COMPARATIVA ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON MATLAB Y NASTRAN MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Transcripción

1 Univrsidad Carlos III d Madrid Dpartamnto d Ingniría Mcánica PROYECTO FIN DE CARRERA COMPARATIVA ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON MATLAB Y NASTRAN MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Ingniría Técnica Industrial: Mcánica Autor: D. Javir Morno Frnándz Tutors: Dra. Dña. Batriz Lópz Boada Dr. D. Antonio Gauchía Babé Lganés, Sptimbr 9

2

3 ÍNDICE I TRODUCCIÓ...7. Objtivo...8. Estructura dl Proycto...9 ESTADO DEL ARTE.... Prspctiva Histórica d los Elmntos Finitos..... Orígns d los Elmntos Finitos..... Evolución..... Estado Actual D los Elmntos Finitos...4. Áras d Análisis con Elmntos Finitos Análisis d Equilibrio Análisis d Valors Propios Análisis d Propagación...8. Estado d los Elmntos Finitos Para Aplicacions Industrials Actuals... TEORÍA DEL MÉTODO DE LOS ELEME TOS FI ITOS.... Procdimintos gnrals para l cálculo d Elmntos Finitos...4. Método d Dsplazamintos d los Elmntos Finitos Variabls Nodals Básicas Dsplazamintos Gnralizados Rlacions ntr Dsplazamintos y Dformacions..... Ly Constitutiva Ecuacions d Equilibrio (Método d los Trabajos Virtuals) ESTUDIO COMPARATIVO PARA U ELEME TO FI ITO LO GITUDI AL U IDIME SIO AL Introducción al Elmnto Finito Longitudinal Unidimnsional División dl Continuo n Elmntos Finitos Longitudinals unidimnsionals Numración d Nodos y Elmntos Coordnadas y Funcions d Forma Enfoqu d la Enrgía Potncial para un Elmnto Finito Longitudinal Unidimnsional Matriz d rigidz dl Elmnto Finito Longitudinal unidimnsional Ensambl d la Matriz d Rigidz Global y dl Vctor d Carga Nodal Dscripción d la Elaboración dl Modlo Usado para l Estudio Comparativo dl Elmnto Longitudinal unidimnsional Modlado con MATLAB Modlado con FEMAP para l Solvr NASTRAN Cálculo Comparativo dl Elmnto Finito Longitudinal unidimnsional Dsplazamintos Nodals Raccions n los Apoyos Esfurzos n l Elmnto Tnsión n l Elmnto Conclusions dl Estudio Comparativo dl Elmnto Finito Longitudinal unidimnsional ESTUDIO COMPARATIVO PARA U ELEME TO FI ITO LO GITUDI AL BIDIME SIO AL ARTICULADO Introducción al Elmnto Finito Longitudinal Bidimnsional Articulado Sistmas d Coordnada Globals y Locals...6

4 5. Matriz d Rigidz d un Elmnto Longitudinal Bidimnsional Articulado Método para l Cálculo d Tnsions n l Elmnto Longitudinal bidimnsional Articulado Dscripción d la Elaboración dl Modlo Usado n l Estudio Comparativo dl Elmnto Longitudinal Bidimnsional Articulado Modlado con MATLAB Modlado con FEMAP para l Solvr NASTRAN Cálculo Comparativo dl Elmnto Longitudinal bidimnsional Articulado Dsplazamintos Nodals Raccions n los Apoyos Furzas n los Elmntos Tnsión n los Elmntos Conclusions dl Estudio Comparativo dl Elmnto Finito Longitudinal bidimnsional Articulado ESTUDIO COMPARATIVO PARA U ELEME TO FI ITO LO GITUDI AL BIDIME SIO AL RETICULADO Introducción al Elmnto Finito Longitudinal Bidimnsional Rticulado Matriz d Rigidz d un Elmnto Longitudinal Bidimnsional con Dsplazamintos Transvrsals y Rotacionals Matriz d rigidz dl lmnto longitudinal bidimnsional rticulado Cálculo d la Tnsión d Von Miss n l Elmnto Longitudinal Bidimnsional Rticulado Dscripción d la Elaboración dl Modlo Usado para l Estudio Comparativo dl Elmnto Longitudinal Bidimnsional Rticulado Modlado con MATLAB Modlado con FEMAP para l Solvr NASTRAN Calculo Comparativo dl lmnto longitudinal bidimnsional rticulado Dsplazamintos Nodals Raccions n los Apoyos Furzas n los Elmntos Tnsión d Von Miss n los Elmntos Conclusions dl Estudio Comparativo dl Elmnto Finito Longitudinal Bidimnsional Rticulado ESTUDIO COMPARATIVO PARA U ELEME TO FI ITO LO GITUDI AL TRIDIME SIO AL RETICULADO Introducción al Elmnto Finito Longitudinal Tridimnsional Rticulado Matriz d rigidz dl Elmnto Tridimnsional Rticulado Cálculo d la Tnsión d Von Miss n l Elmnto Tridimnsional Rticulado Dscripción d la Elaboración dl Modlo Usado para l Estudio Comparativo dl Elmnto Bidimnsional Rticulado Modlado con MATLAB Modlado con FEMAP para l Solvr NASTRAN Cálculo Comparativo dl Elmnto Tridimnsional Rticulado Dsplazamintos Nodals Raccions n los Apoyos Furzas n los Elmntos Tnsión d Von Miss n los Elmntos...7 4

5 7.6 Conclusions dl Estudio Comparativo dl Elmnto Finito Tridimnsional Rticulado ESTUDIO COMPARATIVO DE U ELEME TO CUADRILÁTERO BIDIME SIO AL ISOPARAMÉTRICO Introducción al Elmnto Finito Cuadrilátro Isoparamétrico Funcions d Forma Matriz d Rigidz dl Elmnto Cuadrilátro Bidimnsional Isoparamétrico Cálculo d la Tnsión d Von Miss n l Elmnto Cuadrilátro Bidimnsional Isoparamétrico Dscripción d la Elaboración dl Modlo Usado para l Estudio Comparativo dl Elmnto Cuadrilátro Bidimnsional Isoparamétrico Modlado con MATLAB Modlado con FEMAP para l Solvr NASTRAN Cálculo Comparativo dl Elmnto Cuadrilátro Bidimnsional Isoparamétrico Dsplazamintos Nodals Raccions n los Apoyos Tnsions n los Elmntos Tnsions Principals n los Elmntos Tnsions d Von Miss n los Elmntos Conclusions dl Estudio Comparativo dl Elmnto Finito Cuadrilátro Bidimnsional Isoparamétrico ESTUDIO COMPARATIVO DE U ELEME TO HEXAÉDRICO TRIDIME SIO AL ISOPARAMÉTRICO Introducción al Elmnto Finito Hxaédrico Tridimnsional Isoparamétrico Funcions d Forma y Matriz d Rigidz Cálculo d la Tnsión d Von Miss n l Elmnto Hxaédrico Tridimnsional Isoparamétrico Dscripción d la Elaboración dl Modlo Usado para l Estudio Comparativo dl Elmnto Hxaédrico Tridimnsional Isoparamétrico Modlado con MATLAB Modlado con FEMAP para l solvr NASTRAN Cálculo Comparativo dl Elmnto Hxaédrico Tridimnsional Isoparamétrico Dsplazamintos nodals Raccions n los Apoyos Tnsions n los Elmntos Tnsión d Von Miss n los Elmntos Conclusions dl Estudio Comparativo dl Elmnto Finito Hxaédrico tridimnsional Isoparamétrico...75 CO CLUSIO ES GE ERALES DEL ESTUDIO COMPARATIVO Trabajos Futuros...78 DOCUME TACIÓ DE REFERE CIA...79 A EXO SOFTWARE USADO E ESTE PROYECTO...8 I. MATLAB...8 I.. Brv Dscripción d MATLAB...8 I.. Vntajas y Dsvntajas d Programar Elmntos Finitos n MATLAB...87 I. NASTRAN con PRE-POST PROCESADOR FEMAP I.. FEMAP...88 I.. NASTRAN...9 5

6 6

7 INTRODUCCIÓN El método d los lmntos finitos (MEF) ha adquirido una gran importancia n la solución d problmas n l campo d la ingniría, d la física, tc., ya qu prmit rsolvr casos qu hasta hac poco timpo ran prácticamnt imposibls d rsolvr por métodos matmáticos tradicionals. Esta circunstancia obligaba a ralizar prototipos, nsayarlos ir ralizando mjoras d forma itrativa, lo qu traía consigo un lvado cost tanto conómico como n timpo d dsarrollo. El MEF prmit ralizar un modlo matmático d cálculo dl sistma ral, más fácil y conómico d modificar qu un prototipo. Sin mbargo no dja d sr un método aproximado d cálculo dbido a las hipótsis básicas dl método. Los prototipos, por lo tanto, sigun sindo ncsarios pro n mnor númro, ya qu l primro pud acrcars bastant más al disño óptimo. En la Figura pud vrs un típico modlo d lmntos finitos d una piza mcánica. Figura : Discrtización mdiant l método d los Elmntos Finitos El método d los lmntos finitos como formulación matmática s rlativamnt nuva; aunqu su structura básica s conocida dsd hac bastant timpo, n los últimos años ha sufrido un gran dsarrollo dbido a los avancs informáticos. Han sido prcisamnt stos avancs informáticos los qu han pusto a 7

8 disposición d los usuarios gran cantidad d programas qu prmitn ralizar cálculos con lmntos finitos. Pro no hay qu llvars a ngaño, l manjo corrcto d st tipo d programas xig un profundo conociminto no sólo dl matrial con l qu s trabaja, sino también d los principios dl MEF. Sólo n st caso s stará n condicions d garantizar qu los rsultados obtnidos n los análisis s ajustan a la ralidad. El principio básico dl análisis mdiant l método d los lmntos finitos, xplicado d una forma simplificada (una dscripción d st principio mucho más dtallada s raliza más adlant n l Capitulo ), consist n qu una rgión complja qu dfin un campo continuo s discrtiza n formas gométricas simpls llamadas lmntos finitos. Las propidads dl matrial y las rlacions gobrnants son considradas sobr stos lmntos finitos y xprsadas n términos d valors dsconocidos n los bords d stos. Un procso d nsambl, una vz considradas dbidamnt las cargas qu van a actuar y las rstriccions, da lugar a un conjunto d cuacions, sindo la solución d stas cuacions la qu da l comportaminto aproximado dl continuo. El método d los lmntos finitos s n ralidad un método numérico matricial, y aunqu ya xistn actualmnt una gran cantidad d programas d cálculo spcíficos qu s usan comrcialmnt para la rsolución d modlos por st método como pudn sr NASTRAN, ANSYS, SINDA, AVACUS,., tc. también xistn otros programas d cálculo gnéricos basados n cálculo matricial qu pudn rsolvr problmas siguindo st método con más o mnos éxito. El ry d los programas d cálculo basado n calculo matricial s MATLAB, con l cual s pudn dsarrollar, si s programan adcuadamnt, admás d muchos otros tipos d cálculo numérico, l método d los lmntos finitos, lo qu l da a st programa una aplicación xtra muy potnt, admás d todas las qu ya tin, ya qu l método d los lmntos finitos hoy por hoy s una d la hrramintas más usada n cálculo structural (dl cuál, s l campo d problmas qu s va a tratar a lo largo d st proycto), cálculo térmico, d fluidos, tc. Lo qu no s sab aún s la fiabilidad d los rsultados qu proporciona MATLAB al ralizar cálculos con lmntos finitos, por lo qu l método más ficaz d avriguar su xactitud s comparar los rsultados qu ofrzca MATLAB con los qu ofrzca un programa d lmntos finitos comrcial spcífico como los qu ants s han mncionado, d los cuals ya stá sobradamnt dmostrado qu sus rsultados tinn una gran prcisión. Así pus, n st proycto sta comparación s ralizará con l solvr spcífico d lmntos finitos NASTRAN, y usando como intrfac gráfica para ést l programa FEMAP.. Objtivo El objtivo d st proycto s comprobar la idonidad d MATLAB para la rsolución d problmas structurals a través dl método d los lmntos finitos, mdiant la comparación ntr los rsultados qu ofrc MATLAB, al rsolvr una sri d problmas structurals con distintos tipos d Elmntos Finitos, con los 8

9 rsultados qu ofrc NASTRAN al rsolvr la misma sri d problmas con los mismos tipos d Elmntos Finitos.. Estructura dl Proycto El contnido d st proycto s structura n los siguints capítulos d la siguint forma: Capítulo : En st capítulo s da una brv introducción al método d los lmntos finitos y s dscrib l objtivo d st proycto. Capítulo : En st capítulo s dscrib l stado d art dl método d los lmntos finitos, qu ngloba una brv xplicación d los inicios y d la volución qu ha sufrido a lo largo d su historia st método d análisis numérico, las áras d análisis n las qu s utiliza st método y las aplicacions mas comuns dl MEF dntro d las aplicacions industrials. Capítulo : En st capítulo s prsnta, n primr lugar, l procdiminto gnral d un modo dtallado, para l cálculo d mdios continuos por l método d los lmntos finitos, y n sgundo lugar s xplica l método spcífico d cálculo dl método d dsplazamintos d los lmntos finitos, sgún l cual han sido programados los algoritmos d MATLAB para st proycto. Capítulo 4: En st capítulo s da una dtallada introducción tórica dl lmnto finito longitudinal unidimnsional. Sguidamnt s dsarrolla un studio comparativo sobr un modlo d una viga mpotrada d scción variabl, ralizado con st tipo d lmnto finito n MATLAB y NASTRAN. Est capítulo s cirra xponindo las conclusions obtnidas tras l studio d los rsultados ofrcidos por sndos programas al analizar l modlo. Capítulo 5: En st capítulo s da una brv introducción tórica dl lmnto finito longitudinal bidimnsional articulado. Sguidamnt s dsarrolla un studio comparativo sobr un modlo d un triangulo cuadrilátro articulado, ralizado con st tipo d lmnto finito n MATLAB y NASTRAN. Est capítulo s cirra xponindo las conclusions obtnidas tras l studio d los rsultados ofrcidos por sndos programas al analizar l modlo. Capítulo 6: En st capítulo s da una brv introducción tórica dl lmnto finito longitudinal bidimnsional rticulado. Sguidamnt s dsarrolla un studio comparativo sobr un modlo d un pórtico rticulado, ralizado con st tipo d lmnto finito n MATLAB y NASTRAN. Est capítulo s cirra xponindo las conclusions obtnidas tras l studio d los rsultados ofrcidos por sndos programas al analizar l modlo. 9

10 Capítulo 7: En st capítulo s da una muy brv introducción tórica d la matriz d rigidz dl lmnto finito longitudinal tridimnsional rticulado. Sguidamnt s dsarrolla un studio comparativo sobr un modlo d un marco tridimnsional rticulado, ralizado con st tipo d lmnto finito n MATLAB y NASTRAN. Est capítulo s cirra xponindo las conclusions obtnidas tras l studio d los rsultados ofrcidos por sndos programas al analizar l modlo. Capítulo 8: En st capítulo s da una dtallada introducción tórica dl lmnto finito cuadrilátro bidimnsional isoparamétrico. Sguidamnt s dsarrolla un studio comparativo sobr un modlo d una placa sblta y dlgada n voladizo, ralizado con st tipo d lmnto finito n MATLAB y NASTRAN. Est capítulo s cirra xponindo las conclusions obtnidas tras l studio d los rsultados ofrcidos por sndos programas al analizar l modlo. Capítulo : En st capítulo s da una brv introducción tórica dl lmnto finito hxaédrico tridimnsional isoparamétrico. Sguidamnt s dsarrolla un studio comparativo sobr un modlo d una viga n voladizo, ralizado con st tipo d lmnto finito n MATLAB y NASTRAN. Est capítulo s cirra xponindo las conclusions obtnidas tras l studio d los rsultados ofrcidos por sndos programas al analizar l modlo. Capítulo : En st capítulo s xponn las conclusions finals obtnidas tras l studio comparativo laborado sobr los distintos tipos d lmntos finitos programados con MATLAB y los posibls trabajos futuros qu dbrían sr llvados a cabo.

11 ESTADO DEL ARTE. Prspctiva Histórica d los Elmntos Finitos El conociminto d la técnica numérica dl método d los Elmntos Finitos, rsulta actualmnt casi imprscindibl para aqullos qu s dsnvulvn tanto n l ámbito d la Ingniría Civil así como n l d la Ingniría Mcánica, ya qu la mayor part d los análisis d tnsions qu s llvan a cabo n la industria stán basados n llas. A psar d su gran difusión actual, l procdiminto d los Elmntos Finitos tal y como s ntindn hoy n día son rlativamnt modrnos. Su naciminto y volución son una conscuncia d la disponibilidad d hrramintas lctrónicas d cálculo cada vz más potnts. Pud dcirs, por tanto, qu l aug d st método numérico n la rsolución d distintos tipos d problmas n l ámbito d la ingniría s un rsultado más d la rvolución informática dsarrollada a lo largo dl siglo XX... Orígns d los Elmntos Finitos El contxto histórico dl método d los Elmntos Finitos (MEF) hay qu iniciarla n la década d los cincunta, cuando l rcién crado ordnador digital hacía por fin posibl l cálculo automático d structuras d barras sin rcurrir a tdiosos procdimintos d rlajación, como l d Cross o l d Kani. S concibió ntoncs una nuva técnica d cálculo, inabordabl sin la ayuda dl ordnador, qu fu bautizada con l nombr d cálculo matricial d structuras", n rconociminto dl papl fundamntal qu dsmpña l álgbra matricial n su formalismo matmático []. S db rcordar qu l cálculo matricial d structuras s basa n la ida d dividir la structura n barras, dntro d las cuals s conoc la solución xacta n función d cirtos coficints qu s hacn coincidir con los movimintos d los nodos xtrmos. Dichos coficints s obtinn plantando l quilibrio d todos los nodos d la structura y rsolvindo l sistma d cuacions qu rsulta. D sta manra, conocidos los coficints o movimintos nodals, s dscind d nuvo al nivl local d cada barra y s obtin la solución d sfurzos y movimintos n l conjunto d la structura por agrgación d solucions locals. El MEF nació como una gnralización d sta ida básica dl cálculo matricial. Cuando s trabajaba con sistmas structurals compljos, qu no s idalizaban bin mdiant ntramados d barras, s pnsó qu s podría dividir su structura n zonas o lmntos" más compljos qu una simpl barra. Estos lmntos starían conctados ntr si también mdiant nodos pro, a difrncia dl cálculo

12 matricial, dntro d llos solamnt s conocía la solución d manra aproximada n función d los movimintos nodals. Al igual qu n l cálculo matricial, a partir d las solucions locals s podía plantar l quilibrio d los nodos y obtnr los movimintos nodals rsolvindo un sistma d cuacions. Estos movimintos nodals dfinían la solución dntro d cada uno d los lmntos" n qu s había dividido la structura y, por agrgación, la solución n toda lla. Lo qu ocurría s qu, ahora, sta solución no ra la xacta, sino una aproximación. El punto d partida dl método d los lmntos finitos, n la qu s publica por primra vz la ida antrior, stá fchada n 956. S trata d un artículo aparcido n una rvista rlacionada con la industria aronáutica []. Así pus, l MEF nació n l ámbito dl cálculo d structuras y sto ha imprgnado toda la trminología asociada al mismo. En un principio s prsntó como un procdiminto d cálculo más, ntr los muchos dsarrollados por ingniros ocupados n rsolvr problmas prácticos. Sin mbargo, durant los años ssnta los invstigadors dscubriron qu la sncia d lo qu había sido una mra gnralización dl cálculo matricial podía utilizars, no sólo para rsolvr problmas d cálculo d structuras, sino también problmas d campo n gnral, tals como problmas d lasticidad o d conducción d calor. La ida básica sguía sindo la misma: la división dl dominio d cálculo n pquños subdominios y la aproximación n llos d la variabl d campo n función d su valor n puntos privilgiados llamados nodos. Aparcía así l MEF modrno. Por otro lado, tras l éxito n las primras aplicacions, s comprobó qu a psar d habr sido dsarrollado con mntalidad práctica (ingniril), l método tnía hondas raícs matmáticas, n la lína dl procdiminto d Ritz [] para obtnr solucions aproximadas d cuacions difrncials o dntro d los llamados métodos d rsiduos pondrados. En su aplicación a la lasticidad, l método podía intrprtars también como una forma aproximada d rsolvr las condicions d quilibrio drivadas dl clásico principio d los trabajos virtuals [4], l cual srá dsarrollado n l capítulo siguint, n l qu s xplican los principios matmáticos d st método. Esta gnralidad mpzó a atrar l intrés d los matmáticos, los cuals contribuyron dcisivamnt a xplicar con rigor las bass dl MEF. Sin mbargo, db hacrs notar qu la contribución d los matmáticos al MEF ha ido simpr muy por dtrás d las aplicacions prácticas. El MEF nació como una hrraminta ingniril y sus línas básicas d dsarrollo han stado simpr muy vinculadas a la prsión d la industria por rsolvr problmas. En muchas tapas d su volución s ha concbido y aplicado con éxito una dtrminada técnica numérica ants d ncontrar su justificación matmática rigurosa. D hcho, s sintomático qu l primr libro important n qu s analiza l MEF dsd l punto d vista matmático s publicara n 97 [5] cuando l método llvaba al mnos quinc años mplándos n la industria y había alcanzado una gran madurz n su aplicación a problmas linals.

13 .. Evolución El MEF alcanza su mayoría d dad hacia finals d los ssnta, con la aparición d los primros programas comrcials. En s momnto ntra n franca comptncia con l único método d cálculo numérico disponibl hasta ntoncs para problmas d campo: l método d difrncias finitas [6]. En l ámbito dl análisis d tnsions n sólidos, l MEF s impuso rápidamnt, ya qu stá libr d las rstriccions d tipo gométrico qu dificultan l uso d los procdimintos clásicos d difrncias finitas n st campo. Al final d la década d los ssnta l MEF había dmostrado ya su potncia y su vrsatilidad, pro su mplo staba todavía muy rstringido dntro d la industria arospacial y d dfnsa, dbido al altísimo prcio d los ordnadors d ntoncs. Empizan a aparcr n aqul momnto los llamados cntros d cálculo", compañías qu vndían timpo d ordnador a usuarios qu carcían d los grands" ordnadors ncsarios para rsolvr problmas industrials. Los cntros d cálculo s organizaban alrddor d un ordnador n l qu s ncontraban instalados, ntr otros, los programas d lmntos finitos. Los ingniros dl cntro proporcionaban al usuario la documntación ncsaria para prparar la ntrada d datos a los programas intrprtar los rsultados qu s producían. El usuario prparaba sus datos y los rmitía al cntro d cálculo, inicialmnt mdiant paquts d tarjtas prforadas y, más tard, mdiant fichros qu s nviaban a través d una lína tlfónica. Los datos s procsaban n l ordnador dl cntro d cálculo y los rsultados l llgaban al usuario al cabo d unos días, normalmnt n forma d trmndos listados d númros qu tardaban también varios días n sr comprobados intrprtados. Los cntros d cálculo tuviron su aug n la década d los stnta. Contribuyron d manra muy important a la popularización dl MEF n industrias como la dl automóvil, la nuclar y la d grands obras civils. Por otro lado, los cntros d cálculo univrsitarios pusiron la infrastructura ncsaria para l norm sfurzo invstigador qu s llvó a cabo n sta década []. Si los años ssnta furon la época d los pionros, los años stnta son los d los grands dsarrollos dl MEF, tanto n tcnología d lmntos como n procdimintos d cálculo y aumnto d prstacions. El númro d publicacions sobr l método crció xponncialmnt y l MEF s aplicó progrsivamnt a problmas cada vz más compljos, como l cálculo d transitorios o l studio d rspustas no linals [7]. Pud dcirs qu al final d la década l dsarrollo d las técnicas numéricas casi s pon por dlant d la potncia d cálculo qu son capacs d proporcionar los ordnadors. Los cntros d cálculo inician su dcliv con la aparición d los llamados mini" ordnadors, a principios d los ochnta. Los avancs tcnológicos prmitiron ponr n l mrcado máquinas comparabls a aqullas d qu disponían los cntros d cálculo, pro a prcios mucho más bajos y con unos costs d

14 mantniminto y xplotación muy infriors. El avanc s hizo vrtiginoso hacia l final d la década, con la aparición d las primras stacions d trabajo", ordnadors pnsados para un solo usuario, con una potncia d cálculo nada dsprciabl, dotadas d capacidads gráficas y con un prcio pquño. Como conscuncia, los ordnadors s trasladan dsd los cntros d cálculo a las oficinas d los ingniros, gracias a sto, s gana una gran autonomía para usar l MEF y xprimntar con él. Durant la década d los ochnta l dsarrollo d las técnicas d lmntos finitos no fu tan spctacular como n los stnta. El sfurzo invstigador puntro s concntró más n stos años n aplicacions dntro dl ámbito no linal, las cuals podían mpzar a sr utilizadas d manra rutinaria gracias a los avancs n la potncia d cálculo. Dond sí hubo un avanc important fu n la popularización dl MEF y n su facilidad d uso, tanto por l abarataminto spctacular d los ordnadors, como por las capacidads gráficas qu proporcionaban. En la década d los ochnta mpizan a comrcializars pr y post-procsadors gráficos para los cálculos d lmntos finitos, sindo st un paso muy important d cara a podr abordar d manra rutinaria y con un mínimo d garantía cálculos tridimnsionals con gomtrías compljas, como las qu aparcn n l disño mcánico. La década d los novnta s caractriza por un abarataminto d los ordnadors impnsabl n la década antrior. Dsd l punto d vista d lo qu ralmnt hac falta para l cálculo por lmntos finitos, s pud dcir qu a finals dl siglo XX rsulta normalmnt más caro l programa d cálculo qu l ordnador qu s ncsita para jcutarlo. Todo lo contrario d lo qu sucdía hac apnas una década ants d lo 9, cuando l vnddor d ordnadors (l hardwar") prácticamnt rgalaba los programas (l softwar") al hacr una vnta. Admás, con mucho, los mayors gastos asociados a un análisis por lmntos finitos no son ya los corrspondints al análisis mismo (amortización dl ordnador y licncia d uso dl programa) sino los d prparación dl modlo intrprtación d rsultados... Estado Actual D los Elmntos Finitos Hoy por hoy l abarataminto d ordnadors, qu comnzó n la década d los 9, y d programas ha contribuido a qu la difusión d las hrramintas d lmntos finitos sa muy grand. Cualquir oficina técnica, por pquña qu sa, las tin a su alcanc. Hay qu dcir a st rspcto qu la difusión d las hrramintas no simpr s corrspond con la adcuada formación para su uso. Hoy n día rsulta rlativamnt frcunt qu s llvn a cabo cálculos por prsonal qu dsconoc casi absolutamnt los fundamntos dl MEF y sus limitacions y qu, por tanto, s incapaz d valuar la bondad d los rsultados qu stá obtnindo. 4

15 Otro aspcto important dl momnto actual s la intgración dl cálculo por lmntos finitos con otras ramas d lo qu s ha dado n llamar Ingniría Asistida por Ordnador ( Computr Aidd Enginring" CAE). En la actualidad todos los programas comrcials xistnts d lmntos finitos, ya llvan incorporada la intgración dl cálculo por lmntos finitos ( Finit Elmnt Analysis" FEA) y l dibujo asistido por ordnador (Computr Aidd Dsign" CAD) d un modo muy avanzado, con l objtivo, simpr, d rducir los timpos d proycto o d pusta dl producto n l mrcado. D hcho, con los programas actuals s prmit la importación d gomtrías dsd programas d disño como pudn sr Catia V5, SolidEdg, SolidWorks,.,tc. Tnindo incluso algunos d stos programas d disño incorporados módulos sncillos y bastant rducidos d cálculo por lmntos finitos Las técnicas d cálculo no linal han alcanzado una madurz suficint como para podr sr mpladas por la industria d forma rutinaria. No tinn aún la difusión alcanzada por los métodos d cálculo linal y rquirn d ordnadors más potnts, pro s mplan ya ampliamnt n campos tals como l studio d la rsistncia a impacto d vhículos ( crashworthinss"), l disño d procsos d conformado d pizas mtálicas (forja, stampación, xtrusión, laminación) y l proycto d componnts lastoméricos. El objtivo s también l mismo, rducir al máximo l númro d prubas con prototipos rals para acortar los plazos d disño o d pusta n l mrcado. No s stá vivindo actualmnt una época d grands avancs n cuanto a las técnicas d cálculo por l método d los lmntos finitos. S sigu invstigando, pro l MEF ha alcanzado ya un grado d madurz qu no s prsta a progrsos spctaculars como los vividos n las décadas antriors. Hoy por hoy, s podrían clasificar las línas d invstigación actuals, a través d las cuals s stá dsarrollando l método d los lmntos finitos, los siguints cuatro puntos: Adaptación d algoritmos d cálculo a las nuvas arquitcturas d ordnadors, con objto d aumntar la vlocidad d cálculo y, por tanto, l tamaño máximo d los problmas abordabls. Dsarrollo d mdidas d rror, mallados autoadaptativos y lmntos d altas prstacions, con objto d aumntar la prcisión y fiabilidad d los rsultados obtnidos por usuarios inxprtos n ntornos d cálculo intgrados con l CAD. Dsarrollo d nuvos lmntos y técnicas d solución ncaminados a aumntar la ficincia, robustz y fiabilidad d los cálculos n l ámbito no linal. 5

