Mtrices y deterites MRICES U triz de x c eleets e se defie c u rregl de l fr dde,,, y, Iguldd de Mtrices Ávil Núñez Mrí del Rcí Rdríguez Chávez Rslb b b b b b b b b b Se M y M b ds trices del is rde, pdes decir que s igules, l que se represets c M M, sí: dició b ; pr i=,,, y j=,,, Se M y M b ds trices del is rde, l dició de M triz M 3 c, l perció está defiid pr: b c ; pr i=,,, y j=,,, Cuple c ls siguietes prpieddes: scitividd Cuttividd M M M M M M 3 3 M M M M Eleet Idétic, existe u triz 0 tl que M 0 M Eleet Neutr, existe u triz M tl que M M 0 Sustrcció Se M y M b ds trices del is rde, l sustrcció M triz M 3 c, l perció está defiid pr: M M M M dde b c ; pr i=,,, y j=,,, Multiplicció M y M M es u M es u
Mtrices y deterites Se M de rde x y M b de rde xp, l ultiplicció de M * M es u triz M 3 c de rde xp, l perció está defiid pr: c b ; pr i=,,, y j=,,, ik kj k Cuple c l siguiete prpiedd: scitividd M M M M M M 3 3 dde M es de rde x, M de rde xp y M 3 de rde pxr. Distributividd Se M de rde x, M de rde xp, M 3 de rde xp, M 4 de rde x, etes: M M M3 MM MM 3 M M M M M M M 4 4 Multiplicció pr u esclr Se M u triz de rde x c eleets e y, el prduct pr u esclr pr: M es u triz M b del is rde que Cuple c ls siguietes prpieddes: c ; pr i=,,, y j=,,, M, l perció está defiid scitividd M M Cuttividd M Distributividd M M M M M M M M Mtriz Idetidd Se u triz de rde x l cul pdes deir cudrd de l fr Ávil Núñez Mrí del Rcí Rdríguez Chávez Rslb
Mtrices y deterites I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Se ll triz idetidd I, tl que:, si i j y 0, si i j se le cce c delt de Krec ker Cuple c ls siguietes prpieddes: I M M MI M dde es u triz de x. Mtriz Ivers Pr u triz M, es psible hllr u trix X deid ivers y se represet c, tl que: XM I ó I MX M ls trices pr ls cules existe ivers se les cce c sigulres. Se M y M ds trices sigulres del is rde y siguiete: λ, etces cuple c l M es úic M M M M M M M M, si 0 M M M M M djm detm Ávil Núñez Mrí del Rcí Rdríguez Chávez Rslb dde dj es l djut de.
Mtrices y deterites Mtrices eleetles U triz eleetl es quell que se btiee plicd I u trsfrció eleetl y se represet c: i, j I si se btiee itercbid ls regles i y j de I. ki ki I si se btiee ultiplicd pr u úer I el regló i I k i, j de I. si se btiee ultiplicd pr k el regló i de I y el resultd l regló j. sud Si es u triz de x c eleets e C, etces: i, j I es l triz que se btiee itercbid ls regles i y. j de l triz. ki I es l triz que se btiee ultiplicd k el regló i de..l triz. ki, j I es l triz que se btiee sud l regló j de l triz el regló i ultiplicd pr k. Ls trices eleetles s sigulres. El prduct de trices eleetles es u triz sigulr. Ecucies c trices Ls ecucies triciles, puede reslverse siguied el is prcediiet que se eple pr reslver ls ecucies plteds c úers; est es, trtd de "despejr" l icógit e téris de ls trs eleets que iterviee e l ecució respetd el álgebr de trices. ips especiles de trices cudrds Digl pricipl, triágul superir y triágul iferir E u triz cudrd puede distiguirse tres "regies": Ávil Núñez Mrí del Rcí Rdríguez Chávez Rslb
Mtrices y deterites.......................... 3 3 3 3 33 3 3 L "digl pricipl", cstituid pr ls eleets eleets de l fr ii. tles que i riágul Superir Digl pricipl riágul Iferir j ; es decir pr ls El "triágul superir", cstituid pr ls eleets El "triágul iferir", cstituid pr ls eleets rz tles que i j. tles que i > j. Se u triz de x c eleets e C. Se ll trz de, y se represet c tr, l úer. i Si y B s ds trices de x c eleets e C y : tr B= tr tr B tr = tr tr B = tr B ii Mtrices trigulres Se u triz de x c eleets e C. Se dice que: es trigulr superir si 0 pr i j es trigulr iferir si 0 pr i j Si y B s ds trices trigulres superires (iferires) del is rde y, etces: B es trigulr superir (iferir). es trigulr superir (iferir). Ávil Núñez Mrí del Rcí Rdríguez Chávez Rslb
Mtrices y deterites B es trigulr superir (iferir) Mtriz digl y triz esclr Se u triz de x c eleets e C. Se dice que es u triz digl si 0 pr i j, y se represet c: di g(,,..., ) Si y B s ds trices digles tles que =di g(,,..., ) y B=di g( b, b,..., B ) y, etces: +B=di g( b, b,..., b ) =di g(,,..., ) B=di g( b, b,..., b ) s es sigulr. = di g(,,..., ), i rspsició Se u triz de x c eleets e C. Se ll trspuest de l triz de x c tl que c ji Si y B s ds trices c eleets e C y, etces: ( ) ( ) ( B) B, si B puede bteerse ( B) B, si B puede bteerse Mtrices siétrics y tisiétrics Se u triz de x c eleets e C. Se dice que: es siétric si es tisiétric si Si y B s ds trices siétrics (tisiétrics) de x c eleets e C y, etces: +B es siétric (tisiétric) es siétric (tisiétric) Ávil Núñez Mrí del Rcí Rdríguez Chávez Rslb
