Deartamento de Economía Alcada ESCUELA UNVERSTARA DE ESTUDOS EMRESARALES DLOMATURA EN EMRESARALES ESTADÍSTCA Ejerccos Resueltos NÚMEROS ÍNDCES Curso 2006-2007
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES ) La sguente tabla muestra la evolucón trmestral del número de arados en Andalucía : Año Trmestre Nº de arados (mles de ersonas) 587,3 2002 59,8 640,9 V 643,9 609,7 2003 58,5 603,6 V 604,4 562,8 2004 575,9 590,4 V 544,5 Fuente: NE. Encuesta de oblacón Actva a) Calcular la sere de números índces smles con base el rmer trmestre de 2002. b) Calcular la sere de números índces en cadena. c) Calcular la tasa de varacón del número de arados del cuarto trmestre del año 2004 con resecto al rmer trmestre de 2003. d) Calcular la tasa meda acumulatva en el erodo comrenddo entre el rmer trmestre de 2002 y el cuarto trmestre de 2004. SOLUCÓN: a) Llamemos X: número de arados (mles de ersonas). El índce smle del erodo t con base el erodo 0, vendrá dado or: t 0 t 0 donde t es el número de arados en el erodo t y 0 es el número de arados en el erodo base. En nuestro caso el erodo base es el rmer trmestre del año 2002, que reresentaremos or -2002. Así, se tene que: 587,3 2002 2002 2002 2002 2002 2002 2002 587,3 2002 59,8,0077 587,3 2002 2002 640,9,093 2002 V 2002 V 2002 2002 2002 587,3 2002 643,9,0964 587,3 2
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES y así sucesvamente, obtenéndose: Año 2002 2003 2004 Trmestre Índces (-2002 00) 00 00,77 09,3 V 09,64 03,8 99,0 02,78 V 02,9 95,83 98,06 00,53 V 92,7 Estos índces nos ndcan la varacón orcentual del número de arados en cada erodo con resecto al erodo base. Así, or ejemlo, el número de arados del cuarto trmestre de 2002 es un 9,64% sueror al número de arados del rmer trmestre de 2002, ya que 09,64 00 9,64. b) Los números índces en cadena los calculamos tomando como base en cada erodo, el erodo anteror: t t 0 Ct Así, se tene que: t t 0 C 59,8,0077 2002 2002 o tambén 2002 587,3 C,0077,0077 2002 2002 2002 2002 2002 C 640,9,083 2002 2002 o tambén 2002 59,8 C,093,083 2002 2002 2002 2002 2002,0077 C C 643,9,0047 V 2002 2003 V 2002 C 2003 2002 640,9 V 2002 58,5 2003 2003 2003 0,9537 C 2003 2003 609,7 2003 609,7 0,9469 643,9 603,6,038 58,5 y así sucesvamente, obtenéndose: 3
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES Año 2002 2003 2004 Trmestre Índces en cadena L 00,77 08,30 V 00,47 94,69 95,37 03,80 V 00,3 93,2 02,33 02,52 V 92,23 Estos índces nos ndcan la varacón orcentual del número de arados en cada erodo con resecto al erodo anteror. Así, or ejemlo, el número de arados del segundo trmestre de 2004 es un 2,33% sueror al número de arados del rmer trmestre de 2004. Evdentemente, ara el rmer erodo no odemos calcular el índce en cadena, ya que no dsonemos el dato del erodo anteror. c) La tasa de varacón del número de arados del eríodo t con resecto al eríodo s vene dada or: t s TVts s En nuestro caso, el erodo t es el cuarto trmestre del año 2004 y el erodo s es el rmer trmestre de 2003. TV 544,5 609, 7 V 2004 2003 V 2004 2003 2003 609,7 0,069 Luego, el número de arados del cuarto trmestre del año 2004 descendó un 0,69% con resecto al rmer trmestre del año 2003. Esta tasa de varacón tambén odríamos calcularla utlzando los índces smles de ambos erodos en lugar de los valores de la varable. TV 0,927,038 ( ) V 2004 2002 2003 2002 V 2004 2003 2003 2002,038 0,069 4
