Guía de estudio Primera prueba Matemáticas II

Transcripción

1 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios Universidd de Chile Progrm Acdémico de Bchillerto Mtemátic II Gí de estdio Primer pre Mtemátics II Integrles de fnciones eponenciles logrítmics Fnciones eponencil logrítmic Sólidos de revolción lrgo de n crv Frcciones prciles

2 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios Clclr integrles por prtes qe involcrn eponenciles logritmos. loglog i d Solción: Se integr por prtes d log v loglog dv log ii coslog d Solción: Tmién por prtes hcemos l trtmos de l sigiente form, d v coslog dv sinlog De nevo por prtes, d v sinlog dv coslog log d cos log sin log cos log cos d

3 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios iii e d Solción: d e dv e v, esto es porqe si integro cmio de vrile e e, l hcer el iv log d Solción: d v dv log log Ahor deemos resolver d v log dv log d, por prtes de nevo

4 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios Clclr ls sigientes integrles por cmio de vrile trigonométrico o eponencil ests integrles involcrn eponenciles logritmos. Pr ls sigientes integrles será necesrio recordr: sec d ln csc d ln sec tn csc cot i d Solción: d ii d iii Solción:

5 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios iv d Solción: v d Solción: Lego st clclr l integrl de sec d, sndo integrl por prtes. sec d sec tn dv sec v tn

6 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios sec sec d sec sec tn sec sec d sec tn d sec tn sec sec sec tn secd sec tn lnsec tn d d d Reemplzndo, sec sec d d sec d sec d sec tn lnsec tn sec tn lnsec tn lnsec tn Devolviéndonos en el cmio de vrile vemos l geometrí. Lego, sec cos sin tn Ls sigientes integrles sponen sstitciones de distintos tipos. Lo qe no se pede sstitir es l gdez de ingeni, pero eiste n regl generl segir: sstitúse n epresión qe prezc con frecenci o de modo prominente; si precen dos epresiones dificltoss, inténtese epresrls en términos de lgn epresión nev. Y no se olvide qe, por lo generl reslt útil epresr directmente en fnción de, pr hllr l epresión decd qe h de ponerse en vez de d.

7 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios i e d Solción: d Por frcciones prciles, 0 ii e d Solción: L sstitción e llev n integrl qe eige todví otr sstitción; esto está ien, pero ls dos sstitciones peden hcerse l vez. d Por frcciones prciles, Reemplzmos, en ls frcciones nteriores.

8 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios 0 d ln ln d d e ln e ln e d iii Solción: iv e d Solción: Por ltimo no qe tiene cmio de vrile, rcionlizción, cmio de vrile trigonométrico, etc. v d Solción:

9 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios Esto v pr los qe qieren integrr más rjido

10 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios

11 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios Aplicciones de l Integrl: sólidos de revolción Volúmenes, lrgo de crvs, etc. L ección descrie n elipse centrd en el origen del plno de coordends. Clcle el solido de revolción de l elipse nteriormente descrit el áre qe encierr l ección. Solción: Pr resolver este prolem ocpremos l forml pr encontrr el sólido de revolción. Solido f d Lego, podemos escriir de l sigiente form l ección ± Lego, si representmos f qe es gráficmente lo sigiente: f - Reemplzndo en l forml pr sólido de revolción tenemos,

12 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios [ ] d d d f Volmen Ahor, pr clclr el áre qe encierr l ección de l elipse solo st integrr f mltiplicrlo por, pes f solo nos d l mitd sperior. d d d f Áre El próimo pso es hcer n cmio de vrile trigonométrico. sin sin cos sin sin d d d d cos sin Usndo sin cos sin cos cos cos sin d d Ahor sndo l propiedd trigonométric cos cos

13 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios cos d cos cos d sin d sin cos sin cos 0 0 [ ] Pero como hemos solo clcldo l mitd del áre deemos mltiplicr dos el resltdo. Áre f d Notr qe l circnferenci es n cso prticlr de l elipse, cndo. Solción: Como el circlo gir en torno l eje verticl deemos despejr l invers de o se l invers de f, qe ásicmente es despejr.

