FACULTAD DE CIENCIAS FORESTALES UNSE GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA MATEMÁTICA INGRESO 2.016

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1 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 FACULTAD DE CIENCIAS FORESTALES UNSE GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA MATEMÁTICA INGRESO.06 Crrers: * Igeierí Forestl * Igeierí e Idustris Forestles * Licecitur e Ecologí y Coservció del Amiete *Técico e Viveros y Pltcioes Forestles *Técico e Aserrdero, Crpiterí y Crpiterí Idustril. *Técico Fitositrist Docetes: Lic. Cludi Cejs Lic. Croli Ger Coordició: Lic. Sylvi Nrro Beltrá Áre Disciplir: Mtemátic

2 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 CONTENIDOS Uidd : El leguje forml de l mtemátic...- Lectur e iterpretció de tetos mtemáticos. Uidd : Cojutos uméricos...- El cojuto de úmeros reles...- Rdicció. Uidd : Ecucioes..- Ecucioes de primer y segudo grdo co u icógit...- Sistems de ecucioes lieles co dos icógits. Uidd 4: Poliomios 4..- Opercioes co Poliomios Ríces de u poliomio Ecució de l rect Áre Disciplir: Mtemátic

3 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Ojetivos de l Uidd Uidd : El Leguje Mtemático Idetificr los distitos símolos mtemáticos Trsferir epresioes de u leguje otro Iterpretr el leguje simólico GUÍA N : EL LENGUAJE FORMAL DE LA MATEMATICA El Leguje Mtemático L mtemátic es u cieci que tiee su propio leguje; el leguje mtemático trvés del cul se epres propieddes, ioms, teorems, y hst simples eucidos. El leguje simólico forml de ls mtemátics sigue u serie de covecioes propis; los símolos represet u cocepto, u operció, u etidd mtemátic segú cierts regls. Este leguje prticulr y específico, simplific e lguos csos l comuicció y permite clrificr y desigr de mer ect, sus coteidos. A qué os referimos cudo hlmos de leguje mtemático? Nos referimos :. L simologí mtemátic: sigos o crcteres gráficos, que so como ls plrs de u idiom. Ésts dee ser coocids co el ojeto de poder iterpretr lo que se quiere decir co ells. Cd uo de estos símolos utilizdos e mtemátic, so ecesrios pr l perfect costrucció de ides, de mer que l sustitució de lguo de ellos por otro diferete, uque se gráficmete precido, cmirí totlmete el sigificdo. Tods y cd u de ls plrs mtemátics tiee u sigificdo prticulr, o eistiedo l posiilidd de sióimos.. L estructur y presetció de los coteidos mtemáticos: se reliz medite eucidos co omres o etiquets (como por ejemplo: Defiició, Teorem, Proposició, Lem, Demostrció, Corolrio, etc.), de Áre Disciplir: Mtemátic

4 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 mer que cd u de ells predice su coteido. Así, todo eucido o firmció e mtemátic, dee ser presetdo detro de uo de estos epígrfes, yuddo sí u clr orgizció y estructur de los coteidos de l mteri. Recordremos cotiució lguos símolos mtemáticos que utilizremos e l lectur y l escritur de éste leguje: Símolo sigificdo Pr todo Eiste l meos uo Perteece No perteece Está icluido e No está icluido / Tl que ^ Y O ~ o N Cojuto de úmeros turles Z Cojuto de úmeros eteros Q R Log l Cojuto de úmeros rcioles Cojuto de úmeros reles Logritmo Logritmo eperio Sumtori Ifiito Phi Itersecció Uió Etoces Sí y sólo si Myor o igul Meor o igul Áre Disciplir: Mtemátic 4

5 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Pr lizr estos símolos cosideremos el cojuto A= {,,, 4, 5, 6, 7, 8} Pr idicr que u elemeto perteece l cojuto escriimos: A (se lee: perteece l cojuto A) Pr idicr que u elemeto NO perteece l cojuto escriimos 9 A (se lee: 9 o perteece l cojuto A) El símolo Se utiliz pr epresr l eisteci de l meos u elemeto que cumple u codició o propiedd. Se lee eiste l meos. Pr represetr que e el cojuto A eiste elemetos que so múltiplos de, se escriirí: A/ Se lee: eiste l meos u elemeto que perteece l cojuto A tl que es múltiplo de El símolo Se utiliz pr epresr que u propiedd o codició es ciert pr todo elemeto del cojuto. Pr represetr que e el cojuto A todos los elemetos del cojuto so úmeros turles, meores e igules que 8, se escrie: A / N 8 Se lee: El cojuto A está formdo por todos los, tl que es u úmero turl meor e igul que 8. El símolo es u coectivo lógico de Implicció que se lee etoces Se lee: Si perteece l cojuto de los úmeros turles etoces - perteece l cojuto de los umeres eteros. Áre Disciplir: Mtemátic 5

6 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 El símolo es u coectivo lógico de dole Implicció que se lee si y sólo si Se lee: perteece los úmeros turles si y sólo si perteece los úmeros eteros y es myor que cero. Leguje Mtemático Eiste tres grdes mers de represetr el leguje de l mtemátic: el leguje coloquil, el leguje simólico y el leguje gráfico. El leguje coloquil se utiliz pr epresr ides y coceptos e form escrit u orl usdo el leguje ordirio. El leguje simólico se utiliz pr epresr co símolos e form precis los coceptos ddos e leguje coloquil. El leguje gráfico se utiliz pr represetr coceptos y situcioes. Leguje Coloquil U úmero El duplo, el dole de u úmero L mitd de u úmero Leguje Simólico el terior de u úmero X- El sucesor o el siguiete de u úmero X+ El opuesto de u úmero U úmero pr U úmero impr X+ El triple de u úmero El cuádruplo de u úmero L tercer prte, el tercio de u úmero El cudrdo de u úmero X El cuo de u úmero X El cudrdo del siguiete de u úmero (X+) El cuo del siguiete de u úmero (X+) X X X - X X X 4X X Áre Disciplir: Mtemátic 6

7 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Otros Ejemplos: E leguje coloquil: E leguje simólico: El áre de u rectágulo es igul l producto etre l se () y l ltur (h). A=.h L sum de ls medids de los águlos iteriores de u triágulo es 80º + + = 80º El áre del circulo es igul l producto etre phi y el cudrdo de l logitud del rdio A.r Actividdes de plicció. Escri l epresió simólic correspodiete cd epresió coloquil: ) El dole de u úmero, más su siguiete, es 4. ) El siguiete del dole de u úmero es 4. c) El dole de u úmero, umetdo e uiddes, es 4. d) El dole de, u úmero umetdo e uiddes, es 4. e) L tercer prte del ríz curt de 8, dismiuid e l mitd del ríz cudrd de 44. f) L ríz curt de 8 umetd e l mitd de l ríz cudrd de 64.. Eprese medite u cálculo cd u de ls siguietes situcioes: ) Ls pérdids de u empres durte u período de gestió fuero de $ , ectmete $ por ño. Cuátos ños duró dich gestió? ) E el tlero de u vió se eciede u luz cd vez que pierde ciert ctidd de metros de ltitud. Si y perdió 000 m de ltitud y l luz se ecedió 5 veces, cd cuátos metros de ltitud se eciede l luz? Áre Disciplir: Mtemátic 7

