PRESENTACIÓN DEL CURSO Udad I Estadístca Descrptva La ESTADISTICA es la parte de las matemátcas ecargada de la presetacó y aálss de los datos de u expermeto. Normalmete la estadístca se dvde e: Estadístca Descrptva Estadístca Iferecal ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: se ecarga de la presetacó adecuada de la formacó (tablas, gráfcas, hstogramas, etc.) ESTADÍSTICA INFERENCIAL: se especalza e la estmacó e fereca de parámetros (promedo, desvacó estádar, etc.). Expermetos probablístcos y determístcos U EPERIMENTO es u procedmeto medate el cual se puede obteer formacó acerca de u sstema físco ó Matemátco. El objetvo prcpal de realzar expermetos el obteer formacó acerca de sstema bajo estudo, y a partr de ella obteer coclusoes. Los DATOS so e geeralmete la forma e que se preseta la formacó obteda de u expermeto. Los datos puede clasfcarse prmeramete como: DATOS NUMERICOS.- so aquellos que como su ombre dca puede represetarse medate u úmero real el cual represeta su magtud y sus respectvas udades de medcó, por ejemplo los obtedos de la medcó de ua catdad físca como logtud, masa, tempo, eergía, etc. DATOS DE ATRIBUTO. So aquellos datos que o se puede expresar como datos umércos, por ejemplo, sabor, color, sexo, ombre, país, acoaldad, etc. Se dce que u EPERIMENTO ES DETERMINÍSTICO s al realzarse bajo las msmas codcoes se obtee varablemete e msmo resultado o dato, e el caso de que se obtega resultados o datos dferetes se drá que el es u EPERIMENTO PROBABILISTICO ó ALEATORIO. Poblacó muestra, evetos La POBLACION es el cojuto total de datos que se obtee al realzar u expermeto. La MUESTRA es ua parte ó subcojuto de la poblacó. Los EVENTOS está formados geeralmete por muestras a las cuales se les pde que cumpla co algua codcó o codcoes.
ORGANIZACIÓN DE DATOS Ua vez que se ha realzado u expermeto el resultado geeralmete es u cojuto de datos u observacoes, s embargo, tal como aparece puede o resultar adecuados para obteer formacó de ellos, por lo que es ecesaro realzar e la mayoría de los caso u trabajo mímo que cosste e la orgazacó y presetacó de los datos de maera adecuada. Esto es precsamete el objetvo de la estadístca descrptva. Como prmer paso los datos puede ser acomodados e u ARREGLO, el cual tee el objetvo de presetar los datos co u mímo de orde. Es deseable que este orde sea descedete o ascedete, como se muestra a cotuacó. NUMERO DE PERSONAS VIVIENDO EN UN GRANJAS 4 5 6 6 7 8 8 9 4 5 6 7 7 8 9 9 3 4 5 6 7 7 8 9 3 5 5 6 7 7 8 9 4 5 6 6 7 8 8 9 TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS A partr de los datos ordeados e u arreglo se puede presetar los datos e ua DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS. Para realzar la dstrbucó de frecuecas se puede segur el sguete procedmeto: a) Localce el valor máxmo (max) y mímo (m) del cojuto de datos, y a partr de ellos Obtégase el RANGO como: R max - m b) Ahora proceda a dvdr el rago e INTERVALOS DE CLASE, se sugere que el úmero de tervalos de clase o sea meor a 6 mayor a. c) La LONGITUD DE EL INTERVALO de cada clase debe ser la msma e todas las clases y deberá ser de tal que el puto medo de cada tervalo tega e msmo úmero de dígtos y precsó que los datos orgales. d) Ua vez defdos adecuadamete los tervalos proceda a cotar los datos que se ecuetre detro de su límte feror y su límte superor, el úmero de datos que cae detro de dcho tervalo, costtuye la FRECUENCIA DE CLASE. e) Tome e cueta que cada dato solo perteece solamete a ua clase, por lo que o debe haber ambgüedad e su perteeca a algua clase. f) El puto medo de cada tervalo es llamado LA MARCA DE CLASE y represetará a todos los putos que caga detro del tervalo. g) LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA se costruye colocado e la prmera columa (ó fla) los tervalos de clase y/o las marcas de clase y e la sguete columa (ó fla) las frecuecas correspodetes.
EJEMPLOS. Obtega la tabla de la dstrbucó de frecuecas para los datos sguetes. NÚMERO DE PERSONAS VIVIENDO EN UN GRANJAS 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 Por la aturaleza de los datos presetados e la tabla se puede optar por que cada uo de los valores:, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y sea los tervalos, etoces 3 4 5 6 8 9 FR() 4 6 7 7 6 4 () Obtega la tabla de la dstrbucó de frecuecas para los datos sguetes. Dvda e 7 clases..3 3.7 4.3 4.7 5.4.3 3.8 4.4 4.8 5.5.4 3.8 4.4 4.8 5.6.6 3.9 4.4 4.9 5.7.8 3.9 4.5 4.9 5.8 3. 4. 4.5 5. 5.9 3.4 4. 4.6 5. 6. 3.5 4. 4.6 5. 6.4 3.5 4. 4.6 5. 6.5 3.6 4.3 4.6 5.3 7. El rago es R 7.-.34.8. Dvdedo el rago e N 7 tervalos acho 4.8/7.6857 Como el acho tee muchos dígtos, el acho se puede redefr como acho.7 Pero e este caso la logtud total de los tervalos es Logtud (7) (.7)4.9 Esta logtud excede e 4.9-4.8. al rago, este excedete se puede repartr etre las clase extremas, por ejemplo, el límte feror de la prmera clase es.5 y el superor.5+.7.95. Para la seguda clase se cosdera como límte feror el límte superor de la prmera clase, su correspodete límte superor es.95+.7 3.65, el proceso ateror se repte para cada ua de las clases posterores. Los resultados so colocados e la sguete tabla 3
Clases Marca de Frecueca Clase FR().5 -.95.6 5.95-3.65 3.3 5 3.65-4. 35 4. 4.35-5.5 4.7 6 5.5-5.75 5.4 6 5.75-6.45 6. 5 6.45-7.5 6.8 Tabla. Dstrbucó de frecuecas problema PRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS. HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS La tabla de dstrbucó de frecuecas puede ser utlzada para obteer ua gráfca e la cual se coloca e el eje los putos medos de las clases y e el eje Y las correspodetes frecuecas de la clase. La gráfca descrta se cooce como HISTOGRAMA. U hstograma se puede covertr e u POLÍGONO DE FRECUENCIAS smplemete coectado los putos medos o marcas de clase co líeas rectas, pero es ecesaro agregar dos putos medos extras, uo correspodete a ua preva a la prmera clase y co frecueca cero y otro posteror a la últma clase co frecueca cero. OJIVA Para alguas aplcacoes es requerdo obteer la tabla de las FRECUENCIAS ACUMULADAS la cual se obtee sumado las frecuecas precedetes a cada ua de las clases. La gráfca de las clases vs las frecuecas acumulas es coocda como OJIVA EJEMPLOS 3. Utlce el resultado de problema () ateror para obteer el hstograma, polígoo de frecuecas y ojva. : Prmero se obtee la frecueca acumulada de los datos. Clases Marca de Frecueca Frecueca Clase FR() acumulada.5 -.95.6 5 5.95-3.65 3.3 5 3.65-4. 35 4. 4.35-5.5 4.7 6 37 5.5-5.75 5.4 6 43 5.75-6.45 6. 5 48 6.45-7.5 6.8 5 Tabla. Dstrbucó de frecuecas y frecuecas acumuladas ejemplo 4
A cotuacó se preseta cada ua de las gráfcas solctadas a partr de los datos de la tabla ateror Hstogtrama frecueca 8 6 4 8 6 4 3 4 5 6 7 Hstograma del ejemplo Polgoo de frecuecas frecueca 8 6 4 8 6 4 3 4 5 6 7 Gráfca del polígoo de frecuecas del ejemplo Las gráfcas aterores represeta a la dstrbucó de frecuecas, por lo que puede ser represetadas jutas como se observa a cotuacó. 5
Hstograma y Polígoo de frecuecas 8 6 4 Frecueca 8 6 4 3 4 5 6 7 Hstograma y polígoo de frecuecas del ejemplo Ojva 5 45 4 frecueca acumulada 35 3 5 5 5 3 4 5 6 7 Ojva o gráfca de las frecuecas acumuladas del problema 6
