ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL B. MEDIDAS DE VARIABILIDAD C. MEDIDAS DE FORMA RESUMEN: A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL So estadígrafos de poscó que so terpretados como valores que permte resumr a u cojuto de datos dspersos, podría asumrse que estas meddas equvale a u cetro de gravedad que adopta u valor represetatvo para todo u cojuto de datos predetermados. Estas meddas so: 1. Promedo Artmétco (Meda o smplemete promedo). Medaa. Moda 4. Promedo Geométrco 5. Promedo Poderado 6. Promedo Total 7. Meda Armóca Otras meddas de poscó so: Cuartles, Decles y Percetles B. MEDIDAS DE VARIABILIADAD So estadígrafos de dspersó que permte evaluar el grado de homogeedad, dspersó o varabldad de u cojuto de datos. Estas meddas so: 1. Ampltud o Rago. Varaca. Desvacó Estádar 4. Coefcete de Varabldad C. MEDIDAS DE FORMA Evalúa la forma que adopta la dstrbucó de frecuecas respecto al grado de dstorsó (clacó) que regstra respecto a valor promedo tomado como cetro de gravedad, el grado de aputameto (elevameto) de la dstrbucó de frecuecas. A mayor elevameto de la dstrbucó de frecueca sgfcará mayor cocetracó de los datos e toro al promedo, por tato, ua meor dspersó de los datos. Estas meddas so: 1. Asmetría o Sesgo. Curtoss Los Gráfcos de Cajas como dcadores de forma Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 1

A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 1. LA MEDIA ARITMETICA Para Datos No Agrupados. El promedo artmétco de u cojuto de valores ( x 1 x x... x ) es: x 1 x x1 x x... x Ejemplo: Durate los últmos días el valor de las compras e peródcos fue: { 5., 10., 7.0, 7.1, 10., 8., 9.4, 9., 6.5, 7.1, 6.6, 7.8, 6.8, 7., 8.4, 9.6, 8.5, 5.7, 6.4, 10.1, 8., 9.0, 7.8, 8., 5., 6., 9.1, 8.6, 7.0, 7.7, 8., 7.5 } El promedo artmétco del valor de las compras de peródcos es: x 1 x 50. 7. 8 Para Datos Agrupados. x k 1 f Dode: f Frecueca e la clase k-ésma Marca de clase e la tervalo k-ésmo Ejemplo: Para los gastos daros e peródcos del hotel agrupados e ua tabla de frecueca: Itervalo f h F H 5. - 6.1 5.65 0.094 0.094 6.1-7.0 6.55 5 0.156 8 0.50 7.0-7.9 7.45 9 0.81 17 0.51 7.9-8.8 8.5 7 0.19 4 0.750 8.8-9.7 9.5 5 0.156 9 0.906 9.7-10.6 10.15 0.094 1.000 TOTAL 1.000 El promedo artmétco es: 10 8 6 4 0 5.65 6.55 7.45 8.5 9.5 10.15 7.87 x k 1 f ( 5. 65 ) 5( 6. 55 ) 9( 7. 45 ) 7( 8. 5 ) 5( 9. 5 ) ( 1015. ) 519. 7. 87 Durate los días el hotel tuvo u gasto promedo e peródcos de 7.87 soles Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral

. LA MEDIANA Es el valor que ocupa la poscó cetral de u cojuto de observacoes ordeadas. El 50% de las observacoes so mayores que este valor y el otro 50% so meores. Para Datos No agrupados. ( 1) La ubcacó de la medaa de datos ordeados se determa por :. Ejemplos: E los 7datos ordeados: {4, 5, 5, 6, 7, 8, 9 } (7 1) La ubcacó de la medaa es: 4 Luego el valor de la medaa es: Me6 E los 8 datos ordeados: {, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9} (8 1) 5 6 La medaa se ubca e el lugar 4. 5 Luego el valor de la medaa es M e 5. 5 Para Datos Agrupados. c F-1 c Me L L f h Dode: L Límte Iferor del tervalo que cotee a la Medaa F -1 Frecueca Acumulada e la clase ateror -ésma f Frecueca e la clase que cotee a la medaa H -1 Frecueca Relatva Acumulada e la clase ateror -ésma h Frecueca Relatva e la clase que cotee a la medaa c Tamaño del tervalo de clase. ( 0. 50 H ) Ejemplo: Para los gastos daros e peródcos del hotel e ua tabla de frecueca: -1 Itervalo f h F H 5. - 6.1 5.65 0.094 0.094 6.1-7.0 6.55 5 0.156 8 0.50 7.0-7.9 7.45 9 0.81 17 0.51 7.9-8.8 8.5 7 0.19 4 0.750 8.8-9.7 9.5 5 0.156 9 0.906 9.7-10.6 10.15 0.094 1.000 TOTAL 1.000 10 8 6 4 0 5.65 6.55 7.45 8.5 9.5 10.15 Me7.8 La Medaa es: 0.9 8 0.9( 0 5 0 5) 7 0.. Me. 7. 0 7.8 9 0. 81 El 50% de los días el hotel gastó meos de 7.8 soles e la compra de peródcos 0.50 0.50 7.8 Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral

. LA MODA Es el valor, clase o categoría que ocurre co mayor frecueca y sus característcas so: - Puede o exstr o exstr más de ua moda - Su valor o se ve afectado por los valores extremos e los datos - Se utlza para aalzar tato la formacó cualtatva como la cuattatva - Es ua medda estable cuado e úmero de datos es reducdo. Para Datos No Agrupados. Por ejemplo, durate los últmos días el valor de las compras e peródcos fue: { 5., 10., 7.0, 7.1, 10., 8., 9.4, 9., 6.5, 7.1, 6.6, 7.8, 6.8, 7.1, 8.4, 9.6, 8.5, 5.7, 6.4, 10.1, 8., 9.0, 7.8, 8., 5., 6., 9.1, 8.6, 7.0, 7.7, 8., 7.5 } Moda Mo 7.1; Es el valor más frecuete, ocurre veces. Para Datos Agrupados. M o L d1 c d1 d Dode: d 1 (f - f -1 ) y d 1 (f - f 1 ) f Valor de la mayor frecueca Ejemplo: El gasto daro e peródcos del hotel AAA agrupados e ua tabla de frecueca: Itervalo f h F H 5. - 6.1 5.65 0.094 0.094 6.1-7.0 6.55 5 0.156 8 0.50 7.0-7.9 7.45 9 0.81 17 0.51 7.9-8.8 8.5 7 0.19 4 0.750 8.8-9.7 9.5 5 0.156 9 0.906 9.7-10.6 10.15 0.094 1.000 TOTAL 1.000 10 8 6 4 0 5.65 6.55 7.45 8.5 9.5 10.15 Mo7.6 d 1 9-5 4 d 9-7 c 0.9 Tamaño de Itervalo de Clase La moda estmada utlzado estos datos agrupados es: M o 4 7. 0 (0.9) 7. 0 0. 6 7. 6 4 Utlzado las frecuecas relatvas, la moda estmada es: 015. M o 7. 0 (0.9) 7. 0 0. 6 7. 6 015. 0. 06 7.6 El gasto daro e peródcos más frecuete es 7.6 soles Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 4

4. MEDIA GEOMÉTRICA Correspode al valor represetatvo cetral de observacoes secuecales y estrechamete relacoadas etre sí tales como tasas de: terés, flacó, devaluacó, varacó, crecmeto, dsmucó. El promedo geométrco de los valores: (... f ) es: t G FC1 FC... FCt ó t G f Dode f Valor fal y Valor cal Ejemplo: La tasa de terés mesual que se pagó por u préstamo recbdo por meses fue cambado mes a mes; e el prmer mes se pagó u terés de 15%, e el segudo mes 10% y e el tercer mes 16%.La tasa de terés promedo mesual que se pagó es: Mes 1 Tasa 0.15 0.10 0.16 Factor 1.15 1.10 1.16 (1.15)(1.10)(1.16) 1.4674 1.16 (1.6% mesual) G Ejemplo: El Producto Bruto Itero de u país durate los últmos cco años tuvo la evolucó sguete: Año1: 5%. Año : 0% Año: - 1% Año 4: % y Año5: 4%. La tasa de crecmeto aual promedo del PBI sería: 5 G (1.05)(1.00)(0.99)(1.0)(1.04) 1.0197 (1.97% aual) Ejemplo: Se recbó u préstamo de 0 soles por meses y al fal del período se pagó u total 1467.40 soles; Cuál fue la tasa promedo de terés mesual que se pagó? Mes 0 Mes 1 Mes Mes Saldo 0 1467.40 G 1467.40 1.16 0 (1.6%)mesual 5. PROMEDIO PONDERADO Cuado se desea ecotrar el promedo de valores ( 1... k ) que ocurre co frecuecas (f 1 f... f k ) dferetes se deberá poderar los valores observados co pesos dferetes: x K 1 W Dode los valores Wf / se deoma poderacoes o pesos Ejemplo: E ua ageca de vajes se ha veddo 00 pasajes a los precos sguetes: Preco de Veta (soles) Número de pasajes f Poderacó W 1 60 0.0 14 0.50 16 40 0.0 Total 00 1.00 El preco promedo de veta de los 00 pasajes: x 0. 0( 1 ) 0. 50( 14 ) 0. 0( 16 ) 1. 8 Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 5