8 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06. Complete l tl teioedo como refereci los ejemplos ddos. Leguje coloquil Leguje simólico El áre A de u cudrdo est ddo por l medid de su ldo elevdo l cudrdo. A= L difereci etre los cudrdos de dos úmeros y es myor que 6. El dole del terior de u úmero etero r es igul 4. > 6.(+5) = y El volume V de u esfer es cutro tercios del producto del vlor de l rist p por el cuo de su rdio r. A = π.r 4. Diel y Víctor so hermos y sus eddes ctules so d y v respectivmete. Detro de 5 ños, l edd de Víctor será u vez y medi l edd de su herm. Cuál o cuáles de ls siguietes epresioes permite clcule l edd de Diel coociedo l de Victor? ) d= (8v +,5 ) :,5 ) d= (v+5):,5 c) d=,5 (v+5) d) d= (v-.5):,5 5. Epres simólicmete: ) Al sumr u úmero, co su opuesto, se otiee cero. ) Ddo u úmero, multiplicrlo por, sumr 4, multiplicr por 5, dividir por 0. c) El dole de u úmero d) U úmero m, ms su dole, más su mitd. e) El triple del resultdo de sumr cico u úmero p Áre Disciplir: Mtemátic 8

9 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 f) El siguiete de u úmero. g) L mitd del siguiete de u úmero. h) L edd de u homre detro de 0 ños i) L edd que teí hce 0 ños 6. Complete l tl prtir de los eucidos. ) Teres tiee ños ) Su hij tiee 5 ños meos que ell c) Su mdre tiee el dole de l edd de ell. d) Su pdre tiee 6 ños más que su mdre. e) Teres teí 8 ños cudo ció su hermo Lorezo. Teres L hij L mdre El pdre Lorezo 7) Lucs ció e 968, termió l escuel secudri e 986, se reciió de igeiero e 99, se csó e 00, tuvo su primer hijo e 005 y su segudo hijo e 0. Asigr u epresió cd hecho de su vid tomdo como refereci el ño de csmieto. Ncimieto de Lucs Termió l secudri Se recie de igeiero Se cs Tiee su primer hijo Tiee su segudo hijo Áre Disciplir: Mtemátic 9

10 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso Pltee y resuelv:. L medid de u de ls digoles de u romo es el dole de l de l otr y el perímetro es 40 cm. Hllr el áre del romo.. L ríz cudrd del cosecutivo de u úmero turl es igul l producto etre l ríz cudrd de 50 y l ríz cudrd de. Cuál es ese úmero? c. Clculr el perímetro de u circufereci de cm de rdio. d. Clculr el áre de u círculo de 5 5 cm de rdio. e. Clculr el volume de u esfer de cm de rdio. 8) E l figur puede oservr u cudrdo iscripto e u circufereci. I).- Hllr l medid del ldo del cudrdo, supoiedo que el rdio de l circufereci mide cm. II).- Hllr l superficie del cudrdo iscripto, supoiedo que el rdio mide 5 cm. III).- Hllr el rdio de l circufereci e l que se h iscripto u cudrdo, supoiedo que su ldo mide 8 cm. 9) Ju gstó e l lirerí $95. Después e u tied quiso comprr metros de u tel que vlí $50 el metro, pero le flt $6. Cuáto diero teí Ju tes de etrr l lirerí? Cuál de ls siguietes epresioes permite resolver el prolem? ) ( ). 6 ) c) 5 ( 9. 6 ) d) : 6 Áre Disciplir: Mtemátic 0

11 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso Crl vedió 00 sádwich $400 cd uo. Cd sádwich est preprdo co u flutí, jmó, queso y myoes. Mrcel utilizó 8 kg de jmó y pgó $400 el kg, 5 kg de queso $80 el kg, 7 frscos de myoes $0 cd uo y demás gstó $60 e p. Cuáto gó Cludi? Cuál de ls siguietes epresioes permite resolver el prolem? ) 00 : 40 ( ) ) ( ) c) d) ( ) Áre Disciplir: Mtemátic

12 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Uidd : Cojutos uméricos. GUÍA N CONJUNTOS NUMÉRICOS. EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES El cojuto de úmeros turles. El cojuto de úmeros turles costituye el primer cojuto umérico credo por el homre. Se lo simoliz N,,,4,5,... Si queremos cosiderr este cojuto uido l cero, lo idicmos de l siguiete mer: N 0 0,,,,4,5,... Crcterizció del cojuto N. N. Es u cojuto ifiito. Tiee primer elemeto: el N o tiee último elemeto. El cojuto de úmeros turles es u cojuto discreto. (Etre dos úmeros turles eiste u úmero fiito de úmeros turles) El cojuto de los úmeros eteros. Ecucioes e N0 E N0 estudimos ecucioes como l siguiete: +=, de dode =- Pero semos que e N0 l sustrcció - sólo es posile si. Lo ejemplificmos:. 6+ =0 =0-6, =4, tiee solució pues = 6 = 6-6, =0, tiee solució pues 6=6. 0+ = 4 No tiee solució pues 4 0 Áre Disciplir: Mtemátic

13 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 A prtir de los ejemplos oservmos que se verific lo siguiete: Si, el resultdo es u úmero turl. Si =, el resultdo es cero. Si, l ecució o tiee solució e N 0 Pr resolver este tercer tipo de ecucioes, se dvierte l ecesidd de mplir el cmpo de úmeros. Se cre sí los úmeros eteros egtivos. Así l ecució se resuelve de l siguiete mer: 0 + = 4 = 4-0 =-6 El cojuto umérico que cotiee estos tipos de úmeros se llm cojuto de los úmeros eteros egtivos y se los idetific co Z. Podemos idetificr l cojuto N co Z. Si mos cojutos Z y Z se ue el cojuto uitrio que tiee el cero como úico elemeto, se otiee el cojuto idetificremos co Z. de los úmeros eteros, que Simólicmete: Z = Z 0 Z Los úmeros eteros e l rect uméric. Z Z Pr represetr úmeros eteros e l rect, tommos u uidd que os permitirá grdur dich rect y represetmos los úmeros positivos l derech y los egtivos l izquierd del cero. Áre Disciplir: Mtemátic

