6 EJERCICIOS de NÚMEROS COMPLEJOS. Resolver las sguentes ecuacones en el campo de los números complejos: a x -x+=0 (Soluc: ± b x +=0 (Soluc: ± c x -x+=0 (Soluc: ± d x -x+=0 (Soluc: ± e x -6x +x-6=0 (Soluc:, ± f x Soluc : -, ± +=0 g x -=0 (Soluc: ±, ± h x -x -x +0x-=0 (Soluc: -,, ± Forma bnómca de un complejo:. Completar (en este cuaderno; obsérvese el prmer ejemplo: COMPLEJO PARTE REAL Re( PARTE IMAGINARIA Im( OPUESTO - CONJUGADO =+ Re(= Im(= -=-- = = = =- = -=-+ =. Dados los complejos =+, =-+ y =-5, hallar: a + (Soluc: +7 b + (Soluc: - c - (Soluc: - d - (Soluc: -9 e + (Soluc: + f - (Soluc: 7-6 g - + (Soluc: -+ h + (Soluc: - (Soluc: -0 j (Soluc: -9. Calcular x e y para que (+x+(y+=7+ (Soluc: x=, y=5 5. Calcular: a (+5 (+ (Soluc: -+ b (+ (+ (Soluc: -+ c (+ (-- (Soluc: - d (-5 (Soluc: 5+ e (+5 (-5 (Soluc: 9 f (+ (- (Soluc: g (5+ (- (Soluc: - h (+5 (Soluc: -6+0 (+ (- (Soluc: 0 j (--5 (-+5 (Soluc: 9 Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso
Matemátcas I COMPLEJOS k (+ (Soluc: -9+6 l ( (- (Soluc: 9 m (+ (Soluc: -5+ n (6- (Soluc: 7-6 o (+ (- (Soluc: 5+ p (- (Soluc: 6+ q (+ (- (Soluc: 5- r (5+ (5- (Soluc: 6 s (+ (+-(+ (- (Soluc: 5 6. Cómo es sempre el producto de dos complejos conjugados? Raonar la respuesta. (Soluc: IR + 7. Dados los complejos del ejercco, hallar: a (Soluc: -+5 b (Soluc: 9- c - (Soluc: -9 d ( + (Soluc: 5+ e - (Soluc: -6-0 f ( (Soluc: -5+ g ( - (Soluc: -6 h (Soluc: (Soluc: 6 j ( - (Soluc: --9 k ( + (Soluc: -7+6 l (Soluc: 75- m. Dados los complejos -m y -n hallar m y n para que su producto sea +. (Soluc: m =- y n =; m =/ y n =- 9. Resolver la ecuacón (a+ (b-=7- (Soluc: a = y b =; a =-/ y n =- 0. Calcular: a + + ( Sol : + b + 5 + 6 7 Sol : + 5 5 c + d + 5 ( Sol : ( Sol : - + e 5 ( Sol : -5 f 0 + 0 + g ( Sol : 9 + 7 Sol : - h + ( Sol : + - ( Sol : j + k + 5 Sol : 9 + + ( Sol : -5 l + Sol : m + ( Sol : 0 n (5 (+ o p q ( + + (5 + ( (+ + + + r + + + s 0 0 5 5 + + t + a a u v a + b b + a + w ( ( Sol : 5 5 Sol 7 : 69 0 + 69 Sol : + 5 5 Sol : 5 5 ( Sol : ( Sol : 7 ( Sol : ( Sol : 5 Sol : + + ( Sol : Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso
Matemátcas I COMPLEJOS. Calcular el nverso de cada uno de los sguentes complejos: a Sol : b + Sol : c + d - Sol : Sol : + e -+ Sol : 5 5 f ( Sol : -. Calcular las sguentes potencas sucesvas de : a (Soluc: b 77 (Soluc: h (Soluc: - (Soluc: c (Soluc: j 5 (Soluc: - d 7 (Soluc: - e (Soluc: f = (Soluc: - g = (Soluc: - k -6 (Soluc: - l 5 (Soluc: m 65 (Soluc: - n -7 (Soluc: - o -57 (Soluc:. Calcular las sguentes operacones combnadas en forma bnómca: a (+ (Soluc: + b (+ (Soluc: -+ c (- (Soluc: -6-9 d (- (Soluc: -9+0 e - (Soluc: j k l ( ( + ( Soluc : 9 + ( + ( 6 77 76 Soluc : + 5 5 ( + ( ( 7 ( (Soluc: f 7 + (Soluc: - m 0 0 5(+ 5 (Soluc: -5- + (5+ g h + (Soluc: + + 5 ( + ( ( 5 + (Soluc: - + ( ( + 5 Soluc : + 7 5 5 n o p ( ( + ( 7 ( + ( ( 0 + 5 ( ( + ( 5 7 5 Soluc : Soluc : Soluc : 7 + 5 5 + 5 7 + 6 5. Cuánto ha de valer m para que el complejo =(m- (+ sea un número real? E magnaro puro? De qué números se trata? (Soluc: m= o m=-; =0 y =-0, respectvamente 5. Determnar x para que el producto =(-5 (+x sea: a Un número real. Qué número resulta? (Soluc: x=5/; =7/ b Un número magnaro puro. Qué complejo se obtene? (Soluc: x=-6/5; =-7/5 6. a Hallar x con la condcón de que (x- sea un número magnaro puro. (Soluc: x=± Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso
Matemátcas I COMPLEJOS b Ídem con (x- (Soluc: x=±/ c Ídem con (+x (Soluc: x=± 7. Hallar x e y de modo que x = y + (Soluc: x=-6; y=7 +. Hallar x para que el cocente x + sea un número magnaro puro. De qué número magnaro se trata? + (Soluc: x=-; + k 9. Determnar k para que el cocente = sea: k Sol : k = ± ; = ± a Un número real. Qué número resulta? ( Sol : k = 0 ; = b Un número magnaro puro. Qué número es? ( 0. Demostrar la sguente gualdad, obtenda de manera fortuta por el nsgne flósofo y matemátco alemán Gottfred Lebn (66-76: + + = 6. Hallar dos complejos de los que sabemos que su dferenca es un número real, su suma tene la parte real gual a y su producto es -7+ (Soluc: + y -+. Determnar los valores de a y b para que el complejo =a+b satsfaga la ecuacón =. Comprobar que los números complejos ± verfcan la ecuacón x -x+=0 Soluc : = + = = =,, 0,. Hallar una ecuacón polnómca cuyas raíces sean: a ± (Soluc: x -x+0=0 b 5± (Soluc: x -0x+9=0 c + y +5 (Soluc: x -(5+6x++=0 d ± (Soluc: x +=0 5. TEORÍA: Demostrar que s las raíces complejas de Ax +Bx+C=0 son a±b, entonces: A[(x-a +b ]=Ax +Bx+C (Ayuda: Desarrollar el membro querdo y aplcar las relacones de Cardano-Veta Forma polar de un complejo: 6. Representar los sguentes complejos, sus opuestos y sus conjugados: a =+ b =- c =-+ d =--5 e 5 =7 f 6 =-7 g h - Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso
Matemátcas I COMPLEJOS 7. Pasar a forma polar los sguentes complejos (se recomenda representarlos prevamente, para así elegr correctamente su argumento: a + (Soluc: 60º b (Soluc: 6 00º + ( Soluc : º ' c d (Soluc: 5º e (Soluc: 0º f + ( Soluc : 5º g - ( Soluc : 5º h -- ( Soluc : 5º (Soluc: 90º j - (Soluc: 70º k + (Soluc: 5 5º l - (Soluc: 5 06º5' m -+ (Soluc: 5 6º 5 n -5+ (Soluc: º 7 o - (Soluc: 70º p (Soluc: 0º q - (Soluc: 0º r + ( Soluc : º ' s --5 ( Soluc : 9 º'. a Hallar m para que el número complejo m+ tenga módulo 5. Justfcar gráfcamente la solucón. (Soluc: m=± b Hallar m para que su argumento sea 60º (Soluc: m= 9. Hallar a y b para que el complejo (+a (b- tenga módulo y argumento 60º. 0. Hallar un número complejo tal que = e Im(=-. Justfcar gráfcamente la solucón. ( Soluc : = 