16 Modlos numéricos d lys d comportaminto d matrials, sobr todo para la prdicción dl fallo y para la rprsntación dl comportaminto d nuvos matrials.. Áras d Análisis con Elmntos Finitos En l campo d la Ingnira, la Física y las Matmáticas aplicadas, xistn trs áras principals d aplicación, dond l método d los lmntos finitos s usado para rsolvr los análisis, los cuals s pasan a xplicar con dtall a continuación... Análisis d Equilibrio. En los problmas d quilibrio [8] l sistma al cual s l aplica l cálculo no varía con l timpo, sindo claros jmplos d st tipo d cálculo: l análisis d tnsions d sistmas linals lásticos, l análisis stático d sistmas lctrónicos, sistmas magnéticos, sistmas térmicos y sistmas fluidos. Para solucionar st tipo d problmas, mdiant l método d los lmntos finitos, aplicado sobr un sistma structural linal lástico (qu s justo l tipo d problma qu s van a tratar n st proycto) o no linal lástico. La structura primro s divid n distintas rgions finitas no suprpustas conocidas por l nombr d lmntos, sindo stos sobr los cuals las variabls s intrpolan. Estos lmntos s conctan ntr sí por un númro discrto d puntos a lo largo d sus prifrias, stos puntos son conocidos por l nombr d nodos. En la Figura s pud vr l típico modlo d un hrraj n quilibrio con una furza vrtical (flchas rojas aplicada sobr su taladro), ralizado con lmntos finitos para l cálculo d tnsions y dformacions státicas y n la Figura s aprcia la imagn d la dformación dl hrraj producida por las furza aplicada. Figura : Modlo d Hrraj n Equilibrio Con Cargas Estáticas Aplicadas 6

17 Figura : Modlo d Hrraj n Equilibrio Dformado por Causa d las Cargas Aplicadas En l modlo dl hrraj prsntado n las Figura y Figura s usaron 6 lmntos sólidos (hxaédricos) d 8 nodos. La gomtría un tanto complja dl hrraj hac qu sa l típico problma n l cual l uso dl método d lmntos finitos sa muy útil para su solución... Análisis d Valors Propios Dntro d st tipo d problma, s ncuntran los problmas d modos propios y coficints d pando. Est tipo d análisis s una xtnsión d problmas d quilibrio n los qu valors spcíficos o críticos d cirtos parámtros dbn sr dtrminados [9]. La stabilidad d la structura y la dtrminación d las frcuncias naturals d un sistma lástico linal o no linal son jmplos d st tipo d problma. Así por jmplo, n la solución mdiant lmntos finitos d un problma d vibración, cada modo propio o vctor propio dl sistma stá asociado con autovalor. En la Figura 4 s pud obsrvar los trs primros modos propios d una placa n voladizo. 7

18 Figura 4: Trs Primros Modos Propios d una Placa n Voladizo.. Análisis d Propagación Aquí s incluyn los problmas n los qu los rsultados obtnidos volucionan n función dl timpo, n otras palabras s trata d solucions transitorias [8], como son las solucions d problmas dinámicos d structuras linals y no linals, solucions transitorias d flujos térmicos o magnéticos y problmas hidrodinámicos. En la Figura 5 s mustra un jmplo d problma transitorio d flujo térmico [], n l qu s pud aprciar la volución d la tmpratura para cuatro instants dtrminados, ordnados d forma scuncial d izquirda a drcha y d arriba abajo, n una piza mcánica, la cual rcib un flujo d calor n su zona suprior, mintras qu las condicions d contorno s la aplican n su bas (simulando l contacto con l sulo), 8

19 Figura 5: Scuncia d Distintos Instants d Timpo n la Evolución d Distribución d Tmpraturas l Modlo d un Hrraj Somtido a una Carga Térmica El éxito dl método d los lmntos finitos como ayuda para l dimnsionado d disños, dpnd totalmnt d disponr d una hrraminta capaz d rsolvr sistmas d cuacions linals y no linals muy grands con ficincia. Como s pud suponr, los ordnadors actuals son la hrraminta básica con la qu s pud usar st método d cálculo d un modo satisfactorio. 9

20 . Estado d los Elmntos Finitos Para Aplicacions Industrials Actuals Hoy n día la aplicación industrial mayoritaria dl MEF s l cálculo d tnsions n sólidos y structuras. En sta parcla prácticamnt no s usa otro procdiminto numérico. Para problmas muy concrtos, tals como los rlacionados con dominios infinitos (acústica, sulos) o l studio d fracturas, s posibl qu n un futuro l Método d los Elmntos d Contorno (MEC) puda dsplazar al MEF, por sr intrínscamnt más adcuado. Sin mbargo, l conociminto y l uso dl MEC, no ya n la industria, sino incluso dntro d los ambints docnts, son mínimos. No parc, ni siquira a mdio plazo, qu l MEC puda jugar un papl significativo n la práctica industrial. Dntro dl cálculo d tnsions hay qu distinguir ntr dos tipos gnrals d aplicacions: l cálculo linal y l no linal. La gran mayoría d los usuarios dl MEF n la actualidad, n torno al 8%, raliza cálculos linals. Las técnicas d cálculo linal stán lo suficintmnt maduras y probadas como para qu pudan mplars d modo gnralizado sin apnas incrtidumbrs n cuanto a los rcursos ncsarios para llgar al rsultado. El cálculo linal d tnsions, tanto stático como dinámico, s utiliza sobr todo n la fas d disño o d proycto, dond s busca hacr un uso ficint dl matrial y, n ocasions, justificar l cumpliminto d una normativa o código d buna práctica. Su uso stá muy difundido n l proycto d lmntos mcánicos y structuras compljas. S utiliza mucho también n l studio d vibracions. Por otro lado, los cálculos linals por lmntos finitos jugan un papl dstacado n los procsos d crtificación d componnts n la industria nuclar o aronáutica. El cálculo y la visualización d los rsultados prmitn al ingniro ntndr mjor l funcionaminto d sus disños y, n conscuncia, optimizarlos. En st sntido, l cálculo linal ha sustituido casi compltamnt a los nsayos y prubas d prototipos n qu s basaba buna part dl disño mcánico hac sólo unas décadas. En comparación a los nsayos y prubas d prototipos, l cálculo mdiant Elmntos Finitos s más barato y admás s mucho más rápido intractivo. Otra d las grands vntajas d st tipo d análisis s qu prmit ralizar muchas prubas d forma rápida y ficint lo qu facilita normmnt la compntración ntr l proyctista y su disño. En dtrminados sctors industrials, la no linalidad d los cálculos s d ncsaria aplicación, ya qu s part intrínsca dl comportaminto qu intnta simulars. Es l caso normalmnt d la industria d dfnsa (balística trminal), la ingniría d dtrminados procsos d fabricación (conformado d mtals y vidrio), la industria d componnts lastoméricos (juntas d goma, soports d caucho-mtal), las aplicacions gotécnicas o l studio d la sguridad a impacto d vhículos ( crashworthinss"). Es n stas áras dond s ncuntra más difundido l cálculo no linal d tnsions utilizando l MEF.

21 En círculos más minoritarios, l cálculo no linal d tnsions s utiliza también n la invstigación d causas d accidnts (ingniría forns).

22

23 TEORÍA DEL MÉTODO DE LOS En st capítulo s da una xplicación técnica y dtallada sobr l método d los lmntos finitos, ya qu para la programación qu ha sido dsarrollada con MATLAB, fu ncsaria como s lógico, la aplicación d las cuacions qu gobirnan st método d análisis numérico. El método d los lmntos finitos s básicamnt un método gnral para la solución d problmas d contorno gobrnados por cuacions difrncials ordinarias o parcials. En sncia s trata d una técnica qu sustituy l problma difrncial por otro algbraico aproximadamnt quivalnt, para l cual s conocn técnicas gnrals d rsolución. Para llo, s hac uso d la "discrtización" o subdivisión d una rgión sobr la cual stán dfinidas las cuacions n formas gométricas simpls dnominadas lmntos finitos. Las propidads d los matrials y las rlacions gobrnants n stos lmntos (propidads físicas dl mdio continuo) s xprsan n función d los valors dsconocidos n los xtrmos d los lmntos o nodos (vr Figura 6). Una d las vntajas d st método s su facilidad d implmntación n un programa computacional, qu a su vz s una condición básica para su utilización ya qu para l trataminto d un problma n particular db fctuars un númro muy lvado d opracions para rsolvr sistmas algbraicos dl ordn d cintos o mils d cuacions. No obstant, sta cantidad no s una limitación con los ordnadors qu xistn actualmnt. Figura 6: Ejmplo d Discrtización d un Mdio Continuo.

24 . Procdimintos gnrals para l cálculo d Elmntos Finitos A lo largo d st proycto, l dsarrollo dl método d los lmntos finitos s limitará a la aplicación d problmas d quilibrio linal, d hcho dntro d st tipo d problmas solamnt s considrarán los qu s aplican al método d dsplazamintos d lmntos finitos para análisis structural. Aunqu sólo s van st tipo d problmas a lo largo dl dsarrollo d st proycto, todas las similituds qu xistn ntr los varios tipos d problmas d quilibrio linal, djan ntrvr con bastant claridad cómo s ralizarían l rsto d problmas d quilibrio linal qu xistn, como son los ants mncionados d modos propios y d propagación. Para dfinir los términos, a continuación s prsntarán brvmnt los términos básicos dl método d los lmntos finitos. En cualquir mdio continuo l númro d grados d librtad s infinito y aunqu una forma aproximada d cálculo s posibl, un análisis xacto (con las hipótsis corrspondints) s dl todo imposibl. Para cualquir aproximación numérica una solución aproximada s pud llgar a alcanzar, si s supon qu la xistncia d mdio continuo s pud rprsntar mdiant un númro finito d incógnitas; d hcho, como ya s mncionó con antrioridad, n l método d los lmntos finitos l mdio continuo s dividido n una sri d lmntos, los cuals stán conctados ntr sí, por un númro finito d puntos, qu son llamados nodos. Est procso d dividir l mdio continuo n una sri d lmntos finitos, s conocido como discrtización dl continuo, y las típicas subdivisions s pudn aprciar n las figuras ya mostradas n l Capitulo (Figura, Figura, Figura 4 y Figura 5). Para aplicacions d cálculo structural, las cuacions gobrnants d quilibrio s pudn obtnr minimizando la nrgía potncial dl sistma [7]. Así pus, la nrgía potncial total, π, pud sr xprsada como: T T T π = [ ] dv [ ] p dv [ ] q ds σ ε V δ V δ (.) S Dond: σ ε δ p q = Vctor d tnsions. = Vctor d dformacions. = Dsplazamintos n cualquir punto. = Furzas unidad d volumn. = Furzas suprficials. 4

25 Como s pud aprciar n la fórmula, las intgrals s toman sobr l volumn d la structura n l caso d las dos primras intgrals y sobr la suprfici cargada n l caso d la última. El primr término dl lado drcho d la cuación (.) s la nrgía d dformación intrna d la structura, l sgundo y l trcr término son, rspctivamnt, las contribucions dl trabajo ralizado por las furzas d volumn y por las furzas suprficials. En l método d dsplazamintos d los lmntos finitos [], s asum qu los dsplazamintos tinn valors dsconocidos n los puntos d control, s dcir, n los puntos nodals; así pus stos dsplazamintos nodals srán las incógnitas dl problma. El rsto d dsplazamintos n cualquir punto dntro dl lmnto s dscrib n términos d los valors d los puntos nodals mdiant funcions d intrpolación, así pus: δ = δ (.) Dond: N δ δ = Grupo d funcions d intrpolación. = Vctor d dsplazamintos d cualquir punto dntro dl lmnto. = Vctor d dsplazamintos n los puntos nodals dl lmnto. Las dformacions dntro dl lmnto pudn sr xprsadas n rlación a los términos d los dsplazamintos nodals como: ε δ = B (.) Dond: ε = Dformacions dntro dl lmnto. B = Matriz d dformacions. δ = δ vctor dsplazaminto d los puntos nodals. 5

26 Finalmnt, las tnsions n l lmnto, pudn sr rlacionadas con las dformacions usando la matriz d lasticidad d la forma siguint: σ = Dε (.4) Dond: σ D = Tnsions dntro dl lmnto. = Matriz d lasticidad. ε = Dformacions dntro dl lmnto. Una vz qu s obtin d forma corrcta los términos d la matriz d dformacions, d modo qu no s produzcan singularidads a la hora d intgrarlas, la nrgía potncial total dl todo l mdio continuo s la suma d las contribucions d la nrgía potncial d cada uno d todos los lmntos finitos qu conforman l mdio continuo. Así pus: π = π (.5) Dond: π = Enrgía potncial total dl mdio continuo. π = Enrgía potncial d cada lmnto finito. Con las rlacions (.) y (.) s pud xprsar la nrgía potncial d cada lmnto finito d la siguint manra: π T T T T = [ ] [ B] D B dv [ ] [ ] p dv [ ] δ δ V δ V δ S T [ ] T q ds (.6) Dond: V S = Volumn dl lmnto finito. = Suprfici cargada dl lmnto finito. 6

27 Ahora, l siguint paso consist n minimizar la nrgía potncial con rspcto a los dsplazamintos d los nodos, para lo cual s driva la nrgía potncial d los lmntos n función dl dsplazaminto d sus nodos, como s pud vr a continuación: π δ = V T T T ([ B ] D B) δ dv [ ] p dv [ ] q ds V S (.7) También s pud xprsar la minimización d la nrgía potncial d la siguint forma: π δ = K δ F (.8) Dond: F K = Furzas nodals quivalnts n cada lmnto. = Matriz d rigidz d cada lmnto. Rlacionando (.7) con (.8), s pud dducir qu: Y también: T ] p dv + T F = [ [ ] q ds (.9) V S K T = ([ B] D B) dv (.) V A continuación si s suman todos los términos d la cuación (.7) para todo l mdio continuo y s iguala a cro, s obtin como rsultado un sistma d cuacions d quilibrio para todo l mdio continuo rprsntado mdiant lmntos finitos. Estas cuacions s rsulvn por cualquira d las técnicas habituals, obtnindo como rsultado los dsplazamintos d los nodos. Una vz qu s ha prsntado l procdiminto gnral para l cálculo d lmntos finitos, s pud pasar a prsntar cuals son los pasos a sguir para 7

28 obtnr la solución d un problma d Elmntos Finitos d un modo mtódico, sindo stos pasos los qu s puntualizan a continuación: Sub-división dl mdio continuo qu s quir studiar n Elmntos Finitos. Evaluación d las rigidcs d los lmntos y los términos d carga sobr l mdio continuo. Ensamblaj d las rigidcs d los lmntos y d los términos d carga. Solución dl sistma simultáno d cuacions linals rsultant, para la obtnción d los dsplazamintos nodals. Obtnción d las tnsions n los Elmntos Finitos a través d los dsplazamintos nodals.. Método d Dsplazamintos d los Elmntos Finitos.. Variabls Nodals Básicas Dsplazamintos Gnralizados Aunqu a lo largo d st proycto solamnt s tratn aplicacions d problmas structurals, aun prmanc abirta la opción para lgir como variabl nodal las tnsions. Por st motivo los problmas structurals pudn sr plantados d distintas manras. También cabría la posibilidad d mzclar tnsions y dsplazamintos como variabls nodals dntro d un mismo problma. Si s scog la opción d los dsplazamintos como variabls nodals dl problma a tratar, qu s como srán tratados los distintos problmas n st proycto, obtnindo por lo tanto las tnsions a partir d la obtnción d stos dsplazamintos, l procso d rsolución s llamado método d dsplazamintos []. Los pasos principals qu s sigun para su dsarrollo han sido xplicados con antrioridad n l apartado.. Altrnativamnt, como s comntaba ants, también s posibl procdr con las tnsions como las variabls nodals, lo qu s llamado método d quilibrio. Si los dsplazamintos y las tnsions son lgidos a la vz como variabls nodals, ntons l método s llamará d rsolución mixto o hibrido. Los dsplazamintos nodals también suln sr llamados dsplazamintos gnralizados, ya qu como s vin dicindo dsd un principio, con l método d los lmntos finitos no s obtinn dirctamnt los dsplazamintos d todo l curpo continuo, sino qu sólo s pudn obtnr los dsplazamintos d los 8

29 puntos dl curpo continuo qu s rprsntn dntro dl modlo y dond s aplicarán los dsplazamintos como variabls. Así por jmplo n la Figura 7 dond s mustra la rprsntación d un lmnto cuadrilátro d dos dimnsions, s pudn vr las dirccions d los dsplazamintos n l nodo gnérico i y d las furzas aplicadas sobr l mismo, las cuals son llamadas furzas gnralizadas por l mismo motivo qu los dsplazamintos gnralizados. y i, P Yi x i, P Xi Nodo gnrérico i Y X Figura 7: Elmnto Finito Cuadrilátro con Rprsntación d Furza y Dsplazamintos n l Nodo i Los dsplazamintos y las furzas gnralizadas para cada lmnto, pudn sr scritos d la siguint forma: δ δ δ. =.. δ n F F F. =.. Fn (.) Dond: δ F = Vctor d Dsplazamintos Gnralizados n cada lmnto. = Vctor d Furzas Gnralizadas n cada lmnto. 9

30 S asum qu, dpndindo dl tipo d Elmnto Finito lgido, variarán la cantidad d puntos nodals dl Elmnto, al igual qu los grados d librtad qu stos posan. Así por jmplo, para un lmnto cuadrilátro d dos dimnsions, xistirán 4 puntos nodals con dos grados d librtad cada uno, y s rprsntarán d la siguint manra los dsplazamintos y furzas aplicadas sobr un nodo gnérico: ui pxi δ i =, F i = v (.) i p yi Dond: δ i u i v i F i = Vctor d Dsplazamintos Gnralizados d un Nodo. = Componnt cartsiano n dircción X dl Vctor d Dsplazamintos d un nodo gnralizado. = Componnt cartsiano n dircción Y dl Vctor d Dsplazamintos d un nodo gnralizado. = Vctor d Furzas Cartsianas d un Nodo Gnralizado. Como ya s ha xplicado n l apartado., los dsplazamintos dntro d los lmntos finitos s xprsan n función d los dsplazamintos nodals. Está rlación ntr los dsplazamintos dntro dl lmnto y los dsplazamintos nodals s xprsa a través d las funcions d forma [], tal y como s xprsa n la siguint cuación: u = δ i (.) n δ δ i v = = i= Dond: δ = Vctor d Dsplazamintos d un punto cualquira dntro dl lmnto. Ni = Funcions d forma. N = [N, N,......, N n ].

31 Admás, lo corrcto s xprsar las funcions d forma d la siguint manra: = I (.4) i i Dond: I = Es una matriz idntidad d r columnas por r filas, sindo r l númro d variabls por nodo. Cualquir función d forma N i qu sa utilizada n la rsolución dl problma, db tnr un valor unitario cuando s insrtan n la función los valors d las coordnadas dl nodo i y db sr cro cuando s insrtan las coordnadas d cualquir otro nodo dl lmnto... Rlacions ntr Dsplazamintos y Dformacions Ants d pasar a dtrminar la rlación ntr las furzas gnralizadas y los dsplazamintos gnralizados, qu da como rsultado l sistma d cuacions dond s calculan los dsplazamintos nodals, los cuals son l objtivo final d st método qu s stá dsarrollando, s ncsario podr stablcr las dformacions n términos d los dsplazamintos. Las dformacions dntro d los lmntos finitos, s xprsan corrctamnt n términos d las drivadas d los dsplazamintos. Así, por jmplo, n un caso tnsional plano, como s l caso dl lmnto cuadrilátro plano, n l qu cada uno d sus 4 nodos tin dos grados d librtad, las dformacions s dfinn como: ε u x = = v x ε ε y (.5) y γ xy u v + y x Dond: ε = Vctor d Dformacions d un punto cualquira dntro dl lmnto. ε x = Componnt cartsiano n dircción X dl Vctor d

32 Dformacions d un punto cualquira dntro dl lmnto. ε y = Componnt cartsiano n dircción Y dl Vctor d Dformacions d un punto cualquira dntro dl lmnto. γ xy = Componnt d la dformación angular dl Vctor d Dformacions d un punto cualquira dntro dl lmnto. Ahora, sustituyndo la xprsión d los dsplazamintos por la d la cuación (.), da como rsultado: n ε B δ = Bi i= = δ (.6) i Dond: i x B i = i y y x i i (.7) En la xprsión (.7), las dformacions dl lmnto stán xprsadas n términos d los dsplazamintos nodals. A partir d ahora, cada vz qu s nombr a la matriz B a lo largo dl txto, srá rfrida como la matriz d dformacions... Ly Constitutiva La rlación ntr las tnsions y las dformacions dpndn otra vz d la aplicación qu s vaya a llvar a cabo. Para un stado tnsional plano s fácil d vrificar qu las dformacions pudn sr xprsadas n términos d las componnts d la tnsión como:

33 v ε x ε x = σ x σ y E E ε y ε y = σ y E v σ x E (.8) γ xy γ xy = ( + ν ) E τ xy Dond: σ x σ x τ xy E υ = Componnt cartsiano n dircción X dl Vctor d Tnsions. = Componnt cartsiano n dircción X dl Vctor d Tnsions. = Componnt d la tnsión tangncial dl Vctor d Tnsions. = Módulo d lasticidad. = Módulo d Poisson. Admás, s dnotan con los símbolos, ε x, ε y, τ xy, a las componnts d las dformacions inicials dl sólido. Estas dformacions inicials dbrían sr intrprtadas físicamnt, por jmplo, como dformacions producidas n l sólido por fctos térmicos o como dislocacions n la structura intrna d st. Así pus, cuando (.8) s dsarrollada para la obtnción d tnsions, valindo también para la obtnción d tnsions inicials σ distribuidas por l sólido ants d qu ninguna carga xtrna haya sido aplicada sobr st, s pud scribir la cuación d la siguint manra: ( ε ε ) σ = D + σ (.9) Dond: υ E D = υ (.) υ υ

34 A través d sta matriz D, las tnsions son totalmnt dfinidas a partir d los términos d las dformacions...4 Ecuacions d Equilibrio (Método d los Trabajos Virtuals) En l Método d los Trabajos Virtuals s considra qu l quilibrio d un lmnto n l qu, admás d sr aplicadas furzas n sus corrspondints nodos, también l son aplicadas furzas distribuidas sobr su volumn. Estas furzas distribuidas sobr l volumn dl lmnto rprsntan, por jmplo, la furza d la gravdad o una furza cntrífuga. Est tipo d cargas distribuidas para un caso tnsional plano s rprsntan como s mustra a continuación: X P = (. ) Y Dond: P X Y = Vctor d Furzas por Unidad d Volumn. = Es la componnt cartsiana n la dircción X d las Furzas d por Unidad d Volumn. = Es la componnt cartsiana n la dircción Y d las Furzas por Unidad d Volumn. Las cuacions gobrnants d un lmnto ya han sido introducidas n l apartado. dond s drivaban stas funcions para lugo procdr a minimizarlas, lo cual da lugar a la obtnción d la nrgía potncial total dl continuo para aplicacions structurals. Una aproximación altrnativa a la ya dsarrollada para la obtnción d las cuacions gobrnants, s pud llvar a cabo a través d una sncilla aplicación dl Torma d los Trabajos Virtuals. Para dsarrollar sta nuva aproximación, s drivan las cuacions, pro n st caso incluyndo los términos d tnsions inicials y dformacions inicials. Para mpzar a dsarrollar l Torma d los Trabajos Virtuals, s considra un único lmnto finito, l cual stá somtido a la aplicación d furzas nodals y furzas d volumn, lo qu rsulta n un campo d tnsions quilibradas n l susodicho lmnto. Ahora, s tin qu suponr qu st lmnto stá sujto a un patrón arbitrario d dsplazamintos nodals virtuals, l cual tin qu rsultar compatibl tanto para los dsplazamintos qu s producn dntro dl lmnto, así como para su distribución d dformacions. Por lo qu, l principio d los trabajos virtuals rquir qu: 4

35 t T T [ δ * ] F [ δ * ] p dv = [ ε* ] σ dv + (. ) V V Dond: δ * F = Dsplazaminto Nodal Virtual. = Furzas Nodals. p = Furzas d Volumn. δ * ε * σ = Dsplazamintos Intrnos. = Distribución d dformacions. = Campo d tnsions quilibradas. En sta cuación la intgración s raliza sobr los lmntos d volumn. Si s sustituyn algunos términos por los usados n las cuacions (.) y (.6), da como rsultado lo siguint: t t { p dv } [ δ ] [ B] dv t t [ δ ] F [ ] + = (.) * * σ V V Ya qu l sistma d dsplazamintos nodals s arbitrario, la xprsión antrior db mantnrs para todos los valors d δ. Por lo tanto: F V * t t [ ] p dv [ B] σ dv + = (.4) A continuación, si sustituy n la cuación (.4) l término dl campo d tnsions por su xprsión d la cuación (.9) y admás s usa las xprsions qu rlacionan las dformacions con los dsplazamintos nodals d la cuación (.6), s obtin la xprsión qu s mustra a continuación: V F V t t { D BdV } [ B] D ε dv [ B] dv t t [ ] p dv = [ B] + + δ σ (. 5) V V V 5

36 La cuación (.5), también s pud scribir d la siguint forma: F + Fp + F + F = K δ (.6) ε σ Dond: K V t [ B] D B dv = (.7) F F ε F t [ ] p dv = (.8) p V V t [ B] D dv = (.9) ε σ V t [ B] dv σ = (.) S db puntualizar qu las xprsions dsd la (. ) hasta la (.6), solamnt son validas si s aplican sobr un único lmnto finito. Si s dsa considrar más d un lmnto finito, los términos d stas cuacions dbrán sr aplicados sobr todos y cada uno d los lmntos qu forman la structura complta. Las siguints xprsions, qu van dsd la cuación (.7) hasta la cuación (.), dfinn rspctivamnt la matriz d rigidz dl lmnto, las furzas nodals, las furzas quivalnts nodals qu rprsntan las furzas d volumn, las dformacions inicials y las tnsions inicials. En st dsarrollo dl Torma d los Trabajos Virtuals aplicado al método d los lmntos finitos, s pud aprciar qu n l cuación (.7), la matriz d rigidz dl lmnto finito s idéntica a la ya obtnida antriormnt n la cuación (.9), y también s obsrva qu las furzas quivalnts nodals qu rprsntan las furzas d volumn n la cuación (.8) son cohrnts con los términos corrspondints d la cuación (.9). Como ya s xplicó con antrioridad n l apartado., la cuación (.7) s para un lmnto aislado, por lo qu s db procdr a un procso d nsamblaj d todas las matrics d rigidz d cada lmnto qu conforman l total d la structura y rsolvrlo por l método d dsplazamintos. 6

37 4 ESTUDIO COMPARATIVO PARA UN ELEMENTO FINITO LONGITUDINAL UNIDIMENSIONAL 4. Introducción al Elmnto Finito Longitudinal Unidimnsional El lmnto finito llamado BAR D s uno d los más básicos qu xistn, por lo qu parc lógico qu l studio comparativo dl proycto s mpic por él. En l lmnto finito longitudinal unidimnsional las coordnadas globals y locals dl lmnto coincidn. Est tipo d lmnto finito longitudinal unidimnsional stá caractrizado por sus funcions d forma linals, las cuals srán studiadas con dtall a lo largo d st capítulo, por las propidads físicas qu lo dfinn, sindo stas: l módulo d lasticidad, la longitud y la scción. Cada lmnto finito longitudinal unidimnsional stá dlimitado por dos puntos nodals, n los cuals s obtinn los datos d dsplazaminto y una vz obtnidos stos, s pudn obtnr los sfurzos y las tnsions n l lmnto finito. Para l lmnto finito longitudinal unidimnsional srán usados n su dsarrollo la minimización d la nrgía potncial y las rlacions d sfurzo-dformación unitaria y dformación unitaria-dsplazaminto. En l problma unidimnsional, l sfurzo, la dformación unitaria, l dsplazaminto, y la carga dpndn sólo d la variabl x por lo qu: u = u ( x ), σ = σ ( x ), ε = ε ( x ) T = T ( x ), p = p ( x ) (4.) Dond: u = Vctor d dsplazamintos. ε = Vctor d dformacions unitarias. σ = Vctor d tnsions. p = Vctor d furzas d curpo. 7

