CEPREUNF CICLO REGULAR 07-08 Sen 9 CURSO: MATEMÀTICA TEMA: LOGARITMOS-INECUACIONES- VALOR ABSOLUTO-RELACIONES Y FUNCIONES A. Definición: Es un núero, que represent l eponente de l se de un potencición que perite deterinr un potenci predeterind l que se denoin ntirito. Es decir: N N Donde: : Es el rito de N en se, R : Es l se del rito; R N: Es el ntirito Ejeplo : 5 3 5 3 B. Propieddes de los ritos: ) ; > 0, ) 0 3) Logrito de un producto:. n n 4) Logrito de un cociente: n 5) Logrito de un Potenci: n n n n 6) 7) Regl de l Cden: 8).. ; n N N,, 0 N CASO PARTICULAR: C. Cio de se: De l se l se Sndovlich, Hugo Aleis D. Corito y Antirito : N Corito de un núero: Se define coo el rito negtivo de un núero N en se. Co N N Antirito de un núero: Anti TEMA : INECUACIONES A. Definición de desiguldd: Es l relción que eiste entre dos epresiones reles de diferente vlor. Los signos que se utilizn en est relción son: : Myor que < : Menor que : Myor o igul que : Menor o igul que B. Clses de desigulddes: ) Desiguldd Asolut: SE crcteriz porque ntiene el sentido de su signo de relción pr culquier siste de vlores reles triuidos sus vriles. Ejeplo : 0; R ( -) y 3 0;, yr ) Desiguldd Reltiv: Es quell que ntiene el sentido de su signo de relción sólo pr vlores reles prticulres triuídos su vrile. Ejeplo : 5 4 Not: Coúnente l desiguldd reltiv se le conoce con el nore de Inecución
CEPREUNF CICLO REGULAR 07-08 C. Conjunto solución de un Inecución: Es un intervlo que represent l conjunto de núeros reles (suconjunto de l rect nuéric), que stisfcen l inecución. D. Clses de Intervlos:, I. Cerrdo: etreos y. I. Aierto:,, se ton los vlores, no se ton ninguno de los vlores etreos y., I. Sei ierto:, solo se to uno de los vlores etreos, que en este cso serí. I. Infinitos :, y -,, en os csos se to el vlor etreo, teniendo en cuent que los infinitos positivo y negtivo siepre son iertos. E. Alguns propieddes de ls desigulddes: ) Si ) Si 0 0 3) Si 4) Si y c c 5)Si c 0 y.c.c F. Método de los puntos críticos pr resolver un Inecución: Descripción del étodo : ) Se hlln ls ríces o puntos críticos del polinoio edinte fctorizción, fórul generl o copletndo cudrdos. ) Se colocn ls ríces en l rect nuéric. 3) se trzn los intervlos utilizndo curvs, desde el, hcí cd ríz, epezndo de derech izquierd. 4) Se signn signos (+) y ( - ) lterndente, epezndo de derech izquierd. 5) Tener en cuent: * Si el sentido de l desiguldd es, el Conjunto solución será l unión de ls curvs (+). ó * Si el sentido de l desiguldd es ó, el Conjunto solución será l unión de ls curvs ( - ). G. Inecuciones con rdicles: i) i) 0 0 0 0 0 TEMA 3: VALOR ABSOLUTO c 0 y.c 6) Si.c 7) Si 0 0 0 0. 0 8) Si 0 0 0 0. 0 Not: Resolver un inecución, signific hllr su conjunto solución plicndo étodos, operciones lgerics y l sioí decud. A. Definición: Se define coo quel núero rel no negtivo que se denot por tl que: si 0 - si 0 Not: El vlor soluto de un epresión teátic, siepre nos drá un epresión positiv. Sndovlich, Hugo Aleis
