TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

TMS D MTMÁTICS (Oposcoes de Secud) TM 6 DISCUSIÓN Y RSOUCIÓN D SISTMS D CUCIONS INS. TORM D ROUCH. RG D CRMR. MÉTODO D GUSS- JORDN.. Itoduccó.. Sstes de cucoes eles... Defcó... Sstes quvletes... Tpos de Sstes..4. Itepetcó de u Sste e Téos de u plccó el.. Teoe de Rouché-Föeus. 4. Regl de Ce. 5. Método de Guss-Jod. 5.. Métodos de Guss. 5.. Método de Guss co Pvote Pcl. 5.. Método de Guss co Pvote Totl. 5.4. Método de Guss-Jod. Blogfí Recoedd. /9

TM 6 DISCUSIÓN Y RSOUCIÓN D SISTMS D CUCIONS INS. TORM D ROUCH. RG D CRMR. MÉTODO D GUSS- JORDN.. INTRODUCCIÓN. Po todos es coocd l potc que tee los sstes de ecucoes leles e l esolucó de poles, tto e l teátc pu coo e l plcd. este cso vos tt de l esolucó de sstes de ecucoes leles co cógts cd uo y co coefcetes e u cuepo (que htulete seá, peo puede se o ). l teoe de Rouché-Föeus (té coocdo o el oe de oecke) os d ls codcoes ecess y sufcetes p l estec de solucó. Regl de Ce os pete otee dch solucó de fo eplíct, uque cost de elz u g úeo de opecoes. Desceos po tto, dfeetes étodos uécos que os petá de fo dect otee l solucó ect. teoí de espcos vectoles y de plccoes leles os v pet deduc esultdos soe el couto de ls solucoes.. SISTMS D CUCIONS INS... Defcó. U sste de ecucoes leles co cógts y co coefcetes e u cuepo es u sste de ecucoes de l fo.......... () dode ( ),,. os ece el oe de coefcetes, los de téos depedetes y ls so ls cógts. DF Ddo el sste de ecucoes leles (), deos que es hoogéeo s 0. l sste () se puede esc de fo tcl coo o de fo ás secll coo...... M M... /9

X B DF Deos que ( α α,..., α ), es u solucó del sste () s l susttu cd cógt po α ls ecucoes se tsfo e detddes. l couto fodo po tods ls solucoes lo lleos solucó del sste... Sstes quvletes. DF Deos que dos sstes de ecucoes leles co el so úeo de cógts so quvletes s tod solucó del peo lo es del segudo, y l evés. Té seá equvletes s os cece de solucoes. OBS l defcó de sstes equvletes, e gú oeto se lude que de tee el so úeo de ecucoes. NOTCIÓN pt de ho esceos l ecucó de lug... coo e () o, ás secllete, po DF Ddo el sste e () e () () e () deos que u ecucó e es cocó lel de ls ecucoes del sste s este úeos λ, λ,., λ e el cuepo tles que se vefc e ( ) e ( )... e ( ) λ λ y λ... λ PROP Ddo u sste co ecucoes leles,,., y cógts, se puede otee sstes equvletes efectudo ls sguetes opecoes eleetles. /9

) Peut el ode de dos ecucoes. ) Susttu u ecucó po el esultdo de ultplc todos los eleetos de l ecucó po u escl λ o ulo. c) Susttu u ecucó po el esultdo de su l ecucó el poducto de u escl to λ po ot ecucó. (co ). Más geelete, susttu l ecucó po λ. p culesque escles λ. d) ñd l (sup del) sste de u ecucó que se cocó lel del esto. De. ) l peut el ode de dos ecucoes oteeos u uevo sste que tee ls ss ecucoes que el teo, po tto u solucó p uo de ellos, té lo es p el oto. ) Se el sste M co... Se (α,..,α ) solucó del pe sste. toces, po se gules, té es solucó tods ls ecucoes del segudo sste eos l del lug. Copoeos que p ést té es solucó: λ α λ α... λ α ( α... α ) λ λ Coo λ 0, λ - α... α sedo l epesó cet l se (α,.., α ) solucó de. c) Ddo el sste 4/9

