myor le restmos el meor) y l resultdo se le poe el sigo del úmero de myor vlor bsoluto = ( 5) = 2 Rest de úmeros eteros L rest de úmeros eteros se obtiee sumdo l miuedo el opuesto del sustredo. - b = + (-b) 7 5 = 2 7 ( 5) = = 12 Multiplicció de úmeros eteros L multiplicció de vrios úmeros eteros es otro úmero etero, que tiee como vlor bsoluto el producto de los vlores bsolutos y, como sigo, el que se obtiee de l plicció de l regl de los sigos. Regl de los sigos Divisió de úmeros eteros L divisió de dos úmeros eteros es otro úmero etero, que tiee como vlor bsoluto el cociete de los vlores bsolutos y, como sigo, el que se obtiee de l plicció de l regl de los sigos. Regl de los sigos

3 Si N y fctor, es decir Ejemplos: R, etoces... veces POTENCIA DE UN NÚMERO., es igul l producto de veces el úmero rel tomdo c0mo PROPIEDADES DE LA POTENCIACION Producto de potecis de igul bse: el producto de potecis de igul bse, es otr poteci de l mism bse y de expoete igul l sum de los expoetes de los térmios fctores. Simbólicmete: m m Ejemplo: Cociete de potecis de igul bse: El cociete de dos potecis de igul bse, es otr poteci de l mism bse y cuyo expoete es igul l rest de los expoetes del térmio dividedo meos el del divisor. Simbólicmete: Ejemplo: m m co 0 y m> Poteci de u poteci: L poteci de u poteci es otr poteci de l mism bse y de expoete igul l producto de los expoetes que hy e l expresió Simbólicmete: m m Ejemplo: Poteci de u producto: L poteci de u producto es igul l producto de dichs potecis. Simbólicmete: b 3 Ejemplo: b Poteci de u cociete: L poteci de u cociete es igul l cociete de dichs potecis. Simbólicmete: 2 b 2 b b Ejemplo: Expoete cero: tod ctidd co expoete cero es igul 1 Simbólicmete: L expresió 0 0 o está defiid Expoetes eteros egtivos: si es culquier etero egtivo y u úmero rel diferete de cero se cumple que:

4 1 o que 1 E cso que l bse se u úmero rciol se tiee que Ejemplos: b b RADICACIÓN U rdicl es u expresió de l form, e l que y ; co tl que cudo se egtivo, h de ser impr RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO 2 Si R, b R, se cumple que b, si solo si : b, dode es l ríz cudrd de b 2 Ejemplo: 25 5 porque 5 25 RAIZ CUBICA DE UN NÚMERO Si, b R, etoces se cumple que 3 3 b, si solo si : b, dode es l ríz cúbic de b 3 Ejemplo: porque RAIZ ENESIMA DE UN NÚMERO Si, b R, y N etoces se cumple que b, si solo si : b, dode es l ríz eésim de b 5 Ejemplo: porque 2 32 EXPONENTES RACIONALES U expresió rdicl puede escribirse como u poteci de expoete rciol, es decir m m Ejemplo:

5 PROPIEDADES DE LOS RADICALES. Ríz eésim de u úmero rel elevdo l poteci : pr culquier Z, se cumple que: 1 / Ríz eésim de u producto: l ríz eésim de u producto es igul l producto de ls ríces eésims de los fctores. Pr culquier Z, se cumple que b b Ríz eésim de u cociete: l ríz eésim de u cociete es igul l cociete de ls ríces eésims del dividedo y del divisor. Pr todo,, b, Z, se cumple que: b b Ríz eésim de u ríz: l ríz eésim de u ríz es igul otr ríz, cuyo ídice es el producto de los ídices. Pr todo m,, b, Z, se cumple que: m m Propiedd fudmetl de los rdicles: Se puede multiplicr o dividir el ídice de l ríz y el expoete del rdicdo por u mismo úmero y el vlor de l ríz o cmbi, por tto b b k b km b km / k b m / b, dode k N Se debe teer e cuet que si es pr, etoces el rdicdo debe ser positivo pr que exist u ríz rel. Opercioes combids Jerrquí de ls opercioes 1º. Efectur ls opercioes etre prétesis, corchetes y llves. 2º. Clculr ls potecis y ríces. 3º. Efectur los productos y cocietes. 4º. Relizr ls sums y rests. Opercioes combids 1. Si prétesis 1.1 Sums y diferecis = Comezdo por l izquierd, vmos efectudo ls opercioes segú prece. = = Sums, rests y productos = Relizmos primero los productos por teer myor prioridd. = = Efectumos ls sums y rests. = = 15