14 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios 0 ± ± ± Nestro represent l crv qe está desde hci l derech, constite l mitd de l circnferenci, represent l crv l izqierd de l otr mitd de l circnferenci. Si hcemos rotr tendremos n pstill sólid, o se con el heco relleno, pero si hcemos rotr tmién se lo restmos l pstill nterior otendremos l don o nemático qe qeremos. d f Volmen [ ] sin sin cos sin 0 0 d d d d d d d d d Reemplzndo el cmio trigonométrico, d d cos Ocpndo cálclo ejercicio nterior, _ cos Toro Volmen d

15 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios Clclr el volmen del sólido generdo l girr l región limitd por f g en torno l rect, como se mestr en l figr sigiente. Solción: f f-g - Comenzremos por hllr los pntos de corte de f g. Iglndo fg. ± Pr clclr el rdio el lto del rectánglo mrillo, deemos restr ls dos ecciones. R f g V R d d d Definición de lrgo de n crv: represent n crv sve en el instnte [ ] Si l fnción f longitd de rco de f entre viene ddor por: Dis tn ci [ f ] d, l

16 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios Un ojeto volnte sle del origen sciende por el eje. Al mismo tiempo n persegidor prte del pnto,0 se dirige en todo momento hci él con velocidd dole qe l s. L ección de trectori del persegidor es, Cánt distnci recorrido el ojeto el ojeto en el instnte de ser cptrdo cnto recorrido s persegidor? Solción: Lo primero qe deemos hcer es clclr l distnci recorrid por el persegidor lego clclr l distnci recorrid por el ojeto. ` d d Pr clclr l distnci recorrid por el ojeto st tomr f0/, esto implic qe el ojeto recorrido / por el eje. En cmio s persegidor recorrido /. Notr qe el persegidor llev el dole de l velocidd del ojeto, por ello otenemos qe el persegidor recorre e dole de l distnci qe recorre el ojeto.

17 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios Clcle l longitd de l crv de cosh Solción:, pr [, ] Ocpemos Dis tn ci [ f ] d, lego f cosh f sinh [ sinh ] d, deemos ocpr qe cosh sinh cosh sinh Entonces tenemos, sinh sinh [ sinh ] d cosh d sinh sinh 5. L figr mestr n líne telefónic qe celg entre dos postes, en en. Tom l form de n ctenri, c ección es c cosh Y i Clcl l longitd del cle en términos de ls constntes positivs, c. ii Dos postes telefónicos están 50 pies de distnci l longitd del cle entre ellos es de 5* pies, si el pnto más jo del cle dee estr 0 pies de ltr respecto l selo, Cn lto dee sjetrse el cle? Solción: - 0 L demostrción de est propiedd es stnte simple, solo se dee considerr los sinh cosh como n eponencil.

18 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios i Es el cálclo qe hemos hecho repetitivmente, lo do de inmedito. Dis tn ci [ f ] d sinh ii El ojetivo es encontrr c cosh tengo ls sigientes ecciones: 50 5 Distnci entre los postes c 0 El pnto más jo del cle dee estr 0 pies de ltr, primer derivd igl cero, segnd mor qe cero, implic mínimo locl. f c cosh f sinh f 0 cosh > 0 Lo qe implic qe es n mínimo f 0 c 0 5 sinh 5 sinh 5 rcsin h Resolción de l integrl de lrgo de n crv. 5 5 rcsin h 5 c 0 5 rcsin h c cosh

19 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios coshrcsin h 5 5 rcsin h rcsin h Notr qe 5 define l ltr del poste, pes s se se encentr en Un crisis económic hce qe los ingresos nles de n compñí hn descendido de $7.000 en 988 $6.000 en 990. Si los ingresos sigen n comportmiento eponencil de decrecimiento, Cál se s vlor en 99? Solción: Considerremos t igl cero, en el ño 988. kt Lego, sremos el modelo eponencil ce, donde medimos t en ños. Por condición inicil C, semos qe c Lego, el ño 990 represent el ño t , pes hemos considerdo 988 como t 0. Sigiendo cndo t, lego tenemos e 0,85 e k / ln ln0,85 k ln0,85 k 0,08 k Finlmente, en el ño 99 t ingresos de l compñí sen igles, podemos esperr qe los 7.000e k 7.000e 0, Se dee tener clro qe lo qe se reselve en este tipo de prolems son ls ecciones diferenciles de l form k. 6. Ls vents S en miles de niddes de n prodcto nevo, despés de estr en el mercdo drnte t ños, vienen dds por n fnción eponencil S ce k t Hllr S en fnción de t, si se hn vendido 5000 niddes despés de ño, el pnto de strción el mercdo es de Cánts niddes se hn vendido en 5 ños? c Dijr n grfic de est fnción de vents. Solción:

20 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios k t Usremos el modelo eponencil s ce por condición inicil se define C., donde medimos t en ños, L strción se pede interpretr como el lim S limce t t k t, n nálisis conveniente stnte ceptdo es scr el máimo de l fnción vents S, el resltdo de ese nálisis es el limite descrito nteriormente. k ce t lim c, lego como l strción es n dto c t Tmién semos por enncido qe en el ño se hn vendido 5000 niddes, qe se trdce e k 6 ln6 k Finlmente S, es igl l fncións t 0000e ln6 En solo st reemplzr t 5, en l fnción vents s. ln 6 5 S e 0965 Se dee tener clro qe este prolem específico es resolver l ección k diferencil de l form. t

21 Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios