Leo Miguel González Gutiérrez.

Transcripción

1 INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Y EL MÉTODO DE LAS CARACTERÍSTICAS.APLICACIONES A CASOS CON SUPERFICIE LIBRE. Leo Mguel González Gutérrez. Mayo 2001

2 Índce General 1 Introduccón. 6 2 Las ecuacones de la Mecánca de Fludos.Problema de Naver-Stokes Las ecuacones de la Mecánca de Fludos Partcularzacón para un fludo newtonano e ncompresble Condcones de contorno Problema de Naver-Stokes Aspectos computaconales Conclusones El método de los elementos fntos en Mecánca de Fludos Introduccón Consderacones práctcas del método de los elementos fntos Sstema de almacenamento matrcal Error El método de las característcas.problemas de transporte puro Cnemátca de Fludos.Defncón de trayectora y curva característca Operador dervada sustancal y ecuacón del transporte puro El método de las característcas Dscretzacón de la ecuacón del transporte puro Ejemplos numércos Ecuacón de transporte y dfusón Transporte y dfusón de Fludos Dscretzacón temporal de la ecuacón de tranporte y dfusón Dscretzacón espacal de la ecuacón de transporte y dfusón Ejemplo numérco

3 6 Método del gradente conjugado.problema de Stokes Introduccón Solucón teratva del problema de Stokes Generaldades Ecuacón funconal de la presón Solucón del problema medante gradente conjugado Ejemplos numércos bdmensonales Clndro bdmensonal en régmen lamnar Valdacón del Códgo para el Problema del Clndro Varacón del Drag en un clndro bdmensonal medante nteraccón eléctrca Otros casos bdmensonales en régmen turbulento Ejemplos numércos trdmensonales Flujo lamnar alrededor de una esfera Flujo alrededor del doble modelo de un Sere Tratamento de superfce lbre medante el método de la funcón de nvel Level set method Introduccón Técnca de la funcón de nvel level set Formulacón de la funcón de nvel level set Rencalzacón Solucón teratva del problema de Stokes Generaldades Ecuacón funconal de la presón Implementacón numérca del método Ejemplos numércos Conclusones y lneas futuras de nvestgacón Apéndce I : modelo de turbulenca Modelo de Smagornsky Apéndce II: Subrutna para el cálculo de la velocdad tangente y del gradente de la velocdad tangente Apéndce III: Manejo del CD ROM adjunto a esta tess. 141 Bblografía 142 2

4 Notacón. En este trabajo se utlzará fundamentalmente la notacón tensoral o de índces. Se empleará la notacón Cartesana cuando se refere a un sstema de coordenadas, sendo (x 1,x 2,x 3 ) o (x,y,z) las coordenadas Cartesanas en el caso trdmensonal. Indcar que cuando sea procedente se aplcará el conveno de subíndces de Ensten de suma extendda a los índces repetdos en productos y dervadas. Las normas en los espacos funconales L 2 (funcones de cuadrado ntegrable en un certo domno) y H 1 (espaco de Sobolev de funcones cuyas dervadas pertenecen a L 2 ) se denotan por 0 y 1 respectvamente, mentras que la norma Eucldana de un vector se denota por Los operadores del análss vectoral en notacón tensoral son: Gradente de una funcón escalar a : Dvergenca de un vector v : Rotaconal de un vector v : a x v x ξ jk v j x k Donde ξ jk es el tensor completamente antsmétrco o tensor de Lev-Cvtta. Laplacano de una funcón escalar a : El símbolo t se utlza para desgnar el ntervalo de dscretzacón temporal. El resto de la notacón se explcará oportunamente en el texto. Otros símbolos utlzados en este trabajo son: Γ = = Γ Γ D Γ N L g t p v τ j τj τj R δ j Domno de análss. Contorno del domno. Adherenca de Contorno del domno donde se conoce el campo de velocdades. Contorno del domno donde se conoce la tensón del fludo. Longtud característca del problema (en ejemplos navales será la eslora). Aceleracón de la gravedad. Tempo. Presón del fludo. Velocdad en el fludo, vector de componenetes v Tensor de tensones para fludos newtonanos. Parte desvadora o vscosa del tensor de tensones para fludos newtonanos. Tensor de tensones de Reynolds. Delta de Kronecker. 3 2 a x 2

5 Fn= v gl Re= vρl Número de Froude. Número de Reynolds. µ ρ Densdad del fludo. µ Vscosdad dnámca del fludo. ν = µ Vscosdad cnemátca del fludo. ρ 4

6 Agradecmentos Agradezco en prmer lugar y de modo destacado a todos aquellos que desde ms prmeros años me hceron sospechar que bajo el mundo de las ecuacones de la físcamatemátca se ocultaban formas de sngular belleza. Por otro lado y de forma más personal quero agradecer el resultado de esta tess a m drector Rodolfo Bermejo Bermejo que en todo momento fue capaz de transmtrme lusón por este trabajo, tambén y de forma muy especal a la Escuela Técnca Superor de Ingeneros Navales que a través de las nstalacones del Departamento de Hdrodnámca Numérca del Canal de Ensayos Hdrodnámcos me dó todos los medos necesaros para la realzacón de esta tess con generosdad y afecto. Dentro de la E.T.S.I.N. no qusera olvdarme de gente como Antono Souto Iglesas,Mguel Talens y Jose Ramón Rodrguez que fueron capaces de compartr en multples ocasones su tempo conmgo y me hceron sentr de forma especalmente cómoda durante todo el tempo que duró esta tess. Me gustaría tambén ctar a Lus Perez Rojas tutor de esta tess y Drector del Canal de Ensayos Hdrodnámcos de la E.T.S.I.N. por haber hecho posble m ntegracón en el equpo de nvestgacón sobre análss numérco. Qusera ctar tambén a la gente que ha colaborado en la valdacón de partes del códgo como Alejandro Rodrguez Gallego, Juan Dez Bejerano, Marano Asteasuan y en especal a Gullermo Artana y todo su equpo del Laboratoro de Electromecánca del Contínuo de la Unversdad de Buenos Ares. A Madrd por su luz y a Buenos Ares por su fdeldad. 5

7 Capítulo 1 Introduccón. En esta tess se presenta un método de resolucón de las ecuacones que rgen el movmento de un fludo vscoso, newtonano e ncompresble medante una combnacón de métodos de dscretzacón, tanto en régmen lamnar como turbulento. Nos enfrentamos a un problema de gran complejdad, cuya dfcultad máxma aparece en la naturaleza de sus ecuacones. Además de esta dfcultad se puede añadr otro problema que aparece con frecuenca en aplcacones ndustrales como es la nteraccón de dos fludos a través de una superfce de nterfase. En esta tess se supondrá que uno de los medos fuese agua y el otro are, denomnando a esta nterfase: superfce lbre. La solucón robusta de este tpo de problemas constturía un sólda posbldad de solucón a muchos problemas que demanda la ndustra y daría lugar a un horzonte amplo de aplcacones tecnológcas. A pesar de que las ecuacones que rgen este tpo de fenómenos se conozcan desde el sglo pasado su complejdad analítca hzo de ellas algo nabordable y tan sólo hubo certos ntentos de cálculo aproxmados que desafaron a todo tpo de nvestgadores. En la actualdad gracas al desarrollo de los cálculos por ordenador y la gran capacdad de las máqunas actuales se ha llegado a desarrollar una metodología de resolucón de dchas ecuacones conocda como Mecánca de Fludos Computaconal (Computatonal Flud Dynamcs-CFD), donde las ecuacones son resueltas de forma aproxmada por algortmos numércos proporconando nformacón sobre los valores de la velocdad, presón, prevencón de la cavtacón,resstenca al avance, sustentacón, ángulos de desprendmento de la capa límte, etc... El abordaje de las ecuacones del flujo alrededor de un objeto admte una certa smplfcacón en lo que se conoce como la hpótess de Flujo Potencal y su desarrollo computaconal en métodos de paneles.[sou-96]. Las herramentas tpo CFD permten al ngenero nvestgar una gran sere de opcones de dseño en las prmeras fases del proyecto antes de ncar la construccón, dando lugar a un moderno tpo de expermentacón que no es otro que la expermentacón numérca. Es justo decr que para que un códgo de CFD sea fable es necesaro que los expermentos en un canal de ensayos hdrodnámco o en un tunel de vento aerodnámco confrmen sus predccones. 6

8 Se tratará por tanto de obtener la dstrbucón de velocdades, presones y otros datos de notable nterés hdrodnámco en un fludo que rodea dferentes objetos. Esto será especalmente adecuado para el dseño óptmo de objetos sumergbles, pero se podrá aplcar a una gran varedad de problemas dentro y fuera del ámbto naval. Como pre y post procesador del sstema se elgó el programa Gd, desarrollado por el Centro Internaconal de Métodos Numércos en Ingenería por su buena adaptacón al problema planteado. Los elementos fntos como método de dscretzacón espacal de la ecuacones dferencales a resolver, el método de las característcas como forma efcaz de manejo del operador dervada materal y el método de la funcón de nvel ( level set method ) son los tres plares báscos sobre los que se asenta este trabajo y gracas a los cuales se ha consegudo dar solucón a una buena cantdad de casos tanto en stuacones bdmensonales como en stuacones trdmensonales. A pesar de hablar de estos tres grandes métodos como la gran base teórca del códgo desarrollado, es bueno comentar la multplcdad de pequeños detalles teórcos como por ejemplo el método de búsqueda de elementos en un mallado que s ben no son partes prncpales del método s que consttuyen herramentas fundamentales para que los resultados se obtengan con rapdez y efcaca. En cuanto a los problemas tratados sn superfce lbre se ha ntentado resolver aquellos que albergaran una buena coleccón de meddas expermentales para así poder valdar los resultados obtendos medante el ordenador y una vez se ha concludo esta etapa, se ha tratado de buscar aplcacones tecnológcas para las cuales este códgo pudera ser de gran utldad. Por otro lado, ya en el ámbto de la superfce lbre se ha proceddo de forma smlar resolvendo casos cuyas meddas expermentales estuvesen claramente consensuadas. La organzacón del presente trabajo será del sguente modo. En el segundo capítulo se hará un estudo detallado de las ecuacones que rgen los fenómenos de la Mecánca de Fludos (ecuacones de Naver-Stokes), hacendo un gran hncapé en los dos aspectos donde se hayan las dfcultades numércas: prmero, la restrccón de la condcón de ncompresbldad y segundo la nestabldad numérca que aparece cuando el térmno convectvo cobra mportanca frente al vscoso. En el capítulo 3 se tratará de desarrollar el método de dscretzacón espacal que se va a emplear en este trabajo, y que no es otro que el Método de los Elementos Fntos (FEM), se explcará adecuadamente la base matemátca en la que se sustenta el método y los aspectos práctcos que debe cumplr un códgo para ser robusto, rápdo y sn un consumo excesvo de memora. Se presentará el método de Galerkn como método de dscretzacón capaz de transformar un sstema de ecuacones dferencales en dervadas parcales en un sstema de ecuacones lneal. Incluso podríamos decr que se ntroducrá el FEM como un caso partcular del método de Galerkn. Se descrbrá el tpo de elemento que se utlzará 7

9 en dos o tres dmensones para nuestros cálculos en Mecánca de Fludos. Tambén se presentará el método del Gadente Conjugado Precondconado que se empleará como método de resolucón del sstema lneal al que fnalmente se llega tras la dscretzacón, esta herramenta será empleada en el resto del trabajo. En el cuarto capítulo se dará entrada al tempo en el problema estudado, se tene por tanto la oblgacón de desarrollar un método de dscretzacón temporal que en este trabajo será el Método de las Característcas. La dea de usar dcho método para la ntegracón del térmno convectvo en las ecuacones de transporte tene una larga tradcón en Mecánca de Fludos. El enfoque que aquí se detalla vene preceddo por una certa ntroduccón a la cnemátca de fludos debdo a que el Método de las Característcas esta basado en una descrpcón Lagrangana del flujo. La ausenca del térmno convectvo es una ventaja que nos proporcona el método desde un punto de vsta numérco dado que es ben conocda la dfcultad numérca que conllevan. Se realzará un ejemplo lustratvo de otras posbles alternatvas a este tpo de método pero que no proporconan un resultado tan bueno. En el capítulo 5 se dará un paso más en la aproxmacón a las ecuacones de Naver- Stokes y se añadrá un térmno de dfusón a la ecuacón del transporte, tal y como nos encontraremos a las fuerzas de orgen vscoso en las ecuacones de Naver-Stokes. Este problema aunque dstando bastante en dfcultad de nuestro objetvo últmo, permte r vsualzando sufcentemente el esquema numérco sobre el que se esta trabajando. En el sexto capítulo se podrá ver con sufcente detalle el método numérco que se va a mplementar para la resolucón de problemas con flujo vscoso e ncompresble medante la descrpcón del Método del Gradente Conjugado. Este método se emplea una vez se ha dscretzado la ecuacón en el tempo medante el método de las característcas. De modo que podríamos decr que la metodología de trabajo no es más que ntercalar etapas donde el prmer paso es una dscretzacón temporal del operador dervada sustancal medante el método de las característcas que nos transforma el problema de Naver-Stokes en un problema de Stokes segudo por la solucón de este últmo problema medante el Método del Gradente Conjugado. Este método esta pensado para dscretzacones tpo Galerkn tal y como se ha hecho en el presente trabajo. El capítulo 7 se plantea la solucón de problemas que nvolucran el tratamento y la solucón de problemas con superfce lbre. Las ecuacones que rgen dchos problemas son nuevamente del tpo transporte-dfusón, la superfce lbre se tratará medante el método Level Set, de modo que el Método de las Característcas vuelve a ser necesaro para hallar la solucón de la superfce lbre. Fnalmente, en el apéndce I del trabajo se realzará un estudo para la mplementacón de un esquema turbulento a la solucón del flujo. El prncpal nterés de este apéndce no resde en la solucón numérca de las ecuacones de Reynolds, ya que son matemátcamente 8

10 smlares a las de Naver-Stokes sno en el planteamento y la solucón de dchas ecuacones acopladas con modelos de turbulenca. Algunos de estos modelos se plantean en forma de ecuacones de transporte-dfusón por lo que habrá que retomar los métodos de los capítulos anterores. En el apéndce II se detallará el proceso de cálculo que se ha segudo para calcular la dervada de la velocdad tangencal respecto a la dreccón normal en el problema del clndro, el motvo de esta explcacón se halla en que s otros nvestgadores quseran contrastar los resultados de sus nvestgacones con los aquí obtendos, probablemente se pregunten sobre la metodología que aquí hemos empleado. Por últmo en el apéndce III se detalla la manera de vsualzar los vdeos contendos en el CD adjunto a esta tess. 9

11 Capítulo 2 Las ecuacones de la Mecánca de Fludos. Problema de Naver-Stokes. 2.1 Las ecuacones de la Mecánca de Fludos. Se va a tratar de representar el comportamento de un fludo en un certo volumen de control. La velocdad v = v (x,t) es una funcón vectoral que depende del punto del espaco x y del tempo t entre [0, ). Del msmo modo la presón es una funcón escalar que se escrbrá como p = p(x,t) con análogas dependencas espaco-temporales. Las ecuacones de la Mecánca de Fludos que van a consttur la base físca de este trabajo no son otras que: 1. La ecuacón de Conservacón de la Masa o ecuacón de Contnudad. 2. La ecuacón de la Conservacón de la Cantdad de Movmento. Estas ecuacones se desarrollarán bajo las hpótess de que el fludo vscoso que se estuda es un medo contnuo y se haya en equlbro termodnámco local. Las expresones matemátcas de dchas ecuacones son conocdas como Ecuacones de Naver-Stokes y se escrben: ρ t + (ρv ) = 0 en (0,t) (2.1) x ρ Dv Dt = ρ f p x + τ j x j en (0,t) (2.2) 10

12 Sendo: f (x,t) el campo de fuerzas másco que puede nclur fuerzas de dstnta naturaleza como son las fuerzas de nerca, electromagnétcas o gravtatoras. El estudo actual se lmtará a casos nercales(objetos en reposo o movéndose en trayectora rectlínea con velocdad constante) y/o gravtatoros. Por lo tanto se puede consderar que el campo f (x,t) es el campo gravtatoro y desgnarlo como g. Las ecuacones de Euler se obtenen de las ecuacones de Naver-Stokes sn más que prescndr del térmno vscoso en la ecuacón (2.2). 2.2 Partcularzacón para un fludo newtonano e ncompresble. En el caso de que nuestro fludo sea ncompresble se le supondrá densdad ρ constante, esta afrmacón podría ser dscutble en el caso en el que se tuvera un fludo gaseoso y velocdades del orden del sondo. En los casos que aquí se van a estudar las velocdades se supondrán muy nferores a las de orden sónco y por lo tanto aunque uno de los medos sea gaseoso se puede consderar ncompresble, por lo tanto la ecuacón (2.1) se transforma en: v x = 0 (2.3) S además la naturaleza de nuestro fludo es de tpo Newtonano se puede afrmar que el tensor de tensones vscosas τ j se expresa como: τ j = µ( v x j + v j x ) (2.4) Suponendo un únco fludo de vscosdad constante µ y tenendo en cuenta la ecuacón (2.3) se llega a que: 11

13 τ j x j = µ 2 v x 2 j (2.5) Luego fnalmente bajo todas las consderacones comentadas se tene que en el caso newtonano e ncompresble las ecuacones de Naver-Stokes son: v x = 0 en (0,t) (2.6) ρ Dv Dt = ρ g p x + µ 2 v x 2 j en (0,t) (2.7) S se admensonalzan estas ecuacones en funcón de una longtud característca L,una velocdad característca U y una presón característca ρu 2 se tenen las ecuacones de Naver-Stokes admensonalzadas en funcón del número de Reynolds Re = ρul y el µ número de Froude Fn = U gl. Se consderará que el campo gravtatoro actúa según el sentdo opuesto al eje OZ. v x = 0 en (0,t) (2.8) Dv Dt = 1 Fn δ 2 z p v x Re x 2 j en (0,t) En el caso partcular en el que Re 1, el térmno vscoso se hace sufcentemente pequeño y puede ser desprecado, a las ecuacones que resultan de tal consderacón se conocen como ecuacones de Euler y tenen la forma: v x = 0 en (0,t) (2.9) Dv Dt = 1 Fn 2 δ z p x en (0,t) Por otro lado s el Re 1, el térmno convectvo se hace sufcentemente pequeño y puede ser desprecado, a las ecuacones que resultan de tal consderacón se conocen como ecuacones de Stokes y su forma es: 12

14 v x = 0 en (0,t) (2.10) v t = 1 Fn δ 2 z p v x Re x 2 j en (0,t) 2.3 Condcones de contorno A las anterores ecuacones se les debe añadr un conjunto de condcones de contorno e ncales compatbles como son: v = v Drchlet en Γ D (0,t) (2.11) v n = 0 (v t ) n = 0 en Γ S (0,t) (2.12) τ j n j = pn + µ v n = 0 en Γ N (0,t) (2.13) v (x, 0) = v 0 (x ) en (t = 0) (2.14) Se supondrá que Γ D Γ N Γ S = y Γ D Γ N Γ S = Γ =, contorno de,el cual será sufcentemente suave (localmente Lpschtz). Γ D es la parte del contorno del domno donde se conoce el campo de velocdades (contorno tpo Drchlet de velocdad), Γ S es la parte del contorno del domno donde se mpone la dreccón de la velocdad y dervadas normales nulas de las componentes tangencales de la velocdad (contorno tpo slp) y Γ N donde se conoce la tensón del fludo (contorno tpo Neumann de velocdad). Se ha desgnado como n j al vector untaro normal exteror a. La condcón de contorno (2.13) es una condcón sobre el vector de tensón t = τ j n j. El éxto de esta condcón de contorno vene dscutdo por Gresho en [Gresho-91] y es una buena caracterzacón de la condcón de contorno en la frontera de salda del fludo. Se trata de anular tan solo el vector de tensón en la salda t sn mponer nnguna condcón de contorno al tensor de tensones del fludo τ j. Las condcones de contorno que no son tpo Drchlet son por desgraca las más complcadas debdo a que como mucho la físca 13

15 de la matera es nuestra únca guía. S el método de los elementos fntos se emplea a través de la formulacón débl de las ecuacones de Naver-Stokes, las condcones de contorno sobre el vector de tensón t son especalmente sencllas de mplementar ya que son condcones de contorno naturales(nbc). Esto quere decr por un lado que: a)nnguna atencón especal se le debe tener a las condcones sobre t ya que se mplementan automátcamente en el códgo, tan sólo s t fuese no nulo en algún contorno habrá que sumnstrar el valor en dcho contorno al códgo. b)la condcón se evalúa en su formulacón débl y no punto a punto. c)una geometría compleja no añade dfcultades respecto a una senclla. 2.4 Problema de Naver-Stokes. El conjunto de las ecuacones (2.8) junto con un conjunto de condcones de contorno compatbles se conocen como problema de Naver-Stokes. Tal y como se apreca a la vsta de las ecuacones el problema plantea un sstema acoplado de cuatro ecuacones dferencales en dervadas parcales de segundo orden en la velocdad (debdo al térmno vscoso) y no lneal (debdo al térmno convectvo). Este problema es uno de los de mayor complejdad de los que se encuentran habtualmente en aplcacones ndustrales y tecnológcas. Las dos formulacones más comunes empleadas para generar códgos computaconales son: a)la formulacón en varables prmtvas velocdad-presón tal y como se ha hecho en esta tess y se va a contnuar realzando. b)formulacones en varables dervadas: es decr, medante la ecuacón de Posson para la presón y la ecuacón de transporte de la vortcdad, o medante la funcón de corrente y la vortcdad. A la vsta de las condcones de contorno se puede afrmar que en el caso en el que Γ N = la solucón para el campo de presones sólo está fjada salvo constante adtva. En caso contraro, Γ N, no es necesara constante adtva alguna ya que hay condcones de contorno que ncluyen la presón. (Ver condcón (2.13)) Para poder plantear su resolucón medante el método de los elementos fntos utlzando el procedmento clásco de Galerkn no se deben olvdar las nestabldades que aparecen al realzar dcho procedmento. Las dfcultades numércas que aparecen se deben fundamentalmente a dos factores: a) la condcón de ncompresbldad o de advergenca en la velocdad que oblga a que los espacos de elementos fntos sean compatbles, es decr que cumplan la condcón de Babuska-Brezz (se notará como condcón BB). 14