M () susttuos e el po λ (elegos l últ po cooddd) M λ (4) os sstes tee ls pes ecucoes gules, sólo l últ es dfeete, sedo λ ( ) λ e ( )... λ e ( ) e ( ) λ e... λ λ λ Veos que os sstes so equvletes. S α (α,., α ) es solucó de (), té lo es de (4). Po se α solucó del pe sste se vefc (α) y té es ceto que λ e (α) λ :,., :,.., co λ. Sudo ls detddes oteeos que ( α) λ e( α)... λ e ( α) λ... λ λ e es ceto, y st to λ (euto de poducto e ) p que es epesó se λ, l cul es cet p α. Coo ls pes de (4) cocdí co ls de (), té so cets y α es solucó de (4). S α ( α, α,, α ) es solucó de (4), té lo es de (). Po se α solucó de (4) se vefc que e ( ) :,..., α 5/9

λ e ( α) e ( α) λ Sólo heos de copo que α es solucó de l últ ecucó de (). e ( ) λe ( α) e ( α) λ α λ... uego e (α) y l ecucó es cet. d) Ddo el sste (), s ñdos u ecucó que se cocó lel del esto, oteeos e e e λ e ( ) ( )... ( ) ( ) λ (5) s clo que tod solucó (5) es solucó de () pues ls ecucoes del pe sste so té ecucoes del segudo. álogete, u solucó de () vefc ls pes ecucoes de (5), y té l últ, coo es fácl de copo, luego es solucó de (5)... Tpos de sstes. Segú el úeo de solucoes de u sste de ecucoes leles, los podeos clsfc e: DF Deos que u sste es Coptle s tee solucó. S es úc seá Coptle detedo y s es últple Coptle detedo. el cso de o tee solucó deos que es coptle. Detedos ( Solucó Uc) Coptle Sstes Idet edos ( Solucó Múltple) Icoptles ( S solucó).4. Itepetcó de u Sste e Téos de u plccó el. pt de ho cosdeeos que el cuepo es. Ddo u sste de ecucoes co cógts, epesdo de fo tcl se esce coo 6/9

X B Cosdeeos l úc plccó F: que tee coo tz socd (po eeplo, especto de ls ses cócs). tz colu X es u vecto culque y l tz colu B es u vecto fo. toces el sste se puede epes coo f ( ) sedo l solucó l sste el couto f ( ) epesó f ( ) o coespode l sste hoogéeo socdo f ( ).. s solucoes de u sste hoogéeo so los eleetos de f ( o) defcó es, ef, el úcleo de l plccó. que po PROP l couto de solucoes de u sste hoogéeo fo u suespco vectol de. De. s dedo que ef tee estuctu de suespco vectol. PROP l couto de solucoes de u sste de ecucoes leles puede oteese sudo u solucó ptcul del sste tods ls solucoes del sste hoogéeo socdo. De. su de u solucó ptcul α co u solucó del sste hoogéeo socdo α es solucó: uego α α es solucó del sste. f ( α α ) f ( α) f ( α ) o Tod solucó del sste puede descopoese coo su de u solucó ptcul α y u solucó del sste hoogéeo socdo α. Se β solucó del sste f(β) 7/9

toces f ( β α) f ( β) f ( α) o uego β - α ef y β - α α ef Y β α α coo queíos po. Podeos ho cctez los dfeetes tpos de sstes e téos de l plccó lel socd. S ( ) ( ) I f f S I( f ) α f ( α) Ø y el sste es Icoptle. /, dádose dos stucoes - S ef { o }, l plccó es yectv y l solucó es úc. Sste Coptle detedo. - S ef { } Idetedo. o, l solucó o es úc y el sste es Coptle tz socd l plccó lel f vefc lo cul os pete dec D (I (f)) Rg () d e (f) d d I (f) Rg () y podeos cctez u sste de ecucoes coptle sólo co el úeo de cógts y el go de l tz de coefcetes. OBS U sste hoogéeo sepe es coptle y que O I ( f ). TORM D ROUCHÉ-FRÖBNIUS DF Ddo u sste de ecucoes leles X B, lleos tz pld l tz que se otee de ñd l tz colu B l tz coo ( )- és colu. Se epeset po (/B). ( / B)........................ 8/9