5, = 5. Hallar un número complejo del º cuadrante que tene por módulo y tal que Re(=-. Expresarlo en forma polar. Justfcar gráfcamente la solucón. ( Soluc : - + = 0º. Hallar un complejo de argumento 5º tal que sumado a + dé un complejo de módulo 5 (Soluc: +. Encontrar un complejo tal que sumándolo con / dé otro complejo de módulo y argumento 60º. Pasar a forma bnómca (no vale pasar los radanes a grados: a 0º ( Soluc : + b 90º c 0º d 5 π e π/ f 90º g 0º Soluc : + h 60º ( Soluc : + 6 5º ( Soluc : j 50º (Soluc:,9+,9 k 0º ( Soluc : + l 50º ( Soluc : + m π/ n 00º Soluc: Soluc : o 0º (Soluc: - + p 7π/6 Soluc : + Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso
Matemátcas I COMPLEJOS 5. Hallar los números complejos, en forma polar y bnómca, que corresponden a los vértces de estos hexágonos: a b (Soluc: a = 0º=; =- ; = 60º=+ ; 6= ; 5=- ; =- 6 b = 0º= +; =- ; 6= ; =- 6; = 90º=; 5=- 6. Determnar el valor de a para que el complejo =(-6 (-a sea: a Un número real. De qué número se trata? (Sol: a=-; 0 b Un número magnaro puro. De qué número se trata? (Sol: a=; -5 c Tal que su afjo esté en la bsectr del er y er cuadrantes. De qué número se trata? (Sol: a=6; -0-0 m 7. Determnar el valor de m para que el complejo = 6 sea: a Un número real. Qué número es? (Soluc: m=/; / b Imagnaro puro. Cuál en concreto? (Soluc: m=-/; / c Tal que su afjo esté en la bsectr del º y º cuadrantes. De qué complejo se trata? (Soluc: m=; -. Determnar el valor de a para que el complejo =(+ (-+a sea: a Un número real. Qué número es? (Soluc: a= b Un número magnaro puro. De qué número se trata? (Soluc: a=-/ c Tal que su afjo esté en la bsectr del er y er cuadrantes. Cuál es? (Soluc: a=/5; -6/5-6/5 9. a Dado = 5º, hallar en polar. (Soluc: 5º b Dado = 0º, hallar c S = 0º, hallar su conjugado y su opuesto. d Hallar un número complejo y su opuesto sabendo que su conjugado es = 70º 0. Representar raonadamente las sguentes regones del plano complejo: a Im(=- (Sol: recta horontal b Re(=Im( (Sol: bsectr del er cuadrante c -<Re( (Sol: banda vertcal d Im(< (Sol: semplano e =5 (Sol: crcunferenca f < (Sol: regón crcular g - < (Sol: anllo h Arg(=0º (Sol: recta Re(=- (Sol: recta vertcal j k Arg(=90º Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso
Matemátcas I COMPLEJOS. TEORÍA: a Demostrar que = b S =r α, qué relacón tenen con los números r α+0º y r 60º -α? c El producto de dos complejos magnaros, puede ser real? Poner un ejemplo. d Qué relacón exste entre el argumento de un complejo y el de su opuesto? e Qué condcón debe cumplr un número complejo para que = (Soluc: Su módulo tene que ser Producto y cocente en forma polar:. a Dados los números complejos 0º y 5 60º, comprobar que el producto en forma polar y en forma bnómca dan el msmo complejo. (Soluc: 5 b Ídem