16 b) Domno del térmno convectvo sobre el térmno vscoso en la ecuacón de conservacón de la cantdad de movmento, esto es algo equvalente a decr que se perde establdad numérca a medda que se aumenta el número de Re. Como se ha menconado anteromente, el hecho de mponer la condcón de dvergenca nula al campo de velocdades en las ecuacones de Naver-Stokes tene efectos muy mportantes. Esto se produce prncpalmente por el hecho de que el campo de velocdades puede ser la únca ncógnta del problema de Naver-Stokes, para ser posterormente corregdo con un campo de presones obtendo a partr del campo de velocdades. Es necesaro darse cuenta de que la presón en la formulacón ncompresble de las ecuacones de Naver-Stokes, tal y como se ndca en [Sn-Gre-87] no es una varable termodnámca dado que se carece de ecuacón de estado, sno que en el fondo es una cantdad que establece el equlbro de fuerzas en cada partícula fluda y que se comporta como un multplcador de Lagrange que busca que el campo de velocdades sea advergente. Además de ser certo que su presenca nos oblga a cumplr la condcón de ncompresbldad, su gradente es una fuerza por undad de volumen. La presón se propaga a velocdad nfnta para consegur que el flujo sea en todo momento y en todo lugar ncompresble. Para ver como de certa es esta afrmacón bastaría con tomar el rotaconal de la ecuacón (2.7) y se vería que la presón desaparece de la ecuacón. En ese caso se podría calcular el campo de velocdades que salera de tomar el rotaconal en la ecuacón (2.7), dando lugar a la ecuacón de transporte de la vortcdad, y posterormente corregrlo con un campo de presones de modo que nos permtera cumplr la condcón de ncompresbldad, este campo de presones se podría calcular tomando la dvergenca a la ecuacón (2.7) y tenendo en cuenta la ecuacón (2.6), es lo que se llama la formulacón pressure Posson,ver [Gresho-91]. Respecto a la exstenca y uncdad de la solucón del problema de Naver-Stokes, ha sdo estudada en una gran cantdad de artículos y publcacones, entre otros se podría ctar a: Temam[Teman-85], Ladyzhenskaya[Lad-69] y Heywood[Hey-80],suponendo que se verfca la condcón BB que como se verá más adelante se obtene gracas a la adecuada eleccón de los espacos de elementos fntos. Se puede demostrar, ver [G a Esp-99], que las condcones de exstenca y uncdad no se cumplen para valores elevados del Re. Para valores moderados del número de Reynolds, en expermentos se pueden encontrar solucones no estaconaras e ncluso varas solucones, cuya aparcón depende de las condcones ncales que se planteen. Se trataría por tanto un problema de alta dependenca de las condcones ncales. A esta problemátca se volverá a ver en el apéndce I referdo al estudo de la turbulenca. 2.5 Aspectos computaconales Por otro lado la problemátca que presenta el hecho de que el térmno convectvo sea mucho mayor que el vscoso es ben conocda en el ámbto de los métodos numércos. 15

17 Este hecho se produce para altos números de Re y provoca que la solucón numérca clásca del método de los elementos fntos (esquemas desarrollados a partr del método de Galerkn) falla y aparezcan osclacones en todo el domno. Las menconadas osclacones desaparecen a medda que se dmnuye el tamaño de malla, algo que desde el punto de vsta práctco-computaconal es mpensable debdo a su lenttud y gasto enorme de memora. Desde un punto de vsta físco, se sabe que al aplcar el método de Galerkn se añaden vscosdades negatvas proporconales al número de Reynolds, provocando una mala establdad al problema y dando lugar a osclacones. Estas osclacones suelen ser localzadas y no tenden a propagarse en sstemas lneales, pero dado que las ecuacones de Naver-Stokes tenen térmnos no lneales que a elevados números de Reynolds tenen gran mportanca, se llega a nestabldades globales. La manera de tratar en este trabajo el térmno convectvo será el Método de las Característcas que nos permtrá prescndr explíctamente del térmno convectvo. Esta ventaja del método se ve compensada con la dfcultad de tener que calcular los pes de las característcas de los nodos del mallado en cada teracón temporal, tal y como se verá en el capítulo 4. No debe olvdarse que para resolver un problema por métodos computaconales el domno debe ser fnto, esto sgnfca que hay que lmtar el volumen de estudo del fludo medante fronteras artfcales. Pues ben, dar con una condcón de contorno adecuada para dchas fronteras artfcales que sea fáclmente mplementable a nvel numérco es una dfcultad añadda al problema. 2.6 Conclusones. En el presente capítulo se presentan el conjunto de ecuacones que se van a tratar de resolver posterormente y las dversas dfcultades que contenen los problemas que de ellas se dervan. Las dfcultades se deben fundamentalmente a la condcón de ncompresbldad del flujo, lo cual oblga a utlzar elementos dv-estables que cumplan la condcón B-B que se verá en detalle posterormente. La segunda dfcultad se halla cuando el térmno convectvo tene una mucha mayor mportanca en la ecuacón que el térmno vscoso en la ecuacón de conservacón de la cantdad de movmento, esto tende a nestablzar la ecuacón y por tanto a la pérdda de la solucón únca con ndependenca de las condcones ncales. Esto ocurre para números de Reynolds altos. La exstenca y uncdad de una solucón estaconara tan solo se puede asegurar para valores pequeños del Re. Para valoreas moderados y altos la experenca muestra que las solucones pueden ser no estaconaras e ncluso depender altamente de las condcones ncales. 16

18 Capítulo 3 El método de los elementos fntos en Mecánca de Fludos. 3.1 Introduccón. El problema que se planteó en el capítulo anteror es de ese tpo que úncamente pueden ser resueltos medante el uso de métodos numércos avanzados y ordenadores. La prmera parte del problema ya se ha realzado en el capítulo 1 y consste en expresar medante un modelo matemátco un sstema físco equvalente. En nuestro campo, la Hdrodnámca, nuestro sstema físco puede venr descrto tal y como se ha vsto antes por una o más ecuacones dferencales en dervadas parcales. El Método de los Elementos Fntos es uno de los métodos más comunes para resolucón de sstemas de ecuacones dferencales en dervadas parcales. Es un método de cálculo de ampla generaldad, lo que quere decr que puede ser aplcado a transtoros y a estados estaconaros, a problemas lneales y no lneales e ncluso a geometrías de dmensón arbtrara. En el fondo el FEM es un método de transformacón de un sstema de ecuacones en dervadas parcales en un sstema lneal algebraco de ecuacones. Los elementos fntos nos proponen un método sencllo y efcaz para la resolucón de problemas elíptcos, que son los que nos van a aparecer contnuamente en nuestro método, dado que como se verá más adelante se reducrá la complejdad del problema de Naver-Stokes a una sucesón ordenada de problemas elíptcos. De modo que consegur un códgo rápdo, robusto y efcente capaz de resolver problemas elíptcos con una certa dversdad de condcones de contorno debe ser el prmer objetvo. Se utlzará un método varaconal conocdo como método de Galerkn que tene una generaldad mayor que la que puedan ofrecer otros métodos basados en la optmzacón de un funconal (método de Rtz). Es necesaro explcar para entender lo favorable que es el método de Galerkn frente a otros, que es bastante dfícl e ncluso a veces mposble, encontrar el funconal adecuado para una ecuacón dferencal en dervadas parcales. En una buena parte del capítulo se basa en detallar aspectos que s ben no pertenecen ntrínsecamente al FEM, son claramente necesaros para que el método tenga un buen 17

19 rendmento computaconal. Se hará especal énfass en la técnca de almacenamento matrcal para que la efcaca de los recursos de la computadora sea óptma. Para cualquer referenca que verse sobre la teoría general del método de los Elementos Fntos aplcado a las ecuacones de Naver-Stokes se recomenda consultar [Cuv-85]. 3.2 Consderacones práctcas del método de los elementos fntos Sstema de almacenamento matrcal. Tal y como se ha explcado antes, el objetvo es transformar un sstema de ecuacones dferencales en dervadas parcales en un sstema de ecuacones lneales. Estos sstemas lneales venen como es habtual caracterzados por una matrz de coefcentes y un vector de térmnos ndependentes, por lo tanto el proceso de formacón de matrces es un paso neludble en todo cálculo de Elementos Fntos. Los elementos de matrz A j venen representados en nuestro caso por ntegrales, que cumplen, debdo a la naturaleza de las funcones base elegdas en la teoría clásca de elementos fntos,que la únca zona del domno donde dcha ntegral puede ser no nula es la zona ocupada por los elementos e l que contengan a los nodos y j a la vez. A j d = elementos l=1,j e l A j de l (3.1) Tal y como se puede entender exsten dos posbldades: a) Que los nodos y j sean el msmo =j. La ntegral queda restrngda a todos los elementos que contenen al nodo. b) Que los nodos y j sean nodos dstntos. La ntegral queda restrngda a todos los elementos que contenen a la recta que une los nodos -j. La consecuenca más mportante de todo esto es que s los nodos y j no son el msmo o no pertenecen a un msmo elemento la ntegral es nula. Esto mplca que debdo a tener tantas combnacones de nodos que no comparten elemento, hay un gran número de elementos de matrz nulos. Es por ello, que aparece el hecho de tener que trabajar con matrces ralas o dspersas(sparse). Esto se podría expresar: A j d = 0 s y j no comparten elemento. Tal abundanca de ceros en las matrces del método lleva a adoptar una técnca de almacenamento y manejo de matrces donde se pueda prescndr de guardar ceros ocupando memora de ordenador nútlmente. 18

20 A través de esta técnca se reemplaza cada matrz por tres vectores, dos de ellos contenen de alguna forma la nformacón de cuales son los elementos no nulos de la matrz y donde estarían colocados en la gran matrz cuadrada, de modo que sempre se pueda establecer una relacón bunívoca entre la matrz cuadrada y el vector compacto de los elementos no nulos en que se convertrá dcha matrz, el tercer vector contene el valor de los elementos de matrz no nulos. Para llevar a cabo este proceso lo prmero que hay que realzar es una tabla auxlar(puede ser elmnada de la memora una vez usada) que nos permta crear los dos vectores de nformacón aluddos anterormente. Esta prmera tabla conocda como tabla NVI (nodos vecnos a un nodo ) tendrá tantas flas como nodos contenga el mallado y tantas columnas como el máxmo número de nodos vecnos pueda tener un nodo (este número lo debe estmar el programador), su contendo será para cada fla-nodo : los nodos vecnos a dcho nodo ordenados de mayor a menor contando consgo msmo(en el caso de que la matrz sea smétrca tan solo se cuenta con los nodos menores o guales que el nodo ). Una vez se ha escrto esta tabla, se puede escrbr el vector NVPN(nodos vecnos por nodo) tendrá una longtud gual al número de nodos más uno y por defncón NVPN(1)=0, el contendo de este vector será el número de nodos acumulados que presenta un nodo sn nclurse a s msmo,esto concde con el número de elementos no nulos de la fla -1 en la tabla NVI. Otra propedad nteresante del vector NVPN es que s un elemento de matrz ocupa la fla en una matrz cuadrada del problema entonces ocupará un lugar comprenddo entre NVPN()+1 y NVPN(+1) dentro del vector compacto que reemplace dcha matrz. Esto se puede expresar matemátcamente: NV PN() = Card {x 0, 1 flas} (3.2) Sea a j una matrz NxN rala que se desea pasar a forma de vector compacto ã n,como se ha dcho antes exste una correspondenca bunívoca entre los índces,j y el índce n. Como se ha dcho antes: (,j) n NV PN() + 1 n NV PN( + 1) Por últmo se debe ser capaz de escrbr el vector NNVI(número de nodos vecnos a un nodo ) que tendrá una longtud gual al número de elementos no nulos de la matrz cuadrada representada y cuyo contendo será el de la tabla NVI leda por flas y prescndendo de los ceros, es decr el contendo de NNVI no es otra cosa que la parte no nula de la tabla NVI dspuesta en forma contnua. Se verfca que: NNV I(n) = j 19

21 Medante las relacones: NV PN() + 1 n NV PN( + 1) NNV I(n) = j se puede obtener n conocdos (,j) o vceversa. Debdo al uso de este tpo de notacón algunas operacones típcas de matrces hay que reformularlas de alguna manera. Un ejemplo nteresante es el producto matrz-vector expresando la matrz en forma de vector compacto. Sea c el vector resultado del producto de la matrz a j por el vector b j : c = a j b j = NV PN(+1) α=nv PN ()+1 a α b NNV I(α) (3.3) El resultado de utlzar este tpo de almacenamento matrz vector-compacto es de un enorme rentabldad a nvel de ahorro de memora: Sn r más lejos, un mallado estructurado de 25 nodos, tendría una matrz representatva de 25 2 = 625 elementos, a través de esta técnca se llegaría a compactar la matrz en un vector de 97 regstros. Una reduccón de un 84,5%. S el mallado estructurado es de 2601 nodos, la matrz pasaría a tener = elementos, y se podría reducr a un vector de regstros. Una reduccón de 99,82%. Como se puede observar a medda que el mallado va sendo mayor la efcaca del método de almacenamento tambén aumenta Error La fnaldad del apartado actual es mostrar la precsón del Método de los Elementos Fntos, o dcho de otro modo: cual es la dferenca entre la solucón aproxmada ũ que nos dan las ecuacones aproxmadas por el método de Galerkn y la solucón exacta del problema contnuo orgnal. Consderese una ecuacón dferencal elíptca de orden 2m, m 0, las ecuacones de Galerkn que se obtenen medante m ntegracones parcales y contenen dervadas de orden menor o gual que m. Una aproxmacón por elementos fntos se desgna conforme s se cumplen las sguentes condcones: a)las funcones base φ son m veces contnuas y dferencables en cada elemento. b) las funcones base φ son m veces contnuas y dferencables en. Restrgendo el estudo a las ecuacones de segundo orden, lo que sgnfca m = 1. En el estudo de las ecuacones de Naver-Stokes, aparece una ecuacón para la presón con m = 0. Por lo tanto una aproxmacón por elementos fntos para la presón será 20

22 conforme s las funcones base para la presón son contnuas en cada elemento sn tener porque satsfacer nngún requermento de contnudad en la frontera de los elementos. Lo prmero que se debe sgnfcar es que la máxma precsón del método es gual a la precsón de nterpolacón en cada elemento. De hecho en cada elemento la solucón obtenda es aproxmada por funcones lneales,cuadrátcas,etc... Se llamará h e al dámetro del elemento e (máxma crcunferenca nscrbble en 2D o máxma esfera nscrbble en 3D), por otro lado se puede llamar h a : h = max {h e } e A partr de la teoría de nterpolacón lagrangana se sabe que la óptma precsón de un elemento fnto es del orden h k+1 donde k denota el orden de las funcones base del Método de los Elementos Fntos. De modo general se podría decr que el Método de los Elementos Fntos depende de las sguentes condcones: a)sea E h el conjunto de todos los elementos con dámetro menor o gual que h. La subdvsón en elementos debe ser regular, lo que mplca que exste una constante γ 1 tal que: h e h e γ e E h, h > 0. (3.4) Donde h e denota el supremo de los dámetros de todas las esferas contendas en e. En el caso 2D, las cantdades h e y h e estan geométrcamente dadas en la fguras 3.1 y 3.2. En el caso trangular 2D, la condcón (3.4) es equvalente a la condcón de que los ángulos de los trángulos están stuados lejos del 0 o y de los 180 o. b)la solucón exacta u debe ser sufcentemente suave. En partcular la precsón de los FEM se deterora cuando la solucón exacta contene sngulardades debdo a razones como: dscontnudades en los datos, esqunas, rncones en. El refnamento de la dstrbucón de los elementos en las proxmdades de una sngulardad pasa a ser necesaro. c)todas las ntegrales que se encuentran en matrces y vectores se calculan exactamente. Cuando las condcones menconadas arrba son satsfechas se tene la sguente estmacón de error, que para k=1,2 y para n=1,2,3: u ũ 2 d 1/2 ch k (3.5) 21

23 Fgura 3.1: Caso trangular gradu grad ũ 2 d 1/2 ch k (3.6) En algunos casos partculares, por ejemplo cuando las sguentes condcones son satsfechas: datos sufcentemente suaves y contnuos, convexa, condcones de contorno tpo Drchlet o Neumann en Γ, la estmacón (3.5) puede ser mejorada: u ũ 2 d 1/2 ch k+1 (3.7) La constante c depende de cosas como de que manera se ha dvddo en elementos la geometría. Tambén depende de la geometría de, la suavdad de la solucón exacta u y otros datos del problema como el lado derecho f y los coefcentes del operador. Respecto a la dependenca de c con γ,debe tenerse en cuenta que c se hace pequeña a medda que γ se elge más pequeño. Esto sgnfca que los resultados más precsos se deben esperar para trángulos equláteros y tetraedros regulares. Cuando se utlzan métodos de ntegracón numércos como el de Gauss para calcular elementos de matrz o vector, se esta ntroducendo un error extra, este error se puede 22

24 Fgura 3.2: Caso cuadrátco tener en cuenta de la sguente manera: En el caso que se consderen trángulos en 2D o tetraedros en 3D, el error estmado a través de las fórmulas (3.5)... (3.7) sgue sendo váldo cuando se usa una fórmula de ntegracón polnómca exacta para P 2k 2 (e). En el caso de que se utlcen elementos fntos lneales (k=1),basta con utlzar formulas de ntegracón que que sean exactas para ntegrar P 0 (e),es decr constantes. De esta manera las fórmulas cláscas de ntegracón de Gauss pueden ser aplcadas. En el caso de que se utlcen elementos fntos lneales (k=2),basta con utlzar formulas de ntegracón que que sean exactas para ntegrar P 2 (e). Para estos casos tambén exsten fórmulas cláscas de ntegracón de Gauss para ser aplcadas. 23

25 Capítulo 4 El método de las característcas.problemas de transporte puro 4.1 Cnemátca de Fludos.Defncón de trayectora y curva característca. La Cnemátca de Fludos ofrece dos perspectvas para el análss del movmento de un fludo, estas perspectvas son la descrpcón Eulerana del movmento: donde se hace un estudo local del fludo y se analza la velocdad desde un punto de vsta de la Teoría de Campos, y por otro lado se encuentra la descrpcón Lagrangana del movmento que trata de segur el movmento de una partícula fluda concreta a lo largo del espaco de modo smlar al que emplea la Mecánca Clásca en el estudo del movmento de la partícula. En el enfoque Lagrangano se estudará una partícula concreta, una sola partícula ndvdual, y se generalzarán los resultados al resto de las partículas fludas. Suponendo que se refere el movmento a un sstema de referenca cartesano, se defne un vector poscón x en un nstante de tempo t. La dervada temporal de dcho vector poscón es la velocdad de la partícula y su dervada segunda la aceleracón. La trayectora o curva característca de la partícula se defne como la curva que forman las poscones sucesvas de una partícula a lo largo del tempo. Para obtener dcha curva basta ntegrar la ecuacón de movmento de la partícula y susttur una condcón ncal. Consderese la trayectora o curva característca de una partícula desde un sstema de referenca cartesano. En un nstante genérco t 0 la partícula se encontrará en un punto X, al cabo de un certo ncremento de tempo t la partícula habrá pasado a una poscón x (ver fgura 4.1), de forma que el vector desplazamento se puede defnr como el vector dferenca entre la poscón x y la poscón X. 24

26 Fgura 4.1: Estudo del movmento α = x X. (4.1) Por ser la velocdad tangente a la trayectora de la curva que genera la partícula en todo nstante de tempo,se tene que la velocdad es paralela al vector elemento de arco que defne la trayectora. Por lo tanto: dx 1 v 1 = dx 2 v 2 = dx 3 v 3 (4.2) 4.2 Operador dervada sustancal y ecuacón del transporte puro. Es una necesdad muy común en Mecánca de Fludos la de tener que transportar una certa magntud escalar o vectoral. El operador que permte transportar una certa magntud escalar defnda en el espaco-tempo a (x,t) medante un campo de velocdades v (x,t) tambén defndo en forma Eulerana en el espaco-tempo, es la dervada materal o sustancal. 25

27 El transporte de una magntud escalar a sn nngún tpo de dfusón cumple la ecuacón: a t }{{} Térmno local + v a x }{{} Térmno convectvo = 0. (4.3) Defnendo el operador dervada sustancal como: La anteror ecuacón queda: D Dt = t + v (4.4) x Da Dt = 0 (4.5) A esta ecuacón se denomnará Ecuacón de Transporte Puro. Como es obvo, necesta de una condcón ncal para ser un problema ben planteado, esta condcón será llamada a 0 (x, 0). 4.3 El método de las característcas. El Método de las Característcas ha sdo una dea muy utlzada para la ntegracón del térmno convectvo en la ecuacón de transporte puro y goza de gran tradcón en la Mecánca de Fludos Computaconal. La manera más común de mplementar este método está claramente basada en la descrpcón Lagrangana del movmento del fludo. Se dentfcará cada punto de la malla con la poscón fnal de una partícula fluda, y se busca en otro nstante la poscón de dcha partícula, la dea es repetr un msmo proceso para los dstntos nstantes t 1,t 2,...,t n a medda que el flujo progresa. Las ventajas de estos métodos puramente Lagranganos sobre los esquemas convenconales Euleranos son la establdad numérca y la ausenca del térmno convectvo. La ausenca de térmno convectvo es un tema nteresante desde un punto de vsta numérco ya que es ben sabdo que es fuente de dfcultades desde un punto de vsta computaconal. El problema es que a medda que el tempo avanza, la malla ncal se va deformando y ello mplca un gran deteroro de la precsón en la solucón numérca. Este nconvenente se puede remedar parcalmente s se regenera la malla tras unos certos pasos temporales. 26