6. PROMEDIO TOTAL Correspode al valor promedo represetatvo de grupos de observacoes separadas o dferetes y que podría estar cosoldadas e tablas de frecueca depedetes, por tato: 1 1... k T 1... k : Número de observacoes e el grupo -ésmo. : Promedo correspodete el grupo -ésmo Grupo A Grupo B Nota F Nota f 5-10 7.5 4 0-5.5 8 10-15 1.5 16 5-10 7.5 10 15-0 17.5 5 10-15 1.5 16 Total 5 15-0 17.5 6 Total 40 Promedo del grupo A: Promedo del grupo B: 4( 7.5 ) 16( 1.5 ) 5( 17. 5 ) 8(.5 ) 10( 7.5 ) 16( 1. 5 ) 6(17.5) x A 1.7 x B 10 5 40 k Promedo Total Grupo A 1.7 5 B 10.0 40 Totla 65 f x T 5( 1.7 ) 40( 10.0 ) 11.04 5 7. MEDIA ARMÓNICA El promedo armóco de los valores: ( 1... ) dode guo toma el valor cero es: H 1 1 x1 x 1 1... x x Este promedo se utlza para que los valores extremos o afecte al valor del promedo. Los valores extremos sí afecta cuado se usa el promedo artmétco o el promedo geométrco. Ejemplo: Calcular el redmeto promedo para el caso de tres automóvles que recorrero 500 klómetros y cada auto tuvo el redmeto sguete: Auto A B C Redmeto (Km/galó) 50 6.4 77.6 H 61.4 1 1 1 0.048911 50 6.4 77.6 Klómetros(CONSTANTE) galó Verfcacó: Auto Km Redmeto Total galoes A 500 50 10 B 500 6.4 8.018 C 500 77.6 6.44 Total 1500 4.4561 H 1500 61.4 4.4561 Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 6

Para Datos Agrupados PERCENTILES, CUARTILES Y DECILES Percetles: So 99 valores que dvde a u cojuto de datos e partes guales k c F-1 Pk L f L Límte Iferor del tervalo que cotee al Percetl F -1 Frecueca Acumulada e la clase ateror k-ésma f Frecueca e la clase que cotee al Percetl c Tamaño del tervalo de clase. k 1%, %, %,..., 97%, 98%, 99% Percetles Itervalo De Clase Marca de Clase Frecueca Absoluta f Frecueca Relatva h Frec.Acum. Absoluta F Frec. Acum. Relatva H 5. - 6.1 5.65 0.094 0.094 6.1-7.0 6.55 5 0.156 8 0.50 7.0-7.9 7.45 9 0.81 17 0.51 7.9-8.8 8.5 7 0.19 4 0.750 8.8-9.7 9.5 5 0.156 9 0.906 9.7-10.6 10.15 0.094 1.000 TOTAL 1.000 Ejemplo: El Percetl 80% de los gastos daros e peródcos estará e tervalo 5 ( / F ) c 80 1 0. 9( 5. 6-4 ) P80 % L 88. 9. 088 f 5 El 80% de los datos aalzados será meores a 9.088 y el 0% restate será superores Cuartles: So valores Q 1 ; Q y Q que dvde a los datos e 4 partes guales El Cuartl (Percetl 75%) se ubcará e el cuarto tervalo ( / F ) c 75 1 0. 9( 4 17 ) P75 % L 7.9 8.8 f 7 75% de los datos será meores a 8.8 y el 5% de los datos restates será superores Decles: So 9 valores D 1, D ; D ; D 4 ; D 5 ; D 6 ; D 7 ; D 8 y D 9 que dvde a u cojuto de datos e 10 partes guales. El Decl 7(Percetl 70%) se ubcará e el cuarto tervalo ( / F ) c 70 1 0. 9(.4-17 ) P70 % L 7.9 8.594 f 7 70% de los datos será meores a 8.594 y el 0% restate será superores a 8.594. 0.70 8.594 Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 7

Para Datos No Agrupados El lugar o poscó dode se ecuetra los cuartles para datos ordeados es: Cuartel Q 1 P 5% Q P 50% Q P 75% Poscó 5 ( 1) 50 ( 1) 75 ( 1) Ejemplo: Determe los cuartles y el decl 8 de los 1 datos ordeados sguetes: 10 11 11 1 1 1 1 1 14 15 17 18 0 Percetl Poscó Valor del Cuartel Q 1 P 5 0.5(11).5 Q 1 11(1-11)0.5 11.5 Q P 50 0.50(11)7 Q 1 Q P 75 0.75(11)10.5 Q 15(17-15)0.516 D 8 P 80 0.80(11)11. P 80 17(18-17)0.17. Ejemplo: Para la represetacó tallo hoja de los gastos e peródcos del hotel: Tallo Hojas 5 7 8 6 4 5 6 8 (9) 7 0 0 1 1 5 7 8 8 15 8 4 5 6 8 9 0 1 4 6 10 1 Determe los cuartles correspodetes a los datos ordeados: Cuartl Poscó Valor Q 1 P 5% 5( 1) Q 1 6.8(7.0-6.8)0.5 6.85 8.5 Q P 50% 50( 1) Q 7.8(7.8-7.8)0.50 7.80 16.5 Q P 75% 75( 1) Q 8.6(9.0-8.6)0.75 8.90 4.75 Etre qué valores está el 80% cetral de los gastos daros e peródcos? Percetl Poscó Valor P 10 10( 1) P 10% 5.7(6.-5.7)0.5.85. P 90 90( 1) P 90% 9.6(10.1-9.6)0.79.95 9.7 El 80% de los gastos daros e peródcos está defdo etre los 5.85 y 9.95 soles 0.10 0.80 0.10 5.85 9.95 Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 8

B. MEDIDAS DE VARIABILIDAD 1. AMPLITUD O RANGO Sea los valores: (x 1 x x... x ). La ampltud o rago de estos dato es A( max - m ). VARIANCIA Para Datos No Agrupados La varaca de los datos de esta muestra (x 1 x x... x ): 1 S 1 Ejemplo: Calcular la varaca de los cuatro datos sguetes (:, 4, 6 y 7 ) x S 1 1 4 6 7 0 5 4 4 1 Para Datos Agrupados 4 6 7 4 1 4(5) 10. La varaca de los valores: (x 1 x... x k ) que ocurre co las frecuecas (f 1 f... f k ) es: S 1 f 1 Ejemplo: Los gastos daros e peródcos del hotel agrupados e la tabla de frecueca: Los cálculos ecesaros para determar la varaca de los gastos daros so: Itervalo f f f² 5. - 6.1 5.65 16.95 95.7675 6.1-7.0 6.55 5.75 14.515 f 7.0-7.9 7.45 9 67.05 499.55 1 04.74 (7.8719) S 7.9-8.8 8.5 7 58.45 488.0575 1 1 8.8-9.7 9.5 5 46.5 47.815 9.7-10.6 10.15 0.45 09.0675 TOTAL 51.9 04.74. DESVIACIÓN ESTÁNDAR 1.671 Es ua medda de varabldad que correspode a la raíz cuadrada de la varaca. Este dcador tee la msma udad de medda e la que se expresa el promedo. S S 1.671 1.9 soles S1.9 Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 9

4. COEFICIENTE DE VARIABILIDAD Es ua medda de varabldad de los datos que se expresa e porcetaje e la cual se compara la desvacó estádar co el respectvo valor del promedo de los datos: S C. V. x x Grado de varabldad de los datos Coefcete de varabldad Co varabldad baja Meos de 10% Co varabldad moderada De 10% a 0% Co alta varabldad Más de 0% E el ejemplo ateror el coefcete de varabldad es: C. MEDIDA DE FORMA: ASIMETRIA O SESGO 1.9 C. V. x 16.4% 7.87 Evalúa el grado de dstorsó o clacó que adopta la dstrbucó de los datos respecto a su valor promedo tomado como cetro de gravedad. El coefcete de asmetría de Pearso es: ( M e ) AK S Grado de Asmetría Valor del Sesgo Smetría Perfecta Cero. El promedo es gual a la medaa Sesgo Postvo Postvo. Promedo mayor que la medaa Sesgo Negatvo Negatvo. Promedo meor que medaa Asmetría Postva Smétrca Asmetría Negatva (Promedo>Medaa) PromedoMedaa Promedo<Medaa E el ejemplo sobre los gastos daros e peródcos el Promedo es 7.87 le Medaa es 7.80 y la desvacó estádar 1.9, por tato el sesgo es lgeramete postvo 0.16 D. MEDIDA DE FORMA: CURTOSIS Evalúa el grado de aputameto de la dstrbucó, el coefcete es: K U P75 P5 ( P90 P10 ) Grado de Aputameto Valor de la Curtoss Mesocurtca (Dstrbucó ormal) 0.6 Leptocúrtca (Elevada) Mayor a 0.6 ó se aproxma a 0.5 Platcúrtca (Aplaada) Meor a 0.6 ó se aproxma a 0 K u0.6 K u>0.6 K u<0.6 Mesocúrtca Leptocúrtca Platcúrtca E el ejemplo de los gastos daros e peródcos como Q 8.8; Q 7.0; P 90 9.7 y P 10 6.1 la curtoss de la dstrbucó es 0.5; por tato, la dstrbucó es lgeramete platcúrtca. Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 10