14 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Crcterizció del cojuto Z No tiee primero i último elemeto. Todo úmero etero tiee sucesor y tecesor Z es u cojuto discreto (Etre dos úmeros eteros hy u úmero fiito de úmeros eteros) El cojuto de úmeros rcioles. E el cojuto de los úmeros eteros estudimos que ls ecucioes de l form.= sólo tiee solució si es múltiplo de y 0 Tomemos por ejemplo: 4.= =:4 y =, 4.= 4 =4:4 y =, Si 5.= 8 vemos que o eiste igú úmero etero que permit que tl iguldd se verifique. Prolems como éste diero lugr l ecesidd de mplir el cojuto umérico co l cosiderció de los úmeros frcciorios (F) Si uimos el cojuto de los úmeros frcciorios F l cojuto Z y coocido, otedremos el cojuto de úmeros rcioles que idetificremos co Q. Simólicmete: Q = Z U F Qué es u úmero rciol? Número rciol es todo quel que se puede epresr como l rzó de dos úmeros y, siedo Z y Z-{0}. Simólicmete: Q= /, Z 0 Ejemplos: Q; 5 Q, Q, Q Áre Disciplir: Mtemátic 4

15 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Crcterizció del cojuto Q: El cojuto Q es u cojuto ifiito. No tiee primero i último elemeto. Q es u cojuto deso. Esto sigific que etre dos úmeros rcioles eiste u úmero ifiito de úmeros rcioles. Est propiedd os permite hllr u frcció etre dos frccioes segú lo siguiete: Si c d c d c d ) Adició: Opercioes e Q Cosiderremos los siguietes csos los que epresremos e form simólic:. De igul deomidor:. De distito deomidor: ) Sustrcció: m m m m m m Pr restr dos úmeros rcioles, se sum l miuedo el opuesto del sustredo: ) Multiplicció: c d c d Se llm producto de úmeros rcioles todo úmero rciol cuyo umerdor es el producto de los umerdores y cuyo deomidor es el producto de los deomidores de los fctores. Simólicmete: c. c. d. d Prolems: Mrtí tiee $ 70, gst ls tres quits prtes e l cricerí y l curt prte del resto e l verdulerí. Clculr y respoder. Áre Disciplir: Mtemátic 5

16 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 ) Cuáto gst e l cricerí? ) y e l verdulerí? c) Qué frcció qued si gstr? Pr pesr y respoder: Cuál es el elemeto eutro pr l dició y pr l multiplicció? Todos los rcioles tiee iverso ditivo? Todos los rcioles tiee iverso multiplictivo? 4) Cociete: Se, c d c Q, el cociete : d m =. d. c es otro úmero rciol m tl que: 5) Poteci de se rciol y epoete turl. Si Q y N, defiimos: Pr 0, 0 = =.. si 6) Ríz cudrd Si Q se defie ríz cudrd de de l siguiete mer: p = q p q = 7) Ríz eésim de u úmero rciol p p = q q, siedo N y Q y p Q q Áre Disciplir: Mtemátic 6

17 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 7 Áre Disciplir: Mtemátic 8) Poteci de se rciol y epoete egtivo. Pr Q, siedo 0 y k, defiimos k = k Completr y ejemplificr: ) L poteci de u frcció distit de cero es igul l poteci de epoete del...de dich frcció. Siedo N y 0 ) d c d c... L potecició es distriutiv respecto de l... c) d c d c : :. L potecició es... respecto de l divisió. d) p p. El producto de potecis de igul se es otr poteci de l mism se cuyo epoete es igul... de los epoetes. e) p p : El cociete de potecis de igul se es otr poteci de l mism se cuyo epoete es igul... de los epoetes. f) p p. L poteci de otr poteci es igul otr poteci de l mism se cuyo epoete es igul... de los epoetes. g) L potecició...es distriutiv respecto l sum

18 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Actividdes: ) Resuelve ei siguiete prolem co úmeros rcioles. ) E u escuel que fucio tres iveles, l set prte de los lumos v l jrdí de iftes, ls tres octvs prtes l primri y hy 97 lumos e l secudri. Oteg l ctidd de lumos y l frcció que siste cd ivel. ) Idicr ls opercioes priciples y luego resolver: ) ) c) d). 4 7 ) Resolver ls ecucioes: ) 7 )4( ) ( ) c)5( ) 8( ) d) 5 e) 4 7 f )( ) 6 ) 6 g h) i) j) k) l) m) ) Áre Disciplir: Mtemátic 8

19 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 4) Clculr: ) 6 5 : ) 6 5 : Números irrcioles Los úmeros que o puede epresrse como l rzó de otros dos úmeros, form el cojuto de los úmeros irrcioles. Represetmos este cojuto co I. Los úmeros irrcioles so quellos que puede escriirse como u epresió deciml de ifiits cifrs decimles o periódicos. Por ejemplo: =,44... =, Números reles Los úmeros rcioles co los irrcioles form el cojuto de los úmeros reles, que deotremos co R. Sitetizdo: R Q I N Z Recordemos: Los úmeros reles cure tod l rect. A todo úmero rel correspode u puto de l rect uméric. Todo puto de l rect represet u úmero rel. Áre Disciplir: Mtemátic 9

20 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Opercioes co úmeros reles. Propieddes E R, como y se mecioó, se defie dos opercioes ásics, l dició (+) y l multiplicció (.); ests cumple, etre otrs, ls siguietes propieddes: Propiedd Epresió simólic Ejemplo Numérico Ley de, R : R += R cierre, R : R.= R Comuttiv, R :, R :.. Asocitiv,, cr: c ( c),, cr: c ( c) Distriutiv producto co respecto l sum Eisteci de elemeto eutro Eisteci de elemeto Iverso,, cr: c c 0 R/ R : 0 R/ R :. R,! R/ ( ) 0 R 0,! R/ +4=4+.=. (8+)+=8+(+) (-.6).=(-).(6.) 6.(+)= =6+8 4=4-5+0=-5 7.=7 +(-)=0 9 9 Rdicció L ríz eésim de u úmero es otro úmero que elevdo l poteci, dode N, d por resultdo el úmero : Regl de los sigos Ídice Pr Impr Rdicdo positivo: 4 Rdicdo egtivo: 4 No tiee solució e R Impr Rdicdo positivo: 8 Rdicdo egtivo 8 Áre Disciplir: Mtemátic 0

21 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Propieddes de l rdicció. Distriutiv co respecto l producto y el cociete.. Esto es válido siempre que ls ríces se posiles.. Ríz de otr ríz m. m. Si el ídice y el epoete de u rdicl de se positiv se multiplic o divide por u mismo úmero, l ríz o vrí. m : m: 4. Si p y q so úmeros turles y es u úmero rel positivo se defie: p q q p Simplificció de rdicles Simplificr u rdicl quiere decir elimir fctores del rdicl hst que el rdicdo coteg sólo epoete igul o meor que el ídice del rdicl y el ídice se t pequeño como se posile. Algus propieddes que result útiles pr l simplificció so: I. Multiplicció o divisió del ídice y el epoete por u mismo úmero turl. Si el ídice y el epoete de u rdicl de rdicdo positivo (*), se multiplic o divide por u mismo úmero turl, l ríz o vrí. r r. s r. s s rs 6 6; : Áre Disciplir: Mtemátic