28 Por otro lado, la regeneracón de la malla seguda de una nterpolacón de la solucón de una malla antgua a una nueva puede ser muy costoso computaconalmente. El Método de las Característcas Modfcado,propuesto por Allev y Bermejo, ver [Rod-99], es una nterpretacón del enfoque Lagrangano que por un lado mantene las buenas propedades del método mentras que por otro resuelve los problemas ctados anterormente. El Método de las Característcas Modfcado propone que el segumento de las partículas no se haga haca adelante en el tempo sno que se haga haca atrás. De hecho lo que hace es buscar la poscón en un nstante t n,de las partículas que llegarán a los puntos de la malla en t n+1. Supongase el ntervalo temporal [0,T] dvddo en N ntervalos [t n,t n+1 ] de longtud t tal que N t = T. Para cada ntervalo [t n,t n+1 ] se puede ntegrar cualquer ecuacón de transporte (en el apartado sguente se hará una aplcacón con la ecuacón del transporte pura) a lo largo de las trayectoras de las partículas fludas tal y como se descrbrá a contnuacón. Se utlzará la notacón X (x,t n+1 ;t) para notar la poscón de una partícula en un nstante t que llegará al punto x en el nstante t n+1. La trayectora de dcha partícula verfca las ecuacones (ver fgura 4.2): dx dt (x,t n+1;t) = v (X (x,t n+1 ;t),t) (4.6) X (x,t n+1 ;t n+1 ) = x Debe recordarse que X (x,t n+1 ;t) es el punto en el nstante t correspondente a la curva característca del operador +v t x. Suponendo que v satsface las condcones para la exstenca de una solucón únca de (4.6) para todo nstante t,ver [Foas-85], se tene que para los nstantes t n t t n+1. X (x,t n+1 ;t n ) = x tn+1 t n v (X (x,t n+1 ;t),t) dt (4.7) Se puede probar que la ecuacón (4.7) defne una transformacón contnua de en sí msmo:, tenendo en cuenta que dado que dcha aplcacón se basa en la velocdad v (X (x,t n+1 ;t),t) hay que tener en cuenta las condcones de contorno Drchlet homogéneas para la velocdad. De esta manera para cualquer (x,t) [t n,t n+1 ],se puede ntegrar cualquer ecuacón de transporte a lo largo de las líneas característcas. Se verá en el apartado sguente un ejemplo práctco realzado con la ecuacón de tranporte pura y en el capítulo cnco se hará una aplcacón a la ecuacón de transporte-dfusón. 27

29 Fgura 4.2: Curva característca del movmento. 4.4 Dscretzacón de la ecuacón del transporte puro. Supongase un campo escalar a (x,t) defndo en [0,T] de modo que la magntud a es transportada sn dfusón medante un campo de velocdades v, de modo que se cumple la ecuacón del transporte puro: Da (x,t) Dt = 0 (4.8) A contnuacón se ntegrará la ecuacón (4.8) a lo largo de las lneas característcas entre los puntos (x,t n+1 ) (nodos pertenecentes a la malla) y (X,t n ) (conocdo como pe de las característcas), los pes de las característcas no son puntos que estén stuados en 28

30 los nodos sno en cualquer lugar de, de modo que la relacón entre ambos puntos está defnda a través de la ecuacón (4.7). Realzando dcha ntegracón: a (x,t n+1 ) = a (X,t n ) (4.9) Esta ecuacón reproduce la msma nformacón que ya contenía (4.8) y que no es otra que la magntud a (x,t) se mantene constante a lo largo de las curvas característcas, esto se nterpreta fáclmente dado que es la dervada sustancal de a lo que es gual a cero, es decr la dervada sguendo a la partícula se anula y por lo tanto el valor de la magntud a en dos puntos de dcha curva característca como el nodo (x,t n+1 ) y el pe de la característca de dcho nodo (X,t n ) debe ser el msmo. En la ecuacón (4.9) se desea calcular el lado derecho y atrbuírselo a a (x,t n+1 ), o dcho de otra manera se desea calcular en t n y transportar dcha nformacón haca el futuro en t n+1. Para calcular a (X,t n ) se hará una nterpolacón del valor del campo a en el pe de la característca X,esto se escrbe: a (X,t n ) = nodose j=1 a j (t n ) φ j (X ) (4.10) Esto sgnfca que la nterpolacón se extende a todos los nodos del elemento E que contenga a X,a este número de nodos por elemento se llamará nodose. Por lo tanto se realzará la nterpolacón medante los elementos fntos evaluando las funcones base en los pes de las característcas X y multplcándolas por el valor de la funcón a en los nodos de dcho elemento a j (t n ). La solucón obtenda por los métodos de nterpolacón es en general no conservatva, y s su grado es mucho mayor que uno, las solucones adqueren fuertes osclacones en las vecndades de las regones con varacones espacales rápdas. Bermejo y Stanforth nventaron el esquema QMSL, ver [Ber-Stan-92],para suprmr tales osclacones y devolver a la solucón numérca las msmas propedades que tenía la solucón exacta, el únco nconvenente del esquema QMSL es que no tene conservacón de la masa. En cualquer caso hay trabajos realzados en la lnea de adconar la propedad de conservacón de la masa al esquema QMSL, ver [Ber-Con-00]. El esquema QMSL parte de (a 1 (t n ),a 2 (t n ),...,a nodose (t n )) como los valores de la solucón aproxmada en los nodos del elemento donde esta localzado el pe de la característca en el nstante t n. Sean: A + = max (a 1 (t n ),a 2 (t n ),...,a nodose (t n )) A = mn (a 1 (t n ),a 2 (t n ),...,a nodose (t n )) 29

31 Por lo tanto A + (A ) es el máxmo(mínmo) local de los nodos que rodean al pe de la característca en t n. Los pasos, para cada nstante t n+1 y para cada nodo de la malla x son: 1)Se calcula el pe de la característca y se dentfca el elemento donde esta localzado. 2)Se calcula con funcones base cuadrátcas a H (X,t n ) empleando una nterpolacón smlar a la expresada en la ecuacón (4.10) 3)Calcular A + y A como se defnó anterormente. 4)Estmar: a (X,t n ) = A + s a H (X,t n ) > A + a (X,t n ) = A s a H (X,t n ) < A a (X,t n ) = a H (X,t n ) cualquer otro caso. Lo prmero que habrá que calcular por tanto serán los pes de las característcas X en t n (ver fgura 4.3),este es un paso de gran mportanca dentro de nuestro esquema numérco. Esta etapa se debe llevar a cabo de forma cudadosa ya que es necesaro para mantener el orden de precsón, ver [Bermej-SI-95]. En estos análss se ndca que X (x,t n+1 ;t n ) debe ser calculado con un error al menos de un orden superor que el algortmo utlzado para aproxmar la solucón a (x,t n+1 ). Algunos autores calculan X (x,t n+1 ;t n ) medante un esquema de Runge-Kutta explícto de segundo orden, pero realmente se ha encontrado que no es un método sufcentemente exacto como para mantener a la partícula en su trayectora curva. Una posbldad es tambén utlzar un esquema de Runge-Kutta explícto de cuarto orden, pero se tene el nconvenente de tener que extrapolar la velocdad para t n+ 1 y t n+1. En el contexto de los elementos fntos 2 se han propuesto esquemas explíctos Euleranos de prmer orden para este cálculo, ver [Pronn-82]. En este trabajo se usará un método propuesto por Temperton y Stanforth,ver [Temp-87], basado en esquemas sem-lagranganos para la ntegracón de ecuacones metereológcas. Para el cálculo defntvo de X (x,t n+1 ;t n ) hay que acompañar este esquema de un método de búsqueda y localzacón de puntos en un mallado, esta combnacón da lugar a un esquema de cálculo efcente y precso. S se fja la atencón sobre la ecuacón (4.7),en este momento se está especalmente nteresado en calcular los X (x,t n+1 ;t n ) correspondentes a los puntos de la malla {x } NUMNOD =1. Dado que la ecuacón (4.7) tene solucón únca para cada x,se puede afrmar que hay un únco punto X (x,t n+1 ;t n ) en,asocado al nodo x. En general X (x,t n+1 ;t n ) no concdrá con la poscón espacal de un nodo de la malla, de modo que para saber sobre que elemento se encuentra dcho punto se tendrá que localzar el elemento de la malla 30

32 donde se encuentre. El esquema que se utlzará en este trabajo es sencllo y efcaz, pudéndose ver en detalle en [All-Ber-97], a partr de ahora dcha rutna de búsqueda y localzacón será llamada subrutna SLALG. Para el cálculo en sí de X (x,t n+1 ;t n ),se defne un vector α (ver fgura 4.4) tal que: α = x X (x,t n+1 ;t n ) (4.11) Fgura 4.3: Stuacón del pe de la característca. S se aproxma la ntegral de la ecuacón (4.7) medante la regla del punto medo, se tene que: ( ) α = t v X (x,t n+1 ;t n+ 1 2,t n+ 1 2 ) + O ( t 3). (4.12) ) Sendo X (x,t n+1 ;t n+ 1 es el punto medo del arco que une los puntos (x,t n+1 ) y 2 (X (x,t n+1 ;t n ),t n ). Desarrollando por Taylor la curva característca se puede por tanto escrbr: ) x = X (x,t n+1 ;t n+ 1 + ( ) 2 t X x,t n+1 ;t n t 2 + O ( t 2). (4.13)

33 Recuerdese que : ( t X x,t n+1 ;t n+ 1 2 ) = v (X ( Por lo tanto la expresón anteror nos queda: x,t n+1 ;t n+ 1 2 ),t n+ 1 2 ) (4.14) x = X (x,t n+1 ;t n+ 1 2 = X (x,t n+1 ;t n+ 1 2 ) + v (X ( ) x,t n+1 ;t n α O ( t 2) ),t n+ 1 2 ) t 2 + O ( t 2) = (4.15) ) X (x,t n+1 ;t n+ 1 = x α + O ( t 2). (4.16) y ( ) v X (x,t n+1 ;t n+ 1 2,t n+ 1 2 ) ( = v x 1 ) 2 α,t n+ 1 + O ( t 2) (4.17) 2 Fgura 4.4: Vector alpha. 32

34 Susttuyendo (4.16) en (4.12) se llega a: α = t v (x 1 ) 2 α,t n+ 1 + O ( t 3) (4.18) 2 Debe notarse que la velocdad esta calculada en el nstante t n+ 1. De modo que para 2 evaluarla hay que utlzar una fórmula de extrapolacón, en este caso se utlzará de Adams-Bashford recomendada por Temperton y Stanforth en [Temp-87], llegándose a: ) v (x,t n+ 1 = v (x,t n ) 1 2 v (x,t n 1 ) + O ( t 2) (4.19) El algortmo propuesto para calcular α se trata de lo sguente: Se parte de: [ 3 α 0 = t 2 u (x,t n ) 1 ] 2 u (x,t n 1 ) (4.20) Tras calcular α 0, para k=0,1,... α (k+1) [ ( 3 = t 2 u x 1 ) 2 α(k),t n 1 ( 2 u x 1 )] 2 α(k),t n 1 (4.21) El error que se derva de este algortmo se puede estudar del sguente modo, sean: e (k) = α α (k) e (k) = max e (k) A partr de las ecuacones (4.19), (4.21) y un desarrollo de Taylor se puede demostrar que: e (k+1) 1 2 K t e(k) (4.22) 33

35 Fgura 4.5: Pe de la característca y nodos en el mallado. Donde K=max u. x j Por tanto, s K t es sufcentemente pequeño, se puede afrmar a partr de esta últma desgualdad que después de pocas teracones (tres o cuatro) se puede aproxmar α hasta orden O ( t 3 ). Desde este momento se utlzará la notacón X n h para aproxmar el valor de los pes de las característcas X h (x,t n+1 ;t n ). Para referrse al pe de la característca correspondente al nodo de la malla x = x, se hará medante X n h. Claramente los pes de las característcas de nterés son aquellos asocados a los puntos de la malla {x } MV =1. Sendo MV el número total de nodos cuadrátcos. Según la ecuacón (4.11) se puede escrbr: X n h = x α h (4.23) donde los α h son calculados en el proceso teratvo descrto anterormente. α (k+1) h = t 2 [ ( 3 u n h x 1 ) ( 2 α(k) h u n 1 h x 1 )] 2 α(k) h (4.24) ( ) ( ) Los valores u n h x 1 2 α(k) h y u n 1 h x 1 2 α(k) h se calculan por nterpolacón numérca medante elementos fntos según la expresón: 34

36 MV u n h (x) = Uj n φ j (4.25) Debe tenerse en cuenta que para llevar a cabo tal nterpolacón y por lo tanto para poder calcular α (k+1) h, debe dentfcarse el elemento donde el punto x 1 2 α(k) h esta localzado (ver fgura 4.5). Esta búsqueda de un punto nteror a un elemento, como ya se ha dcho antes, es una parte mportante del códgo y debe realzarse con efcaca y precsón. Un algortmo de búsqueda y localzacón debe ser desarrollado especalmente para esta tarea de modo que todos los pes de las característcas puedan ser localzados dentro de algún elemento y tambén sean conocdas las coordenadas locales del pe de la característca dentro de ese elemento. La subrutna Slalg desarrollada por Allev y Bermejo en [All-Ber-97] permte dentfcar los elementos huesped de cada partícula fluda en los pes de su característca, tambén nos proporcona como es necesaro las coordenadas locales del pe de la característca dentro de ese elemento. La subrutna Slalg hace uso del método de Newton para nvertr la aplcacón byectva entre el elemento de referenca y un elemento dado de la malla, junto con ello utlza un crtero de movmento para r de elemento a elemento de la malla. Por lo tanto para calcular a n h (x) = an h (Xn h ) se procede del sguente modo: j=1 MV a n h (x) = j=1 A n j φ j (x) (4.26) Donde los valores { } A n j son los valores que toma la funcón a en los nodos de la malla en el nstante t n. Un análss teórco del procedmento de nterpolacón para el cálculo de a n h (x) fue presentado por Bermejo en [Bermej-SI-95]. A dferenca de los esquemas convenconales de combnacón del método de las característcas con Galerkn en los que se calcula a n h (x) medante una proyeccón L2 sobre el espaco de velocdades V h,aquí la combnacón se realza de un modo que es claramente menos caro computaconalmente de consegur. El pseudocódgo que resume todo este procedmento es el sguente: Supongase conocdo: MV:número de nodos de velocdad. n:número de nodos de velocdad por elemento. NODES:matrz de nodos en cada elemento. VECEL:tabla de elementos vecnos de un elemento dado. ITFCH:número máxmo de teracones para el cálculo de los pes de las característcas. Vj n,v n 1 j :valores de la velocdad en los nodos de la malla en los nstantes t n y t n 1. A n j :valores de la funcón escalar a en los nodos de la malla en el nstante t n. x :coordenadas e los puntos de la malla. 35

37 ǫ 1 :toleranca para la convergenca en el cálculo de los pes de las característcas. NE: vector que contene el elemento e que alberga al pe de la característca asocado a cada nodo. XX: vector que contene las coordenadas locales de los pes de las característcas. La prmera parte del pseudocódgo lo que hace es calcular los valores extrapolados de la velocdad v de acuerdo a la ecuacón (4.19),los valores de α (0) a través de la ecuacón (4.20) y las coordenadas x = x 1 2 α(0) for = 1,...,MV ( do V 1 2 3U n U n 1 z tv x x 1 z 2 end do. ) La segunda parte del pseudocódgo muestra la manera de tratar la ecuacón (4.21). Recuérdese que la funcón Slalg es capaz de dentfcar el elemento huesped de los puntos x = x 1 2 α a partr de los sguentes datos: x,nodes,vecel, de modo que devuelve un vector NE y un vector XX con los elementos huesped y las coordenadas locales dentro de cada elemento. Con esta nformacón se tera desde k=1,2,...,itfch en la ecuacón (4.21) hasta consegur la convergenca para un certo α k. Para cada paso k, se lleva a cabo la nterpolacón medante elementos fntos medante una expresón del tpo s = s + tv ejφ j (x), sendo V ej la componente de la velocdad del nodo j del elemento huesped e, y φ j (x) el valor de la funcón base del nodo j en el pe de la característca x. Fnalmente el objetvo es la convergenca en el cálculo de los pes de las característcas. 36

38 for k=1,...,itfch do call Slalg(x,NODES,VECEL, NE, XX) for =1,2,...,MV do e=vecel() s=0.0 for j=1,2,...,n do ej=nodes(e,j) s=s+ tv ej φ j (x ) end do x s end do f max x z > ǫ 1 for =1,2,...,MV do z x x x 1z 2 end do ELSE for =1,2,...,MV do z x x x z end do output {x } end f end do Una vez lograda la convergenca y por lo tanto calculados los pes de las característcas, en el últmo paso del pseudocódgo se descrbe el procedmento para calcular la funcón a en los pes de las característcas a n h (x) = an h (Xn h ) de acuerdo a la ecuacón (4.9). call Slalg(x,NODES,VECEL, NE, XX) for =1,2,...,MV do e=vecel() s=0.0 for j=1,2,...,n do ej=nodes(e,j) s=s+ ta n ejφ j (x ) end do A n 1 A n end do output {A n } A n s 37

39 En [Glow-Pr-92] Pronneau y Glownsk desarrollan este método de la característcas con la dferenca del cálculo de los pes de la característcas Xh n, el procedmento que allí se realza se base en el segumento de las líneas de corrente en el mallado, que tene el nconvenente como se reconoce en el artículo de saber decdr cual es el sguente elemento que la característca debe cruzar, cosa que oblga a una programacón extremadamente cudadosa. Fgura 4.6: Poscón ncal del cono de altura Ejemplos numércos. Se resolverá como ejemplo de la ecuacón de transporte puro un problema de transporte de una superfce cónca medante un campo de velocdades defndo úncamente por una rotacón con velocdad constante ω alrededor de un eje fjo en el espaco. Sea un campo escalar a (x,t) que representa la altura de un cono defndo en [0,T] donde la magntud a es transportada sn dfusón medante un campo de velocdades v,de modo que se cumple la ecuacón del transporte puro: Da (x,t) Dt = 0 = a (x,t n+1 ) = a (X,t n ) (4.27) 38

40 Fgura 4.7: Poscón fnal tras una vuelta, caso lneal, altura fnal El cono queda defndo matemátcamente por: { ( ) H 1 r r R a(r, 0) = R 0 r > R } (4.28) Sendo r 2 = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 Donde (x 0,y 0 )son las coordenadas del centro del cono. Los parámetros R y H son el rado y la altura respectvamente del cono. La velocdad de un punto de la base del cono de coordenadas (x 1,x 2 ) donde las coordenadas del centro de la base del cono son (x 0,y 0 ) cumple que: Por lo tanto v = ξ jk ω j x k (4.29) v 1 = ωx 2 (4.30) v 2 = ωx 1 39

41 Fgura 4.8: Poscón ncal, caso cuadrátco, altura del cono =1. Al tratarse de un campo de velocdades estaconaro las expresones (4.20) y (4.21) se pueden reducr a : [ 3 α 0 = t 2 v (x) 1 ] 2 v (x) = t v (x) (4.31) Tras calcular α 0, para k=0,1,... α (k+1) [ ( 3 = t 2 v x 1 2 α(k) ) = t v ( x 1 2 α(k) ) 1 2 v ( x 1 )] 2 α(k) = (4.32) (4.33) El campo de velocdades v cumple que su dvergenca es nula. Se trabajará con una malla unforme de espacado h=0.01, el ncremento de tempo consderado es t = 1800s,y la velocdad angular ω = s 1. Se tomará (x 0,y 0 ) = ( 14h, 0) y R=8h. Es fácl calcular que el número de pasos de tempo para dar una vuelta completa es

42 Fgura 4.9: Poscón fnal tras una vuelta, caso cuadrátco, altura fnal A contnuacón se muestran una sere de vstas trdmensonales del cono tras una revolucón completa. Un prmer expermento se realzó a través del esquema QMSL e nterpolacón cuadrátca (ver fguras 4.8 y 4.9), otro se realzó tamben medante QMSL e nterpolacón lneal(ver fguras 4.6 y 4.7) y por últmo se resolvó este msmo problema medante un esquema explícto tpo Leap-Frog (fgura 4.10). Se puede observar que en los tres expermentos llevados a cabo los resultados son ben dstntos: en el prmer caso, aplcacón del método de las característcas con funcones base lneales, el cono perde bastante altura y se deforma mucho tras una vuelta pasando de tener altura undad a tener (ver fgura 4.7), en el segundo caso y tambén medante el método de las característcas pero ahora con funcones base cuadrátcas, los resultados son buenos consguéndose poca pérdda de forma y apenas pérdda de altura (ver fgura 4.9), en el últmo caso con un esquema explícto tpo Leap-Frog la malla adquere mucha dfusón aunque el cono apenas perda altura y forma(ver fgura 4.10). 41

43 Fgura 4.10: Poscón fnal tras una vuelta según el esquema Leap-Frog. 42

44 Capítulo 5 Ecuacón de transporte y dfusón. 5.1 Transporte y dfusón de Fludos. En multplcdad de casos algunas de las magntudes que se estudan en Mecánca de Fludos además de ser transportadas por un certo campo de velocdades expermentan una certa dfusón o dspacón en su evolucón. Sn r más lejos la cantdad de movmento en la ecuacones de Naver-Stokes sufre dfusón debdo a la vscosdad, o ncluso la concentracón de un certo contamnante sufre dfusón cuando se le nyecta a una corrente fluda. Por otro lado ya que esta ecuacón contene térmnos smlares a los que contenen las ecuacones de Naver-Stokes, su manejo nos acerca mucho a nuestro verdadero objetvo, sn por ello dejar de ver dferencas como el hecho de que es una ecuacón lneal y por lo tanto más senclla que Naver-Stokes. Respecto a su tratamento numérco es necesaro decr que hstórcamente se han tendo dfcultades para suavzar dscontnudades en las dreccones normales al flujo. Los típcos esquemas Euleranos no funconan adecuadamente debdo a que la dscretzacón espacal de la ecuacón por elementos fntos da lugar a un sstema de ecuacones lneal mal condconado s el paso temporal no es sufcentemente pequeño. Hay que r por lo tanto a un método como el método de las característcas hacendo uso de una dscretzacón espacal por Galerkn para resolver dcha dfcultad. La ecuacón general de una magntud fluda escalar defnda en el espaco-tempo a (x,t) medante un campo de velocdades v (x,t) tambén defndo en el espaco-tempo que se transporta con dfusón es:. a t }{{} Térmno local + v a x }{{} Térmno convectvo = ν 2 a x 2 }{{} Térmno dfusvo (5.1) 43

45 Recordando la expresón del operador dervada sustancal : La anteror ecuacón nos queda: D Dt = t + v (5.2) x Da Dt = ν 2 a x 2 (5.3) A esta ecuacón será denomnada Ecuacón de Transporte-Dfusón. Como es obvo, esta ecuacón necesta de unas condcones de contorno y una condcón ncal para ser un problema ben planteado, la condcón será llamada a 0 (x, 0). 5.2 Dscretzacón temporal de la ecuacón de tranporte y dfusón. Supóngase un campo escalar a (x,t) defndo en [0,T] de modo que la magntud a es transportada con dfusón medante un campo de velocdades u,de modo que se cumple la ecuacón del transporte-dfusón: Da (x,t) Dt = ν 2 a (x,t) x 2 (5.4) A contnuacón se ntegrará la ecuacón (5.4) a lo largo de las líneas característcas entre los puntos (x,t n+1 ) (nodos pertenecentes a la malla) y (X,t n ) (conocdo como pe de las característcas), los pes de las característcas no son puntos que estén stuados en los nodos sno en cualquer lugar de, de modo que la relacón entre ambos puntos está defnda a través de (4.7). Realzando dcha ntegracón: a(x,t n+1 ) a(x,t n) da (x,t) = tn+1 t n ν 2 a (x,t) dt (5.5) x 2 a (x,t n+1 ) a (X,t n ) = tn+1 t n ν 2 a (x,t) dt (5.6) x 2 Aplcando la regla de cuadratura del trapeco al térmno de dfusón: 44

46 a (x,t n+1 ) = a (X,t n ) + 1 ( ) 2 2 a (x,t n+1 ) + 2 a (X,t n ) ν t. (5.7) x 2 x 2 Esta ecuacón reproduce la msma nformacón que ya contenía (5.4) y que no es otra que la magntud a (x,t) varía a lo largo de las curvas característcas en la medda que se lo marca el térmno de dfusón, ahora la dervada sustancal de a lo que es dstnta de cero, es decr la dervada sguendo a la partícula no es nula y por lo tanto el valor de la magntud a en dos puntos de dcha curva característca como el nodo (x,t n+1 ) y el pe de la característca de dcho nodo (X,t n ) es dstnto. Ordenando la ecuacón anteror y mandando al lado zquerdo los térmnos en t n+1 (térmnos ncógntas), mentras que se mantendrá en el lado derecho todo lo que se evalúa en t n. : a (x,t n+1 ) 1 2 ν t 2 a (x,t n+1 ) x 2 = a (X,t n ) ν t 2 a (X,t n ) x 2 (5.8) En la ecuacón (5.8) se puede hallar el lado derecho y calcular a (x,t n+1 ) realzando la formulacón varaconal que lleve a un sstema lneal de ecuacones, o dcho de otra manera se tene nformacón en t n y transportar con dfusón dcha nformacón haca el futuro en t n+1. Tal y como se hzo antes,para calcular a (X,t n ) se hará una nterpolacón del valor del campo a en un pe de la característca X,esto se escrbe: a (X,t n ) = nodose j=1 a j (t n ) φ j (X ) (5.9) Se podría llamar f a todo el térmno derecho que es ben conocdo en t n : f (X,t n ) = a (X,t n ) ν t 2 a (X,t n ) x 2 (5.10) Luego la ecuacón (5.8) queda: a (x,t n+1 ) 1 2 ν t 2 a (x,t n+1 ) x 2 = f (X,t n ) (5.11) 45

47 5.3 Dscretzacón espacal de la ecuacón de transporte y dfusón. Consdérese el caso bdmensonal en R 2 con condcones de contorno Drchlet : 1 2 ν t 2 a + a = f en (5.12) a = g en Γ 0. a = a 0 (x, 0) ncalmente (5.13) Los pasos necesaros para obtener una formulacón varaconal del problema de contorno (5.12) son: 1-se multplca la ecuacón dferencal por una funcón φ = 1,...,N que se anule en Γ 0 (contorno tpo Drchlet). 2-se ntegra sobre. 3-se aplca la fórmula de Green. El resultado de todo ello es. ( 1 ) 2 ν t 2 a + a φ d = f φ d (5.14) ( 1 2 ν t a φ ) + a φ d x k x k Γ a ν t n φ dγ = f φ d (5.15) Para la realzacón de la ntegral sobre Γ : φ dγ = 0 a n dado que φ = 0 en Γ 0 Γ 0 Se denotará V como el espaco de funcones que cumplen ser nulas en Γ,la forma varaconal del problema es: { Encontrar a V tal que h(a,φ ) = fφ d φ V } 46

48 Sendo h(u,φ ) = ( ) 1 u φ ν t + uφ d 2 x k x k S se restrnge nuestra formulacón a un espaco de dmensón fnta con una base φ 1, φ 2, φ 3,...φ N. Se supondrá que φ (Γ 0 ) = 0 para =1,2,...,N y se notará como V N al espaco generado por la base φ 1, φ 2, φ 3,...φ N. La formulacón varaconal aproxmada es: { Encontrar ã VN tal que h(ã,φ) = fφd φ V } La solucón ã, funcón de V N la se puede escrbr como: ã (x) = N j=1 α j φ j (x) (5.16) De donde se deduce el sstema de ecuacones lneales de ncógntas α 1,α 2,...,α N : j=1 α j 1 2 ν t φ j φ d + x k x k φ j φ d = f φ d = 1, 2,...,N (5.17) La aproxmacón por elementos fntos puede ser defnda del sguente modo. Se supondrá que es una regón polgonal que se puede subdvdr en un número fnto de trángulos que componen un mallado adecuado. De esta manera se puede escrbr una funcón cualquera como: ã (x) = N ã j φ j (x) j=1 sendo ã j = ã(x j ) Dado que la solucón aproxmada debe satsfacer las condcones de contorno tpo Drchlet en Γ 0, se fjarán los ã j = g para aquellos valores de j para los cuales x j Γ 0. 47

49 Una nueva enumeracón de los nodos dejando fuera los de valor nulo lleva a aproxmar la solucón por la forma general: N ã (x) = ã j φ j (x) (5.18) j=1 Donde N es el número de nodos que no pertenecen a Γ 0. Se llega tras todo este proceso a un sstema fnal de ecuacones algebracas para ã 1,ã 2,...,ã N. En notacón matrcal: A j ã j = F (5.19) Donde los elementos de la matrz A j están dados por: A j = 1 2 ν t φ j φ d + x k x k φ j φ d (5.20) El lado derecho vene dado por el vector F : F = Susttuyendo f por su valor, ver ecuacón (5.10): F = f φ d (5.21) (a (X,t n ) ν t 2 a (X,t n ) ) φ x 2 d (5.22) Es sencllo ver que la matrz A es una matrz defnda postva y dspersa (sparse) pudendo tener una estructura en banda s la numeracón de los nodos fuese apropada. Se ha comprobado como en un caso 2D con condcones de contorno tpo Drchlet que la combnacón del método de Galerkn y el Método de los Elementos Fntos lleva a un sstema de ecuacones lneal con buenas propedades numércas. En este caso no se ha escrto una formulacón varaconal del problema y se ha trabajado drectamente con el problema de contorno. El sstema de ecuacones resultante tene una matrz dspersa (sparse) y un conjunto de propedades que pueden ser probadas fáclmente, se puede decr que dcha matrz es smétrca, defnda postva y con estructura en banda. Hay que notar que en este caso el campo de velocdades es un dato del problema de modo que el problema no tene retroalmentacón nnguna. 48

50 5.4 Ejemplo numérco. Fgura 5.1: Poscón ncal de los frentes El problema que se tratará de resolver a contnuacón en el fenómeno de transporte y dfusón que sufren dos frentes que vajan a dferentes velocdades de modo que se encuentran y se funden en uno solo. La velocdad máxma de ambos frentes está a lo largo de la dagonal prncpal del cuadrado que se elegrá como domno. Este problema tene solucón propuesta por Krshnamachar et al. en [Krsna-89] y representa un test muy nteresante para lustrar el comportamento de dstntos esquemas numércos. Para comprobar el correcto funconamento de nuestro códgo, se resolvó el sguente problema: a t a a + u(x,t) + v(y,t) x y = ν 2 a x 2 en (0,T] (5.23) a (Γ) = u(x Γ,t) v(y Γ,t) en Γ (0,T] (5.24) Donde el valor ncal de la funcón a es: a(x,y, 0) = u(x, 0) v(y, 0) (5.25) y el valor de las condcones de contorno, que varían con el tempo: 49

51 Fgura 5.2: Evolucón en t=0.2 s. v (ξ,t) = 0.1e A + 0.5e B + e C e A + e B + e C = 1 (ξ = x), 2 (ξ = y) (5.26) A = 0.05 ν B = 0.25 ν C = 0.5 ν La solucón analítca vene dada por: Los parámetros utlzados en este problema son: (ξ t) (5.27) (ξ t) (5.28) (ξ 0.375) (5.29) a(x,y,t) = u(x,t) v(y,t) (5.30) x = y = 1 31 ν = m 2 s 1 50

52 t = s T = 0.6s Los resultados obtendos al mplementar el códgo de elementos fntos y el método de las característcas hacendo uso de una nterpolacón de segundo orden Lagrangana se muestran a contnuacón. El domno de resolucón del problema es un cuadrado de lado undad centrado en el punto (0.5,0.5) que ha sdo mallado de forma estructurada medante cuadrláteros de lado h = Fgura 5.3: Stuacón en t=0.4 s. En el artículo [Berm-99] se puede comparar el método sem-lagrangano de ntegracón de este tpo de ecuacones con otros esquemas Euleranos mplíctos tpo Crank- Ncolson, el resultado de esta comparacón es que tanto a smple vsta como medante la computacón de los errores de cada método a lo largo de la dagonal del domno la solucón que se obtene a partr de un esquema sem-lagrangano es más precsa que desde la perspectva Eulerana. En el caso sem-lagrangano los errores están concentrados en estrechas regones alrededor de los dos escalones que representan los frentes, mentras que lejos de esas regones los errores son muy pequeños. Esto se apreca razonablemente ben en las nstantáneas tomadas de la smulacón del proceso, ver fguras 5.1, 5.2 y

53 Por el contraro en el esquema Eulerano se producen estelas de error tras los gradentes de la funcón escalar a, que aparecen dstrbudos sobre anchas regones. Los vdeos elaborados a partr de las solucones de este problema con dstntos mallados se pueden encontrar en el CD adjunto a esta tess. (Se recomenda leer el archvo leame.txt del CD o el Apéndce III de esta tess donde se encuentran las nstruccones adecuadas para la vsor de vdeos) 52

54 Capítulo 6 Método del gradente conjugado.problema de Stokes. 6.1 Introduccón. Medante la aplcacón del método de las característcas descrto en el capítulo 4 se obtene la dscretzacón temporal de las ecuacones de Naver-Stokes llegando a algo con forma déntca a las ecuacones de Stokes. Para ello basta con multplcar la ecuacón de conservacón de la cantdad de movmento por dt e ntegrar entre t n+1 (nstante presente) y t n (pasado) a lo largo de las curvas característcas, realzando a contnuacón la evaluacón de las ntegrales que aparecen medante dstntas reglas de cuadratura. Recordando las ecuacones de Naver-Stokes presentadas en el capítulo 2. Sea R d (d = 2, 3) un domno aberto con una frontera Γ sufcentemente suave. Supóngase que en la frontera se comparten condcones de contorno de tres tpos de modo que se consderará el contorno dvddo en tres partes Γ D, Γ S y Γ N tal que Γ = Γ D Γ N Γ S y que tambén satsfacen que Γ D Γ N Γ S =. Las ecuacones que descrben el movmento transtoro de un fludo newtonano ncompresble son: v x = 0 en (0,t) (6.1) Dv Dt = 1 Fn δ 2 z p v x Re x 2 j en (0,t) (6.2) Estas ecuacones se resuelven de acuerdo a las sguentes condcones ncales y de contorno: v = v Drchlet en Γ D (0,t) (6.3) 53

55 τ j n j = pn + µ v n = 0 en Γ N (0,t) (6.4) v (x, 0) = v 0 (x ) en (t = 0) (6.5) v n = 0 (v t ) n = 0 en Γ S (0,t) (6.6) Donde n es el vector untaro normal salente al contorno Γ. A la parte del contorno Γ S se le dará un tratamento cas análogo al de Γ D ya que lo que se hará es extrapolar en el tempo el valor de la componente tangencal de la velocdad en un punto stuado a una certa dstanca h en dreccón normal al contorno Γ S y oblgar a que esta sea la velocdad en el contorno. De esta manera automátcamente se esta asegurando que v n = 0. La otra condcón es equvanente a : (v t ) n = 0 = v t ( x Γ S ) = v t ( x + h n ) (6.7) Imponer esta condcón no es trval pero se ha comprobado que extrapolando la velocdad en el contorno en cada teracón temporal a partr de valores anterores de velocdad e mponéndola allí como condcón de contorno tpo Drchlet no homogenea se obtenen buenos resultados y la condcón (6.7) se satsface. El valor de h se estma en funcón del mallado realzado alrededor de Γ S. Por esta razón a partr de este momento el problema se reducrá a consderar exclusvamente Γ D y Γ N ya que es relatvamente sencllo tratar las otras condcones aplcadas en Γ S como petenecentes a Γ D tras un proceso de extrapolacón y tangenca. La dscretzacón temporal de estas ecuacones se realza suponendo un ntervalo temporal [0,T] dvddo en N subntervalos [t n,t n+1 ] de longtud t, de modo que N t = T. Para cada ntervalo se van a ntegrar las ecuacones (6.1) (6.5) a lo largo de las trayectoras de las partículas fludas tal y como se explca a contnuacón. Tal y como se realzó en el capítulo 3 se comenzan hallando los pes de las característcas medante un proceso análogo al que allí se realzó, y se nterpolan los valores de la velocdad en dchos pes de las característcas. Para cualquer (x,t) [t n,t n+1 ],se ntegra la ecuacón (6.2) a lo largo de las característcas para obtener: t n+1 t n dv (x j,t) = t n+1 t n 1 Fn 2 δ z dt t n+1 t n p x dt + t n+1 t n 1 Re 2 v x 2 j dt (6.8) 54

56 Fgura 6.1: Condcones de contorno tpo slp. v (x j,t n+1 ) = v (X j (x,t n+1 ;t n ),t n )+ t n+1 t n 1 Fn 2 δ z dt t n+1 t n p x dt+ t n+1 t n 1 Re 2 v x 2 j dt (6.9) La evaluacón de estas ntegrales debe hacerse medante alguna regla de cuadratura. De este modo se busca obtener un algortmo de avance en el tempo que nos permta r obtenendo solucones sufcentemente aproxmadas de v n+1 y p n+1. Hay un gran número de autores que han propuesto dferentes maneras de ntegrar (6.9),se pueden poner dferentes ejemplos como [Pronn-82] o [Huff-9], o ben s se utlzase una regla de cuadratura a prmer orden en el límte superor llevaría a un tpo de esquema Euler con característca haca atrás. Basándonos en un análss de error óptmo de [Bermej-SI-95], se propone un esquema que se obtene medante combnacón de la regla del trapeco para el térmno vscoso junto con la regla del límte superor para la ntegral del térmno de presón. Por lo tanto se acaba obtenendo un esquema Crank-Ncolson con método de las característcas para la velocdad y un esquema mplícto de prmer orden para la presón. El esquema de ntegracón tendría la sguente forma: Dado un v 0 (x ),para cualquer x y n=0,1,...,n. 1 o -Calcular: X (x,t n+1 ;t n ) = x tn+1 t n v (X (x,t n+1 ;t),t) dt (6.10) 55

57 2 o -Interpolar: v n = v n (X(x,t n+1 ;t)) (6.11) 3 o -Resolver: v n+1 = v n + t 1 2 Fn 2 [δn+1 z + δ n+1 z (X (x,t n+1 ;t n ))] (6.12) t + t v n+1 2 Re [ v n ] x 2 j x 2 j p n+1 x con las condcones v n+1 x = 0 (6.13) v = v Drchlet en Γ D (6.14) τ j n j = pn + µ v n = 0 en Γ N (6.15) v (x, 0) = v 0 (x ) en (6.16) La resolucón de este últmo tercer paso es conocdo como resolver el problema de Stokes. La resolucón de este problema se desarrollará en el apartado sguente. 6.2 Solucón teratva del problema de Stokes Generaldades. La dscretzacón temporal del problema de Naver-Stokes medante el método de las característcas nos lleva a la solucón del sguente problema tpo Stokes. β 2 v n+1 v n+1 x 2 j = v n + t 2 1 Fn 2δ z pn+1 t+ (6.17) x 56

58 +β 2 v n x 2 j en v n+1 x = 0 en (6.18) v = v Drchlet en Γ D τ j n j = pn + 1 v Re n = 0 en Γ N v (x, 0) = v 0 (x ) en donde se ha llamado: β = 1 t. (6.19) 2 Re Para hacer más senclla la presentacón del procedmento numérco en las seccones sguentes se debe antes reformular el problema de Stokes en su formulacón varaconal. Por lo tanto se defnrán unos espacos donde se encuentra la solucón y se amplará algo la notacón. Sean los espacos: V g H 1 () d que se defnen: V g = V 0 H 1 () d { v H 1 () d v = v Drchlet en Γ D } } V 0 = {v H 1 () d v = 0 en Γ D H 1 () d es el espaco de Hlbert de vectores de funcones con prmera dervada en L 2 (). Sea el espaco de presones Q= L 2 ()/R defndo como: Q = { [p] p,q L 2 () p,q [p] = p q = constante } 57

59 Se debe notar que Q es un conjunto cocente cuyos elementos son clases de equvalenca de funcones L 2 (). A pesar de las posbles confusones a las que pudera dar lugar desde un punto de vsta estrcto, es costumbre llamar a cada clase de equvalenca por su representante p. En partcular cuando Γ D = Γ D Γ N y tambén se satsface que Γ N =,el conjunto Q se defne: Q = L 2 0 () = p L2 () pd = 0 Es decr que en el caso que la presón no aparezca en las condcones de contorno en modo alguno, o lo que es lo msmo todas las condcones de contorno están aplcadas sobre la velocdad, la presón solucón de las ecuacones de Naver-Stokes queda ndefnda salvo constante adtva, de modo que s p es solucón de dchas ecuacones entonces p = p+c es tambén solucón C R. De modo que para fjar una solucón entre las nfntas posbles se le oblga a cumplr la condcón de: pd = 0 Se ntroducrá una notacón para el producto escalar de dos vectores de Q o de H 1 () d como: (d,e) = d e d d,e Γ = d e dγ. Tambén se defnrán las formas blneales a y b como: a : H 1 () d H 1 () d R Γ a (u,v) = (u,v) + β ( u, v) u,v H 1 () d b : Q H 1 () d R b (q,v) = (q, v) q Q,v H 1 () d Defndas estas relacones se está capactado para escrbr la formulacón débl del problema de Stokes: 58

60 S se multplca escalarmente a la ecuacón (6.17) por un vector w V 0 y la ecuacón (6.18) por un vector q Q y se ntegra en tenendo que: v n+1 w d β 2 v n+1 x 2 j p n+1 x w d = v n w d + t w d + β 2 v n x 2 j t 2 1 w d Fn 2δn+1 z w d (6.20) v n+1 x q d = 0 (6.21) Aplcando dervacón por partes a las dervadas segundas y al gradente de presón : 2 v n+1 x 2 j w = x j ( v n+1 x j w ) vn+1 x j w x j 2 v n x 2 j w = ( ) v n w v n w x j x j x j x j p n+1 x w = x ( p n+1 w ) p n+1 w x Susttuyendo y aplcando el teorema de Gauss en las dervadas totales : v n+1 w d β Γ v n+1 x j w n j dγ + β v n+1 x j w w d = x j v n w d+ (6.22) + t Fn 2(δn+1 z + δ n+1 z (X (x,t n+1 ;t n )) w d p n+1 w td + β x Γ v n w n j dγ β x j Γ ( p n+1 w ) n t dγ+ v n x j w x j w d Γ D. Observando la defncón de V 0 y tenendo en cuenta que w V 0,por lo que w = 0 en 59

