REGRESIÓN LOGÍSTICA INTRODUCCIÓN

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1 1 REGRESIÓN LOGÍSTICA INTRODUCCIÓN Comncmos con un jmplo qu nos srvirá para ilustrar l análisis d datos binarios. Los siguints datos tomados d Littl (1978) corrspondn a 1607 mujrs casadas y fértils ntrvistadas por la Encusta d Frtilidad Fiji d 1975, clasificadas por dad, nivl d ducación, dso d tnr más hijos y l uso d anticoncptivos. En st jmplo s considra a Anticoncpción como variabl dpndint y a las dmás como prdictoras. En st caso todas las prdictoras son variabls catgóricas, sin mbargo l modlo qu prsntarmos prmit introducir variabls indpndints continuas y discrtas. El objtivo s dscribir cómo l uso d métodos anticoncptivos varía sgún la dad, l nivl d ducación y l dso d tnr más hijos. Por jmplo, una prgunta qu sría intrsant rspondr s si la asociación ntr ducación y anticoncpción s afctada por l hcho d qu mujrs con un nivl d ducación más lvado prfirn familias más chicas qu las mujrs con nivls d ducación infrior. El modlo d rgrsión logística s muy utilizado n trabajos biológicos y pidmiológicos. S utiliza para modlar rpustas dicotómicas (prsncia o ausncia d una condición) n función d un conjunto d variabls (covariabls) qu posiblmnt afctan la rspusta. Igual qu n rgrsión linal, la rgrsión logística prov una stratgia d modlización gnral, flxibl y d intrprtación dircta. También prmit qu las covariabls san cualitativas, ordinals o cuantitativas. Dsd l punto d vista práctico, los dos métodos tinn muchas similituds, a psar qu los procdimintos matmáticos subyacnts son difrnts. Dsd l punto d vista tórico l modlo d rgrsión logística forma part d una familia d modlos llamada Modlos linals gnralizados. En rgrsión linal la mdia d la variabl rspusta (µ) s modla mdiant una combinación linal d variabls xplicativas E ( Y x x. 1,, xk ) ( Y x1,, xk ) 0 1x1 k k

2 2 En los modlos linals gnralizados s modla una transformación d la mdia d la variabl rspusta (g(µ)) como una combinación linal d las variabls xplicativas: g( E(Y x1,, xk )) g( (Y x1,, xk )) 0 1x1 k xk. Si la variabl rspusta Y (componnt alatoria) tin distribución Bi (1, p) (como ocurrirá n rgrsión logística), s dcir: Y = 1 con probabilidad p Y = 0 con probabilidad 1- p, l parámtro p admás d sr la mdia d la variabl Y s la probabilidad d qu Y tom l valor 1. Es dcir: Por otro lado σ 2 = V(Y) = p(1-p). Así mismo, dadas las obsrvacions x 1,,x k μ = E (Y) = 1.p + 0.(1-p) = p. Y = 1 x 1,,x k con probabilidad p = p(x 1,,x k ) P(Y 1 x1,, xk ) y Y = 0 x 1,,x k con probabilidad 1- p(x 1,,x k ) P(Y 1 x,, x ). 1 1 k Tanto la mdia como la varianza dpndn d las obsrvacions x i. Esto sugir qu cualquir modlo qu, como l linal, asuma homoscdasticidad d las obsrvacions no srá adcuado para l problma. En l modlo d rgrsión logística, la mdia (p) d una variabl rspusta con distribución Binomial(1, p) s transforma mdiant la transformación logística : Así l modlo rsulta d la forma g (p) p ln 1 p P(Y 1 x1,, x ) k ln 0 1x1 k x 1 P(Y 1 x1,, xk ) Vrmos por qué tin sntido st modlo y prsntarmos los motivos por los cuals no s adcuado ajustar un modlo linal cuando la variabl rspusta s binaria. Estudiarmos cómo s la curva qu rsulta d la transformación logística. Dsarrollarmos jmplos d rgrsión logística simpl (una única variabl xplicativa), y d rgrsions logísticas múltipls (más d una variabl xplicativa). Utilizarmos tanto variabls xplicativas continuas como variabls xplicativas catgóricas. Vrmos l significado d divrsas mdidas qu habitualmnt prsntan los programas stadísticos qu ralizan un ajust logístico para valuar la calidad dl modlo stimado. Una vz stablcido l modlo qu qurmos ajustar harmos las difrnts tapas d infrncia habituals: Estimar los parámtros Hallar intrvalos d confianza para los mismos Evaluar la bondad dl ajust Ralizar algún tst qu involucr los parámtros. k.

3 3 Comncmos dsarrollando un jmplo con covariabl continua. Más adlant xtndrmos l análisis a los dmás casos. Tabla 1. Prsncia (1) Ausncia (0) d diabts (DIABET) ID DIABET SSPG ID DIABET SSPG ID DIABET SSPG Considrmos los datos dl archivo diabt.xls. Corrspondn a 145 adultos no obsos qu participaron n un studio sobr diabts para invstigar la rlación ntr la prsncia d diabts y varias mdidas químicas. Utilizarmos únicamnt la variabl SSPG stady stat plasma glucos (una mdida d la rsistncia a la insulina) como variabl xplicativa y como variabl rspusta DIABET (DIABET =1 indica qu l pacint s diabético, DIABET=0 indica qu l pacint no s diabético). La Tabla 1 mustra una part d los datos y s ncuntran ordnados d acurdo con valors crcints d la variabl SSPG. >library(radxl) >path<-fil.choos() >diabtsxls<-rad_xcl(path) DIABET ID INSTEST GLUFAST GLUTEST GROUP RELWT SSPG >diabt<-diabtsxls$diabet >sspg<-diabtsxls$sspg >summary(sspg) Min. 1st Qu. Mdian Man 3rd Qu. Max

4 4 >hist(sspg) >hist(sspg,nclass=20,probability=t,main="histograma d Áras", xlab= "SSPG",ylab="Dnsidad",xlim=c(0,500),bordr="darkrd",col="pink")

5 5 >stm(sspg) Th dcimal point is 1 digit(s) to th right of th >sq(0,500,by=40) >class<-cut(sspg,braks=c(0,40,80,120,160,200,240,280,320,360,420,500)) >tabl(class) class (0,40] (40,80] (80,120] (120,160] (160,200] (200,240] (240,280] (280,320] (320,360] (360,420] (420,500] Otras formas para dtrminar class >class2<-cut(sspg,braks=sq(0,500,by=40)) >class3<-cut(sspg,braks=sq(0,500,lngth.out=10)) >sq(0,500,lngth.out=10) [1] [7] Obtnmos las mdias mustrals (promdios) d las variabls SSPG y DIABET para cada clas. Qué significa la mdia mustral d la variabl DIABET?

