A502 Teoría de Sistemas y Señales. Problemas resueltos Series 2, 3 y 4

Transcripción

1 A50 Teoría de Sistemas y Señales Problemas resueltos Series, 3 y 4 Problema : Dado u sistema lieal y estacioario caracterizado por la siguiete respuesta al impulso: h ( ) = µ ( ) µ ( 6) Calcule la respuesta a la siguiete etrada: u ( ) = ( ) Si rescribimos la señal de etrada como: ( ) 0 ( ) u = ( ) < 0 y graficamos ambas señales: Ahora bie, como ya sabemos la respuesta a la etrada especificada puede calcularse como: y ( ) = u ( ) h ( ) = uk ( ). h ( k) k = Aplicado el método gráfico (ivirtiedo y desplazado), veamos como será la señal h( k) A50 -TeSyS Problemas Resueltos Series, 3 y 4 Págia de 6

2 A partir de esta última gráfica resulta secillo ver que habrá diferetes itervalos para el cálculo de la salida. E particular: Si < 0 y ( ) = u k = Si 0 4 Si 5 ( ) ( ) k= 5 k= 5 k y ( ) = u k = + k ( ) ( ) ( ) k= 5 k= 5 k= 0 y ( ) = u k = ( ) ( ) k= 5 k= 5 k k Problema : U Sistema lieal y estacioario se caracteriza por la siguiete respuesta al impulso: t ht () = e µ () t a. Calcule y grafique la respuesta al escaló uitario. b. Utilizado dicho Sistema, se costruye uo uevo de acuerdo al Diagrama de Bloques de la Figura. Figura. Diagrama de Bloques del uevo Sistema. Calcule y grafique la respuesta al impulso gt () del uevo sistema. A50 -TeSyS Problemas Resueltos Series, 3 y 4 Págia de 6

3 c. Calcule y grafique la respuesta del sistema de la Figura a la señal de tipo pulso de duració fiita u ( t) = µ ( t) µ ( t 00). a. La respuesta al escaló puede calcularse como: t τ t ( ) ( ) t ( ) yt () = ut () ht () = ht () ut () = e µ () t µ () t t τ τ = e µ ( τ ) µ ( t τ) dτ = e dτ µ ( t) 0 = e µ () t = e µ () t 0 b. Aplicado álgebra de bloques sabemos que la respuesta al impulso de la rama superior es la covolució de los bloques, e este caso es ht ( 0). Luego la respuesta al impulso total es: () = () () () = u() t [ h() t h( t 0) ] g() t = h() t h( t 0) y t u t h t u t h( t 0) siedo g(t) la respuesta al impulso del sistema total c. Existe varias formas de calcular la respuesta a la etrada dada. Ua sería aprovechar las características de liealidad y estacioariedad del sistema y aplicar superposició, es decir, calcular la respuesta al escaló uitario µ () t y luego sumarle/restarle esa misma señal desplazada e (t 00). A50 -TeSyS Problemas Resueltos Series, 3 y 4 Págia 3 de 6

4 Aalíticamete: y t = y t + y t PULSO () () () dode y (t) es la respuesta al escaló uitario, µ(t), del sistema co respuesta al impulso g(t) y y (t) es la respuesta al escaló uitario desplazado, - µ(t-00). Pero como el sistema es estacioario si aplico la misma etrada e el istate t=00 obtego la salida e el istate t=0 desplazada. Así, si: () = µ () [ () ] = ( µ () ( )) ( µ ( ) ( )) = y() t y( t 0) y t t h t h( t 0) t h t t h t 0 dode y(t) es la señal calculada e el apartado a. Luego y (t) por estacioariedad es:7 y() t = y( t 00) = y( t 00) + y( t 0) ypulso Problema 3: Ua técica utilizada para detectar el lugar exacto e el que se halla ua pérdida e ua cañería cosiste e hallar la correlació etre el soido que se escucha e dos putos distates coectados a dicho caño, como muestra la Figura. [] Figura. Esquema para detecció de pérdidas e cañerías. A50 -TeSyS Problemas Resueltos Series, 3 y 4 Págia 4 de 6

5 E efecto, si el soido de la pérdida viaja a ua velocidad c, el retardo co el que llegará al primer sesor será L t = c, mietras que llegará al segudo co u retardo igual a L t =. Si las c señales de soido so muestreadas a ua frecuecia F, los retardos discretos puede escribirse L F como N = L F y N = respectivamete. Asumiedo etoces que ambas señales c c cotiee el soido de la pérdida x() y ruido blaco aditivo, resulta que las señales trasmitidas por los sesores so, respectivamete x ) = x( N ) + w ( ) ( ( ) = x( N ) w ( x + ) El Cross-correlator puede etoces, a partir de estas señales, determiar la diferecia c D= N N y luego se puede calcular L = D + ( N N ), determiádose así la posició de F la pérdida e la cañería. a. Explique y justifique como fucioa el Cross-correlator, es decir, como hace para determiar la diferecia N N. b. La utilizació del equipo descripto brida, e u caso real, el resultado que se muestra e la Figura 3. Calcule aproximadamete la diferecia de retardo N N. Figura 3. Resultado e u experimeto real. [] Osama Huaidi ad Alex Wag. PC Multimedia Based Leak Detectio System for Water Distributio Networks. 5th World Coferece o Nodestructive Testig. Roma (Italy) 5- October 000. a. Plateado la correlació cruzada ( cross-correlatio ) etre la señales x () y x () teemos: ( ) = ( + ) ( ) r x x xx = = = [ x( N ) w ( ) ][ x( N ) w ( ) ] = ( ) ( ) ( ) ( ) = x + N x N + x + N w + = = ( ) ( ) ( ) ( ) + w + x N + w + w = dode el primer térmio de está expresió puede simplificarse efectuado u cambio de variable, () A50 -TeSyS Problemas Resueltos Series, 3 y 4 Págia 5 de 6

6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u = N term = x + N x N = x u+ x u+ N N er = u= u= ( ) ( ) ( ) = x u+ x u+ D = r D A partir de u razoamieto aálogo sobre el segudo y tercer térmio de (), llegamos a: ( ) = ( ) + ( ) + ( + ) + ( ) r r D r N r N r xx xx xw wx ww Pero cosiderado que las señales de ruido so de tipo ruido blaco gaussiao, o existe igua relació etre la señal x() y las señales de ruido y etoces podemos descartar el segudo y el tercer térmio de la ecuació aterior y así obteemos: ( ) ( ( )) + ( ) r r N N r xx xx ww Más aú, si evaluamos la correlació cruzada e (N - N ) y si éste es u úmero relativamete r N N y teemos: grade podemos despreciar el térmio ( ) xx w w ( ) ( ( ) ( ) ) = ( 0) r N N r N N N N r xx xx xx b. A partir de la gráfica aterior podemos medir el pico máximo que será el valor D = N - N A50 -TeSyS Problemas Resueltos Series, 3 y 4 Págia 6 de 6