CEPREUNF CICLO REGULAR 07-08 B. Ecuciones con Vlor Asoluto: i) 0 i) C. Inecuciones con vlor soluto: Sen, 0 R i) i) 0 3i) 4i) Proles propuestos. Indic ls proposiciones verdders: I. Log 7 ( 7 ) = II. Log = 6 = 8 III. 5 + = 6 IV. 5 5 ) I y IV ) Tods eno I c) Solo II d) III y IV e) II y IV. Indicr ls proposiciones flss I. 3 3 II. + = III. = IV. 3 = 3 V. 3 4 = 4 3 ) Tods )Tods enos II c) I, IV y V d) I, II, III e) II y III 3. Resolver ( 4) + ( + 4) = 3 ) 6 ) 0 c) 5 d) 5 e) 5 4. Clculr Co nti c. d. 3 c d ) c ) c) 3 d) e) 3 5. Resolver.5 7 ) c) 3 d) 4 e) 5 6. Si vrí entre 4 y 40 y entre 5 y, entonces / vrí entre: ) y 3 ), 4 y 0 c) 3 y 8 8 d) 3 y 8 e) 0, 8 y 0 3 7. Resolver 3 3 5 53 3 4 ) <, > ) < 8, > c) <, > c) <, > e) <, > 8. Resolver: + 35 > 0 ) <, 5 > ) < 7, 5 > c) < 0, 00 > d) <, 8 > e) < 7, 5 > 9. Resolver : 5 6 4 + 9 3 + 4 0 ) <, > 0,] [3, + ) [, 0 [3, + c) [, 0] 0,] [3, + 0,3 d) e) [, 0] [3, + {} 0. Resolver: 9 0 Hllr el copleento del C. S. ) [3, [3, + ), 3,3 c) 3, 3 {} d), 3], 3] e) 3, ] 3, +. Hllr l su de tods ls ríces de : 3 = 3 ) ) -3 c) 4 d) 6 e) 0 Sndovlich, Hugo Aleis 3
CEPREUNF CICLO REGULAR 07-08. Resolver 3 < + ), 3 ) 4, 3 c) [ 4, 3] d) [ 5, 3] e) 5, 3 3. Clculr el núero de eleentos de: A N / 4 5 4 6 0 ) 4 ) c) d) 0 e) 3 4. Resolver ), 3] ) + 3 3+5 3 3, d) e) R RELACIONES EN LOS NÚMEROS REALES Pr Ordendo c) [, + Ddos dos conjuntos A y B, dos eleentos A y y B, y un ner de identificr l eleento coo prier coponente y el eleento y coo segund coponente, definen un pr ordendo que se denot por (, y) Si (, y) = (, ) =. y =. DEFINICIÓN DE RELACIÓN: El.producto crtesino de A B de dos conjuntos A y B es el conjunto fordo por todos los pres ordendos (, y) tl que A y B. siólicente: A B = {(, y)/ A y B} Si A = B =, entonces el producto de, denotdo por, es el conjunto. = { (, y)/ y } RELACIÓN BINARIA Sen A y B dos conjuntos direos que R es un relción inri A en B y escriireos: R: A B, si R es suconjunto de A B. Luego: R es relción de A en B R A B. ) El conjunto A recie el nore de conjunto de prtid de R, y B es el conjunto de llegd. ) Si A = B direos que R es un relción en A. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN ) Se ll DOMINIO o conjunto de prtid o conjunto de l relción R, l conjunto de los eleentos de A que son, ls priers coponentes de los pres ordendos de R, siólicente se escrie: Do (R) = { A/ y B, (, y) R} ) Se ll RANGO o conjunto de llegd o conjunto de vlores de l relción R, l conjunto de los eleentos de B que son ls segunds coponentes de los pres ordendos de R, siólicente se escrie: Rn(R) = {y B/ A, (, y) R} RELACIÓN INVERSA Se R es un relción de A en B. se ll relción invers de R l relción de B en A, denotd por R -, y definid. R - = {(, y ) B A/ (y, ) R} ) Do (R) = Rn (R - ) ) Rn (R) = Don (R - ) CLASES DE RELACIÓN Se R un relción en A ) Relción refleiv Si A, entonces {(, ) R} ) Relción siétric Si {(, ) R} entonces {(, ) R} Sndovlich, Hugo Aleis 4
CEPREUNF CICLO REGULAR 07-08 c) Relción trnsitiv Si {(, ) R} {(, c) R} entonces {(, c) R} d) Relción equivlente Tod R es equivlente si R es refleiv, R es siétric y R es trnsitiv l vez. e) Relción ntisiétric ) El RANGO de f; denotdo por R(f), es el conjunto R(f) = {y B/ A, y = f() } FUNCIONES ELEMENTALES... FUNCIÓN CONSTANTE y = f() = K. donde: f = {(, y) / y = k} Tod R es ntisiétric cundo R no es siétric. f) Relción de orden k y = k Tod R es de orden, si R es refleiv. R es ntisiétric y R es trnsitiv.. FUNCIONES Ddos dos conjuntos A y B no vcíos, un función de A