6 1.3 Sums, rests, productos y divisioes.10 : : 4 = Relizmos los productos y cocietes e el orde e el que los ecotrmos porque ls dos opercioes tiee l mism prioridd. = = Efectumos ls sums y rests. = = Sums, rests, productos, divisioes y potecis : : 4 = Relizmos e primer lugr ls potecis por teer myor prioridd. = : : 4 = Seguimos co los productos y cocietes. = = Efectumos ls sums y rests. = Co prétesis (15 4) + 3 (12 5 2) + ( : 4) 5 + ( )= Relizmos e primer lugr ls opercioes coteids e ellos. = (15 4) + 3 (12 10) + (5 + 4) 5 + (10 8 )= Quitmos prétesis relizdo ls opercioes. = = 18 3.Co prétesis y corchetes [15 ( : 2 )] [5 + (3 2 4 )] 3 + (8 2 3 ) = Primero opermos co ls potecis, productos y cocietes de los prétesis. = [15 (8 5 )] [5 + (6 4 )] 3 + (8 6 ) = Relizmos ls sums y rests de los prétesis. = [15 3] [5 + 2 ] 3 + 2= E vez de poer corchetes podremos prétesis directmete: = (15 3) (5 + 2) 3 + 2= Opermos e los corchetes. = Multiplicmos. = = Restmos y summos. = 83 Ejercicio de opercioes combids 14 { [(-2) 2 2-6)]}+ ( ) (5-2 3 : 2) = Primero opermos co ls potecis, productos y cocietes de los prétesis. 14 [ (4 2-6)] + ( ) (5-8 : 2) = Opermos co los productos y cocietes de los prétesis. 14 [ (8-6)] + ( ) (5-4) = Relizmos ls sums y diferecis de los prétesis. 14 ( ) + (-5) (1) = 14 (17) + (-5) (1) =

7 L supresió de prétesis h de relizrse cosiderdo que: Si el prétesis v precedido del sigo +, se suprimirá mteiedo su sigo los térmios que coteg. Si el prétesis v precedido del sigo, l suprimir el prétesis hy que cmbir de sigo todo los térmios que coteg = 6

8 Nombre y Apellido:... Tem: Números Eteros Trbjo Práctico N Defie úmero etero positivo y úmero etero egtivo y po u ejemplo decd uo de ellos. 2.- Defie vlor bsoluto y vlor reltivo de u úmero etero. Hll el vlor bsoluto y el vlor reltivo de los siguietes úmero eteros: -6, +6, -8, -9, +7, -5, +8, -1, +20, Represet e l rect los siguietes úmero eteros: -2, +5, -3, -8, +7, 0, Represet los siguietes úmeros sobre l rect: -2, +3, -4, -8, +2, 0, +3, -9, +1, Orde ls siguietes series de form creciete:-4, +3, 0, -1, +1, +2, -5+1, +5, +2, -3, -4, -8, Orde ls siguietes series de form decreciete: +12, -15, +8, -14, +5, -5, +2+1, -1, +2, -2, -6, -15, +3, -3, Efectú ls siguietes sums: (+15) + (+8) = (+6) + (+11) = (+11) + (+3) = (+14) + (+2) = (+3) + (+9) = (+7) + (+16) = (+10) + (0) = (+87) + (+1) = (+6) + (+6) = (+5) + (+12) = (+31) + (+8) = (+0) + (+8) = 8.- Reliz ls siguietes sums: (-7) + (-11) = (-15) + (-3) = (-30) + (-3) = (-10) + (-6) = (-23) + (-7) = (-12) + (-32) =

9 (-6) + (-12) = (-33) + (-2) = (-18) + (-64) = 9.- Efectú ls siguietes sums: (+8) + (-12) = (-52) + (+8) = (+14) + (-6) = (+18) + (-2) = (-35) + (+5) = (+47) + (-54) = (+14) + (-3) = (+64) + (-8) = (-10) + (-31) = (+20) + (-7) = (+31) + (-6) = (+61) + (-4) = 10.- Reliz ls siguietes rests: (+10) - (-6) = (-14) - (+11) = (+12) - (-13) = (+12) - (-7) = (-9) - (+13) = (+36) - (-4) = (+25) - (-5) = (+4) - (-14) = (-15) - (-18) = (+20) - (-19) = (+71) - (-36) = (+1) - (-44) = (+12) - (-4) = (-55) - (+12) = (+2) - (-64) = (+3) - (-27) = (-29) - (+3) = (+15) - (-7) = (+51) - (-13) = (+34) - (-15) = (-24) - (-12) = (+64) - (-11) = 11.- Clcul el resultdo de ls siguietes opercioes: (+12) (+4) =