61 v n+1 w d + β v n+1 x j w d β x j Γ N ( v n+1 x j ) + v n n j w dγ N (6.23) x j β p n+1 n 2Re w dγ N = Γ N + t p n+1 w d β x v n w d + t 2 1 v n x j w x j d Según las defncones anterores esto se puede escrbr como: Fn 2δn+1 z w d+ a(v,w ) t b(p n+1, w ( v n+1 ) ) β + v n n j w dγ N x Γ N x j x }{{ j } [1] β p n+1 n 2Re w dγ N = Γ N β v n t w d + 2 v n x j w x j d 1 Fn 2δn+1 Desarrollando en sere a lo largo de las curvas característcas: z w d (6.24) v n+1 x j v n v n+1 = v n + v n t k t + O ( t 2) (6.25) x k = v n + ( ) v n t k t + O ( t 2) x j x j x k (6.26) ( ) v n t k t + O ( t 2) x j x j x k (6.27) x j = vn+1 Por tanto el térmno [1] queda: v n+1 x j + v n = 2 vn+1 x j x j x j 60 ( ) v n t k t + O ( t 2) (6.28) x k

62 Susttuyendo en la ecuacón (6.24) : a(v,w ) t b(p n+1, w ) x ) n pn+1 n dγ N (6.29) ( 1 v n+1 t Γ N Re }{{} [2] ( v n β t ) t k w dγ N Γ N n x k }{{} [3] β = v n x j w x j d v n w d + t 2 1 Fn 2δ z w d El térmno [2] es nulo debdo a la condcón de contorno aplcada sobre Γ N y el térmno [3] se despreca asumendo que es un térmno del orden t 2 por r multplcado por β t. Recordando por otro lado la ecuacón (6.21) queda por tanto: a(v,w ) t b(p n+1, w ) = a (v n,w ) t x 2 b ( ) q,u n+1 = 0 1 Fn (δ z,w 2 ) (6.30) Se puede demostrar, ver por ejemplo [Grault-86], que exste solucón únca de (6.30) que satsface la condcón nf-sup. Para obtener dcha solucón se ha utlzado en este trabajo el algortmo del gradente conjugado (CGA) empleado por Glownsk,ver [Cahouet-88], [Dean-93] y [Brst-87], para obtener la solucón de (6.30). Una vez se ha obtendo una formulacón débl del problema, este planteamento semdscreto(se ha dscretzado en el tempo pero aún no en el espaco) puede ser reescrto en un contexto de elementos fntos. Para aproxmar la solucón (v,p),se usarán elementos fntos del tpo Taylor-Hood (elementos cuadrátcos en la velocdad y lneales en la presón P 2 /P 1 ). Para este tpo de elementos, tanto la velocdad como la presón son contnuas sobre el contorno de cada elemento. Se sabe con certeza que para este tpo de elementos los campos dscretzados de velocdad y presón satsfacen la condcón nf-sup, ver [Verf-84] y [Stenb-92]. 61

63 S e y e j son dos elementos dstntos de una partcón regular en elementos fntos de un certo domno,tales que cumplan alguna de las sguentes condcones: 1-Que tengan nterseccón nula, o ben 2-Que tengan una arsta o una cara (en el caso trdmensonal) en común, o ben 3-Que tengan una nodo en común. Los espacos de elementos fntos para velocdad y presón son: V h = Q h = { v h C ( 0 ) } d vh ej P 2 (e j ) j { p h C ( 0 ) } v h ej P 1 (e j ) j Donde P 2 (e j ) y P 1 (e j ) son espacos de polnomos defndos sobre el elemento e j. Del msmo modo es útl defnr los espacos de dmensón fnta sguentes: V h0 = { v h V h v h ΓD = 0 } Q h = { w h Q h w h ΓN = 0 } S v y p son sufcentemente suaves, la solucón que se obtene a través del método de elementos fntos v h y p h, satsfacen las sguentes cotas de error: v v h 0 + h (v v h ) 0 K 1 h s+1 v s+1 p p h 0 K 2 h r p H r /R Donde K 1 y K 2 son constantes, 0, s+1 y H r /R son normas en los espacos de Hlbert L 2 (),H s+1 () y H r ()/R respectvamente. Esto sgnfca que s v y p son sufcentemente regulares, luego (v h,p h )aproxman (v,p)con error del orden de O(h 3 ) en velocdad y O(h 3 ) en presón. Por otro lado para cada nstante de tempo t n,v h (x,t n ) V h satsfacen la condcón de Lpschtz, es decr, x 1,x 2 exste una constante L tal que: Por lo tanto, para cualquer (x,t n ) : max v h (x 1,t n ) v h (x 2,t n ) L x 1 x 2 max v h (x,t n ) Estas dos condcones son mportantes para poder aproxmar la solucón únca en los nodos. La solucón en un punto cualquera x a partr de lo obtendo en el cálculo por elementos fntos es: 62

64 v n h (x ) = U n j φ j (x ) p n h (x ) = P n k w k (x ) Sendo {φ j },{w k } los conjuntos de funcones base de V h y Q h respectvamente, y U n j y P n k los correspondentes valores en los nodos de la malla obtendos en el nstante t n a partr del método de los elementos fntos Ecuacón funconal de la presón. El objetvo en el este apartado es mostrar un método efcaz e teratvo para desacoplar presón y velocdad en el problema de Stokes que se ha consegudo una vez se ha mplementado el método de las característcas en las ecuacones de Naver-Stokes. Por lo tanto, se recuerda el problema de Stokes defndo a partr de las ecuacones: v n+1 w d β 2 v n+1 x 2 j p n+1 x w d = t w d + β v n w d + 2 v n x 2 j t 2 w d 1 Fn 2δ z w d (6.31) v n+1 x q d = 0 (6.32) Observando el sstema de ecuacones se puede ver como la presón p n+1 y la velocdad v n+1 estan claramente acopladas y no es fácl consegur que en nnguna de las cuatro ecuacones (tres de conservacón de la cantdad de movmento junto con la de conservacón de la masa) aparezca una únca ncógnta de las cuatro exstentes (3 velocdades v n+1 = 1, 2, 3. y la presón p n+1 ). Los dstntos métodos utlzados para resolver este sstema son en su mayoría teratvos y en el fondo no son más que varantes del sguente algortmo: Sea p 0 L 2 () dato y se llamará m al índce del algortmo de gradente conjugado que llevará la teratvdad del proceso: Para m 0,suponendo p m conocdo, el cálculo desacoplado de la presón p m+1 y la velocdad v m+1 se realza medante las ecuacones: 63

65 v m+1 V g ; w V 0 se tene: v m+1 w d β 2 v m+1 x 2 j w d = v n w d + t 2 1 Fn 2δ z w d (6.33) p m t w d + β x 2 v n x 2 j w d p m+1 = p m ρ vm+1 (6.34) x El cambo nteresante es hacer que en la ecuacón (6.33) la presón deja de ser ncógnta y pasa a ser dato, por otro lado la ecuacón de ncompresbldad del fludo ( v = 0) deja de aparecer explíctamente y pasa a formar parte de la ecuacón (6.34) de modo que a medda que el campo de velocdades se va hacendo más advergente la presón va convergendo y p m+1 = p m. S v m+1 x 0 = p m+1 = p m. Es decr la presón se va corrgendo y se va aproxmando a la correcta a medda que la dvergenca de la velocdad va tendendo a cero. El cambo va mucho más allá, dado que se ha consegudo que el sstema esté por fn desacoplado en velocdad-presón aún cuando sea necesaro terar para poder resolverlo. El problema (6.33) es claramente equvalente a: Llamando: β 2 v m+1 v m+1 x 2 j f = 1 t v n = v n Fn 2(δn+1 z + t 2 1 Fn 2δ z pm t + β 2 v n x + δ n z (X (x,t n+1 ;t n )) + β t x 2 j 2 v n x 2 j (6.35) (6.36) Nos queda: 1 t vm Re 2 v m+1 x 2 j = f pm x (6.37) 64

66 Con las condcones de contorno: v = v Drchlet en Γ D (6.38) τ j n j = pn + 1 v Re n = 0 en Γ N (6.39) El algortmo representado por las ecuacones (6.33) y (6.34) ha sdo estudado analítcamente por Glownsk, ver [Glownsk-84], llegando a la conclusón de que el sstema es convergente sempre que: S 0 < ρ < 1 Re d lm { v m+1,p m} {v,p} en ( H 1 () ) d L 2 () m Donde {v,p} es solucón de (6.17)-(6.18) En el sguente apartado se mostrará la resolucón de este tpo de problemas medante el algortmo del gradente conjugado precondconado cuyas propedades de convergenca son buenas y unformes con respecto a los valores de t/re. Es sabdo que la convergenca del algortmo mejora a medda que el número de Reynolds y el paso de tempo t dsmnuyen. Supongase Q = L 2 () dado que la presón esa perfectamente defnda por estar la presón dentro de las condcones de contorno. Se defne un operador A:Q Q de la sguente manera: a)para q Q,se resuelve: 1 t vq 1 2 v q 2 Re x 2 j = q x en (6.40) v q = 0 en Γ D. (6.41) 1 v q 2 Re n = qn en Γ N. (6.42) La formulacón varaconal del problema (6.40) vene dada por: v q V 0; φ V 0 se tene que: 1 t v q φ d + 1 v q φ d = 2 Re x j x j 65 φ q d (6.43) x

67 b)se defne A medante la expresón: Las propedades del operador A son: Aq = vq x (6.44) 1. Es lneal: A (q + q ) = Aq + Aq 2. Es smétrco y semdefndo postvo: esto se puede obervar claramente sn más que tomar φ = v q y susttur en (6.43). q(aq )d = 1 t Hacendo q = q : v q vq d + 1 v q vq d (6.45) 2 Re x j x j q(aq)d = 1 t = (v q )2 d Re φ q d = 0 = q = 0 x ( v q ) 2 d = (6.46) x j Por lo tanto A es un operador defndo postvo. 3. El operador es fuertemente elíptco. Se puede demostrar que exste una constante c>0 tal que: q(aq)d c q 2 L 2 () q Q. (6.47) Por otro lado se puede observar que la prmera ecuacón de (6.40) se puede escrbr como: Despejando v q : ( 1 t 1 2 Re 2 x 2 j ) v q = q x (6.48) 66

68 ( 1 v q = t 1 2 Re 2 x 2 j ) 1 q x (6.49) Tomando la dvergenca de esta ecuacón, se llega a otra defncón del operador A:. Aq = vq = ( 1 x x t 1 2 Re 2 x 2 j ) 1 q x (6.50) Solucón del problema medante gradente conjugado. El algortmo matemátco que se va a descrbr a contnuacón tene su justfcacón teórca en las publcacones: [Cahouet-88], [Glow-90], [Brst-87] y [Glow-Le-89]. La dea del método, debda a J.Cahouet, no es otra que la combnacón de dos resduos, uno para Re/ t 1(altos números de Reynolds) y otro más adecuado para Re/ t 1. Suponendo que en el contorno se tuveran condcones de contorno tpo Drchlet y tpo Neumann; la varante del algortmo del gradente conjugado precondconado aplcado a (6.17) y (6.18) se descrbe del sguente modo: Lo prmero es observar las condcones de contorno y notar que no son homogéneas (se supondrá v Drchlet 0) en toda la frontera de modo que se deben homogenezar son las condcones de contorno tpo Drchlet: v = v Drchlet en Γ D τ j n j = pn + 1 v Re n = 0 en Γ N Para ello se ntroduce un campo de velocdades v 0 V g solucón de: v 0 β 2 v 0 x 2 j = t f en v 0 = v Drchlet en Γ D 1 v 0 Re n = 0 en Γ N Hacendo el cambo de varable: v = v v 0 se llega al problema: 67

69 v β 2 v x 2 j = pm x t en (6.51) v = 0 en Γ D donde: 1 v Re n = pn en Γ N v = (v v 0 ) x x = v0 x A partr del problema del cual es solucón v y la defncón del operador A dada a través de (6.40) y (6.44). Se concluye que: Ap = v0 x (6.52) o formulado varaconalmente: p Q (Ap)q d = v 0 x q d (6.53) Como se ha vsto antes A es un operador smétrco y fuertemente elíptco de modo que el problema (6.52), (6.53) puede ser resuelto por el algortmo del gradente conjugado operando sobre Q. Por lo tanto otra manera equvalente de escrbr el algortmo de resolucón sería ver la ecuacón (6.34) como: ( ) p m+1 = p m ρ Ap m + v0 x (6.54) Esta últma expresón (6.54) es de vtal mportanca ya que muestra como el algortmo teratvo en el índce m expresado en la ecuacón (6.34) no es otra cosa que un método del gradente de paso ρ aplcado al problema (6.52), (6.53). El algortmo de cálculo aplcado al problema (6.52), (6.53) es como sgue: Dado p 0 Q : 68

70 v 0 β 2 v 0 x 2 j = t f p0 x en (6.55) v 0 = v Drchlet en Γ D 1 v 0 Re n = p0 n en Γ N Llamando g 0 = v0 x v m+1 w 0 = g 0. Para m 0 y suponendo p m,v m,g m,w m son conocdas, se pueden calcular p m+1,,g m+1, w m+1 de la sguente manera: v m β 2 v m x 2 j = wm x en (6.56) (6.57) v m = 0 en Γ D (6.58) m 1 v Re n = w m n en Γ N Llamando: Se calcula ahora: g m = v m x ρ m = gm 2 L 2 () w m gm d p m+1 = p m ρ m w m 69

71 v m+1 = v m ρ m v m g m+1 = g m ρ m g m Dado este paso se puede hacer una estmacón de la convergenca del algortmo. De modo que s: g m+1 2 L 2 () g 0 2 L 2 () ε = Se acepta como solucón v = v m+1 y p = p m+1. En caso contraro se calcula: γ m = gm+1 2 L 2 () g m 2 L 2 () y se renuevan w m+1 y g m+1 : Volvendo a (6.56) con m = m + 1. w m+1 = g m+1 = γ m w m. El algortmo que se acaba de presentar merece algunos comentaros: -La parte más complcada del algortmo es el paso (6.56) donde se debe resolver un problema elíptco con el operador I β 2. Para grandes números de Reynolds y pasos x 2 j de tempo pequeños,β = 2 Re t 2 0, el operador dscreto que suplanta a I β está x 2 j ben condconado y por lo tanto el sstema lneal de ecuacones converge rápdamente. -S m { v m+1,p m+1} = {v,p} donde {v,p} es la solucón del problema de Stokes (6.17) (6.18). -La convergenca del algortmo de índce teratvo m que comenza con el problema (6.56) es bastante rápda s β 1. Por desgraca, dado que los casos más nteresantes se producen en las dchas crcunstancas ( β < 1),números de Reynolds altos, la convergenca del algortmo se deterora a medda que β dsmnuye. Para los casos donde β 1 la 70

72 convergenca no es buena. Necestándose en la mayoría de estos casos un modelo de turbulenca, ver apéndce I. Para entender este comportamento recuérdese que: Aq = ( 1 x t 1 2 Re S β 1 = t Re 1 2 x 2 j ) 1 q = 1 x t x ( 1 t 2 Re 2 x 2 j ) 1 q x (6.59) Aq 1 2 Re x ( 2 x 2 j ) 1 q x (6.60) Suponendo que los operadores conmutan (lo cual no es estrctamente certo sempre) se obtene: Aq 1 2 Re 2 x 2 ( 2 x 2 j ) 1 q = 1 2 Re q (6.61) De modo que A se comporta de un modo análogo a un múltplo del operador dentdad, por lo tanto se debe esperar una alta convergenca del algortmo de índce teratvo m que comenza con el problema (6.56) cuando β 1. Esto es fácl de comprobar numércamente. La hpótess contrara β 1 = t Re Aq = 1 t x ( 1 t 2 Re 1 lleva a: 2 x 2 j ) 1 q 1 2 q x t x 2 (6.62) A partr de la ecuacón (6.62) se puede observar que claramente el operador A dsta bastante de parecerse al operador dentdad en el caso en el que β 1 y por lo tanto la convergenca del algortmo puede ser lenta, se debe pensar en un número de condcón del orden de h 2 tras la dscretzacón espacal. Para tratar de aumentar el rtmo de convergenca del algortmo medante una mejora en el condconamento se sugere el algortmo del gradente conjugado precondconado. Sea B un operador Q Q : Bq = 1 t ϕ q + 1 Re q (6.63) 71

73 Donde ϕ q es la solucón del problema: 2 ϕ q x 2 = q en. (6.64) ϕ q n = 0 en Γ D. (6.65) ϕ q = 0 en Γ N. (6.66) Se puede probar que el operador B es contnuo, auto-adjunto y fuertemente elíptco sobre Q: Para probar los anterores resultados se defne la forma blneal b(, ) : b (q,q ) = (Bq)q d (6.67) que es contnua, smétrca y P-elíptca. De las ecuacones (6.63),(6.64),(6.65),(6.66) y aplcando ntegracón por partes: b (q,q ) = = 1 t = 1 t = 1 t (Bq)q d = ϕ q 2 ϕ q x 2 ϕ q x ( 1 t ϕ q + 1 ) Re q q d = (6.68) qq d = d + 1 Re ϕ q x d 1 t ϕ q ϕq d + 1 x x Re Γ ϕ q ϕ q n dγ + 1 qq d = Re qq d La relacón (6.68) muestra claramente como la forma blneal b(, ) es smétrca, por otro lado dado que exste una aplcacón lneal q ϕ q contnua de Q en H 1 () expresada a través de (6.64),(6.65),(6.66), ello mplca la contnudad de la forma blneal: {q,q } ϕ q ϕq d x x 72

74 Por últmo b(, ) es P-elíptca dado que: b (q,q) 1 Re q 2 d q Q. Debdo a estas propedades del operador B se deduce que exste el operador nverso de B, que se puede notar como S, el cual es auto-adjunto, smétrco y fuertemente elíptco sobre el espaco Q. Se defne la forma blneal s(, ) medante: s (q,q ) = (Sq)q d que defne un producto escalar sobre Q equvalente al canónco. De modo que a partr de ahora, el espaco Q dspondrá de la forma blneal Q como producto escalar; en partcular, se va a tratar de transformar el algortmo del gradente conjugado descrto hasta ahora susttuyendo el producto escalar canónco por el defndo a través de s(, ). A partr de los ensayos numércos se muestra cómo el operador dscreto en que se transforma S tene buenas propedades de precondconamento, hacendo que la convergenca del gradente conjugado sea rápda cuando β varía de 0 a. Cabría preguntar de dónde venen estas buenas propedades del operador S y por qué se puede sospechar de las msmas. Supóngase el sguente problema que por smplcdad se planteará en un domno = (0, 1) d donde se consdera el problema de Stokes: 1 t v 1 2 v + p = f 2 Re x 2. en. (6.69) j x Con las condcones de contorno: v x = 0 en. v, v x j y p peródcos en Γ. Esta condcón de perodcdad quere decr por ejemplo que s v es peródca en Γ entonces: v (x 1,...x 1, 0,x +1,...,x d ) = v (x 1,...x 1, 1,x +1,...,x d ) = 1,...,d j = 1,...,d j 73

75 x j (0, 1) S se aplca el operador dvergenca a la ecuacón (6.69) se llega a un problema elíptco en la presón con condcones de contorno peródcas: 2 p x 2 = f x. en. (6.70) p x y p peródcos en Γ. Se puede demostrar que el problema (6.70) tene solucón únca en H 1 () /R, sempre que f sea sufcentemente suave. A contnuacón se resuelve el sguente problema que tambén tene solucón únca: 1 t v 1 2 v 2 Re x 2 j = p x + f. en. (6.71) v, v x j peródcos en Γ. S se realza el sguente cambo de notacón ϕ = v x,entonces a partr de los problemas (6.70) y (6.71) se puede escrbr: 1 t ϕ 1 2 ϕ 2 Re x 2 j = 0 en. ϕ, ϕ x j peródcos en Γ. Este problema tene una únca solucón que no es otra que ϕ = 0 v x = 0 en. Consdérese ahora el operador A asocado al problema (6.69) que se defne como: junto con: Aq = vq x j 1 t vq 1 2 v q 2 Re x 2 j = q x en. (6.72) 74

76 Con las condcones de contorno: v q, vq x j y p peródcos en Γ. es decr el operador A se puede defnr como: Se defne el operador B como: Aq = ( 1 x t δ j 1 2 Re 2 x 2 k ) 1 q x. donde: Bq = 1 t ϕ q Re q 2 ϕ q x 2 = q. en. (6.73) ϕ q x y ϕ q peródcos en Γ.; ϕ q d = 0 S ahora se evalúan conjuntamente A y B,se tene: ABq = x ( 1 t δ j 1 2 Re 2 x 2 k ( ) ) 1 1 ϕ t q + 2 Re 1 q (6.75) x Debdo a la perodcdad de las condcones de contorno, los dferentes operadores que aparecen en el lado derecho de la expresón (6.75) conmutan y tenendo en cuenta lo que se cumple en (6.73), se tene que para todo q: ABq = x = ( 1 t δ j 1 2 Re ( 1 t δ j 1 2 Re 2 x 2 k 2 x 2 k ) 1 ( 1 t δ j 1 2 Re ( ) ) 1 1 δ t j 2 Re 1 2 x 2 k x 2 x 2 k ) ( 2 x 2 ϕ q = ) ϕ q = = 2 ϕ q x 2 = q 75