Mtrices y deterites Si es u triz de x c eleets e C, etces: es siétric es tisiétric Se Cjugció u triz de x c eleets e C. Se ll cjugd de l triz de x c tl que c ji Si y B s ds trices c eleets e C y B B, si B puede bteerse B B, si B puede bteerse, etces: Mtrices reles e igiris Se u triz de x c eleets e C. Se dice que: es rel si es igiri si Si y B s ds trices reles (igiris), etces: B es rel, (igiri), si +B puede bteerse B es rel (rel), si B puede bteerse Si es u triz de x c eleets e C, etces: es rel es igiri Cjugció-trspsició. Se u triz de x c eleets e C. Se ll cjugd-trspuest de, y se represet c *, l triz de x defiid pr Si es u triz de x c eleets e C, etces: Ávil Núñez Mrí del Rcí Rdríguez Chávez Rslb
Mtrices y deterites Si y B s ds trices c eleets e C y, etces: ( ) ( ) ( B) B, si B puede bteerse ( B) B, si B puede bteerse Mtrices heritis y tiheritis Defiició: Se c x i) es heriti si * ii) es tiheriti si * iii) U triz heriti se distigue prque ls eleets de l digl pricipl de l triz s reles y ls eleets siétrics c respect l digl pricipl s cjugds etre sí. Prpieddes: ) B es heriti, si y B s heritis ) * es heriti 3) * es heriti, * * 4) * es heriti, si x Mtriz tiheriti U triz tiheriti se recce prque ls eleets de l digl pricipl s igiris purs cers y ls eleets siétrics c respect l digl pricipl s igules e l prte igiri y e l prte rel difiere de sig. Se puede bteer tr triz tiheriti de tr que l es, utilizd l prpiedd -* es u triz tiheriti si es cudrd. Mtriz rtgl Si B es rtgl etces B B El prduct put etre regles es cer. El prduct put etre clus es cer. El deterite de u triz rtgl es det Ávil Núñez Mrí del Rcí Rdríguez Chávez Rslb
Mtrices y deterites Mtriz Uitri * sí es cudrd c eleets e : Prpieddes * I ; etces es u triz uitri. El deterite de u triz uitri es det Pteci de u triz L triz es ivlutri si I Mtriz ideptete de si cuple que L triz es ilptete si 0 L triz es periódic si Pteci de trices 0 I Deterites Hy diverss étds pr el cálcul del vlr del deterite. E este cs se utilizrá el cálcul del vlr del deterite pr l regl de Srrus Recrdd: 33 33 3 3 33 33 33 El icveiete es que si quisiers clculr u deterite de u triz de yr rde y se pdrí efectur, l regl de Srrus úicete se puede utilizr pr deterites de trices de x y 3x3. Ávil Núñez Mrí del Rcí Rdríguez Chávez Rslb
Mtrices y deterites Métd de cfctres Utilizd el étd de cfctres, que dice que si B úer tl que r, etces: b c eleets e C, y r, r es u x ) ) det B ( ) j det B ( ) i r j ir b M rj b M ir rj ir Se elegirá quel regló clu que teg el yr úer de cers psibles Métd de l triz triágulr E este cs se utilizrá el cálcul del vlr del deterite de u triz trigulr, e que dich vlr se btiee del prduct de ls etrds de l digl pricipl. Utilizd trsfrcies eleetles reducires l triz hst bteer l triz trigulr superir. Prpieddes de deterites.- C C ) C C, supied que C existe 3) det(cd)=det (C )det(d) 4) Si tds ls eleets de u fil clu de u deterite s uls, el vlr del deterite es ul. 5) Si u deterite tiee ds fils clus prprciles el deterite es cer. 6) Si tds ls eleets de u fil clu se ultiplicd pr u esclr, el vlr del deterite qued ultiplicd pr dich esclr. OrdeDeLMtriz 7) C C C 8) Si se itercbi u regló pr tr l deterite se le cbi el sig. Si se itercbi u clu pr tr, l deterite se le cbi el sig. Se tiee su vlr bslut. 9) L triz es u triz trigulr superir. Pr l que el tere dice: Si C C es u triz trigulr (iferir) (superir), etces el detc = prduct de ls det C C etrds de l digl pricipl, es decir, i Ávil Núñez Mrí del Rcí Rdríguez Chávez Rslb ii
Mtrices y deterites 0) Si u fil clu de u deterite se le su el últipl de culquier tr (fil clu), el vlr del deterite vrí. ) Si det() =0, es u triz sigulr ) Si det () 0, es u triz sigulr PROPIEDD DE L DJUN: (dj )=(dj ) = det () I dde es u triz cudrd de rde. Regl de Crer Se u siste de ecucies lieles c icógits, x x... x b x x... x b x x... x b Y se = [ ] su triz de ceficietes. Etces Si det 0 x k = det k det, k =,,, dde k = [c ] es tl que C, pr j k bi, pr j k Bibligrfí: SOLR G. E., L. Spezile, putes de Álgebr Liel. 3ª. Edició, Méxic, Lius-Fcultd de Igeierí-UNM, 996 POOLE, D., Álgebr Liel. ª. Edició, Méxic, hs Editres, 006. GROSSMN, S.I., J.J. Flres G., Álgebr Liel. 7ª. Edició, Méxic. Mc Grw Hill, 0 Ávil Núñez Mrí del Rcí Rdríguez Chávez Rslb