SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO 4/ LIC: JESÚS REYES HEROLES GUÍA PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS IV: FUNCIONES ENERO DE 01 PROFESOR: Lucio Sáchez Chávez 1
CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO LIC JESUS REYES HEROLES GUIA DE MATEMÁTICAS IV: FUNCIONES NOMBRE GRUPO Lucio Sáchez Chávez. Eero 01 Bloque I Recooces y relizs opercioes co distitos tipos de fucioes. Coceptos básicos sobre fucioes: U ejemplo muy simple de lo que es u fució so ls diferetes fórmuls que cooces por tus estudios teriores de mtemátics, físic, químic etc. U de ells es l fórmul del áre de u círculo. E l fórmul A r, hy dos ctiddes que vrí, el rdio cuyo vlor puede ser culquier úmero rel y el áre cuyo vlor depederá del vlor que teg el rdio. Por ejemplo si el rdio mide 10 cm., el áre del círculo será 314.16 cm. Y o podrá teer otro vlor. Es decir pr ese vlor del rdio 10 cm. eiste u úico vlor pr el áre que es 314.16 cm. Este vlor del áre es úico pr el rdio de 10cm. Y sí sucede pr culquier otro vlor que se de pr el rdio. E el ejemplo l rdio, vrible que puede tomr culquier vlor se le deomi vrible idepediete y l áre cuyo vlor depede del vlor del rdio se le llm vrible depediete. Si se cosider hor l ecució ( ) ( y ) 1 de l circufereci (curv que es el cojuto de putos que equidist de u puto fijo llmdo cetro) y se ve l gráfic de bjo se observ que, pr = -.5, y siempre tedrá vlores, igulmete sucede pr =-1.5 y sí pr culquier vlor de meor que -1 y myor que -3. Observ que se h trzdo dos rects verticles que cort cd u e putos l circufereci. Es decir cd tiee dos vlores de y, por lo cul est ecució o correspode u fució, es simplemete u relció. Trzr rects verticles l gráfic yud idetificr si correspode u fució o u relció, esto costituye l regl de l verticl. Diferetes forms de represetció de u fució: No sólo ls fórmuls o epresioes lgebrics represet u fució tmbié se puede ver relció etre vribles, e tbls, e gráfics, e digrms, cojuto de pres ordedos, e
eucidos de los muchos problems que se h resuelto lo lrgo de l secudri e icluso l primri. Ess so ls diferetes forms de represetr u fució. Domiio y rgo: E el ejemplo se vio, que l vrible idepediete como el rdio puede tomr culquier vlor detro del cojuto de los úmeros reles. A ese cojuto umérico se le llm domiio de l fució y l cojuto de vlores que por cosecueci tom l vrible depediete, e el ejemplo el áre, se llm rgo de l fució. Notció: L otció que se us pr fucioes reles de vribles reles es: y f ( y se lee y es igul f de es l vrible idepediete, y l vrible depediete. Pr referirse u fució se puede usr y o tmbié f (. L form como se relcio e y es l regl de correspodeci. Por ejemplo e y=, l regl es que cd y le correspode el doble de EJERCICIOS ) 1) Qué es u fució? ) Cuál es l difereci etre u relció y u fució? 3) Cuáles so ls diferetes forms de represetr u fució? D u ejemplo pr u fució culquier. 4) Qué es el domiio de u fució? 5) Qué es el rgo de u fució? 6) E l fució A r, idic l vrible idepediete y el domiio; l vrible depediete y el rgo. 7) D otros ejemplos de fucioes recuerd ls fórmuls usds e otrs sigturs. Idetific l vrible idepediete y l vrible depediete. 8) Que otció se us pr u fució que relcio ls vribles ; y 9) E el siguiete cudro, determi cul de ls gráfics correspode fucioes y cules so relcioes. (Us l prueb de l rect verticl) y= - +3-1 3