77 Por lo tanto B=A 1. Luego queda claro que S=B 1 =A es el precondconador óptmo. Hay otras demostracones del resultado obtendo que se pueden ver en [Cahouet-88]. El algortmo para resolver el problema de Stokes medante el método del gradente conjugado precondconado es : Dado p 0 Q : v 0 β 2 v 0 x 2 j = t f p0 x en (6.76) v 0 = v Drchlet en Γ D 1 v 0 Re n = p0 n en Γ N Llamando: r 0 = v0 x Ahora se resuelve el sguente problema elíptco: 2 ϕ 0 x 2 = r 0. en. ϕ 0 x = 0 en Γ D ϕ 0 = 0 en Γ N. Se asgna: v m+1 g 0 = 1 2 Re r0 + 1 t ϕ0. w 0 = g 0. Para m 0 y suponendo p m,v m,g m,w m son conocdas, se pueden calcular p m+1,,g m+1, w m+1 de la sguente manera: 76

78 v m β 2 v m x 2 j = wm x en (6.77) (6.78) v m = 0 en Γ D (6.79) m 1 v Re n = w m n en Γ N Llamando: r m = v m x Se calcula ahora: ρ m = g m r m d w m rm d p m+1 = p m ρ m w m v m+1 = v m ρ m v m r m+1 = r m ρ m r m Se resuelve de nuevo: 2 ϕ m x 2 = r 0. en. ϕ m x = 0 en Γ D ϕ m = 0 en Γ N. se renueva g m+1 : ( 1 g m+1 = g m ρ m 2 Re rm + 1 ) t ϕm 77

79 Dado este paso se puede hacer una estmacón de la convergenca del algortmo. De modo que s: g m+1 rm+1 d g 0 r ε = Se acepta como solucón v 0 d = v m+1 y p = p m+1. En caso contraro se calcula: y se renueva w m+1 : γ m = Volvendo a (6.77) con m = m + 1. g m+1 r m+1 d g m r m d w m+1 = g m+1 + γ m w m. 6.3 Ejemplos numércos bdmensonales. A contnuacón se van a resolver una sere de problemas bdmensonales medante el esquema que se ha presentado anterormente, algunos de ellos han sdo valdados con resultados expermentales y muestran que el códgo reproduce con buena precsón lo que en la realdad se mde. Los problemas que aquí se exponen son: 1. Clndro bdmensonal en régmen lamnar. 2. Obtencón de la varacón del coefcente de resstenca (Drag) en un clndro bdmensonal a dstntos números de Reynolds medante la adcón de una fuerza que smula un campo eléctrco buscando una acelaracón de la capa límte. 3. Cortes de una orografía rregular en régmen turbulento (aplcacones a la optmzacón en el dseño de parques eólcos). Con dstntos números de Reynolds se han corrdo otras geometrías bdmensonales cuyos vdeos, junto con los de los ejemplos 1,2,3 se pueden vsualzar en un CD adjunto a esta tess (se recomenda leer el archvo leame.txt del CD o el Apéndce III de esta tess donde se encuentran las nstruccones adecuadas para la vsor de vdeos). Estas geometrías son: a)placa plana rectangular donde el lado de mayor longtud de opone al flujo. b)perfl NACA 0012, sn nclnacón y con nclnacones de 5 o y 15 o. c)ensanchamento brusco. 78

80 Fgura 6.2: Geometría del clndro bdmensonal Clndro bdmensonal en régmen lamnar. El prmer problema se trató de resolver fue el flujo bdmensonal alrededor de un clndro cuyo dámetro es mucho menor que su longtud de modo que se puede aceptar la hpótess de bdmensonaldad. Esta es una prueba clásca para evaluar el comportamento de un algortmo en la resolucón de flujos ncompresbles. Este problema ha sdo resuelto en prmer lugar en régmen lamnar ya que por un lado se quería evaluar la bondad del método numérco en sí sn nfluencas del modelo de turbulenca, y por otro se cuenta con una gran rqueza de resultados expermentales con los que poder contrastar los resultados del códgo. Se parte de una geometría senclla formada por una entrada de fludo a la que se le asgna una condcón de contorno tpo Drchlet no homogénea para la velocdad de valor v = (1, 0) e ndependente del tempo, dos paredes laterales a las que se les asgnará una condcón de contorno Drchlet homogenea (no-slp condton) y la salda a la que se le asgnará la condcón de salda sn tensón. Incalmente el campo de velocdades es nulo en todo los puntos salvo en la entrada. Se trabajó sobre una geometría fundamentalmente donde el clndro tene el dámetro=1.0 (undades admensonales). La anchura entre paredes es en ambos casos de 9 undades y la longtud de 20 undades. El centro del clndro está colocado en la mtad de la anchura y a 4.5 undades de la entrada. Ver Fgura 6.2. El mallado de la superfce clíndrca se realzó asgnándole un tamaño de Ver Fgura 6.3. Las líneas más próxmas a la entrada se mallaron a un tamaño de 0.4 y el resto del domno a un tamaño de

81 Fgura 6.3: Mallado en el problema del clndro bdmensonal. El problema se programó admensonalzando todas las varables: la velocdad se admensonalzó con su valor en la entrada de modo que la velocdad admensonalzada se tomó de valor undad en dcha entrada, las longtudes se admensonalzaron con el valor del dámetro del clndro, el tempo con el cocente entre el dámetro y la velocdad característca y por últmo la presón se admensonalzó con el producto de la densdad por la velocdad característca al cuadrado, de modo que las ecuacones de Naver-Stokes dependen úncamente del número de Reynolds y este se tomó de valor 100, por otro lado el paso temporal de las teracones fue de 0.1, es decr la décma parte de la undad de tempo admensonal. Los resultados en este caso fueron smlares a los que predce la teoría, en cuanto al campo de velocdades: al comenzo de la smulacón se produce una estela detrás del clndro que se va estrando a medda que pasa el tempo (ver fguras 6.4 y 6.5), cuando suceden aproxmadamente 22 undades de tempo dcha estela se vuelve nestable (ver fgura 6.6) y se produce un desprendmento de torbellnos alternatvamente (ver fgura 6.7) a cada lado del clndro dando lugar a la calle de torbellnos de Von Karman (ver fgura 6.8). Es necesaro llamar la atencón sobre el detalle de que debdo a la asmetría de la malla que permte el método de los elementos fntos, el desprendmento de torbellnos se consgue de forma espontánea y no hay que forzar su salto tal y como se hace en multtud de códgos donde la malla es smétrca. El desprendmento de torbellnos no es más que una nestabldad de la estela y el hecho de que el códgo sea capaz de smularlo espontáneamente le otorga una certa capacdad. Respecto a los resultados de presón se puede ver cómo ncalmente debdo a la 80

82 Fgura 6.4: Representacón de la componente horzontal de la velocdad en t=2. condcón ncal de velocdad la presón avanza como una onda dotando a todo el fludo de velocdad, poco después la presón máxma se crea en la parte delantera del clndro ya que allí se produce una zona de remanso, a medda que se avanza por la perfera del clndro la presón descende hasta las proxmdades de la zona de desprendmento donde vuelve a crecer lgeramente para fnalmente permanecer cas constante en la parte posteror del clndro, salvo por los desequlbros creados por los desprendmentos de vórtces (ver fguras Presón en t=2-presón en t=40). El valor del campo de presones alrededor de la perfera del clndro vene representado en la sguente gráfca (fgura 6.18). Es necesaro tener en cuenta que en tal gráfca la presón representada está admensonalzada medante el producto ρu 2, y no medante 1 2 ρu2 que es lo habtual. Por lo tanto se debe consderar que el valor de nuestra presón es excesvamente alto en θ = 0 y excesvamente bajo en su valor mínmo s comparamos estos valores con la mayoría de las meddas expermentales de este problema. El valor típco en θ = 0 es aproxmadamente 0.53, ver [Zdr-97], y el valor mínmo está alrededor de -0.47, a números de Reynolds próxmos a 100. La razón de esta dferenca se encuentra en que se están comparando problemas que son localmente guales (flujo alrededor de un clndro), pero globalmente muy dstntos. Las meddas expermentales se llevan a cabo en canales que tenen un ancho mucho mayor que 9 veces el dámetro del clndro, mentras que en los expermentos numércos que aquí se han hecho se ha restrgdo por el momento la anchura del canal a nueve veces el dámetro. Esta lmtacón de la anchura es la responsable de esa dferenca en la medda de presón debdo a un fenómeno de bloqueo que se crea en el fludo, esto es algo que será posble demostrar en breve observando los efectos que producría un aumento en la anchura del canal. 81

83 Fgura 6.5: Representacón de la componente horzontal de la velocdad durante el crecmento de la estela (t=14). Los valores de los coefcentes de resstenca(c D ) y sustentacón(c L ), y otros valores globales como el número de Strouhal(St) nos permten ver s el códgo obtene una buena semejanza con la expermentacón por lo cual se calcularon los sguentes coefcentes y se contrastaron con trabajos expermentales (ver [Gra-92]). La defncón de dcho cofcentes es: C L = C D = F y 1 2 ρu2 D = F x 1 2 ρu2 D = 2π 0 2π 0 t 2 dφ t 1 dφ St = D UT Donde (t 1,t 2 ) es el vector de traccón sobre el clndro expresado en un sstema de referenca cartesano {x, y} y T es el período de osclacón del fenómeno de desprendmento de torbellnos. Las fases de crecmento de la estela y su posteror nestabldad para dar paso al desprendmento de torbellnos quedan perfectamente reflejadas en las gráfcas de (C D ) y (C L ).(Ver fgura 6.19) 82

84 Fgura 6.6: Representacón de la componente horzontal de la velocdad al comenzo de las nestabldades en la estela del clndro. Graham Códgo actual. Drag Lft Strouhal Este problema va más allá de ser un smple test para la valdacón del códgo sno que se pueden encontrar fáclmente ejemplos de aplcacón práctca. Leyendo el artículo [Paulo-00], se puede encontrar que los valores del coefcente de Drag y de la frecuenca de desprendmento de torbellnos son datos fundamentales para el cálculo de la establdad de las plataformas off-shore, la cuestón es que estos desprendmentos dan lugar a una vbracón nducda que puede llevar a certos problemas. Los vídeos elaborados a partr de las solucones de este problema con dstntos mallados y dstntos números de Reynolds se pueden encontrar en el CD adjunto a esta tess (se recomenda leer el archvo leame.txt del CD o el Apéndce III de esta tess donde se encuentran las nstruccones adecuadas para la vsor de vdeos). En el sguente apartado dedcado a la valdacón de este problema se podrá observar cómo tenendo como objetvo llegar a una dstrbucón de la presón a lo largo del clndro smlar a la que se obtene en los expermentos reales, se elgeron entre la lsta de parámetros de los que dependía el problema aquellos que tuvesen un mayor protagonsmo en cuanto a la curva de presón. Dchos parámetros fueron : la anchura del canal, el salto de tempo y el número de nodos en el mallado. 83

85 Fgura 6.7: Representacón de la componente horzontal de la velocdad mentras se desprenden torbellnos. Se realzaron un buen número de expermentos a números de Re=174 y 167 debdo a que a estos números de Reynolds tenemos buena nformacón en [Zdr-97] de los resultados expermentales. A partr de la gráfcas obtendas (ver fguras (6.21) y (6.22)) se pueden sacar un buen número de conclusones Valdacón del Códgo para el Problema del Clndro. Con el fn de realzar una valdacón del códgo más sstemátca para la resolucón de las ecuacones de Naver-Stokes, se trabajó sobre este msmo problema en unas condcones lo más parecdas posbles a los de los expermentos sobre los que se cuenta con buena nformacón. Con respecto a las condcones de contorno para la valdacón del problema, se asume no deslzamento en el clndro y en las paredes laterales del canal, condcón tpo Drchlet para la entrada del fludo en el canal (v = (1, 0)), y estado lbre de tensones en la dreccón del movmento para la salda del fludo. 84

86 Fgura 6.8: Calle de torbellnos de Von Karman. La fgura (6.20) muestra la representacón gráfca del sstema estudado donde se puede aprecar que la anchura del canal a queda como parámetro lbre. El códgo para la resolucón de las ecuacones de Naver-Stokes depende de un amplo número de parámetros. Estos parámetros están relaconados con: a)los métodos matemátcos para la resolucón del sstema de ecuacones dferencales (Ej: ntervalo temporal en la ntegracón de las ecuacones dferencales,toleranca en los errores de convergenca, mallado para la resolucón por elementos fntos, etc...). b) Parámetros físcos (número de Reynolds). c) Parámetros geométrcos (dstanca entre las paredes laterales del canal y el clndro). En la sguente tabla se presentan estos parámetros. 85

87 Fgura 6.9: Presón en t=2. Parámetro dmpro cturb Re t numnod numel numels nodperel nodperln nodperels mnv mnvl xntor xntorp xtelm prec err1 tfch Comentaro Dmensón del problema (2: bdmensonal, 3: trdmensonal) Constante de turbulenca del modelo de smag Número de Reynolds Paso en la ntegracón temporal Número de nodos Número de elementos lneales Número de elementos en la salda Número de nodos por elemento Número de nodos por elemento lneal Número de nodos por elemento en la salda Máxmo número de vecnos a uno dado Máxmo número de vecnos en el mallado lneal Grado de las funcones base de velocdad Grado de las funcones base de presón Tpo de elemento (1: trángulo, 2: cuadrado) Tpo de precondconador (1: Jacoby, 2: Cholesky) Precsón en el cálculo de los pes de característcas N o de teracones para hallar los vectores de desplazamento α 86

88 Fgura 6.10: Presón en t=3. tergrad npasos teracones nuevamalla err tol dametro N o de teracones en la búsqueda de la dvergenca nula N o de pasos de tempo N o de teracones para la convergenca de Newton en slalg Parámetro de remallado (0: no se remalla, 1: sí se remalla) Error en la resolucón de los sstemas de ecuacones lneales Toleranca en el gradente conjugado dferencal Dámetro del clndro El objetvo fue analzar la nfluenca de entre todos estos parámetros de aquellos más notables en los resultados que da el códgo. Para esto se contó con una sere de datos expermentales tomados de dstntos artículos y lbros (ver [Zdr-97] y [Gra-92]), con los cuales se compararon los resultados obtendos medante la resolucón numérca de las ecuacones de Naver-Stokes. Resultados y dscusón. De los parámetros que fguran en la tabla anteror, se selecconaron los sguentes para comenzar el análss: -Re. - t. -Mallado. 87

89 Fgura 6.11: Presón en t=5. -Geometría. Por mallado, se entende modfcar el tamaño de malla alrededor del clndro y/o modfcar la transcón de tamaño de las zonas de menor tamaño de mallado a las zonas de mayor tamaño de mallado. Los parámetros que se modfcan al hacer esto son: -numnod. -numel. En cuanto a la geometría, las modfcacones conssteron en varar la dstanca de las paredes laterales al clndro, es decr se modfcó la dstanca a. Esta modfcacón se refleja en forma ndrecta en otros parámetros: este cambo de geometría oblga a realzar un mallado dferente, y por lo tanto camban valores de numnod y numel. Se valoraron en total 11 stuacones M =1,..11. Los valores que se le asgnaron a los parámetros para cada una de ellas se muestran en la tabla sguente. 88

90 Fgura 6.12: Presón en t=10. Caso Re t n o nodos (numnod) n o elementos (numel) anchura a M M M M M M M M M M M M En prmer lugar, se ejecutaron los casos M 0 y M 1 a dstntos Re. Los resultados obtendos del perfl de presón en la superfce del clndro pueden observarse en la fgura En el msmo gráfco se muestra el perfl expermental para Re = 174 (Datos tomados de [Dm-68]). Puede verse que los perfles M 0 y M 1 concden en la zona frontal del clndro, donde la presón es postva, para luego separarse. La dferenca de número de Re que hay entre M 0 y M 1 se hace más evdente en las zonas de mayor profunddad, donde la curva de mayor número de Re descende más. El perfl calculado en el caso M 1 se aparta del expermental en la zona frontal del clndro,mentras que la concdenca es bastante buena a partr de los 60 o. Es decr, con los mallados 89

91 Fgura 6.13: Presón en t=20. probados de pocos nodos hasta ahora no se acaba de captar ben el punto de remanso. Luego se ejecutaron los casos M 2 y M 3, en las cuales se utlzó un mallado más grande, es decr elementos más pequeños. Evaluándose entre ellos la nfluenca del t. Los resultados se muestran tambén la fgura La presón en la zona de remanso es la msma, aunque en estos casos descende más rápdamente haca valores negatvos. Además, el perfl de presones en la zona de presones negatvas se encuentra por debajo de los calculados anterormente. Este efecto es menor cuando t es 0.1. Por otra parte, el perfl expermental seguía estando lejos del calculado, sobre todo en la zona de remanso. Es decr, un aumento del número de nodos o dsmnucón del tamaño de mallado exclusvamente, no ha acercado el perfl calculado al perfl expermental sno al contraro. S además t 0, todavía nos alejamos más en las zonas de presón mínma. Por otro lado, la dsmnucón del t para un msmo mallado tene como únca nfluenca una dsmnucón de la presón en las zonas donde ésta tene valor negatvo a medda que t tende a 0. Este error en la presón se debe a la nfluenca de las paredes del canal. Como se observa en la fgura 6.21, al alejar las paredes laterales hasta una dstanca de 18 en el caso M 4, el perfl de presón se acerca al expermental. Además, cuando t = 0.05, la concdenca con el perfl expermental es mayor (casos M 4, M 5 y M 6 ). Los casos M 5 y M 6 son casos ejecutados con una nueva anchura de 24 y por tanto dstnto mallado. La dferenca entre ellos es el t. Tal y como sucedó antes con M 2 y M 3 hay un mayor descenso en la curva cuando t dsmnuye. Hay que notar que en la zona de remanso las presones se van gualando con las expermentales a pesar de mantenerse una pequeña dferenca tanto allí como n la zona de máxma depresón. 90

92 Fgura 6.14: Presón en t=25. Para ver la nfluenca del mallado mantenendo la geometría, se realzaron los ensayos M 9 y M 11, y observando la fgura 6.22 se puede conclur que: a) M 9 consgue presones muy ajustadas a la expermental en la zona de remanso a pesar de que no consgue descender sufcente para alcanzar el mínmo de presón expermental. b)m 11 capta perfectamente el mínmo de la curva expermental, esto se consgue por tanto con grandes mallados y pequeños t. A pesar de que con un t más pequeño se perde algo de precsón en la presón de remanso. c) el hecho de mallar más fno sempre favorece el acercamento a las meddas expermentales. La fgura 6.23 muestra el perfl del gradente de la velocdad normal al clndro, en la superfce. Como puede observarse, hay una gran concordanca entre el perfl calculado y el expermental. Los datos expermentales fueron tomados de [Dm-68]. En este caso, el Reynolds fue de 167 (M 7 ). La ordenada del gráfco de esta fgura corresponde al gradente admensonalzado de la sguente manera: Grad.Admensonal = V r 2Re 1/2 donde V y r son la velocdad y el rado admensonales, respectvamente. Las fguras 6.24,6.25 y 6.26 muestran los valores calculados de los coefcentes de resstenca (Drag) y sustentacón (Lft) para los casos M 5 (Re = 174), M 6 (Re = 174) y M 7 (Re = 167), respectvamente. 91

93 Fgura 6.15: Presón en t=30. Otros resultados comparados con datos expermentales fueron el número de Strouhal, el ángulo de desprendmento y los coefcentes resstenca (Drag) y sustentacón (Lft). Como se observa en las tablas expuestas a contnuacón, y en las fguras 6.24,6.25 y 6.26, los cálculos del códgo concuerdan con los resultados expermentales [Dm-68],[Gra-92]. Como los resultados de los casos M 5, M 6, M 7, s ben aceptables, no eran del todo satsfactoros para algunos parámetros de valdacón, se realzaron cuatro nuevos casos, utlzando mallados mucho más grandes (casos M 8, M 9, M 10 y M 11 ). En estos casos, se obtenen resultados que mejoran notablementelos anterores cuando el t es de 0.05 esto puede verse en las fguras 6.27, Un salto de tempo mayor ( t=0.1) genera errores con un mallado tan grande,esto se nota especalmente en los cálculos de los coefcentes de Drag y Lft ver las fguras: Cofcentes drag y lft para el caso M 8, Cofcentes drag y lft para el caso M 9 y la fgura Comparando el gradente de velocdades de las fguras M 7 y M 8 se ve la gran nfluenca que tene el mallado para este cálculo, y comparando a su vez M 8 con M 10,M 11 vemos la gran nfluenca del paso de tempo t. 92

94 Fgura 6.16: Presón en t=35. Caso St calculado St expermental M M M M M M M Caso θ d calculado θ d expermental M M M M M M M M M M M M

95 Fgura 6.17: Presón en t=40. Fgura 6.18: 94

96 Fgura 6.19: a Fgura 6.20: 95

97 Perfl de presón en la superfce del clndro M1 M3 Expermental M2 M0 M4 CP' Fgura 6.21: Perfl de presón en la superfce del clndro. Fgura 6.22: Perfl de presón en la superfce del clndro. 96

98 Fgura 6.23: Gradente de la velocdad normal. Caso M 7. Coefcentes Drag y Lft para la corrda M Drag Lft Fgura 6.24: Coefcentes drag y lft para la caso M 5. 97

99 Fgura 6.25: Coefcentes drag y lft para la caso M 6. Fgura 6.26: Coefcentes drag y lft para la caso M 7. 98

100 Fgura 6.27: Gradente de la velocdad tangente para el caso M 8. Fgura 6.28: Gradente de la velocdad tangente para el caso M