22 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 (*) veremos u cotrejemplo pr demostrr que l propiedd o siempre es válid pr rdicles de rdicdo egtivo. Ejemplo 6 ( 8) 6 64 Si dividimos el ídice y el epoete, result: 6: ( : 8) 8 que o coicide co el resultdo terior. E cosecueci; No siempre es posile simplificr u rdicl de rdicdo egtivo. Al respecto deemos recordr: Si es impr: Si es pr: E prticulr: II. Etrcció de fctores del rdicl. Cudo el epoete del rdicdo es myor o igul que el ídice, se puede simplificr el rdicl etryedo fctores. Ejemplo. Cosideremos 8 Podemos epresr 8 como u poteci Aquí o podemos simplificr ídice y epoete por u mismo úmero, pero podemos descompoer l rdicdo como u producto de potecis de igul se de modo que: I. El epoete de u de ells se múltiplo del ídice. II. El otro epoete se meor que el ídice. Así 8. Distriuyedo 8. Simplificdo 8 Áre Disciplir: Mtemátic

23 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Todos los epoetes del rdicdo so meores que el ídice. El rdicl h queddo simplificdo. Otros ejemplos (tods ls letrs deot úmeros reles positivos): ) ) c) Solució ) ) c) Rciolizció del deomidor E l divisió de úmeros reles se plte el prolem de l divisió cudo el divisor o deomidor es u úmero irrciol, por ejemplo 5. Puesto que e el cojuto de los úmeros rcioles está defiid l divisió cudo el deomidor es u úmero rciol, pr resolver este prolem, strá etoces co trsformr el divisor irrciol e u úmero rciol. Est operció se cooce co el omre de rciolizció del divisor o deomidor. Áre Disciplir: Mtemátic

24 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Cosideremos los siguietes csos: I. El deomidor irrciol es u rdicl. Ejemplo 5 Divisor irrciol Pr trsformr el divisor e u úmero rciol deemos multiplicr tto dividedo como divisor por u mismo úmero. E este cso coviee multiplicr por el rdicl 5 divisor irrciol divisor rciol Otrs eleccioes de deomidor rdicl. Fctor e el deomido r Multiplicr umerdor y deomidor por Fctor resultte Otro ejemplo Solució Áre Disciplir: Mtemátic 4

25 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 5 Áre Disciplir: Mtemátic II. El divisor irrciol es u sum o difereci de ríces cudrátics. Ejemplo 7 4 E este cso deemos poyros e l siguiete propiedd: ) ).( ( E cosecueci, e el resultdo prece mos rdicles elevdos l cudrdo pr poder simplificr. Coviee etoces, pr este cso, multiplicr dividedo y divisor por l difereci III. El divisor es l sum o difereci de u úmero rel y u rdicl cudrático. Ejemplo Usmos e este cso l mism propiedd terior, pero multiplicdo y dividiedo por l sum. ) ( ) (. ) ( Sugereci: Este proceso lgerico, e cursos vzdos puede complicr el cálculo pr l resolució del prolem, es por ello que se recomied lizr y seleccior el procedimieto decudo. Defiició de potecis co epoetes rcioles Se m/ u umero rciol, dode es u etero positivo myor de. Si es u úmero rel tl que eiste, etoces: I. II. m m m III. m m m

26 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Not: Tods ls propieddes de l potecició de epoete etero se etiede l potecició de epoete rciol. Simplificció de potecis rcioles Simplific: ) ) Solució ) ) Reducció de rdicles ídice comú Pr poder multiplicr rdicles de distito ídice, procedemos del l siguiete mer: ) Hllmos u ídice comú que será el míimo comú múltiplo de los ídices ddos. ) Dividimos el comú ídice por cd uo de los ídices y cd resultdo oteido se multiplic por sus epoetes correspodietes. Áre Disciplir: Mtemátic 6

27 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Ejemplo: relizr el producto Clculmos el mcm etre los ídices 4 y 6. mcm (4,6)= que es el ídice comú meor. uscmos hor dos rdicles equivletes los ddos co ídice Adició y sustrcció de rdicles Rdicles semejtes: los rdicles que tiee el mismo ídice y el mismo rdicdo se llm rdicles semejtes. Ejemplo ) y 5 ) 4 y 7 Solmete puede sumrse (o restrse) dos o más rdicles, cudo so rdicles semejtes. Ejemplo ) ) Áre Disciplir: Mtemátic 7

28 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Propieddes de los rdicles Producto de rdicles del mismo ídice Pr multiplicr rdicles co el mismo ídice se multiplic los rdicdos y se dej el mismo ídice. Producto de rdicles de distito ídice Primero se reduce ídice comú y luego se multiplic. Cociete de rdicles del mismo ídice Pr dividir rdicles co el mismo ídice se divide los rdicdos y se dej el mismo ídice. Cociete de rdicles de distito ídice Primero se reduce ídice comú y luego se divide. Actividdes de Aplicció ) Determir si ls siguietes epresioes so verdders o flss. E cso de ser fls, justifique porque lo es. ) N Z ) Q R = Q c) Q R d) 8 Z e) - Q f) R I g) Alguos úmeros rcioles so frcciorios. h) Todos los úmeros rcioles so frcciorios. i) 4 4 es u úmero etero. j) es u úmero irrciol. Áre Disciplir: Mtemátic 8

29 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 ) Completr. ) Si = los putos represettivos de y e l rect rel... ) Si c, el puto represettivo de c, e l rect rel, está l... del puto represettivo de c) Si d, el puto represettivo de d, e l rect rel, está l... del puto represettivo de. d) Todos los úmeros reles positivos so... que cero. e) Todos los úmeros reles... so meores que cero. f) Etre dos reles egtivos cuál es el myor?... ) Isertr el símolo de <, =, ó > segú correspod cd pr de úmeros y represételos e l rect rel. ) ) ) c) d)... e) 4... f) g) ) Ecotrr dos úmeros rcioles compredidos etre: ) y ) 5 y c) 4y 4 5) Completr ) L sustrcció etre úmeros reles... l propiedd comuttiv. ) E l siguiete sum lgeric hy... térmios... positivos y... egtivos. c) El opuesto de u úmero rel es... d) El opuesto de... es cero. Áre Disciplir: Mtemátic 9