Clsificció de fucioes Hy diferetes criterios pr clsificr fucioes, quí sólo se cosider ls fucioes lgebrics y ls o lgebrics. E ls primers se icluye ls poliomiles, rcioles y ls que o so i poliomiles i rcioles. E ls o lgebrics o trscedetes se tiee ls fucioes trigoométrics, epoeciles y logrítmics Fucioes Poliomiles: Fució Liel y b,, b so úmeros reles. Su gráfic es u rect creciete (<0 o se el coeficiete es positivo) o decreciete, (<0, o se el coeficiete es egtivo) más o meos iclid como se puede ver e l gráfic. L rect y se deomi fució idétic y L rect horizotl y k se deomi fució costte dode k es u úmero rel culquier. L rect verticl =k o es fució Grfic de u fució liel creciete (>0) Grfic de u fució liel decreciete (<0) y y 1 3 Fució cudrátic: y b c,,, b c so úmeros reles. L gráfic de u fució cudrátic es u prábol, se biert hci rrib. (>0) o hci bjo (<0). Vri si es ms biert, más cerrd y l posició del vértice. Cort l eje X e 1 o putos. y y 3 1. 5 3, Fució cúbic y b c d,, b c, d, so úmeros reles. Hy cutro forms pr l gráfic de l fució cubic, vri si es más biert o más cerrd y l posició del puto de ifleió.( puto dode l curv cmbi de cocvidd ) L gráfic de u fució cúbic cort l eje X e uo o tres putos. Dichos putos se llm ceros o ríces de l fució. 4
3 y y 0.5 3 y ( )( 3) y 3 4 Poliomil de grdo 4 4 y 3 b c, d e,, b c, d, e, so # reles. Poliomiles de grdo 5. 5 y 4 b 3 c d e f,, b c, d, e, f so úmeros reles. Poliomil de grdo dode es u úmero etero positivo culquier. Ls gráfics de fucioes poliomiles de grdo pr sigue el comportmieto de ls fucioes cudrátics. Ls gráfics de fucioes poliomiles de grdo impr sigue el comportmieto de ls fucioes cúbics. 1 4 3 y (3 36 0 1 96 110) y 5( 18)(0. 10)( 1)( 5) Fucioes Rcioles: Defiició. Es el coliete de dos fucioes poliomiles, dode l fució del deomidor es diferete de cero. g( f ( Dode g( y h( so fucioes poliomiles y h ( 0. h( Ests fucioes tiee cierts crcterístics, u de ells es que posee sítot, que es u rect l cul se proim l gráfic l crecer idefiidmete o y. Ests sítots puede se verticles, horizotles y oblicus y divide el plo crtesio e regioes dode se ubic l grfic. Ests sítots o form prte de l gráfic. 5
y 1 y 70 1 y ( 1) Fucioes i rcioles i poliomiles: Ejemplos: 3 f ( y, ( 5 f y y y bs( y 4 Fucioes o lgebric o trscedete Fucioes epoeciles f ( > 0 Fucioes logrítmics f ( log > 0 6
Trigoométrics. f ( se, f ( t( 3) etc. y se( y t( Gráfic de l fució f fució logrítmic. f ( log Ls fucioes iverss so simétrics l rect y= ( epoecil y su ivers l EJERCICIOS 10) D 3 ejemplos de ecucioes que correspod los diferetes tipos de fucioes que se idic. Recuerd que l regl de correspodeci puede estr fctorizd. 1) Fució liel ) Fució Cudrátic. 3) Fució cúbic 4) Fució poliomil de quito grdo 5) Fució rciol: 6) Fució trigoométric 7) Poliomil de grdo 7 8) Fució Epoecil 9) Fució logritmo 10) Fució idétic 11) Fució costte 1) Fució vlor bsoluto 13) Fució por itervlos. 14) Fució co rdicles 11) De ls siguietes fórmuls idetific el tipo de fució l que correspode cd u. Idic si lgu o es fució. Us el espcio de l derech. 1) f ( ( 3)( 7) 8) f( = 5 + 4 ) f ( 3 4 1 3) y 5(1.05) 9) y 3(4 8)( 1) 10) 4 y 11) =1 7