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES d) La tasa meda acumulatva del número de arados del eríodo t con resecto al eríodo s vene dada or: TMA t ts t s s Así, la tasa meda acumulatva en el erodo comrenddo entre el rmer trmestre de 2002 y el cuarto trmestre de 2004 vene dada or: TMA 544,5 0,00686 V 2004 V 2004 2002 2002 587,3 or tanto, la tasa meda acumulatva en el erodo comrenddo entre el rmer trmestre de 2002 y el cuarto trmestre de 2004 es de 0,686%. Esta tasa meda acumulatva tambén se odría haber obtendo a artr de los índces smles: ( ) V 2004 2002 0,927 TMA V 2004 2002 0, 00686 2002 2002 2) Se dsone de los sguentes datos sobre el índce anual de ventas de una certa emresa: Años Índce de ventas (99000) Índce de ventas (99400) Índce de ventas (200000) 990 00 99 0,2 992 0,9 993 02,4 994 05,3 00 995 08,7 03,2 996 04, 997 05, 998 05,8 999 06,3 2000 07,2 00 200 0,8 2002 04, 2003 04,9 2004 06,5 5
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES 994. Enlazar las tres seres de números índces y eresar la sere enlazada en base el año SOLUCÓN: Como las seres de índces en base 994 y en base 2000 tenen un únco erodo en común (el año 2000), ara realzar el enlace de estas dos seres eresamos ambas en base el año 2000. ara ello, sólo tenemos que realzar un cambo de base en la sere que está en base el año 994. 94 94 94 00 00 94,072 0,9328,032 95 94 95 00 00 94,072 0,9627,040 0,97 96 94 96 00 00 94,072,05 97 94 97 00 00 94,072 0,9804,058 98 94 98 00 00 94,072 0,9869,063 99 94 99 00 00 94,072 0,996 Así, tenemos: Años Índce Índce de ventas de ventas (99000) (200000) 990 00 99 0,2 992 0,9 993 02,4 994 05,3 93,28 995 08,7 96,27 996 97, 997 98,04 998 98,69 999 99,6 2000 00 200 0,8 2002 04, 2003 04,9 2004 06,5 6
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES Ahora eresamos ambas seres en base el año 994. ara la sere en base 990, dvdmos todos los índces or el índce de 994 en base 990. ara la sere en base 2000, dvdmos todos los índces or el índce de 994 en base 2000. De esta forma, ya tendremos las tres seres enlazadas: Años Índce de ventas (99400) 990 94,97 99 96, 992 96,77 993 97,25 994 00 995 03,2 996 04, 997 05, 998 05,8 999 06,3 2000 07,2 200 09, 2002,6 2003 2,5 2004 4,2 3) Las emresas del sector nformátco de certa regón facturaron durante los años 200, 2002 y 2003 las cantdades que se ndcan y a los recos que fguran en la sguente tabla: Ordenadores ersonales Ordenadores ortátles Cantdad vendda (0 5 undades) reco or undad (euros) 200 2002 2003 200 2002 2003 30 3 40 750 805 820 5 20 25 00 50 75 a) Construr, con base el año 200, el índce de valor y los índces de recos y cantdades de Laseyres, aasche y Fsher. b) Hallar la reercusón y artcacón de cada to de ordenador en la varacón del índce de recos de Laseyres entre los años 2002 y 2003. c) Hallar la reercusón y artcacón de cada to de ordenador en la varacón del 7