TORM. Teoe de Rouché-Föeus. Se X B l epesetcó tcl de u sste de ecucoes leles co cógts. X B es coptle g () g (/B). deás, seá coptle detedo s g () e detedo e cso coto. De. Supogos que el sste es coptle y se α (α,, α ) u solucó del so. Se tee ls sguetes detddes: coo α α α α... α... α... α α... α S llos (,..., ), co α α... α el sste lo podeos esc lo cul os dc que es cocó lel de {,..., } de. toces Rg () g (/B), que so ls colus S el sste es coptle detedo, l cocó lel teo es úc y se deduce que {,,..., } es u couto lelete Idepedete. Y de quí podeos f que Rg () Coo po hpótess g () g (/B) se d que es cocó lel de {,..., },. α, α,..., α / α toces α (α, α,., α ) es solucó del sste 9/9

f ( α) α y el sste es Coptle. S Rg () {,..., }, es u couto elete Idepedete lo cul sgfc que l cocó lel es úc, sedo té l solucó l sste. CORORIO vefc Se X B u sste de ecucoes leles co cógts. Se ) X B es Coptle Detedo g () g (/B) ) X B es Coptle Idetedo g () g (/B) < c) X B es Icoptle g () g (/B) De. Iedt s ás que tee e cuet el teoe teo. OBS S g () g (/B) co < teeos que d ef d d If Rg () y etoces ls solucoes del sste, l fo u suespco de desó, se epes e fucó de páetos. 4. RG D CRMR. DF Deos que u sste co el so úeo de ecucoes que de cógts es de Ce s tee solucó úc (s es coptle detedo). PROP U sste co gul úeo de ecucoes que de cógts es de Ce s y solo s 0. De. Se el sste X B co u tz cudd de tño. toces l tz (/B) es de ode ( ) sedo po tto g (/B). Seos que g () 0 y plcdo el teoe de Rouche-Föeus oteeos que el sste es coptle detedo s y solo s 0. 0/9

/9 os sstes de Ce tee u fo especl de esolvese, que es plcdo l lld Regl de Ce. Veos e que cosste: codcó 0 os pete gtz l estec de -. Po tto, ddo el sste X B podeos despe X coo: X B - X - B X - B Sedo l solucó úc. Veos ho coo desoll es epesó p otee el vlo de cd cógt. Seos que ( ) ( ) t d y podeos esc l guldd X - B coo: M sedo cd el duto del eleeto de l tz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) y detlldo ls opecoes ecess p clcul cd cógt ( ),...,,,,...,, det... OBS S u sste hoogéeo es de Ce, l úc solucó es l tvl.

/9 egl de Ce té es plcle sstes coptles detedos, uque p ello es eceso plcl u sste equvlete que vefque se de Ce. Se............ u sste coptle dode ( ) ( ) { } B g g, / Supogos, s pédd de geeldd, que { },,..., es lelete depedete (dode ). s lo so que f g Teedo e cuet que s e u sste de ecucoes se el u de ell que se cocó lel de ls deás, el sste que se otee es equvlete, podeos dc que el sste cl es equvlete............ que se puede esc coo............

y lldo c os qued............ que es u sste de Ce, sedo los téos depedetes fucoes especto de ls cógts,,..,. plcdo l egl de Ce teeos c c c ( ) f,,..., y ls solucoes del sste cl vee dds po f f ( λ, λ,..., λ ) ( λ, λ,..., λ )... λ λ... sedo λ k,., λ páetos. 5. MÉTODO D GUSS-JORDN. egl de Ce os pete otee l solucó de culque sste coptle, co de elz u g ctdd de opecoes. s po ello que su uso qued ltdo sstes co pocs ecucoes. fdo u poco ás, p otee l solucó de u sste de ecucoes co cógts, l egl de Ce plc elz ( )! poductos, ( ) (! ) sus y dvsoes, lo cul es u totl de ( )! opecoes. Dedo l efcc del étodo de Ce co sstes de 5 o ás ecucoes, vos estud ots fos de esolve u sste de ecucoes leles. Veeos el étodo de Guss, y lgu de sus vtes, que os d l solucó ect gcs u see de opecoes eleetles. l étodo de Guss tsfo el sste esolve e oto equvlete, tl que su tz de coefcetes se tgul supeo, sedo sí fáclete esolule. l úeo de opecoes que heos de elz p esolve u sste de ecucoes 7 co cógts es que es uy feo l Método de Ce. 6 /9

4/9 5.. Método de Guss. l étodo de Guss tsfo u sste............... e oto equvlete co tz de coefcete tgul supeo. Ptedo del sste de ecucoes leles teo, veos los psos segu: Pso. Se cosgue ceos e l pe colu po deo de l dgol pcpl (supoeos 0 eodedo el sste s fuese eceso). plcdo l sste cl ls ecucoes: oteeos............... Resuedo, ls opecoes elzds so y