4) 3 y 5 1 5) f(= 6) y se( 7) = L 1) + y =16 13) f ( 3 5 1) Cómo se llm l gráfic de u fució liel? Y cómo l gráfic de u fució cudrátic? 13) Qué difereci hy etre u fució liel y u epoecil? 14) Cómo se defie ls fucioes rcioles? Qué so ls sítots y como se clsific? Domiio de u fució: poliomil, Rciol y Ríz cudrd. Tomdo e cuet que el domiio de u fució es el cojuto de úmeros reles que puede tomr l vrible idepediete; pr ls fucioes poliomiles el domiio es el cojuto de todos los úmeros reles; pr ls fucioes rcioles el domiio es el cojuto de úmeros reles meos los vlores de que ul el deomidor. Y e el cso de ls fucioes co rdicles pr, so los úmeros reles que hce positivo l ctidd sub- rdicl. Por lo geerl el domiio y rgo se epres como itervlos de úmeros reles. Estos itervlos puede ser biertos, cerrdos, semi cerrdo o semi bierto. Ejemplos. El itervlo bierto, 5 es u cojuto de todos los úmeros reles que está etre y 5 si cosiderr y 5, o tmbié los e que cumple 5 Itervlo cerrdo [-1, 8] so todos los úmeros que está etre -1 y 8 icluyedo el -1 y el 8 ó tmbié los e que cumple 1 8 Itervlos semi-biertos por l derech 4,6 los e que cumple 4 6 Itervlo semi cerrdo por l derech (5, 10] los e que cumple 5 10 Los úmeros reles se represet como el itervlo bierto, Los úmeros reles positivos 0, Los úmeros reles egtivos,0 EJERCICIO #15: Clcul el domiio y rgo de ls siguietes fucioes 1) y=3 + ) Y= +3 3) 8 4) f ( 9 5) 5 1 y 5 1 f ( 6) 9 Evlució de fucioes Evlur u fució, sigific ecotrr el vlor de l fució pr determido vlor de Ejemplo: Pr f ( 3 8 ecotrr f (3), o evlur f (3) o ecotrr el vlor de y cudo =3 o tmbié l imge de =3, sigific reemplzr e l ecució l vrible por 3 f(3) = (3) 3-8(3) = (7)-4 = 54-4 = 30 8
EJERCICIO #16: Evlú ls siguietes fucioes: 1) Si f ( 5 1 ecuetr f (0) ) f ( 3 7 Evlú f (0) 3) Si f ( 5 6 Ecuetr f(4) 4) Si g( = 3 64 hll g(0) Opercioes co fucioes Teiedo e cuet ls defiicioes de ls opercioes co fucioes; Reliz ls opercioes que se idic. Observ los ejemplos. Defiició: Fució Sum: ( f g)( f ( g( Fució Difereci: ( f g)( f ( g( Fució Producto: ( fg)( f ( g( f f ( Fució cociete ( dode g( es diferete de cero. g g( Composició de fucioes f g y se lee f compuest co g se defie f ( g( ) como evlur f e g, o se ( f g)( f ( g( ). Sigific que l fució f ( se reemplz por g ( Ejemplos: 1) Si f ( 5 3 8 y g( 5 ecuetr ) ( f g)( Aplicdo l defiició ( f g)( f ( g( = (5 3 8) ( 5 6 8 b) ( f g)( Aplicdo l defiició ( f g)( f ( g( = (5 3 8) ( 5 = 5 3 8 5 4 8 8 Observ que los térmios de l fució sustredo e este cso g( cmbi de sigo c) ( fg )( Aplicdo l defiició 4 3 3 ( fg)( f ( g( = (5 3 8)( 5 5 5 3 15 8 40 = 4 3 5 7 40. Observ que después de multiplicr se reduce térmios semejtes. ) Si ( ) f 16, g ( 6 8 Ecuetr f d) ( g f f ( 16 ( 4)( 4) 4 Aplicdo l defiició (. Observ que si es g g( 6 8 ( )( 4) posible se fctoriz umerdor y deomidor y se simplific. 3. Ejemplo de composició de fucioes. Si f ( 4 1; g (, Hll ( f g)( Por defiició ( f g)( f ( g( ) Como g ( f ( g( ) f ( ) 9
Como f ( 4 1Se reemplz e lugr de f ( ) 4( ) 1 4 8 1 4 7 por lo tto ( f g)( = 4 7 EJERCICIO 17: OPERACIONES CON FUNCIONES: 1) Si f ( 3 7 y g( ecuetr ( f g)( ( f g)( ( g f )( ( fg )( 3 3 ) Si f ( 5 3 4 y g ( 6 10 Ecuetr: ( f g)( ( f g)( ( g f )( ( gf )( 3) Si ( ) f g f 36 y g ( 4 1 Ecuetr (, ( g f 4) Si f ( 5 6 y g ( 4 3. h( 3. Reliz cd composició de fucioes que se idic. ) ( f g)( d) ( g f )( b) ( f h)( f ( h( ) = e) ( f g)( c) ( h g)( f) ( g h)( Orded e el orige y ls ríces o ceros de u fució Ls fucioes tiee diferetes crcterístics o elemetos importtes pr su estudio, lguos de ellos se puede observr e su grfic. E l grfic de bjo l curv represet u fució cúbic y se ve que est cort los ejes coordedos. Al eje e los vlores =1, =4 y e = -6 y l eje y e y= 4 proimdmete. Los primeros se deomi ceros o ríces de l fució y el segudo, orded e el orige. Pr ecotrr ls ríces se resuelve l ecució que result de hcer y=0, es decir ls ríces so los vlores de cudo y=0; y pr l orded e el orige se evlú el vlor de y cudo =0. EJERCICIO #18; Idic ls coordeds de los putos dode l grfic cort los ejes y cotest: 1) Qué es l orded e el orige? ) Qué so los ceros o ríces de u fució? 10
EJERCICIO19: RAÍCES Y ORDENADA EN EL ORIGEN :Clcul ls ríces y l orded e el orige de ls siguietes fucioes. 3) y 8 4) y 4 5) y 7 10 6) f ( ( 8)( )( 5) Bloque II Aplics fucioes especiles y trsformcioes de gráfics. E este bloque se distigue y describe diferetes tipos de fucioes mtemátics, sí como opercioes y trsformcioes lgebrics y/o geométrics. Fució Ivers: Ivers de u fució Ejemplo. Ecuetr l ivers de l fució y E l fórmul se reemplz por y, o se se tiee y, se despej y; se tiee y l fórmul correspode u prábol horizotl que e este cso o es u fució.; Pr grficr se d lguos Gráfic de l fució y y su ivers vlores y se y ecuetr los vlores de y y.... -3 7 - -1-1 0-1 -1 3 7 Pr grficr l ivers se puede itercmbir los vlores de por y, y se grfic esos putos... y 7-3 - -1-1 - 0-1 1 7 3 Trz l rect y= que es el eje de simetrí de mbs fucioes EJERCICIO # 0: Ecuetr l ivers de ls siguietes fucioes e idic si es u fució. Hz su gráfic 1) y=-8 ) =+7 5) 6) y 1 f ( 3 3) f ( 4) y 5 7) y 4 FUNCIONES ESPECIALES: 1) Fució costte: f ( k k es u úmero rel culquier. ) Fució idétic: f ( 11
3) Fució vlor bsoluto. y si 0 y si 0 4) Fucioes esclods 5) Fucioes Por itervlos : Observ l gráfic de l fució y 16 y 0 0 1 1 4 3 9 4 16 4.1 16 5 16 6 16 7 16 8 16 9 18 10 0 11 1 4 13 6 si si si 0 4 4 8 8 13 1
Trsformció de gráfics de fucioes: fució f( u umero positivo Trslcioes Verticles de l grfic de f( uiddes rrib f( + uiddes bjo f( Trslcioes Horizotles. uiddes l derech f(-) uiddes l izquierd f(+) Refleió co respecto l eje X y= -f( EJERCICIO #1: TRANSFORMACIÓN DE GRÁFICAS. E los siguietes plos crtesios se muestr l gráfic de u fució. Bosquej e cd plo l gráfic de l fució, cuy ecució se idic, tom e cuet el cmbio de l fució origil. y y 3 y y 1 y y y y 13
3 y y 3 1 y... y 3 Bloque III: Emples fucioes poliomiles de grdos cero, uo y dos. Gráfic de u fució Liel Ejemplo: Grfic f ( 3 6 (Recuerd es lo mismo y 3 6 ) Se hce u tbl de vlores pr e y icluyedo l orded e el orige y l ríz de l fució y=3-6 0-6 0 L rect ps por los putos (0,-6) y (,0) -6 es l orded e el orige y es l ríz de l fució, esos vlores os d puts pr costruir el plo crtesio decudo. Si esos vlores o so eteros o mbos so igules cero, se puede buscr otros putos que fcilite l gráfic pues culquier otro pr (, y) que stisfg l ecució estrá e l gráfic. y 3 6 Por ejemplo, pr = 1 y =-3 es decir el puto (1, -3) est e l rect como se puede verificr e l gráfic de l derech. EJERCICIO #: Costruye u plo crtesio decudo y grfic ls fucioes 1) y ) y 3 3) y 5 4) y Gráfic de u fució cudrátic y b c dode EJEMPLO: Grficr l fució f ( 4 1 0,, b so. 1) Idetificr los coeficietes ( de ) b ( de y c el térmio idepediete. E y 4 1 1; b 4 y c 1 Si 0 l prábol se bre hci rrib. Si 0 l prábol se bre hci bjo. E este cso 1, l prbol se bre hci rrib. ) Determir ls coordeds (, y) del vértice de l prbol co ls fórmuls 14
b b y f 4 Reemplzdo los vlores de b y e ls fórmul se obtiee (1) y f () dode f ( ) ( ) 4( ) 1 5 El vértice es (, 5) que e este cso es u puto míimo de l fució 3) Ecotrr lguos Putos Simétricos., es decir putos equidisttes del eje de simetrí de l b prábol que e este cso es. E geerl el eje se simetrí es 4) Complet los vlores de y pr los vlores de que se idic. -8-7 -6-5 -4-3 -1 0 1 3 4 y 5 5) Grfic los putos y uelos co u curv suve, result l prábol que se muestr. 7) Clcul lgebricmete l orded e el orige, ose evlu y f (0) 8) Clcul lgebricmete ls ríces de l fucio. Se resuelve por culquier método l ecució 4 1 0 Se puede usr l fórmul geerl pr l ecució b c 0 Cálculo lgebrico de l orded e el orige y de ls rices 6) E l grfic idetific l orded e el orige y ls rices co putos gruesos. b b 4c ; O tmbié el método de fctorizció 4 1 ( 7)( 3) 0. Dode se resuelve cd fctor igul cero. 7 0 7 3 0 3 Se tiee ls rices diferetes EJERCICIO #3: Grfic ls siguietes fucioes cudrátics. 1) y 6 ) y 4 7 3) y 4 4 1 7 4) f ( 5 5) f ( 6 6) f ( 3 7 0 Bloque IV Utilizs fucioes poliomiles de grdo tres y cutro. 3 Crcterístics de l gráfic de u fució poliomil: Crcterístics estudir. Domiio y rgo Ríces y orded e el orige Máimo y míimo reltivos. 15
U máimo puede cosiderrse el puto dode l fució cmbi de ser creciete decreciete, U míimo puede cosiderrse el puto dode l fució cmbi de ser decreciete creciete, Fució positiv: Itervlos de dode l fució es positiv. Fució egtiv: Itervlos de dode l fució es egtiv. U fució es positiv si su grfic est sobre el eje y egtiv si est debjo del eje. Fució creciete: Itervlos de dode l fució es creciete. Fució decreciete: Itervlos de dode l fució es decreciete. U fució es creciete si los vlores de umet los vlores de y tmbié umet U fució es decreciete si los vlores de umet los vlores de y dismiuye EJEMPLO: Aliz ls crcterístics de l fució f ( ( 6)( 1)( 4) cuy gráfic se muestr bjo. Hz los cálculos lgebricos ecesrios. 