6 6 >sumayporclass<-tapply(diabt,index=class,fun=sum) >sumayporclass (0,40] (40,80] (80,120] (120,160] (160,200] (200,240] (240,280] (280,320] (320,360] (360,420] (420,500] >pestimado<-sumayporclass/tabl(class) >pestimado (0,40] (40,80] (80,120] (120,160] (160,200] (200,240] (240,280] (280,320] (320,360] (360,420] (420,500] >tapply(sspg,index=class,fun=man) (0,40] (40,80] (80,120] (120,160] (160,200] (200,240] (240,280] (280,320] (320,360] (360,420] (420,500] class mdia SSPG proporción DIABET [0-40) 32,67 0,00 [40 80) 62,58 0,04 [80-120) 102,67 0,08 [ ) 141,35 0,35 [ ) 178,67 0,50 [ ) 222,07 0,80 [ ) 260,95 0,79 [ ) 303,89 1,00 [ ) 342,14 1,00 [ ) 386,75 1,00 [ ) 457,00 1,00 Tabla 2. Proporción d pacints con diabts por clas La tabla antrior mustra qu la proporción d pacints diagnosticados con diabts aumnta a mdida qu aumnta la mdia d SSPG d cada grupo. La Figura 1 prsnta l diagrama d disprsión corrspondint.

7 7 Figura 1. Proporción d pacints diagnosticados con diabts n función d los nivls d glucosa (SSPG). La Figura 2 mustra la curva d rgrsión logística y la rcta ajustada a los datos d la tabla 1 (mínimos cuadrados), junto con las proporcions obsrvadas. Vmos qu la rcta capta la tndncia crcint d las proporcions pro stima valors fura dl intrvalo [0, 1], n l rango d valors obsrvados para la variabl xplicativa. La curva stimada admás d mostrar la tndncia crcint d las proporcions con la variabl xplicativa pasa n promdio más crca d la mayoría d los puntos dl diagrama d disprsión. Figura 2

8 8 Si ajustamos n forma rróna un modlo d rgrsión linal a st conjunto d datos obtndrmos la rcta ajustada qu mustra l diagrama d disprsión d la figura 2 y las siguints salidas >diabtslm<-lm(diabt~sspg) >summary(diabtslm) Call: lm(formula = diabt ~ sspg) Rsiduals: Min 1Q Mdian 3Q Max Cofficints: Estimat Std. Error t valu Pr(> t ) (Intrcpt) * sspg <2-16 *** --- Signif. cods: 0 *** ** 0.01 * Rsidual standard rror: on 143 dgrs of frdom Multipl R-squard: , Adjustd R-squard: F-statistic: on 1 and 143 DF, p-valu: < >anova.tabl(diabtslm) 1 Funt SS DF MS F P 2 Rgrsion Rsiduos Total Las tablas no mustran los problmas pro n los diagramas d disprsión d los datos (Figura 3) y los rsiduos (Figura 4) pudn obsrvars structuras no atribuibls al azar.

9 9 Figura 3 La Figura 3 mustra l diagrama d disprsión d los valors obsrvados d la variabl rspusta y la variabl SSPG junto con la rcta ajustada por rgrsión linal. Est diagrama nos da una imprsión d la naturalza y furza d la rlación ntr la rspusta y la variabl indpndint. Los puntos can n dos línas parallas, indicando la prsncia (DIABET = 1) o ausncia (DIABET = 0) d diabts. Est gráfico mustra claramnt la naturalza dicotómica d la variabl rspusta y parc sugrir qu la diabts ocurr con mayor frcuncia n pacints con valors más altos d SSPG. Sin mbargo, st gráfico no prov una imagn clara d la rlación ntr la diabts y la SSPG ya qu como los datos can sobr 2 línas horizontals, l gráfico s difícil d intrprtar. Qué spraríamos vr n la Figura 3 si no hubira ninguna rlación ntr SSPG y DIABET? Los rsiduos (Figura 4) mustran una structura clara indicando qu l modlo linal no s adcuado para stos datos.

10 10 Figura 4 Volvindo a la Figura 3, valors bajos d SSPG corrspondn a pacints no diabéticos, mintras qu para valors más altos d SSPG s obsrva más frcuntmnt prsncia d diabts. La situación más sncilla ocurriría si xistira un umbral o valor d cort para la variabl SSPG, tal qu hasta s valor, la variabl DIABET=0 y para valors mayors DIABET=1. Esto sría lo qu sucdría n un modlo sin ruido. Qué ocurriría n un caso más ralista, como l d nustra mustra, n l qu intrvin l ruido dbido a las componnts alatorias dl studio? Lo qu cab sprar s un diagrama como l d la Figura 3. También stá claro qu hay una zona d transición dond los valors d DIABET =0 ó 1 s altrnan mintras dura la transición y no hay valor d SSPG qu prmita spararlos limpiamnt. Tnindo n cunta las idas qu hmos ido xponindo n l jmplo, qué clas d rspusta spramos d un modlo n st tipo d situacions, qué tipo d prdicción? Si xistira un umbral spraríamos obtnr DIABET=0 (hasta l umbral) ó DIABET=1 (lugo dl umbral), pro cuando hay una zona d transición la solución no s cntrars n los valors 0 y 1 d DIABET sino n cambio, n la probabilidad d qu DIABET tom uno d sos valors. Es un cambio trascndntal qu afcta a la structura dl modlo qu vamos a construir. La prgunta qu vamos a rspondr no s: Dado un valor d X=SSPG, cuál s l valor d Y=DIABET, uno o cro? sino Dado un valor d X=SSPG, cuál s la probabilidad d qu Y=DIABET tom valor 1?