Hstograma de frecuecas relatvas S se dvde las frecuecas obtedas e la tabla de dstrbucó de frecuecas etre el total de datos se obtee la llamada LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA, y su respectva gráfca se llama HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVAS. Lo ateror se puede aplcar també a la tabla de frecuecas acumuladas obteédose LA TABLA DE FRECUENCIAS ACUMULADAS RELATIVAS y su respectva gráfca se llama OJIVA DE FRECUENCIAS RELATIVAS. La vetaja del uso de las frecuecas relatvas es su medata relacó co la probabldad, es decr, la frecueca relatva de ua clase es la probabldad de que los datos cosderados se ecuetre e dcho tervalo. () A cotuacó se muestra alguas de las gráfcas del problema para el caso de frecuecas relatvas..4 Hstograma de frecueca relatva.35 Frecueca relatva.3.5..5..5 3 4 5 6 7 Hstograma de frecuecas relatvas del ejemplo Ojva de frecueca relatva frecueca relatva acumulada.9.8.7.6.5.4.3.. 3 4 5 6 7 Ojva de frecuecas relatvas acumuladas del ejemplo 7
4. Se realza ua vestgacó a los vededores de ua cadea acoal de tedas de departametos para determar el patró de sus gresos daros. Se seleccoa ua muestra aleatora de 5 vededores y se obtee sus gresos durate certo día. 53 57 58 6 6 63 64 66 67 68 69 7 7 7 73 74 74 74 74 77 77 77 78 8 79 79 79 8 78 8 8 8 83 83 84 85 85 86 87 87 88 9 9 9 9 9 93 94 96 97 a) Orgace los datos e ua tabla. Las clases so 5.5-57.5, 57.5-6.5, 6.5-67.5,.., 9.5-97.5 b) Covértase e frecuecas relatvas y relatvas acumuladas. Obtégase el Hstograma de frecuecas relatvas y la ojva de frecuecas relatvas. A partr de los datos y las clases propuestas se determa la sguete tabla. Clases Marca de Clase Frecueca FR() Frecueca acumulada Frecueca relatva FR() Frecueca relatva acumulada 5.5-57.5 55.4.4 57.5-6.5 6 3 5.6. 6.5-67.5 65 4 9.8.8 67.5-7.5 7 5 4..8 7.5-77.5 75 8.6.44 77.5-8.5 8 3..64 8.5-87.5 85 8 4.6.8 87.5-9.5 9 6 46..9 9.5-97.5 95 4 5.8. Tabla. Dstrbucó de frecuecas, frecuecas acumuladas y relatvas de ejemplo 8
Hstograma de frecueca relatva.5 Frecueca relatva..5..5 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95 Hstograma de frecuecas relatvas del ejemplo Ojva de frecueca relatva.9 frecueca relatva acumulada.8.7.6.5.4.3.. 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95 Ojva de frecuecas relatvas acumuladas del ejemplo 9
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las MEDIDAS TENDENCIA CENTRAL ó DE CENTRALIZACION de tee como objetvo es tratar de localzar (ó ecotrar) el cetro de la dstrbucó. Las más coocdas so la MEDIA ARITMETICA MEDIANA y MODA. Es costumbre represetar alguas propedades y defcoes medate la otacó sgma: N a a + a + a +... + a Como se puede observar es utlzada para represetar la suma de de elemetos també coocda como sere. A cotuacó se preseta alguas de las propedades más mportates, las cuales se utlzará posterormete. Propedades de la otacó sgma 3 N N Sea N a y b dos sumatoras y c ua costate, etoces: N a) ( a + b ) a + N N b) ca c a N N b MEDIA ARITMÉTICA, PROMEDIO La meda artmétca, promedo o smplemete meda es deotada por:, es smplemete la suma de todas las observacoes,, 3,, N, dvdda etre el úmero N total de datos, esto es: N (.) N Es posble dar ua justfcacó matemátca a la defcó ateror. Para tal f, supogamos que se defe la fucó D() como a cotuacó se dca S( a) N ( a) Dode so los datos y a es ua costate, el meor valor de la fucó es S ( a), etoces N S( a) ( a) Aplcado las propedades de la otacó sgma
N N N a Na Despejado a a a N N La cual correspode a la defcó del promedo. Para datos agrupados se calcula la meda medate la ecuacó. N x f ( x ) x f ( x ) (.) La suma de las frecuecas dvduales es gual al úmero total de datos, esto es N Etoces f ( x ) MEDIANA ~ f ( x ) x N (.3) Para el caso de datos o agrupados, la medaa ~, es el úmero que dvde el cojuto de datos e dos partes guales N. E el caso de datos agrupados, la medaa se defe como el valor ~ que dvde al hstograma correspodete e dos partes co áreas guales. Para datos agrupados la medaa se pude obteer medate N CF x ~ ( m ) L x ( m ) + w (.4) F( xm ) Dode L ( x m ) Límte feror de la clase que cotee a la medaa-
N Mtad de los datos. CF ( ) Frecueca acumulada hasta la clase ateror a la que cotee a la medaa. x m F ( x m ) Frecueca de la clase que cotee a la medaa. w Acho de la clase. MODA ˆ La moda ˆ es el valor que más veces aparece e u cojuto de datos. EJEMPLO 5. Determe meda, medaa y moda para la dstrbucó de frecuecas sguete y localce sobre el hstograma cada ua de ellas sobre el hstograma correspodete. Clases F(x) 5.5-57.5 55 57.5-6.5 6 3 6.5-67.5 65 4 67.5-7.5 7 5 7.5-77.5 75 8 77.5-8.5 8 8.5-87.5 85 8 87.5-9.5 9 6 9.5-97.5 95 4 TOTAL 5 Es recomedable costrur la tabla sguete a partr de los datos dados: Clases F(x) F() 5.5-57.5 55 57.5-6.5 6 3 8 6.5-67.5 65 4 6 67.5-7.5 7 5 35 7.5-77.5 75 8 6 77.5-8.5 8 8 8.5-87.5 85 8 68 87.5-9.5 9 6 54 9.5-97.5 95 4 38 TOTAL 5 39 La meda se obtee a partr de la defcó de datos agrupados f ( x ) x N 39 78 5
La clase que cotee a la medaa se ha sombreado e la tabla ateror. La medaa se obtee aplcado la ecuacó para datos agrupados ~ N CF( x ) 5 ( ) m 77.5 L + + xm w 5 79 F( x ) La moda es smplemete ˆ 8 m La gráfca sguete muestra que las tres meddas de cetralzacó, las cuales so muy cercaas etre s y se localza como debe ser e el cetro del hstograma. Hstograma de frecueca relatva.5 Frecueca relatva..5..5 ~ 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95 ˆ MEDIDA DE DISPERSIÓN DESVIACIÓN TÍPICA Ó ESTÁNDAR La desvacó típca ó estádar: es la medda de dspersó más represetatva de u cojuto de datos..se defe utlzado como N ( x x) S N (.5) N La fórmula ateror es coocda como desvacó típca ó estádar sesgada Para datos agrupados la fórmula ateror se escrbe como 3
N f ( x )( x x) S N (.6) N VARIANZA El valor de la desvacó estádar al cuadrado es coocdo como la Varaza, esto es Varaza S Ua forma alteratva par el cálculo de la varaza y/o de la desvacó estádar sesgada se obtee desarrollado la defcó dada, esto es S N + N ( x x) ( x x x x ) N N ( x x x + x ) ( x x x + x ) N ( x x N x Nx ) N x x N Etoces Notacó S N x x (.7) N Normalmete las letras latas x, S, S, etc., represeta los estadístcos de ua muestra y las letras gregas µ,,, etc., represeta los estadístcos de ua poblacó. Exste ua forma para la varaza muestral S que proporcoa ua estmacó más precsa de la varaza de la poblacó, e partcular, cuado la muestra es pequeña (N 36); es coocda como varaza sesgada de la poblacó y se calcula medate ( x x) S N (.8) N 4
5 De aquí se calcula medate la raíz cuadrada la desvacó estádar sesgada ) ( N x x S N (.9) Procededo de maera smlar al caso sesgado se puede obteer ua fórmula drecta para calcular la varaza y/o desvacó estádar sesgada ( ) + ) ( x x x x N N x x S N ( ) + x x x x N ( ) + x x x x N N x N x N x x N ( ) N x x N Por lo tato ( ) N x x N S N (.) La desvacó estádar como se ha dcado aterormete es ua medda de la dspersó de los datos, está dspersó se mde a partr de la meda de la dstrbucó de datos; por ejemplo, supógase que se compara dos cojutos de datos obtedos a partr de la msma poblacó, los cuales tee el msmo úmero de datos ( N N ),el msmo promedo ( x x ), etoces, s la desvacó del prmer cojuto es meor que la del segudo cojuto, ( s s < ), es posble afrmar que los datos del prmer cojuto se ecuetra más cocetrados que los de la segudo y la altura del prmer cojuto de datos es mayor que la del segudo. La fgura sguete compara dos dstrbucoes cotuas co las característcas descrtas aterormete.
.4.35.3 s Frecueca.5..5 s..5 xx -6-4 - 4 6 Comparacó de dos dstrbucoes de frecueca co dferetes desvacoes estádar s < s La desvacó estádar se puede emplear també para medr las varacoes co respecto a la meda de los valores co respecto a la meda. U valor pequeño de la desvacó típca ó estádar dca ua mayor probabldad de obteer u valor más cercao a la meda. Esta dea se expresa e u teorema eucado por el matemátco ruso Tchebycheff. Teorema de Tchebycheff La proporcó de cualquer cojuto de valores que caerá detro k desvacoes típcas a partr de la meda es al meos -/k, dode k es cualquer úmero mayor que. Por ejemplo, para el caso de k, el teorema ateror garatza que s mportar como es la dstrbucó de frecuecas, exste -/.75 de los datos se ecuetra detro del tervalo compreddo por x s, x + s. E la fgura, se muestra la dea del teorema de Tchebycheff para k.. [ ] Regla de la ormal E muchas ocasoes el hstograma que represeta la dstrbucó de frecueca tee ua forma de campaa smétrca, este tpo de dstrbucó puede ser comparada co ua dstrbucó teórca cotua llamada curva ormal. Es posble aplcar las característcas de la curva ormal a este tpo de dstrbucoes muestrales para determar la proporcó de datos cotedos detro de ua, dos y tres desvacoes estádar. A cotuacó se euca la regla de la ormal. Para dstrbucoes de frecueca smétrcas e forma de campaa, aproxmadamete el 68 % de los datos caerá e el tervalo [ S, + S], el 95 % de los datos caerá e el tervalo S, + S 3 S, + 3S. [ ], y cas el % de los datos caerá e el tervalo [ ] 6
Hstograma de frecueca relatva Frecueca relatva.5..5. Al meos 3/4.5 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95 s + s Fgura, Teorema de Tchebycheff proporcó de datos -/k para el caso k. 35 3 5 cas % 5 Aproxmadamete 95% 5 Aproxmadamete 68% - -5 - -5 5 5 5 3 x 3 s x s x s x + s x x + s x + 3 s Fgura, Regla de Normal. 68 % de los datos e el tervalo [ S + S] [ S, + S], y cas el % e [ 3 S, + 3S].,, el 95 % e 7
EJEMPLOS 6. Determe la desvacó estádar sesgada e sesgada para el cojuto de datos sguetes. F(x) 55 6 3 65 4 7 5 75 8 8 85 8 9 6 95 4 5 Es recomedable costrur la tabla sguete a partr de los datos dados: F(x) F() F() 55 65 6 3 8 8 65 4 6 69 7 5 35 39 75 8 6 45 8 8 64 85 8 68 578 9 6 54 486 95 4 38 36 5 39 3975 Utlzado los resultados de la tabla e las ecuacoes respectvas S S N N f ( x ) x x N.54 5 39 5 ( 3975) S S N N ( f ( x ) ) x ( 39) ( ) 3975 3.7 5 f x x N N 5 3.7.64 8
7. Obtega la medaa para el cojuto de datos sguete 53 57 58 6 6 63 64 66 67 68 69 7 7 7 73 74 74 74 74 77 77 77 78 8 79 79 79 8 78 8 8 8 83 83 84 85 85 86 87 87 88 9 9 9 9 9 93 94 96 97 La medaa debe dvdr los datos e la mtad, esto es e 5 datos a la zquerda y 5 a la derecha. Puesto que los datos se ecuetra acomodados e orde ascedete, se puede observar el dato 5 79 y el dato 6 79, por lo tato ~ 5 + 6 79 + 79 79 8. Certa tarde del sábado 3 estudates uverstaros de prmer semestre trabajaro.a cotuacó se muestra la dstrbucó de frecuecas de sus gaacas. a) Obtega la meda, medaa y moda b) Obtega la desvacó estádar S, S Gaaca x Frecueca f(x) 5 5 9 5 6 3 3 35 5 3 Prmero se realza la sguete tabla a partr de la ateror x f(x) x f(x ) f(x )x 5 5 75 5 9 8 36 5 6 5 375 3 3 9 7 35 5 75 65 Σ 3 69 75 9
Promedo f ( x ) x N 69 3 3 Medaa De los datos de la tabla Límte feror de la clase L (x m ) 7.5 Frecueca acumulada hasta ates de la clase m CF ( x m ) m7 Frecueca de la clase dode está la medaa 9 F ( x m ) Acho de la clase w 5 3 N CF x ~ ( m ) 7 L ( x m ) + w 7.5 + () 5. F( xm ) 9 Moda El valor co mayor frecueca es x ˆ Desvacó estádar sesgada S N f ( x ) x x N (75) 3 (3) 54.33 Etoces S 54.33 7. 37 Desvacó estádar sesgada S ( ) f x x N ( f ( x) x ) N ( 69) 75 3 3 56. Por lo tato S 56. 7. 5 N 9. Las medcoes e la escala de Rchter correspodetes a los 5 terremotos más recetes e el mudo so dadas e la tabla. a) Costrúyase ua dstrbucó de frecuecas co límtes de clase de.5 a.75,.75 a 3.5, etc. b) Trácese el hstograma y polígoo de frecuecas (c) Obtega la meda, medaa y moda (d) Obtega la desvacó estádar S, S
.3 3.7 4.3 4.7 5.4.3 3.8 4.4 4.8 5.5.4 3.8 4.4 4.8 5.6.6 3.9 4.4 4.9 5.7.8 3.9 4.5 4.9 5.8 3. 4. 4.5 5. 5.9 3.4 4. 4.6 5. 6. 3.5 4. 4.6 5. 6.4 3.5 4. 4.6 5. 6.5 3.6 4.3 4.6 5.3 7. (a) Utlzado las clases sugerdas se determa las respectvas marcas de clase, frecuecas y se evalúa de xf(x) y x f(x), acomodado los resultados e la sguete tabla clase x f(x) x(f(x)) x (f(x)).5-.95.6 5 3 33.8.95-3.65 3.3 5 6.5 54.45 3.65-4.35 4. 44 7.6 4.35-5.5 4.7 6 75. 353.44 5.5-5.75 5.4 7 37.8 4. 5.75-6.45 6. 4 4.4 48.84 6.45-7.5 6.8 3.6 9.48 Σ 5 4.5 6.33 (b) Hstograma y polígoo de frecuecas. Hstograma y Polgoo de frecuecas 8 6 4 frecueca 8 6 4 3 4 5 6 7
(b) A partr de los datos de la tabla de frecueca se puede determar los estadístcos solctados Meda ( f)( x) x N 45 5 Moda x ˆ 4. 7 Medaa Para los datos o agrupados 44.9 4.49 6 N N dato + dato + ~ 4.5 + 4.5 x 4.5 Para los datos agrupados N CF( x ) + F( x ) ~ m L ( x m m ) w + 5 6 4.35 (.7) 4. 54 Desvacó estádar sesgada S N Etoces f ( ) (63.3) (4.49) x x x N 5.5 S.5.5 Desvacó estádar sesgada ( ( )( )) ( 4.5) f x x S ( ) 63.3 N f x x.5 N N 5 5 Por lo tato S.5.66 N. Supógase que certo cojuto de observacoes tee ua x y ua S 5 Coteste las sguetes pregutas, de acuerdo al teorema de Tchebycheff. a) Al meos qué porcetaje de todas las observacoes caerá etre 7 y 3? b) A meos que porcetaje de las observacoes caerá etre 5 y 75? a) De los datos se obtee x S 5
E geeral el valor de k correspodete a u valor cualquera se puede determar a partr de la x ecuacó k S 7 3 Los valores de k correspodetes a 7 y a 3 so k y k 5 5 Es u tervalo smétrco a partr de la meda co k. De acuerdo al teorema de Tchebycheff Proporcó al meos 75 % k (b) Procededo de maera smlar al cso ateror, los valores de k correspodetes a 5 y a 75 so 5 75 k 5 y k 5 5 5 Es u tervalo smétrco a partr de la meda co k 5. De acuerdo al teorema de Tchebycheff Proporcó al meos 96 % k 5. De acuerdo co la regla ormal Cuál es la proporcó aproxmada de u cojuto de observacoes que caerá por debajo de x S De acuerdo a la regla de la Normal detro del tervalo [ x S, x + S] hay aproxmadamete el 95 % de los datos, quedado fuera el 5 %, pero como solo se cosdera los que está por debajo de x S esto correspode a la mtad, o sea al.5% ó equvaletemete a.5 de los datos.. Ua muestra de trabajadores tee ua produccó promedo por hora de 6 udades y ua desvacó típca de udades. De acuerdo co la regla de la ormal, aproxmadamete cuátos trabajadores tee ua produccó etre 4 y 8 udades? El úmero de desvacoes estádar a partr de la meda se puede determar co Del problema x 6 y S etoces, para los valores de 4 y 8 se tee que k x S 4 6 8 6 k y k Lo cual correspode a dos desvacoes a la zquerda y a la derecha del promedo, que de acuerdo a la regla de la ormal correspode al 95 % de los datos ó al.95 del total de datos, por lo tato Número de trabajadores Total x Fraccó N x.95 95 3
Udad II Probabldad CONJUNTOS Y ÁLGEBRA DE CONJUNTOS DEFINICIÓN DE CONJUNTO. Coceptos báscos de la teoría de cojutos: CONJUNTO: es ua coleccó de objetos, datos, que puede cumplr ua o varas codcoes. Notacó de cojuto: comúmete se represeta a los cojutos medate letras mayúsculas A, B, C, U, Z W, Φ, Ω ELEMENTO: e u úco objeto o dato que es parte de u cojuto Notacó de elemeto: los elemetos se deota co letras músculas a, b, c, α, φ, v, w, θ Los cojutos puede descrbrse de dos maeras, de forma explícta y /o mplícta. La forma explícta correspode cuado los elemetos del cojuto so mostrados drectamete EJEMPLO A {a, e,, o, u} B {,, 3, 4, 5,6,.} C { -4,-,,, 4,6,.} La forma mplícta correspode cuado los elemetos del cojuto o so mostrados drectamete y so defdos medate ua codcó o codcoes. A {x. x es ua vocal del abecedaro} B {x. x es u úmero atural} C {x. x es u úmero par} El CONJUNTO UNIVERSO deotado geeralmete por U es el cojuto más grade que es utlzado e u problema partcular y cotee a todos los elemetos. E el ámbto de la Estadístca se relacoa drectamete el cojuto uverso co la poblacó y el caso de la Probabldad co el llamado espaco muestral. Se dce que u elemeto x perteece a u cojuto A s x es parte del cojuto A. Notacó: x Α. E forma gráfca la codcó se represeta medate el dagrama sguete 4
U A x S x o perteece a u cojuto A, etoces x o es parte del cojuto A. Notacó: x Α. U A x U cojuto es fto s se puede cotar sus elemetos, esto es, exste u úmero total de elemetos. # A S el # A etoces el cojuto es fto. Se dce que u cojuto B está CONTENIDO e u cojuto A ó es SUBCONJUNTO de A s y solo sí todo elemeto x B, x també x A. Notacó: B A. U A B 5
Para facltar la escrtura de alguas expresoes matemátcas a cotuacó se preseta alguos símbolos y su sgfcado Para todo. S y solo s. Etoces. Exste. Por lo tato. La defcó de CONTENIDO o CONTENCION ateror se puede escrbr como: B A x B, x A S algú x B pero x A etoces se drá que B NO ESTA CONTENIDO A ó que B o es SUBCONJUNTO de A. E forma compacta: x B x A B A. Notacó: B A. U A B x ÁLGEBRA DE CONJUNTOS (OPERACIONES BÁSICAS) Las operacoes etre cojutos permte obteer uevos cojutos a partr de cojutos más smples ó represetar cojutos complejos medate cojutos más smples. Todas las operacoes que se defe a cotuacó so de gra mportaca para el desarrollo de la probabldad, por lo que se recomeda aprederlas y aplcarlas correctamete cada ua de ellas. Cabe mecoar que estas operacoes o se debe comparar co las operacoes algebracas etre úmeros como so la suma, resta y multplcacó- UNIÓN DE CONJUNTOS A B { x x A ó x B} Notacó: A B U A B 6
7 EJEMPLO { } { } { } h g f d c b a B A C h g f d c b a B d c b a A,,,,,,,,,,,,,,, INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS { } B x y A x x B A Notacó: B A EJEMPLO { } { } { } d c B A h g f d c b a B d c b a A,,,,,,,,,, COMPLEMENTO { } U x y A x x A c Notacó: c A U c A A U A B
Complemeto relatvo: B / A { x x B y x A} Notacó: c A U B B A EJEMPLO Utlzado los cojutos aterores B / A {} Φ A / B g, f, h { } Sedo Φ {} cojuto vacío A partr de las operacoes aterores etre cojutos se puede defr y obteer uevas propedades etre cojutos, las cuales será utlzadas e seccoes posterores y e partcular e el tema de probabldad. Se dce que dos cojutos A y B so AJENOS s solo s A B Φ, U A B 8
PROPIEDADES BÁSICASDE LOS CONJUNTOS Sea A, B dos cojutos geerales detro de u cojuto uverso U etoces se cumple las sguetes codcoes a) A A A b) A A A c) A A c U d) A A c Φ e) U c Φ f) Φ c U g) A Φ Φ h) A Φ Φ ) A ( A B) (A B c ) S B A. etoces: j) A B A k) A B B Leyes comutatvas l) A B B A m) A B B A Leyes dstrbutvas ) A ( B C) (A B) (Α C) o) A ( B C) (A B) (Α C) Leyes de Morga p) (A B) c A c B c q) (A B) c A c B c 9
EPERIMENTOS PROBABILÍSTICOS Y DETERMINÍSTICOS Como ya se ha mecoado e la udad ateror: U EPERIMENTO ES DETERMINÍSTICO s al realzarse bajo las msmas codcoes se obtee varablemete e msmo resultado o dato, e el caso de que se obtega resultados o datos dferetes se drá que el es u EPERIMENTO PROBABILISTICO ó ALEATORIO. POBLACIÓN MUESTRA, EVENTOS A cotuacó se da uevamete las defcoes de poblacó, muestra y evetos. La POBLACION es el cojuto total de datos que se obtee al realzar u expermeto. La MUESTRA es ua parte ó subcojuto de la poblacó. Los EVENTOS está formados geeralmete por muestras a las cuales se les pde que cumpla co algua codcó o codcoes. Teoría elemetal del muestreo La toma de datos ó muestras de u expermeto aleatoro e geeral se debe realzar de tal maera que todos los posbles resultados del expermeto tega la msma oportudad ó probabldad de se elegdos, lo ateror costtuye el PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL MUESTREO. El prcpo ateror es coocdo també como MUESTREO AL AZAR y tee la faldad de obteer ua muestra lo más represetatva del expermeto. El muestreo al azar se puede realzar de dos maeras CON REEMPLAZO y SIN REEMPLAZO. E el caso de reemplazo ua vez elegdo u objeto este es regresado de uevo al cojuto y por lo tato puede ser uevamete seleccoado, por otra parte s el muestreo se lleva a cabo s reemplazo el objeto que es seleccoado o se regresa al cojuto y por lo tato uca más podrá se seleccoado. E aplcacoes práctcas aparece ambos tpos de muestreo. Para efectuar u muestreo adecuado se debe evtar posbles tedecas al realzar u expermeto, por ejemplo, para la eleccó de muestras de u lote se puede recurrr a tablas ó programas que geera úmeros aleatoros para evtar tedecas y realzar ua correcta seleccó de las muestras El muestreo de datos se puede realzar al azar co o s reemplazo El estudo de la Probabldad permte dar ua respuesta a problema de la eleccó adecuada de cuado ua muestra es represetatva de u expermeto aleatoro o poblacó. ESPACIO MUESTRAL El ESPACIO MUESTRAL es el cojuto de todos los resultados posbles de u eveto aleatoro ó probablístco. Normalmete el espaco muestral se represeta por la letra S y e térmos de cojutos es el equvalete al cojuto uverso. U EVENTO O SUCESO: es u subcojuto del espaco muestral. 3