4) Itervlo de dode l fució es positiv. f ( ( 6)( 1)( 4) 6,1 y 4, Se cooce que tiee u máimo e =-3.3 y u míimo e =.63 5) Itervlo de dode l fució es egtiv.,6 1, 4 y 6) Vlor máimo de l fució es f (-3.3). f ( 3.3) ( 3.3 6)( 3.3 1)( 3.3 4) (.7)( 4.3)( 7.3) 84.753 1) Tipo de fució:cúbic ) Orded e el orige. f ( 0) (0 6)(0 1)(0 4) (6)( 1)( 4) 4 3) Ríces o ceros de l fució Resolver ( 6)( 1)( 4) 0. Igulr cd fctor cero y resolver. 6 0 6 1 0 1 4 0 4 7) Vlor míimo de l fució. es f (.63). f (.63) (.63 6)(.63 1)(.63 4) ( 8.63)(1.63)( 1.37) 19.7 8) Itervlo de dode l fució es creciete.,3.3.63,, 9) Itervlo de dode l fució es decreciete. 3.3,.63 EJERCICIO 4: E ls siguietes gráfics liz ls crcterístics de cd u de ls fucioes. Cosider todos los putos lizdos e el ejemplo. 1) f ( (3 ( 5)( 10) Si el míimo lo lcz e =-1.6 y el máimo e =7 16
) f ( ( 4)( 3)( 7)( 1) 3) f ( ( 4)( 3)( 7)( 1) 17
Bloque V Utilizs fucioes fctorizbles e l resolució de problems. Gráfic de u fució cúbic y 3 b c d, dode, b, c so. 3 E primer lugr se liz el sigo del coeficiete pricipl o se de 3 Si el coeficiete de es positivo ls gráfics sube hci l derech y si es egtivo bj,. Co ese dto se cooce l form, que so como ls de bjo. f ( 8 6 E segudo lugr se ecuetr ls ríces o cortes co el eje. L orded e el orige es otro puto de refereci. Los putos máimos o míimos se puede proimr co los vlores de ddos. 18
Pr ls ríces se verá csos, E csos secillos fctorizdo el poliomio por fctor comú o si se cooce u fctor del poliomio ecotrr los otros fctores por l divisió sitétic 3 Ejemplo #1 Grfic l fució f ( 6 El coeficiete pricipl es =1 o se positivo l gráfic sube hci l derech Pr ecotrr ls ríces se fctoriz l fució, e este cso por fctor comú. 3 f ( 6 ( 6) y se resuelve ( 6) 0 Dode se obtiee 0 0 y 6 0 6 Como tod fució cúbic tiee 1 o 3 ríces, e este ejemplo hy u ríz doble que es cero y l otr es 6. Cudo hy u ríz doble l grfic es tgete l eje. Pr bosquejr l gráfic, como >0 l gráfic sube hst =0 como es ríz doble regres, o se hy u máimo e =0, l grfic bj y como debe cruzr el eje e =6, e lgú vlor etre 0 y 6 lcz u míimo y sube como se puede ver e l grfic. Pr u trzo mejor se puede tbulr y ecotrr putos por dode ps l grfic. Los dos vlores pr ls ríces divide l eje e tres regioes, se puede ecotrr putos pr <0, pr 0<<6 y pr >6, como se muestr e l tbl. X - -1 0 1 3 4 5 6 7 8 Y -3-7 0-5 -16-7 -3-5 0 49 18 3 Ejemplo#: Si es u fctor del poliomio f ( 5 4 0, ecuetr los otros fctores por divisió sitétic, determi ls ríces de l fució y bosquej u gráfic. L divisió sitétic es u lgoritmo o procedimieto que utiliz los coeficietes del poliomio pr relizr l divisió etre u biomio Se coloc los coeficietes de f( 1, 5, -4 y -0, como se muestr e el diseño, como es u fctor, l divisió es ect o se el residuo igul cero. Se coloc delte de 1. Se bj 1 se multiplic por y el resultdo 1 5 4 0 se coloc debjo del siguiete coeficiete y 14 0 se reliz l sum, ese resultdo (7) se vuelve multiplicr por y se sum co -4 1 7 10 0 y sí sucesivmete hst que resulte cero. Los 1, 7 y 10 so los coeficietes del poliomio de 1 grdo meor es decir de 7 10 Se tiee 3 hst el mometo 5 4 0 ( )( 7 10) Repetimos el proceso co 7 10 probdo pr =- ( debe ser fctores de 10) 19