38 T = Vctor d d tracción o comprsión. Las rlacions sfurzo-dformación unitaria y dformación unitariadsplazaminto son: σ = Eε, du ε = (4.) dx Dond: E = Módulo d Young. Tnindo n cunta qu l problma qu s va a tratar ahora s unidimnsional, la difrncial d volumn s scrib d la siguint manra: dv = A dx (4. ) Dond: A = Scción transvrsal dl lmnto finito. Las cargas qu s pudn simular sobr st lmnto pudn sr d trs tipos, furza d curpo f, furza d tracción o comprsión T y carga puntual P, st último tipo d carga s l qu s aplica n l modlo d st lmnto finito qu s dsarrolla n st capítulo para l studio comparativo ntr Matlab y Nastran. Una furza d curpo s una furza distribuida qu actúa sobr todo l volumn lmntal dl curpo, un jmplo d st tipo d furza s l propio pso dbido a la gravdad. Una furza d tracción o comprsión s una carga distribuida qu actúa sobr la suprfici d un curpo, sindo la rsistncia por fricción, la rsistncia viscosa y l cortant suprficial jmplos d furzas d tracción. Finalmnt P s una furza qu actúa n un punto dtrminado i y u i s l dsplazaminto x d dicho punto. Sguidamnt s pasa a considrar la modlización por lmntos finitos longitudinal unidimnsionals, sindo la ida básica la discrtización d la rgión a modlar mdiant stos lmntos, y xprsar l campo d dsplazamintos n términos d valors n puntos discrtos. 8

39 4. División dl Continuo n Elmntos Finitos Longitudinals unidimnsionals A continuación s considra, qu l continuo a modlar s una barra mpotrada d scción variabl como la qu s rprsnta n la Figura 8. Figura 8: Viga mpotrada d scción variabl El primr paso s modlar la barra mpotrada con un númro discrto d lmntos finitos, cada uno d los cuals tin una scción transvrsal uniform ya qu st tipo d lmnto finito no pud sufrir variacions d scción. Así pus, la discrtización d la barra mpotrada s raliza con trs lmntos finitos longitudinals unidimnsionals (como s v claramnt n la Figura 9), cada uno d los cuals, con una scción transvrsal igual a la mdia d la scción variabl d la zona d barra qu rprsntan. 4 Figura 9: Viga discrtizada con trs lmntos d scción constant 9

40 El modlo rsultant quda ntoncs formado por trs lmntos y cuatro nodos. Como s pud aprciar n la Figura 9, cada lmnto finito longitudinal unidimnsional stá concta a dos nodos. 4. Numración d Nodos y Elmntos La similitud d los divrsos lmntos s una razón por la qu l método d los lmntos finitos s muy adcuado para sr dsarrollado mdiant ordnador. Para su fácil implantación db adoptars un squma ordnado d numración para sus nodos y lmntos. En un problma unidimnsional los nodos sólo s pudn dsplazar n la dircción ±x, por lo qu cada nodo sólo tin un grado d librtad. Por lo tanto, l modlo qu s mustra como jmplo tin cuatro grados d librtad. Como cada lmnto tin dos nodos, l modo más lógico d numrar los nodos y los lmntos s l qu s pud vr n Figura y n la Tabla. 4 Figura : Numración d lmntos y nodos Elmntos odos 4 Tabla : Numración d lmntos y nodos 4.4 Coordnadas y Funcions d Forma Para podr xplicar las coordnadas y las funcions d forma dl lmnto finito longitudinal unidimnsional, s toma como jmplo un lmnto aislado como l qu s mustra n la Figura, sindo la numración d los nodos d st lmnto finito y. 4

41 lmnto X X X Figura : Coordnadas dl lmnto finito unidimnsional S usa la notación x como la coordnada x dl nodo y x como la coordnada x dl nodo, y s dfin un sistma coordnado intrínsco al lmnto, dnotado por ξ como: ξ = ( X ) X X X (4.4), En la Figura s pud obsrvar qu l sistma d coordnadas intrínsco toma l valor ξ=- n l nodo y l valor ξ= n l nodo. La longitud d un lmnto s cubr n su totalidad cuando ξ cambia dsd - hasta. S usa st sistma d coordnadas cuando s dfinn funcions d forma, las cuals intrpolan l campo d dsplazamintos dntro dl lmnto finito. lmnto ξ ξ = - ξ= Figura : Coordnadas intrínscas dl lmnto longitudinal unidimnsional El campo d dsplazaminto dsconocido dntro d un lmnto s intrpola a través d una distribución linal, la cuál s implmntada usando funcions d forma. Cuantos más lmntos s usn para ralizar un modlo d lmntos finitos, más aproximada rsulta la intrpolación linal para dscribir l campo d 4

42 dsplazamintos total dl modlo. Las funcions d forma qu s utilizan para sta intrpolación son las siguints: ( ξ ξ) = (4.5) ( + ξ ζ ) = (4.6) Las funcions d forma N y N s pudn vr n la Figura y Figura 4. Las gráficas d las funcions d forma N y N s obtinn d las cuacions ants xpustas y s pud obsrvar fácilmnt qu N = para ξ=- y qu N = para ξ=, qu s justo lo contrario qu pasa para la gráfica d la función d forma N. En ambos casos las cuacions d forma dscribn una rcta ntr stos dos puntos. ξ = ξ = ξ = ξ = Figura : Función d forma N ξ +ξ = Figura 4: Función d forma N ξ 4

43 Una vz dfinidas las funcions d forma N y N, l campo d dsplazaminto linal qu s origina dntro dl lmnto pud scribirs n términos d los dsplazamintos nodals como s xprsa n la cuación: u = + q (4.7) q Dond: u = Campo d dsplazaminto linal dl lmnto finito longitudinal unidimnsional. q = Dsplazaminto dl nodo. q = Dsplazaminto dl nodo. En la Figura 5, s pud vr la gráfica qu rflja l campo d dsplazamintos dntro d un lmnto finito longitudinal unidimnsional. u u = + q q q q q q Figura 5: Intrpolación Linal ntr N y N ξ En notación matricial s pud xprsar la cuación dl campo d dsplazaminto linal d la siguint manra: u = q (4.8) 4

44 Dond: = [, ]. [ ] t q q, q =. El vctor q s llamado vctor d dsplazamintos dl lmnto. Ahora, una vz dfinidas las cuacions d forma dl lmnto, pud vrs fácilmnt qu la trasformación d x a ξ n la cuación (4.4), pud scribirs n términos d las funcions d forma N y N como: x = + x (4.9) x Si s compara sta última cuación con la cuación qu dscrib l campo d dsplazaminto linal, s obsrva qu tanto l dsplazaminto u como la coordnada x son intrpoladas dntro dl lmnto, usando las mismas funcions d forma. Esto s lo qu s llama formulación isoparamétrica. En gnral las funcions d forma, ya san linals o cuadráticas, dbn cumplir simpr lo siguint: Sus primras drivadas dbn sr finitas dntro dl lmnto. Los dsplazamintos dbn sr continuos a través d la frontra dl lmnto. Los movimintos dl curpo rígido no dbn gnrar ningún sfurzo n l lmnto. Una vz dfinido l lmnto finito longitudinal unidimnsional n coordnadas globals intrínscas, y hallado l campo d dsplazamintos dl lmnto finito a través d las funcions d forma; l siguint paso s dfinir la rlación dformación unitaria-dsplazaminto, qu no s más qu la drivada dl dsplazaminto n función d la coordnada n la qu st s produc. Así pus, usando la rgla d la cadna d difrnciación sobr sta xprsión rsulta lo siguint: du dξ ε = (4.) dξ dx D la rlación qu s mustra n la cuación (4.4), ntr x y ξ s planta lo siguint: 44

45 dξ = dx x x (4.) Admás, como: ξ + ξ u = q + q = q + q (4.) La cuación (4.) quda d la siguint manra una vz drivada: ε = ( q + q ) (4.) x x La rlación antrior también s pud scribir para dfinir d forma gnérica las rlacions ntr dsplazamintos nodals y dformacions (tal y como s mncionó n la scción..), d la siguint manra: ε = Bq (4.4) En st caso la matriz B s spcífica para un lmnto finito longitudinal unidimnsional, y stá dada por: B = [,] x x (4.5) El rsultado d usar funcions d forma linals s por lo tanto una matriz d dformacions, sto indica una dformación unitaria constant dntro dl lmnto finito. El sfurzo d la ly d Hook s pud scribir como s mustra a continuación: σ = E B q (4.6) 45

46 El sfurzo también s constant como s d suponr dntro dl lmnto. Sin mbargo, para fins d intrpolación l sfurzo qu s ha obtnido n la xprsión antrior, pud considrars como l valor d st n l cntroid dl lmnto. 4.5 Enfoqu d la Enrgía Potncial para un Elmnto Finito Longitudinal Unidimnsional Para podr obtnr la matriz d rigidz dl lmnto finito longitudinal unidimnsional, s ncsario partir d la xprsión gnral para la nrgía potncial, la cual ya fu studiada n la scción., así pus: T T T π = [ ] dv [ ] p dv [ ] q ds σ ε V δ V δ (4.7) S Como l continuo qu s studia ha sido discrtizado n lmntos finitos, la xprsión s pud scribir d la siguint manra: π (4.8) T T T = [ σ ] ε dx [ u] p dx [ u] T dx Qi Pi i El último término supon qu las cargas puntuals Pi stán aplicadas n los nodos. Esta suposición hac qu la dducción d la nrgía potncial sa más simpl con rspcto a la notación y también s una práctica muy común n l modlado. La xprsión antrior, también pud scribirs como s mustra a continuación: T T [ u] p A dx [ u] T dx i π = U Q P (4. 9) i i Sindo: U t = ε A dx σ (4. ) Dond: U = Es la nrgía d dformación unitaria dl lmnto finito. 46

47 4.5. Matriz d rigidz dl Elmnto Finito Longitudinal unidimnsional Para podr dducir la matriz d rigidz dl lmnto, s ncsario xprsar la nrgía d dformación unitaria n función d la matriz d dformacions, por lo qu s ralizan las siguints sustitucions dl término d sfurzos y dl término d dformacions n la cuación d la nrgía d dformación unitaria dl lmnto: σ = E B q y ε = B q (4.) La xprsión d la nrgía d dformación unitaria d lmnto quda d la siguint manra: U t t = q B E B q A dx (4.) El ára d cada lmnto finito longitudinal unidimnsional s constant, admás, B también s constant, lo qu conllva qu la transformación d x a ξ n la cuación qu dscrib l sistma coordnado natural o intrínsco dl lmnto longitudinal unidimnsional s xprs d la siguint forma: x x dx = dξ (4.) O lo qu s lo mismo: l dx = dξ (4.4) Dond: - ξ. l = Longitud dl lmnto. Ahora s posibl xprsar la nrgía d dformación unitaria dl lmnto finito ongitudinal unidimnsional como s mustra a continuación: 47

48 U t l t = q A E B B d q ξ (4.5) Dond: E = Módulo d Young dl lmnto. D la cuación (4.5), s pud concluir fácilmnt qu: d ξ = (4.6) Admás si s sustituy n la cuación d la nrgía d dformación unitaria (4.), la matriz B por su xprsión dsarrollada, quda como s v a continuación: t U = q A le [ ]q (4.7) l Qu conduc dirctamnt a la siguint xprsión: U t A E = q q l (4.8) La cuación qu s acaba d prsntar n ralidad s d l forma: U t = q k q (4.9) Dond: k = Matriz d rigidz dl lmnto finito longitudinal unidimnsional. 48

49 Así pus, la xprsión dsarrollada d la matriz d rigidz dl lmnto finito longitudinal unidimnsional s obtin dl dsarrollo d la cuación d la nrgía d dformación unitaria dl lmnto finito, qudando sta como sigu: E A k = (4.) l S pud obsrvar d la xprsión (4.) qu la matriz d rigidz dl lmnto finito longitudinal unidimnsional s linalmnt proporcional al producto A E, invrsamnt proporcional a la longitud dl lmnto finito l. 4.6 Ensambl d la Matriz d Rigidz Global y dl Vctor d Carga Nodal Una vz obtnida la xprsión d la matriz d rigidz dl lmnto longitudinal unidimnsional, s pud xprsar la cuación d la nrgía potncial aplicada a st lmnto d la siguint manra: t t t π = q k q q p q T Pi Qi (4.) Esta cuación también pud scribirs d la siguint manra: t t π = Q K Q Q F (4.) Dond: K F = Matriz d Rigidz Global. = Vctor d Carga. La cuación (4.) implica llvar a cabo l nsamblaj d K y d F a partir d las matrics d rigidz y d furza dl lmnto finito longitudinal unidimnsional, por lo qu s ncsario xplicar cómo s ralizan stas opracions d nsamblaj. Para llvar a cabo l procso d nsamblaj d las matrics d rigidz dl lmnto finito longitudinal unidimnsional, s toma como jmplo l modlo d la viga mpotrada discrtizada mdiant trs lmntos finitos longitudinals 49

50 5 unidimnsionals d la scción 4.. Para mpzar st procso da igual cual d los lmntos finitos qu conforman l modlo s lija primro, así qu n st caso s ha lgido al azar l lmnto finito longitudinal unidimnsional númro. Primro s considra l término d la nrgía d dformación unitaria n EL lmnto lgido: q k q U t = (4.) Si s dsarrolla más sta cuación, s obtin: q l A E q U t = (4.4) Dado qu los nodos d st lmnto finito tinn como numración y 4, l vctor d dsplazamintos asociados a stos mismos s: [ ] t Q Q q 4 = (4.5) Ensamblando la nrgía d dformación unitaria prtncint al trcr lmnto, dntro d la xprsión d la nrgía d dformación unitaria dl modlo ntro (sin tnr n cunta las nrgías d dformación unitaria d los otros lmntos), s obtin la siguint xprsión: [ ] = = 4 4 Q Q Q Q l A E l A E l A E l A E Q Q Q Q U U (4.6) En sta xprsión s aprcia qu los lmntos d la matriz d rigidz dl trcr lmnto d la viga ocupan las filas y las columnas trcra y cuarta rspctivamnt d la matriz K (Matriz d rigidz global dl modlo), con bas n la conctividad d dicho lmnto (nodo y nodo 4). Los lmntos qu compartn nodos simplmnt s suman n las posicions qu compartn n la matriz global.

51 5 La matriz d rigidz global K d la structura d la viga mpotrada y discrtizada mdiant trs lmntos, quda ntoncs d la siguint manra: + + = l A E l A E l A E l A E l A E l A E l A E l A E l A E l A E l A E l A E K (4. 7) El vctor d carga nodal F s nsambla d la misma manra qu la matriz d rigidz K. Como para l studio comparativo dsarrollado n st txto, solamnt s van a aplicar furzas puntuals n los nodos, l vctor d carga quda d la siguint manra para la viga mpotrada y discrtizada mdiant trs lmntos: = 4 P F (4. 8) Una vz qu ya s tinn las xprsions d la matriz d rigidz global y dl vctor d carga, s minimiza la cuación d la nrgía potncial total dl continuo n función d los dsplazamintos nodals. Una vz hcho sto, s posibl mostrar n su forma dsarrollada, la cuación qu rlaciona cargas y dsplazamintos nodals. Dicha rlación s la más important n los cálculos qu s llvan a cabo n st studio, porqu a partir d lla s obtinn todos los rsultados qu s calculan n los problmas ralizados. Así pus sta rlación quda d la siguint manra para l modlo qu s considra n st capítulo:

52 5 + + = 4 4 U U U l A E l A E l A E l A E l A E l A E l A E l A E l A E l A E l A E l A E P (4.9) 4.7 Dscripción d la Elaboración dl Modlo Usado para l Estudio Comparativo dl Elmnto Longitudinal unidimnsional El problma qu s va a studiar para podr comparar los rsultados qu s ofrcn tanto MATLAB como NASTRAN para l cálculo con un lmnto finito longitudinal unidimnsional s l mismo qu s ha stado mostrando como jmplo a lo largo d todo st capítulo para xplicar toda la toría dl lmnto finito longitudinal unidimnsional. Por lo tanto, l problma a analizar consist n una viga mpotrada n uno d sus xtrmos, sindo la viga d scción variabl y somtida a una furza puntual d tracción n l xtrmo opusto a su mpotraminto. A la hora d ralizar l modlo d lmntos finitos d sta viga mpotrada, s procd a discrtizarla mdiant trs lmntos finitos n sri d sccions distintas, utilizando, como s lógico, para su conctividad cuatro nodos. Una rprsntación d sta viga y d su discrtización (incluyndo la numración d nodos y lmntos) han sido prsntadas n la Figura 8 y Figura 9. Los datos ncsarios n ambos programas para la modlización d la viga son la longitud d sta, su matrial (dl matrial l dato qu intrsa n st caso s solamnt l Módulo d Elasticidad), su scción y la furza qu s aplica. Así pus a continuación s puntualizan los datos ncsarios dl problma qu s quir studiar: Longitud d la viga mpotrada :. m Modulo d Elasticidad dl Matrial: : 9 N/m Scción variabl (Dcrc d modo constant dsd la bas hasta su xtrmo opusto) : Dsd.5 m hasta.5 m Furza puntual d tracción : 75 N

53 A la hora d modlar st problma, s ha procdido dando las siguints propidads a cada lmnto finito longitudinal unidimnsional utilizado: Elmnto : Conctividad Longitud : Nodo (Nodo mpotrado) : Nodo (Unión lmnto ) :.4 m Scción :.46 m Modulo d lasticidad : 9 N/m Elmnto : Conctividad : Nodo (Unión lmnto ) : Nodo (Unión lmnto ) Longitud :.4 m Scción :.7 m Modulo d lasticidad : 9 N/m Elmnto : Conctividad : Nodo (Unión lmnto ) : Nodo 4 (Fin d lmnto) (Aplicación d carga) Longitud :.4 m Scción :.9 m Modulo d lasticidad : 9 N/m Carga aplicada: 75N Nodo 4 (xtrmo d la viga) 5

54 4.7. Modlado con MATLAB Como s ha xplicado a lo largo dl proycto, MATLAB no s un programa spcífico d cálculo por lmntos finitos, pro s uno d los programas más potnts basado n cálculo matricial; st s l motivo, por l qu s intnta probar n st proycto su prcisión para l cálculo structural por l método d los lmntos finitos, dado qu st s un método numérico basado n l cálculo matricial. La labor d modlado con MATLAB s bastant complja ya qu no s tin un asistnt gráfico spcífico qu t ayud, y por lo tanto l procso d modlado ha sido llvado a cabo ralizando un programa (y divrsas funcions xtrnas qu también han tnido qu sr programadas) con l ditor d MATLAB. Dado lo compljo qu sría xplicar todo l programa solo s xplicarán brvmnt los módulos n qu consist. Módulo d ntrada d Datos. En st módulo s l pid al usuario qu introduzca los valors d longitud, d scción transvrsal y módulo d lasticidad d cada uno d los trs lmntos finitos d los qu consta la viga. Admás, también s calculan las matrics d rigidz d cada lmnto mdiant funcions xtrnas y s mustran al usuario. Módulo d rprsntación d la structura sin dformar. Aquí s ralizan las opracions ncsarias para podr mostrar al usuario una rprsntación gráfica d la structura qu s va a studiar. Módulo d nsamblaj d la matriz d rigidz global dl sistma. En st módulo s procd a ralizar la opración d nsamblaj d la matriz d rigidz global dl sistma mdiant una función xtrna y una vz nsamblada, s l mustra al usuario como ha qudado la matriz d rigidz global. Módulo d cálculo d dsplazamintos d los nodos. En st módulo s aplican las condicions d contorno, s pid al usuario qu introduzca l valor d la furza sobr l nodo 4 y s soluciona la cuación qu rlaciona la matriz d rigidz global dl sistma con los dsplazamintos. Por último s mustran al usuario los rsultados d los dsplazamintos d cada nodo Módulo d rprsntación d la structura sin dformar y dformada. Aquí s ralizan las opracions ncsarias para podr mostrar al usuario una rprsntación gráfica d la structura primro sin dformar (como ya s mostró n un módulo antrior) y lugo sin dformar y dformada, bajo la carga qu ha slccionado l usuario, suprpustas. 54

55 Módulo d cálculo d raccions. En st módulo s calcula la racción qu s produc n l mpotraminto (nodo ). Módulo d cálculo d furza n l lmnto finito. En sta part s calculan las furzas qu s originan n cada barra bajo la carga aplicada mdiant funcions xtrnas y s mustran al usuario. Módulo d cálculo d tnsions n l lmnto finito. En sta part s calculan las tnsions qu s originan n cada barra bajo la carga aplicada mdiant funcions xtrnas y s mustran al usuario los rsultados d stas Modlado con FEMAP para l Solvr NASTRAN El procso d modlado con FEMAP s infinitamnt más fácil qu con MATLAB, ya qu FEMAP dispon d una Intrfac Gráfica qu simplifica mucho st procso. Lo único a dstacar dl procso d modlado laborado mdiant FEMAP, s qu s han usado lmntos longitudinals unidimnsionals llamados CROD por NASTRAN, capacs d trasmitir furzas axials y momntos torsionals. 4.8 Cálculo Comparativo dl Elmnto Finito Longitudinal unidimnsional A lo largo d la siguint scción, s van a comparar los distintos tipos d rsultados qu s han obtnido al calcular l modlo con MATLAB y NASTRAN parallamnt. Estos rsultados somtidos al studio son los siguints: Dsplazamintos nodals. Racción n l apoyo. Furza n l lmnto. Tnsión n l lmnto. 55

56 4.8. Dsplazamintos Nodals Los dsplazamintos nodals calculados por MATLAB para st modlo s pudn vr n la Tabla. Nodo Nº Dsplazaminto Nodal (m) (Nodo mpotrado), Tabla : Dsplazamintos Nodals Calculados por MATLAB A continuación, s mustra la rprsntación gráfica ralizada n MATLAB d la structura sin dformar ((m) Figura 6), y d la structura sin dformar y dformada suprpustas (la dformación stá scalada a X, para qu s puda distinguir) n la (m) Figura 7. Viga mpotrada (m) Figura 6: Viga mpotrada 56

57 Viga mpotrada sin dfomar y dformada (m) Figura 7: Viga mpotrada sin dformar y dformada suprpustas Los dsplazamintos nodals calculados por NASTRAN para st problma s pudn vr n la Tabla. Nodo Nº Dsplazaminto Nodal (m) (Nodo Empotrado) Tabla : Dsplazamintos nodals calculados por NASTRAN Una vz qu s han obtnido los rsultados d los dsplazamintos nodals con ambos programas, s pudn aprciar las difrncias d rsultados qu s producn ntr los dsplazamintos nodals obtnidos con MATLAB y NASTRAN, mostrándos stas difrncias n la Tabla 4. Difrncias ntr Dsplazamintos Nodo Nº Nodals (m) (Nodo Empotrado) Tabla 4: Difrncia ntr los dsplazamintos nodals calculados por MATLAB y NASTRAN 57

58 4.8. Raccions n los Apoyos Dado qu la única furza qu s aplica a la viga s d tracción (no podría sr n otra dircción ya qu st s un problma unidimnsional), s v claramnt qu l rsultado qu tin qu dar la racción n l único apoyo qu xist n l modlo, s l valor d la furza d tracción pro cambiado d signo, así pus a continuación n la Tabla 5 s mustran los rsultados d l valor d la racción calculada por los dos programas. Nodo Nº Racción Calculada Racción Calculada por MATLAB (N) por NASTRAN (N) Tabla 5: Racción n l Apoyo 4.8. Esfurzos n l Elmnto Los sfurzos qu sufrn los lmntos dl modlo al sr aplicada una carga axial son lógicamnt sfurzos axils, qu s l único tipo d sfurzo qu pud trasmitir st tipo d lmnto. El sfurzo n l lmnto s calcula n los nodos qu prtncn a st, sindo l mismo rsultado para los dos nodos dl lmnto, pro con distinto signo. Así pus, l valor dl sfurzo n l lmnto s l valor dl rsultado d la furza calculada n los nodos dl mismo, tomando l mismo critrio d signo para l sfurzo qu para la furza obtnida n l nodo d numración más alta dl lmnto. La cuación qu s aplica para calcular los sfurzos n l lmnto s: f = k q (4. 4) Dond: f Q = Vctor d furzas nodals. = Vctor d dsplazamintos nodals. Las sfurzos axials d cada lmnto, calculados por MATLAB para st modlo, s xponn n la Tabla 6. Esfurzo Axial n los Elmntos Elmnto Nº (N) Tabla 6: Furzas n cada lmnto calculadas por MATLAB 58

59 Las sfurzos axials calculadas por NASTRAN n cada lmnto son las qu s mustran n la Tabla 7. Esfurzo Axial n los Elmntos Elmnto Nº (N) Tabla 7: Furzas n cada lmnto calculadas por NASTRAN Las difrncias ntr los sfurzos axials calculados por MATLAB y NASTRAN para st modlo s pudn obsrvar n la Tabla 8. Difrncia dl Esfurzo axial Elmnto Nº n los Elmntos (N) Tabla 8: Difrncia ntr la furza n los lmntos calculada por MATLAB y NASTRAN Tnsión n l Elmnto Para acabar con l studio comparativo dl lmnto finito longitudinal unidimnsional, sólo quda analizar las tnsions qu s obtinn n cada lmnto dl modlo lgido como jmplo d studio. Estas tnsions son básicamnt los sfurzos d los lmntos por unidad d ára dl lmnto al qu prtncn. La tnsión calculada por MATLAB n los lmntos dl modlo s pudn vr n la Tabla 9. Tnsión n l Elmnto Elmnto Nº (N/m ) Tabla 9: Tnsions n los lmntos calculada por MATLAB La tnsión calculada por NASTRAN n cada lmnto s sumariza n la Tabla. Tnsión n l Elmnto Elmnto Nº (N/m ) Tabla : Tnsions n los lmntos calculada por NASTRAN 59

60 Para acabar con l cálculo dl studio comparativo para l lmnto finito longitudinal unidimnsional, s mustran las difrncias qu s producn ntr los rsultados d las tnsions calculadas por MATLAB y por NASTRAN n los lmntos (Tabla ). Gradiant d la Tnsión Elmnto Nº n l Elmnto (N/m ) Tabla : Difrncia ntr la tnsión n los lmntos calculada por MATLAB y NASTRAN 4.9 Conclusions dl Estudio Comparativo dl Elmnto Finito Longitudinal unidimnsional. Como s ha podido obsrvar a lo largo d todos los tipos d rsultados obtnidos sobr l modlo usado como jmplo para l studio comparativo ntr MATLAB y NASTRAN para l lmnto finito longitudinal unidimnsional, todos los valors obtnidos por ambos programas son prácticamnt iguals, obtniéndos difrncias d varios órdns d magnitud infrior, qu los propios valors d los rsultados ofrcidos por sndos programas. Por lo tanto, s pud concluir qu para l lmnto finito longitudinal unidimnsional MATLAB ofrc una gran prcisión d cálculo. 6

61 5 ESTUDIO COMPARATIVO PARA UN ELEMENTO FINITO LONGITUDINAL BIDIMENSIONAL ARTICULADO 5. Introducción al Elmnto Finito Longitudinal Bidimnsional Articulado Lo primro qu cab rsñar d st lmnto s qu, al contrario qu con l lmnto longitudinal unidimnsional, no coincidn las coordnadas globals y locals dl lmnto lo cual introduc un grado más d dificultad comparado con l lmnto longitudinal unidimnsional. El lmnto longitudinal bidimnsional articulado sólo stá sujto a furzas n su plano XY, por lo qu cada lmnto sólo pud star somtido a stados d comprsión o tracción dircta, n otras palabras, st tipo d lmnto forma structuras articuladas dond los nodos son las articulacions. El lmnto finito longitudinal bidimnsional articulado, al igual qu l longitudinal unidimnsional, tin un nodo n cada uno d sus dos xtrmos y stá caractrizado por sus cuacions d forma, y al igual qu st, también stá dfinido por las propidads físicas dl módulo d lasticidad, la longitud y la scción transvrsal. 5. Sistmas d Coordnada Globals y Locals La principal difrncia ntr l lmnto finito longitudinal unidimnsional y l lmnto finito longitudinal bidimnsional articulado, s qu st último pud tnr varias orintacions dntro dl plano. Para podr dfinir las difrnts orintacions d st lmnto, s introducn sistmas d coordnadas globals y locals d la forma qu s xplica a lo largo d st apartado (la ubicación d st lmnto finito con rspcto a ambos sistmas d coordnadas s pud visualizar n la Figura 8 y Figura 9). 6

62 Y X Y X Figura 8: Elmnto longitudinal bidimnsional articulado con sus coordnadas locals (X, Y ) Y q snθ q cosθ q q θ q q θ q 4 q Elmnto dformado X Figura 9: Elmnto longitudinal bidimnsional articulado con sus coordnadas globals El sistma local d coordnadas consist n los js X, qu stá alinado a lo largo dl lmnto y va dsd l nodo hacia l nodo, y n l j Y qu lógicamnt s prpndicular al primro. El sistma global d coordnadas XY stá fijo y no dpnd d la orintación dl lmnto. S db notar qu X Y y Z forman un sistma coordnado drcho con l j Z salindo dl papl. Con rfrncia al sistma coordnado global cab dcir, qu cada uno d los nodos pos dos grados d librtad intrínscos, por lo qu la structura qu s modl con st tipo 6