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD La PROBABILIDAD DE UN EVENTO se puede defr e el caso de cojutos ftos como: P( E) N N.( E).( S) N (E): úmero de elemetos depedetes de E. N (S). úmero total de elemetos depedetes. E alguos casos secllos es posble coocer fáclmete el úmero total de elemetos que coforma cada uo de los cojutos, s embargo, esto o es posble para la mayoría de los demás caso, por lo que es coveete recurrr e prcpo a las téccas de coteo para determar las probabldad. TÉCNICAS DE CONTEO PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO. S u eveto se puede realzar de N formas y otro eveto se puede realzar de N formas, etoces el eveto cojuto se puede realzar de N.N formas. N N.N (.) El prcpo fudametal del coteo se puede represetar gráfcamete medate el llamado dagrama de árbol. Cada trayectora e el dagrama de árbol represeta u posble resultado o forma de realzarse el expermeto. E la fgura se muestra el dagrama de árbol para el caso de N4 y N, co lo que se obtee N*N4* 8 trayectoras ó formas Por otra parte el prcpo fudametal del coteo se puede geeralzar a k evetos, esto es, s el eveto puede ocurrr de N formas, etoces el eveto total cojuto de los k evetos, se puede realzar de N.N. N Nk formas. N N Fgura. Dagrama de árbol que represeta el prcpo fudametal del coteo N*N4* 8 3
EJEMPLOS. Determe el úmero total de combacoes de u cadado formado por formado por 3 dscos gratoros y cada uo de los cuales puede ser colocado e los úmeros,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Combacó de u cadado. De acuerdo a los dcado e el problema cada uo de los dscos pude ser colocado e formas, esto es N; N, y N3. Aplcado el prcpo fudametal del coteo se obtee: 3 combacoes. Ua moeda es arrojada veces cosecutvas. Obtega el espaco muestral del cojuto. Ua moeda tee dos resultados posbles, Águla (A) ó Sol (S), s la moeda es arrojada dos veces etoces N N*N * 4 evetos depedetes Cada uo de los evetos dvduales se muestra a cotuacó: S{ (A,A), (A,S), (S,A), (S,S)} 3. U expermeto cosste e arrojar ua moeda 4 veces, lístese todas las posbldades: El úmero total de posbles evetos depedetes es N(,,, ) 4 6 Puede utlzarse u dagrama de árbol para lstar correctamete todas las posbldades, estas so: A, A, A, A A, A, A, S A, A, S, A A, A, S, S A, S, A, A A, S, A, S A, S, S, A A S, S, S S, A, A, A S, A, A, S S, A, S, A S, A, S, S S, S, A, A S, S, A, S S, S, S, A S, S, S, S 3
4. Obtega el úmero total de evetos depedetes que se obtee al arrojar ua moeda 5 veces cosecutvas. E cada uo de los 5 casos de arrojar ua moeda está puede teer solamete dos resultados posbles, Águla (A). ó Sol (S), etoces: 5 3 posbles 5. Obtega el espaco muestral que se geera al arrojar u dado veces El dado tee 6 caras y por lo tato exste 6 posbldades para cada vez que es arrojado, etoces como es arrojado veces: 6 6 6 36 resultados Los evetos depedetes puede obteerse fáclmete medate u dagrama de árbol. S { (,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (3,), (3,), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,), (4,), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,), (5,), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,), (6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) } 6. Determe el úmero posble de combacó de placas váldas s la placa esta formada por 3 úmeros cosecutvos y 3 letras del abecedaro. Exste posbldades para cada uo de los úmeros y 6 posbldades para cada ua de las letras (o se cluye letras dobles RR, CH, LL y la letra Ñ), etoces: METODO I Números Letras Placas 6 6 6 ( 3 ) (6 3 ) E el cálculo ateror se ha cludo placas que o exste para fes práctcos, por ejemplo: La placa A A A No exste E geeral las placas o puede teer u cero o ceros ates que u úmero dferete de cero. 33
Por otra parte o exste las placas um um letra letra letra No exste 9 6 6 6 (9)(6 3 ) um letra letra letra No exste 9 6 6 6 (9)(6 3 ) letra letra letra No exste 6 6 6 6 3 Número de placas o valdas (9)(6 3 )+ (9)(6 3 )+ 6 3 ( )(6 3 )() (6 3 ) Etoces Número de placas valdad Número total - Número de placas o valdas. ( 3 ) (6 3 )- () (6 3 ) (9)( 6 3 ) 5 88 4 placas. METODO II La prmer caslla de úmero o puede ser cero, por lo tato se reduce sus posbles valores a N9 Mateédose los demás valores guales al método I Números Letras Placas 9 6 6 6 (9) (6 3 ) Número de placas o valdas (9) (6 3 ) 5 88 4 placas. El prcpo fudametal del coteo permte obteer fórmulas matemátcas para alguos casos geerales que ocurre comúmete e aplcacoes práctcas, como so, las permutacoes y las combacoes PERMUTACIONES La permutacó aparece cuado se tee N objetos DISTINGUIBLES SIN REEMPLAZO y estos puede ocupar r lugares o poscoes. Lo ateror se represeta gráfcamete como Lugar Lugar Lugar Lugar Lugar r 34
Aplcado el prcpo fudametal del coteo y recordado que e el prmer lugar pude ser ocupado por los objetos, el segudo lugar por los N- restates y así sucesvamete hasta el lugar r dode solamete puede ser ocupado por -r objetos - - -3 -r+ Permutacoes (-)(-)(-3)(.-r+) Exste u caso partcular e el cual e úmero de objetos es gual al úmero de poscoes que puede ocupar, esto es, r. por lo tato el producto ateror se coverte e el producto de los eteros cosecutvos del al. - - -3 Permutacoes (-)(-)(-3)(.-r) Este producto partcular es coocdo como el FACTORIAL Propedades elemetales del factoral (a)! (+) (+)! (b)!! (-)(-)(-3)(.-r).. (.) Las permutacoes para objetos ocupado r lugares ó casllas puede defrse e térmos del factoral y sus propedades aterores como; EJEMPLOS! P r (.3) ( r)! 7. Mostrar que la defcó de las permutacoes e térmos de factorales es correcta Partedo de la defcó dada! ( )( ) L( r + )( r) L3 P r r! ( r)( r ) L3 ( ) Smplfcado térmos! P r ( )( ) L ( r + )! ( r) para el caso partcular de r 35