Pso. Se cosgue ceos e l segud colu po deo de l dgol pcpl (supoeos 0, eodedo el sste s fuese eceso). plcos l sste otedo e el pso ls ecucoes: y oteeos............... ste sste se h otedo plcdo l teo ls tsfocoes Pso. Se cosgue ceos e l colu po deo de l dgol pcpl (podeos supoe que 0, eodedo s fuese eceso, slvo que todos los 0 co,sedo eceso etoces elz este pso). plcos l sste otedo el pso ls ecucoes: ) ) ) ) ) ) ) ) 5/9

) ) oteedo u uevo sste equvlete l del pso, y po tto, todos los teoes. s opecoes eleetles plcds h sdo: ) ) ) ) Después de psos coo ucho, se otee u sste equvlete l cl co tz de coefcetes tgul supeo. l sste X B seá equvlete TX C co T tgul supeo. Se vefc g () g (T) g (/B) g (T/C) que esuelve fáclete s s que tee e cuet: ) l Sste es Icoptle s y solo s g (T) g (T/C). Y eso es equvlete ecot e TX C u ecucó del tpo 0 C sedo C 0. ) l sste es Coptle detedo s y solo s g (T) g (T/C), que es equvlete que el sste TX C se de l fo: t t t... t c t t... t c t... t c... t c sedo los eleetos de l dgol pcpl todos o ulos. l sste se esuelve ptedo de l últ ecucó y scededo hst l pe. ) l sste es Coptle Idetedo s y solo s g (T) g(t/c) <. Supogos, s pédd de geeldd, que 6/9

t t t 0 t t g 0 0 t lo que olg que todos los eleetos de l dgol pcpl se o ulos hst l fl. toces el sste cl, X B, es Coptle Idetedo s y solo s el sste equvlete TX C puede escse coo: t t t... t... t t sedo ls solucoes l sste: f f f( c, ),..., ( c,,..., )... ( ) c,,..., ( λ,..., ) g λ λ dode los páetos λ,..., λ so úeos eles. ) OBS el pso, sedo, el coefcete dee se o ulo p que ls coespodetes ecucoes teg setdo. Bst elz u eodecó de ls ecucoes p pode otee dch hpótess, vcó que o fect ls cógts. o que s que es u coveete potte es el hecho de que se ) ) uy pequeño y, po tto, / uy gde, pudedo peset dfcultdes el t co estos úeos. os eoes de edodeo podí educédose y uet pso pso, desvtudo l solucó. f de esolve est dfcultd, veeos cotucó vtes del étodo de Guss. 5.. Método de Guss co Pvote Pcl. Cosste e to, e el pso, e lug del eleeto que ) ) { / } ) el eleeto ) ) tl Se tt, e deftv, de tec l fl po l y segu plcdo e étodo de Guss. 7/9

5.. Método de Guss co Pvote Totl. l gul que el teo, e el pso, toeos e lug del eleeto eleeto k) { / } ) el ho o sólo tecos fls (ecucoes) s o té colus (cógts). U vez elzdo el teco y colocdo el eleeto elegdo e el lug de, se sgue plcdo el étodo de Guss. ) 5.4. Método de Guss-Jod. Ddo el sste X B, s es u tz cudd co 0, el étodo de Guss puede se copletdo tguldo té l pte supeo, covtedo sí l tz e u tz dgol. st vte se cooce co el oe de Método de Guss-Jod, y cosste e covet ceo todos los eleetos de tz eos los de dgol pcpl. Ddo el sste X B se tsfo l tz ( / B) po el étodo de Guss e ( T / C ) oteédose el sste TX C. t 0 0 t t 0 t c t c t c P otee ceos po ec de l dgol pcpl e T, se pocede de fo sl, sguedo el sguete lgoto. Pe pso. Se cosgue ceos e l colu de l tz (T/C) po ec de l dgol pcpl, tsfodo cd ecucó e edte 8/9

Pso. t t Se cosgue ceos e l colu po ec de l dgol pcpl, ) ) ptedo del sste e el pso, tsfodo cd ecucó e edte ) ) ) k) t t ) ) ( ) ( )( ) ) lo suo psos oteeos el sste 0 0 d 0 0 0 0 d p p p oteédose de fo tvl l solucó coo P d Blogfí Recoedd. Álge el. ut: leto uzág. Álge y Geoetí. ut: Bulo de Dego. dt: Deos. Cuso de Álge y Geoetí. ut: Ju de Bugos. dt: lh. Cuso de Mteátcs See. ut:. Nego, V. Zoo. dt: lh. 9/9