Fuerzas sobre superficies sumergidas

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1 MECNC DE LOS FLUDOS Y MQUNS FLUDODNMCS utores: Dr. g. Satiago. Urquiza, Profesor Titular. Dr. g. Herá J. Desimoe, e alumo. Mecáica de los fluidos máquias fluidodiámicas FUERZS SOBRE SUPERFCES SUMERGDS... ) CONCEPTOS PRELMNRES:... a) Mometo estático de ua secció. Cetroide... b) Mometos de segudo orde de ua secció... Ejercicios...3 ) FUERZS SOBRE SUPERFCES CURVS SUMERGDS...4 3) FUERZS SOBRE SUPERFCES PLNS SUMERGDS...6 Ejercicios...8 Ejemlo de alicació...8 ute: Fuerzas sobre suerficies sumergidas ) Cocetos relimiares: a) Mometo estático de ua secció. Cetroide. Se defie el mometo estático de ua secció co resecto al eje como: S =. d () =k Si ahora se toma el mometo resecto de u eje aralelo al eje, defiido or =k, resulta: ' S = ( k). d =. d k () se observa que es osible elegir u eje a ua distacia k = que cumle: =. d (3) álogamete obteemos u eje aralelo al eje, a ua distacia del mismo, que cumle: =. d (4) utorizada su reroducció or cualquier medio sólo si se cita la fuete, los autores co su eresa

2 MECNC DE LOS FLUDOS Y MQUNS FLUDODNMCS utores: Dr. g. Satiago. Urquiza, Profesor Titular. Dr. g. Herá J. Desimoe, e alumo. El uto determiado or el ar (, ) se deomia cetroide de la secció. E lo que sigue, o se hará distició etre el cetroide de la secció, el cetro de masas de la secció ( M, M ) el cetro de gravedad de la misma ( G, G ) Preguta: Cual es la diferecia etre el cetroide, el cetro de masas el cetro de gravedad de ua secció? b) Mometos de segudo orde de ua secció Se defie el mometo de segudo orde de ua secció co resecto al eje como: = d (5) Si se cosidera el mometo de segudo orde co resecto a u eje aralelo al eje que ase or el cetroide de la secció se obtiee:. = (6) Dode llamamos al mometo resecto de u eje aralelo al eje que asa or el cetroide. álogamete se defie: uede deducirse que: = d. = (8) Siedo el mometo de segudo orde resecto de u eje aralelo al eje que asa or el cetroide de la secció. Tato como como: so siemre ositivos. Se defie adicioalmete el mometo cruzado de segudo orde co resecto a los ejes e además se demuestra: =. d (). (9) =. (). Mateiedo la omeclatura, es decir, es el mometo cruzado de iercia co resecto a dos ejes, uo aralelo al eje, otro aralelo al eje, que asa or el cetroide de la secció. El mometo cruzado de segudo orde,, uede ser tato ositivo como egativo. Si la secció tiee u eje de simetría, el mometo cruzado es ulo. utorizada su reroducció or cualquier medio sólo si se cita la fuete, los autores co su eresa

3 MECNC DE LOS FLUDOS Y MQUNS FLUDODNMCS utores: Dr. g. Satiago. Urquiza, Profesor Titular. Dr. g. Herá J. Desimoe, e alumo. Ejercicios: ) Demuestre las ecuacioes (6) () ) Demuestre que e toda secció que tega u eje de simetría es ulo. utorizada su reroducció or cualquier medio sólo si se cita la fuete, los autores co su eresa