30 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 e) El vlor soluto de u úmero rel distito de cero es siempre u umero rel... que represet el úmero de uiddes que dist del cero. f) Dos úmeros reles opuestos tiee el... vlor soluto. g) L sum de dos úmeros reles de igul sigo es otro rel cuyo vlor soluto es l...de los vlores solutos y del... sigo de los sumdos h) L sum de u úmero rel y su opuesto es siempre... 6) Dig si ls siguietes firmcioes so verdders o flss. Justifique ) E R, si el epoete es pr, l poteci siempre es positiv. ) L poteci de ídice impr, o coserv el sigo de l se. c) = ( - ) co 0. d) siedo N y 0 e) f) L potecició y l rdicció e R so distriutivs respecto l sum y l rest 7) Resuelve: ) (-) 5 = ) c).8 40 : d) (0 : 5) 4 + (9 : ) -. e) 0. :.( ) f) ( ) 5 g) h). 5 4 Áre Disciplir: Mtemátic 0

31 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Áre Disciplir: Mtemátic i) ).( ) ( : ) ( j) ) Ecuetre el vlor de l icógit. ) ) ) ( ) ( c) :. 4) ( 0 d) ) ( 64 9).-Resolver plicdo l propiedd correspodiete: ) 8 d) 64 ) 5. 4 e) : 80 c) f) 0 0).-Resolver ls siguietes opercioes comids ) ) c) d) e),5,8, - 4 0, 0,,5 6 f) 0,5 5 0,7 0,7 0,09

32 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 ) Etrig todos los fctores posiles de cd rdicl ) 50 ) 8 c) 0 y 6 5 d) 4 8 e) 7 ) Resuelv ) , 0 ) c) ) Resuelv ls siguietes opercioes. ) 5 ) 75 c) d) e) 5 f) g) c h) 5 4) Relice ls siguietes opercioes. Eprese el resultdo como u poteci de epoete rciol ).. c) ) : 5 d).. e).. Csos especiles: )Cudrdo de u iomio: Se por ejemplo: (+) Áre Disciplir: Mtemátic

33 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Podemos epresrlo como u producto de fctores igules usdo ls regls opertoris de úmeros reles. (+) =(+). (+) (+) = defiició de cudrdo propiedd distriutiv. (+) = ++ Regl: el cudrdo de u iomio es igul l sum de los cudrdos de cd térmio más el dole producto del primero por el segudo. )Producto de l sum por l difereci de dos térmios Se por ejemplo: (+). (-)= propiedd distriutiv (+).(-) = - Regl: el producto de l sum de dos térmios por l difereci de los mismos es igul l difereci de los cudrdos de dichos térmios Métodos de fctoreo Scr fctor comú Cosiste e plicr l propiedd distriutiv. + c + d = ( + c + d) Descompoer e fctores scdo fctor comú: Ejemplo : + = ( + ) Ejemplo : = ( + ) Ejemplo : + = ( ) ( ) = ( ) ( ) Áre Disciplir: Mtemátic

34 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Difereci de cudrdos U difereci de cudrdos es igul l sum por l difereci de dos térmios. = ( + ) ( ) Triomio cudrdo perfecto U triomio cudrdo perfecto se otiee de elevr l cudrdo u iomio. ± + = ( ± ) Descompoer e fctores los triomios cudrdos perfectos y hllr sus ríces Ejemplo : Ls ríces es u ríz dole = =. Ejemplo : Ls ríces es u ríz d ole = =. Actividdes de Aplicció ) Clcule: ) ( + 5) ( 5) ) ( + 6) ( 6) c) Áre Disciplir: Mtemátic 4

35 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 5 Áre Disciplir: Mtemátic )Clcule ls siguietes potecis: ) 4 ) (- 8 ) c) (- 8 c) 5 d) 4 5 e) ( + ) f) g) h) (--) )Etrig fctor comú: ) ) c) d) )Resuelve : ) : ) : c) +. d) : e).

36 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Uidd : Ecucioes U ecució es u iguldd que se verific pr lguos vlores sigdos sus vriles. Si u iguldd se stisfce pr culquier vlor sigdo sus vriles, se llm idetidd Ejemplo de idetidd (+5) = = = 64 Se verific pr culquier vlor de e y. Ejemplo de ecució = 5 =.5 = 5 = Solo se stisfce l iguldd cudo = 5. Clsificció de ls ecucioes Ls ecucioes se clsific e eters, frccioris e irrcioles ) U ecució es eter cudo ls vriles o icógits está sometids ls opercioes de sum, rest y producto, por ej.: + = 5 8 ) U ecució es frcciori cudo sus icógits, o por lo meos u de ells se hll e el deomidor, por ej.: 5 c) U ecució es irrciol cudo u icógit figur jo el sigo rdicl, por ej.: Ecucioes de primer grdo co u icógit. Se P()= + u poliomio de primer grdo co u icógit. P()=0 se llm ecució poliómic de primer grdo co u icógit. U ecució poliómic de primer grdo o ecució liel tiee l form: +=0 Áre Disciplir: Mtemátic 6

37 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Ejemplo: + = 0 = - = -: = -4 Resolver u ecució poliómic es ecotrr ls ríces que ule el poliomio. El cojuto de ríces de l ecució P()=0 se llm Cojuto Solució. E este cso S= 4. Pr clculr l ríz (o ls ríces) de l ecució, se plic ls propieddes de ls opercioes de los distitos cojutos uméricos. Ejemplo: +0=0 +0+(-0)=0+(-0) ley cceltiv, eisteci de elemeto opuesto. +0 = -0 =-0 eisteci de elemeto eutro de l dició. =.(-0) eisteci de iverso multiplictivo X= -0 ley cceltiv. Ecucioes equivletes Se dice que dos ecucioes so equivletes cudo dmite el mismo cojuto solució. Ejemplo: + = 4 y - = 0, dmite el mismo cojuto solució S=4 Áre Disciplir: Mtemátic 7

38 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Sistems de ecucioes lieles de primer grdo El estudio de sistems de ecucioes lieles es u prolem clásico de ls mtemátics. Cudo se trt de sistems de dos ecucioes de primer grdo co dos icógits, se plic diversos métodos de resolució secillos de tipo gráfico y lgerico; si el úmero de ecucioes es superior, es preferile recurrir l empleo de mtrices y determites. Defiició: Se llm sistem de ecucioes lieles u cojuto de igulddes lgerics e ls que prece u o vris icógits elevds l poteci uo. Cd u de ests ecucioes lieles, o de primer grdo, tiee l form +y+cz+ =k, dode,, c,..., so los coeficietes de ls vriles, y, z,..., k es el térmio idepediete (tmié u vlor costte) Tipos de sistems lieles Los sistems e los que el úmero de ecucioes coicide co el de ls icógits se deomi cudrdos. U cso prticulrmete itereste de sistems cudrdos es el de dos ecucioes co dos icógits, que dopt l form geerl siguiete: y k y k Solució de sistems lieles E el álisis de u sistem de ecucioes lieles se puede presetr vrios csos: Si el sistem tiee solució, y ést es úic, se deomi comptile determido. Cudo preset vris solucioes posiles, es comptile idetermido. Si o tiee solució, se deomi icomptile. Áre Disciplir: Mtemátic 8