en B es tod relción f A B que cuple l siguiente condición: Pr todo eleento de A le corresponde de lgún odo un único eleento y de B tl que (, y) f o equivlenteente cuple. L condición: f es un conjunto de pres ordendos donde no se tiene dos pres distintos con el iso prier eleento. Un función se denot por: f : A B y se lee f es l función de A en B en donde A es el doinio o conjunto de prtid y B es el rngo o conjunto de llegd.... FUNCIÓN IDENTIDAD y = f() = donde: f = {() / y = }..3. FUNCIÓN LINEAL y = f() = + y = k y = + DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN ) El DOMINIO de f denotdo por D(f), es el conjunto D(f) = { A/ y B: y = f()}..4. FUNCIÓN CUADRÁTICA y = f() = k y = Sndovlich, Hugo Aleis 5
CEPREUNF CICLO REGULAR 07-08 EJERCICIOS PROPUESTOS..5. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA y = f () = donde: f = {(, y) / y =..6. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO }, si es > 0 y = f () = = 0, si = 0 -, si < 0..7. FUNCIÓN INYECTIVA Se f: A B un función, Se dice que es inyectiv o univlente: A f ( ) f ( Si, se verific )..8. FUNCIÓN INVERSA Dd l función f: A B Inyectiv definid por: y = y = f (, y)/ y f ( ), A, y B se define l función invers f, denotd por:. Sen A = {, 3, 5,7, 9} y B = {, 4, 6, 8} Si R = {(, y) A B / y = } Hllr l su de ls coponentes de los eleentos de R. ) 4 ) 7 c) 8 d) 0 e). Se A = {,, 3, 4} y R = {(, y) A / < y] R = { (, y) A / + y = 5} Hllr el núero de eleentos de R R. ) 3 ) 7 c) 6 d) 8 e) 0 3. Ddos los conjuntos A = {3, 4, 5, 6} y B = {4, 6, 8} y R = {(, y) A B/ + y } Cuántos pres ordendos tiene l relción R? ) 5 ) 6 c) 7 d) 8 e) 9 4. Se B = {,, 3, 9} y R = {(, y) B / y = 5}. Si P es l su de los eleentos del doinio y Q es l su de los eleentos del rngo. Hllr P.Q. ) ) 5 c) 44 d) 65 e) 00 5. Sen A = {, 3, 8, 9} y B = {4, 6, 7} R = {(, y) A B/ y = } R = { (, y) B A/ < y } Hllr Rn (R ) Do(R ) ) {, 3, 8} ) {3, 8, 9} c) {4, 6, 7} d) {6, 7, 8} e) {7, 8, 9} 6. Dds ls funciones: F() = 4 3 + G() = + 5 Hllr cundo F() = G() )7/3 )4/3 c)4/5 d)3/4 e)5/4 7. Se F={(,6), (, ) (,4),(, + ), (3, 4)}R Hllr. Si F es función. ) ) c) d) 3 e) 4 8. Se f un función tl que f( 3) = 3.Hllr el vlor de, si f(3) = 5 4 f coo: f ( y, )/ f ( y); A, y B ) /3 ) c) 3/ d) 3/ e) 3/4 9. Hllr el doinio de l función: F = {(, y) / y } Sndovlich, Hugo Aleis 6
CEPREUNF CICLO REGULAR 07-08 ) [ -, > ) [, > c) [-, -> d) <-, ] e) [-, > 0. Clculr el doinio de l función: F = {(, y) / y } 4 ) < -, 4] ) <-, 4> c) <-, 0] d) <-, - 4> e) <-, - 4]. El doinio de l función f() = + es el intervlo [-3, 3]. Cuál es el rngo? ) [-5, 7] ) [-5, 6] c) [-4, 7] d) [-3,6] e) [-, 5]. Sen f y g funciones reles tl que f() = + + y g() = + 5. Si f (g ( - ) ) = Hllr el vlor de ) 3 ) c) d) 3 e) 3. Dd l función cudrátic. f = {(, y) / y = + 4 + 3} Hllr el rngo. ) [-, ] ) < -, > c) [-, > d) [-, 3> e) [, > 4. Hllr el doinio de: R = {(, y) / y 6y 4 + 5 = 0} ) [-, 0] ) [-, > c) [0, > d) [, > e) [, > 5. Hllr el rngo de R = {(, y) /9y 4 = 36} ) < -, > ) <-, - ] c) d) <-, ] [, +> e)<-, -][, +> 6. Hllr el doinio de: f() ) [0, ] ) - < -, 0> c) > d) - < -, > e) - <0, 7. Hllr el doinio de l función f() 3 ) [-, 5] ) - [-, 5> c) - <-, 5 > d) - <-, 5] e) [-, - 5 ] Proles propuestos Sndovlich, Hugo Aleis 7