4 MECNC DE LOS FLUDOS Y MQUNS FLUDODNMCS utores: Dr. g. Satiago. Urquiza, Profesor Titular. Dr. g. Herá J. Desimoe, e alumo. ) Fuerzas sobre suerficies curvas sumergidas Figura Suogamos que ecesitamos averiguar la resultate de los esfuerzos de resió sobre ua suerficie curva sumergida cualquiera, tal cual se muestra e la figura. Lo rimero que haremos será idetificar uestro sistema de aálisis costruedo u diagrama del cuero libre. demás or cuestioes rácticas trabajaremos co resioes relativas, el lector odrá itroducir las correccioes ecesarias ara trabajar co resioes absolutas. El la figura 3 observamos dicho sistema, e el cual se ha idetificado las fuerzas eteras al mismo. Observar que ahora que la ormal sobre se ha ivertido, a que e estas circustacias os estamos lateado los esfuerzos actuates sobre uestro sistema. De todas maeras, esto o reseta igua dificultad a que la resultate sobre que la ared le hace al fluido será igual de setido cotrario a la que el fluido le hace a la ared, esto debido al riciio de cció Reacció. Trabajaremos aquí co resioes relativas, que es lo más coveiete e la maoría de los casos, debido a que si trabajamos co resioes absolutas ecesitaríamos icluir seguramete e el balace de fuerzas de la reresa la acció costate de la resió atmosférica e el cotoro seco de la misma. Observar que la iclusió de la resió atmosférica o reseta maores icoveietes, a que es u valor costate. h = γ h = γ h H W F F = γ (H+h) Figura 3 F las roeccioes de sobre laos ormales a los ejes X e Y las hemos deomiado co resectivamete. Si llamamos F a la resultate de resioes que actúa sobre F a la resultate de resioes que actúa sobre, uede escribirse: F - F = 0 ; F = F F + W - F = 0 ; F = F + W utorizada su reroducció or cualquier medio sólo si se cita la fuete, los autores co su eresa

5 MECNC DE LOS FLUDOS Y MQUNS FLUDODNMCS utores: Dr. g. Satiago. Urquiza, Profesor Titular. Dr. g. Herá J. Desimoe, e alumo. Es imediato recoocer que la resultate de los esfuerzos de resió sobre e la direcció horizotal es igual a la corresodiete sobre la suerficie roectada. Para la comoete vertical de la fuerza sobre se tiee que será igual a la itegral de la resió sobre más el eso W del agua coteida e el volume señalado, lo que da como resultado que la comoete vertical sobre es igual al eso de toda el agua que está or ecima de ella (más el valor de Po. e el caso que trabajemos co resioes absolutas, es más, odríamos haber dicho la comoete vertical sobre es igual al eso de todo el fluido que está or ecima de ella, a que la resió atmosférica rereseta a todo el aire que está or sobre la suerficie libre). E la figura 4 se observa otro volume que ermite arribar a las mismas coclusioes. h = γ h = γ h H = γ (H+h) Figura 4 Wt F F F utorizada su reroducció or cualquier medio sólo si se cita la fuete, los autores co su eresa

6 MECNC DE LOS FLUDOS Y MQUNS FLUDODNMCS utores: Dr. g. Satiago. Urquiza, Profesor Titular. Dr. g. Herá J. Desimoe, e alumo. 3) Fuerzas sobre suerficies laas sumergidas E el caso que muestra la figura, aguas arriba se ecuetra u líquido de eso esecífico coocido. La laca, co u águlo de icliació θ esta sometida a la acció de la resió del líquido or u lado del otro lado a la resió atmosférica o.. θ d Figura 4 Se debe ecotrar: a) La fuerza que ejerce la resió sobre el área cosiderada. b) El uto de alicació de dicha fuerza. Observació: Se cosidera úicamete las resioes relativas uesto que la resió atmosférica, o actúa a ambos lados de la laca or lo tato el efecto total sobre la misma es ulo. a) Fuerza sobre la laca. Sobre cada elemeto diferecial de área (d) actúa u diferecial de fuerza de modulo: d F =.. d () Siedo la resió relativa el vector ormal e la direcció de acció de la resió. Como se uede observar, todos los difereciales de fuerza tiee la misma direcció setido, or lo cual ara obteer el módulo de la fuerza total basta co cosiderarla como u escalar. tegrado resulta, E =.. d () La ecuació () es siemre válida ideedietemete del sistema de ejes que se utilice. Si e articular se usa el sistema de ejes que se observa e la figura 4 se uede eresar: E = γ. h. d = γ.. seθ. d = γ. seθ. d = γ. seθ.. (3) escribir: Siedo γ el eso esecífico del fluido cosiderado. Es osible reducir aú más la (3) E = G. (4) utorizada su reroducció or cualquier medio sólo si se cita la fuete, los autores co su eresa