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES índce de recos de aasche entre los años 2002 y 2003. SOLUCÓN: a) Los índces de recos y cantdades de Laseyres, aasche y Fsher venen dados or: L QL t 0 t t t 0 t 0 Ft 0 Lt 0 t 0 0 t 0 t t t t 0 Qt 0 QFt 0 QLt 0 Qt 0 t 0 El índce de valor vene dado or: V L Q QL t t t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 Calculemos las dstntas sumas que aarecen en las eresones de dchos índces, tenendo en cuenta que el año base es el año 200: 0 2 0 750 30 + 00 5 39000 805 30 + 50 5 4400 0 750 3 + 00 20 45250 820 30 + 75 5 42225 0 2 805 3 + 50 20 47955 2 2 750 40 + 00 25 57500 820 40 + 75 25 6275 t Año t Ordenadores ersonales qt Ordenadores ortátles 2t q2t t 0 0 t 0 200 750 30 00 5 39000 39000 39000 2002 805 3 50 20 4400 45250 47955 2 2003 820 40 75 25 42225 57500 6275 t t 8
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES Una vez obtendas las dstntas sumas, calculamos los índces: L QL 0 0 Q 0 0 0 4400,065 39000 47955,0598 45250 0 0q 45250,603 39000 47955,583 4400 0 L QL Q 2 0 2 0 2 0 2 0 2q0 42225,0827 39000 2q2 6275,083 57500 0 2 0q2 57500,4744 39000 2q2 6275,4725 42225 2 0 F 0 L 0 0, 065, 0598, 0606 F2 0 L2 0 2 0, 0827, 083, 082 QF 0 QL 0 Q 0,603,583,593 QF2 0 QL2 0 Q2 0, 4744, 4725, 4734 V 0 47955, 2296 39000 V 2 0 2q2 6275,5942 39000 El índce de valor tambén se odría haber obtendo a artr de los índces de recos y cantdades de Laseyres, aasche y Fsher: V L Q QL F QF t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 Índces de recos (20000) Índces de cantdades (20000) Índce de valor (20000) Año L F QL Q QF V 200 00 00 00 00 00 00 00 2002 06,5 05,98 06,06 6,03 5,83 5,93 22,96 2003 08,27 08,3 08,2 47,44 47,25 47,34 59,42 9
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES b) ara calcular la reercusón y artcacón, tenemos que eresar el índce de recos de Laseyres como una meda artmétca onderada de índces smles de recos. sendo la onderacón del artículo, y L el índce smle de recos del artículo. t 0 αt 0 α t 0 t Calculemos la onderacón y los índces smles de recos de cada to de ordenador: 0 q0 750 30 onderacón de los ordenadores ersonales: α 0,5769 39000 0 20q20 00 5 onderacón de los ordenadores ortátles: α2 0, 423 39000 Índces smles de recos con base el años 200: Año Ordenadores Ordenadores ersonales ortátles 200 00 00 2002 07,33 04,55 2003 09,33 06,82 Como las onderacones son constantes en el temo, la reercusón de cada to de ordenador en la varacón del índce de recos de Laseyres entre los años 2002 y 2003 () vene dada or: R α ( ). 03 02 03 0 02 0 Reercusón de los ordenadores ersonales: R α ( ) 0,5769 (, 0933, 0733) 0,05 () 03 02 03 0 02 0 Reercusón de los ordenadores ortátles: R α ( ) 0, 423 (, 0682, 0454) 0, 0096 (2) 2 2 03 02 2 03 0 02 0 0
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES La artcacón de cada to de ordenador en la varacón del índce de recos de () R () ts Laseyres entre los años 2002 y 2003 vene dada or: ts. L L artcacón de los ordenadores ersonales: () () () 03 02 03 02 03 02 L03 0 L02 0 t 0 s 0 R 0, 05 0,5425 54, 25%, 0827,065 artcacón de los ordenadores ortátles: R 0, 0096 0, 4528 45, 28%, 0827, 065 (2) (2) (2) 03 02 03 02 03 02 L03 0 L02 0 c) ara calcular la reercusón y artcacón, tenemos que eresar el índce de recos de aasche como una meda artmétca onderada de índces smles de recos. sendo la onderacón del artículo, y el índce smle de recos del artículo. t 0 αtt 0 α t t 0 0 t t 0 t En este caso, como las onderacones son varables en el temo, la reercusón de cada to de ordenador en la varacón del índce de recos de aasche entre los años () 2002 y 2003 vene dada or: R α α. 0 03 02,03 03 0,02 02 0 Calculemos las onderacones de cada to de ordenador en los años 2002 y 2003: onderacón de los ordenadores ersonales año 2002: α,0,02,02 q q,0,02 750 3 0,538 45250 onderacón de los ordenadores ortátles año 2002:
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES α 2,0 2,02 2,02 q q,0,02 00 20 45250 0, 4862 onderacón de los ordenadores ersonales año 2003: α,0,03,03 q q,0,03 750 40 57500 0,527 onderacón de los ordenadores ortátles año 2003: α 2,0 2,03 2,03 q q,0,03 00 25 57500 0,4783 Luego, la reercusón de cada to de ordenador en la varacón del índce de recos de aasche entre los años 2002 y 2003 es: Reercusón de los ordenadores ersonales: () R03 02 α,0303 0 α,0202 0 0,527, 0933 0,538, 0733 0, 089 Reercusón de los ordenadores ortátles: (2) 2 2 R03 02 α2,0303 0 α2,0202 0 0, 4783,0682 0, 4862, 0455 0, 0026 La artcacón de cada to de ordenador en la varacón del índce de recos de () R () ts aasche entre los años 2002 y 2003 vene dada or: ts. artcacón de los ordenadores ersonales: () () () 03 02 03 02 03 02 03 0 02 0 t 0 s 0 R 0, 089 0,879 87,9%, 083, 0598 artcacón de los ordenadores ortátles: R 0, 0026 0,209 2,09%, 083, 0598 (2) (2) (2) 03 02 03 02 03 02 L03 0 L02 0 2
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES 4) Los gastos de una emresa del sector químco se han desglosado en los sguentes aartados: Salaros Matera rma Equamento La gerenca ha comrobado que la estructura del gasto uede suonerse aromadamente constante durante el eríodo 996-2000, corresondendo el 50% de los msmos a los salaros, el 20% a la matera rma y el 30% restante al equamento. ara cada uno de los aartados de gasto se dsone de la sguente nformacón: Año Salaros Tasa de varacón anual Índce Gastos de Equamento (0 6 esetas) Matera rma (%) (Base 995) 996 640-05,0 997 650-08,0 998 655-0,3 999 670-2,0 2000 675 3 7,0 Se sabe tambén que la tasa meda anual acumulatva de crecmento del gasto en matera rma en el eríodo 996-99 fue del 2,5%. a) Obtenga el índce agregado de gasto ara el año 2000, con base 996. b) Sabendo que en 996 el gasto en matera rma se stuó en los 384 mllones de esetas y que el gasto en equamento durante 998 fue de 268 mllones de esetas, cuál fue el gasto total en mllones de esetas en el año 2000? c) Sabendo que el valor del C del año 2000, con base 996, fue 2,5 y que la lantlla ha ermanecdo estable durante todo el eríodo, qué uede decr sobre la varacón del oder adqustvo de los trabajadores en el eríodo 996-2000? SOLUCÓN: a) El índce agregado de gasto lo obtendremos medante una meda artmétca onderada de los índces smles de cada to de gasto: 3 00 96 α00 96 donde,, son resectvamente, los índces smles del gasto en salaros, 2 3 00 96 00 96 00 96 gasto en matera rma y gasto en equamento, sendo las onderacones: onderacón del gasto en salaros: α 0,5 onderacón del gasto en matera rma: α 2 0,2 onderacón del gasto en equamento: α 3 0,3 3