101 Fgura 6.29: Gradente de la velocdad tangente para el caso M 11. Fgura 6.30: Coefcentes drag y lft para el caso M

102 Fgura 6.31: Coefcentes drag y lft para el caso M 9. Fgura 6.32: Coefcentes drag y lft para el caso M

103 6.3.3 Varacón del Drag en un clndro bdmensonal medante nteraccón eléctrca. Con una geometría smlar se ha contrastado un caso como el descrto anterormente con uno al que se añade una fuerza eléctrca que actúa sobre la pel del clndro. Esta fuerza se consgue medante la presenca de un actuador electrohdrodnámco puede modfcar las característcas del flujo sobre un clndro. Dcha fuerza como se puede ver en los trabajos expermentales de G.Artana, ver [Art-99], se consgue medante la colocacón de dos electrodos con una gran dferenca de potencal (del orden de 33 kv) entre sí, de modo que se tende a crear una película de plasma de un modo smlar a la manera en que se crea una corrente. Los expermentos muestran como esta descarga puede nducr una mportante aceleracón del flujo próxmo a la superfce. El proceso de onzacón queda confnado a las regones próxmas a los electrodos, donde la físca de estas zonas no ha sdo amplamente estudada o ben sempre se ha realzado sn la presenca de cuerpos extraños en las proxmdades de la descarga. La descarga conlleva el movmento de ones pero tambén de una gran cantdad de partículas neutras. El movmento nducdo en el fludo es cláscamente conocdo como electroconveccón o ben como vento eléctrco. El mecansmo gracas al cual las fuerzas eléctrcas actúan sobre las partículas fludas puede ser explcado consderando que los ones en su movmento forzado de un electrodo al otro, ntercamban cantdad de movmento con las partículas neutras del fludo y les nducen un certo movmento. S la descarga tene lugar muy próxma a la superfce el campo de velocdades en esta regón puede sufrr mportantes cambos. Por lo tanto en fronteras sóldas o en estelas, la electroconveccón es una posbldad para controlar la transcón de la capa límte de lamnar a turbulenta, cambar la poscón del punto de desprendmento o modfcar la establdad del flujo. Por lo tanto esta stuacón tene un especal nterés en aerodnámca y en el control de nestabldades. Las aplcacones más claras de este tpo de expermentos se hallan en los problemas de transmsón de calor, en la dsmnucón del drag para certos objetos y en el control de la estela que se produce tras los objetos recorrdos por un fludo. Desde un punto de vsta tecnológco este tpo de confguracones son sencllas y tenen una alta tasa de conversón de la energía eléctrca en energía mecánca. Nuestro objetvo observar y analzar las varacones que se producen en la mecánca del flujo medante la ntroduccón de dos electrodos colocados sobre la superfce de un clndro, estos electrodos crearán una fuerza eléctrca que nducrá una certa aceleracón sobre el fludo. El valor del vector que representa esta fuerza y su dstrbucón espaco-temporal es desconocda y objeto de nvestgacón, en prmera aproxmacón al problema, se va a tratar de hacer una smulacón en el caso de que tuvera módulo undad y actuara con dreccón tangencal sobre las dos flas de nodos más próxmas al clndro. Esta es una hpótess razonable sobre para lo que se sabe sobre la físca de la fuerza. Este caso en este apartado se ha resuelto a Re=100, y se pueden sacar las prmeras 102

104 conclusones en cuanto a los efectos que produce una fuerza eléctrca sobre la perfera del clndro. Como se puede aprecar en la gráfca de la fgura 6.33 a este número de Reynolds hay una sgnfcatva varacón entre el resultado obtendo al calcular el coefcente de resstenca al avance (Drag) cuando al problema le superponemos la fuerza eléctrca a cuando no lo hacemos. Ello sgnfca que la presenca de la fuerza le confere al clndro una mayor aerodnámca y penetrabldad. Se adjuntan vdeos en el CD adjunto a esta tess (se recomenda leer el archvo leame.txt del CD o el Apéndce III de esta tess donde se encuentran las nstruccones adecuadas para la vsor de vdeos) donde se puede ver la varacón cualtatva y cuanttatva de los campos de velocdad con y sn fuerza. En la seccón sguente se ha contnuado el estudo para mayores números de Reynolds, tratando de buscar un Reynolds sufcentemente elevado como para poder contrastar las meddas expermentales. Fgura 6.33: Para ver un estudo más detallado de varacón del coefcente de Resstenca (Drag) en funcón de la ntensdad del módulo de la fuerza eléctrca, ver [Gonz-Bej-01]. En este estudo una de las conclusones más mportantes es la gráfca 6.34 que aquí se presenta Otros casos bdmensonales en régmen turbulento. Para tratar de optmzar la colocacón de aerogeneradores en una certa geografía y aprovechar los lugares donde se dan partculares condcones en el campo de velocdad 103

105 Fgura 6.34: Varacón del coefcente de resstenca (Drag) con el módulo de la fuerza eléctrca. se utlzó tambén el códgo que aquí se ha desarrollado. Los cortes que se han calculado pertenecen a una zona de estudo stuada en Ayoluengo(Burgos), donde se consderaba la posbldad de construr un parque eólco. Debdo a los números de Reynolds tan grandes que se manejaban en este problema, entre 10 6 y 10 9, parece necesara la mplementacón de un modelo de turbulenca que acompañe a las ecuacones de Naver-Stokes. El modelo de turbulenca que se ha aplcado en este problema no es otro que el modelo de Smagornsky (ver apéndce I ) por su sencllez y fácl adaptabldad al códgo. Como tambén se podrá suponer con números de Reynolds tan elevados la capa límte se estrecha muchísmo y alcanza unos espesores nabordables para un mallado, de modo que es uno de los casos donde las condcones de contorno en la frontera delmtada por el suelo deben ser tpo slp (ver 2.12). Los mallados que se utlzan para este tpo de aplcacones conllevan un mallado muy fno sobre el perfl terrestre stuado en la parte nferor de la geometría, el hecho de que esto sea así se debe: por un lado a que es en esa parte donde la geometría presenta mayor rregulardad y por lo tanto es necesaro un tamaño de elemento más fno para poder reproducrla ben y por otro que las alturas de los aerogeneradores son relatvamente pequeñas comparadas con las cotas de los perfles de modo que nos nteresa que sea en estos lugares donde los resultados se calculen con mayor precsón. Para ver los resultados de estos expermentos en dstntos cortes de terreno y vsualzar así los campos de presón y velocdad se puede consultar el CD adjunto a esta tess (se recomenda leer el archvo leame.txt del CD o el Apéndce III de esta tess donde se 104

106 Fgura 6.35: Componente X de la velocdad en uno de los cortes. encuentran las nstruccones adecuadas para la vsor de vdeos). 6.4 Ejemplos numércos trdmensonales. En esta parte se mostrarán los ensayos trdmensonales realzados sn superfce lbre que conssten fundamentalmente en la vsualzacón del flujo alrededor de una esfera en régmen lamnar y el flujo alrededor de un doble modelo de un Sere 60 tambén en régmen lamnar. En el prmer caso debdo a la abundanca de trabajos smlares y de meddas empírcas fue sencllo hacer un contraste de resultados con otras nvestgacones Flujo lamnar alrededor de una esfera. El problema trata de resolver el flujo trdmensonal alrededor de una esfera de dámetro undad. A este problema ha sdo resuelto en régmen lamnar ya que es en ese caso donde se cuenta con una gran rqueza de resultados expermentales con los que poder contrastar los resultados del códgo(ver [Patel-99]). Se parte de una geometría senclla formada por una entrada de fludo a la que se le asgna una condcón de contorno tpo Drchlet no homogenea para la velocdad de valor v = (1, 0) e ndependente del tempo, una pared clíndrca lateral a las que se le 105

107 asgnará una condcón de contorno Drchlet homogenea (no-slp condton) y la salda a la que se le asgnará la condcón de traccón nula tpo Neuman. El dámetro del clndro que defne el domno es de 30 undades y la longtud de 20 undades. El centro de la esfera esta colocado sobre el eje del clndro y a 4.5 undades de la entrada. El mallado de la superfce esférca se realzó asgnándole un tamaño de 0.07 y la entrada se malló a un tamaño de 0.5. El número de nodos empleados para este problema fue de y el número de elementos de Ver Fgura Se admensonalzó el problema de forma análoga a como se hzo en el caso anteror con el clndro bdmensonal. Fgura 6.36: Mallado utlzado en el problema de la esfera. Respecto a los resultados obtendos a Re=100 dan lugar a un problema que alcanza el régmen estaconaro tal y como confrman los expermentos, vease [Patel-99]. En este problema se encuentra que hasta números de Re próxmos a 200 el flujo es estaconaro y axsmétrco, entre 200 y 270 aproxmadamente el problema es estaconaro pero no-axsmétrco y a partr de 270 el problema es no estaconaro con el prevsble desprendmento de un tpo muy partcular de vórtces (harpn vórtces). Este tpo de problemas al gual que el del clndro bdmensonal pueden llegar a mostrar flujos nestables a pesar de la smetría del cuerpo. En los casos trdmensonales son capaces de dar lugar a una cnemátca mucho más compleja de la que surjan nteraccones entre los vórtces poco fácles de entender. 106

108 Fgura 6.37: Torbellnos estables tras la esfera. Los resultados han sdo comparados con Patel & Jhonson(1999)[Patel-99] para Re=150 y con los resultados expermentales obtendos por Taneda (1956) a Re=150 donde se comparan, donde los parámetros de comparacón son: a)el ángulo de desprendmento θ S. b)punto fnal de la estela x s. c)centro del vórtce torodal (x c,y c ). Re=120 Taneda (expermental) Esta tess θ S 123 o 127,17 o x c y c x s Re=150 Patel & Jhonson Esta tess θ S 121 o 121,15 o x c y c x s

109 Fgura 6.38: Componente horzontal de la velocdad Flujo alrededor del doble modelo de un Sere 60. En el mundo de la ngenería naval se utlza con frecuenca lo que se conoce como un doble modelo de un buque, esto es realzar una smetría del modelo smple respecto al plano superor del barco, ver fgura En los métodos de flujo potencal o métodos de paneles es muy normal utlzar este tpo de confguracones para consegur que la superfce lbre no deformada sea una lnea de corrente y una vez se deforma la superfce lbre la msón que tene es la de establzar la solucón. Es común ensayar estos modelos así consttudos, sn superfce lbre de modo que sería fácl obtener la resstenca vscosa a la que dan lugar dchas formas a partr de los campos de presón y velocdad obtendos. Este expermento concreto se llevó a cabo con el códgo estudado y se obtuveron nteresantes resultados. Este problema ha sdo resuelto en régmen lamnar Re=100 y la longtud característca medante la cual se admensonalzó el problema es la eslora del barco, de tal modo que en la geometría computaconal ésta pasara a valer la undad. Se parte de una geometría senclla formada por una entrada de fludo a la que se le asgna una condcón de contorno tpo Drchlet no homogenea para la velocdad de valor v = (1, 0) e ndependente del tempo,el resto de los límtes del domno son planos colocados arrba, abajo, a derecha y a zquerda del modelo a los que se le asgnará una condcón de contorno Drchlet homogenea (no-slp condton) y por últmo la salda a 108

110 Fgura 6.39: Vórtces trdmensonales en la esfera. la que se le asgnará la condcón de traccón nula tpo Neuman. El paralelepípedo que defne el domno es de 3x3 esloras de lado en su seccón perpendcular al flujo y una longtud de 6 esloras en la dreccón del flujo. La proa del doble modelo esta colocada sobre un eje paralelo a la dreccón de entrada del flujo comenzando a una dstanca de 1.28 a partr de la entrada. El mallado de la superfce del modelo se realzó asgnándole un tamaño de 0.01 y la entrada se malló a un tamaño de 0.2. El número de nodos empleados para este problema fue de y el número de elementos de Ver Fgura Algunos resultados obtendos en este problema se representan a contnuacón: 109

111 Fgura 6.40: Geometría del doble modelo. Fgura 6.41: Mallado del doble modelo de un Sere

112 Fgura 6.42: Vsta trdmensonal del módulo de la velocdad. Fgura 6.43: Perfl de velocdades del modelo. 111

113 Capítulo 7 Tratamento de superfce lbre medante el método de la funcón de nvel Level set method. 7.1 Introduccón. Ahora se va a plantear un problema dervado de los los anterores y que no consste en otra cosa que en suponer que el flujo esta formado por dos fludos nmscbles cada uno de ellos con su propa densdad y vscosdad, que son ben dstntas de un fludo a otro. Concretamente van a utlzar are y agua, es decr fludos cuyas densdades y vscosdades se dferencan en varos órdenes de magntud. El motvo de tratar de resolver estos problemas no es otro que la observacón de que la mayoría de los problemas del dseño naval se dan en este contexto. La nterfase agua-are da una gran complejdad al problema hdrodnámco que se había planteado hasta ahora. Los algortmos numércos para la ntegracón de las ecuacones de Naver-Stokes con nterfase móvl se pueden dvdr de muchas maneras. Un modo es dvdrlos de acuerdo al tpo de malla que se utlza, es decr,la malla puede ser fja,o ben una malla adaptada al contorno móvl, o ncluso métodos sn malla. Otra forma de clasfcacón es respecto a la forma de movmento del fludo repecto a la malla, de aquí surgen los métodos Euleranos, Lagranganos o mxtos Euleranos-Lagranganos. Por últmo hay dos formas de segur el estudo de la nterfase are-agua que son la búsqueda de la nterfase(nterface trackng) o la captura de la nterfase (nterfase capturng). Estas clasfcacones no son absolutas y es fácl encontrar híbrdos de todo tpo. Hablando estrctamente, el concepto de medo contnuo no se sostene a través de una superfce lbre ya que no es certo que las propedades físcas del fludo varen de modo contnuo a través de la nterfase. Suponendo que los fludos no se mezclen, las ecuacones de Naver-Stokes serían váldas para cada fludo partcular. Una solucón razonable es dvdr el domno total en tantos subdomnos como fludos haya, y tener en 112

114 cuenta que las nterfases entre ellos no permanecerán estátcas sno que varían en forma y poscón. Los métodos de búsqueda de nterfase(nterfase trackng) toman la superfce lbre como un contorno del fludo y allí mponen las condcones cnemátca (oblgar a que la superfce lbe sea superfce de corrente) y dnámca (equlbro de fuerzas sobre la superfce lbre). A veces se mponen correccones adconales sobre el movmento de la superfce lbre que controla la condcón cnemátca, con ello se busca que la superfce lbre permanezca en contacto con contornos sóldos y mantener al msmo tempo una buena caldad en el mallado. En los métodos de captura en vez de defnr una superfce lbre, uno puede trabajar con todas las regones ocupadas por fludo. El prmer ntento de tratamento de superfce lbre fue desarrollado a partr del método MAC(marker-and-cell method). Marcadores lagranganos que defnen a los fludos y su nterfase son utlzados para trazar el movmento de las partículas de la superfce lbre. Este método es costoso computaconalmente debdo a la presenca de los marcadores, ya que se necesta un tempo extra para mover todos los marcadores en cada paso de tempo, tambén es dfícl mponer condcones de contorno sobre superfces curvas. Por contra puede manejar cualquer número de fludos y nterfases sujetas a grandes deformacones. En los métodos SUMMAC y TUMMAC marcadores Euleranos han sdo utlzados para ndcar donde se encontraba la superfce lbre. En el método SLIC la superfce nterfase es representada por lneas rectas que se propagan con la velocdad local del fludo y estas lneas deben estar en dreccón normal a la dreccón de propagacón. En cualquer caso al orentacón de la nterfase es ncógnta. Otro método es llamado método del volumen de fludo VOF, donde el valor medo de una funcón defne la cantdad de cada fludo en un elemento. La pendente de la nterfase esta determnada por el gradente de dcha funcón. El gran nconvenente de esta últma propuesta es que la cantdad que se transporta al mover la superfce lbre no es una funcón contnua de modo que su transporte debe ser realzado con gran cudado. Todos los métodos propuestos anterormente estan formulados en una malla fja y el flujo esta resuelto con al menos dos fludos. En los casos en los que se desea calcular el perfl de ola que genera un barco, nos bastaría con conocer lo que le ocurre al agua y a la superfce lbre, por lo tanto los métodos de movmento de malla son los más comunes hasta la fecha para los cálculos de flujo vscoso alrededor de barcos. En estos métodos la malla se adapta al contorno que se mueve acompañando a la superfce lbre. El sstema de ecuacones resultante puede ser resuelto en el domno físco medante una formulacón de elementos fntos o ben se puede transformar dcho domno a otro rectangular y unforme. El problema de este tpo de técncas es que s el fenómeno que se quere estudar exge una gran deformacón de la malla como puede ser una ola rompente o que sumerja a algún objeto, es dfícl lograr una malla que sea capaz de contnuar resolvendo el problema estando muy deformada respecto a la orgnal. Los métodos de captura se han puesto de moda durante estos últmos años y una de las técncas más famosas es el level set method. La funcón level set, es una funcón de dstanca que se defne en la totaldad del domno y la nterfase es por lo tanto un subconjunto del domno de esta funcón. La funcón level set se transporta con el fludo 113

115 como una cantdad más y la superfce lbre se encuentra a través de los puntos que tenían gual valor que tenía dcha superfce lbre al prncpo. Las propedades del fludo están descrtas medante la funcón level set. La naturaleza del método es smlar tanto en dos como en tres dmensones. El tratamento de la superfce lbre es una de las mayores dfcultades que aparecen cuando se desarrolla un método de cálculo de flujo vscoso alrededor de un barco. La componente de la resstenca del barco asocada a la formacón de olas es mportante por lo tanto puede ser mportante el estudo de la formacón de olas medante un método numérco. La técnca de la funcón level set tene utldad tanto en el caso de que el sóldo que genera la ola este sumergdo como s esta semsumergdo. Este método además tene potenca sufcente como para smular casos donde la ola rebase al objeto por encma u olas rompentes. En este capítulo se restrgrá al estudo de casos bdmensonales, para no comenzar enfrentando a las complejdades geométrcas del 3D y a mallados bastante mas grandes y lentos de computar. Un obstáculo sumergdo en el fondo y un hdrofol sumergdo han sdo los ejemplos bdmensonales elegdos. Ambos ejemplos han sdo contrastado con datos expermentales y con otros códgos, ver [Vogt-98]. La densdad y la vscosdad del fludo son transportadas por el campo de velocdades del fludo, de modo que se puede escrbr una ecuacón de transporte para cada una de estas magntudes: Dρ Dt = 0 Dµ Dt = 0 A cada lado de la nterfase la densdad y la vscosdad son constantes. Sn embargo en la nterfase tanto la densdad como la vscosdad son dscontnuas y esto da lugar a una gran dfcultad numérca. Muchos esquemas de dferencas fntas sufren de dfusón numérca cuando se resuelven tales ecuacones. 7.2 Técnca de la funcón de nvel level set Formulacón de la funcón de nvel level set La funcón level-set es una funcón escalar suave defnda en ambos fludos con sgno opuesto en cada uno. Cada nvel es un subconjunto de la funcón level set y la superfce lbre es un subconjunto de valor nulo. Incalmente la funcón se ncalza de acuerdo a una dstanca, con sgno, desde la nterfase y para tempos dstntos del ncal el valor 114

116 se obtene de la resolucón de la ecuacón del transporte homogeneo, es decr, gualando la dervada sustancal a cero. A medda que se van transportando dchas magntudes, el agua y el are se van acoplando en las dstntas zonas del domno. Para suavzar el salto en la nterfase de las propedades físcas estas se suavzan en una certa banda alrededor del nvel cero de la level-set. Una ventaja nteresante de la técnca del level set es que la nterfase no tene porque ser encontrada explíctamente sno que se encuenta guardada dentro de toda la nformacón que aporta la level-set. Es necesaro comentar que la extensón del cálculo de la funcón level set a tres dmensones es algo ben sencllo. Retomando las ecuacones de Naver-Stokes presentadas en el capítulo 2. Sea R d (d = 2, 3) un domno aberto con una frontera Γ sufcentemente suave. Se supondrá que en la frontera se comparten condcones de contorno de dos tpos de modo que se consderará el contorno dvddo en dos partes Γ D y Γ N tal que Γ = Γ D Γ N y que tambén satsfacen que Γ D Γ N =. Las ecuacones admensonalzadas por una longtud característca L, una velocdad característca U, la densdad y vscosdad del agua que descrben el movmento de un fludo newtonano ncompresble son: v x = 0 en (0,t) (7.1) Dv Dt = 1 Fn z 1 p + ( 1 2 x ς 1 x x j Re ) ς 2 v ς 1 x j en (0,t) (7.2) Estas ecuacones se resuelven de acuerdo a las sguentes condcones ncales y de contorno: v = v Drchlet en Γ D (0,t) (7.3) τ j n j = pn + µ v n = ρg( z)n en Γ N (0,t) (7.4) v (x, 0) = v 0 (x ) en (t = 0) (7.5) Donde n es el vector untaro normal salente al contorno Γ. A estas ecuacones hay que añadrle la ecuacón de transporte del level-set φ que no es otra que una ecuacón de transporte homogenea: 115