GRÁFICOS DE CAJAS Tercer Cuartl: Q 8.8 Segudo Cuartl: Q 7.8 Prmer Cuartl: Q 1 7.0 Rago Itercuatílco: IQR Q -Q 1 8.8-7.01.8 Límte feror: Q 1-1.5(IQR) 7.0-1.5(1.8)4. Límte Superor: Q 1.5(IQR) 8.81.5(1.8)11.5 4. 7.0 7.8 8.8 11.5 La mtad (50%) de los datos so meores a 7.8 La mtad (50%) de los datos toma valores etre 7.0 y 8.8 La cuarta parte (5%) de los datos so meores a 7.0 (Ates de Prmer Cuartl) La cuarta parte (5%) de los datos toma valores etre a 7.0 y 7.8 La cuarta parte (5%) de los datos toma valores etre a 7.8 y 8.8 La cuarta parte (5%) de los datos so mayores a 8.8 (Después del Tercer Cuartl) Los datos tee mayor varabldad etre 7.8 y 8.8. Los datos superores a 11.5 y los datos ferores a 4. se deoma ATÍPICOS REGLA EMPÍRICA Cuado la dstrbucó de frecueca es smétrca: ( 68% ) 7.87 6.577 9.16 5.84 ( 95% ) 10.456.991 ( 99.7% ) 11.749 S el Promedo es 7.87 y Desvacó estádar 1.9 podremos afrmar que: 68% ( datos) está etre: [7.871(1.9)]9.16 y etre [7.87-1(1.9)]6.577 95% (0 datos) está etre: [7.87(1.9)]10.456 y etre [7.87-(1.9)]5.84 99.7% ( datos) está etre: [7.87(1.9)]11.749 y etre [7.87-(1.9)].991 Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 11

TRANSFORMACIONES LINEALES DE VARIABLES S la varable tee promedo y varaca S x y sea la trasformacó leal: Y a b El promedo de la varables Y es : Y a b La varaca de la varables Y es: La desvacó estádar de la varables Y es: S Ya S S Y a S Ejemplo: Las calfcacoes de u exame de estadístca so: Nota f F f f 0-4 6 1 4-8 6 10 1 60 60 8-1 10 9 5 90 900 1-16 14 8 90 5 7448 16-0 18 7 97 16 68 Total 97 1114 1988 Promedo 11.4845 Medaa 11.641 Moda 11.867 Varaca 1.44 Desvacó estádar.5 S el profesor decde trasformar las calfcacoes e la forma: Y 0.8 El promedo de la otas modfcadas Y es : Y 0.8(11.4845) 11. 1876 La medaa de la otas modfcadas Y es : M e 0.8(11.641)11.1 La moda de la otas modfcadas Y es : M o 0.8(11.867)11.49 La varaca de la varables Y es: S Y0.8 (1.44)7.96 La desvacó estádar de la varables Y es: S Y 0.8 (.5).8 Verfcacó: Utlzado la tabla de frecueca trasformada dode c.: Nota Y f F f Y f Y -5..6 10.8 8.88 5.-8.4 6.8 10 1 68.0 46.40 8.4-11.6 10.0 9 5 90.0 900.00 11.6-14.8 1. 8 90 501.6 661.1 14.8-18.0 16.4 7 97 114.8 188.7 Total 97 1085. 1905.1 Promedo 11.1876 Medaa 11.1 Moda 11.49 Varaca 7.96 Desvacó estádar.8 Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 1