11 11 El objtivo cntral d nustro modlo s una probabilidad condicionada p(x 0 ) = P(Y = 1 X = x 0 ), Rcordar qu P(Y = 0 X = x 0 ) = 1 - P(Y = 1 X = x 0 ). Así por jmplo, si ocurrira qu para un x 0 n la zona d transición nustro modlo stima p(x 0 ) = P(Y = 1 X = x 0 ) con valor pˆ ( x 0) = 0.75=3/4. Esto significa qu d cada cuatro obsrvacions con un valor X = x 0, spramos qu n trs d llas, s cumpla Y = 1. Podríamos discrtizar l rango d X=SSPG n class, como n nustro jmplo d diabts y stimar por jmplo P(Y = X < 240) con valor MODELO DE REGRESIÓN LOGÍSTICA En muchos studios la variabl rspusta s la prsncia (Y = 1) o ausncia (Y = 0) d una condición. S trata d variabls dicotómicas, pus involucran dos catgorías. Las técnicas para modlar variabls dicotómicas s xtindn a variabls con trs o más catgorías (policotómicas) utilizando la distribución multinomial. Espramos qu un modlo d rgrsión adcuado stim la proporción d individuos n la población con la caractrística d intrés, o quivalntmnt la probabilidad d qu un individuo tnga dicha caractrística, para cada valor d la variabl xplicativa. En l jmplo d los pacints diabéticos l modlo dbría stimar la proporción d individuos con diabts para cada valor fijo d la variabl SSPG stady stat plasma glucos. Indiqumos por p la probabilidad d qu un individuo tnga diabts. La variabl Y, qu indica la prsncia o ausncia dl vnto, val 1 si l individuo tin diabts y 0 si no. Su distribución s Bi(1, p) y su valor sprado o valor mdio s E(Y) = p. Intrsa studiar la rlación ntr la glucosa-sspg y la prsncia o ausncia d diabts n la población n studio. Qué significaría n st caso ajustar un modlo d rgrsión linal simpl para la variabl rspusta (Y i = prsncia o ausncia d diabts n l i-ésimo pacint) con X i como variabl xplicativa? Y X i Significaría suponr qu la mdia d la variabl Y cambia linalmnt con la variabl indpndint X i X x x E Y. Rcordmos qu una vz qu conocmos l valor d X= x, la mdia d Y s la probabilidad (p) d qu Y = 1. Esto s, para cada valor d x i E Y X x P(Y 1 X x) = p(x). Por lo tanto l modlo linal propon qu la probabilidad d qu un individuo lgido al azar (n la población n custión) ntr los qu tinn x glucosa tnga diabts s una función linal d la glucosa:

12 12 p ( x) x La stimación d st modlo podría basars n mínimos cuadrados ordinarios. Como p(x) s una probabilidad, db cumplir con la rstricción: 0 p(x) 1, mintras qu x pud tomar cualquir valor ral. Cuando ajustmos la rgrsión, podría ocurrir qu l valor stimado d p(x) para valors d X dntro dl rango d valors obsrvados, cayra fura d los límits stablcidos por la rstricción y así l modlo linal no tndría sntido. Esta solución no rsulta muy natural. Vr nuvamnt la Figura 2. Podríamos intntar rsolvr st problma aplicando una transformación a la probabilidad p(x) a través d una función qu map l intrvalo (0,1) sobr la rcta ral. Llammos odds (u oportunidad) al p cocint. Obsrvar la siguint tabla: 1 p p p 1 p ln p 1 p D manra qu los odds mnors qu 1 stán asociados a probabilidads mnors qu 0.5 y odds mayors qu 1 stán asociados a probabilidads mayors qu 0.5. Sin mbargo sta transformación sólo mapa sobr los rals positivos. Para xtndrla a los ngativos introducimos l logaritmo: p ln. 1- p El modlo d rgrsión logística qu s un caso particular d modlo linal gnralizado, stablc qu una transformación d la probabilidad d qu un individuo lgido al azar (n la población n custión) ntr los qu tinn x glucosa tnga diabts, s una función linal d x: p( x) ln = + x 1- p( x) Por qué tin sntido st modlo?

13 13 Lugo no habría problmas con las prdiccions utilizando + x. Qué dic l modlo logístico rspcto d la probabilidad sin transformar, d tnr diabts? Para llo vamos qu: + x p( x) = 1+ Mdiant sa transformación logit s logra qu los valors stimados d p(x) s ncuntrn simpr n l intrvalo (0, 1). Por qué? + x. (1) O lo qu s lo mismo: La probabilidad d qu un individuo lgido al azar (n la población n custión), ntr los qu tinn x glucosa, tnga diabts, s rlaciona n forma curvilína con la variabl xplicativa d acurdo con la xprsión (1). La curva dada n (1) toma valors dntro dl intrvalo [0, 1]. A continuación damos múltipls jmplos:

14 14 El punto gordo stá marcando l cambio d tndncia éxito- fracaso (o al rvés) FUNCIÓN DE RESPUESTA LOGÍSTICA La Figura 5 mustra dos funcions d rspusta curvilínas hipotéticas para l caso d una única variabl prdictora continua. Estas curvas tinn forma d S volcada o su imagn spcular, no pudn tomar valors fura dl intrvalo [0,1], son llamadas funcions d rspusta logística.

15 15 (a) Crcint Figura 5 (b) Dcrcint Una curva logística cualquira pud rprsntars mdiant la siguint xprsión: + x E( Y X x) p( x) = (1) + x 1+ El plan consist n lgir los valors d los parámtros qu proporcionn la mjor curva logística para nustra mustra d puntos. Como pud obsrvars n las curvas d la Figura 5, una función d rspusta logística pud sr tanto monótona crcint, cuando l coficint ß s positivo y monótona dcrcint cuando s ngativo. Si β = 0 β > 0 β < 0 α p ( x) = s constant sobr los valors d x α 1+ + x p ( x) = crc con x + x 1+ + x p ( x) = dcrc con x + x 1+ Más aún, s casi linal para valors d p(x) ntr 0.2 y 0.8, y s acrca gradualmnt a 0 y 1 hacia los dos xtrmos dl rango d valors d x. El gráfico s parc, cuando ß > 0, a la función d distribución acumulada d una variabl alatoria. No dbría sorprndr qu conocidas funcions d distribución acumuladas hayan sido utilizadas para provr un modlo d E (Y X = x) n l caso qu Y s dicotómica. Por jmplo, ha sido utilizada la distribución Gaussiana dando como rsultado l modlo Probit. Nosotros usarmos la distribución logística qu llva a la cuación (1). Hay dos razons fundamntals para lgirla. Estas son: (1) dsd l punto d vista matmático, s una función muy flxibl y muy fácil d usar, (2) dsd l punto d vista biológico, los coficints admitn una intrprtación simpl. En la cuación (1) aparc p(x) para dstacar l hcho qu n st caso la spranza d la variabl rspusta coincid con la probabilidad d qu ocurra l vnto d intrés (Y = 1). Vimos qu una forma quivalnt d scribir l modlo (1) d rgrsión logística s: p( x) ln = + x 1- p( x) En st modlo l parámtro d mayor intrés s la pndint β, tal como ocurr n rgrsión linal. Rcordmos qu la difrncia principal con la rgrsión linal s qu n l modlo logístico proponmos una rlación linal ntr una transformación d las proporcions y las variabls xplicativas. La transformación qu usamos s la logit : p logit (p)= ln ln( odds) 1- p dond p s la proporción poblacional d individuos con la caractrística, o sa s la probabilidad qu la variabl rspusta tom l valor 1 (p = P(Y = 1 X=x)). (2)