63 d lmnto finito, tndrá l dobl d grados d librtad qu l númro d nodos usados para su modlización. En st proycto s ha adoptado l siguint critrio para la numración: El nodo cuyo númro global s j, va a tnr asociados a él los grados d librtad j - y j. También s ncsario la numración d los dsplazamintos d cada nodo con rspcto a las coordnadas globals XY, así pus los dsplazamintos asociados al nodo j stán numrados como s mustra a continuación: Q = Qj- y Q - j. (5.) j Dond: Q = Vctor d dsplazaminto dl nodo j con rspcto a sistma d j coordnadas global. En l sistma d coordnadas local d cada lmnto, los dsplazamintos d los dos nodos dl lmnto simpr s numran d la misma forma: [ q q ] q ' = ' ' (5. ) Dond: q = Vctor d dsplazaminto dl lmnto n l sistma coordnado local. El vctor d dsplazaminto dl lmnto n n l sistma d coordnadas global, suponindo qu los dos nodos qu lo dlimitan san los nodos d numración global y rspctivamnt, s l siguint: Dond: [ q q q ] q n = (5. ) q4 q n q q = Vctor d dsplazaminto dl lmnto n n l sistma d coordnadas global. = Coordnada X dl dsplazaminto dl nodo n l sistma global. = Coordnada Y dl dsplazaminto dl nodo n l sistma global. 6

64 q q 4 = Coordnada X dl dsplazaminto dl nodo n l sistma global. = Coordnada Y dl dsplazaminto dl nodo n l sistma global. A continuación s mustra la rlación qu xist ntr q y q n : q = q cosθ q snθ ' + q = q cosθ q snθ ' + 4 (5.4) Ahora s introducn los cosnos dirctors l y m como: l = cosθ y m = cos φ = snθ (5.5) Los cosnos dirctors son los cosnos d los ángulos qu l j local X forma con los js globals X,Y rspctivamnt. Las cuacions dond s rlaciona q y q s pud scribir d forma matricial como s mustra a continuación: q '= L q (5.6) l L = m l m (5.7) Dond: L = matriz d transformación. Las fórmulas para ralizar l cálculo d los cosnos dirctors l, m y d la longitud dl lmnto a partir d las coordnadas d los nodos n coordnadas globals son muy sncillas y intuitivas. x x l = y l m = y l y (5.8) l = ( x x ) + ( y ) y 64

65 Dond: l,m = Cosnos dirctors. l = Longitud dl lmnto finito longitudinal longitudinal bidimnsional articulado. En la Figura s rprsnta un lmnto finito longitudinal bidimnsional articulado con las coordnadas d los nodos n coordinas globals. (x,y ) l (y -y ) ϕ (x,y ) θ (x -x ) Figura : Elmnto finito con coordnadas nodals 5. Matriz d Rigidz d un Elmnto Longitudinal Bidimnsional Articulado Una important obsrvación qu s db hacr sobr l lmnto longitudinal bidimnsional articulado, s qu s un lmnto unidimnsional cuando s considra n su sistma d coordnadas local. Esta obsrvación prmit usar los rsultados obtnidos para l lmnto finito longitudinal unidimnsional. En conscuncia, la matriz d rigidz para un lmnto longitudinal bidimnsional articulado n l sistma d coordnadas local s l mismo qu la dl lmnto unidimnsional: Dond: E A k ' = (5. 9) l k =Matriz d rigidz n coordnados locals dl lmnto finito longitudinal bidimnsional articulado. E = Módulo d lasticidad dl matrial dl lmnto finito. A = Scción transvrsal dl lmnto finito. 65

66 El siguint problma qu s planta s obtnr una xprsión para la matriz d rigidz dl lmnto n l sistma d coordnadas global. El primr paso para dar con sta xprsión s obtnr la nrgía d dformación unitaria n l lmnto dfinida n las coordnadas locals, la cuál vin dada por la siguint xprsión: U ' = t q' k' q' (5.) Dond: U = Enrgía d dformación n coordnadas locals dl lmnto finito longitudinal bidimnsional articulado. Ralizando la sustitución q = Lq n la xprsión antrior, da lo siguint: t t U ' = q [ L k' L] q (5.) La nrgía d dformación unitaria n coordnadas globals pud scribirs como: U t = q k q (5.) Dond: U = Enrgía d dformación n coordnadas globals dl lmnto finito longitudinal bidimnsional articulado. k = Matriz d rigidz dl lmnto n coordnadas globals. D las rlacions antriors s pud obtnr la forma dsarrollada d la matriz d rigidz dl lmnto longitudinal bidimnsional articulado, qudando sta como s mustra a continuación: 66

67 l E A = l m k l l l m l m m l m m l l m l l m l m m l m m (5.) La matriz d rigidz global d un modlo d lmntos finitos longitudinals bidimnsionals articulados s obtin nsamblando las matrics d rigidz d cada lmnto siguindo xactamnt l mismo procso qu para l lmnto unidimnsional, pro tnindo n cunta qu n st caso cada nodo tin dos grados d librtad n vz d uno, por lo qu como s lógico la matriz tndrá l dobl d columnas y d filas. 5.4 Método para l Cálculo d Tnsions n l Elmnto Longitudinal bidimnsional Articulado Para obtnr la xprsión d la tnsión n l lmnto finito longitudinal bidimnsional articulado, s part d la xprsión gnérica d la tnsión n función d la dformación unitaria, la cual s mustra a continuación: σ = Eε (5.4) Como la dformación unitaria s l cambio d longitud por unidad d longitud original, la xprsión d la tnsión dl lmnto rfrida a coordnadas locals quda como sigu: q' q' E q' σ = E = [ ] (5.5) l l q' La cuación antrior también la s pud scribir n términos d los dsplazamintos rfridos a las coordnadas globals q usando la siguint trasformación: E σ = [ ] L q (5.6) l 67

68 Sustituyndo L por su forma dsarrollada n la cuación antrior, la xprsión d la tnsión para l lmnto longitudinal bidimnsional articulado n coordnadas globals s: E σ = [ l m l m]q (5.7) l 5.5 Dscripción d la Elaboración dl Modlo Usado n l Estudio Comparativo dl Elmnto Longitudinal Bidimnsional Articulado El problma qu s ha scogido para ralizar l studio comparativo dl lmnto finito longitudinal bidimnsional articulado consist n un triángulo quilátro articulado con dos apoyos n las articulacions d su bas, uno d los cuals tin rstringido todos sus grados d librtad y l otro sólo tin rstringido l grado d librtad d la dircción vrtical. Esta structura articulada stá somtida a dos cargas puntuals sobr su nodo suprior, una d llas n dircción dl j Y ngativo y otra n dircción dl j X positivo. Para una mjor comprnsión s mustra a continuación una figura d la misma con sus apoyos y las furzas aplicadas. Fy Fx Y X Figura : Triangulo Equilátro Articulado 68

69 Los datos ncsarios n ambos programas para la modlización d st triángulo quilátro articulado son la longitud d sus lados, qu al sr un triángulo quilátro s igual para todos llos, la scción d cada una d las barras, qu n st caso, s una scción cuadrada igual para todas, l matrial dl cual solamnt son ncsarios, al igual qu para l lmnto unidimnsional, su módulo d lasticidad, y los valors d las furzas xtrnas qu s van a aplicar a la structura. Así pus, a continuación s puntualizan los datos ncsarios dl problma qu s va a studiar: Longitud d cada lado dl triángulo quilátro :. m Matrial : 9 N/m Scción d cada una d las barras :.5 m Furza Vrtical (Fy) Furza Horizontal (Fx) : N : 75 N A la hora d modlar st triángulo quilátro articulado con lmntos bidimnsionals articulados s ha procdido con la numración tanto d lmntos como d nodos qu s mustra n la Figura y n la Tabla. Y Nodo con sus dos GDL rstringidos Nodo con su GDL vrtical rstringido X Figura : Modlo con lmntos longitudinals bidimnsionals articulados 69

70 Elmntos odos Tabla : Conctividad d lmntos y nodos Para dsarrollar l modlo d sta structura articulada tanto n MATLAB como n FEMAP, s ha procdido dando las siguints propidads a los lmntos finitos qu conforman l modlo: Elmnto, Elmnto, Elmnto : Longitud :. m Scción :.5 m Modulo d lasticidad : 9 N/m 5.5. Modlado con MATLAB El programa ralizado con MATLAB para llvar a cabo st modlo d lmntos finitos longitudinals bidimnsionals articulados, s distribuy n los siguints módulos. Módulo d ntrada d datos. En st módulo s pid al usuario qu introduzca los valors d la longitud d la bas dl triángulo (como los otros lados son iguals sría rdundant pdirlo) la scción y módulo d lasticidad. Módulo d rprsntación d la structura. Aquí s ralizan las opracions ncsarias para podr mostrar al usuario una rprsntación gráfica d la structura qu s va a studiar. Módulo d cálculo d las matrics d rigidz d los lmntos. En st módulo, mdiant llamadas a funcions xtrnas, s calculan las matrics d rigidz d cada lmnto y postriormnt s mustran los rsultados al usuario. 7

71 Módulo d nsamblaj d la matriz global d rigidz. En st módulo s procd a ralizar la opración d nsamblaj d la matriz d rigidz global dl sistma mdiant una función xtrna y una vz nsamblada, s l mustra al usuario como ha qudado la matriz d rigidz global. Módulo d cálculo d dsplazamintos nodals. Aquí s aplican todas las condicions d contorno, s l pid al usuario qu introduzca l valor d las Furzas n l nodo, s plantan las cuacions qu rlacionan la matriz d rigidz global con las cargas y los dsplazamintos nodals, y s l mustra los rsultados d dsplazamintos nodals al usuario. Módulo d rprsntación d la structura sin dformar y dformada. Aquí s ralizan las opracions ncsarias para podr mostrar al usuario una rprsntación gráfica d la structura, primro sin dformar (como ya s mostró n un módulo antrior) y lugo sin dformar y dformada, bajo la carga qu ha slccionado l usuario, suprpustas. Módulo d cálculo d raccions. En st módulo s calculan las raccions qu s gnran n los apoyos (Nodos y ). Módulo d cálculo d furza n l lmnto finito. En sta part s calculan, mdiant funcions xtrnas, las furzas qu s originan n cada barra bajo la carga aplicada y s mustran al usuario. Módulo d cálculo d tnsions n l lmnto finito. En sta part s calculan las tnsions qu s originan n cada barra bajo la carga aplicada mdiant funcions xtrnas y s mustran al usuario los rsultados d stas Modlado con FEMAP para l Solvr NASTRAN Para ralizar l modlado con FEMAP s han utilizado lmntos CROD al igual qu n l modlo dl capítulo antrior, pro sta vz con cargas n dos dimnsions como pid l problma qu s quir modlar. 7

72 5.6 Cálculo Comparativo dl Elmnto Longitudinal bidimnsional Articulado En st cálculo comparativo s van a comparar los distintos tipos d rsultados qu s han obtnido al calcular parallamnt l modlo ants dscrito con MATLAB y NASTRAN, sindo los rsultados obtnidos dl modlo los siguints: Dsplazamintos nodals. Racción n los apoyos. Furza n los lmntos. Tnsión n los lmntos Dsplazamintos Nodals Los valors d los dsplazamintos nodals calculados por MATLAB para l triangulo articulado qu s ha modlado, s pudn vr n la Tabla. Nodo Nº Dsplazaminto Nodal (m) X Y (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) Tabla : Dsplazamintos Nodals Calculados por MATLAB La rprsntación gráfica qu s mustra con MATLAB dl triángulo articulado sin dformar s mustra n la (m) Figura y d la structura sin dformar y dformada (la dformación tin una scala d X, para qu s puda distinguir d la structura sin dformar) suprpustas s pud vr n la (m) Figura 4. 7

73 Triangulo quilátro articulado (m) Figura : Triángulo Equilátro articulado. Triangulo quilátro articulado dformado (m) Figura 4: Triángulo Articulado Sin Dformar y Dformado Suprpustos Los dsplazamintos nodals calculados por NASTRAN para l modlo dl triángulo articulado s mustran n la Tabla 4. 7

74 Nodo Nº Dsplazaminto Nodal (m) X Y (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) Tabla 4: Dsplazamintos Nodals Calculados por NASTRAN Las difrncias qu s obtinn al comparar los dsplazamintos nodals calculados por MATLAB y NASTRAN s mustran n la Tabla 5. Nodo Nº Difrncias ntr Dsplazamintos Nodals (m) X Y (GDL rstringido) (GDL rstringido) - (GDL rstringido) Tabla 5: Difrncia ntr los Dsplazamintos Nodals Calculados por MATLAB y NASTRAN 5.6. Raccions n los Apoyos Las raccions calculadas por MATLAB, qu s gnran n los apoyos (Nodos y ) al aplicar las cargas puntuals n l Nodo, dan como rsultado los valors qu s sumarizan n la Tabla 6. Nodo Nº Raccions Nodals (N) Rx Ry ( No sta rstringido) Tabla 6: Raccions Nodals Calculadas por MATLAB Las mismas raccions, pro n st caso calculadas por NASTRAN, dan como rsultado los datos qu s mustran n la Tabla 7. Nodo Nº Raccions Nodals (N) Rx Ry ( No sta rstringido) Tabla 7: Raccions Nodals Calculadas por NASTRAN 74

75 La difrncia qu rsulta d comparar los rsultados ofrcidos por MATLAB y NASTRAN al calcular las rsultants n los apoyos s mustra n la Tabla 8. Difrncia ntr los rsultados d Nodo Nº Raccions Nodals (N) Rx Ry. - ( No sta rstringido).9 Tabla 8: Difrncia ntr los Rsultados d las Raccions Nodals Calculadas por MATLAB y NASTRAN 5.6. Furzas n los Elmntos Las furzas qu sufrn los lmntos dl modlo, qu s stán considrando para st studio comparativo, son sfurzos axils, ya qu s l único tipo d sfurzo qu pud transmitir st lmnto y s calcula d la siguint manra: F E A = [ l m l m]q (5. 8) l Esta xprsión s igual a la fórmula para calcular las tnsions n los lmntos longitudinals bidimnsionals qu s xplicó con antrioridad pro multiplicada por l ára dl lmnto. Así pus, s considra l convnio d signos qu stablc qu si la furza n un lmnto s ngativa, st stá somtido a comprsión y si s positiva stá somtido a tracción. Las furzas n l lmnto calculadas por MATLAB, para l triangulo articulado, s mustran n la Tabla 9. Elmnto Nº Esfurzo Axial n los Tracción /Comprsión Elmntos (N) Tracción Tracción Comprsión Tabla 9: Furzas n los Elmntos Calculadas por MATLAB Las mismas furzas n los lmntos, pro calculadas por NASTRAN, s mustran n la Tabla. Tabla : Furzas n los Elmntos Calculadas por NASTRAN Esfurzo Axial n los Tracción /Comprsión Elmnto Nº Elmntos (N) Tracción 75

76 Tracción Comprsión La difrncia qu s produc ntr los rsultados d ambos programas s rflja n la Tabla. Difrncia ntr Esfurzos Elmnto Nº Axials n los Elmntos(N) Tabla : Difrncia ntr las Furzas Calculadas n los Elmntos Tnsión n los Elmntos La tnsión n los lmntos, s calcula mdiant la fórmula qu s xplicó n l apartado 5.4. Por lo qu los rsultados qu ofrc MATLAB d las tnsions calculadas n los lmntos dl modlo s xponn n la Tabla. Tnsión n los Elmnto Nº Elmntos (N/m ) Tabla : Tnsions n los lmntos calculadas por MATLAB Las tnsions n los lmntos calculadas por NASTRAN s pudn vr n la Tabla. Tnsión n los Elmnto Nº Elmntos (N/m ) E Tabla : Tnsions n los lmntos calculadas por NASTRAN La difrncia ntr los rsultados ofrcidos por ambos programas n las tnsions calculadas n los lmntos dl modlo somtido a studio, s pudn vr n la Tabla 4). Difrncia ntr la Elmnto Nº tnsión n los lmntos (N/m ).. 7 Tabla 4: Difrncia ntr MATLAB y NASTRAN n l cálculo d las tnsions n los lmntos. 76

77 5.7 Conclusions dl Estudio Comparativo dl Elmnto Finito Longitudinal bidimnsional Articulado. Las conclusions, qu s obtinn n l studio comparativo dl lmnto finito longitudinal bidimnsional articulado, son xactamnt las mismas qu para l lmnto unidimnsional articulado ya qu las difrncias obtnidas ntr los rsultados ofrcidos por sndos programas al calcular l modlo somtido a studio son insignificants. Así pus, s pud dcir qu MATLAB ofrc una gran prcisión d cálculo a la hora d dsarrollar un modlo con lmntos finitos longitudinals bidimnsionals articulados. 77

78 78

79 6 ESTUDIO COMPARATIVO PARA UN ELEMENTO FINITO LONGITUDINAL BIDIMENSIONAL RETICULADO 6. Introducción al Elmnto Finito Longitudinal Bidimnsional Rticulado Est tipo d lmnto finito, al igual qu l antrior, tin dos sistmas d coordnadas, sistma d coordnadas global y sistma d coordnada local, y también coincid n qu s un lmnto bidimnsional, pro sin mbargo no solo stá sujto a las furzas dl plano, como l lmnto finito longitudinal bidimnsional articulado, sino qu también stá somtido al momnto flctor gnrado por las furzas contnidas n l plano, por lo qu st tipo d lmnto forma structuras rticuladas bidimnsionals (marcos), las cuals son más rígidas qu las articuladas, ya qu también transmitn los momntos gnrados por las furzas. Est lmnto finito, como los qu s han vistos hasta ahora, stá dlimitado por dos nodos, pro n st caso con trs grados d librtad n cada uno (los dos dsplazamintos dl plano y una rotación prpndicular a st). Las propidads físicas qu s ncsitan para caractrizar a st lmnto son: la longitud, la scción transvrsal, l momnto d inrcia y l módulo d lasticidad. Para dar con la matriz d rigidz d st lmnto, primro s va a studiar un lmnto longitudinal bidimnsional qu tnga tan solo los dsplazamintos transvrsals y rotacionals, obtnindo su matriz d rigidz, para dspués combinar sta matriz con la matriz dl lmnto longitudinal unidimnsional (qu rprsnta l dsplazaminto axial), lo qu dará la matriz d rigidz dl lmnto longitudinal bidimnsional rticulado n coordnadas locals. Una vz hcho sto sólo qudará rfrir sta matriz al sistma d coordnadas global. 6. Matriz d Rigidz d un Elmnto Longitudinal Bidimnsional con Dsplazamintos Transvrsals y Rotacionals Para dsarrollar sta matriz d rigidz, lo primro qu s obsrva s cada nodo tin dos grados d librtad. Al igual qu para l lmnto finito longitudinal bidimnsional articulado la numración d los grados d librtad d un nodo i son Q i- y Q i, l grado d librtad Q i- s l dsplazaminto transvrsal y Q i la rotación. Para un solo lmnto los grados d librtad locals son: 79

80 ( q q q q4 ) q = (6.) Dond: q y q q y q 4 = Dsplazamintos transvrsals d los nodos dl lmnto n coordnadas locals. = Rotacions d los nodos dl lmnto n coordnadas locals. Las funcions d forma para intrpolar v stán dfinidas como hasta ahora n términos d ξ (-,+). Las funcions d forma n st caso difirn d las qu s han stado utilizando hasta ahora por lo qu s ncsario parars a xplicarlas n dtall. En st caso, como stán implicados valors nodals y pndints nodals, s dfinirán funcions d forma d Hrmit, las cuals son funcions d forma d ordn cúbico. Cada una d las funcions d Hrmit vin dada por: H + i = ai + bi ξ + ci ξ di ξ (6.) Con i =,,, 4. S dbn satisfacr las condicions qu s mustran n la Tabla 5. H H H H H H H 4 H 4 ξ = - ξ = Tabla 5: Condicions d cumpliminto d la funcions d forma d Hrmit El la tabla antrior las xprsions H i, son las drivadas n función d ξ d las funcions d Hrmit (para la valuar las pndints) n los puntos d ξ qu s spcifican. Los coficints a i, b i, c i y d i, pudn obtnrs aplicando las condicions d la Tabla 5, qudando pus las funcions d forma d la siguint manra: H ( ξ ) ( + ξ ) = 4 (6.) H + ( ξ ) ( ) = ξ 4 8

81 H ( + ξ ) ( ξ ) = 4 H 4 + ( + ξ ) ( ) = ξ 4 Las coordnadas s transforman por la rlación: x x x x x = + ξ (6.4) Las funcions d forma d Hrmit pudn usars para scribir l campo d dsplazamintos n l lmnto finito n la forma qu s mustra a continuación: dv dv v ( ξ ) = H v + H ( ) + H v + H 4( ) (6.5) dξ dξ Dond: v :Vctor d dsplazamintos dl lmnto finito n coordnadas locals. v : Dsplazaminto transvrsal dl primr nodo dl lmnto (igual a q ). dv ( ) : Rotación dl primr nodo dl lmnto. dξ v : Dsplazaminto transvrsal dl sgundo nodo dl lmnto (igual a q ). dv ( ) : Rotación dl sgundo nodo dl lmnto. dξ Como l = x x s la longitud dl lmnto s tin: l dx = dξ (6.6) Usando ahora la rgla d la cadna s obtin lo siguint: 8

82 8 dx d l d dv υ ξ = (6.7) Notando qu dv/dx son las rotacions d los nodos, s pud xprsar la siguint cuación: 4 4 ) ( q H l q H q H l q H v = ξ (6.8) Ahora s pud dfinir: = 4 H l H H l H H (6. 9) Usando la xprsión d la cuación difrncial aproximada d la lína lástica [], la nrgía d dformación unitaria dl lmnto n st caso vin dada por: dx dx v d E I U = (6.) D las cuacions antriors y sustituyndo v=hq s pudn obtnr las siguints cuacions: q d H d d H d l q dx v d t t 6 4 = ξ ξ (6.) + + = l l d H d ξ ξ ξ ξ ξ (6.) Al sustituir dx=(l /)dξ y con las rlacions qu s acaban d mostrar n la cuación d la nrgía d dformación unitaria dl lmnto, quda lo siguint:

83 U COMPARATIVA ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON MATLAB Y NASTRAN MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS = q t 9 ξ 4 ( + ξ ) l ξ ξ ( + ξ ) + ξ + 9 ξ l ( + ) + ξ ξ l l dξ 9 Simétrica ξ ξ ( + ξ ) l 8 E I l ξ ξ 4 l l q (6.) Esta xprsión conduc dirctamnt a la nrgía d dformación unitaria dl lmnto dada por: U t = q k q (6.4) Dond, por fin, la matriz d rigidz dl lmnto s: 6 l 6 l 6 l 4 l 6 l l k = (6.5) 6 l 6 l 6 l l 6 l 4 l 6. Matriz d rigidz dl lmnto longitudinal bidimnsional rticulado Para dducir la matriz d rigidz d st lmnto, como ya s dijo, basta con combinar los términos d la matriz d rigidz dl lmnto unidimnsional, la cual proporciona la componnt axial d los dsplazamintos, con la matriz d rigidz calculada n 6. y rfrirla a coordnadas globals. Para l lmnto longitudinal bidimnsional rticulado, l vctor d dsplazamintos nodal vin dado por la siguint xprsión: [ q q q q q ] q = (6.6) 4 5 q6 También s ncsario dfinir un sistma coordnado local (x,y ), qu stá orintado a lo largo dl lmnto finito d -, con cosnos dirctors l,m: 8

84 l = cosθ, m = snθ (6.7) Estos cosnos dirctors s valúan usando las rlacions qu ya s viron para l lmnto longitudinal bidimnsional articulado. El vctor d dsplazamintos n l sistma local quda: [ q' q' q' q' q' q ] q ' = (6.8) 4 5 ' 6 La transformación d dsplazamintos locals a globals s obtin sgún la siguint rlación: q '= L q (6.9) Dond L s la matriz d transformación dada por: l m m l l m m l (6.) Ahora, Combinando las dos matrics d rigidz qu s han mncionado, quda la matriz d rigidz dl lmnto longitudinal bidimnsional rticulado n coordnadas locals d la siguint manra: 84

85 E A l k' = E A l E I l 6 E I l E I l 6 E I l 6 E I l 4 E I l 6 E I l E I l E A l E A l E I l 6 E I l E I l 6 E I l 6 E I l E I l 6 E I l 4 E I l (6. ) La nrgía d dformación unitaria dl lmnto, al igual qu para l lmnto longitudinal bidimnsional articulado, vin dada por la siguint xprsión: U t t t = q' k' q' = q L k' L q (6.) S pud rlacionar d forma fácil la matriz d rigidz dl lmnto n coordnadas globals y locals, por lo qu la matriz d rigidz d st lmnto n coordnadas globals s pud xprsar a través d la matriz d transformación como: k t = L k' L (6.) La matriz d rigidz global d un modlo d lmntos finitos longitudinals bidimnsionals articulados s obtin nsamblando las matrics d rigidz d cada lmnto siguindo xactamnt l mismo procso qu para los lmntos antriors, simplmnt s tin qu tnr n cunta qu n st caso los nodos tinn trs grados d librtad. 6.4 Cálculo d la Tnsión d Von Miss n l Elmnto Longitudinal Bidimnsional Rticulado Est tipo d lmnto finito va a star somtido a un stado tnsional compljo (sfurzos axils, sfurzos cortants y momntos flctors), por lo qu s muy convnint podr stablcr algún critrio qu prmita ncontrar un stado d tracción monoaxial quivalnt al stado compljo qu s stá considrando y d 85

86 sta manra hacr posibl la comparación d sta tnsión con l limit lástico dl matrial qu s l ha adjudicado al lmnto finito. Son varios los critrios qu s han propusto para fijar sta tnsión quivalnt [] (Critrio d Ranking, Critrio d Trsca,, tc), pro l critrio qu s va a considrar n st proycto (s admás l critrio usado gnralmnt) s l critrio d Von Miss. En l critrio d Von Miss, l stado tnsional plano, qu s tin para st tipo d lmnto finito, s pud scribir como s mustra a continuación: σ = σ + τ (6. 4) VM x' x' y' La tnsión normal d lmnto σ x, s obtin a partir dl sfurzo axil y dl momnto flctor como s dtalla a continuación: M σ x ' = + y (6.5) A I Dond: y = Distancia d la fibra nutra a la máxima tnsión normal gnrada por l momnto flctor. M = Momnto flctor. La xprsión d la tnsión cortant dl lmnto τ x y s obtin a partir dl sfurzo cortant n l lmnto finito sgún la siguint xprsión. Dond: m = Momnto stático d la scción transvrsal. b = Longitud horizontal d la scción transvrsal. T m τ xy = (6.6) b I 86

87 6.5 Dscripción d la Elaboración dl Modlo Usado para l Estudio Comparativo dl Elmnto Longitudinal Bidimnsional Rticulado El problma qu s ha slccionado para la laboración dl studio comparativo d l lmnto longitudinal bidimnsional rticulado consist n un pórtico rticulado n l cual s han aplicado una carga vrtical n l sntido ngativo dl j Y, y una carga horizontal n l sntido positivo dl j X n una d las unions rticuladas, mintras qu sobr la otra unión rticulada s ha aplicado un momnto positivo (s usará l convnio d signos para todo l proycto, sgún l cual los momntos positivos son aqullos qu giran a drchas y ngativos los qu giran a izquirdas). Para una complta comprnsión d sta structura, sta aparc rfljada n la Figura 5. F y F x M Figura 5: Pórtico Longitudinal Bidimnsional Rticulado Los datos qu s ncsario conocr d st pórtico para podr mtrlos n los programas y dsarrollar l modlo son: la longitud d los pilars dl pórtico (qu n sta caso son iguals), la longitud d la viga dl pórtico, la scción d las parts qu forman l pórtico (sindo n st caso igual para todas) y l momnto d inrcia rspcto al j nutro (j z qu pasa por l cntroid). D las propidads dl matrial, solo s ncsario tnr como dato l módulo d lasticidad, también, como s lógico, s ncsario conocr l valor d las furzas xtrnas qu van a sr aplicadas sobr la structura. A continuación s xponn los datos ncsarios dl problma qu s quir studiar: 87

88 Longitud d los pilars :.8 m Longitud d la viga :. m Matrial : 9 N/m Scción (cuadrada) d cada uno d los lmntos :.7 m Momnto d inrcia :.48-7 m 4 Furza Vrtical (Fy) Furza Horizontal (Fx) Momnto positivo : -9 N : 8 N : 75 Nm A la hora d modlar st pórtico con lmntos finitos longitudinals bidimnsionals rticulados s ha ralizado la numración d lmntos y d nodos qu s mustran n la Figura 6 y n la Tabla 6. Y 4 Nodo con todos sus grados Nodo con todos sus grados X d librtad rstringidos d librtad rstringidos Figura 6: Modlo con Elmntos Longitudinals Bidimnsionals Rticulados Elmntos odos 4 Tabla 6: Conctividad d Elmntos y Nodos 88