39 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Dos sistems de ecucioes lieles que tiee ls misms solucioes so equivletes. E l oció de equivleci se s ls priciples técics lgerics de resolució de estos sistems, que persigue covertirlos e otros cuy resolució se más secill. Sistems determidos: Métodos de Resolució Método de igulció U primer técic lgeric comú pr resolver sistems de dos ecucioes lieles co dos icógits es el método de igulció. Este método cosiste e despejr l mism icógit e ms ecucioes e igulr ls epresioes resulttes; se resuelve l ecució de primer grdo co u icógit oteid y se sustituye este vlor e ls ecucioes iiciles. Se, por ejemplo el sistem: y 8 4 y 5 Despejdo e ms ecucioes, se tiee: Etoces, Sustituyedo este vlor e culquier de ls ecucioes de, se tiee que =. Áre Disciplir: Mtemátic 9

40 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Método de sustitució L técic lgeric deomid método de sustitució, pr resolver u sistem de dos ecucioes co dos icógits, cosiste e despejr u icógit e u de ls ecucioes y sustituirl e l otr; sí, se otiee u sol ecució co u icógit. U vez oteido el vlor de est icógit, se sustituye su vlor e culquier de ls ecucioes del sistem, iicil pr clculr el vlor de l otr icógit. Se el mismo sistem terior de ecucioes. Si se despej, y sustituye e l segud ecució, se tiee que: se -7 y = -7, y =. Como, etoces =. Método de reducció L tercer técic lgeric de resolució de sistems de ecucioes lieles, el método de reducció, cost de los siguietes psos: Se multiplic o divide los miemros de ls dos ecucioes por los úmeros que coveg pr que u de ls icógits teg el mismo coeficiete e ms. Se rest ls dos ecucioes resulttes, co lo que se elimi u icógit. Se resuelve l ecució co u icógit oteid, y se sustituye su vlor e culquier de ls ecucioes iiciles pr clculr l segud. Por ejemplo, e el sistem de ecucioes: y 8 4 y 5 Coviee multiplicr l primer ecució por 4 y l segud por, y restr ms ecucioes: Áre Disciplir: Mtemátic 40

41 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Pr resolver prolems medite el pltemieto de u sistem de ecucioes lieles, se dee seguir vrios psos: -Plter el prolem, etediedo su eucido y covirtiédolo e ecucioes co coeficietes, costtes y vriles o icógits. -Alizr el tipo de sistem que se otiee. -Elegir u método de resolució (lgerico o gráfico) y plicrlo. -Estudir si ls solucioes oteids so pertietes e el coteto del prolem. -Compror ls solucioes e ls ecucioes plteds. Ecucioes de º grdo U ecució de segudo grdo es tod epresió de l form ++c=0 co 0. L ecució ++c=0 se resuelve medite l siguiete fórmul: Si es <0, multiplicmos los dos miemros por ( ). Resolució de ecucioes de segudo grdo icomplets Pr =0 L solució es = 0. Pr +=0, etremos fctor comú. (+)=0 Áre Disciplir: Mtemátic 4

42 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Igulmos cd fctor 0. Esto es =0 y +=0, de dode Pr + c = 0 Despejmos: Ecucioes complets: Estudio de ls solucioes L ecució complet ++c=0 se resuelve medite l fórmul 4c se llm discrimite de l ecució y permite verigur e cd ecució el úmero de solucioes. Podemos distiguir tres csos: Si 4c > 0, l ecució tiee dos solucioes, que so úmeros reles distitos. Si 4c = 0, l ecució tiee u solució dole. Si 4c < 0, l ecució o tiee solucioes reles. Áre Disciplir: Mtemátic 4

43 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Actividdes de plicció: ) Resolver ls siguietes ecucioes ) 7X 5 = 4X + 8 ) (X ) = X + c) X = 4.(X ) d) (4X-) : ( - 4X) = X+ e) X + 5X = X ) Plter y resolver ls siguietes situcioes prolemátics Diego tiee 5 ños más que Lucreci. Si detro de seis ños l edd de Diego será el dole que l de Lucreci, qué edd tiee cd uo? E u cj hy $ 45 e illetes de $ 5 y $ 0. Si hy e totl 0 illetes, cuátos de cd vlor hy e l cj? - Detro de os Ju cumplirá 48 ños. Cuál es l edd de Ju? - El duplo de u úmero umetdo e uiddes d como resultdo 0. Cuál es el úmero? c- L sum de dos úmeros cosecutivos d como resultdo el cudrdo de 5. Cuáles so dichos úmeros? d- Plo llevo e sus vccioes $.700; est ctidd represet 5 veces su gci seml más $0 que teí horrdos. Cuáto g por sem? e-l difereci de ltur etre dos edificios es de pisos y l sum de los mismos es de. Cuátos pisos tiee cd uo? f- Lur es 7 ños myor que Plo y l sum de sus eddes es 75 os. Qué edd tiee cd uo? g- El duplo de u úmero dismiuido e uiddes os d como resultdo dicho umero umetdo e uiddes. Cul es dicho úmero? Áre Disciplir: Mtemátic 4

44 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 4) Oteg l ecució de l rect determid por cd uo de los siguietes pres de putos. Luego represete gráficmete. ) c) P (0,) Q (, ) P (, ) Q (,) ) d) P (,0) Q (0, ) P (, ) Q (,) 5) Oteg ls ecucioes de ls rects que cotiee cd u los ldos del trigulo, cuyos vértices so: P=(-,5) Q=(,) R=(-,-4) Represete gráficmete l situció. 6) Hll l ecució de l rect prlel l rect -y+5=0 y que ps por el puto P=(-,) 7) Hllr l ecució de l rect pr los siguietes csos: ) que ps por el puto A= (,-) y tiee como pediete m=- ) que ps por el puto A= (,) y tiee como pediete m=/ c) que ps por el puto A= (-,-) y tiee como pediete m= 8) Pltee y ecuetre l solució de los siguietes sistems de ecucioes ) Hllr úmeros turles tles que su sum es 8 y su difereci es 4. ) L sum de dos úmeros es 06 y el myor ecede l meor e 8. Hllr los úmeros. c) Hllr úmeros tles que su sum se 7 y que uo de ellos ms el cosecutivo del dole del otro es 7. d) El triple de u úmero es igul otro úmero umetdo e 5 uiddes. L difereci etre mos es de uiddes..de que úmeros estmos hldo? e) Ariel tiee 4 ños meos que Emilio y ms eddes sum 56 ños. Qué edd tiee cd uo? Áre Disciplir: Mtemátic 44

