Experiencias Docentes Transformando Cuádricas Regladas

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Pilar Farías Valdéz
hace 6 años
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1 Eperienis Doentes Trnsformndo Cuádris Reglds Josef Mrín, Ampro Verdú José Luis Almán Revist de Investigión Volumen II, Número, pp , ISSN Reepión: 5 Jul ; Aeptión: 0 Jul de oture de 0 Resumen Ls Mtemátis l Arquitetur están íntimmente relionds. Pretendemos en este trjo demostrr ómo prtir de dos uádris reglds lásis omo son el hiperoloide de un hoj el proloide hiperólio sus seiones, otenemos distints figurs geométris que se pueden utilir omo uierts. Ls Mtemátis no son solmente un herrmient de álulo pr poder diseñr l or en uestión, pretendemos destr l importni de ésts en el grn vne rquitetónio en unto modernidd se refiere. El progrm Mthemti result de grn ud pr visulir ls propieddes l form de generr ess superfiies. Plrs Clve: Cuádris, Mthemti, reglds, Arquitetur. Astrt Mthemtis nd rhiteture re losel relted. This pper tries to show how from two ruled qudris lssis suh s the hperoloid of one sheet nd hperoli proloid nd its setions, we get different geometri figures tht n e used s overs. Mthemtis is not just lultion tool to e le to design the work in question, we intend to emphsie their importne in the rhiteturl rekthrough in terms of modernit is onerned. The progrm Mthemti is ver helpful to displ the properties nd how to generte those surfes. Ke Words: Qudri surfes, Mthemti, regulted, Arhiteture.. Introduión Es de sor onoido que ls ónis uádris son fundmentles pr representr modelir seiones superfiies, oupndo un ppel destdo el estudio de ls superfiies reglds por su utilidd l hor de onstruir. El propósito de este trjo es presentr de un mner senill didáti ómo prtir dos onoids uádris reglds omo son el hiperoloide de un hoj o el proloide hiperólio, estudindo sus euiones implíits o 3

Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Eperienis Doentes 4 Revist Pensmiento Mtemátio Volumen II, Número, Ot, ISSN 74-040 prmétris sus seiones podemos trnsformrls pr definir nuevs figurs que tengn

2 Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Eperienis Doentes 4 Revist Pensmiento Mtemátio Volumen II, Número, Ot, ISSN prmétris sus seiones podemos trnsformrls pr definir nuevs figurs que tengn forms onrets.. Desde un Hiperoloide de un hoj. Definiión primer representión Se define un hiperoloide de un hoj omo un uádri de euión generl reduid on eje en OY igul. Figur. Hiperoloide de un hoj generdo por irunferenis Ls seiones pr d plno 0 son irunferenis de euión implíit 0 omo podemos ver en l figur nterior.. Generión por rets Pero tmién podemos representr l superfiie nterior ómo un superfiie regld, generd por un de ls dos rets genertries que gir lrededor de un irunfereni. Pr ello vemos ontinuión l form de otener ls euiones de ls rets genertries:, Primer ret genertri:

Trnsformndo Cuádris Reglds Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Segund ret genertri: Y onstruimos el hiperoloide desplndo un de ests rets por l irunfereni en el plno =0 de euión implíit. Figur.

3 Pivotndo un ret genertri sore otr ret: Ysios L senill representión nterior del hiperoloide nos sugiere l ide de desplr lner un ret sore otr ret generndo otro tipo de superfiie que se utili omo

3 Trnsformndo Cuádris Reglds Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Segund ret genertri: Y onstruimos el hiperoloide desplndo un de ests rets por l irunfereni en el plno =0 de euión implíit. Figur. Hiperoloide de un hoj generdo por rets.3 Pivotndo un ret genertri sore otr ret: Ysios L senill representión nterior del hiperoloide nos sugiere l ide de desplr lner un ret sore otr ret generndo otro tipo de superfiie que se utili omo uierts, por ejemplo en el diseño de l odeg Ysios. L euión generl de un superfiie de este tipo serí: Sup h, p (, ) :,, h(, ) p( )] Donde ls funiones h(,) p() nos indin, respetivmente, ómo suir l ltur de l uiert ómo ontrolr el número de ros. Vemos que ls seiones pr =te son osiliones rmónis, pr =te, rets que se lnen sore el eje OY. Figur 3. Cuiert regld lnendo desplndo un ret Volumen II, Número, Ot, ISSN Revist Pensmiento Mtemátio 5

Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Eperienis Doentes Aunque

4. Cuiert regld urvndo el plno Est estrutur es similr l utilid por

Fotogrfís de l Bodeg Ysios Nos preguntmos hor, qué lse de funiones

representión similr ls siguientes? Figur 6.