89 Para modlar st problma, tanto n MATLAB como n FEMAP s han dando las siguints propidads a los lmntos finitos qu s han usado n la laboración dl modlo: Elmnto, Elmnto : Longitud Scción Transvrsal :.8 m :.7 m Momnto d Inrcia :4.8-7 m 4 Módulo d lasticidad :. N/m Elmnto Longitud Scción Transvrsal :. m :.7 m Momnto d Inrcia :.48-7 m 4 Módulo d lasticidad :. N/m 6.5. Modlado con MATLAB El programa laborado n MATLAB con l qu s modla st pórtico con lmntos finitos longitudinals bidimnsionals rticulados consist d los siguints módulos. Módulo d ntrada d Datos. En st módulo s l pid al usuario qu introduzca los valors d longitud d los pilars y d la viga dl pórtico, la scción, l momnto d inrcia y l módulo d lasticidad. Módulo d rprsntación d la structura. Aquí s ralizan las opracions ncsarias para podr mostrar al usuario una rprsntación gráfica dl pórtico qu s va a studiar. Módulo d cálculo matrics d rigidz d los lmntos. 89

90 En st Módulo mdiant llamadas a funcions xtrnas s calculan las matrizas d rigidz d cada lmnto y postriormnt s mustran los rsultados al usuario. Módulo d nsamblaj d la matriz global d rigidz. En st modulo s procd a ralizar la opración d nsamblaj d la matriz d rigidz global dl sistma mdiant una función xtrna y una vz nsamblada, s l mustra al usuario sta matriz. Módulo d cálculo d dsplazamintos nodals. Aquí s aplican todas las condicions d contorno, s l pid al usuario qu introduzca l valor d las Furzas n l nodo y l momnto n l nodo, s planta la cuación qu rlaciona Matriz d rigidz global con cargas y dsplazamintos nodals, s obtinn stos últimos y s l mustran los rsultados al usuario. Módulo d rprsntación d la structura sin dformar y dformada. Aquí s ralizan las opracions ncsarias para podr mostrar al usuario una rprsntación gráfica d la structura primro sin dformar (como ya s mostró n un módulo antrior) y, lugo suprpustas, s mustran las gráficas d la structura sin dformar y dformada bajo las cargas y l momnto qu ha slccionado l usuario. Módulo d cálculo d raccions. En st módulo s calcula las raccions qu s producn n los apoyos qu s producn n los (Nodos y 4). Módulo d cálculo d furzas n l lmnto finito. En sta part s calculan las furzas qu s originan n cada lmnto finito bajo las cargas aplicadas (sfurzos axils, sfurzo cortant y momnto flctor), mdiant funcions xtrnas y postriormnt s mustran al usuario. Módulo d rprsntación d los sfurzos axils. En st módulo s mustran las gráficas d los sfurzos axils qu s han calculado para cada lmnto n l módulo d cálculo d furzas y s mustran al usuario uno por uno los diagramas d sfurzos axils d todos los lmntos finitos qu forman l modlo. Módulo d rprsntación d los sfurzos cortants. 9

91 En st módulo s mustran las gráficas d los sfurzos cortants qu s han calculado para cada lmnto n l módulo d cálculo d furzas y s mustran al usuario, uno por uno, los diagramas d sfurzos cortants d todos los lmntos finitos qu forman l modlo. Módulo d rprsntación d los momntos flctors. En st módulo s mustran las graficas d los momntos flctors qu s han calculado para cada lmnto n l módulo d cálculo d furzas y s mustran al usuario, uno por uno, los diagramas d momntos flctors d todos los lmntos finitos qu forman l modlo. Módulo d cálculo d la tnsión d Von Miss. Con st módulo s cirra l programa, aquí s calculan las tnsions d Von Miss d todos los lmntos finitos qu forman l pórtico modlado n st programa Modlado con FEMAP para l Solvr NASTRAN Para ralizar l modlado con FEMAP s han usado lmntos BEAM, los cuals son lmntos finitos muy utilizados a la hora d hacr modlos d structuras rals. 6.6 Calculo Comparativo dl lmnto longitudinal bidimnsional rticulado En st cálculo comparativo s van a comparar los distintos tipos d rsultados qu s han obtnido d calcular l modlo ants dscrito con MATLAB y NASTRAN, sindo stos los siguints: Dsplazamintos Nodals. Racción n los Apoyos. Furzas n los lmntos. Tnsión d Von Miss n los lmntos. 9

92 6.6. Dsplazamintos Nodals Los dsplazamintos y giros nodals calculados por MATLAB para l pórtico rticulado qu s ha modlado, s sumarizan n la Tabla 7. Nodo Nº Dsplazaminto y Giro Nodal X (m) Y (m) Rotación n Z (rad) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) Tabla 7: Dsplazamintos y Giros Nodals Calculados por MATLAB La rprsntación gráfica qu s mustra con MATLAB dl pórtico rticulado sin dformar s pud vr n la (m) Figura 7 y dl pórtico sin dformar y dformado suprpustas s pud vr n la (m) Figura 8. Pórtico Pórtico dformado (m) Figura 7: Pórtico Rticulado 9

93 Pórtico dformado (m) Figura 8: Pórtico Rticulado Dformado Los dsplazamintos y giros nodals dl modlo dl pórtico rticulado calculados por NASTRAN s pudn vr n Tabla 8. Nodo Nº Dsplazaminto y Giro Nodal X (m) Y (m) Rotación n Z (rad) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) Tabla 8: Dsplazamintos y Giros Nodals Calculados por NASTRAN Una vz qu s han mostrado los rsultados d dsplazamintos y giros nodals dl pórtico calculados por sndos programas, s pudn obtnr las difrncias ntr los rsultados d ambos, las cuals s xponn n la Tabla 9. Nodo Nº Difrncias ntr Dsplazaminto y Giro Nodal X (m) Y (m) Rotación n Z (rad) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) Tabla 9: Difrncias ntr Dsplazamintos y Giros Nodals calculados por MATLAB y NASTRAN 9

94 6.6. Raccions n los Apoyos Las raccions qu s producn n los apoyos, calculadas por MATLAB, al sr aplicadas las cargas y l momnto, son las qu s mustran n la Tabla. Nodo Nº Raccions Nodals Rx (N) Ry (N) Mz (Nm) Tabla : Raccions Calculadas por MATLAB Las mismas raccions pro sta vz calculadas por NASTRAN dan como rsultado los valors qu s sumarizan n la Tabla. Nodo Nº Raccions Nodals Rx (N) Ry (N) Mz (Nm) Tabla : Raccions Calculadas por NASTRAN La difrncia qu s obtinn al comparar los rsultados d las raccions calculadas por MATLAB y NASTRAN s mustra n la Tabla. Difrncia ntr los Rsultados d las Nodo Nº RaccionsNodals Rx (N) Ry (N) Mz (Nm) Tabla : Gradiant d las Raccions ntr MATLAB y NASTRAN 6.6. Furzas n los Elmntos En l caso dl lmnto finito longitudinal bidimnsional rticulado, s produc más d un tipo d sfurzo n los lmntos finitos. Esta clas d lmnto finito admás d trasmitir sfurzo axial, qu s l sfurzo qu trasmitían los lmntos studiados hasta ahora, también transmit sfurzos cortants y momntos flctors. Así pus, a continuación s irán analizando, uno por uno, todos los sfurzos n los lmntos dl modlo qu s stá comparando. Los sfurzos axils calculados por MATLAB n los lmntos dl modlo s mustran n la Tabla. 94

95 Elmnto Nº Esfurzo axil (N) Tabla : Esfurzo Axils calculados por MATLAB Los diagramas d sfurzos axils, qu mustra MATLAB al sr jcutado l programa con l qu s calcula st modlo, s pudn vr n las siguints figuras, dond l lmnto stá rprsntado por una lína vrd (a todos los lmntos n las gráficas s ls ha dado una longitud unitaria) y l valor dl sfurzo axil por una lína roja. x 4 Esfurzo axil n l lmnto x 4 Esfurzo axil n l lmnto Figura 9: Esfurzo Axil lmnto Figura : Esfurzo Axil lmnto x 4 Esfurzo axil n l lmnto Figura : Esfurzo Axil lmnto Los sfurzos axils n los lmntos dl modlo, calculados por NASTRAN, s mustran n la Tabla 4. 95

96 Elmnto Nº Esfurzo axil (N) Tabla 4: Esfurzo Axils calculados por NASTRAN La difrncia ntr los rsultados d los sfurzos axils d MATLAB y NASTRAN s mustra n la Tabla 5. Difrncia d sfurzo Elmnto Nº axil (N) Tabla 5: Gradiant d Esfurzos Axils Calculados por MATLAB y NASTRAN El sfurzo cortant s calcula n los nodos qu prtncn al lmnto, tnindo l mismo rsultado para los dos nodos dl mismo lmnto pro con distinto signo, por lo qu l valor d l sfurzo cortant n l lmnto s l valor dl rsultado d la furza calculada n los nodos dl lmnto, pro n st caso, con l signo dl nodo con numración más baja dl lmnto, qu s l qu nos intrsa. Los sfurzo cortants calculados por MATLAB s mustran n la Tabla 6. Elmnto Nº Esfurzo cortant (N) Tabla 6: Esfurzo Cortant calculado por MATLAB Los diagramas d los sfurzo cortants qu mustra MATLAB s pudn vr n las siguints figuras. 96

97 4.5 x 4 Esfurzo cortant n l lmnto -.5 x 4 Esfurzo cortant n l lmnto Figura : Esfurzo Cortant n l Elmnto Figura : Esfurzo Cortant n l Elmnto x 4 Esfurzo cortant n l lmnto Figura 4: Esfurzo Cortant n l Elmnto Los sfurzos cortants calculados por NASTRAN s mustran n la Tabla 7. Elmnto Nº Esfurzo cortant (N) Tabla 7: Esfurzo Cortant Calculado por NASTRAN La difrncia ntr los rsultados ofrcidos por sndos programas d los sfurzos cortants s pud vr n la Tabla 8. 97

98 Difrncia d sfurzo cortant (N), 7,9, Elmnto Nº Tabla 8: Gradiant d Esfurzos Cortants Calculados por MATLAB y NASTRAN El cálculo dl momnto flctor, al igual qu para los sfurzo obtnidos antriormnt, s calcula n los nodos dl lmnto, pro al contrario qu para los sfurzos axil y cortant, l valor dl momnto flctor no s l mismo n ambos nodos, admás los valors d momnto flctor n los dos nodos dl mismo lmnto tinn simpr distinto signo. Para obtnr l diagrama dl momnto flctor a lo largo dl lmnto finito longitudinal bidimnsional rticulado, simplmnt s tin qu trazar la rcta qu un los valors n los nodos dl momnto flctor. Los rsultados dl momnto flctor n los nodos d los lmntos dl pórtico calculados por MATLAB stán rfljados n la Tabla 9. Elmnto Nº Momntos flctor Momntos flctor nodo (Nm) nodo (Nm) Tabla 9: Valors dl Momnto Flctor n lo Nodos d lo Elmntos Calculados por MATLAB Los diagramas d los momntos flctors qu mustra MATLAB n los lmntos dl pórtico son la Figura 5, Figura 6 y Figura 7. 4 x 4 Momnto flctor n l lmnto x 4 Momnto flctor n l lmnto Figura 5: Momnto Flctor n lmnto Figura 6: Momnto Flctor n l lmnto 98

99 5 x 4 Momnto flctor n l lmnto Figura 7: Momnto Flctor n l Elmnto Los rsultados dl momnto flctor n los nodos d los lmntos dl pórtico calculados por NASTRAN s pudn vr n Tabla 4. Elmnto Nº Momntos flctor Momntos flctor nodo (Nm) nodo (Nm) Tabla 4: Valors dl Momnto Flctor Calculado por NASTRAN n los Nodos d los Elmntos La difrncia qu s produc ntr los rsultados d los momntos flctors calculados por MATLAB y NASTRAN s mustran n la siguint tabla. Elmnto Nº Difrncia d momnto flctor n l primr nodo (Nm) Difrncia dl momnto flctor n l sgundo nodo (Nm),49 9,5 9,5 -,75 -,75-8,76 Tabla 4: Valors dl Gradint ntr MATLAB y NASTRAN n l cálculo d momntos flctors Tnsión d Von Miss n los Elmntos Las tnsions d Von Miss s han calculado con l programa d MATLAB como s xplicaba n l apartado 6.4. La scción transvrsal d todos los lmntos finitos usados n l modlo s cuadrada, por lo tanto l momnto stático y l momnto d inrcia tndrán las siguints xprsions: 99

100 b b m = ( y ) (6.7) 4 4 b I z = (6.8) Una vz qu ya s tinn las xprsions dl momnto stático y dl momnto d inrcia, s pudn dsarrollar las xprsions d la tnsión normal y d la tnsión tangncial d la siguint manra. M σ = +. y (6.9) 4 A b T( b 4 y ) τ = (6.) Ab Para obtnr la tnsión d Von Miss máxima, los valors d las tnsions normal y tangncial qu intrsan, son los máximos qu s producn dntro d la scción transvrsal. Sabindo ntoncs, qu para una scción simétrica, como s st caso, la tnsión normal s máxima cuanto más aljada s ncuntr dl cntro d gravdad d la scción transvrsal y qu la scción tangncial s máxima n l cntro d gravdad d la misma, qudan las siguints xprsions d las tnsions normal y tangncial máxima: 6 M σ = + (6.) A b T τ = (6.) A La tnsión d Von Miss calculada por MATLAB para los lmntos dl pórtico s la qu s mustran n la Tabla 4.

101 Tnsion d Von Miss Elmnto Nº (N/m ) Tabla 4: Tnsión d Von Miss calculada por MATLAB La tnsión d Von Miss calculada por NASTRAN para los lmntos dl pórtico s pud obsrvar n la Tabla 4. Tnsion d Von Miss Elmnto Nº (N/m ) Tabla 4: Tnsión d Von Miss calculada por NASTRAN La difrncia qu s produc ntr los rsultados ofrcidos por los dos programas n l cálculo d la tnsión d Von Miss s sumarizan n la Tabla 44. Difrncia d la Elmnto Nº Tnsion d Von Miss (N/m ) -9,75 5,56 6-5,5 5 Tabla 44: Gradiant ntr las tnsions d Von Miss Calculada por MATLAB y NASTRAN 6.7 Conclusions dl Estudio Comparativo dl Elmnto Finito Longitudinal Bidimnsional Rticulado. Al obsrvar los rsultados dl studio comparativo ralizado sobr l lmnto finito longitudinal bidimnsional rticulado, s aprcia qu las difrncias obtnidas son insignificants comparados con l valor ral d los rsultados, lo cual indica la gran prcisión qu ofrc MATLAB n l cálculo d st tipo d lmnto finito, pro hay qu tnr n cunta qu l rror comtido, aún sindo d mdia trs ordns d magnitud mnor qu l propio valor d los rsultados, s bastant más grand qu l comtido por los dos tipos d lmntos finitos studiados antriormnt, admás, n st caso s produc un pquño rror n l cálculo d las raccions dl modlo, mintras qu n los casos antriors la comparativa d los rsultados d las raccions calculadas no producía rror. Así pus, para l lmnto finito longitudinal bidimnsional rticulado, s pud concluir qu MATLAB ofrc una gran prcisión d cálculo, pro s db tnr n cunta l aumnto dl rror n los rsultados ofrcidos comparado con los lmntos antriormnt studiados.

102

103 7 ESTUDIO COMPARATIVO PARA UN ELEMENTO FINITO LONGITUDINAL TRIDIMENSIONAL RETICULADO 7. Introducción al Elmnto Finito Longitudinal Tridimnsional Rticulado Est lmnto finito s igual al lmnto finito studiado n l capitulo antrior (tin sistma d coordnadas global y local, s pudn aplicar a sus nodos furzas y momntos y stá dlimitado por dos nodos, uno n cada xtrmo dl lmnto), pro n vz d sr un lmnto bidimnsional situado n un plano s un lmnto tridimnsional situado n l spacio. Así pus, s pud dcir qu l lmnto finito tridimnsional rticulado s una xtrapolación dl lmnto bidimnsional rticulado a las trs dimnsions qu dfinn l spacio. El lmnto finito tridimnsional rticulado s, sin duda, uno d los lmntos finitos longitudinals más usado para la laboración d modlos dsarrollados para l studio d structuras a nivl d un proycto ral, como por jmplo: la structura d un dificio, l chasis d un vhículo tc. 7. Matriz d rigidz dl Elmnto Tridimnsional Rticulado Para mpzar a podr dsarrollar la xprsión d la matriz d rigidz dl lmnto finito tridimnsional rticulado, lo primro s dfinir la orintación dl sistma coordnado local x,y,z, para lo cual s toman como rfrncia trs puntos. El j x s orinta d forma colinal a la rcta qu un los puntos y d rfrncia, los cuals son coincidnts con los dos nodos dl lmnto finito tridimnsional rticulado. El trcr punto, usado d rfrncia para la orintación dl sistma d coordnadas local, pud sr cualquir punto qu no sté a lo largo d la lína qu un los puntos y, stando l j y orintado sgún l plano dfinido por los puntos d rfrncia, y. El j z quda automáticamnt dfinido por l hcho d qu x,y,z forman un sistma d coordnadas cartsiano. Los js locals y, z s stablcn como los js principals d inrcia d la scción transvrsal dl lmnto finito tridimnsional rticulado. Para dfinir las propidads qu caractrizan la scción transvrsal d st lmnto finito, s usan los siguints parámtros:

104 4 Ára. Momnto d inrcia I y. Momnto d inrcia I z. Momnto polar d inrcia J. La matriz d rigidz dl lmnto tridimnsional rticulado, rfrnciada a las coordnadas locals, s una matriz d dimnsions X, ya qu cada uno d los dos nodos d st lmnto finito tin sis grados d librtad. La xprsión d sta matriz d rigidz, s obtin por gnralización dircta d la matriz d rigidz n coordnadas locals dl lmnto bidimnsional rticulado: = z y y y z z z z z y y y y y y y z z z z l E I l E I A C I R T É M I S l G J l E I l E I l E I l E I l A E l E I l E I l E I l E I l E I l E I l G J l G J l E I l E I l E I l E I l E I l E I l E I l E I l A E l E A k ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (7.) Una vz obtnida la matriz d rigidz n coordnadas locals dl lmnto finito tridimnsional rticulado, l siguint paso s rfrir la matriz d rigidz a coordnadas globals, para lo cual, al igual qu s ha hcho con antrioridad, s ncsita dfinir la matriz d transformación global-local, sta vin dada (como para los casos antriors) vin dada por: L q q '= (7.)

105 La matriz d transformación para st lmnto finito, consta d filas por columnas y stá dfinida con bas n una matriz λ d X. λ λ L = (7.) λ λ La matriz λ d cosnos dirctors tin la siguint forma: l m n λ = l m n (7.4) l m n Dond: l, m, n : l, m, n : l, m, n : Cosnos dirctors dl j local x con los js globals x, y, z rspctivamnt. Cosnos dirctors dl j local y con los js globals x, y, z rspctivamnt. Cosnos dirctors dl j local z con los js globals x, y, z rspctivamnt. Estos cosnos dirctors s obtinn d las coordnadas d los puntos d rfrncia, y, para los trs js locals dl mismo modo. Las xprsions d los cosnos dirctors dl j local x con los js globals s mustran a continuación: x x l l =, y y m l =, z z = (7.5) n l Sindo: l ( x x ) + ( y y ) + ( z ) = (7.6) z 5

106 La matriz d rigidz dl lmnto n coordnadas globals vin dada a través d la matriz d rigidz n coordnadas locals y la matriz d transformación d la siguint manra: t k = L k' L (7.7) La matriz d rigidz global d un modlo d lmntos finitos tridimnsionals rticulados s nsambla igual qu para los casos antriors pro tnindo n cunta qu n st caso cada nodo tin sis grados d librtad. 7. Cálculo d la Tnsión d Von Miss n l Elmnto Tridimnsional Rticulado En st caso, al igual qu para l caso antrior, l lmnto finito va a star somtido a un stado tnsional compljo, por sta razón va a sr ncsario l cálculo d la tnsión d Von Miss. La única difrncia con l caso dl lmnto finito bidimnsional rticulado s qu para st caso l stado tnsional no s plano dado qu n st caso s tinn qu tnr n cunta furzas y momntos n las trs dimnsions dl spacio. La xprsión d la tnsión d Von Miss quda d la siguint manra: ( τ τ ) σ VM = σ x + xy + xz (7.8) La tnsión normal dl lmnto finito tridimnsional rticulado σ x, s obtin a partir dl sfurzo axil y d los momntos flctors, como s dtalla a continuación: M M σ y (7.9) y z x = + y + A I z I y Dond: y = Distancia d la fibra nutra a la máxima tnsión normal gnrada por l momnto flctor n Y. y = Distancia d la fibra nutra a la máxima tnsión normal gnrada por l momnto flctor n Z. Las xprsions d las tnsions cortants τ xy y τ xz d st lmnto finito, qu s obtinn a partir d los sfurzos cortants y l momnto torsor, son las siguints: 6

107 Txy m τ xy = +τ b I T m momnto _ torsor xz τ xz = +τ momnto _ torsor b I (7. ) 7.4 Dscripción d la Elaboración dl Modlo Usado para l Estudio Comparativo dl Elmnto Bidimnsional Rticulado El problma qu s va a plantar para l studio comparativo dl lmnto tridimnsional rticulado, consist n un marco tridimnsional rticulado sobr l qu s han aplicado n uno d sus unions una furza horizontal n l sntido positivo dl j X y una furza vrtical n l sntido ngativo dl j Z. Para podr visualizar claramnt la structura, sta s rprsnta n la Figura 8. F z F x Z X Y Figura 8: Marco Tridimnsional Rticulado Los datos ncsarios, qu s dbn introducir n los programas para podr ralizar l modlo d sta structura, son: la longitud d los pilars dl marco (todos llos son iguals), la longitud d las vigas dl marco (todas llas son iguals), la scción transvrsal d todos los lmntos qu forman l marco tridimnsional (n st 7

108 caso s una scción cuadrada d iguals dimnsions para todos) y los momntos d inrcia. Dl matrial qu s ha usado para los lmntos qu conforman l marco, las propidads qu s ncsitan conocr son: su módulo d lasticidad y su módulo d lasticidad transvrsal. A continuación, s mustran los datos ncsarios dl problma qu s quirn studiar: Longitud d los pilars Longitud d la viga Matrial :.5 m :.5 m : Módulo d lasticidad: N/m Scción transvrsal :. m Momnto d inrcia n Y :. -7 m 4 Momnto d inrcia n Z :. -7 m 4 Momnto polar d inrcia : m 4 : Módulo d lasticidad transvrsal 7.69 N/m Furza Horizontal n X (Fx) Furza Vrtical (Fz) : 9 N : N Para modlar st marco con los lmntos finitos tridimnsionals rticulados, s ha dispusto la numración d nodos y d lmntos qu s mustra n la Figura 9 y n la Tabla 45. 8

109 Nodo con todos sus grados d librtad rstringidos 4 4 Nodo con todos sus grados d librtad rstringidos Z X Nodo con todos sus grados d librtad rstringidos Nodo con todos sus grados d Y librtad rstringidos Figura 9: Modlo con Elmntos Tridimnsionals Rticulados Elmntos odos Tabla 45: Conctividad d Elmntos y Nodos Para laborar l modlo d st marco tridimnsional mdiant lmntos finitos tridimnsionals rticulados, s han dando tanto n MATLAB como n FEMAP las siguints propidads a los lmntos finitos qu s han usado: Elmnto, Elmnto, Elmnto, Elmnto 4: Longitud Scción Transvrsal :.5 m :. m Momnto d Inrcia n Y :. -7 m 4 Momnto d Inrcia n Z :. -7 m 4 9

110 Momnto polar d inrcia : m 4 Módulo d lasticidad :. N/m Módulo d lasticidad transvrsal : 7.69 N/m Elmnto, Elmnto, Elmnto, Elmnto 4: Longitud Scción Transvrsal :. m :. m Momnto d Inrcia n Y :. -7 m 4 Momnto d Inrcia n Z :. -7 m 4 Momnto polar d inrcia : m 4 Módulo d lasticidad :.: N/m Módulo d lasticidad transvrsal : 7.69 N/m 7.4. Modlado con MATLAB El programa con l qu s modla st marco mdiant lmntos finitos tridimnsionals rticulados consta d los siguints módulos. Módulo d ntrada d Datos. En st módulo s la pid al usuario qu introduzca los valors d longitud d los pilars y d la viga dl marco, la scción, los momntos d inrcia n Y y Z, l momnto polar d inrcia, l módulo d lasticidad y l módulo d lasticidad transvrsal. Módulo d rprsntación d la structura. Aquí s ralizan las opracions ncsarias para podr mostrar al usuario una rprsntación gráfica dl marco qu s va a studiar. Módulo d cálculo matrics d rigidz d los lmntos. En st módulo, mdiant llamadas a funcions xtrnas, s calculan las matrics d rigidz d cada lmnto (n st caso y n los postriors ya no s van ha mostrar los matrics d los lmntos dado su gran tamaño).

111 Módulo d nsamblaj d la matriz global d rigidz. En st módulo s procd a ralizar la opración d nsamblaj d la matriz d rigidz global dl sistma mdiant una función xtrna (n st caso y n los postriors ya no s va ha mostrar la matriz global d rigidz dado su gran tamaño). Módulo d cálculo d dsplazamintos nodals. Aquí s aplican todas las condicions d contorno, s l pid al usuario qu introduzca l valor d las Furzas n l nodo 5, s planta la cuación qu rlaciona la matriz d rigidz global con cargas y dsplazamintos nodals, s obtinn stos últimos y s l mustran los rsultados al usuario. Módulo d rprsntación d la structura sin dformar y dformada. Aquí s ralizan las opracions ncsarias para podr mostrar al usuario una rprsntación gráfica dl marco primro sin dformar (como ya s mostró n un módulo antrior) y, lugo suprpustas, s mustran las gráficas dl marco sin dformar y dformado bajo las cargas y l momnto qu ha slccionado l usuario. Módulo d cálculo d raccions. En st módulo s calcula las raccions qu s producn n los apoyos qu s producn n los nodos,, y 4. Módulo d cálculo d furzas n l lmnto finito. En sta part s calculan las furzas qu s originan n cada lmnto finito bajo las cargas aplicadas (sfurzos axils n Y Z, sfurzo cortant n Y Z, momnto flctor n Y Z y momnto torsor), mdiant funcions xtrnas y postriormnt s mustran al usuario. Módulo d rprsntación d los sfurzos axils n Y y Z. En st módulo s mustran al usuario, uno por uno, los diagramas d sfurzos axils n Y y Z, d todos los lmntos finitos qu forman l modlo. Módulo d rprsntación d los sfurzos cortants n Y y Z. En st módulo s mustran al usuario, uno por uno, los diagramas d sfurzos cortants n Y y Z, d todos los lmntos finitos qu forman l modlo. Módulo d rprsntación d los momntos flctors n Y y Z.

112 En st módulo s mustran al usuario, uno por uno, los diagramas d momntos flctors n Y y Z d todos los lmntos finitos qu forman l modlo. Módulo d rprsntación d los momntos torsors. En st módulo s mustran al usuario, uno por uno, los diagramas d momntos torsors d todos los lmntos finitos qu forman l modlo. Módulo d cálculo d la tnsión d Von Miss. Con st módulo, s cirra l programa calculando las tnsions d Von Miss d todos los lmntos finitos qu forman l marco modlado n st programa Modlado con FEMAP para l Solvr NASTRAN Para ralizar l modlado con FEMAP s han usado lmntos BEAM, al igual qu para l capítulo antrior, pro n st caso las solicitacions sobr stos lmntos van a sr tridimnsionals. 7.5 Cálculo Comparativo dl Elmnto Tridimnsional Rticulado En st cálculo comparativo s van a comparar los siguints tipos d rsultados obtnidos dl modlo laborado con MATLAB y NASTRAN: Dsplazamintos nodals. Racción n los apoyos. Furzas n los lmntos. Tnsión d Von Miss n los lmntos Dsplazamintos Nodals Los dsplazamintos y giros nodals calculados por matlab para l modlo dl marco tridimnsional laborado con lmntos finitos dl tipo longitudinal tridimnsional rticulado s mustran n la Tabla 46.