!! P!!! ( ) 8. Determar cuatas formas hay de acomodar las letra A,B,C s reemplazo e tres lugares cosecutvos. Muestre explíctamete cuales so estas posbldades. Para el problema 3 y r 3, 3 P 3 3! 3 6 Explíctamete las permutacoes se puede obteer a partr del dagrama de árbol sguete A B C B C A C A B C B C A B C (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (B,C,A), (C,A,B ) y (C,B,A) 9. Utlzado el problema ateror determe e cuátos casos las letra A y B permaece jutas e todo mometo? MÉTODO I Drectamete del problema ateror se puede observar drectamete que los casos que cumple que A y B esté sempre jutas so: (A,B,C), (B,A,C), (C,A,B ) y (C,B,A), esto es, solo hay 4 casos MÉTODO II (formacó de bloques) S las letras A y B debe permaecer jutas, etoces ambas forma u bloque, co lo cual el bloque e cojuto se pude cosderar como u elemeto, e térmos de permutacoes r Bloque letra A B C! 36
Pero e el bloque formado por las letras A, B estas puede permutarse y mateerse jutas etre s, por los que hay que tomar e cueta está posbldad dode també r B A C! Sumado las posbldades aterores se tee TOTAL! +! + 4 permutacoes E térmos de otacó de permutacoes: TOTAL P* P! +! + 4 permutacoes. De cuátas formas se puede acomodar lbros dsttos e u estate Aplcado el prcpo fudametal del coteo 9 8 7 6 5 4 3!3 68 8 Medate permutacoes y r, etoces P! 368 8 Formas. Se tee 8 lbros 3 de matemátcas, 3 de físca y de bología. De cuátas maeras se puede acomodar de tal maera que los lbros de cada matera quede sempre jutos? Los tpos de lbros para mateerse jutos forma bloques de cada tpo, por lo que hay tres bloques, los cuales se puede acomodar de las sguetes N 3P3 3! 3 3! Bloque bloque bloque e Supógase ahora que se tee por ejemplo el sguete acomodo partcular de los bloques 3 3 3! 3!! Matemátcas Físca Bología Detro de cada bloque se puede permutar los lbros de cada seccó y tal como se observa se tedría N (3P3)( 3P3)(P) 3! 3!! Permutacoes Aplcado el prcpo fudametal de coteo e úmero total es N 3P3+ 3P3+ 3! N N N 3! (3! 3!!)43 37
. Dez persoas se ecuetra esperado ser ateddas e ua ofca de gobero, pero la secretara les forma que solo se atederá a ses persoas, cuál es la catdad de posbles opcoes para ateder a las persoas? Para este problema se tee persoas y solo se cueta co r 6 lugares, etoces N Pr P6!! 5 opcoes ( 6)! 4! COMBINACIONES Para eteder las como se obtee las combacoes prmero hay que observar lo que sucede cuado los objetos que so cosderados dstgubles se trasforma e dstgubles. Como ejemplo cosdere las permutacoes de las letras A, B, C y posterormete hagamos que A B A, B, C dferetes A B, C dferete reduccó A, B, C A, C, B B, C, A B, A, C C, A, B C, B, A A, A, C A, C, A A, C, A A, A, C C, A, A C, A, A A, A, C A, C, A C, A, A Las permutacoes se reduce a 3 casos úcamete. S ahora se las tres letras so dstgubles etre s ó equvaletemete ABC A, B, C dferetes A B C reduccó A, B, C A, C, B B, C, A B, A, C C, A, B C, B, A A, A, A A, A, A A, A, A A, A, A A, A, A a, A, A, A, A A,, Las permutacoes se reduce a caso úcamete. Utlzado los ejemplos aterores es posble deducr ua fórmula smple. Sí se tee objetos que puede ocupar r lugares y etre ellos hay l objetos dstgubles, l objetos dstgubles,, l k, objetos dstgubles, que cumple l + l +.+ l k, etoces e umero total de permutacoes se reduce a: 38
N Pr (.4) l! l! Ll! k Para el prmer caso r, l 3!..3 N 3!. Para el segudo caso r, l 3 3! N 3! EJEMPLO 3. Se tee 8 lbros, 3 de matemátcas, 3 de físca y de bología. S los 3 lbros de matemátcas so guales y los de bología so guales Cuátas formas posbles exste de acomodarlos e u lbrero? De acuerdo a los datos del problema, 8 lbros, l 3 lbros de matemátcas guales, l lbros de bología guales, etoces N 8! 3!!..3.4.5.6.7.8 336..3.. Las COMBINACIONES de objetos e r lugares se obtee cuado e ua permutacó de estos objetos la poscó relatva o mporta a pesar de ser dferetes etre ellos, por ejemplo todas las permutacoes (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (B,C,A), (C,A,B ) y (C,B,A) so equvaletes a (A,B,C), e este caso se puede cosderar que exste u cojuto co l r objetos guales por lo tato utlzado la fórmula (.4) Las combacoes puede escrbrse també como EJEMPLOS Pr! Cr (.5) r! ( r)! r!! r ( r)! r! 4. U cotratsta de costruccó ofrece casas co cco dsttos tpos de dstrbucó, tres tpos de techo y dos tpos de alfombrado. De cuátas formas dferetes puede u comprador elegr ua casa? Hay N 5 dstrbucoes N 3 tpos de techos y N3 tpos de alfombra, etoces, aplcado el prcpo fudametal del coteo N N N N3 5 3 3 eleccoes de casa dferetes 39
5. Se tra ses dados. De cuátas formas dferetes puede quedar las caras haca arrba? Hay 6 posbles resultados de cara para cada uo de los 6 dados, etoces, aplcado el prcpo fudametal del coteo N 6 6 6 6 6 6 6 6 46656 formas dferetes 6. Las placas de matrícula de automóvles emtdas por certo estado tee dos letras segudas por tres dígtos. Cuátas placas dferetes puede emtrse s o hay restrccoes? Para las letras hay 6 posbles resultados y para los úmeros hay posbles valores, por lo tato medate el prcpo fudametal del coteo Letra letra Num Num Num N 6 6 6. 3 676 7. Ua clase cosste e dez estudates. De cuátas formas puede seleccoarse u comté de tres estudates Este problema correspode a u caso clásco de combacoes dode estudates, r 3 estudates, etoces! N comtés. ( 3)!3! 8. U club costa de 3 membros. 5 blacos, egros y 5 de otras razas. Debe formarse u comté de 6 membros. S los 3 grupos debe estar represetados, co proporcoes guales, de cuátas formas puede hacerse esto? Los 3 membros so dvddos e 3 clases:5 blacos, egros, 5 de otros Como las proporcoes debe de ser guales y el comté está formado por 6 membros a cada clase le correspode membros para el comté 5 5! Se puede elegr 5 comtés de blacos (5 )!!! 45 comtés de blacos ( )!! 5 5! comtés de otros (3 )!! U posble caso de de comté es blacos egros de otros N 5 45 47 5 comtés 4