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES Tenemos que calcular los índces smles de cada to de gasto ara el año 2000 con base el año 996. El índce del gasto en salaros ara el año 2000 con base el año 996 será: 00 96 675,0547 640 El índce del gasto en equamento ara el año 2000 con base el año 996 lo obtenemos realzando un cambo de base:,70,70,43,43 3 00 95 3 3 3 00 96 00 96 96 95, 050,050 Como la tasa meda acumulatva de crecmento del gasto en matera rma en el erodo 996-999 fue del 2,5%: TMA 0, 025 ( + 0, 025), 0769 2 2 99 96 3 99 96 2 3 3 99 96 2 99 96 96 96 Como la tasa de varacón del gasto en matera rma del año 2000 con resecto al año 999 fue del 3%:,03,03,0769,092,092 2 2 2 00 96 99 96 00 96 or tanto, el índce agregado de gasto ara el año 2000 con base el año 996 es: 0,5,0547 + 0, 2,092 + 0,3,43,0835,0835 00 96 00 96 b) Tenemos que calcular el gasto en matera rma y en equamento en el año 2000, ya que el gasto en salaros ara dcho año lo conocemos. Como 2 00 96,092 y el gasto en matera rma en el año 996 fue de 384 mllones de esetas, tenemos que el gasto en matera rma en el año 2000 fue:,092 384 425,9328 mllones de esetas. ara calcular el gasto en equamento en el año 2000, en rmer lugar calculamos el índce smle del gasto en equamento del año 998 con base 996:,03,03,0505,0505 3 98 95 3 3 3 98 96 98 96 96 95,050,050 4
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES Como el gasto en equamento en el año 998 fue de 268 mllones de esetas y, se tene que el gasto en equamento en el año 2000 fue: 3 98 96,0505, 0505 268 28,534 mllones de esetas. or tanto, el gasto total en el año 2000 fue: 675 + 425,9328 + 28, 534 382, 4668 mllones de esetas. c) Deflaconando el valor del gasto en salaros del año 2000: 675 600 mllones de esetas del año 996,25 Como el gasto en salaros del año 996 fue de 640 mllones de esetas, el oder adqustvo de los trabajadores ha dsmnudo 5) En el año 2002, los trabajadores de una determnada emresa acordaron con la dreccón de la msma la subda salaral ara los dos años sguentes. En el acuerdo fguraba que cada año se aumentaría el salaro en un determnado orcentaje (el msmo ara cada año), y que en el año 2004 se negocaría la subda salaral ara el año 2005. En el año 2002, el salaro mensual de un determnado trabajador de esta emresa era de 200, y en el año 2004 había erddo un % del oder adqustvo que tenía en el año 2002. S la evolucón del C es al que aarece en la sguente tabla: Año 2002 2003 2004 C (base 200) 03,54 06,68 09,93 y la tasa de nflacón revsta ara el erodo 2004-2005 es del 3,5%, calcular: a) El salaro mensual que debería cobrar en el año 2005 ara recuerar el oder adqustvo que tenía en el año 2002. b) El salaro mensual que cobraba en los años 2003 y 2004, en euros correntes y en euros constantes. SOLUCÓN: SR t el salaro en euros cons- a) Reresentemos or S t el salaro en euros correntes, y or tantes. Así, tenemos que: St SRt C y estará eresado en euros del año 200, que es la base del C. t 0 5