113 Dsplazaminto nodals (m) Nodo Nº X (m) Y (m) Z (m) 4 (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL Giros nodals (m) Rotación Rotación Rotación n X (rad) n Y (rad) n Z (rad) (GDL (GDL (GDL rstringido) rstringido) rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) rstringido) rstringido) rstringido) Tabla 46: Dsplazamintos y Giros Nodals Calculados por MATLAB La rprsntación grafica laborada con MTALAB dl modlo dl marco tridimnsional rticulado s pud vr n la (m) Figura 4, y la rprsntación qu s hac dl marco dformado suprpusto sobr l marco sin dformar s rprsnta n la (m) Figura 4..5 N.5.5 Y X.5 (m)

114 Figura 4: Marco Tridimnsional Rticulado.5 N.5.5 Y X.5 (m) Figura 4: Marco Tridimnsional Rticulado Dformado y sin Dformar Los dsplazamintos y giros nodals dl mismo modlo, pro n st caso calculados por NASTRAN s mustran n la Tabla 47. Tabla 47: Dsplazamintos y Giros Nodals Calculados por NASTRAN Dsplazaminto nodals (m) Nodo Nº X (m) Y (m) Z (m) 4 (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) Giros nodals (m) Rotación Rotación Rotación n X (rad) n Y (rad) n Z (rad) (GDL (GDL (GDL rstringido) rstringido) rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) 4

115 5,9 -,49 -,,7,64,84 6,677 -,49,,7,6,84 7,677,47 -, -,4,6,84 8,899,47 -, -,4,64,84 Nodo Nº 4 La difrncia qu s obtin al comparar los datos d dsplazamintos y giros nodals ofrcidos por sndos programas s pudn vr n la Tabla 48. Difrncias ntr Dsplazaminto y Giro Nodal (m) X (m) Y (m) Z (m) Rotación Rotación n X (rad) n Y (rad) (GDL (GDL (GDL (GDL (GDL rstringido) rstringido) rstringido) rstringido) rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) Rotación n Z (rad) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) 5 5,7E-4-9,9E-5,E-5,5E-,7E-,6E- 6,79E-4-9,9E-5 -,E-5,5E- 5,5E-,6E- 7,79E-4 8,5E-5,E-5 -,47E- 5,5E-,6E- 8 5,9E-4 8,5E-5-6,9E-6 -,47E-,6E-,6E- Tabla 48: Difrncia d Dsplazamintos y Giros Nodals 7.5. Raccions n los Apoyos Las raccions n los apoyos dl marco (nodos,, y 4) qu s gnran al aplicar las cargas, calculadas por MATLAB son (Tabla 49). Nodo Raccions Nº Rx (N) Ry (N) Rz (N)) Mx (Nm) My (Nm) Mz (Nm) -,7 4 7,4 7,7 4-6, -,8 4 -,5 -, 4 7,4 -, 4-6, -9,67 -,5 -, 4-7,4, 4 6, -9,67 -,4 4 -,7 4-7,4,8 4 6, -,8 4 -,4 Tabla 49: Raccions Calculadas por MATLAB Las mismas raccions calculadas por NASTRAN tinn como rsultados los qu s mustran n la Tabla 5. 5

116 Nodo Raccions Nº Rx (N) Ry (N) Rz (N)) Mx (Nm) My (Nm) Mz (Nm) -,7 4 7,4 7,7 4-6, -,8 4 -,5 -, 4 7,4 -, 4-6, -9,67 -,5 -, 4-7,4, 4 6, -9,67 -,5 4 -,7 4-7,4,8 4 6, -,8 4 -,5 Tabla 5: Raccions Calculadas por NASTRAN La difrncia ntr los rsultados d las raccions calculadas por MATLAB y por NASTRAN s (Tabla 5). Nodo Difrncia ntr los Rsultados d las Raccions Nodals Nº Rx (N) Ry (N) Rz (N)) Mx (Nm) My (Nm) Mz (Nm) -,96 5,98 -,9 -,55 7,86 4,9,56 5,98 -,4 -,55 6,8 4,9, -5,98,,8 6,5 4,6 4 -,6-5,98,,8 8,54 4,6 Tabla 5: Difrncia ntr las Raccions calculadas por los dos programas 7.5. Furzas n los Elmntos Al sr st un caso tridimnsional, s tinn sfurzos cortants y momntos flctors n dos planos (plano YX y plano ZX) n vz d solo n uno, como ocurría para l caso dl lmnto finito longitudinal bidimnsional rticulado. Admás, n st caso, xistn n l lmnto finito sfurzo torsors. A continuación s irán analizando uno por uno todos los sfurzos n los lmntos d st modlo somtido al studio comparativo. Los sfurzos axils s por MATLAB n cada uno d los ocho lmntos finitos qu componn l modlo, cuya numración s mustra n la Figura 9, s sumarizan n la (Tabla 5). Elmnto Nº Esfurzo axil (N),-7,678 4, 4 -, 4 4 -,8 4 5, , ,498 4 Tabla 5. Esfurzo Axils n l Modlo dl Marco Tridimnsional calculados por MATLAB 6

117 Los diagramas d sfurzos axils qu mustra MATLAB, s pudn vr n las siguint figuras (s rprsntan d la misma forma qu para l caso dl lmnto bidimnsional rticulado). x 4 Esfurzo axil n l lmnto x 4 Esfurzo axil n l lmnto x 4 Esfurzo axil n l lmnto x 4 Esfurzo axil n l lmnto Figura 4: Diagramas d sfurzos axils n los lmntos,, y 4 rspctivamnt Esfurzo axil n l lmnto 5 Esfurzo axil n l lmnto 6 Esfurzo axil n l lmnto 7 x 4 Esfurzo axil n l lmnto Figura 4: Diagramas d sfurzos axils n los lmntos 5, 6, 7 y 8 rspctivamnt Los sfurzos axils n los lmntos finitos qu componn l marco calculado con NASTRAN stán rfljados n la Tabla 5. Elmnto Nº Esfurzo axil (N) -7,7 4, 4 -, 4 4 -, ,96 7

118 7 8-4,5 4 Tabla 5: Esfurzo Axils n l Modlo dl Marco Tridimnsional calculados por NASTRAN La difrncia ntr los rsultados d los sfurzos axils calculados por MATLAB y NASTRAN s mustra n la Tabla 54. Difrncia d sfurzo axil Elmnto Nº (N) Tabla 54: Difrncia d Esfurzos Axils El cálculo d sfurzos cortants para los planos XY y XZ d cada uno d los lmntos finitos tridimnsional rticulado d st modlo, s ralizan d la misma forma qu n l lmnto finito dl capítulo antrior. El sfurzo cortant n l plano XY d los lmntos qu componn l modlo dl marco, calculados por MATLAB son los qu s mustran n la Tabla 55. Esfurzo cortant n l Elmnto Nº plano XY (N) -,7 4 -, 4 -, 4 4 -, , 4 6 7,4 7 -, 4 8 7,4 Tabla 55: Esfurzos Cortants n l plano XY calculados por MATLAB Los diagramas d sfurzos cortants n l plano XY qu mustra MATLAB son los qu s pudn obsrvar n las siguints figuras. 8

119 x 4 Esfurzo cortant n n l plano XY n l lmnto COMPARATIVA ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON MATLAB Y NASTRAN MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS Esfurzo cortant n n l plano XY n l lmnto Esfurzo cortant n n l plano XY n l lmnto x 4 Esfurzo cortant n n l plano XY n l lmnto Figura 44: Diagramas d sfurzos Cortants n l Plano XY n los lmntos,, y 4 rspctivamnt Esfurzo cortant n n l plano XY n l lmnto 5 Esfurzo cortant n n l plano XY n l lmnto 6 Esfurzo cortant n n l plano XY n l lmnto 7 Esfurzo cortant n n l plano XY n l lmnto Figura 45: Diagramas d sfurzos Cortants n l Plano XY n los lmntos 5, 6, 7 y 8 rspctivamnt Los sfurzos cortants n l plano XY n los lmntos dl marco calculados por NASTRAN s pudn vr n la Tabla 56. Esfurzo cortant n l Elmnto Nº plano XY (N) -,7 4 -, 4 -, 4 4 -, , 4 6 7,4 7 -, 4 8 7,4 Tabla 56: Esfurzos Cortants n l Plano XY Calculados por NASTRAN La difrncia qu s produc ntr los rsultados d los dos programas para l cálculo dl sfurzo tangncial n l plano XY s mustra n la Tabla 57. 9

120 Difrncia d Esfurzo cortant n l Elmnto Nº plano XY (N),96,56, 4,6 5,5 6 6,8 7,7 8 6,8 Tabla 57: Difrncia d Esfurzos Cortants n l Plano XY Los rsultados d sfurzos cortants n l plano XZ calculados por MATLAB son los qua s xponn n la Tabla 58. Esfurzo cortant n l Elmnto Nº plano XZ (N) -7,494-7,494E 7, , ,85 6, ,877 8,57 4 Tabla 58: Esfurzos Cortants n l plano XZ calculados por MATLAB Los diagramas d sfurzos cortants n l plano XZ qu rprsnta MATLAB son los qu s mustran n la Figura 46 y Figura 47. Esfurzo cortant n n l plano XZ n l lmnto Esfurzo cortant n n l plano XZ n l lmnto Esfurzo cortant n n l plano XZ n l lmnto Esfurzo cortant n n l plano XZ n l lmnto Figura 46: Diagramas d sfurzos Cortants n l Plano XZ n los lmntos,, y 4 rspctivamnt

121 Esfurzo cortant n n l plano XZ n l lmnto 5 Esfurzo cortant n n l plano XZ n l lmnto 6 Esfurzo cortant n n l plano XZ n l lmnto 7 x 4 Esfurzo cortant n n l plano XZ n l lmnto Figura 47: Diagramas d sfurzos Cortants n l Plano XZ n los lmntos 5, 6, 7 y 8 rspctivamnt Los sfurzos cortants n l plano XZ n los lmntos dl marco calculados por NASTRAN s pudn vr n la Tabla 59. Esfurzo cortant n l Elmnto Nº plano XZ (N) -7,4-7,4 7,4 4 7,4 5-6,868 6, ,857 8,547 Tabla 59: Esfurzos Cortants n l plano XZ calculados por NASTRAN La difrncia ntr los rsultados d los sfurzos cortants n l plano XZ obtnidos por los dos programas s la qu s sumariza n la Tabla 6. Difrncia d Esfurzo Cortant n l Elmnto Nº plano XZ (N) 6,79 6,79 6,79 4 6,79 5,484 6,8 7, ,7 Tabla 6: Difrncia d Esfurzos Cortants n l Plano XZ Al igual qu para los sfurzos cortants los momntos flctors d los planos XY y XZ d los lmntos finitos tridimnsionals rticulados, s calculan d la misma manra qu para l lmnto dl capítulo antrior. Los momntos flctors n l

122 plano XY d los lmntos dl marco calculados por MATAB son los qu s mustran n la Tabla 6. Elmnto Nº Momntos flctor n l Momntos flctor n l plano XY nodo (Nm) plano XY nodo (Nm) -6, 5,5-6, 5,5 6,77-5,9 4 6,77-5,9 5-4,8 4, ,8-8675,46 7-4,4 4,4 8 7,74-99,4 Tabla 6: Momntos flctors n l plano XY calculados por MATLAB Los diagramas d los momntos flctors n l plano XY qu rprsnta MATLAB s mustran n las Figura 48 y Figura Momnto flctor n n l plano XY n l lmnto 6 Momnto flctor n n l plano XY n l lmnto 8 Momnto flctor n n l plano XY n l lmnto 8 Momnto flctor n n l plano XY n l lmnto Figura 48: Diagramas d Momntos Flctors n l Plano XY d los lmntos,,, y 4 rspctivamnt 5 Momnto flctor n n l plano XY n l lmnto 5 x 4 Momnto flctor n n l plano XY n l lmnto 6 5 Momnto flctor n n l plano XY n l lmnto 7.5 x 4 Momnto flctor n n l plano XY n l lmnto Figura 49: Diagramas d Momntos Flctors n l Plano XY d los lmntos 5, 6, 7, y 8 rspctivamnt

123 Los rsultados d los momntos flctors n l plano XY calculados por NASTRAN s mustran n la Tabla 6. Elmnto Nº Momntos flctor n l Momntos flctor n l plano XY nodo (Nm) plano XY nodo (Nm) -69,45 55,8-69,45 55,8 67, -57, 4 67, -57, 5-4,9 4, , , 7-44, 44, 8 9, -84, Tabla 6: Momntos flctors n l plano XY calculados por NASTRAN La difrncia d valors ntr los momntos flctors n l plano XY calculados por ambos programas s mustra n la Tabla 6. Elmnto Nº Difrncia dl Momntos flctor n l plano XY nodo (Nm) Difrncia dl Momntos flctor n l plano XY nodo (Nm) -,57 6,6 -,57 6,6,57-6,7 4,57-6,7 5-8,9 8,9 6 -,56,56 7-8,9 8,9 8 5,44 5,4 Tabla 6: Difrncia dl Momnto Flctor n l plano XY Calculado por MATLAB y NASTRAN Los rsultados d los momntos flctors n l plano XZ calculados por MATLAB son los qu s sumarizan n la Tabla 64. Elmnto Nº Momntos flctor n l Momntos flctor n l plano XZ nodo (Nm) plano XZ nodo (Nm) -86,56 444, ,4 77,5-9665,98 74, , 4, , , ,6-445, , , ,6-445,7 Tabla 64: Momntos flctors n l plano XY calculados por MATLAB Los diagramas d los momntos flctors n l plano XZ qu mustra MATLAB s rprsntan n la Figura 5 y Figura 5.

124 x 4 Momnto flctor n n l plano XZ n l lmnto COMPARATIVA ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON MATLAB Y NASTRAN MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS 8 Momnto flctor n n l plano XZ n l lmnto 8 Momnto flctor n n l plano XZ n l lmnto x 4 Momnto flctor n n l plano XZ n l lmnto Figura 5: Diagramas d Momntos Flctors n l Plano XZ d los lmntos,,, y 4 rspctivamnt 8 Momnto flctor n n l plano XZ n l lmnto 5 5 Momnto flctor n n l plano XZ n l lmnto 6 8 Momnto flctor n n l plano XZ n l lmnto 7 5 Momnto flctor n n l plano XZn l lmnto Figura 5: Diagramas d Momntos Flctors n l Plano XZ d los lmntos 5, 6, 7, y 8 rspctivamnt Los rsultados d los momntos flctors n l plano XZ calculados por NASTRAN s mustran n la Tabla 65. Elmnto Nº Momntos flctor n l Momntos flctor n l plano XZ nodo (Nm) plano XZ nodo (Nm) -87,86 4, -967,8 76,4-967,5 77, ,54 4, , 689, , -4449, ,4 6798, , -4449,4 Tabla 65: Momntos flctors n l plano XZ calculados por NASTRAN 4

125 La difrncia ntr los rsultados d MATLAB y NASTRAN n l cálculo d los momntos flctors n l plano XZ s mustra n la Tabla 66. Elmnto Nº Difrncia dl Momntos flctor n l plano XY nodo (Nm) Difrncia d Momntos flctor n l plano XY nodo (Nm) 8,,45 6,56,47 6,55,4 4 8,,44 5,5,7 6,86,85 7,6,6 8,86,85 Tabla 66: Difrncia dl Momnto Flctor n l plano XZ Calculado A continuación s va a mostrar los rsultados d los momntos torsors qu s producn n los lmntos. Estos momntos torsors s obtinn d modo similar qu los sfurzos cortants, sindo st rsultado obtnido n los nodos qu prtncn al lmnto, n los cuals s da l mismo rsultado pro con distinto signo, por lo qu l valor d l momnto torsor n l lmnto s l valor dl rsultado d la furza calculada n los nodos con l signo dl nodo con numración más baja dl lmnto. Los valors calculados por MATLAB d los momntos torsors n los lmntos finitos tridimnsionals rticulados dl modlo, son los qu s mustran n la Tabla 67. Elmnto Nº Momnto Torsor (Nm) 45,8 45,8 4,5 4 4,5 5-6,9 6-9, ,5 8-9,968 Tabla 67: Momntos Torsors calculados por MATLAB Los diagramas d momntos torsors qu mustra MATLAB al usuario son los qu s rfljan n la Figura 5 y Figura 5. 5

126 5 momnto torsor n l lmnto COMPARATIVA ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON MATLAB Y NASTRAN MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS 5 momnto torsor n l lmnto 5 momnto torsor n l lmnto 5 momnto torsor n l lmnto Figura 5: Diagramas d Momntos Torsors d los lmntos,,, y 4 rspctivamnt momnto torsor n l lmnto 5 momnto torsor n l lmnto 6 momnto torsor n l lmnto 7 momnto torsor n l lmnto Figura 5: Diagramas d Momntos Torsors d los lmntos 5, 6, 7, y 8 rspctivamnt Los rsultados d los momntos torsors dl modlo tridimnsional qu calcula NASTRAN, son los qu s mustran n la Tabla 68. Elmnto Nº Momnto Torsor (Nm) 5,94 5,94 48,6 4 48,6 5-4,9 6-9, ,5 8-9,994 Tabla 68. Momntos Torsors calculados por NASTRAN Las difrncias ntr los rsultados d los momntos torsors calculados por MATLAB y NASTRAN s pudn vr n la Tabla 69. 6

127 Gradiant d Elmnto Nº Momnto Torsor (Nm) 5,4 5,4 5, 4 5, 5 4, 6,6 7 4, 8,6 Tabla 69: Difrncia dl Momnto Torsor Tnsión d Von Miss n los Elmntos Las tnsions d Von Miss s han calculado con l programa d MATLAB como s xplicaba n l apartado 7.. Al sr la scción transvrsal d todos los lmntos finitos usados n st modlo cuadrada, la xprsión d la tnsión tangncial producida por l momnto torsor s. M T τ = (7.).8 l Dado qu para calcular la tnsión d Von Miss s usan los máximos d los valors d las tnsions producidos n la scción transvrsal, las xprsions qu toman las tnsions normal y tangncial máximas n st caso para una scción transvrsal cuadrada son: T σ = A 6 M + b y + 6 M xy T xz T τ xy = +, τ xz = + A M.8 l b y T A M.8 l (7. ) 7

128 Los rsultados qu calcula MATLAB d la tnsión d Von Miss n l modlo dl marco son los qu s pudn vr n la Tabla 7. Tnsión d Von Miss Elmnto Nº (N/m ),558 9,9 9,8 9 4, 9 5 7, , , ,745 9 Tabla 7: Tnsión d Von Miss Calculada por MATLAB NASTRAN calcula la tnsión d Von Miss n los lmntos dl modlo dl marco tridimnsional qu s mustra n la Tabla 7. Tnsión d Von Miss Elmnto Nº (N/m ),44 9,78 9,7 9 4, 9 5 7, 8 6 8, ,8 8 8,785 9 Tabla 7: Tnsión d Von Miss Calculada por NASTRAN Las difrncias qu s producn ntr los rsultados d la tnsión d Von Miss calculados por MATLAB y NASTRAN son las s pudn vr n la Tabla 7. Difrncia d Tnsión Elmnto Nº d Von Miss (N/m ),97 7 4,85 7 4,78 7 4, 7 5, , , ,79 6 Tabla 7: Difrncia ntr las tnsions d Von Miss 8

129 7.6 Conclusions dl Estudio Comparativo dl Elmnto Finito Tridimnsional Rticulado. Las conclusions qu s pudn obtnr dl lmnto finito tridimnsional rticulado son xactamnt las mismas qu para l lmnto finito bidimnsional rticulado. Los rrors producidos n la obtnción d rsultados son muy parcidos para los dos lmntos finitos rticulados, por lo qu s pud aprciar qu la xtrapolación a un stado tridimnsional dl lmnto finito bidimnsional rticulado no conllva un aumnto dl rror n la prcisión d cálculo ofrcida por MATLAB. 9

130

131 8 ESTUDIO COMPARATIVO DE UN ELEMENTO CUADRILÁTERO BIDIMENSIONAL ISOPARAMÉTRICO 8. Introducción al Elmnto Finito Cuadrilátro Isoparamétrico. El lmnto finito cuadrilátro isoparamétrico s un lmnto finito suprficial, st aspcto l distingu d los lmntos finitos studiados hasta ahora, dado qu ran todos longitudinals. El lmnto finito cuadrilátro isoparamétrico, al igual qu los lmntos finitos studiados hasta ahora, s dfin mdiant funcions d forma con rspcto a sus coordnadas intrínscas. Al sr st tipo d lmnto finito suprficial, no valdrá n con dfinirlo a través d funcions d forma n una sola dircción, como s ha hcho hasta hora, sino qu s dfinirá mdiant funcions d forma n las dos dirccions prpndiculars contnidas n su plano, s dcir, para l j X y para l j Y d sus coordnadas locals. El lmnto cuadrilátro bidimnsional isoparamétrico pud soportar furzas n su propio plano Fx y Fy, pro al igual qu l lmnto finito bidimnsional articulado no pud trasmitir los momntos puntuals aplicados n sus nodos, por lo qu no pud sr somtido a momntos xtrnos. Est tipo d lmnto finito tin un nodo n cada squina, por lo qu al sr cuadrilátro pos cuatro nodos, los cuals tinn cada uno dos grados d librtad (los dsplazamintos n l plano). A lo hora d numrar los nodos, s db sguir un ordn crcint d numración sgún un sntido anti-horario, sto s dbido a qu cuando MATLAB calcula l ára d st lmnto, si no s siguira sta forma d numración obtndría valors ngativos d ára. Para podr dfinir las propidads físicas d st lmnto finito s ncsario caractrizarlo con l modulo d lasticidad, l coficint d Poisson y su spsor (su ára s dfin a través d la posición d sus nodos por so s tan important su ordn d numración) 8. Funcions d Forma En st apartado s van a dfinir las funcions d forma dl lmnto finito bidimnsional isoparamétrico, s important tnr primro una visión d un lmnto finito cuadrilátro bidimnsional isoparamétrico gnral (Figura 54) y dl lmnto mastro (Figura 55) sobr l cuál s dfinn las funcions d forma.

132 q 6 q 8 4 q 5 v q 7 u p(x,y) q q 4 Y q q X Figura 54: Elmnto Finito Cuadrilátro Bidimnsional η (-, ) 4 (,) P(ξ,η) (,) ξ (-,-) (,-) Figura 55: Elmnto Mastro En la Figura 54, s pud aprciar los vctors rfridos a coordnadas locals d dsplazaminto n cada nodo (vctor q), y también los vctors (v(x,y), u(x,y)) qu dfinn para coordnadas locals los dsplazamintos d cualquir punto dntro dl lmnto. En la Figura 55, s mustra l lmnto mastro qu sirv para dfinir al lmnto cuadrilátro bidimnsional isoparamétrico n sus coordnadas intrínscas (también llamadas coordnadas naturals) cuyos js s dnotan por ξ y η. El lmnto mastro s simpr d forma cuadrada.

133 Lo primro qu s db hacr para dducir las funcions d forma d st lmnto s dducir stas primro sobr l lmnto mastro. Las funcions d forma d Lagrang N i, qu son las qu van a sr utilizadas para dfinir st lmnto finito, s dfinn d manra qu cada función d forma N i, dond i =,,, 4, s igual a la unidad n l nodo i y s cro n los dmás. Así por jmplo: N = para l nodo N = para los nodos,, 4. El rquisito d qu N i = n los nodos,, 4, s quivalnt a rqurir qu N i = a lo largo d los bords ξ = +, η = -. Así pus s tin qu n l nodo : = c( ξ )( η) (8.) Dond c s una constant qu s dtrmina con la condición N = n l nodo. Como ξ = -, η = - n l nodo, s tin: = c()() (8.) Lo cual da como rsultado c=/4, con lo qu s pud dcir qu la función d forma d Lagrang n l nodo quda d la siguint manra: = ( ξ ) ( η) (8.) 4 En l rsto d los nodos dl lmnto, las funcions d forma s obtinn dl mismo modo qu para l nodo y son: 4 = ( + ξ ) ( η) 4 = ( + ξ ) ( + η) 4 = ( ξ ) ( + η) 4 (8.4)

134 4 Ahora, conocindo las formas d las funcions d forma dl lmnto finito bidimnsional isoparamétrico, s pud xprsar l campo d dsplazamintos dntro dl lmnto n términos d valors nodals: q q q q v q q q q u = = (8.5) Las xprsions dl campo d dsplazaminto dntro dl lmnto, pud xprsars d forma matricial como s mustra a continuación: q u = (8.6) Dond. = 4 4 (8.7) En la formulación isoparamétrica, s usan las mismas funcions d forma N i para xprsar también las coordnadas d un punto dntro dl lmnto n términos d coordnadas locals: y y y y y x x x x x = = (8.8) A continuación s dbn d xprsar las drivadas d una función n coordnadas x,y n términos d sus drivadas n coordnadas ξ y η. Esto s hac d la siguint manra: η η η ξ ξ ξ + = + = y y f x x f f y y f x x f f (8.9) La xprsión antrior s pud xprsar como s mustra a continuación:

135 5 = y f x f J f f η ξ (8.) Dond J s la matriz jacobiana: = η η ξ ξ y x y x J (8.) D las xprsions d las cuacions d forma d st lmnto finito y d las xprsions d las coordnadas d un punto dntro dl lmnto n coordnadas globals, la matriz jacobiana quda d la siguint forma: = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y y y y x x x x y y y y y x x x x J ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ η η η η η η η (8.) = J J J J J (8.) S pud invrtir la xprsión d las drivadas d una función n coordnadas x,y n términos d sus drivadas n coordnadas ξ y η, lo qu quda d las siguint forma: = ξ ξ f f J J J J J y f x f dt (8.4) Esta xprsión s va a usar para podr obtnr la matriz d rigidz dl lmnto finito cuadrilátro bidimnsional isoparamétrico.