9. E ua clase de 3 estudates, hay hombres y mujeres. a. De cuátas formas puede seleccoarse u comté de tres hombres y dos mujeres? b De cuátas formas puede seleccoarse u comté de cco estudates? c. De cuátas formas puede seleccoarse u comté de cco estudates s los cco debe de ser del msmo sexo? a. Procededo como e el problema ateror 3 hombres de mujeres de 3 N (4)(45) 5 3 comtés b. Hay 3 estudates para ocupar r 5 lugares 3 3! 4 56 comtés. r 5 (3 5)!5! c. Puede haber u comté formado por 5 hombres ó u comté formado por 5 mujeres, etoces el resultado es la suma de cada uo de los casos 5 hombres de 5 mujeres de 3 N + 5 54+ 45 5 549 comtés. Ua "mao de póker" cosste e 5 apes sacados de ua baraja ordara 5 apes. Cuátas maos dferetes puede formarse a partr de la baraja completa? Se tee 5 apes para seleccoar ua combacó r 5, etoces 5! Cr 598.96 maos (5 5)!5! La probabldad de u eveto se defó e párrafos aterores como: P( E) N N.( E).( S) N. (E): úmero de elemetos depedetes de E. N. (S) úmero total de elemetos depedetes. 4
Es de mecoar que la defcó ateror está dada partcularmete para cojutos ftos y exste otras defcoes para cojutos ftos, por ejemplo par el caso de cojutos represetados medate áreas, la probabldad se puede defr como el cocete de el área que represeta al eveto E etre el área total que represeta al espaco muestral. La probabldad se puede terpretar como la medda de la ocurreca de u eveto que es parte de u eveto E que es parte de u espaco muestral ó expermeto aleatoro. EJEMPLOS. E ua votacó prelmar smulada para determar la probabldad de certo caddato para la presdeca de los E.U.A., se ecotró que 495 de votates seleccoados aleatóramete está a favor de dcho caddato. Cuál es la probabldad de que cualquera de los votates favorezca a este caddato? N (S) y N (E)495 etoces aplcado la defcó drecta de la probabldad 495 P.495. Supógase que estadístcas recopladas por la ofca meteorológca de Los Ágeles muestra que ha llovdo durate el desfle de las Rosas e Pasadea 4 veces durate los últmos 8 años. a. Cuál es la probabldad de que llueva durate el desfle de las Rosas el próxmo día de año uevo? b. Cuál es la probabldad de que o llueva? S E { x x es u año lluvoso el día del desfle de las Rosas}, etoces E c { x x es u año o lluvoso el día del desfle de las Rosas}, Como N (E)4, etoces N (E c ) 8-4 66 a) b) N( E) 4 P ( E) N( S) 8 c c N( E ) 66 P( E ) N( S) 8 7 4 33 4 3. U club tee 3 membros: 5 hombres y 5 mujeres. Va a costturse u comté de 5 membros. Cuál es la probabldad de que las 5 mujeres se cluya e el comté, s los membros de éste se seleccoa aleatóramete? El úmero total de comtés co r 5 membros que se puede formar co 3 membros es N(S) 3C5 4 56 El úmero de comtés co r 5 mujeres que se puede formar co 5 mujeres es N(E) 5C5 4
Por lo tato N( E) P ( E) N( S) 456 4. Sea el espaco muestral S {arroja ua moeda legal 8 veces} y sea el eveto E {Sale 5 águlas exactamete}. Determe la probabldad P (E). El úmero de elemetos que forma el espaco muestral es: N(S) 8 56 U esquema de u elemeto del eveto E es mostrado a cotuacó A A A A A S S S Para determar el úmero total de elemetos que forma el eveto E se puede aplcar la ecuacó 4, e la cual se cosdera que 8, r 8, l5 y l3. Pr 8! N ( E) 56 l! l! 5!3! Etoces ( E) 56 7 ( S ) 56 3 N P ( E) N 5. Ua teda de aparatos de sodo acaba de recbr u embarque de dez uevos aparatos, sete de modelo y tres de modelo Y. S se vede aleatóramete cuatro aparatos, cuál es la probabldad de que se veda dos de cada modelo? Hay x 7 aparatos tpo, y 3 aparatos tpo Y, se seleccoa r 4 aparatos, x + y 7. Sea E el es eveto de que se veda dos de cada modelo ó equvaletemete dos aparatos del modelo y dos aparatos del modelo Y, el eveto puede represetarse como: [,, Y, Y] Se debe de elegr r x aparatos tpo x de 7 exstetes y r y aparatos tpo Y de 3 exstetes, etoces, x y 7 3 7! 3! N ( E) ()(3 ) 63 rx ry ( 7 )!! ( 3 )!! y! N ( S) r 4 ( 4 )! 4! 43
por lo tato ( E) 63 3 ( S ) N P ( E) N 6. Debe seleccoarse u comté de tres persoas del cosejo drectvo de ua compañía. El cosejo costa de quce membros, u terco de los cuales so mujeres y dos tercos hombres. Cuál es la probabldad de que las tres persoas del comté sea todas del msmo sexo? De acuerdo a los datos 5 persoas, H hombres y M 5 mujeres, se debe seleccoa u comté r 3 persoas Sea los cojutos A {comté de 3 mujeres} y B { comté de 3 hombres} etoces C { e comté de persoas del msmo sexo} {las tres persoas sea mujeres o sea hombres } C A B Puesto que A B Φ se tee que N(C) N(A) + N(B) H M N( C) + r r y 5 N ( S) r 3 falmete ( E) 3 ( S ) 455 7 N P ( E) N! + 5! ( 3 )!3! ( 5 3 )!3!! ( 3 )! 4! 455 comtés + 3 comtés 7. Ua "mao de póker costa de cco apes. Cuál es la probabldad de que los cco apes sea del msmo palo? E u problema prevo se sabe que 5 cartas, r 5 cartas y 5 N ( S) r 5 5! ( 5 5 )!5! 598 96 maos El mazo de cartas es esta formado por 4 fguras damates, corazoes, pcas y tréboles por lo que cada tpo de fguras está coformado por P 3 cartas. Sea el cojuto B {5 cartas del msmo palo} y A {5 cartas del msmo palo tpo }, para,,3 y 4. 44
Etoces resulta que B A A A 3 A 4, y además A A A 3 A 4 Φ, por lo tato se cumple que N(B ) N(A ) + N(A ) + N(A 3 ) + N(A 4 ) Utlzado los datos se pede determar el úmero de elemetos para cada uo de los cojutos A,,,3 y 4 como las combacoes de P 3 cartas tomadas de r 5 cartas. P 3 3! N( A ) 87 r 5 ( 3 5 )!5! por lo tato 3 N ( B) 4 4 87 5 548 P ( B) 59896 ( ) 548 33 666 8. Se está formado grupos de cuatro letras empleado las letras A E I O U Y. a. Cuátos grupos puede formarse s o debe repetrse las letras? b. Cuátos grupos puede formarse s cualquer letra puede repetrse ta veces como se desee? A E I O U Y a) Este caso correspode a ua permutacó puesto que todas las letras so dferetes co 7, r 4, N 7! 7 P4 84 4! 4! ( 7 ) b) El caso correspode a u caso de eleccó co reemplazo dode e cada eleccó se puede seleccoar cualquera de las 7 letras para ocupar los 4 lugares, etoces N (7) (7) (7) (7) 7 4 4 9. U vededor de automóvles acaba de recbr u embarque de ocho automóvl uevos, cco de los cuales so compactos y tres modelos de lujo. S se vede aleatóramete cuatro automóvles, obtégase la probabldad de que se haya veddo dos de cada modelo 8 automóvles 5 compactos, 3 de lujo, se vede r 4 S{veder 4 modelos de 8 dspobles} E{ de cada modelo}{ modelos compactos y modelos de lujo} 8 8! N ( S) 7 Total de posbles vetas 4 4!4! 45