45 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 9) Resolver ls siguietes ecucioes de segudo grdo ) X (X-) = 4 ) (X-7). (X+6) = 0 c) 9X = d) 5X X = 0 e) 9X 6X 7 = 0 f) X +X = 0 g) X X 4 = 0 h) X 4X +5 = 0 i) X + X + =0 0) Plter y resolver ls siguietes situcioes prolemátics ) Clculr u umero de dos cifrs que multiplicds por su cosecutivo es igul los cutro tercios del cudrdo de dicho umero meos 6. ) Clculr u úmero tl que l sum etre dicho úmero y l mitd de su cudrdo es igul 60. c) Clculr tl que l difereci etre l curt prte del cudrdo de su tecesor y l quit prte de X de. d) Clculr u úmero tl que el producto etre l mitd de dicho úmero y su curt prte, más l tercer prte de su tecesor se igul 7. e) Clculr l edd de Lore si semos que el cudrdo de su edd meos ls tres curts prtes del cudrdo de lo que v teer el ño que viee es igul l edd que teí el o psdo más 4 ños. Áre Disciplir: Mtemátic 45

46 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Uidd 4 Poliomios Epresioes lgerics U epresió lgeric es u comició de letrs, úmeros y sigos de opercioes. Ls letrs suele represetr ctiddes descoocids y se deomi vriles o icógits. Ls epresioes lgerics os permite trducir l leguje mtemático epresioes del leguje hitul. Defiició de poliomio Se llm poliomio de grdo e l vrile, tod epresió lgeric de l form: P()= dode, -..., o úmeros reles los que llmdos coeficietes. o es el térmio idepediete. Grdo de u poliomio El grdo de u poliomio P() es el myor epoete l que se ecuetr elevd l vrile. Ejemplos: Poliomio de grdo cero : P() = Poliomio de primer grdo: P() = + Poliomio de segudo grdo: P() = + + Poliomio de tercer grdo: P() = + + Poliomio de curto grdo: P() = Poliomio ulo: Es quel que tiee todos sus coeficietes ulos. Poliomio homogéeo: poliomio homogéeo tiee todos sus térmios o moomios co el mismo grdo. Ejemplo P() = + y Poliomio completo: U poliomio completo tiee todos los térmios. Ejemplo P() = Áre Disciplir: Mtemátic 46

47 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Poliomio ordedo: U poliomio está ordedo e form decreciete si sus térmios está ordedos de myor meor segú su grdo. Ejemplo P() = + 5 Poliomios igules: Dos poliomios so igules si verific: ) Los dos poliomios tiee el mismo grdo. ) Los coeficietes de los térmios del mismo grdo so igules. Ejemplo P() = + 5 y Q() = 5 + Nomre de los poliomios segú el úmero de térmios Moomio: Es u poliomio que cost de u sólo térmio. Ejemplo: P() = Biomio: Es u poliomio que cost de dos térmios. Ejemplo: P() = + Triomio: Es u poliomio que cost de tres térmios. Ejemplo P() = Vlor umérico de u poliomio Es el resultdo que oteemos l sustituir l vrile por u úmero culquier. Por ejemplo. Se P() = + 5 El vlor del poliomio pr = es P() = + 5 = + 5 = 4 Sums de poliomios Se llm sum de dos poliomios P() y Q() l poliomio e l vrile cuyos térmios se otiee sumdo los térmios del mismo grdo de P y Q. Ejemplo: Se P()= y Q()= - - P()+Q()= (+) + (6-) + (5-) = Pr efectur l sum de poliomios coviee relizr l operció teiedo e cuet l siguiete disposició: Ejemplo: Se P()= + 6y + y, Q()= - 5y - y R()=6y + 5 Resolver: P()+Q()+R() Áre Disciplir: Mtemátic 47

48 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso y + y - 5y - 6y y + 4y Usr colums te yud poer jutos los térmios similres e ls sums complicds. Multiplicció de u úmero por u poliomio Se llm producto de u poliomio P por u úmero rel, otro poliomio que tiee el mismo grdo del poliomio ddo y cuyos coeficietes result del producto de los coeficietes del poliomio por dicho úmero. Ejemplo: Se P()= y =. P()= ( ) = Multiplicció de moomios L multiplicció de moomios es otro moomio que tiee por coeficiete el producto de los coeficietes y cuy prte literl se otiee multiplicdo ls potecis que teg l mism se. m = ( ) +m Ejemplo: Se P()= (-6 ) y Q()= 4 5 P(). Q()= = (-6.4).(. 5 )= Multiplicció de u moomio por u poliomio L multiplicció de u moomio P y u poliomio Q, se resuelve plicdo l propiedd distriutiv de l multiplicció co respecto l sum, es decir, se multiplic el moomio P por cd termio del poliomio Q. Ejemplo: Se P()= y Q()= P(). Q()= ( ) = Áre Disciplir: Mtemátic 48

49 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Multiplicció de poliomios Pr multiplicr dos poliomios se plic l Propiedd distriutiv del producto co respecto l sum, es decir, se multiplic cd térmio del primer poliomio por cd térmio del segudo y luego se sum los térmios semejtes. Ejemplo: P() = - Q() = P() Q() = ( - ) ( - + 4) = = = = Se otiee otro poliomio cuyo grdo es l sum de los grdos de los poliomios que se multiplic. Pr fcilitr ls opercioes suele doptrse u disposició práctic similr l usd pr l multiplicció de vris cifrs: Ejemplo: Efectur de dos modos distitos l multiplicció de los poliomios: P() = y Q() = - + form : P() Q() = ( ) ( - +) = = = Áre Disciplir: Mtemátic 49

50 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Form : Divisió de Poliomios L divisió de poliomios de reliz de cuerdo co ls regls y propieddes de l divisió de úmeros reles uque l vrile o se u úmero rel. Divisió etre moomios L divisió de moomios es otro moomio que tiee por coeficiete el cociete de los coeficietes y cuy prte literl se otiee dividiedo ls potecis que teg l mism se. : m = ( : ) m Ejemplo: Se P()= 8 Q()= 4 P(): Q()= 8 : 4 = (:4).( 8 : )= 6 Divisió de u poliomio por u moomio L divisió de u poliomio P por u moomio Q, se resuelve plicdo l propiedd distriutiv por derech de l divisió co respecto l sum, es decir, se divide cd termio del poliomio P por el termio del moomio Q. Ejemplo: Se P()= y Q()= (- ) P(): Q()= ( ) : (- )= ( 5 ) : (- )+(-0 4 ): (- )+(4 ): (- )= = +5-7 Áre Disciplir: Mtemátic 50