10 (-4) (+13) = (+2) (-16) = (+8) (-12) = (-8) (+10) = (-6) (-15) = (+5) (+20) = (+5) (-12) = (-8) (-26) = (+31) (-10) = (+60) (-3) = (+54) (-4) = (+10) (+8) = (-64) (+45) = (+10) (-6) = (+7) (-9) = (-20) (+20) = (-89) (-16) = (+3) (+36) = (+14) (-30) = (-4) (-30) = (+1) (-21) = (+69) (-4) = (+3) (-54) = 12.- Resuelve ls siguietes opercioes: (+10) : (+2) = (-44) : (+11) = (+36) : (-4) = (+15) : (-3) = (-80) : (+4) = (-66) : (-11) = (+25) : (+5) = (+56) : (-1) = (-82) : (-2) = (+30) : (-10) = (+60) : (-3) = (+84) : (-4) = (+12) : (+4) = (-48) : (+12) = (+11) : (-1) = (+16) : (-2) = (-22) : (+11) = (-88) : (-4) = (+12) : (+3) = (+14) : (-7) = (-30) : (-3) =

11 Nombre y Apellido:... Tem: Números Eteros Trbjo Práctico N 2 Resuelve los siguietes problems: Atoio tiee e su cuet corriete u sldo de $ ; etregó tres cheques por vlor de $34.000, $ y $9.000, y después igresó $ Cuál es el sldo ctul de su cuet? L tempertur medid e el eropuerto ls siete d l mñ es de 5º sobre cero; de 7 9, l tempertur umetó 3º, de 9 1 umetó e 6º, de l 1 ls 3 o vrío, de 3 6 subió 2º, de 6 9 descedió 4º y de 9 12 descedió 8º. Cuál es l tempertur ls 12 de l oche? L tempertur de u ciudd ls 10 de l mñ es de 2º bjo cero, y ls 2 de l trde es de 10º. Cuál h sido l vrició de tempertur? L tempertur de u ciudd, ls 3 de l trde, fue de 24º. Sbiedo que l vrició de tempertur hst ls 12 de l oche fue de 11º. Cuál fue l tempertur ls 12 de l oche? U perso gst e juegos de zr $200 l primer sem, $450 l segud y $125 l tercer, gdo e premios $175. Cuál fue el blce fil? El diero que llevb e l crter dismiuyó e $750. Si hor llevo $45, Cuáto teí iicilmete? Cdel gst e l peluquerí $20, e loterí $3 y cobr u premio de $10. Si l termir el dí tiee $30 euros, Cuáto diero teí l pricipio? U vió sube u ltur de metros, después bj metros, vuelve subir metros y bj de uevo 250 metros. A qué ltur se ecuetr e este mometo Ejercicio 2: Complet los siguietes cudros co lgus multipliccioes ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( )= Ejercicio 3: Ahor hz los siguietes cálculos: (+4) (-5)= (-2) (-3)= (-24) (-6)= (+6) (-9)= (+20) (-5)= (+24) (+5)= (-6) (-3)= (-4) (-5)= (-94) (-5)= (-10) (+5)= (-30) (-6)= (-34) (+5)= (-14) (-5)= (-43) (-2)= (-14) (25)= (+4) (-15)= (-14) (-35)= (-4) (-25)= Ejercicio 4: Reliz ls siguietes opercioes 5 (6-4+7)= 9 ( )= -8 ( )= -12 ( )=

12 -(-3+6-4)= Ejercicio5: Dibuj u rect uméric y ubic e ell, los siguietes úmeros eteros: ) 4 b) 7 c) +2 d) 0 e) 5 (Ecierr co u círculo de color zul los eteros positivos y uo de color rojo pr los egtivos) Ejercicio 6: Determi los siguietes vlores bsolutos: ) - 40 = b) 18 = c) 0 = d) + 37 = e) - 2 = f) + 40 = g) - 37 = Ejercicio 7: Escribe u cojuto de úmeros eteros positivos que se myores que 10 y meores que 23. Ejercicio 8: Escribe u cojuto de úmeros eteros egtivos que se meores que 8 y myores o igules que 12. Ejercicio 9: Iterpret ls siguietes situcioes, escribiedo e cd cso, el úmero etero: Situció Número etero Avcé 4 metros. Avcé 12 metros. El scesor está e el 3 piso. El scesor está e el 0 piso. Debo $ Debo $2.000 El submrio está 40 metros de profudidd. El submrio está 24 metros de profudidd. L tempertur e l Atártic es de 3 grdos bjo cero. L tempertur e l Atártic es de 2 grdos bjo cero. El scesor está e el primer subterráeo. Ahorré $ Ahorré $ Giré de mi libret de horros $8.000 Giré de mi libret de horros $5.000 Retrocedí 2 psos. Ejercicio 10: Ivestig ls fechs de los siguietes cotecimietos. Qué tipo de úmeros eteros utilizrís pr represetr los ños?.. Ncimieto de Arquímedes. b. Btll de Rcgu. c. Hudimieto del Titic. d. Combte vl de Iquique. e. Premio Nobel de litertur Pblo Nerud.f. Ncimieto de Pitágors. g. Ncimieto de Jesús.