136 6 8. Matriz d Rigidz dl Elmnto Cuadrilátro Bidimnsional Isoparamétrico La matriz d rigidz para st lmnto pud obtnrs d la nrgía d dformación unitaria n l curpo dada por: da t dv U T T V ε σ ε σ = = (8.5) Dond: t =spsor dl lmnto finito Las rlacions dformación unitaria-dsplazaminto son: + = = x v y u y v x u xy y x γ ε ε ε (8.6) Ahora si s considra f = u y si rlacionan las xprsions d la invrsa d las drivadas d una función n coordnadas x,y con la rlación dformación unitariadsplazaminto, s obtin lo siguint: = η ξ η ξ ε v v u u A (8.7) Dond A s la matriz:

137 J J A = J J (8.8) dt J J J J J D la cuación dl campo d dsplazamintos dntro dl lmnto n términos d los valors nodals, s tin qu: u ξ u η = G q v ξ v η (8.9) Dond la matriz G s la matriz. G = 4 ( η) ( ξ ) ( η) ( ξ ) ( η) ( + ξ ) ( η) ( + ξ ) ( + η) ( + ξ ) ( + η) ( + ξ ) ( + η) ( ξ ) (8.) ( + η) ( ξ ) Ahora, s pud obtnr la siguint rlación: ε = Bq (8.) En dond la matriz B s obtin d la siguint manra: B = A G (8.) La xprsión d la tnsión s la qu s mustra a continuación: σ = D B q (8.) 7

138 Dond D s la matriz (x) d propidads dl matrial. La nrgía d dformación unitaria s pud xprsar como sigu. U T = q k q (8.4) La matriz d rigidz d st lmnto finito s: k = t T B D Bdt J dξ dη (8.5) La matriz d rigidz global d un modlo d lmntos finitos cuadrilátro bidimnsional rticulado s nsambla igual qu para todos los casos antriors tnindo n cunta qu n st caso cada nodo tin dos grados d librtad y qu st lmnto tin 4 nodos por lmnto. 8.4 Cálculo d la Tnsión d Von Miss n l Elmnto Cuadrilátro Bidimnsional Isoparamétrico Est lmnto también stá somtido a un stado tnsional compljo, por lo qu s hac ncsario l cálculo d la tnsión d Von Miss. La difrncia con los lmntos finitos antriormnt studiados rsid n qu, n st caso, la tnsión d Von Miss s va a obtnr dirctamnt a través dl cálculo d las tnsions principals qu s gnrn dntro dl lmnto finito bidimnsional isoparamétrico y no a través d los momntos flctors y tangncials como sucdía para los lmntos finitos longitudinals. Las tnsions principals s obtinn utilizando las cuacions clásicas d la toría d la rsistncia d matrials (8.6): σ x + σ y σ x σ y σ = + + τ xy (8.6) σ x + σ y σ x σ y σ = + τ xy 8

139 τ xy arctan σ σ 8 α x y = π Una vz obtnidas las tnsions principals y l ángulo principal, obtnr la tnsión d Von Miss s hac d forma muy sncilla con la rlación siguint: ( ) σ σ σ VM = (8. 7) 8.5 Dscripción d la Elaboración dl Modlo Usado para l Estudio Comparativo dl Elmnto Cuadrilátro Bidimnsional Isoparamétrico El modlo qu s ha laborado para ralizar l studio dl lmnto finito cuadrilátro bidimnsional isoparamétrico, consist n una placa sblta y dlgada (con su longitud mayor qu su ancho y ambas dimnsions mucho mayors qu su spsor) n voladizo somtida n su xtrmo libr a una furza d tracción n l sntido positivo dl j X y a una furza d vrtical n su xtrmo n l sntido ngativo dl j Y. Esta placa sblta y dlgada s pud vr n la Figura 56. Fy Fx Y X Figura 56: Placa Esblta y Dlgada n Voladizo 9

140 Los datos qu son ncsarios para qu s puda rsolvr st problma mdiant los programas con los qu s ha laborado l modlo d sta placa sblta y dlgada n voladizo son: la longitud total d la placa, su ancho y su spsor (s pud aprcia qu comparado con l lmnto dl capítulo antrior son muchos mnos los datos d ntrada para podr dfinir l problma). Dl matrial qu conforma la placa s ncsitan como datos d ntrada: su módulo d lasticidad y su coficint d Poisson. También, como s lógico, s ncsario dfinir las furzas xtrnas a las qu va a sr somtida la structura. A continuación s xponn los valors d los datos d ntrada qu s han dado al modlo d la placa sblta y dlgada n voladizo: Longitud d la Placa Ancho d la Placa Espsor d la Placa : m :. m :.5 m Matrial: o Módulo d lasticidad o Coficint d Poisson : N/m :. Furza n X (furza d tracción) : N Furza n Y ( furza d flxión) : -5N Para modlar sta placa sblta y dlgada con los lmntos finitos bidimnsionals isoparamétricos, s ha dispusto la numración d los nodos y d los lmntos como s mustra n la Figura 57y n latabla 7. 4

141 Nodos con sus grados d librtad rstringidos Figura 57: Modlo d placa sblta y dlgada ralizado con lmntos cuadrilátros bidimnsionals isoparamétricos Elmntos odos Tabla 7: Conctividad d Elmntos y Nodos 4

142 A la hora d modlar st problma, tanto n MATLAB como n FEMAP, s han dando las siguints propidads a los lmntos finitos qu s han usado n la laboración dl modlo. Estas propidads son las mismas para todos los lmntos d st modlo: Elmntos dl al : Longitud Ancho Espsor :. m :.6 m :.5 m Módulo d lasticidad : N/m Coficint d Poisson : Modlado con MATLAB El Programa llvado a cabo con MATLAB, con l cual s labora l modlo d la placa sblta y dlgada n voladizo mdiant lmntos finitos bidimnsionals isoparamétricos, consta d los siguints módulos. Módulo d ntrada d Datos. En st módulo s l pid al usuario qu introduzca los valors d la longitud, ancho y spsor d la placa sblta y dlgada y las propidads dl matrial ncsarias para dsarrollar l modlo, qu son: l módulo d lasticidad y l coficint d Poisson. Módulo d rprsntación d la structura. Aquí s ralizan las opracions ncsarias para podr mostrar al usuario una rprsntación gráfica d la placa sblta y dlgada qu s va a studiar. Módulo d cálculo matrics d rigidz d los lmntos. En st módulo mdiant llamadas a funcions xtrnas s calculan las matrics d rigidz d cada lmnto. Módulo d nsamblaj d la matriz global d rigidz. En st módulo s procd a ralizar la opración d nsamblaj d la matriz d rigidz global dl sistma mdiant una función xtrna. 4

143 Módulo d cálculo d dsplazamintos nodals. Aquí s aplican todas las condicions d contorno, s l pid al usuario qu introduzca l valor d las furzas n l xtrmo libr d la placa sblta y dlgada, s planta la cuación qu rlaciona la Matriz d rigidz global con cargas y dsplazamintos nodals, s obtinn stos últimos y s l mustran los rsultados al usuario. Módulo d rprsntación d la structura sin dformar y dformada. Aquí s ralizan las opracions ncsarias para podr mostrar al usuario una rprsntación gráfica d la placa sblta y dlgada sin dformar (como ya s mostró n un módulo antrior) y lugo suprpustas s mustran las gráficas d la placa sblta y dlgada sin dformar y dformada bajo l fcto d las cargas d tracción y vrtical qu ha slccionado l usuario. Módulo d cálculo d raccions. En st módulo s calcula las raccions qu s producn n los nodos dl mpotraminto d la placa sblta y dlgada. Módulo d cálculo d tnsions. En st módulo s calculan y s mustran al usuario las tnsions normals y tangncials qu s producn n los lmntos bidimnsionals isoparamétricos qu conforman l modlo, dbidas a las furzas xtrnas aplicadas. Módulo d cálculo d las tnsions principals. En st módulo s calculan y s mustran al usuario las tnsions principals y su corrspondint ángulo, para todos los lmntos finitos bidimnsionals isoparamétricos qu conforman l modlo. Módulo d cálculo d la tnsión d Von Miss. Con st módulo s cirra l programa, sindo calculadas n st último módulo las tnsions d Von Miss d todos los lmntos finitos qu forman la placa sblta y dlgada modlada n st programa Modlado con FEMAP para l Solvr NASTRAN Para ralizar l modlado con FEMAP s han usado lmntos MEMBRANE, los cuals son usados para laborar modlos d placas dlgadas solicitadas por furzas xtrnas qu actúan sólo n l plano d los lmntos. 4

144 8.6 Cálculo Comparativo dl Elmnto Cuadrilátro Bidimnsional Isoparamétrico En l cálculo comparativo dl modlo qu s ha laborado mdiant lmntos dl tipo cuadrilátro bidimnsional isoparamétrico n los programas MATLAB y NASTRAN, s van a studiar los siguints rsultados qu han sido calculados n ambos programas: Dsplazamintos nodals. Raccions n los apoyos. Tnsions n los lmntos. Tnsions principals n los lmntos. Tnsions d Von Miss n los lmntos Dsplazamintos Nodals Los dsplazamintos nodals calculados por MATLAB para l modlo d la placa sblta y dlgada s pudn vr n la Tabla 74. Tabla 74: Dsplazamintos nodals Calculados por MATLAB Nodo Nº Dsplazaminto Nodal (m) X Y (GDL rstringido) (GDL rstringido) -7.48E-4-5.E-4 -.4E- -.7E- 4 -.E- -.5E E- -5.9E- 6 -.E- -8.8E- 7 -.E- -.E E- -.57E E- -.95E- -.9E- -.6E- -.9E- -.77E- 44

145 Nodo Nº Dsplazaminto Nodal (m) X Y (GDL rstringido) (GDL rstringido) -.6E-4-4.7E E-4 -.6E E-4 -.4E- 6-8.E-4-5.8E E-4-8.7E- 8 -.E- -.E- 9 -.E- -.57E- -.E- -.95E- -.E- -.6E- -.E- -.77E- (GDL rstringido) 4.45E-4-4.9E E-4 -.6E E-4 -.4E E-4-5.8E- 8.E- -8.7E- 9.E- -.E-.E- -.57E-.4E- -.95E-.4E- -.6E-.4E- -.77E- (GDL rstringido) 4 (GDL rstringido) E-4-5.8E-4 6.5E- -.7E- 7.E- -.5E- 8.6E- -5.9E- 9.E- -8.8E- 4.5E- -.E- 4.8E- -.57E- 4 4.E- -.96E- 4 4.E- -.6E E- -.77E- (GDL rstringido) La rprsntación gráfica dl modlo d la placa dlgada y sblta sin dformar qu mustra MATLAB s rprsnta n la (m) Figura 58 y la figura dl modlo sin dformar y dformada suprpustas s mustran n la (m) Figura

146 Y X (m) Figura 58: Placa sblta y Dlgada sin Dformar Y X (m) Figura 59: Placa Esblta y Dlgada Dformada y sin Dformar Suprpustas 46

147 Los dsplazamintos nodals calculados por NASTRAN para l modlo d la placa sblta y dlgada su mustran n al Tabla 75. Tabla 75: Dsplazamintos Nodals Calculados por NASTRAN Nodo Nº Dsplazaminto Nodal (m) X Y (GDL rstringido) (GDL rstringido) -8.E E E- -.84E- 4 -.E- -.8E E E E E E- -.E E- -.7E E- -.E- -4.E- -.57E- -4.4E- -.E- (GDL rstringido) -.46E E E E- 5-7.E E E-4-6.7E E- -9.5E E- -.E E- -.7E- -.E- -.E- -.6E- -.57E- -.7E- -.E- (GDL rstringido) (GDL rstringido) 4.65E-4-4.5E E E E E E-4-6.8E- 8.5E E- 9.9E- -.E-.4E- -.7E-.49E- -.E-.54E- -.57E-.56E- -.E- 4 (GDL rstringido) 47

148 Nodo Nº Dsplazaminto Nodal (m) X Y (GDL rstringido) (GDL rstringido) 5 8.4E E-4 6.6E- -.84E- 7.8E- -.84E- 8.87E E- 9.7E- -9.6E- 4.78E- -.E- 4 4.E- -.7E E- -.4E E- -.57E E- -.E- Las difrncias ntr los rsultados d dsplazamintos nodals calculados por MATLAB y NASTRAN s sumarizan n la Tabla 76. Tabla 76: Difrncia d Rsultados d Dsplazamintos Nodals Calculados por MATLAB y NASTRAN Nodo Nº Difrncia d Dsplazaminto Nodal (m) X Y (GDL rstringido) (GDL rstringido) 7.4E E-5.65E-4.8E-4 4.5E-4.E-4 5.9E-4 5.4E-4 6.7E-4 7.9E-4 7.6E-4.8E- 8.65E-4.4E- 9.77E-4.85E- 4.E-4.4E- 4.5E-4.54E- (GDL rstringido).97e-5.e E-5.49E E-5.49E E E E-5 8.E E-5.4E- 9.65E-4.4E-.E-4.8E-.6E-4.E-.7E-4.5E- (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) 48

149 Nodo Nº Difrncia d Dsplazaminto Nodal (m) X Y E-5.E E-5.5E E-5.5E E E E-5 8.5E E-5.4E- -.4E-4.4E- -8.9E-5.8E- -.4E-4.E- -.64E-4.5E- 4 (GDL rstringido) (GDL rstringido) 5-7.4E E E-4.44E E-4.6E E E E E E-4.9E E-4.44E E-4.75E E-4.4E E-4.55E Raccions n los Apoyos Las raccions qu s gnran n los nodos,, y 4 al aplicar las cargas sobr los nodos,, y 44 dan como rsultado al sr calculadas por MATLAB los valors qu s sumarizan n la Tabla 77. Nodo Nº Raccions Nodals (N) Rx Ry.4E+6 6.9E+5.57E+6 -.4E E+6 -.E E E+5 Tabla 77: Raccions Nodals Calculadas por MATLAB Las mismas raccions pro n st caso calculadas por NASTRAN ofrcn los valors qu s mustran n la Tabla

150 Nodo Nº Raccions Nodals (N) Rx Ry.6E+6 6.E+5.75E E E+6 -.4E E E+5 Tabla 78: Raccions Nodals Calculadas por NASTRAN Las difrncias ntr los rsultados d las raccions nodals calculadas por MATLAB y por NASTRAN son las qu s mustran n la Tabla 79. Nodo Nº Difrncia ntr los Rsultados d las Raccions Nodals Rx Ry 6.7E+4 -.8E+4 -.8E+5.E+4.8E+5.E E+4-9.6E+ Tabla 79: Difrncias ntr los Valors d las Raccions calculadas por MATLAB y por NASTRAN 8.6. Tnsions n los Elmntos Las tnsions n l cntro d cada uno d los lmntos cuadrilátros bidimnsionals isoparamétricos, qu forman l modlo d la placa sblta y dlgada qu s obtinn mdiant l cálculo con MATLAB, son las qu s prsntan n la Tabla 8. Tabla 8: Tnsions n los Elmntos Calculadas por MATLAB Nodo Nº Tnsions n los Elmntos (N/m ) σ x σ y ζ xy -.E+9 -.E+8-6.9E+7-9.E+8.4E+7-4.9E+7-7.9E E+6-4.9E E+8 4.E E E+8-4.E+4-4.8E E+8.E+4-4.8E E+8 -.E E E+8 7.E+5-4.8E E E E+7 -.6E+7.5E+7-5.4E+7.96E+7.4E E+7.5E+7 7.E E+7.E+7 -.E+5-8.7E+7 4.E+7.5E E+7 5.E+7 6.E+ -8.4E+7 5

151 Nodo Nº Tnsions n los Elmntos (N/m ) σ x σ y ζ xy 6.E+7-4.E+ -8.4E+7 7.E+7-6.7E+4-8.4E+7 8.E+7 8.9E+4-8.7E E+7.76E+6-8.6E+7.58E E+6-8.5E+7.5E+9.8E+8-6.6E+7 9.4E E+7-4.E+7 8.E+8.56E+6-4.9E E+8-4.5E E E+8 5.E+4-4.8E E+8 -.E+4-4.8E E+8 6.E+4-4.8E+7 8.9E+8-6.E+5-4.8E+7 9.8E+8 5.7E+6-4.6E E+7 -.9E+7-4.6E+7 Las mismas tnsions n los lmntos, pro n st caso calculadas por NASTRAN s mustran n la Tabla 8. Tabla 8: Tnsions n los cntros d los Elmntos Calculadas por NASTRAN Nodo Nº Tnsions n los Elmntos (N/m ) σ x σ y ζ xy -.E+9 -.9E+8-6.9E+7-9.9E+8.E+7 -.9E+7-8.7E+8-5.E+6-4.9E E+8 6.E+5-4.6E E+8.E E E+8 -.7E E E+8 -.9E E E+8.E+6-4.7E E E E E+7.E+7-5.4E+7.95E+7.97E+6-5.9E+7.6E+7.5E+4 -.E+8.99E E+5-8.5E+7 4.E E E+7 5.E E+ -8.6E+7 6.E+7.E E+7 7.E+7 -.E E+7 8.E+7 -.E E E+7.8E+6-8.8E+7.44E E+6-8.5E+7 5

152 Nodo Nº Tnsions n los Elmntos (N/m ) σ x σ y ζ xy.5e+9.45e+8-6.5e+7.e+9 -.9E+7 -.8E+7 9.E+8 5.E+6-4.9E E+8-6.8E+5-4.6E E+8 -.6E E E+8.48E E E+8.7E E+7 8.7E+8 -.8E E E+8 6.6E+6-4.5E+7 8.E+7 -.8E E+7 Las difrncias ntr los rsultados d las tnsions calculadas n los cntros d los lmntos por MATLAB y NASTRAN s xponn n la Tabla 8. Tabla 8: Rsultados d las difrncias d las tnsions calculadas por MATLAB y NASTRAN Nodo Nº Difrncia n los Rsultados d Tnsions (N/m ) σ x σ y ζ xy 9.57E E+6 -.E+6 8.8E+7-5.9E+6 -.8E+6 7.7E+7.7E+6.5E E+7 -.9E E E+7-6.E+4 -.6E E+7.7E+4 -.E+6 7.6E+7 7.4E+4 -.9E E+7 -.9E+5 -.E E+7 8.E+5 -.5E+6 4.9E E+5 -.E+6.E+5 7.9E+4.E+6 -.E E E+6 7.E+4.77E+4 -.4E+5 4.6E E+4.9E E E+.E+6 6.6E+4 -.7E+4.9E E+4.6E+4.4E E+5.9E+5.E E+5-4.6E+5.6E+6.5E+6.7E+5.5E E E+6 -.E+6-8.8E+7 6.8E+6 -.9E+6-7.7E E E E+7.88E+5 -.5E E+7 5.E+4 -.6E E E+4 -.6E+6 5

153 Nodo Nº Difrncia n los Rsultados d Tnsions (N/m ) σ x σ y ζ xy 7 -.6E+7-4.7E+4 -.E E+7 4.5E+5-8.8E E+7 -.9E+6 -.E+6-6.7E+6 9.E E Tnsions Principals n los Elmntos Las tnsions principals y su corrspondint ángulo principal calculados por MATLAB n l cntro d cada uno d los lmntos, qu forman l modlo d la placa sblta y dlgada, s ofrcn n la Tabla 8. Tabla 8: Tnsions y Angulo principal n l cntro d los lmntos calculados por MATLAB Nodo Nº Tnsions Principals (N/m ) Angulo Principal (dg) σ σ α -.8E+8 -.E E+7-9.4E E E E E E+6-5.8E E+6-4.7E E E E+6 -.6E E E E+7-6.4E E+7 -.9E E+8-8.7E E+7-7.4E E+7-7.5E E E E E E E E+7-7.4E E E E+7-7.6E E+9.E E E E+8 6.6E E E E E E+8-4.5E E+8-5.6E

154 Nodo Nº Tnsions Principals (N/m ) Angulo Principal (dg) σ σ α 8.99E+8-8.4E E+8-6.E E+7-4.4E Las mismas tnsions principals y su corrspondint ángulo, pro n st caso calculadas con NASTRAN, son las qu s pudn vr n la Tabla 84. Nodo Nº Tnsions Principals (N/m ) Angulo Principal (dg) σ σ α -.5E+8 -.E E+7-9.9E E+6-8.7E E E E+6-6.6E E+6-5.8E E+6-4.E E E E+6 -.7E E E E+7-4.4E E+8-9.8E E+7-7.E E+7-7.8E E E E+7-7.7E E+7-7.7E E+7-7.6E E E E+7-7.9E E+9.4E E+9 -.E E+8.64E E+8 -.E E+8 -.6E E+8 -.9E E E E+8-8.E E E E E Tabla 84: Tnsions y Angulo Principals n l cntro d los Elmntos calculados por NASTRAN 54

155 La difrncia ntr los rsultados ofrcidos por MATLAB y NASTRAN d las tnsions y ángulos principals calculados n l cntro d los lmntos dl modlo d la placa sblta y dlgada s mustra n la Tabla 85. Nodo Nº Difrncias n las Tnsions Principals (N/m ) Difrncias n l Angulo Principal (dg) σ σ α 7.8E+6 9.5E+7 4.E- -5.5E E+7.95E-.99E E+7.4E- 4.E E+7 7.8E E+5 5.6E+7 5.E E E+7 6.E E+5.5E+7 8.6E E+5.47E+7.E+ 9.69E+6.7E+7.67E+.6E+6.49E+6.5E+ -.98E+6.6E+6.99E E+6 5.7E+6.4E-.89E+5-8.6E+4 -.E E+6.6E+6.7E- 5 -.E+6.E+6 8.7E E+6.7E+6 9.5E E+6.4E E- 8 -.E+6.4E+6.4E E+6.9E+6.7E- -.66E+6.E+6.79E- -9.5E+7-7.4E+6-4.E E+7 5.7E+6 -.7E E E+6 -.7E E+7 -.6E+5-4.5E E+7-4.E E E+7-6.9E E E E E E+7-4.E E E+7 -.7E+6 -.E+ -4.5E+6 -.E E+ Tabla 85: Difrncias ntr los rsultados d las tnsions y ángulos principals calculados por MATLAB y NASTRAN 55

156 8.6.5 Tnsions d Von Miss n los Elmntos Las tnsions d Von Miss n los cntros d cada uno d los lmntos qu forman l modlo d la placa sblta y dlgada calculadas por MATLAB son las qu s pudn vr n la Tabla 86. Nodo Nº Tnsión d Von Miss (N/m ) 9.6E+8 9.7E E E E E E E+8 9.6E E+7 8.8E+7.69E+8.4E E E E E E+8 9.5E+8.44E E E+8 8.5E E E E E+8 8.E E E+7 Tabla 86: Tnsions d Von Miss n los Cntros d los Elmntos Calculadas por MATLAB Las tnsions d Von Miss calculadas n st caso por NASTRAN s mustran a continuación n la Tabla 87. Tabla 87: Tnsions d Von Miss n los Cntros d los Elmntos Calculadas por NASTRAN Nodo Nº Tnsión d Von Miss (N/m ).5E+9 56

157 Nodo Nº Tnsión d Von Miss (N/m ).E+9 8.7E E E E E E E+8.E+8 9.8E+7.79E+8.4E+8 4.5E+8 5.5E+8 6.5E+8 7.5E+8 8.5E E+8.48E+8.9E+9.5E+9 9.E E E E E+8 8.8E+8 9.E+8.E+8 Las difrncias ntr los rsultados d las tnsions d Von Miss n l cntro d los lmntos qu forman l modlo, calculadas por MATLAB y NASTRAN, son las qu s prsntan n la Tabla 88. Tabla 88: Difrncias ntr los rsultados d las tnsions d Von Miss calculados por MATLAB y NASTRAN Nodo Nº Difrncias n la Tnsión d Von Miss (N/m ) -9.6E+7-9.6E E E E E E E E+7-8.7E+5 57

158 Nodo Nº Difrncias n la Tnsión d Von Miss (N/m ) -.55E+6-9.9E+6.9E E E E E E E+6-4.8E+6-9.7E+7-9.6E E E E E E E E E Conclusions dl Estudio Comparativo dl Elmnto Finito Cuadrilátro Bidimnsional Isoparamétrico. Tras obsrvar los rsultados dl studio comparativo ralizado sobr l lmnto finito bidimnsional isoparamétrico, s pud aprciar un aumnto muy significativo dl rror comtido por MATLAB con rspcto a NASTRAN a la hora d calcular los distintos tipos d rsultados qu s han ido valuando a lo largo d st studio comparativo. Para l lmnto finito bidimnsional isoparamétrico l rror n la obtnción d rsultados comtido por MATLAB con rspcto a NASTRAN pasa a sr d un ordn d magnitud infrior qu los rsultados dl lmnto finito bidimnsional isoparamétrico, mintras qu para los lmntos linals l rror comtido sta ntr y 6 ordns d magnitud por dbajo dl ordn d magnitud dl propio rsultado. Est aumnto dl rror n la obtnción d rsultados pud sr dbido a qu l lmnto bidimnsional isoparamétrico s un lmnto finito suprficial y para obtnr su matriz d rigidz s ncsario ralizar un opración d intgración dobl, lo cual conllva un procso d itración por part d MATLAB qu pud sr mnos xacto qu l usado por NASTRAN dado qu la itración llvada a cabo por NASTRAN sta spcíficamnt programado para sta clas d cálculo numérico, mintras qu MATALB usa procsos itrativos gnéricos. Una posibl solución para rsolvr st problma, sria programar l método itrativo idóno para MATLAB, pro sa custión sta fura dl alcanc d st studio. 58

159 9 ESTUDIO COMPARATIVO DE UN ELEMENTO HEXAÉDRICO TRIDIMENSIONAL ISOPARAMÉTRICO 9. Introducción al Elmnto Finito Hxaédrico Tridimnsional Isoparamétrico El lmnto hxaédrico tridimnsional isoparamétrico s la xtrapolación dl lmnto cuadrilátro bidimnsional isoparamétrico d dos dimnsions a trs dimnsions, así pus, l lmnto hxaédrico s trata d un lmnto finito volumétrico qu como s lógico trabaja n trs dimnsions. Las funcions d forma qu caractrizan st lmnto, lógicamnt son una xtrapolación d las funcions d forma dl lmnto bidimnsional isoparamétrico, stando n st caso dfinidas las funcions d forma para las trs coordnadas cartsianas qu dfinn l spacio. Con rlación a las condicions d contorno qu pudn sr aplicadas, l lmnto hxaédrico tridimnsional isoparamétrico stá sujto a furzas linals n los trs js X, Y y Z, pro dado qu s la xtrapolación dl lmnto bidimnsional isoparamétrico, al igual qu st, no pud sr somtido a momntos xtrnos. Est lmnto finito sta formado por 8 nodos, uno n cada squina dl lmnto qu dbn sr numrados d tal manra qu l volumn dl lmnto qu ncirran sa positivo, admás cada uno d los nodos tin trs grados d librtad (qu corrspondn a los trs dsplazamintos dl plano). Las propidads físicas qu s usan para podr dfinir l comportaminto d st lmnto finito son l módulo lástico y l coficint d Poisson. 9. Funcions d Forma y Matriz d Rigidz Las funcions d forma qu dfinn l lmnto tridimnsional isoparamétrico son xactamnt iguals qu las xplicadas n l capítulo antrior para l lmnto finito bidimnsional rticulado, la única difrncia rsid n qu n st caso las funcions d forma dbrán sr dfinidas para las trs dirccions dl spacio y no sólo para las dos dirccions qu dfinn un plano como sucdía n l caso dl lmnto finito bidimnsional isoparamétrico. A continuación, s pud aprciar n la Figura 6 l lmnto tridimnsional isoparamétrico rfrido a sus coordnadas locals y justo dbajo l lmnto mastro qu sirv para xprsar st lmnto con rspcto a sus coordnadas intrínscas ξ, η y ζ; con rlación a las cuals s dfinirán las funcions d forma.

160 Z 4 Y X ζ 5(-,-,) 6(,-,) 8(-,,) (-,-,-) 7(,,) (,-,-) ξ 4(-,,-) η (,,-) Figura 6: Elmnto Hxaédrico rfrido a sus coordnadas locals intrínscas Sobr l cubo mastro, las funcions d forma d Lagrang pudn scribirs como: i = ( + ξ i )( + ηi )( + ζ i ) (9.) 8 con i = a 8 6

161 6 Dond: i ξ, i η, i ζ =Coordnadas dl nodo i dl lmnto n l sistma d coordnadas intrínsco ( ζ η ξ,, ). Los dsplazamintos nodals dl lmnto stán rprsntados por l vctor q, st vctor stá formado d 4 términos dado qu l lmnto finito tridimnsional isoparamétrico tin 8 nodos con trs grados d librtad cada uno: [ ] 4,,, q q q q = (9.) Las funcions d forma Ni s usan para dfinir los dsplazamintos n cualquir punto dntro dl lmnto n términos d sus valors nodals d la siguint forma: q q q w q q q v q q q u = = = (9.) Estas xprsions s pudn xprsar d forma matricial d manra similar como s hizo para l lmnto cuadrilátro, pro n st caso xtrapolando a las trs coordnadas n las qu s dfin st lmnto finito: q u = (9.4) = Dl mismo modo qu para l lmnto finito bidimnsional isoparamétrico, s pud xprsar cualquir punto dntro dl lmnto n términos d coordnadas locals dl modo qu s mustra a continuación:.