117 Dφ Dt = 0 (7.6) donde (ver fgura 7.1 ): 1 s φ > α ς = λ s φ < α ς + ς sn ( ) πφ otros casos 2α ς = 0.5 (1 + λ ) ς = 0.5 (1 λ ) Fn 2 = U gl Re = LU ν La funcón level-set esta defnda como postva en el agua y como negatva en el are. Los parámetros λ 1 y λ 2 son los ratos entre las propedades del are y el agua para la densdad y la vscosdad respectvamente, α es la mtad del espesor de la banda fnta en la cual la densdad y vscosdad varían del agua al are. La ecuacón (7.6) se resuelve medante el Método de las Característcas para ecuacones de transporte homogeneas tal y como se realzó en el capítulo 4 cuando se resolvó el problema del cono, con la condcón ncal de que: φ (x, 0) = dstanca vertcal(nodo,superfce lbre ncal) La dscetzacón temporal de estas ecuacones se realza suponendo un ntervalo temporal [0,T] dvddo en N subntervalos [t n,t n+1 ] de longtud t, de modo que N t = T. Para cada ntervalo se van a ntegrar las ecuacones (7.1) (7.5) a lo largo de las trayectoras de las partículas fludas tal y como se explca a contnuacón. Tal y como se realzó en el capítulo 4 se comenzan hallando los pes de las característcas medante un proceso análogo al que allí se realzó, y se nterpolan los valores de la velocdad en dchos pes de las característcas. Para cualquer (x,t) [t n,t n+1 ],se ntegra la ecuacón (7.2) a lo largo de las característcas para obtener: t n+1 t n du (x j,t) = t n+1 t n 1 Fn z dt 2 x t n+1 t n 1 ς 1 p x dt + t n+1 t n x j ( ) 1 ς 2 v dt Re ς 1 x j 116

118 Fgura 7.1: Coefcente ς 1 para α = 0.5 u (x j,t n+1 ) = u (X j (x,t n+1 ;t n ),t n ) + t n+1 t n 1 Fn 2 δ z dt t n+1 t n 1 p dt+ (7.7) ς 1 x + t n+1 t n x j ( ) 1 ς 2 v dt Re ς 1 x j Utlzando reglas de cuadratura análogas a las que se utlzaron en el capítulo anteror se llega al problema: u n+1 = u n + t 2 + t 2 Re [ x j 1 Fn 2 δn+1 z 1 p n+1 t + ς 1 x ( ς2 v n+1 ) + ( ς2 v n ς 1 x j x j ς 1 x j ) ] con las condcones v n+1 x = 0 117

119 v = v Drchlet en Γ D τ j n j = pn + µ v n = ρg( z)n en Γ N v (x, 0) = v 0 (x ) en La resolucón de este problema es semejante a resolver el problema de Stokes pero ahora con un fludo cuyas propedades varían en funcón del espaco. La búsqueda de la solucón de este problema se desarrollará en el apartado sguente y quzá sea la aportacón más orgnal de esta tess, es decr a contnuacón, se va a realzar una adaptacón comprobada medante códgo del algortmo de Glowsk para la resolucón de las ecuacones de Naver-Stokes y descrto en el capítulo anteror para un sólo medo físco al caso que nos ocupa donde se tenen dos medos, o dcho de otro modo se adaptará el algortmo de Glownsk al sstema de ecuacones dferencales propuesto por Vogt en [Vogt-98] Rencalzacón. A la funcón level-set se le pde en cada paso de tempo en el que avanza la ntegracón el hecho de que conserve su defncón de dstanca a la superfce lbre, como en su ncalzacón de hecho cumple. Gracas a esta propedad que se desea, el ancho de banda en el cual las propedades como la vscosdad o la densdad varían de un fludo a otro puede tener un espesor constante y no varar a medda que el tempo pasa. S se realza la ntegracón evolutva de dcha ecuacón sencllamente con el esquema que se propone en el capítulo 4 de ntegracón de ecuacones de transporte homogeneas se llega a la conclusón que s ben la funcón level-set evolucona en el tempo, rápdamente deja de ser una dstanca a dferenca de lo que se desea. Con el objeto de que no perda esta propedad se esta oblgado a transformar el resultado de dcha ntegracón a través de un proceso conocdo como rencalzacón que nos pemtrá restablecer dcha propedad. Para consegur que una funcón escalar como la level set sea una dstanca se debe consegur que su gradente sea gual a la undad. De hecho los valores de las propedades físcas en la banda de ( α,α) sufren grandes dstorsones s φ es muy dstnto de uno. De modo que se segurá una ecuacón de rencalzacón propuesta por [Sussman-98] capaz de consegur tal fn cuando alcanza el estado estaconaro. Sea φ el resultado de la ntegracón de la ecuacón (7.6) en el nstante t n+1, el objetvo de la rencalzacón es consegur una funcón φ tal que en cada punto represente de 118

120 nuevo una dstanca a la nterfase y se comporte mejor que φ. Debdo a que en todos los puntos de la nterfase la dstanca a la msma es cero, dcha nterfase permanece nalterada medante la rencalzacón, es decr las sosuperfces φ = 0 y φ = 0 concden. Teórcamente la rencalzacón podría llevarse a cabo desde un punto de vsta geométrco, pero ello daría lugar a un gran consumo de CPU y además podría ser poco favorable desde un punto de vsta numérco debdo a la poca regulardad de la funcón resultante. La ecuacón teratva de rencalzacón es la sguente: ( φ τ = S (φ) 1 donde S es una funcón sgno suavzada del tpo: S (φ) = ) φ x φ φ2 + ε 2 (7.8) El valor de ε se estma alrededor de α sguendo las nvestgacones de Sussman et al., tal y como se ndca en [Sussman-98]. La ecuacón (7.8) puede escrbrse en la forma: donde: φ τ + w φ x = S (φ) (7.9) ( ) φ φ w = S (φ) / x x Este algortmo debe converger a un estado estaconaro, cuando este estado se consgue el prmer térmno de la ecuacón (7.8) desaparece y por lo tanto se llega a gualar el módulo del gradente a la undad, consguendo así que φ sea una funcón dstanca. Hablando de modo estrcto el proceso de rencalzacón no tene nada que ver con el problema del flujo. La ntegracón de la ecuacón (7.9) se realza a través del Método de las Característcas ya vsto el capítulos anterores. Medante la notacón empleada anterormente sobre el operador dervada sustancal se puede notar como Dwφ a la dervada sustancal de la funcón level set a través del Dτ campo de velocdades dado por w. Luego se puede escrbr la ecuacón (7.9) de la forma: D w φ Dτ = S (φ) e ntegrando a través de las lneas característcas: 119

121 φ (x,t n+1 ) = φ tn+1 (X,t n ) + S (φ)dt t n aproxmando la ntegral por su valor en el límte superor tenemos que: φ (x,t n+1 ) = φ (X,t n ) + S (φ) τ Tal y como señala en [Cura-99], no es necesaro en la práctca la solucón exacta de la ecuacón (7.9), de hecho unos cuantos pasos son sufcentes dado que φ debe ser rencalzada en las proxmdades de la nterfase solamente, y cuando se resuelve (7.9) la solucón prmeramente afecta a los puntos próxmos a la nterfase y posterormente a los puntos más y más alejados. Por lo tanto en la práctca tres teracones son sufcentes para mantener el espesor de la nterfase constante. El tempo τ que se elge para la ntegracón de la ecuacón (7.9) es un mero tempo computaconal y se dscretza tomando saltos de tempo del orden de τ = α/10. El proceso de rencalzacón no aumenta mucho el tempo de cómputo general del problema. No se debe confundr el proceso de rencalzacón con un proceso de conservacón de la funcón level set. Por conservacón se entende que la ntegral de la funcón level set tene un valor constante a medda que el tempo evolucona, es decr: φ d = cte. Esta condcón no queda garantzada con el proceso de rencalzacón. A pesar de ello s se qusera hacer este proceso conservatvo habría que hacer uso del algortmo propuesto por Bermejo en [Ber-Con-00]. 7.3 Solucón teratva del problema de Stokes Generaldades. La dscretzacón temporal del problema de Naver-Stokes medante el método de las característcas nos lleva a la solucón del sguente problema tpo Stokes. v n+1 β x j ( ς2 v n+1 ) ς 1 x j = v n + t ( ) z (7.10) x Fn 2 120

122 x ( p n+1 ς 1 ) t p n+1 ( ) 1 t + β ( ) ς2 v n x ς 1 x j ς 1 x j en v n+1 x = 0 en (7.11) τ j n j = v = v Drchlet en Γ D [ p + z ] n ς 1 Fn ς 2 v Re agua ς 1 n = 0 en Γ N v (x, 0) = v 0 (x ) en donde se ha llamado β = 1 2 Re t. S multplco escalarmente a la ecuacón (7.10) por un vector w V 0 y la ecuacón (7.11) por un vector q Q se ntegra en se tene que: v n+1 w d β x x j ( p n+1 ς 1 ( ς2 v n+1 ) w d = ς 1 x j + z ) tw Fn 2 d + β v n w d + x j ( ς2 p n+1 ( ) 1 ς 1 x ) v n w d ς 1 x j t w d v n+1 x q d = 0 (7.12) Llamando: p n+1 ς 1 + z Fn 2 = P n+1 121

123 Conocda P n+1 como presón generalzada o presón motrz. Según esta nueva presón la condcón de contorno Neumann quedaría: P n+1 n + 1 Re agua ς 2 ς 1 v n = 0 en Γ N (7.13) Aplcando dervacón por partes a las dervadas segundas y al gradente de presón : ( ς2 v n+1 ) x j ς 1 x j ( ) ς2 v n x j ς 1 x j P n+1 x w = ( ς2 x j w = ( ς2 x j ) vn+1 w ς 2 vn+1 ς 1 x j ς 1 x j ) v n w ς 2 v n w ς 1 x j ς 1 x j x j w = x ( P n+1 w ) w x P n+1 w x j Susttuyendo y aplcando el teorema de Gauss en las dervadas totales : v n+1 ς 2 w d β vn+1 Γ ς 1 x j w n j dγ + β ς 2 v n+1 w w d = ς 1 x j x j v n w d+ ( ) P n+1 w n t dγ + P n+1 w ς 2 v n td + β w n j dγ Γ x Γ ς 1 x j ς 2 v n β w w d + ς 1 x j x j p n+1 ( ) 1 t w d x ς 1 Observando la defncón de V 0 del capítulo anteror y tenendo en cuenta que w V 0, por lo que w = 0 en Γ D. v n+1 w d + β ς 2 v n+1 ς 1 x j w d β x j ς 2 Γ N ς 1 ( v n+1 x j + v n } {{ x j } [1] ) n j w dγ N + +β P n+1 n 2Re w dγ N = Γ N 122 v n w d + t P n+1 w d x

124 ς 2 v n β w d + ς 1 x j x j p n+1 ( ) 1 t w d x ς 1 Desarrollando en sere a lo largo de las curvas característcas tal y como se hzo en el capítulo anteror el térmno [1] queda: v n+1 x j + v n = 2 vn+1 x j x j x j ( ) v n t k t + O ( t 2) x k Tenendo en cuenta la condcón de contorno (7.14) se sabe que: Γ N t ( ς2 ς 1 1 Re v n+1 ) n P n+1 n w dγ N = 0 Una vez se ha obtendo una formulacón débl del problema, este planteamento semdscreto(se ha dscretzado en el tempo pero aún no en el espaco) puede ser reescrto en un contexto de elementos fntos. Para aproxmar la solucón (v,p),se contnúan utlzando elementos fntos del tpo Taylor-Hood (elementos cuadrátcos en la velocdad y lneales en la presón P 2 /P 1 ). Para este tpo de elementos, tanto la velocdad como la presón son contnuas sobre el contorno de cada elemento. Aproxmando la solucón en los nodos tal y como se hzo antes. La solucón en un punto cualquera x a partr de lo obtendo en el cálculo por elementos fntos es: v n h (x ) = U n j φ j (x ) p n h (x ) = P n k w k (x ) Sendo {φ j },{w k } los conjuntos de funcones base de V h y Q h respectvamente, y U n j y P n k los correspondentes valores en los nodos de la malla obtendos en el nstante t n a partr del método de los elementos fntos Ecuacón funconal de la presón. El problema de Stokes resultante una vez se ha mplementado el método de las característcas en las ecuacones de Naver-Stokes, no es exactamente gual al que se presentaba en el capítulo anteror. La dferenca fundamental se halla en el térmno [1] de la ecuacón (7.14). v n+1 ς2 w d β ς 1 2 v n+1 x 2 j w d = 123 v n w d P n+1 x t w d+ (7.14)

125 +β ς 2 2 v n ς 1 x 2 j w d + p n+1 ( ) 1 t w d x ς }{{ 1 } [1] v n+1 x q d = 0 De nuevo la presón P n+1 y la velocdad v n+1 estan claramente acopladas, se utlzará por tanto el msmo método teratvo del Gadente Conjugado que antes. Sea P 0 L 2 () dato y m el índce del algortmo de gradente conjugado que llevará la teratvdad del proceso: Para m 0,suponendo P m conocdo, el cálculo desacoplado de la presón P m+1 y la velocdad v m+1 se realza medante las ecuacones: v m+1 V g ; w V 0 se tene: v m+1 w d β ς 2 2 v m+1 ς 1 x 2 j w d = v n w d P m x t w d+ (7.15) ς2 +β ς 1 2 v n x 2 j w d + p n+1 ( ) 1 t w d x ς 1 P m+1 = P m ρ vm+1 (7.16) x El cambo nteresante es hacer que en la ecuacón (7.15) la presón deja de ser ncógnta y pasa a ser dato, por otro lado la ecuacón de ncompresbldad del fludo ( v = 0) deja de aparecer explíctamente y pasa a formar parte de la ecuacón (7.16) de modo que a medda que el campo de velocdades se va hacendo más advergente la presón va convergendo y P m+1 = P m. S v m+1 x 0 = P m+1 = P m. 124

126 Es decr la presón se va corrgendo y se va aproxmando a la correcta a medda que la dvergenca de la velocdad va tendendo a cero. El cambo va mucho más allá, dado que se ha consegudo que el sstema este por fn desacoplado en velocdad-presón aún cuando sea necesaro terar para poder resolverlo. 7.4 Implementacón numérca del método. Para resolver las ecuacones que gobernan todo el proceso que se ha tratado de descrbr los pasos ordenados deben ser los sguentes: Conocer la solucón en el nstante n+1 a partr de la solucón en n, requere de: 1 o -Resolver medante el algortmo del Gradente Conjugado las ecuacones (7.15) y (7.16) hasta que en un paso m+1 se cumpla la condcón de P m+1 = P m. Cuando esto se logre: p n+1 = ς 1 v n+1 = v m+1 P n+1 = P m+1 ( z Fn 2 + P n+1 ) 2 o -Resolver la ecuacón (7.6) para la funcón level set. 3 o -Rencalzar la funcón level set medante la ecuacón (7.9). 4 o -Repetr los pasos 1-3 hasta que se alcance el estado estaconaro. 7.5 Ejemplos numércos. 1.Perfl adherdo al fondo. Se consderan dos casos dstntos para evaluar numércamente la superfce lbre areagua y el perfl de ola generado en ellos. Uno de ellos es un caso donde el objeto sumergdo permanece adherdo, el objeto no es más que un perfl expermental ntroducdo por Cahouet en [Cah-84] al fondo mentras que el otro se trata de un clndro completamente sumergdo a una certa profunddad. Los resultados obtendos se comparan con los mostrados en el estudo de Vogt [Vogt-98], resultados expermentales y resultados obtendos por otras técncas como el movmento de malla. 125

127 Fgura 7.2: Perfl adherdo al fondo El perfl del objeto adherdo esta descrto por la ecuacón: y = 27 E x (x l)2 4 l3 donde y es la altura y x la dstanca a partr del comenzo. Los parámetros E (máxma altura del perfl) y l (longtud del perfl) han sdo tomados según la sguente tabla : E l 0.42 El perfl se ha trazado a partr de cuatro puntos que cumplen la ecuacón de dcho perfl y hacendo que el entorno gráfco trace una NURBS a través de ellos. Los puntos de defncón son : Pto x y l 0 3 l/3 E 27E 4 l/2 32 El perfl se ha colocado en el fondo de un canal de ensayos. A partr de los resultados de Vogt se ha vsto como no hay una gran dferenca en el problema s se mplementa un modelo de turbulenca o no, ver [Vogt-98], se han hecho pruebas sn él y con un modelo de turbulenca tpo Smagornsky. La propedades físcas de los fludos que se han consderado son: ρ agua = Kg/m 3 ρ are = 1.20 Kg/m 3 126

128 Fgura 7.3: Perfles de ola para el perfl adherdo al fondo. µ agua = Kg/ms µ are = Kg/ms No se han tendo en cuenta los fenómenos de tensón superfcal. Incalmente, ya se comentó, la superfce lbre concde con la recta horzontal de φ = 0. Por otro lado tenendo en cuenta que la convergenca de los flujos supercrítcos es es sensblemente mayor que los casos de baja velocdad, se tomo un flujo supercrítco de Fr=2.05. El problema se admensonalzó con la velocdad de entrada al mallado, la altura del objeto E, y la presón se admensonalzó medante el producto ρ agua U 2, sendo U la velocdad de entrada al mallado. La geometría del problema queda defnda por (ver fgura 7.2 ): Altura total del domno (agua+are)= Profunddad ncal del fondo= /e= Dstanca horzontal del comenzo del domno al comenzo del perfl=1/e=23.8 Dstanca horzontal del fnal del domno al comenzo del perfl=1/e=23.8 Comenzo del perfl stuado en la abcsa=0.0. Tanto en el caso en el que se consderó modelo de turbulenca tpo Smagornsky como en el caso donde no se empleó modelo alguno (debdo a la escasa dferenca vsta en [Vogt-98], la condcón de contorno que se empleó en el fondo fue del tpo no-slp. Ver fgura

129 Fgura 7.4: Geometría del problema del hdrofol. 2. Hdrofol sumergdo. Gracas a las meddas realzadas por Duncan en [Duncan-83] basadas en el perfl de ola que se obtene tras un perfl NACA 0012, se trató de smular esta stuacón y comparar con las meddas expermentales ctadas y otras smulacones realzadas por Vogt en [Vogt-98]. Las meddas expermentales se llevaron a cabo con un hydrofol de longtud de cuerda de 20.3 cm sumergdo y empujado a lo largo de un canal de 24 m de longtud a una altura fja de 17.5 cm sobre el fondo del canal. La velocdad a la que se realzó el expermento fue de 0.8 m/s y un número de Froude de Por otro lado la profunddad de nmersón del hydrofol fue de s=21 cm, o lo que es lo msmo 1.03 undades admensonales. La geometría del hydrofol, ver fgura 7.4 se admensonalzará de modo que su cuerda pase a tener valor undad, y dcho valor pasará a ser la longtud característca necesara para el cálculo del número de Froude. En el prmer ejemplo el flujo que se estudó sobre el perfl adherdo fue supercrítco. En ese caso la ola que se generaba era local en la zona donde el fondo de la topografía cambaba, en un ejemplo así muchos de los posbles errores de dspacón y dspersón podían quedar dsmulados, ésto no ocurre tan exageradamente cuando el perfl genera un tren de olas de tpo subcrítco. Por lo tanto el estudo de un perfl NACA 0012 con un ángulo de ataque de 5 o es un buen ejemplo para la valdacón. Para mallar este caso se utlzó una geometría rectangular donde la entrada estaba colocada a sete veces la longtud de la cuerda del hydrofol y la salda a qunce veces dcha dstanca medda desde el comenzo del perfl. El número de nodos y el número de elementos cuadrátcos es de Ver fgura 7.5. Hay que tener un certo cudado con el tamaño de mallado alrededor del perfl NACA y mallar de modo que el tamaño de los elementos alrededor de la salda sea algo menor que el rado de curvatura de la salda del perfl. El número de nodos que se utlzó en el nteror de la banda de transcón de las 128

130 Fgura 7.5: Mallado del hdrofol propedades del fludo fue de 6, de modo que se consderan un elemento a cada lado de la sembanda. Tal y como ndca Vogt el hecho de meter más elementos, y por lo tanto más nodos,en la banda de transcón hace que el problema sea más dspersvo y los resultados peores. Las condcones en las que se esta realzando este expermento numérco son muy próxmas a la stuacón de ola rompente, que según los expermentos comentados en [Duncan-83] se produce para s=19.3 cm. A la vsta de la geometría podría parecer necesaro que la parte del domno ocupada por agua tuvese la msma cantdad de volumen que la parte de are, esto no es completamente necesaro y se podrían aglzar los cálculos mnmzando el tamaño de la parte de are sempre que al menos se mantenga un mínmo de 4 nodos entre el límte superor de la banda de transcón y el límte superor del domno. En esta tess se utlzó un número muy superor a cuatro conscentes de que esta había sdo causa de conflcto en otras nvestgacones sobre el tema. Por otro lado se esta utlzando una condcón de contorno en la parte superor (salda con tensón nula) que nvta a pensar que la regón de are debe de tener una certa ampltud para poder cumplr dcha condcón. Es bueno notar que en la banda de transcón la densdad da un salto de 1 a 1000 en una regón del espaco muy estrecha, y esta varacón no es smétrca, es decr, mrado por el lado del agua la densdad varía de 1000 a 500 (valor que toma la densdad a mtad de camno en la banda de transcón) pero mrando por el lado del are la varacón es de 1 a 500. De modo que mentras que en el lado del agua la densdad se dvde por 2, en el caso del are se multplca por 500, es por ello que los cambos más bruscos que se producen en la nterfase se dan por el lado del are. 129

131 Fgura 7.6: Instante del proceso de formac ón de la ola. Los resultados obtendos con este prmer mallado se presentan a contnuacón en la fgura 7.7: Tras observar otros trabajos expermentales, ver [Vogt-98], la ola se aproxma a la expermental a meddad que el número de nodos aumenta en el mallado, por ello se aumentó el mallado hasta nodos consguendo una mejora sustancal respecto al mallado anteror. Los resultados se pueden aprecar en la fgura

132 Fgura 7.7: Perfles de ola del problema del hdrofol. Fgura 7.8: Ola creada por el hydrofol con un mallado más fno. 131