13 Nombre y Apellido:... Tem: Números Eteros Trbjo Práctico N 3 1. Complet segú l imge: L gviot está voldo m el ivel del mr. El iño está bucedo m el ivel del mr. El pez está ddo m El cgrejo se ecuetr m El pelíco vuel m. 2. Dibuj e el gráfico. U pulpo tres metros de profudidd. U brco e l superficie del mr. El cl del brco cico metros de profudidd. U globo erostático 6 metros de ltur. U estrell de mr e u roc cutro metros de profudidd. U pez espd u metro de profudidd.

14 3. Co yud de l rect uméric respode: Cuál es l difereci de temperturs extrems cd dí? Tempertur Míim Tempertur Máxim 11º 25º 9,2º 18,5º 0º 7,3º -1,5 4º -15-2,8 4. Complet l siguiete tbl: = = 2,5 +2,5 = -0, = = = 2,5 +2 = -0,23 + 0,7 = = = 2,5 +1,5 = -0,23 + 0,4 = = = 2,5 +1= -0,23 + 0,1 = = = 2,5 +0,5 = -0, ,2 = = = 2,5 + 0 = -0, ,5 = = = 2,5 +-0,5 = -0, ,8 = = = 2,5 +-1 = -0, ,1= = = 2,5 +-1,5 = -0, ,4 =

15 Nombre y Apellido:... Tem: Números Eteros Ejercicio N 1: Clcul: Trbjo Práctico N 3 1) 5 7 2) 6 9 3) 5 7 4) 4 6 5) 2 3 6) 2 8 7) 1 6 8) 2 4 9) ) ) ( 7) 9 12) ( 3) 4 13) ( 4) 6 14) ( 1) 6 15) ( 5) 6 16) ( 1) 3 17) ( 3) 6 18) ( 4) 8 19)( 2) 5 20) ( 7) 8 21) ( 2) 1 22) ( 4) 2 23) ( 5) 3 24) ( 7) 2 25) ( 5) 1 26) ( 4) 3 27) ( 6) 5 28) ( 4) 1 29) ( 7) 4 30) ( 9) 2 31) ( 7) 1 32) ( 2) 6 33) ( 4) 3 34) ( 5) 7 35) ( 3) 1 36) ( 6) 8 37) ( 7) 4 38) ( 6) 1 39) ( 1) 3 40) ( 8) 6 Ejercicio N 2 : Desrroll los siguietes ejercicios combidos de sums y/o rests de úmeros eteros: 1) +(-4-7) + ( )= 2) -( ) + ( )= 3) (+4 6-9) + ( )= 4) (+3 2-1) + ( )= 5) +( ) - ( )= 6) +( ) ( )= 7) -( ) ( )= 8) +(-8 3-9) (-2 + 9)= 9) (-5-3) - ( )= 10) ( )= 11) 3 + (-5 + 4) - ( )= 12) 4 - ( ) + (-5 + 1)= 13) 2 + (-4 + 5) - (+6 + 6) + 7= 14) 3 - ( ) 7 + 5= 15) +( ) - (-4 5-9) = 16) +( ) - ( )= 17) ( ) - ( ) 5= 18) = 19) = 20) = 21) = 22) = 23) =