162 x = x z = z y = y + x + y + z + + x z y 8 8 (9.5) Siguindo los mismos pasos qu han sido usados n l dsarrollo dl lmnto cuadrilátro suprficial isoparamétrico, pro tnindo n cunta qu n l caso dl lmnto finito tridimnsional isoparamétrico todos los pasos dbn sr xtrapolados a trs dimnsions, s obtin la siguint xprsión para las dformacions unitarias: ε = Bq (9.6) La matriz d rigidz dl lmnto hxaédrico tridimnsional isoparamétrico vin dada por: k + = + + t B D Bdt J dξ dη dζ (9.7) Dond: dt J dξ dη dζ =dv (difrncial d volumn) J = Matriz jacobiana (X) 9. Cálculo d la Tnsión d Von Miss n l Elmnto Hxaédrico Tridimnsional Isoparamétrico Al igual qu l lmnto cuadrilátro bidimnsional isoparamétrico, l lmnto finito hxaédrico tridimnsional isoparamétrico stá somtido a un stado tnsional compljo, la única difrncia s qu n st caso l stado tnsional s tridimnsional, por lo qu xistirán tnsions normals y tangncials para las trs coordnadas qu dfinn l spacio. Para calcular la tnsión d Von Miss n st caso, no s ha considrado d intrés calcularlo mdiant las tnsions principals como s hizo n l capítulo antrior, por lo qu s ha calculado a través d las tnsions normals y tangncials d cada lmnto hxaédrico tridimnsional isoparamétrico con la dfinición d la tnsión d Von miss qu s xprsa a continuación: 6

163 σ = σ + σ + σ + ( τ + τ + τ ) ( σ σ + σ σ + σ σ ) (9.8) VM x y z xy yz zx x y z y x z 9.4 Dscripción d la Elaboración dl Modlo Usado para l Estudio Comparativo dl Elmnto Hxaédrico Tridimnsional Isoparamétrico Para l lmnto hxaédrico tridimnsional isoparamétrico l problma qu s va a studiar consist n una viga n voladizo con scción rctangular, sindo l ancho d la viga l dobl qu la altura. A sta viga n voladizo s l aplicará n l xtrmo libr una furza d tracción n l sntido positivo d l j X y una furza d flxión n l sntido ngativo dl j Y. Una rprsntación d sta viga n voladizo junto con las cargas aplicadas s pud vr n la Figura 6. Figura 6: Viga n Voladizo Los datos ncsarios para podr solucionar l problma plantado mdiant lmntos finitos tridimnsionals isoparamétricos dsarrollados con los programas MATLAB y NASTRAN son: l largo, l ancho y l alto d cada lmnto hxaédrico tridimnsional isoparamétricos, qu n st problma son iguals ntr sí, sto s dbido a qu distorsions n la gomtría d los lmntos mpora la xactitud d los rsultados n l cálculo obtnido mdiant l método d los lmntos finitos, por lo qu sólo srá ncsario introducir uno d los trs como dato d ntrada. 6

164 En st caso, s pud aprciar qu s ncsitan aún mnos datos d ntrada para dfinir la gomtría dl modlo qu n l caso dl modlo laborado con lmntos cuadrilatrals isoparamétricos dl capítulo antrior. Las propidads dl matrial ncsarias para podr dsarrollar l problma d la viga n voladizo son tan solo su módulo d lasticidad y su coficint d Poisson. Por último, como s lógico, s dbn introducir los valors d las furzas xtrnas a las qu s somt l modlo. A continuación s pud obsrvar los valors d los datos d ntrada qu s l han dado al modlo d la viga n voladizo: Longitud d largo ancho y alto d cada lmnto :.m Matrial: o Módulo d lasticidad o Coficint d Poisson : N/m :. Furza n X (furza d tracción n cada nodo dond s aplica la carga) : 75 N Furza n Y ( furza d flxión n cada nodo dond s aplica la carga) : 5 N A la hora d modlar mdiant lmntos hxaédricos tridimnsionals isoparamétricos la viga n voladizo, s ha dispusto l ordn d numración d nodos y lmntos d la forma qu s mustra n la Figura 6 y n la Tabla

165 4 Nodos con sus grados d librtad rstringidos (m) Figura 6: Modlo d viga n voladizo ralizado con lmntos hxaédricos tridimnsionals isoparamétricos Elmntos odos Tabla 89: Conctividad d Elmntos y Nodos Para dsarrollar st modlo n MATLAB y n FEMAP, s han dando las siguints propidads a los lmntos finitos qu s han usado n la laboración dl modlo, sindo stas propidads las qu s mustran a continuación: Elmntos dl al 8: 7 Largo :. m Ancho :. m Alto :. m 65

166 Módulo d lasticidad : N/m Coficint d Poisson : Modlado con MATLAB El programa laborado n MATLAB, qu rsulv mdiant l método d lmntos finitos l problma d la viga n voladizo modlada con lmntos hxaédricos tridimnsionals isoparamétricos, consta d los siguints módulos. Módulo d ntrada d Datos. En st módulo s l solicita al usuario qu introduzca l valor d la arista d los lmnto finitos hxaédricos tridimnsionals isoparamétricos (cada lmnto s un cubo isométrico) y qu dfina las propidads ncsarias dl matrial d la viga n voladizo, qu n st caso son l módulo d lasticidad y l coficint d Poisson. Módulo d rprsntación d la structura. Aquí s ralizan las opracions ncsarias para podr mostrar al usuario una rprsntación gráfica d la viga n voladizo somtida a studio. Módulo d cálculo d matrics d rigidz d los lmntos. En st módulo, mdiant llamadas a funcions xtrnas, s calculan las matrics d rigidz d cada lmnto finito. Módulo d nsamblaj d la matriz global d rigidz. En st módulo s procd a ralizar la opración d nsamblaj d la matriz d rigidz global dl sistma mdiant una función xtrna. Módulo d condicions d contorno. Dntro d st módulo s solicita al usuario dl programa qu introduzca l valor d las furzas xtrnas a aplicar n l xtrmo libr d la viga n voladizo y s nsambla l vctor d furzas dl modlo. 66

167 Módulo d rprsntación d la structura sin dformar y dformada. Aquí s ralizan las opracions ncsarias para podr mostrar al usuario una rprsntación gráfica d la viga n voladizo sin dformar (como ya s mostró n un módulo antrior) y lugo suprpustas s mustran las figuras d la viga n voladizo sin dformar y dformada bajo l fcto d las cargas. Por último, s listan los valors d los dsplazamintos nodals. Módulo d cálculo d raccions. En st módulo s calculan las raccions qu s producn n los nodos dl mpotraminto. Módulo d cálculo d tnsions. En st módulo s calculan y s mustran al usuario las tnsions normals y tangncials qu s producn n cada lmnto hxaédrico tridimnsional isoparamétrico dbido a la aplicación d furzas. Módulo d cálculo d la tnsión d Von Miss. En st módulo, con l cual s concluy l programa, s calculan las tnsions d Von Miss d todos los lmntos finitos dl modlo y s mustran al usuario Modlado con FEMAP para l solvr NASTRAN El modlo d la viga n voladizo s ha dsarrollado n FEMAP con lmntos finitos HEXAÉDRICOS. Est tipo d d lmnto finito s muy usado cuando s ncsario modlar gomtrías compljas. 9.5 Cálculo Comparativo dl Elmnto Hxaédrico Tridimnsional Isoparamétrico En l cálculo comparativo dl modlo laborado con lmntos dl tipo hxaédrico tridimnsional isoparamétrico n los programas MATLAB y NASTRAN, s van a studiar los siguints rsultados para ambos programas: Dsplazamintos nodals. Raccions n los apoyos. Tnsions n los lmntos. 67

168 Tnsions d Von Miss n los lmntos Dsplazamintos nodals Los dsplazamintos nodals calculados por MATLAB para l modlo d la viga n voladizo s pudn vr n la Tabla 9. Nodo Nº Dsplazaminto Nodal (m) X Y Z (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) 4 (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) 5 (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) 6 (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) 7-4.9E-5-5.E-5.4E E-5-6.E-5.97E E-5-5.E-5 -.4E-5 5.E-5-5.E E-5 5.8E-5-6.5E-5.46E- 5.E-5-5.E-5.68E-5-7.8E E E E E E E E E E E E E E-6-9.4E E-8-9.E E E E E E E E E E E E E E-6 Tabla 9: Dsplazamintos nodals Calculados por MATLAB 68

169 La rprsntación gráfica d la viga n voladizo sin dformar qu mustra MATLAB s rprsnta n la Figura 6, y la figura dl modlo sin dformar y dformada (scalada x para qu s puda aprciar los dsplazamintos d los nodos con mayor claridad) suprpustas s mustran n la Figura Y X (m) Figura 6: Viga n voladizo sin dformar... Z Y. Z X (m) Figura 64: Viga n voladizo sin dformar y dformada (Escala :) Z 69

170 Los dsplazamintos nodals calculados por NASTRAN para l modlo d la viga n voladizo su mustran n la Tabla 9. Nodo Nº Dsplazaminto Nodal (m) X Y Z (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) 4 (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) 5 (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) 6 (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) E E-5.8E E-5-9.E E E E-5 -.8E-5 8.E E-5 -.E E-5-9.4E-5 -.8E-9 8.E E-5.E-5 -.E-4 -.9E-4.5E E-4 -.6E E E-4 -.9E-4 -.5E-5 6.4E E-4 -.5E-5 7.4E-4 -.7E-4 -.4E-8 8.4E E-4.5E E-4-6.E-4 5.6E E-4-6.8E-4 -.E E-4-6.E-4-5.6E-6.8E-4-6.E-4-7.6E-6.8E-4-6.9E E-8 4.8E-4-6.E-4 7.6E E E-4 -.7E E E E E E-4.7E-6 8.E E-4-4.E E E-4 -.8E-8.E E-4 4.E-6 Tabla 9: Dsplazamintos Nodals Calculados por NASTRAN Las difrncias ntr los rsultados d los dsplazamintos nodals calculados por MATLAB y NASTRAN s mustran n la Tabla 9. 7

171 Nodo Nº Difrncia d Dsplazaminto Nodal (m) X Y Z (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) 4 (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) 5 (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) 6 (GDL rstringido) (GDL rstringido) (GDL rstringido) E-5.49E E E-5.87E-5 5.8E E-5.49E E-6.686E-5.46E-5 5.5E-6.665E-5.896E-5 4.5E-9.686E-5.46E-5 5.5E E E-5.599E E E E E-5.599E E-5.755E E E E-5.755E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-7 Tabla 9: Difrncia d Rsultados d Dsplazamintos Nodals Calculados por MATLAB y NASTRAN 7

172 9.5. Raccions n los Apoyos Las raccions obtnidas con MATLAB qu s gnran n los nodos,,, 4, 5 y 6 al sr aplicadas las cargas d tracción y d flxión sobr los nodos 5, 6, 7, 8, 9 y dan como rsultado los valors qu s mustran n la Tabla 9. Nodo Nº Raccions Nodals (N) Rx Ry Rz E E Tabla 9: Raccions Nodals Calculadas por MATLAB Los valors d las raccions dl mismo modlo y bajo las mismas solicitacions calculadas con NASTRAN son los qu s pudn vr n la Tabla 94. Nodo Nº Raccions Nodals (N) Rx Ry Rz.4E E+ -4.8E+4 4.9E+5 7.7E+4 -.6E-.4E E+ 4.8E E+5.69E+4 8.E E+5.E+5.6E E+5.69E+4-8.E+4 Tabla 94: Raccions Nodals Calculadas por NASTRAN Las difrncias ntr los rsultados d raccions nodals calculadas por MATLAB y por NASTRAN son las qu s mustran n la Tabla 95. Nodo Nº Difrncia ntr los Rsultados d las Raccions Nodals (N) Rx Ry Rz E E Tabla 95: Difrncias ntr los Valors d las Raccions calculadas por MATLAB y por NASTRAN 7

173 9.5. Tnsions n los Elmntos Las tnsions n l cntro d cada lmnto Hxaédrico Tridimnsional Isoparamétrico dl modlo laborado con Matlab, calculadas como la mdia d las tnsions obtnidas n los nodos d los lmntos, s mustran n Tabla 96. Elmnto Nº Tnsions n los Elmntos (N/m ) σ x σ y σ z ζ xy ζ yz ζ xz 5.6E E E E+6 -.9E E+5 5.6E E E E+6.9E+5.47E+5 5.6E+6 -.6E E E+6.9E+4 -.E E+6 -.6E E E+6 -.9E+4.E E+6.8E+4.5E E+6.98E+5.7E E+6.8E+4.5E E E+5 -.7E E+6-4.8E+ -.E E E+5-6.8E E+6-4.8E+ -.E E E+5 6.8E+5 Tabla 96: Tnsions n los Elmntos Calculadas por MATLAB Las mismas tnsions n l cntro d cada lmnto pro n st caso obtnidas dl modlo laborado con NASTRAN s mustran n la Tabla 97. Elmnto Nº Tnsions n los Elmntos (N/m ) σ x σ y σ z ζ xy ζ xz ζ yz 5.6E+6 8.8E+5.E E E+5-5.8E+5 5.6E+6 8.8E+5.E E+6.66E+5 5.8E+5 5.6E+6 -.6E E E+6 4.6E E E+6 -.6E E E+6-4.6E E E+6 6.E+4 4.E E+6.75E+5.64E E+6 6.E+4 4.E E E E E+6 -.4E+4 -.8E E+6 8.9E+5-5.E E+6 -.4E+4 -.8E E+6 5.E+5-8.9E+5 Tabla 97: Tnsions n los cntros d los Elmntos Calculadas por NASTRAN Elmnto Nº Las difrncias ntr los rsultados d las tnsions calculadas n los cntros d los lmntos por MATLAB y NASTRAN s pudn vr n la Tabla 98. Tabla 98: Rsultados d las difrncias d las tnsions calculadas por MATLAB y NASTRAN Difrncia n los Rsultados d Tnsions (N/m ) σ x σ y σ z ζ xy ζ xz ζ yz

174 Elmnto Nº COMPARATIVA ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON MATLAB Y NASTRAN MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS Difrncia n los Rsultados d Tnsions (N/m ) σ x σ y σ z ζ xy ζ xz ζ yz Tnsión d Von Miss n los Elmntos Las tnsions d Von Miss calculadas por MATLAB n los cntros d cada uno d los lmntos qu forman l modlo d la viga n voladizo son las qu s pudn vr n la Tabla 99. Elmnto Nº Tnsión d Von Miss (N/m ) 8.E+6 8.E E E E E E E+6 Tabla 99: Tnsions d Von Miss n los Cntros d los Elmntos Calculadas por MATLAB La mustra las mismas tnsions d Von Miss pro n st caso calculadas con NASTRAN Tabla. Elmnto Nº Tnsión d Von Miss (N/m ) 8.7E+6 8.7E E E E E E E+6 Tabla : Tnsions d Von Miss n los Cntros d los Elmntos Calculadas por NASTRAN Las difrncias ntr los rsultados d las tnsions d Von Miss n l cntro d los lmntos qu forman l modlo d la viga n voladizo calculadas por MATLAB y NASTRAN son las qu s prsntan n la Tabla. 74

175 Difrncias n la Tnsión d Von Miss (N/m ) Elmnto Nº Tabla : Difrncias ntr los rsultados d las tnsions d Von Miss calculados por MATLAB y NASTRAN 9.6 Conclusions dl Estudio Comparativo dl Elmnto Finito Hxaédrico tridimnsional Isoparamétrico Al valuar las difrncias ntr los rsultados obtnidos n l cálculo dl modlo laborado mdiant lmntos finitos tridimnsionals isoparamétricos, s aprcia qu l rror comtido por MATLAB n comparación con NASTRAN s muy grand, d hcho l rror s dl mismo ordn d magnitud qu l propio valor dl rsultado n algunos casos, lo qu conllva qu para st lmnto finito l rror comtido s aún mayor qu para l lmnto finito bidimnsional isoparamétrico. Est aumnto n l rror comtido pud sr dbido a qu para l lmnto finito tridimnsional isoparamétrico la matriz d rigidz s calcula con un procso d intgración tripl qu s aún más costoso computacionalmnt qu l procso d intgración dobl llvado a cabo para l lmnto finito bidimnsional isoparamétrico y como ya s xplicó para l lmnto finito bidimnsional isoparamétrico, la labor d itración qu raliza MATLAB al llvar a cabo un cálculo d intgración pud sr mnos prciso qu l llvado a cabo por NASTRAN. Otro aspcto a tnr n cunta al obsrvar las difrncias ntr los rsultados obtnidos para l lmnto finito tridimnsional isoparamétrico, s qu no todos los tipos d rsultados calculados tinn un rror parcido sino qu, por jmplo, para los dsplazamintos l rror s muy considrabl mintras qu para las raccions l rror s muy pquño. Esta difrncia d magnitud n los rrors d los distintos tipos d datos no s ntind a qu pud sr dbido, por lo qu dbría sr studiado con minuciosidad n un studio postrior. 75

176 76

177 CONCLUSIONES GENERALES DEL ESTUDIO COMPARATIVO Tras habr llvado a cabo st studio sobr la prcisión d cálculo qu pud ofrcr MATLAB comparado con NASTRAN al dsarrollar las distintas class d lmntos finitos laborados a lo largo dl proycto, s pudn concluir los siguints puntos: La prcisión d cálculo d MATLAB para lmntos finitos linals s muy alta para todos los distintos tipos d rsultados obtnidos a lo largo dl proycto, sindo l rror comtido por MATLAB con rspcto a NASTRAN ntr y 6 órdns d magnitud mnor qu los valors d los rsultados. Los lmntos finitos linals rticulados laborados con MATLAB prsntan un pquño aumnto n l rror d los distintos tipos d rsultados obtnidos si s ls compara con los lmntos linals articulados. Esto s dbido a qu los lmntos finitos articulados solo trasmitn furzas linals mintras qu los lmntos linals rticulados trasmitn furzas linals y momntos, lo cual complica bastant la programación d st tipo d lmnto n MATLAB y conllva un procso d cálculo más difícil y laborado para l ordnador. Las difrncias d rror ntr los lmntos finitos linals rticulados bidimnsional y tridimnsional son insignificants, por lo qu s v qu la adición d una dimnsión al lmnto finito linal rticulado no conllva un aumnto n l rror dl cálculo ralizado por MATLAB. El lmnto cuadrilátro bidimnsional isoparamétrico prsnta un rror d cálculo bastant más grand qu los lmntos linals dbido al procso d itración llvado a cabo por MATLAB a la hora d obtnr su matriz d rigidz mdiant una intgral dobl, sto s dbido a qu l procso d itración d MATLAB para calcular intgrals s mucho más gnérico qu l d NASTRAN, l cual stá nfocado únicamnt al cálculo d lmntos finitos. Aun tnindo un rror más grand qu l d los lmntos linals, MATLAB ofrc una gran fiabilidad n l cálculo dl lmnto finito cuadrilátro bidimnsional isoparamétrico. Los rrors obtnidos al calcular l lmnto hxaédrico tridimnsional isoparamétrico con MATLAB son con mucha difrncia los más altos d todos los lmntos finitos studiados n l proycto, sindo l rror qu comt MATLAB con rspcto a NASTRAN dl mismo ordn d magnitud qu los propios rsultados. Est aumnto n l rror s dbido a la misma causa qu para l lmnto finito cuadrilátro bidimnsional isoparamétrico, pro n st caso, l procso d intgración para la obtnción d la matriz d rigidz s tripl, lo cual hac qu l rror aumnt n gran mdida. Así

178 pus, s pud concluir qu l lmnto finito hxaédrico isoparamétrico laborado con MATLAB no prsnta rsultados fiabls. El timpo d computación d MATLAB a la hora d calcular las matrics d rigidz d los lmntos finitos bidimnsional y tridimnsional isoparamétricos s mucho más alto qu l timpo mplado por NASTRAN.. Trabajos Futuros Las posibls línas d studio qu s pudn sugrir tras la laboración d st studio comparativo podrían sr: o El dsarrollo d un procso qu automatic l uso d l método d los lmntos finitos con MATLAB dado l alto cost n timpo y sfurzo qu supon programar st método d cálculo. o El studio d la fiabilidad qu ofrc MATALB a la hora d calcular un modlo d lmntos finitos con distintos tipos d lmntos finitos simultános. o Optimización dl procso n la obtnción d la matriz d rigidz d los lmntos finitos bidimnsional y tridimnsional isoparamétricos. 78

179 DOCUMENTACIÓN DE REFERENCIA [] [] [] [4] [5] [6] [7] [8] Toría gnral dl método d los lmntos finitos, Notas d Clas / Curso d Doctorado, Dpartamnto d Mcánica Estructural y Construccions Industrials - ETS Ingniros Industrials d Madrid, Francisco Bltrán,998/99 Stiffnss and Dflction Analysis of Complx Structur, Journal of Aronautical Scincs vol., M.J. Turnr, R.W. Clough, H.C. Martin y L.J. Topp, 956 Rsistncia d matrials, Rvrt s.a, Marcl Krguinas, Guy Caignart, Rsistncia d matrials, Univsitat Jaum, Manul Romro García, Pdro Musros Romro, María D. Martínz Rodrigo, Ana Pay Gil, 98 An Analysis of th Finit Elmnt Mthod, Prntic Hall, Strang y Fix, 97 Análisis Numérico, Math Larning, Richard L. Burdn, J. Douglas Fairs, 98 Introducción al studio dl lmnto finito n ingniría, Prnctic Hall, Tirupathi R. Chandrupatla, Ashok D. Blgundu, 999 Th Finit Elmnt Mthod For Enginrs, 4Th Ed, Knnth H. Hubnr, Donald L. Dwhirst, Doughlas E. Smith, Td G. Byrom, [9] Linar static analysis, MSC, John P. Caffry John M. LEE, 994 [] Thrmal DsKctop Usr s Manual, C&R Tchnologis, Timothy D. Panczak, Stvn G. Ring Mark J. Wlch, David Johnson, 4 [] Análisis structural FEM con FEMAP y NASTRAN (Curso),Javir San Millán, 5 [] Rsistncia d Matrials, Mc Graw Hill, Luis Ortiz Brrocal, 999 [] MATLAB Guid to Finit Elmnts, Springr, Mtr Catan, 7 [4] Aprnda Matlab 6., Escula Técnica Suprior d ingniros Industrials (Univrsidad Politécnica d Madrid), Javir García d Jalón José Ignacio Rodríguz Alfonso Brazals, 79

180 8

181 ANEXO SOFTWARE USADO EN ESTE PROYECTO I. MATLAB Matlab (MATrix LABoratory) s un ntorno intractivo basado n matrics para la ralización d cálculo numérico y visualización d rsultados. Prmit la rsolución d problmas sncillos sin scribir un programa y con facilidads d rprsntación grafica d los rsultados. Admás incorpora un lnguaj d programación qu prmit implmntar programas compljos d modo rlativamnt simpl. Actualmnt l sistma Matlab s usa tanto a nivl académico, dntro d la univrsidad, como a nivl d invstigación industria para la rsolución d complicados problmas cintíficos o d ingniría. Es mplado para l dsarrollo d cálculo numérico d propósito gnral pudindo manipular vctors y matrics tanto rals como compljos con funcions y fórmulas d variadas ramas d la matmática y rsolución d problmas con formulación matricial qu aparcn n control, stadística y procsado d sñals. Matlab aporta, por mdio d los toolbox (qu no s incorporan n l sistma bas sino qu s adquirn sparadamnt), funcions para rsolvr problmas spcíficos como por jmplo procsado d sñals, disño d sistmas d control, idntificación d sistmas, simulación d sistmas dinámicos, optimización, rds nuronals, tc. Entr los toolbox más importants s ncuntran: Curv fitting:. Ajusts d modlos y análisis Data Acquisition: Excl link: Adquir y nvía datos a un instrumnto lctrónico conctado al computador. Prmit usar Matlab con datos lídos dirctamnt dsd planillas Excl. Imag procssing: Prmit l procsaminto d imágns, análisis y dsarrollo d algoritmos. Partial diffrntial quation: Soluciona y analiza sistma d cuacions difrncials parcials. Signal Procssing: Prmit l procsaminto d sñals, análisis y dsarrollo d algoritmos. Matlab, como ya s ha dicho, sta orintado al cálculo numérico, a difrncia d otros softwar qu stán orintados al cálculo simbólico. Otra caractrística important d Matlab s qu s orintado al arrglo (vctors y matrics), s dcir,

182 las opracions o funcions matmáticas qu son válida para númros scalars también lo son para arrglos. Si por jmplo V s un vctor d 5 lmntos, ntoncs cos(v) ntrgará un vctor d 5 lmntos con los valors d cosno para cada lmnto dl vctor original. El programa MATLAB s distingu n si por una sri d caractrísticas notabls para los análisis numéricos, ntr las cuals s pudn citar: La programación s mucho más sncilla Hay continuidad ntr valors ntros, rals y compljos. La amplitud d intrvalo y la xactitud d los númros son mayors. Prsnta una bibliotca matmática amplia. Prsnta abundants hrramintas gráficas. Incluy funcions d intrfaz gráfica con l usuario. Prsnta capacidad d vinculars con lnguajs d programación clásicos. I.. Brv Dscripción d MATLAB MATLAB nac como una solución a la ncsidad d mjors y más podrosas hrramintas d cálculo para rsolvr problmas d cálculo compljos n los qu s ncsario aprovchas las amplias capacidads d procso d datos d grands ordnadors. El nombr MATLAB vin d "Matrix Laboratory" (laboratorio matricial). MATLAB fu originalmnt scrito para provr accso fácil al softwar matricial dsarrollado por los proyctos LINPACK y EISPACK, qu juntos rprsntan l stado dl art softwar para computación matricial. Hoy MATLAB s usado n una gran varidad d áras d aplicación incluyndo procsaminto d sñals imágns, disño d sistmas d control, ingniría financira invstigación 8

183 médica. La arquitctura abirta facilita usar MATLAB y los productos qu lo acompañan para xplorar datos y crar hrramintas prsonalizadas qu provn visions profundas tmpranas y vntajas comptitivas. Admás l Lnguaj d Computación Técnica MATLAB s un ambint d computación técnica intgrada qu combina computación numérica, gráficos y visualización avanzada y un lnguaj d programación d alto nivl. Sa cual fur l objtivo, un algoritmo, análisis, gráficos, informs o simulación, MATLAB lo llva allí. El lnguaj flxibl intractivo d MATLAB prmit a ingniros y cintíficos xprsar sus idas técnicas con simplicidad. Los podrosos y amplios métodos d cómputo numérico y graficación prmitn la pruba y xploración d idas altrnativas con facilidad, mintras qu l ambint d dsarrollo intgrado facilita producir rsultados prácticos fácilmnt. MATLAB s la fundación numérica y gráfica para todos los productos d Th MathWorks. MATLAB combina computación numérica, gráficos D y D y capacidads d lnguaj n un único ambint fácil d usar. MatLab intractúa con l usuario a través d vntanas. Las principals son las siguints Vntana d comandos (Command Window). Es LA vnta principal d MATLAB, n la cual s jcutan intractivamnt las instruccions d MATLAB y n dond s mustran los rsultados corrspondints, si s l caso. En cirta forma s la vntana más important y la única qu xistía n las primras vrsions d la aplicación. A partir d la vrsión 6.5 s ralizaron mjoras muy significativas, como son las siguints: S prmitn línas d comandos muy largas qu automáticamnt sigun n la lína siguint al llgar al margn drcho d la vntana. Clicando con l botón drcho sobr l nombr d una función qu aparzca n sta vntana s tin accso a la página dl Hlp sobr dicha función. Si l código funt (fichro *.m) stá disponibl, también s pud accdr al fichro corrspondint por mdio dl Editor/Dbuggr. Cuando al jcutar un fichro *.m s produc un rror y s obtin l corrspondint mnsaj n la Command Window, MATLAB mustra mdiant un subrayado un nlac a la lína dl fichro funt n la qu s ha producido l rror. Clicando n s nlac s va a la lína corrspondint dl fichro por mdio dl Editor/Dbuggr. En la figura Figura 65 s mustra la intrfac dl Comand Window 8

184 Instrucciíon d Matlab Rsulatado Función d Matlab Figura 65: Command Window Historial d Comandos (Command History Browsr ). El Command History Browsr ofrc accso a las sntncias qu s han jcutado antriormnt n la Command Window. Estas sntncias stán también accsibls por mdio d las tclas y, sta vntana facilita mucho l tnr una visión más gnral d lo hcho antriormnt y slccionar lo qu ralmnt s dsa rptir. Las sntncias jcutadas antriormnt s pudn volvr a jcutar mdiant un dobl clic o por mdio dl mnú contxtual qu s abr al clicar sobr llas con l botón drcho. También s pudn copiar y volcar sobr la lína d comandos, pro s ha d copiar toda la lína, sin qu s admita la copia d un fragmnto d la sntncia. Existn opcions para borrar algunas o todas las línas d sta vntana. Est componnt fu una novdad a partir d la vrsión 6.. En la Figura 66 s mustra l intrfac dl Command History Browsr 84

185 Historia d comando Inicio d Ssión Figura 66: Command History Browsr Dirctorio actual (Currnt Dirctory). El concpto d dirctorio activo o dirctorio actual s muy important n MATLAB. Los programas d MATLAB s ncuntran n fichros con la xtnsión *.m. Estos fichros s jcutan tclando su nombr n la lína d comandos (sin la xtnsión), sguido d los argumntos ntr paréntsis, si s trata d funcions. No todos los fichros *.m qu s ncuntrn n l disco duro o n otras unidads lógicas montadas n una rd local son accsibls sin más. Para qu un fichro *.m s puda jcutar s ncsario qu s cumpla una d las dos condicions siguints: Qu sté n l dirctorio actual. MATLAB mantin n todo momnto un único dirctorio con sta condición. Est dirctorio s l primr sitio n l qu MATLAB busca cuando dsd la lína d comandos s l pid qu jcut un fichro. Qu sté n uno d los dirctorios indicados n l Path d MATLAB. El Path s una lista ordnada d dirctorios n los qu l programa busca los fichros o las funcions qu ha d jcutar. Muchos d los dirctorios dl Path son propios d MATLAB, pro los usuarios también pudn añadir sus propios dirctorios, normalmnt al principio o al final d la lista. En un próximo apartado s vrá cómo s controla l Path. El Currnt Dirctory Browsr prmit xplorar los dirctorios dl ordnador n forma análoga a la dl Explorador u otras aplicacions d Windows. Cuando s llga al dirctorio dsado s mustran los fichros y fichros allí contnidos. 85

186 Espacio d trabajo (Workspac). El spacio d trabajo d MATLAB (Workspac) s l conjunto d variabls y d funcions d usuario qu n un dtrminado momnto stán dfinidas n la mmoria dl programa. La vntana Workspac constituy un ntorno gráfico para vr las variabls dfinidas n l spacio d trabajo, y s mustra a continuación n la Figura 67 Variabls Dfinidas Figura 67: Workspac La intrfac qu mustra por dfcto MATLAB, contin stas cuatro vntanas principals (aunqu lugo puda tnr más muy importants como pud sr la vntana d figuras, qu s abr automáticamnt cuando s scrib la función qu la llama) y s mustra a continuación n la Figura 68: Currnt Dirctory Command Window Workspac Command History Figura 68: Intrfac por dfcto d MATLAB 86

187 MATLAB dispon d un ditor qu prmit crar y modificar fichros-m (la xtnsión d stos s xtnsión *.m), qu continn conjuntos d comandos o dfinición d funcions. Estos fichros-m son d gran importancia n l ntorno d Matlab, porqu al tclar su nombr n la lína d comandos d la vntana d comandos (Comand Window) y pulsar Intro, s jcutan uno tras otro, todos los comandos contnidos n dicho fichro, así pus l podr guardar instruccions y grands matrics n un fichro nos prmit ahorrar una gran cantidad d trabajo d tclado. Est ditor d Matlab también nos prmit jcutar los fichros paso a paso, para vr si continn rrors (procso d Dbug). Figura 69: Editor d Matlab Así pus, st ditor para la programación n Matlab tin una gran importancia a lo largo d todo st proycto, ya qu todos los programas d lmntos finitos qu s han programado y sus funcions d apoyo corrspondints, han sido programados n st ditor d Matlab como Archivos-M. I.. Vntajas y Dsvntajas d Programar Elmntos Finitos n MATLAB El lnguaj d programación n Matlab s muy útil para la programación con l método d los lmntos finitos aplicado a problmas structurals, qu son los qu nos intrsan n st caso. D hcho, la utilidad d dsarrollar la programación n Matlab n nustra caso rsid n qu Matlab prmit l dsarrollar un código muy rápido para los métodos numéricos, como son por jmplo los lmntos finitos, otra caractrística d mucho atractivo s qu pos una librría matmática prdfinida ralmnt muy xtnsa, también s d gran importancia, qu las matrics, los vctors y una gran cantidad d hrramintas dl 87