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES ara que en el año 2005 tenga el msmo oder adqustvo que en el año 2002: SR SR 05 02 Ahora ben, SR S 200 02 02 C02 0, 0354 58, 97 Luego, el salaro ara el año 2005, en euros constantes, debería ser de 58,97 euros. ara eresarlo en euros correntes, tenemos que calcular el C revsto ara el año 2005. Como la tasa de nflacón revsta ara el erodo 2004-2005 es del 3,5%, el C revsto ara el año 2005 será: C C 05 0 05 0 0,035 0,035 C05 0,378 C04 0,0993 y el salaro, en euros correntes, ara el año 2005 debería ser: S05 SR05 C05 0 58,97,378 38,68 b) Como en el año 2004 había erddo un % del oder adqustvo que tenía en el año 2002: SR 0,99 SR 04 02 or tanto, el salaro, en euros constantes, ara el año 2004 sería: y en euros correntes, sería: SR 04 0,99 58, 97 47,38 S04 SR04 C04 0 47,38,0993 26,3 or otra arte, como el orcentaje de aumento acordado ara los años 2003 y 2004 era constante, dcho orcentaje concdrá con la tasa meda acumulatva de crecmento del salaro, en euros correntes, en el erodo 2002-2004: TMA S 26,3 0,0252 04 04 02 S02 200 or tanto, el orcentaje de aumento acordado era del 2,52%. Así, el salaro, en euros correntes, ara el año 2003 sería: 6
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES S, 0252 S, 0252 200 230, 24 03 02 y en euros constantes, sería: SR S 230,24 53,2 03 03 C03 0, 0668 6) En un determnado aís, el Índce de recos de Consumo se construye como una meda onderada de los índces de recos de los doce gruos de benes y servcos que comonen la cesta de la comra. Se dsone de la sguente nformacón relatva a la tasa de nflacón nteranual y a la artcacón del gruo Almentacón en el ncremento del C de cada año resecto al anteror: Año Tasa de nflacón nteranual en % artcacón del gruo Almentacón en el ncremento del C de cada año resecto al anteror (%) 200 5,52 3,93 2002 8,298,508 2003 3,94 4,263 S la onderacón del gruo Almentacón en la construccón del C es del 2%, calcular los índces de recos del gruo Almentacón ara cada año, tomando como base el año 2000 y calcular la tasa meda acumulatva de crecmento de los recos del gruo Almentacón en el erodo 2000-2003. SOLUCÓN: a) A artr de la tasa de nflacón nteranual, calculamos el valor de C con base 2000. C 00 00 C,0552 C,0552,0552 C C 0 00 00 00,08298 C,08298,0552,4276 02 00 0 00,0394 C,0394,4276,878 03 00 02 00 y de estos índces odemos obtener los ncrementos absolutos del C de cada año con resecto al anteror: C 0 00,0552 0,0552 C 02 0,4276,0552 0,08756 C 03 02,878,4276 0,04504 7
Deartamento de Economía Alcada Ejerccos Resueltos: NÚMEROS ÍNDCES Como la artcacón vene dada or: R ts ts sendo ts Cts R la reercusón entre los erodos s y t, odemos obtener la reercusón del gruo Almentacón en el ncremento del C de cada año con resecto al anteror: R R 0,393 R 0,00768 0 00 0 00 0 00 0 00 C0 00 0,0552 R R 0,0508 R 0,0032 02 0 02 0 02 0 02 0 C02 0 0,08756 R R 0,04263 R 0,0092 03 02 03 02 03 02 03 02 C03 02 0,04504 A A A or otra arte, Rt s αa t s αa ( t 0 s 0), donde α A es la onderacón del gruo Almentacón y or tanto, A t 0 el índce del gruo Almentacón. R 0,2 ( ) 0,00768 0,2 ( ),064 A A A A 0 00 0 00 00 00 0 00 0 00 R 0,2 ( ) 0,0032 0,2 (,064),075 A A A A 02 0 02 00 0 00 02 00 02 00 R 0,2 ( ) 0,0092 0,2 (, 075), 09 A A A A 03 02 03 00 02 00 03 00 03 00 or tanto, los índces del gruo almentacón son: Año Índces gruo Almentacón (200000) 2000 00 200 06,4 2002 07,5 2003 09, La tasa meda acumulatva de crecmento de los recos del gruo Almentacón en el erodo 2000-2003: TMA A 03 00,09 3 3 03 00 0, 02946 A 00 00 or tanto, la tasa meda acumulatva de crecmento de los recos del gruo Almentacón en el erodo 2000-2003 fue del 2,946%. 8