16 Nombre y Apellido:... Tem: Números Eteros Trbjo Práctico N 4 Ejercicio 1: Clculs ls siguietes multipliccioes: 1) -4-4= 2) = 3) -4-12= 4) -10-4= 5) 4-4= 6) -12-4= 7) 4-12= 8) = 9) -5 9 = 10) -2 8 = 11) -3 4 = 12) = 13) -5 7 = 14) -9 4 = 15) -10 6= 16) -8 1 = 17) -5 4 = 18) -7 3 = 19) -5-6 = 20) -3-4 = 21) -2-7 = 22) -6-3 = 23) 8-11 = 24) 4-9 = 25) 2-8 = 26) 7-1 = 27) 8-4 = 28) 10-5 = 29) 12-7 = 30) 13-6 = Ejercicio 2: Clcul los siguietes ejercicios combidos : 1) 6 (2-3) = 2) -7 (3-6) = 3) 9 (8-1) = 4) -8 (8-1) = 5) 4 (-3-5) = 6) (-5-6) (8-4) = 7) (-8 + 3) (5-9) = 8) (4-3) (10-15) = 9) (-3 + 9) (-32:-8) = 10) (-9 + 6) (-2-5) = Ejercicio 3: Complet l siguiete tbl: 7 3 = -8 5 = -3,1 2 = - 4 1,5 = 20 : 5 = -2,4 : 8= -30 : 3 = 7 2 = -8 4 = -3,1 1 = = 20 : 4 = -2,4 : 6= -30 : 2 = 7 1 = -8 3 = -3,1 0 = -4 0,5 = 20 : 3 = -2,4 : 4= -30 : 1 = 7 0 = -8 2 = -3,1-1 = -4 0 = 20 : 2 = -2,4 : 2= -30 : -1 = 7-1 = -8 1 = -3,1-2= -4-0,5 = 20 : 1 = -2,4 : -2= -30 : -2 = 7-2 = -8 0 = -3,1-3= -4-1 = 20 : -1 = -2,4 : -4= -30 : -3 = 7-3 = -8-1 = -3,1-4= -4-1,5 = 20 : -2 = -2,4 : -6= -30 : -4 = 7-4 = -8-2 = -3,1-5= -4-2 = 20 : -3 = -2,4 : -8= -30 : -5 = Ejercicio 4: Reliz ls siguietes divisioes de úmeros eteros: 1) 824 : 14 2) 14 : 10 3) : 100 4) : 26 5) 456 : 10 6) : ) : 987 8) : 14 9) : ) 567 : 11 11) 228 : 12 12) 437 : 23 13) 585 : 45 14) 990 : 55 15) : 18 16) : 26 17) : 32 18) : 79 19) : 81 20) : 45

17 Ejercicio 5: Resuelve los siguietes ejercicios combidos: 1) ( 9 + 6) : 3 2) ( ) : 6 3) ( ) : 2 4) ( ) : 3 5) (54 30) : 6) ( ) : 3 7) ( ) : 8 8) ( ) : 2 9) ( 6 x 5) : 2 10) ( 9 x 4) : 2 11) (5 x 6) : 5 12) ( 5 x 9 x 8) : 3 13) ( 7 x 6 x 5) : 6 14) ( 4 x 7 x 25 x 2) : 25 15) (3 x 5 x 8 x 4) : (3 x 8) 16) (7 x 8) : 8 17) (60 x 2) : 10 18) 60 : ( 10 x 2) 19) (60 : 5) : (10 : 5) 20) (60 : 2) : 10 21) 60 : (10 : 2) 22) ( 60 x 2) : ( 10 x 2) 23) ( 24 : 3) 2 24) ( 9 : 3) x ( 4 : 2) 25) 10 x (6 : 2) x (4 : 2) x 7 Ejercicio 6: Plter y resolver Lucs tiee e su cuet corriete u sldo de $ ; etregó tres cheques por vlor de , y pesos, y después igresó $ Cuál es el sldo ctul de su cuet? L tempertur medid e l estció de trees ls ocho de l mñ es de 9º sobre cero; de 8 10, l tempertur umetó 1º, de umetó e 4º, de ls 12 ls 5 o vrío, de 5 6 subió 3º, de 6 8 descedió 5º y de 8 11 descedió 10º. Cuál es l tempertur ls 11 de l oche? L tempertur de u ciudd ls 7 de l mñ es de 4º bjo cero, y ls 3 de l trde es de 7º. Cuál h sido l vrició de tempertur? L tempertur de u pueblo, ls 5 de l trde, fue de 30º. Sbiedo que l vrició de tempertur hst ls 10 de l oche fue de 8º. Cuál fue l tempertur ls 10 de l oche? U perso gst e el bigo $175 l primer sem, $320 l segudo y $457 l tercer, gdo e premios $250 Cuál fue el blce fil? El diero que llevb e l crter dismiuyó e $135. Si hor llevo $5, Cuáto teí iicilmete? U scesor sube u ltur de 30 metros, después bj 15 metros, vuelve subir 21 metros y bj de uevo 7 metros. A qué ltur se ecuetr e este mometo

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