16 16 Si p s la probabilidad qu un individuo tnga diabts ntoncs 1- p s la probabilidad d qu no lo tnga. La xprsión dada n (2) pud scribirs como: logit(p) = + x ln( odds ) + x La rgrsión logística stablc qu l logit s una función linal d la variabl xplicativa, ntoncs, la probabilidad p s una función con forma d S como las d la Figura 3. Las probabilidads prdichas s acrcan, pro nunca alcanzan o xcdn, los bords d 0 y 1. Equivalntmnt la rgrsión logística stablc qu l odds s una función multiplicativa d las variabls: odds x SIGNIFICADO DE LOS COEFICIENTES EN EL MODELO DE REGRESIÓN LOGÍSTICA SIMPLE. Con una única variabl xplicativa continua: p( x) ln x 1 p( x) El coficint β s l cambio n unidad. Más spcíficamnt p( x) ln 1- p( x) = logit(p(x)) cuando la variabl X aumnta n 1 p( x 1) ln ( x 1) 1 p( x 1) Lugo p( x 1) p( x) ln ln 1 p( x 1) 1 p( x) y d manra quivalnt p( x 1) 1 p( x 1) ln. p( x) 1 p( x) Tomando xponncial d cada lado d la dsigualdad quda:

17 17 Esta última xprsión s llama odds ratio (OR). p( x 1) 1 p( x 1) p( x) 1 p( x) El OR asociado a un cambio n una unidad d la variabl X stá dado por OR. Equivalntmnt β s l ln(or) ntr los grupos dfinidos por X = x +1 y por X = x. Muchas vcs un cambio n una unidad no tin intrés biológico. Por jmplo, l cambio n 1 día n la dad pud sr muy pquño para sr considrado important. Un cambio n 2 años pud sr más útil. El ln(or) ntr l grupo dfinido por X = x + c y l grupo dfinido por X = x s: odds( x c) ln c odds(x). El OR asociado a un cambio d c unidads d la variabl xplicativa, cuando su coficint s β, s obtin: OR(c) c. Rtomarmos más adlant, l studio d los odds y odds ratio con más dtniminto.

18 18 Comparación Rgrsión Linal vs Rgrsión Logística Linal Logística Variabl Rspusta Y: continua Y: binaria: 0 ó 1 Valor ajustado Nivl d Y P(Y 1 X x) Intrprtación d los parámtros Difrncia d Y ln(or) Como s mncionó ants l modlo d rgrsión logística no pid linalidad ntr su variabl dpndint y sus variabls xplicativas sin mbargo, sí rquir qu la rlación ntr la variabl indpndint y los ln(odds)=logit sa linal. Est modlo rquir mustras más grands rspcto a las qu s usan para l modlo d rgrsión linal, ya qu la stimación por máxima vrosimilitud s más débil qu la stimación por mínimos cuadrados REGRESIÓN LOGÍSTICA-EJEMPLO-CONT La variabl rspusta s la prsncia (Y=1) o ausncia (Y=0) d diabts y la única variabl xplicativa s la SSPG. >diabtsglm<-glm(diabt~sspg,family=binomial(link="logit")) >summary(diabtsglm) Call: glm(formula = diabt ~ sspg, family = binomial(link = "logit")) Dvianc Rsiduals: Min 1Q Mdian 3Q Max Cofficints: Estimat Std. Error z valu Pr(> z ) (Intrcpt) *** sspg *** --- Signif. cods: 0 *** ** 0.01 * (Disprsion paramtr for binomial family takn to b 1) Null dvianc: on 144 dgrs of frdom Rsidual dvianc: on 143 dgrs of frdom AIC: La tabla antrior mustra n la columna ncabzada por Estimat: los stimadors d los coficints d cada variabl n l modlo logístico, n st caso solamnt l coficint d SSPG y la ordnada al orign (constant). Dichos stimadors furon obtnidos mdiant l método d máxima vrosimilitud. Dicho método srá studiado más adlant. La notación qu usarmos para los coficints stimados srá: ˆ y ˆ.

19 19 Std. Error: los rrors típicos o rrors stándar asociados a los coficints. Prmitn ralizar tsts basados n la distribución Normal para dcidir si l coficint s stadísticamnt significativo (mayor a cro, mnor a cro o distinto d cro). Sus p-valors tinn validz aproximada. Estadístico d Wald: z valu = Estimat/Std. Error Es l stadístico dl tst para dcidir si l coficint s stadísticamnt significativo distinto d cro. Está basado n una distribución N(0,1). Sus p-valors tinn validz aproximada. Pr(> z ): s l p-valor aproximado dl stadístico Wald para cada coficint. Otros comandos útils: >diabtsglm$cofficints[1] (Intrcpt) >diabtsglm$cofficints[2] sspg > summary(diabtsglm)$cofficints Estimat Std. Error z valu Pr(> z ) (Intrcpt) sspg > summary(diabtsglm)$cofficints[2,3] [1] El modlo stimado d acurdo con la tabla antrior s : logit st = -4, ,025 * SSPG (4) log(odds st) = log( pˆ (SSPG)/(1- pˆ (SSPG)) = -4, ,025 * SSPG o quivalntmnt pˆ (SSPG ) 1 ( -4,548 0,025*SSPG ) ( -4,548 0,025*SSPG ) >diabtsglm<-glm(diabt~sspg,family=binomial(link="logit")) b0<-diabtsglm$cofficints[1] b1<-diabtsglm$cofficints[2] >curvalogisticaglm<-function(x) { rturn(xp(b0+b1*x)/(1+xp(b0+b1*x))) }

20 20 >curv(curvalogisticaglm,from=0,to=500) O bin >plot(c( 32.66, 62.58, , , , , ,303.88, , , 457.0),c(0, 0.041, 0.083, 0.347, 0.5, 0.8,0.789,1, 1, 1,1),xlab="mdia d sspg por clas",ylab="proporción d diabéticos por clas") >x<-sq(1,500,by=0.01) >lins(x,curvalogisticaglm(x))

21 21 Figura 5 Intrvalos d confianza Los intrvalos d confianza d nivl 1 para los coficints stán dados por: Estimat ± Z / 2 Std.Error Hallmos un intrvalo d confianza para l coficint d SSPG d nivl 95% > summary(diabtsglm)$cofficints Estimat Std. Error z valu Pr(> z ) (Intrcpt) sspg > s<-summary(diabtsglm)$cofficints[2,2] > s [1] >c(diabtsglm$cofficints[2]-qnorm(0.975)* s,diabtsglm$cofficints[2]+qnorm(0.975)*s) sspg sspg O bin podmos usar las funcions dl R para hallar un intrvalo d confianza para : > confint.dfault(diabtsglm,lvl = 0.95) 2.5 % 97.5 % (Intrcpt) sspg