4 Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Eperienis Doentes Aunque tmién podemos otener est uiert urvndo deudmente el plno OXY: Figur 4. Cuiert regld urvndo el plno Est estrutur es similr l utilid por el rquiteto Sntigo Cltrv en l reliión de l Bodeg Ysios. Figur 5. Fotogrfís de l Bodeg Ysios Nos preguntmos hor, qué lse de funiones pueden ser h(,) p() pr que un superfiie de est mism fmili teng un representión similr ls siguientes? Figur 6. Altur diferente en d ro 6 Revist Pensmiento Mtemátio Volumen II, Número, Ot, ISSN

Trnsformndo Cuádris Reglds Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán 3.

Definiión primer representión Psemos estudir l uádri regld proloide hiperólio.

rquiteto hispnomejino Féli Cndel en ors omo l plnt emotelldor de Brdi o el resturnte

Estrutur regld ors de Féli Cndel Tmién h relido, junto su disípulo, Sntigo Cltrv, L

5 Trnsformndo Cuádris Reglds Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán 3. Desde un Proloide hiperólio 3. Definiión primer representión Psemos estudir l uádri regld proloide hiperólio. Est estrutur h sido utilid rillntemente en el diseño l elorión de uierts por el rquiteto hispnomejino Féli Cndel en ors omo l plnt emotelldor de Brdi o el resturnte Los Mnntiles. Figur 7. Estrutur regld ors de Féli Cndel Tmién h relido, junto su disípulo, Sntigo Cltrv, L Oennogràfi de Vleni. Figur 8. L Oengràfi de Féli Cndel Sntigo Cltrv Vemos l se mtemáti de est onstruión. L euión generl reduid de un proloide hiperólio es l siguiente: o Volumen II, Número, Ot, ISSN Revist Pensmiento Mtemátio 7

Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Eperienis Doentes En l siguiente figur podemos ver ls distints seiones del proloide undo ortmos on plnos prlelos los plnos oordendos.

L ide que proponemos es umentr el número de rets que ortn l plno =0 de ese modo otener más lóulos. Figur 9.

6 Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Eperienis Doentes En l siguiente figur podemos ver ls distints seiones del proloide undo ortmos on plnos prlelos los plnos oordendos. L seión en l que nos vmos detener posteriormente es l del orte on el plno =0, formd por dos rets que nos definen los utro lóulos, del proloide. L ide que proponemos es umentr el número de rets que ortn l plno =0 de ese modo otener más lóulos. Figur 9. Seiones de un proloide hiperólio Al igul que hemos heho ntes on el hiperoloide, hor representremos el proloide hiperólio omo un superfiie regld generd por ls rets que definimos del siguiente modo: Si 0 : Re ts r : 0 r : 0 Si 0 : Primer ret genertri : Segund ret genertri: Figur 0. Proloide Hiperólio omo superfiie regld 8 Revist Pensmiento Mtemátio Volumen II, Número, Ot, ISSN

Trnsformndo Cuádris Reglds Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Pr lnr nuestro ojetivo visulir de modo deudo ls trsformiones es más útil trjr on oordends polres ver ómo podemos deformr un diso en

Del diso plno l Proloide Hiperólio L representión nterior l hemos otenido definiendo l superfiie en form prmétri on oordends polres omo sigue: (, ) Cos[ ] (, ) ] 0, (, ) ( Cos [ ] Sin [ ] [0, ] 3.

7 Trnsformndo Cuádris Reglds Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Pr lnr nuestro ojetivo visulir de modo deudo ls trsformiones es más útil trjr on oordends polres ver ómo podemos deformr un diso en el plno OXY pr diujr ls distints figurs. Figur. Del diso plno l Proloide Hiperólio L representión nterior l hemos otenido definiendo l superfiie en form prmétri on oordends polres omo sigue: (, ) Cos[ ] (, ) ] 0, (, ) ( Cos [ ] Sin [ ] [0, ] 3. Aumentndo lóulos en un proloide hiperólio Si el mio de un lóulo otro lo mrn ls rets interseión on el plno OXY, lo que hremos será definir l oordend omo produto de utro rets llmremos l nuev superfiie 4-próloide hiperólio. Por ejemplo, on l siguiente funión en oordends polres: (, ) Cos[ ] (, ) ] 0, 4 (, ) ( Cos [ ] Sin [ ]) Cos[ ] ] [0, ] De ese modo tenemos un superfiie on utro lóulos positivos utro negtivos, que medinte el uso de mtries de giro representmos sí: Volumen II, Número, Ot, ISSN Revist Pensmiento Mtemátio 9

oordend dee de ser el produto de 3 rets on igul ángulo entre ells, por lo que l euión en implíits será del tipo siguiente: d 3 en oordends polres, de modo similr l