51 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Divisió de poliomios Ddos dos poliomios P y Q, dividir P por Q sigific ecotrr otros dos poliomios C y R llmdos cocietes y resto.. P=Q.C+R.. Grdo R < grdo B o R es ulo. Pr fcilitr ls opercioes se dopt u disposició similr l utilizd por l divisió de úmeros de vrís cifrs. Los poliomios dee estr ordedos e form decreciete, y el poliomio dividedo dee estr completo. Ejemplo: P() = Q() = + P() : Q() A l izquierd situmos el dividedo y l derech el divisor. Si el poliomio o es completo dejmos espcio e los lugres que correspod. Dividimos el primer térmio del dividedo etre el primer termio del divisor. Luego multiplicmos cd térmio del poliomio divisor por el resultdo terior y lo restmos del poliomio dividedo: Volvemos dividir el primer moomio del dividedo etre el primer moomio del divisor. Y el resultdo lo multiplicmos por el divisor y lo restmos l dividedo. Procedemos igul que tes. Áre Disciplir: Mtemátic 5

52 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Volvemos hcer ls misms opercioes. 0 6 es el resto, porque su grdo es meor que el del divisor y por tto o se puede cotiur dividiedo es el cociete. Regl de Ruffii Pr clculr los coeficietes del cociete de u divisió de u poliomio por otro de l form + se dopt u disposició práctic coocid co el omre de Regl de Ruffii. Vmos tomr de ejemplo l divisió: ( 4 + ) : ( ) ) Si el poliomio o es completo, lo completmos ñd iedo los térmios que flt co ceros. ) E l primer fil se escrie los coeficietes del dividedo completo y orded. ) E l segud fil, l izquierd colocmos el opuesto de. Áre Disciplir: Mtemátic 5

53 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 4) E l tercer fil se escrie los coeficietes que se v oteiedo. 5) Bjmos el primer coeficiete. 6) Multiplicmos ese coeficiete por el divisor y lo colocmos dejo del siguiete térmio. 7) Summos los dos coeficietes. 8) Repetimos el proceso terior. El último úmero oteido (56) es el resto. El cociete es u poliomio de grdo iferior e u uidd l poliomio dividedo y cuyos coeficietes so los que hemos oteido e l últim divisió C()= Áre Disciplir: Mtemátic 5

54 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Teorem del Resto El resto de l divisió de u poli omio P(), etre u poliomio de l form ( - ) es el vlor umérico de dicho poliomio pr el vlor =. Ejemplo: Clculr por el teorem del resto el resto de l divisió P() : Q() P()= 4 + Q()= P() = 4 + = = 56 Guí de Ejercicios Vlor umérico de u poliomio ) Ddos los poliomios P() = y Q() = +. Clcule: ) P(-) + Q(0) = ) P(-) Q() = c) [P(0). Q(-)] : P( ) Ceros de u poliomio ) Ddo el poliomio P() = 6 + 8, Clcule: P() y P (-) Cules so los resultdos oteidos? Decimos, etoces, que y - so ríces del poliomio ddo. Averigüe si -, 0 o so ríces del poliomio P() = Elore u defiició de ríz de u poliomio. ) Ecuetre el vlor de, de modo que se cero del poliomio: P() = ) El poliomio f() = + m tiee u cero igul y f(-) =. Clcule m y. Áre Disciplir: Mtemátic 54

55 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 4) Ddo el poliomio P() = 4 (m+) +(m-) +, determie el vlor de m de modo tl que se cero ríz de dicho poliomio. Grdo de u poliomio Determie el c Є R, tl que el poliomio P() = (c - 4) + (c 6) + (c + 4) + 4 se de grdo Opercioes co poliomios ) Resuelve P() + Q() + R(), siedo: P() = + 4 Q() = 6 R() = ) Ddos los siguietes poliomios: P() = 4 + Q() = R() = S() = M() = N() = + Clcule: ) P(). Q() + R ) Q() + P(). R() c) [P() + Q()]. R() d) S(). [-P() + Q()] e) S() f) [ R()] R ( ) h) P() : M() i) Q() : N() g) j) Q() - S() : R() k) [Q() - S()] : R() l) [P()] : M() - [R() - N()] 5) Ddos los poliomios: P() = + y Q() = Le iform que so poliomios e : Áre Disciplir: Mtemátic 55

56 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 ) Cuáles so sus coeficietes? ) Clcule P() + Q() c) Cuáles so los coeficietes de l sum? 6) Relice ls siguietes divisioes plicdo l regl de Ruffii, determie el cociete y el resto.. ( ) : ( ). ( ) : ( + ) : c. 5 d. ( + ) : ( + ) Áre Disciplir: Mtemátic 56

57 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Fució liel U fució de primer grdo o liel e l vrile tiee l form y=+ dode es l vrile idepediete y es l vrile depediete es u costte y recie el omre de pediete o prámetro de direcció L costte recie el omre de orded l orige o prámetro de posició. Geométricmete represet l itersecció de l rect co el eje Y e el puto (0,). y (0,) y=+ Cero o ríz de l fució liel es el vlor Geométricmete represet l scis de itersecció de l rect co el eje X. Csos Prticulres: Si 0 y = 0, l ecució de l rect result y= que represet u rect que ps por el orige de coordeds y y (0,) y=+ (0,) y=+ Si <0, fució decreciete Si >0, fució decreciete Áre Disciplir: Mtemátic 57

58 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Si =0 y 0, l ecució de l rect result y = y represet u rect prlel l eje X. L fució defiid por dich ecució se llm fució costte. y (0,) y= Ejemplos Ecució de l rect ddo u puto y l pediete Ddo u puto P 0, y ) y u úmero rel ( 0 L ecució de l rect que ps por el puto P 0, y ) y tiee pediete es de l form y y 0 0 ( 0 Ejemplo Ecuetre l ecució de l rect que ps por P=(,-) y tiee pediete =- Áre Disciplir: Mtemátic 58

59 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Solució: y ( ) y y - y - Rects prlels Ls rects R de ecució y y R de ecució y so prlels si y solo si sus pedietes so igules. Simólicmete: R // R Rects perpediculres Ls rects R de ecució y y R de ecució y so perpediculres si y solo si l pediete de u es l recíproc y de sigo opuesto de l otr. Simólicmete: R R Ejemplos Ls rects y - - y y - So perpediculres. y Áre Disciplir: Mtemátic 59

60 Fcultd de Ciecis Forestles Igreso 06 Ecució de l rect que ps por dos putos Ddos dos putos P, ) y P, ) ( y ( y L rect que ps por los putos P, ) y P, ) tiee por ecució 0 ( 0 y0 ( y y y y y Ejemplo: Determir l ecució de l rect que ps por los putos P=(-,) y Q=(,-) Solució: y ( ) ( ) 4 y y y y Áre Disciplir: Mtemátic 60