22 22 El coficint asociado a SSPG s positivo, lo qu nos indica qu la probabilidad d tnr diabts aumnta con l nivl d glucosa. El coficint asociado a SSPG s = 0,025. Por lo tanto l odds ratio stimado para un aumnto d una unidad d SSPG s (stadísticamnt significativo) mayor a 1 0,025 OR st 1,026. xp( ) = Est odds ratio mustra un cambio biológicamnt important? Podmos hallar un intrvalo d confianza para los odds ratio stimados: Hasta acá tnmos un intrval d confianza para dado por IC=[L,U]. Podmos hallar un intrvalo d confianza para l OR utilizando la función xponncial y hacindo [xp(l),xp(u)] >c(xp(diabtsglm$cofficints[2]-qnorm(0.975)*s), xp(diabtsglm$cofficints[2]+qnorm(0.975)*s)) sspg sspg El odds ratio stimado para un aumnto d 10 unidads d SSPG s OR st 0,025 *10 xp( *10) = Cómo hallamos su intrvalo d confianza? Hacrlo. 1,29 El odds ratio stimado para un aumnto d 100 unidads d SSPG s ORst 0,025*100 xp( *100) = Cuál s su intrvalo d confianza? Si SSPG = 200 la probabilidad d tnr diabts por: ( p (SSPG 200) 1 12,53-4,548 0,025* 200 ) ˆ ( -4,548 0,025* 200 ) 0,62 xp( * 200)/(1+xp( * 200)) = La curva logística stimada, qu da la rlación ntr la probabilidad stimada para diabts y SSPG, prmit hallar una probabilidad stimada para cada valor posibl d la variabl SSPG: ˆ ˆ x odds st( x) pˆ( x) 1 odds st( x) 1 Aunqu la xprsión antrior stá dfinida para cualquir valor d la SSPG, sólo tin sntido la stimación dntro dl rango d los valors obsrvados d la variabl xplicativa. No s db xtrapolar. En gnral, una vz qu s ha hallado la curva logística stimada s posibl stimar l valor d X=x qu corrspond a una cirta prvalncia. La prvalncia dl 50% s la más fácil d calcular. Si l modlo stimado s ˆ ˆ x

23 23 cuando pˆ = 0.5, logit( pˆ ) = 0 y rsulta pˆ(x) ln 1- pˆ(x) ˆ x ˆ 0 = ˆ ˆ x x = - ˆ / ˆ = - ( / ) = Esto significa qu s stima, qu n la población d la cual fu tomada la mustra, los pacints con SSPG = 179,91 tinn una probabilidad dl 50% d tnr diabts. 2. ESTIMACIÓN DE LOS COEFICIENTES EN EL MODELO DE REGRESIÓN LOGÍSTICA Vrmos primro algunas difrncias ntr un modlo d rgrsión linal y un modlo d rgrsión logística para una variabl xplicativa. A continuación prsntarmos un método gnral d stimación d parámtros, llamado Máxima Vrosimilitud. 2.1 Difrncias ntr los modlos d rgrsión linal y logístico El modlo logístico, pud sr xprsado n cualquira d las siguints formas: sindo p(x) = P(Y=1 X=x). ln (odds(x)) = o d manra quivalnt: + x E Y X x p( x) = + x, 1+ p( x) ln x 1 p( x) logit ( p( x ) ) = α + β x.

24 1) En rgrsión logística simpl l modlo stablc qu la transformación logit d la EY X x rlaciona linalmnt con la variabl rgrsora. En rgrsión linal simpl s rquir qu la E Y X x s rlacion linalmnt con la variabl rgrsora. 2) En l modlo logístico la variabl Y condicional al valor d la variabl X = x tin distribución binomial (0 ó 1). En rgrsión linal la variabl Y condicional al valor d la variabl X = x tin distribución normal. Por lo tanto la distribución d los rrors n ambos modlos s distinta. 3) En rgrsión linal la distribución d los rrors no dpnd d los valors d las variabls xplicativas pro n rgrsión logística sí dpnd: Es dcir, n rgrsión linal Y = α + β X + ε, dond los rrors ε ~N(0, σ 2 ) indpndints d X. Al fijar l valor d la variabl X, la variabl Y rsulta tnr distribución Normal: con lo cual Y X = x ~N (α + β x, σ 2 ), E(Y X = x) = α + β x. En rgrsión logística la variabl Y toma sólo dos valors 24 s Si Y X = x = 1 Si Y X = x = 0 con probabilidad p(x) con probabilidad 1 p(x), Al fijar l valor d la variabl X la variabl Y X = x rsulta tnr distribución Binomial Y X = x ~ Bi(1,p(x)). Por lo tanto, n rgrsión logística la variabl (x) podría dfinirs d la siguint manra: Equivalntmnt: (x) = Y X = x - E(Y X = x ) = Y X = x p(x). Y X = x = p(x) + (x). Pro, como Y X = x solo pud valr 0 ó 1, cuando la variabl rgrsora toma un cirto valor x l rror (x) sólo pud tomar dos valors: Si Y X = x = 1 ntoncs (x) = 1 p(x) con probabilidad p(x). Si Y X = x = 0 ntoncs (x) = p(x) con probabilidad 1 p(x). Notmos qu la distribución d los rrors n l modlo logístico dpnd dl valor d x, mintras qu sto no sucd n l modlo linal. En rgrsión linal stimamos los parámtros a través dl método d mínimos cuadrados. Bajo cirtos supustos usuals los stimadors tinn una sri d propidads stadísticas dsabls. Dsafortunadamnt cuando la rspusta s dicotómica los stimadors d mínimos cuadrados no mantinn sas mismas propidads. El método gnral d stimación qu coincid con l método d mínimos cuadrados n rgrsión linal cuando los rrors tinn distribución normal s llama máxima vrosimilitud Método d máxima vrosimilitud

25 Ida intuitiva. Usando l hcho d qu la variabl Y tin una distribución conocida (binomial), los parámtros s stiman con l método d máxima vrosimilitud (maximum liklihood). La ida dtrás d st método consist n pnsar qu la mustra obtnida, por habr ocurrido, db tnr alta probabilidad. Est método propon obtnr como stimación d los parámtros y aqullos valors ˆ y ˆ rspctivamnt, qu maximicn la probabilidad d obsrvar la mustra qu hmos obtnido. Esto s raliza maximizando la función dnominada función d vrosimilitud, qu mid la probabilidad d qu ocurran los valors mustrals obsrvados. No s posibl dar una xprsión algbraica para los stimadors d los parámtros. Sí s posibl mostrar la función d vrosimilitud y las cuacions qu dfinn a los stimadors. Los stimadors s obtinn rsolvindo itrativamnt s sistma d cuacions, dnominadas cuacions d máxima vrosimilitud. A continuación s prsntan brvmnt las idas dl método d máxima vrosimilitud, la función d vrosimilitud y las cuacions rsultants Dducción d las cuacions stimación por máxima vrosimilitud. Ajustar un modlo logístico ( x) p( x) ( x) (5) 1 a un conjunto d n datos (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ), significa stimar los valors d los parámtros dsconocidos y, n bas a los datos. El método d máxima vrosimilitud s un método gnral d stimación qu produc stimadors, qu n un sntido amplio, maximizan la probabilidad d obtnr l conjunto d datos obsrvados. Para aplicar st método dbmos construir la función d vrosimilitud. Esta función xprsa la probabilidad d obtnr los datos obsrvados n función d los parámtros dsconocidos. Los stimadors d máxima vrosimilitud s lign como aqullos valors qu maximizan sta función. En l marco dl modlo logístico, la probabilidad condicional qu Y tom l valor 1 cuando la variabl xplicativa X toma l valor x s P(Y = 1 X = x) = p(x), dond p(x) stá dada por la cuación (5). En forma similar P(Y = 0 X = x) = 1 p(x). Tnmos n obsrvacions (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ). Para aqullos pars (x i, y i ), n los qu y i = 1 la contribución a la función d vrosimilitud s p(x i ) y para aqullos n qu y i = 0 la contribución s 1 p(x i ). Esto pud xprsars n forma única: p( yi x i ) (1 x (1 yi ) p( i)) = 1 ( x ) ( x ) i i y i 1 1 ( x ) ( x ) i i 1 y i. (6) Como las obsrvacions s suponn indpndints (indpndncia d los casos), la función d vrosimilitud s obtin como producto d los términos dados n (6): L, n yi (1 yi ) ) p( xi ) (1 p( xi )) (7) i1 ( Los stimadors d máxima vrosimilitud s dfinn como los valors d los parámtros y, qu maximizan (7) (principio d máxima vrosimilitud) o qu maximizan l logaritmo d la función d vrosimilitud, l logliklihood:

26 26 ln( L (, )) n y ln(p( x )) (1 y )ln((1 p( x )) (8) i i i i i 1 Para obtnr los stimadors d máxima vrosimilitud ˆ y ˆ, dbmos drivar la xprsión (8) con rspcto a y igualar a cro, s dcir buscamos los puntos críticos. Los stimadors rsultan sr las solucions d las siguints cuacions: n i1 y n i1 i 1 x i y i ( ˆ ˆ x ) 1 ( ˆ ˆ x ) i ( ˆ ˆ x ) i ( ˆ ˆ x ) i 0 i 0 (9) (10) El stimador d máxima vrosimilitud d p(x i ) rsulta sr: pˆ( x) 1 ( ˆ ˆ x ). ( ˆ ˆ x ) Obsrvación: Una conscuncia intrsant d la cuación (9) s qu la suma d los valors prdichos s igual a la suma d los valors obsrvados. Por qué? i i Los stimadors d máxima vrosimilitud ˆ y ˆ s obtinn rsolvindo l sistma d cuacions (9) y (10) mdiant métodos itrativos. Maximizar ln( L (, )) s quivalnt a minimizar -2 ln( L (, )), s dcir prtndr una vrosimilitud alta s quivalnt a 2 ln d la vrosimilitud baja Volvmos al jmplo Si s ajusta únicamnt la constant: p( x) ln 1 p( x) Historial d itracions Coficints Itración -2 log d la vrosimilitud Constant 1 200,675 -, ,675 -,097 Si s ajusta l modlo con constant y una variabl xplicativa (SSPG):

27 27 p( x) ln x 1 p( x) Historial d itracions Coficints Itración -2 log d la vrosimilitud Constant SSPG Paso ,213-2,525, ,243-3,797, ,725-4,424, ,685-4,544, ,685-4,548, ,685-4,548,025 Vmos qu las stimacions d los coficints cambian con las itracions. En las primras cambian más, hasta qu s stabilizan: ˆ y ˆ Los dos modlos antriors compitn y dbmos dcidir qué modlo xplica mjor los datos mustrals. Por un lado tnmos l modlo con dos parámtros, qu corrspondn a la constant y a la variabl xplicativa SSPG. Por l otro lado, tnmos l a mnudo llamado modlo nulo o null dvianc. Cómo dcidimos qué modlo s mjor? Si un modlo tin una vrosimilitud claramnt suprior a la dl otro, ntoncs prfrimos l modlo más vrosímil. En cambio si las vrosimilituds son muy parcidas pud sr prfribl l modlo más sncillo, n l sntido qu incluya mnos parámtros. Est critrio d slcción d modlos s conoc como principio d parsimonia. Para contrastar los modlos vamos a tratar d stablcr si sus vrosimilituds son significativamnt distintas. Cómo lo mdimos? Ya vimos qu al trabajar con vrosimilituds, s técnicamnt vntajoso usar sus logaritmos.

28 28 Obsrvacions: El coficint -2 qu aparc dlant dl logaritmo sirv para qu la difrncia d dvianzas tnga una ditribución mustral (asintótica) sncilla. Por otro lado, hay qu pnsar, qu también stamos tratando d dcidir ntr dos hipótsis: H 0 : =0 vrsus H 0 : 0 Por lo tanto la dvianza s útil para comparar los dos modlos y contrastar H 0. Estadístico G dl Tst d Cocint d Vrosimilitud Si la hipótsis nula H 0 : = 0 s cirta ntoncs l stadístico 2 tin distribución asintótica o aproximada 1. G = D(modlo con = 0) - D(modlo con 0) Y una vz conocida sta distribución mustral s fácil usar G para hacr l contrast. diabtsglm<-glm(diabt~sspg,family=binomial(link="logit")) summary(diabtsglm) Call: glm(formula = diabt ~ sspg, family = binomial(link = "logit")) Dvianc Rsiduals: Min 1Q Mdian 3Q Max Cofficints: Estimat Std. Error z valu Pr(> z ) (Intrcpt) *** sspg *** --- Signif. cods: 0 *** ** 0.01 * (Disprsion paramtr for binomial family takn to b 1) Null dvianc: on 144 dgrs of frdom Rsidual dvianc: on 143 dgrs of frdom

29 29 La inclusión d la variabl SSPG al modlo produjo una rducción dl stadístico -2 ln d la vrosimilitud d 200,675 a 106,695. El procdiminto siguint mustra l rsultado dl tst para dcidir si sa rducción s stadísticamnt significativa. > diabtsglm$dvianc [1] > summary(diabtsglm)$dvianc [1] > -2*logLik(diabtsglm) 'log Lik.' (df=2) > summary(diabtsglm)$null.dvianc [1] > G=summary(diabtsglm)$null.dvianc - summary(diabtsglm)$dvianc > G [1] > pvalor<-pchisq(g,lowr.tail=false,df=1) > pvalor [1] Cuando tnmos una única variabl indpndint, l stimador d máxima vrosimilitud d, s dcir, stá dado por ln(n 1 /n 0 ) dond n 1 = y i y n 0 = (1-y i ). El valor prdicho st caso ˆ 1 p ( x) n / n. En n G 2 y ln( p( x )) (1 y )ln(1 p( x )) ( n ln( n ) n ln( n ) nln( n)) i i i i i 1 En st caso, tnmos una única variabl incluida n l modlo. Estamos tstando si l coficint d la variabl SSPG s stadísticamnt significativo como n l tst d Wald. Est tst s gnralmnt más potnt qu l tst d Wald. En ambos tsts, Wald y cocint d máxima vrosimilitud, s rquir calcular l stadístico d máxima vrosimilitud d. Est tst s pud gnralizar para valuar la hipótsis nula d qu los coficints d todas las variabls incluidas n l modlo (salvo la constant) son cro. Es comparabl al tst F global qu n la Tabla ANOVA s raliza para valuar si las variabls son globalmnt significativas n l modlo d Rgrsión Linal. Vrmos múltipls jmplos más adlant.