8 Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Eperienis Doentes Figur. Nuevo 4-proloide hiperólio Nos proponemos hor definir un nuev superfiie on seis lóulos, tres positivos tres negtivos, lo que llmremos 3-próloide hiperólio, pr ello l oordend dee de ser el produto de 3 rets on igul ángulo entre ells, por lo que l euión en implíits será del tipo siguiente: d 3 en oordends polres, de modo similr l nterior tendremos: (, ) Cos[ ] (, ) ] 0, 3 (, ) (3 Cos [ ] Sin [ ]) ] [0, ] Figur 3. Nuevo 3-proloide hiperólio Ahor girndo ominndo deudmente ls superfiies nteriores se pueden otener uierts omo ls siguientes: 0 Revist Pensmiento Mtemátio Volumen II, Número, Ot, ISSN

Rdio vetor funión senoidl Siguiendo on nuestro propósito de trnsformr el proloide hiperólio, vmos definir l oordend de un n-proloide pr que ls urvs que se otienen l ortr l figur on un

9 Trnsformndo Cuádris Reglds Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Figur 4. Cominndo vris superfiies De mner nturl se puede generlir l definiión nterior pr otener un n- proloide on n lóulos positivos n lóulos negtivos. 4. Modifindo el rdio vetor 4. Rdio vetor funión senoidl Siguiendo on nuestro propósito de trnsformr el proloide hiperólio, vmos definir l oordend de un n-proloide pr que ls urvs que se otienen l ortr l figur on un rdiión de plnos en el eje OZ sen de tipo osilión rmóni. Un ejemplo serí el siguiente: (, ) Cos[ ] (, ) ] 0, (, ) 3 Sin[ ] Cos[ ] Sin[ ] [0, ] Figur 5. Diujndo ominndo on rdio vetor senoidl Tmién podemos vrir el rdio oservr l vriión senoidl: Volumen II, Número, Ot, ISSN Revist Pensmiento Mtemátio

Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Eperienis

Amplindo el rdio O superponer vris diferente ltur:

Diferentes rdios vetores Vrindo en l oordend el

de lóulos, podemos generr figurs mu vrids.

10 Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Eperienis Doentes Figur 6. Amplindo el rdio O superponer vris diferente ltur: Figur 7. Superponiendo uierts 4. Diferentes rdios vetores Vrindo en l oordend el tipo de funión del rdio vetor ominndo on el número de lóulos, podemos generr figurs mu vrids. Mostrmos quí lguns Figur 8. Nuevs ominiones (I) Revist Pensmiento Mtemátio Volumen II, Número, Ot, ISSN

podemos dotrls de movimiento, plirles giros, mio de esl, trnsliones, deformiones, herles que ren o superponerls.

11 Trnsformndo Cuádris Reglds Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Figur 9. Nuevs ominiones (II) 5. Mthemti omndo Mnipulte Tods ls onstruiones que hemos presentdo dquiern un dimensión totlmente diferente undo se definen on el progrm Mthemti trvés del omndo Mnipulte, eligiendo los prámetros deudos podemos dotrls de movimiento, plirles giros, mio de esl, trnsliones, deformiones, herles que ren o superponerls. Tod un ventn de posiiliddes que muestrn ómo el estudio detlldo de propieddes senills nos permiten llegr onstruiones más omplejs. Referenis [] BARTOLL ARNAU, Slud; BONET SOLVES, José; GÓMEZ COLLADO, M. Crmen. Fundmentos Mtemátios en Arquitetur, pp. 6-69, Editoril UPV, Vleni, 009. [] BONET SOLVES, José; CALVO ROSELLÓ, Vient; PERIS MANGUILLOT, Alfredo; RODENAS ESCRIBÁ, Frniso. Integrión Múltiple Vetoril, pp. 6-6, Editoril UPV, Vleni, 007. [3] CHECA MARTÍNEZ, Emilio; FELIPE ROMÁN, M. José; GARCÍA RAFFI, Luis M.; MARÍN MOLINA, Josef; SÁNCHEZ PÉREZ, Enrique A.; SÁNCHEZ PÉREZ, Jun V. Álger, Cálulo Meáni pr Ingenieros, Tomo II, pp. 3-30, Editoril RAMA, Mdrid, 999. [4] MARÍN MOLINA, Josef; BALAGUER BESER, Ángel; ALEMANY MARTÍNEZ, Elen. Un Curso de Álger on Ejeriios (II), pp , Editoril UPV, Vleni, 006. [5] SMITH, Cmeron; BLACHMAN, Nn. The Mthemti Grphis Guideook, Addison- Wesle, 995. Sore los utores: Nomre: Josef Mrín Molin Correo Eletrónio: jomrinm@mt.upv.es Instituión: Universidd Politéni de Vleni, Espñ. Volumen II, Número, Ot, ISSN Revist Pensmiento Mtemátio 3

12 Josef Mrín, Ampro Verdú, José Luis Almán Eperienis Doentes Nomre: Ampro Verdú Váque Correo Eletrónio: Instituión: Universidd Politéni de Mdrid, Espñ. Nomre: José Luis Almán Gárte Correo Eletrónio: Instituión: Universidd Politéni de Mdrid, Espñ. 4 Revist Pensmiento Mtemátio Volumen II, Número, Ot, ISSN

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