5 3 5! 3! N ( E) 3!!!3! N( E) 3 3 P ( A).8 N S 7 7 ( ) 3. S e ua estacó televsora se debe seleccoar cuatro de etre dez programas de meda hora para emtrlos cada mañaa de 8:3 a :3, de cuátas formas posbles puede arreglarse la programacó? De 8:3 a :3 solo se puede acomodar r 4 programas de meda hora, de dspobles, como e la programacó hay orde, etoces el úmero de formas posbles de acomodar la programacó es: N P! 4 4! 4! 54 ( ) 3. Supógase que ua compañía que fabrca relojes y ua compañía que fabrca máquas de escrbr debe elegr para embarcar sus productos etre tre (T), camó (C) y avó (A). Nguo de los fabrcates tee prefereca e cuato a la forma de evío, de maera que cada resultado es equprobable. a. Muéstrese el espaco muestral e u plao bdmesoal, señalado las seleccoes del fabrcate de relojes e el eje horzotal y las del fabrcate de máquas de escrbr e el eje vertcal. b. Cuál es la probabldad de que solamete uo de los fabrcates seleccoe avó para el embarque de sus productos? (a) R FABRICANTE DE RELOJES { T, C, A} M FABRICANTE DE MAQUINAS { T, C, A} S M x R { (x, y) x M y y R } {(T, T), (T, C), (T, A), (C, T), (C, C), (C, A), (A, T), (A, C), (A, A),} (b) E {solamete uo de los fabrcates seleccoe avó} { (T, A), (C, A), (A, T), (A, C)} 3. U comprador de u automóvl uevo puede elegr etre cco estlos de carrocería, co o s trasmsó automátca, co o s are acodcoado, co o s asetos dvduales y etre dez colores. De cuátas formas puede realzar su eleccó el comprador? Aplcado drectamete el prcpo fudametal del coteo N 5 carrozas (carrocerías) N trasmsó automátca N 3 are acodcoado N 4 asetos dvduales N 5 colores N N N N 3 N 4 N 5 (5).().().().()4 46
33. De cuátas formas puede elegrse u cuarteto (grupo de cuatro jugadores) de etre doce membros de u club de golf? El problema correspode drectamete a el caso típco de combacoes dode y r 4, etoces! C 4 495 ( 4)!4! 34. S estacoes de servco costtuye ua poblacó, cuál es la probabldad de que se seleccoe como muestra aleatora ua combacó de cuatro estacoes e partcular? Para el problema y r 4, etoces 8!.4398x C 4 4845 3 ( 4)!4!.978989x (4) y por lo tato la probabldad de que se seleccoe ua estacó de servco es: A P #.6x 4 P( A) 4845 # S AIOMAS BÁSICOS DE LA PROBABILIDAD Auque la defcó dada aterormete de la PROBABILIDAD permte calcularla a partr del coteo de los cojutos, es ecesaro defr uevas propedades que permta calcularla para los casos e que o sea posble aplcar dcha defcó. Sea S el espaco muestral y E u eveto cualquera, etoces a) P (S) eveto seguro b) P (φ ) eveto mposble c) P (E) Es mportate resaltar la propedad c) ya que señala que gú eveto puede de gua maera teer ua probabldad egatva uca puede ser mayor que la udad. Por lo tato, s al resolver algú problema se obtee ua probabldad que o cumpla la propedad c) se pude afrmar que el problema está mal resuelto. REGLA DE LA ADICIÓN DE PROBABILIDAD PARA EVENTOS AJENOS (c) S A BФ es decr A y B so cojutos ajeos, etoces P(AUB)P(A)+P(B) (.6) (d) S E EjФ para j, j,,3,.,, etoces P(E U E U. U E) P(E)+P(E)+ +P(E) (.7) 47
(e) como S A U A c y A AcФ etoces P(S)P(AU A c )P(A) +P(A c ) Por otra parte P(S) por lo tato P(A) +P(A c ) Despejado a P(A) P(A) - P(A c ) (.8) REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN DE PROBABILIDAD. (f) S A B Ф etoces P (AUB) P(A)+P(B)-P(A B) (.9) Nota: La regla (f) se reduce a la regla (c) e el caso de cojutos ajeos. La regla es dfícl de geeralzar para u úmero grade de cojutos. Por ejemplo, a cotuacó se muestra la regla de adcó para el caso de tres cojutos A, B, C cualquera, o ecesaramete ajeos P(AUBUC) P(AU(BUC))P(A)+P(BUC) - P(A (BUC) P(A)+P(B)+P(C)-P(B C)-P((A B) U(A C)) P(A)+P(B)+P(C)-P(B C)-(P(A B)-P(A C) +P(A B A C)) P(A)+P(B)+P(C) - P(A B) - P(A C)- P(B C) +P(A B C)) P(AUBUC) P(A)+P(B)+P(C) - P(A B) - P(A C)- P(B C) +P(A B C)) (.) CALCULO DE PROBABILIDADES APLICANDO LAS REGLAS BÁSICAS. EJEMPLOS 35. E el expermeto de arrojar tres moedas, se cosdera que los ocho posbles resultados so equprobables. S E deota al eveto de que ocurra dos soles y E al eveto de que ocurra tres soles, cuál es la probabldad de que ocurra ya sea E ó E? Esto es, cuál es P(E U E )? El espaco muestral del problema y cada uo de los evetos E y E so mostrados a cotuacó S { arrojar 3 moedas}{sss, SSA, SAS, SAA, ASS, ASA, AAS, AAA} E {dos soles}}{ssa, SAS, ASS} E {3 soles}}{sss } P(E)3/8, P(E)/8, E U E {dos soles ó tres soles}}{ssa, SAS, ASS, SSS} E E Ф P(E U E )P(E ) +P (E ) 3/8 + /8 4/8 / 48
36. E el problema ateror, s A deota al eveto de que ocurra dos o más soles y B deota al eveto de que ocurra dos o meos soles, cuál es la probabldad de que ocurra ya sea A o B? Esto es cuáto es, vale P(AUB)?. Del espaco muestral del problema ateror se tee que A { ó más soles} {ASS, SAS, SSA, SSS} B { ó meos soles} {ASS, SAS, SSA, AAS, ASA, SAA, AAA} A B{ ASS, SAS, SSA } Debdo a que los cojutos o so ajeos, se debe aplcar la ecuacó (8) P(AUB) P(A)+P(B)-P(AUB) 4/8+7/8-3/8 37. Supógase que ua bolsa cotee esferas marcadas,, 3,...,. Sea E el eveto de extraer ua esfera marcada co u úmero par y F el eveto de extraer ua esfera marcada co u úmero 5 o mayor. So E y F mutuamete excluyetes? Obtégase P(E U F). El espaco muestral y cada uo de los evetos se descrbe a cotuacó S{extraer ua esfera marcada del al } {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } E{par}{, 4, 6, 8, } F{5 ó mayor}{5, 6, 7, 8, 9, } Para que los evetos sea excluyete se debe teer que P(E F)P(E) P(F) Como E F {6, 8, } se tee que P (E F)3/ Y puesto que P(E) P(F)(5/)(6/)3/, etoces los cojutos E y F so excluyetes. Etoces No so excluyetes Aplcado la regla geeral de la adcó P(EUF)P(E)+P(F)-P(E F)5/+6/-3/8/4/3 38. S se extrae aleatóramete u ape de ua baraja ordara de 5 apes be barajados, (a) cuál es la probabldad de extraer u trébol o u corazó o u damate? (b) Cuál es la probabldad de extraer u damate o u as? Hay que recordar que la baraja está formada por 4 cojutos de 3 cartas, y que cada uo de los cojutos está correspode a las fguras de tréboles, corazoes, damates y pcas. 49