30 30 Rcordmos un instant la salida dl glm > diabtsglm<-glm(diabt~sspg,family=binomial(link="logit")) > summary(diabtsglm) Cofficints: Estimat Std. Error z valu Pr(> z ) (Intrcpt) *** sspg *** Null dvianc: on 144 dgrs of frdom Rsidual dvianc: on 143 dgrs of frdom Qué pasa si codificamos al rvés la variabl rspusta? Es dcir Y = 1 ausncia d diabts y Y = 0 prsncia d diabts. > diabt2<-1-diabt > diabtsglm2<-glm(diabt2~sspg,family=binomial(link="logit")) > summary(diabtsglm2) Cofficints: Estimat Std. Error z valu Pr(> z ) (Intrcpt) *** sspg *** Null dvianc: on 144 dgrs of frdom Rsidual dvianc: on 143 dgrs of frdom 3 EVALUANDO EL MODELO 3.1. Tst d Hosmr- Lmshow Un Tst d bondad d ajust, n gnral, lo qu hac s comprobar si l modlo propusto pud xplicar lo qu s obsrva. Es un tst dond s valúa la distancia ntr lo obsrvado n los datos qu tnmos y lo sprado bajo l modlo supusto.

31 31 Existn distintos mcanismos para hacr st análisis. Una posibilidad consist n buscar un rsumn global dl ajust dl modlo, un númro qu nos prmita hacrnos una ida inicial d la situación. En l modlo d rgrsión linal l coficint d corrlación R jugaba s papl. Un valor alto d R no significaba automáticamnt qu l modlo fura buno, sin mbargo, un valor bajo ra garantía d qu l modlo no staba hacindo bin su trabajo. Vamos a buscar una hrraminta similar para l modlo d rgrsión logística qu nos sirva como una pruba prliminar global dl modlo. Cómo podmos construir s indicador global? En rgrsión linal pnsábamos n la difrncia ntr los valors obsrvados d la variabl rspusta y i y los valors sprados, qu son los valors prdichos para l modlo, s dcir ŷ i. D sta forma studiábamos l rror cuadrático, qu ra una rprsntación global d sas difrncias: S trata d comparar valors obsrvados frnt a valors prdichos por l modlo. Un problma al tratar d trasladar sta idas al curso d rgrsión logística, s qu n st caso l modlo no prdic valors d Y sino probabilidads. Cómo s construyn los valors obsrvados y sprados qu intrvinn n l stadístico dl tst? 1) S ordnan (d mnor a mayor) los casos d acurdo con la probabilidad prdicha. 2) S dividn n g = 10 grupos con la misma cantidad d casos (s pud tomar otra cantidad d grupos pro sta s la habitual). El primr grupo (primr dcil) consist d los n/10 casos con los valors mas bajos d probabilidad prdicha (primr dcil), l sgundo grupo (sgundo dcil) stá constituido por los n/10 individuos con los valors siguints d probabilidad prdicha, tc. En la práctica, no s simpr posibl formar grupos d xactamnt l mismo tamaño. Esto ocurr porqu l conjunto d datos no ncsariamnt s divisibl por 10 y porqu todas las obsrvacions con l mismo valor n las variabls xplicativas, tndrán la misma proporción stimada y starán n l mismo grupo. 3) Cada una d las catgorías antriors s dividida nuvamnt n dos grupos n bas al valor d la variabl rspusta. S calculan las frcuncias obsrvadas y las frcuncias spradas para cada una d las 20 cldas: Para cada una d las 10 grupos y para Y=1 (Diabt=1): - Obs1 i = la cantidad total d valors obsrvados (con uno) = suma d los valors d la variabl Y, para l i-ésimo dcil. - Esp1 i = los valors stimados o sprados = suma d las probabilidads stimadas para todos las casos dl i-ésimo dcil. Por qué s razonabl stimar d sta forma? Supongamos qu tnmos 10 obsrvacions indpndints: Obs P(Y=1) 1 0,4 2 0,4 3 0,4 4 0,4 5 0,4

32 32 Sumar 10 vcs 0.4 s igual a ,4 7 0,4 8 0,4 9 0,4 10 0,4 Por otro lado, l valor sprado o spranza d una variabl alatoria dl tipo binomial con 10 rpticions indpndints y con p(x) = 0.4 s np = 4. Es dcir spramos qu n 10 obsrvacions, 4 san dl tipo éxito ó 1. Lugo tin sntido sumar las probabilidads stimadas para todos los casos dl grupo. Por último, rcordmos qu d la primra cuación d máxima vrosimilitud n i1 y i 1 ( ˆ ˆ x ) ( ˆ ˆ x ) i i 0 s dduc qu la suma d los valors prdichos s igual a la suma d los valors obsrvados. Por qué? Volvindo a la construcción dl tst y rptimos d manra análoga para cada una d las 10 cldas y para Y=0 (Diabt = 0) - Obs0 i = la cantidad total d valors obsrvados (con cro) = Total d Casos n la casilla Obs1 i. - Esp0 i = los valors stimados o sprados = Total d Casos n la casilla Esp1 i. 4) El grado d ajust s obtin calculando l stadístico d Chi-cuadrado d Parson para una tabla d contingncia d 2g grupos: O bin: g k 1 n ( Obs1 Esp1 ) k i i Esp1 ( n Esp1 ) dond k indica l grupo (k = 1,,g) y n k s l total d casos n la casilla. Si la hipótsis nula H 0 = {l modlo logístico prdic bin las probabilidads obsrvadas} s cirta, ntoncs l stadístico dl tst tin una distribución qu s aproxima a la distribución chi-cuadrado con g 2 grados d librtad. Para la mayoría d los conjuntos d datos g = 10 y los grados d librtad son 8. i i i 2

33 33 > HL.tst<-hoslm.tst(diabt,prdichos,g=10) > HL.tst Hosmr and Lmshow goodnss of fit (GOF) tst data: diabt, prdichos X-squard = , df = 8, p-valu = Otros comandos qu pudn sr d intrés > HL.tst$statistic X-squard > prdichos<-diabtsglm$fittd.valus > ordr(prdichos) [1] [17] [33] [49] [65] [81] [97] [113] [129] [145] 141 > prdichos[ordr(prdichos)]