7 MECNC DE LOS FLUDOS Y MQUNS FLUDODNMCS utores: Dr. g. Satiago. Urquiza, Profesor Titular. Dr. g. Herá J. Desimoe, e alumo. Dode G es la resió e el cetroide de la secció. a) Recta de acció de la Fuerza (E) sobre la laca Ua vez hallada la fuerza sobre la laca, se ecesita saber su recta de acció. l teer todas las cotribucioes sobre los elemetos difereciales de área la misma direcció setido, la resultate tiee tambié, evidetemete, esa direcció setido. Se desea etoces saber or qué uto sobre la laca asa dicha fuerza resultate. Para ello se cosidera e rimer térmio el mometo que co resecto al eje (ver figura) realiza las cotribucioes elemetales de las fuerzas e los d se iguala dicho mometo al que roduce la fuerza total. Matemáticamete: E =. de. (5) Desejado: Siedo la distacia desde el eje al uto de alicació de la fuerza resultate. =. de E (6) álogamete, tomado mometos co resecto al eje se obtiee : = E de () Las ecuacioes (6) () so siemre válidas más allá de los ejes coordeados que se elija. E articular, co los ejes coordeados que muestra la figura (básicamete el orige del eje coicidete co la suerficie libre) se obtiee: =. γ.se θ.. d= γ.se θ... (8) Es coveiete referirse al mometo de segudo orde co resecto al cetroide, ie, utilizar la (6) eresar: = (9). + Y e forma similar se deduce: = + (0). Esta últimas dos ecuacioes so de gra utilidad ahorra gra catidad de esfuerzo si se cooce los mometos de iercia resecto del cetroide de la secció cosiderada. Observació: La (6) la () so siemre válidas más allá del uto tomado ara cotabilizar los mometos (es decir, la ubicació de los ejes e ) E cambio, la (9) la (0) so válidas e tato que se cosidere el eje co orige e la suerficie libre. utorizada su reroducció or cualquier medio sólo si se cita la fuete, los autores co su eresa

8 MECNC DE LOS FLUDOS Y MQUNS FLUDODNMCS utores: Dr. g. Satiago. Urquiza, Profesor Titular. Dr. g. Herá J. Desimoe, e alumo. Ejercicios: Demuestre la ecuació (0) Ejemlo de alicació: ) Calcular el emuje sobre la laca de la figura. El fluido tiee eso esecífico coocido (γ). Las dimesioes está eresadas e metros: 3 a) Primero se realiza el ejercicio or itegració directa: Se toma u eje que comieza e el borde de la laca. La ecuació () uede eresarse: E = 0 ' γ.( 3 + ') dd' = γ.(3 + ')( ') d' E = γ ( 0 0 ' + ' ' ) d' 3 ' ' + ' ' 30 0 E = γ E =, 6γ ) Se ha hecho todos los asos ara comarar co el otro método. Para ecotrar el uto de alicació utilizamos ahora la (9) la (0). ' = ) γ.,6 '. γ.(3 + 0 La cual luego de resolver lleva a: ' = 4, 5... E tato que ara se tiee: ' ') d. d' utorizada su reroducció or cualquier medio sólo si se cita la fuete, los autores co su eresa

9 MECNC DE LOS FLUDOS Y MQUNS FLUDODNMCS utores: Dr. g. Satiago. Urquiza, Profesor Titular. Dr. g. Herá J. Desimoe, e alumo. = ). γ.(3 + ') dd' γ..6 0 ' Que resuelta da: = 4, b) Se utiliza ahora las formulas (4), (9) (0). Se utiliza u eje co orige e la suerficie libre. De tablas se etrae: = = 3. 4,) 6 = 3+ = 3. 6,) 3 3. = = 94, 4 ). ) 36 = = 68, 05 Y ahora se alica directamete las fórmulas: ) ) =. = 6,3γ.35 =,6. γ E G ) 94, 4 = + = +, =, , ) ) 5 ) 68, 05 = + = +. =, , ) ) utorizada su reroducció or cualquier medio sólo si se cita la fuete, los autores co su eresa