ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA III : CONTINUIDAD Hoja: 1 A) i) Estudiar la continuidad, en R, de las siguientes funciones. En caso de eistir puntos de discontinuidad, clasificarlos. Redefinirlas si es posible. ii) Graficar en forma aproimada las funciones dadas en i) 4 u( 1) ) 9 ) ; si 1 ; si > 1 4) 6 u( ln + 1 5) 6) q( ln[ sen( ], 0 < < π l( 7) 1 9) r 1 1+ e 1/ ( ) 1/(1 8) ; si ; si 10) u( 5 B) Estudiar la continuidad de las funciones cuyos gráficos se dan a continuación. Clasificar los puntos de discontinuidad. Analizar el comportamiento de las funciones cuando tiende a - y +. 1) ) C) Discutir la continuidad de f(, según los valores de a y b. 1 a+ b ; ; ; < 1 1 <
ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA III : CONTINUIDAD Hoja: D) De una función f, se sabe que es continua y que eisten dos números a y b tales que: cos( ; < 0 a + ; 0 1 b ; > 1 Determinar a y b, y dibujar la gráfica de la función. E) Interpreta la siguientes gráficas: a) Para qué valor no está definida? Cuál es el dominio de definición? Cuál es la imagen? Cuáles son los puntos de intersección con los ejes? c) A qué valores se acerca la gráfica de la función cuando +? Y cuándo -? d) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. e) En qué casos la gráfica de la función se acerca a una recta? f) Analizar los puntos de discontinuidad. 1) )
ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA III : CONTINUIDAD Hoja: ) F) De una cierta función conocemos los siguientes datos: a) Es creciente de - a, y decreciente de en adelante. Corta a los ejes en los puntos: (-1,0); (0,1); (4,0). c) Cuando +, y - d) Presenta una discontinuidad no evitable en 6. Aproima la gráfica para una función que se ajuste a estos datos. G) Bosqueje las gráficas de funciones que satisfagan las condiciones pedidas en cada caso: 0 a) f(0)0, f(1)4,, f es impar, f tiene una discontinuidad evitable en 1. + 0 +, +, +, 0, 0 f presenta una discontinuidad evitable en -. f presenta una discontinuidad no evitable en, pero los límites laterales son finitos. H) Continuidad en un intervalo cerrado 1) Sea f( 1 definida en el [ -1, ], es esta función así definida acotada? Cuál es su fundamento? De responder de manera afirmativa, dé una cota. ) Sea... si al[ 0,5 ]. y.. F( 4 5... si. Es F( continua en el [0,5]? Es acotada en ese intervalo? Contradice esto el teorema correspondiente? ( Si F es continua en una cerrado entonces es acotada en el cerrado) ) Sea h( tg, una función no acotada en el [ 0,π ]. Debo esperar que sea continua en dicho intervalo? Porqué?
ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA III : CONTINUIDAD Hoja: 4 4) Encontrar un intervalo donde se cumpla el teorema de Bolzano para las siguientes funciones : a) f( + 1 g( 5 4 c) h( - + 1 (No desesperarse!! Hay intervalos cerca del 0 ) 5) Encontrar una raíz de las funciones del ejercicio 4 con un error menor a 0,1. I) Dadas las siguientes afirmaciones. Contestar Verdadero o Falso, justificando en este último caso. a) Si la recta 1 es una asíntota vertical de yf(, entonces f no está definida en 1. lim p( p( Si p es un polinomio, entonces b. c) Si eiste y es finito, entonces f es continua en. r d) Si f es continua en [-1,1], f(-1)4 y f(1), entonces eiste un número r tal que f(r)π. e) Si f( está definida en 4, entonces f es continua en 4. < 1 y Ejercicios para resolver con el software WinFun Localizar las discontinuidades de la función e ilustrarlas trazando una gráfica 1 1) ) ln( tg 1/ 1+ e (Observación: Es necesario poner atención en los resultados de límite que el programa muestra y compararlos con los resultados analíticos). EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS: A) Estudiar la continuidad, en R, de las siguientes funciones. En caso de eistir puntos de discontinuidad, clasificarlos. Redefinirlas si es posible. t ; si 1 1) s( t) ) l ( t 0 ; si < 1 ) 8 1 t ( 4) g ( ln + 5 4 4
ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA III : CONTINUIDAD Hoja: 5 5) m ( log[ ( )( + ) ] 6) n ( log[ ( 4) ] 5 ( 8) ln + 1 + 1 9) g( ln 4 10) j ( + 4 7) i ln( cos 11) l ( + 9 B) Estudiar la continuidad de las funciones cuyos gráficos se dan a continuación. Clasificar los puntos de discontinuidad. Analizar el comportamiento de las funciones cuando tiende a - y +. 1) ) C) Hallar la constante c para la cual la función g es continua en todos los valores reales. c g( c + 0 si si < 4 4 D) Dada a cos ; h ; > h Calcular a para que sea continua y discutir el resultado según h. E) Analiza los siguientes gráficos y: 1.Calcula los límites..analiza los puntos de discontinuidad.
ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA III : CONTINUIDAD Hoja: 6 a) 0 c) d) 1 a) + c) d) 0 e) a) 0 c) 1 d) F) Esbozar la gráfica de una función yf( de la que se conoce los siguientes límites: lim 1 + lim + 1 0 0