34 Los intrvalos stán dfinidos a partir d los dcils o prcntils d las probabilidads stimadas ( pˆ1... pˆ n ). > HL.tst$obsrvd cutyhat y0 y1 [0.0216,0.046] 15 1 (0.046,0.0914] 13 0

35 35 (0.0914,0.14] 15 1 (0.14,0.238] 10 3 (0.238,0.371] 9 6 (0.371,0.652] 7 7 (0.652,0.826] 3 11 (0.826,0.91] 3 12 (0.91,0.976] 1 13 (0.976,0.999] 0 15 > HL.tst$xpctd cutyhat yhat0 yhat1 [0.0216,0.046] (0.046,0.0914] (0.0914,0.14] (0.14,0.238] (0.238,0.371] (0.371,0.652] (0.652,0.826] (0.826,0.91] (0.91,0.976] (0.976,0.999] El método d Hosmr-Lmshow s un tst para la bondad dl ajust. Nos intrsan modlos para los cuals no s rchac la hipótsis d igualdad ntr los valors obsrvados y los valors prdichos por l modlo, lo qu implicaría qu l modlo ajusta a los datos bastant bin. En gnral no rchazamos una hipótsis nula cuando l p-valor dl stadístico dl tst s mayor a 0,05. Pro n un tst d bondad d ajust, cuanto más pquño s l valor dl stadístico y n conscuncia cuanto más crcano a 1 s su p-valor, mjor s l ajust. Es important ntndr qu st contrast NO proporciona una mdida d la calidad d las prdiccions individuals dl modlo para cada valor obsrvado d la variabl xplicativa. Es dcir, qu aunqu l contrast d HL no sa significativo (para rchazar), todavía pud ocurrir qu alguna d las prdiccions dl modlo (valors sprados) s alj d los valors obsrvados. Para valorar s ajust a nivl individual s ncsario un análisis similar al d los rsiduos qu hacíamos n rgrsión linal y la discusión d los concptos como l d valors atípicos, puntos influynts, tc, s dcir un diagnóstico dl modlo. Para qu l stadístico d HL tnga una aproximación razonabl a la distribución chi-cuadrado algunos autors sugirn qu haya suficints casos como para qu l 95% d las cldas tngan una frcuncia sprada mayor a 5 y ninguna mnor a 1. Otros autors sugirn ninguna frcuncia sprada mnor qu 5. Sin mbargo s sul sr más flxibl qu utilizar la rcomndación habitual para tablas con aproximadamnt 20 cldas. Estas condicions no s cumpln n l jmplo. Dos stratgias son posibls ant st problma. La primra consist n aumntar l tamaño d la mustra, la sgunda n colapsar los grupos. H-L sugirn qu no s utilic su tst con mnos d g = 6 class porqu casi simpr s obtndrá qu l modlo ajusta.

36 36 Un valor alto dl stadístico H-L (bajo p-valor), s un indicador claro sobr la prsncia d un problma n l modlo. Sin mbargo, l stadístico d H-L s una mdida rsumn, por lo qu pud no indicar cirtos comportamintos locals. Un valor pquño d H-L no xcluy la posibilidad d un aljaminto dl modlo para pocos individuos. Cuando l tamaño d la mustra no s un múltiplo d 10 o hay mpats, s dcir qu distintos casos tinn valors coincidnts d las variabls xplicativas l valor dl stadístico d H-L dpnd d cómo s asignn los casos a los dcils. Los autors sugirn qu dbrían sr asignados d manra d obtnr qu todos los grupos tngan totals tan crcanos a n/10 como sa posibl. Las difrnts stratgias d agrupaminto no han sido studiadas con suficint dtall como para rcomndar alguna n particular. 3.2 Tablas d clasificación Comncmos con l modlo qu sólo tin intrspt. > diabtsglm0<-glm(diabt~1,family=binomial(link="logit")) > summary(diabtsglm0) Call: glm(formula = diabt ~ 1, family = binomial(link = "logit")) Dvianc Rsiduals: Min 1Q Mdian 3Q Max Cofficints: Estimat Std. Error z valu Pr(> z ) (Intrcpt) (Disprsion paramtr for binomial family takn to b 1) Null dvianc: on 144 dgrs of frdom Rsidual dvianc: on 144 dgrs of frdom AIC: Numbr of Fishr Scoring itrations: 3 El ajust dl modlo logístico con una constant únicamnt rsulta n la siguint stimación: log( pˆ /(1- pˆ ) = -0,097

37 37 Dond p s la probabilidad stimada d tnr diabts Por lo tanto pˆ = -0,097 / (1+ -0,097 ) = 0,476 Los prdichos dan los valors d pˆ > prdichos<-diabtsglm0$fittd.valus > ordn<-ordr(sspg,dcrasing=true) > tabla<-cbind(sspg,diabt,prdichos)[ordn,] > tabla sspg diabt prdichos > clasificacion<-ifls(prdichos>0.5,1,0) > tabla2<-cbind(sspg,diabt,prdichos,clasificacion)[ordn,] > tabla2 sspg diabt prdichos clasificacion

38 Como la probabilidad stimada d tnr diabts s mnor a 0,5 TODOS los casos son clasificados como DIABET = 0 y s obtin la tabla d clasificación siguint. > tabla3<-tabl(clasif=clasificacion,y=diabt) > tabla3 Y clasif > rrors<-which(tabla2[,2]!=tabla2[,4]) > tasaacirtos<-1-lngth(rrors)/lngth(sspg) > tasaacirtos [1] Cuando s incluy la variabl SSPG al modlo logístico rsulta: > diabtsglm<-glm(diabt~sspg,family=binomial(link="logit")) > summary(diabtsglm) Call: glm(formula = diabt ~ sspg, family = binomial(link = "logit")) Dvianc Rsiduals: Min 1Q Mdian 3Q Max Cofficints:

39 39 Estimat Std. Error z valu Pr(> z ) (Intrcpt) *** sspg *** --- Signif. cods: 0 *** ** 0.01 * (Disprsion paramtr for binomial family takn to b 1) Null dvianc: on 144 dgrs of frdom Rsidual dvianc: on 143 dgrs of frdom AIC: Numbr of Fishr Scoring itrations: 6 y l modlo logistico ajustado s log( pˆ (x) /(1- pˆ (x)) = -4, ,025 * x Por lo tanto pˆ (x) = -4, ,025 * x / (1+ -4, ,025 * x ) La probabilidad stimada d tnr diabts ahora dpnd dl valor d la variabl xplicativa. Cuando sa probabilidad stimada s mnor a 0,5 l dato s clasificado como DIABET = 0 y si s mayor a 0,5 como DIABET=1, obtniéndos los siguints rsultados. > prdichos<-diabtsglm$fittd.valus > ordn<-ordr(sspg,dcrasing=true) > tabla<-cbind(sspg,diabt,prdichos)[ordn,] > tabla sspg diabt prdichos pˆ (480)= Pˆ (Y=1 X=480)