1 7 10 10 3 Gráfic de l fució f ( 5 4 0 (costruir l tbl correspodiete) 1 5 0 7 10 ( )( 5) Por lo tto l fctorizció resultte es: 3 5 4 0 ( )( )( 5) Resolviedo ( )( )( 5) 0 se tiee, 5 1 3. Bloque VI Aplics fucioes rcioles. Fució rciol Gráfic de fucioes rcioles: Asítots verticles, horizotles y oblicus. Como y se vio, ls gráfics de ls fucioes rcioles se sitú e regioes del plo crtesio, dividids por rects que so ls sítots y ests so l verticles, horizotles y oblicus Pr idetificr ls sítots verticles se liz el poliomio del deomidor y será ls rects =k dode k es el vlor dode o est defiid l fució o lo que es lo mismo el vlor de que hce 0 el deomidor. L sítot horizotl, puede ser el eje, l rect y o o eistir Pr determirls b hy que comprr los grdos de los poliomios del umerdor y del deomidor de l fució rciol. Si e l fució rciol g(... 0 f ( m h( b... b0 1) >m f( o posee sítot horizotl. ) =m L sítot es l rect y b 3) <m L sítot es el Eje Ests sítots horizotles e lguos csos puede trvesr l gráfic. Asítots oblicus. Eiste cudo el grdo del poliomio del umerdor es u uidd myor que el grdo del poliomio del deomidor. Y es el cociete etre el poliomio del umerdor y el poliomio del deomidor si cosiderr el residuo e cso que hy. Aliz ls sítots de ls fucioes. 0
E l primer gráfic L sítot verticl es =0 pues e cero o est defiid l fució. No posee sítot horizotl Como el grdo del poliomio del umerdor es uo más que el grdo del poliomio del deomidor posee sítot oblicu y es l rect y = que result de hcer l divisió E l segud grfic tiee sítot verticl = -1 que result de resolver -1=0 y sítot horizotl Y=1 que result de dividir 1/1 EJERCICIO #7: Ecuetr ls sítots de ls siguietes fucioes rcioles y bosquej u gráfic. 1 1 1) y ) f ( 3 3) 3 f ( 4) 1 3 f ( 4 5) 1 f ( 6) 1 3 f ( 3 4 Bloque VII Utilizs fucioes epoeciles y logrítmics. Fucioes epoeciles 1) Defiició: f ( k 0 úmero rel k 0 ) Leyes de los epoetes. 1) Producto de potecis de l mism bse ) Cociete de potecis de l mism bse 3) Poteci de u poteci m m m m m m 4) Epoete l uidd 5) Epoete cero 6) Epoete egtivo 1
1 0 1 7) Epoete -1 (iverso de ) 1 1 10) Poteci de u producto ( b) b 8) Epoete frcciorio 1 11) Poteci de u cociete b b 1 9) Epoete frcciorio m 1) Sí 13) Si m m m etoces m b etoces b Fucioes logrítmics y 1) Defiició. ylog (El logritmo de u úmero, co bse u úmero, es el epoete y l que hy que elevr l bse pr obteer el úmero ) Logritmos comues y log 10 log pr todo >0 ( L tecl log de l clculdor) 3) Logritmos turles y l e l pr todo >0 (( L tecl l o LN de l clculdor) 4) Propieddes de los logritmos. Si u y v so reles positivos, diferete de 1 1) log ) log 1 3) log 1 0 4) log u log v si y solo si u=v si y solo si u=v 5) Logritmo de u producto log ( uv) log u log v 7) Logritmo de u poteci log u log u pr todo úmero rel 9) Cmbio de bse de u logritmo. log b u log u log b 6) Logritmo de u cociete u log log u log v v 8) log 10) log u 1 log u BIBLIOGRAFÍA. 1) Joquí Ruiz Bstos: MATEMÁTICAS, Precálculo, Fucioes y pliccioes. Publiccioes Culturl, primer edició,006 ) Arturo Médez Hiojos Mtemátics 4, Bchillerto Still, primer edició, 007. 3) Reé Jiméez, Fucioes, Perso Educció, Méico, 006. 4) Frcisco J. Ortiz Cmpos, Mtemátics IV, Publiccioes Culturl.006.