con y - ( Soluc : 6 + 6 = 6 5º c Ídem con el cocente entre 0º y 60º ( Soluc : + = 60º. Efectuar las sguentes operacones en forma polar y pasar el resultado a bnómca: a 5º 5º ( Soluc : 660º = + b 50º 5º ( Soluc : 95º -,59, c º 6º º ( Soluc : 6 = 6 S : d º 7º º ( = + u c 90º o 0 º l Soluc : 5º = + e 06º : 6º ( f 9 7º : 97º Soluc : = 00º g ( 0º ( Soluc : 0º = + h º : 6º º Soluc : 0,79 +,7 5º º : 7º : º Soluc : 0,7 0,0 5º. El complejo de argumento 0º y módulo es el producto de dos complejos; uno de ellos tene de módulo y argumento 50º. Escrbr en forma bnómca el otro complejo. ( Soluc : + 5. Efectuar las sguentes operacones en forma polar y pasar el resultado a bnómca: a 5º 5º 70º ( Soluc : 0,9 0, 0º (+ ( b 5º -5º c ( ( ( Soluc : 0º = + + + ( Soluc : 75º,6 + 5,6 d ( Soluc : = 0º 6. Hallar el valor de α para que el producto π/ α sea: a Un número real postvo. De qué número se trata? (Soluc: α=π/; 0 b Un número real negatvo. Ídem. (Soluc: α=π/; - 7. Hallar el valor de α para que el cocente 5 π : α sea: a Un número real postvo. (Soluc: α=π b Un número real negatvo. (Soluc: α=0 Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso
c Un número magnaro puro con su parte magnara postva. (Soluc: α=π/ d Un número magnaro puro con su parte magnara negatva. (Soluc: α=π/ e stuado en la bsectr del º cuadrante. (Soluc: α=π/ Matemátcas I COMPLEJOS. Sn necesdad de efectuar el producto en bnómca, hallar cuánto ha de valer m para que el complejo =(m- (+ tenga módulo 0 (Soluc: m=± 9. Sn necesdad de efectuar el cocente, determnar el valor de a para que el módulo del complejo sea (Soluc: a=± a + = 50. Hallar dos números complejos sabendo que su producto es - y el cocente de uno entre el cuadrado del otro es la undad. (Ayuda: utlar la forma polar (Soluc: = 0º y = 60º 5. Hallar dos números complejos sabendo que su producto es y el cocente de uno entre el cuadrado del otro es ( Soluc : = ( y = ( 0º 0º 5. Interpretar geométrcamente el resultado de multplcar el complejo =a+b=r α por la undad magnara. (Soluc: Se trata de una rotacón de 90º en el plano complejo 5. Calcular cos 75º y sen 75º medante el producto 0º 5º 6 6 + Soluc : cos 75º = ; sen75º = Potencas en forma polar: 5. Calcular, aplcando el método más apropado (es decr, operando en polar o en bnómca en cada caso; dar el resultado en forma bnómca: a (+ (Soluc: b (- (Soluc: - n ( + ( Soluc : + ( Soluc : 6 6 5 o ( c (+ (Soluc: -+ d (+ (Soluc: -6+9 e (- (Soluc: - f (-+ 5 (Soluc: + g h (+ + + (+ Soluc : + 7 7 Soluc : ( + - (Soluc: -- j (+ 0 (Soluc: -0 6 k ( + (Soluc: 096 l (Soluc: - 7 7 p + (Soluc: 7 q (-+ 0 (Soluc: 5 r ( + (+ s Soluc : + ( + ( Soluc : ( + ( Soluc : 0 0 ( + ( Soluc : + t u v (+ 5 (Soluc: -- w (+ x (+ 5 (Soluc: +5 y (+ 5 (Soluc: -97-97 m ( (Soluc: -5 Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso
Matemátcas I COMPLEJOS 55. Ídem: a + = 9 9 b ( ( + 6 c d ( ( Soluc : = 0º Soluc : = + 0º ( + ( + ( ( ( Soluc : 7 ( Soluc : 5º = + + f ( ( + ( g ( ( + h = ( + 6 ( ( + Soluc : = 0º ( Soluc : = 0º ( (Soluc: ( Soluc : 0,77 + 0,060 e ( ( + 5 Soluc : 0º = j ( ( + ( Soluc : + 60º = 56. Dados los complejos =, = y =+, calcular las sguentes expresones, dando el resultado en bnómca: a + b c ( d 57. Dado el complejo =, calcular 5 (Soluc: -6 + Sol : a + ; b( + + ( ; c + ; d 5. a Aplcando la fórmula de De Movre, hallar sen α y cos α. Comprobar las expresones obtendas susttuyendo valores apropados de α (p.ej. α=0º (Soluc: sen α=sen α-sen α; cos α=cos α-cos α b Ídem para sen α y cos α c Ídem para las ya conocdas sen α y cos α Raíces de un nº complejo: 59. Calcular las sguentes raíces (dando el resultado en bnómca en aquellos apartados marcados con (*, y representarlas en el plano complejo: a b + ( Soluc :,5º; 0,5º; 9,5º;,5º 6 6 6 ( Soluc : 05º; 5º; 5º (* c d ( Soluc : 60º; 50º; 0º; 0º 6 6 6 ( Soluc : 5º; 65º; 5º + Abraham De Movre (667-75, matemátco francés. Como dato curoso, parece ser que predjo exactamente la fecha de su propa muerte: se do cuenta de que cada día dormía 5 mnutos más que el día anteror; a partr de ahí, conjeturó que el descanso eterno le llegaría el día que durmera durante horas. Ese día acago, calculado por él msmo, fue el 7 de novembre de 75. Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso
Matemátcas I COMPLEJOS (* e Soluc : ; ± (* f + Soluc : + ; 0,97 + 0,6; 0,6 0,97 (* g Soluc : + ; h ( Soluc : 0,995º ; 0,95º; 0,95º + (* ( Soluc : ; ± + (* j Soluc : ± ± (* k ( Soluc : ; ± (* l + 6 6 6 6 Soluc : + ; ; + ; m ( Soluc : (* n + o (* p 6 Soluc : 00º ; 0º; 0º - ; ± + + ( Soluc :,75º;,75º;,75º; 0,75º ( Soluc : ± ± q 5 ( Soluc : ; (* r + (* s + 0º ; 0º; 0º 5º; º ( Soluc : + ; + ; ; (* t + (* u + (* v (* w 6 + x y 6 7 α 6 79 β 60º (* γ + 7 7 7 7 Soluc : + ; + ; ; + Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso
Matemátcas I COMPLEJOS 6 6 + (* δ 60. TEORÍA: a El número + es la raí cuarta de un certo complejo ; hallar las otras tres raíces. b Pueden ser +, -+, -- y - las raíces cuartas de un complejo? Justfcar la respuesta. c Pueden ser º, 00º, 7º, º y 6º las raíces de un complejo? De cuál? d El complejo 0º es vértce de un pentágono regular. Hallar los otros vértces y el número complejo cuyas raíces quntas son esos vértces. e Una de las raíces cúbcas de un número complejo es +. Hallar y las otras raíces cúbcas. 6. a Hallar las raíces cúbcas de la undad en forma bnómca, y dbujarlas. Soluc : ; + ; b Hallar las raíces cuartas de la undad en forma bnómca, y dbujarlas. ( Soluc : ± ; ± c Hallar las raíces quntas de la undad en forma polar, y dbujarlas. ( Soluc : ; 0º ; 7º; º 6º; º d Hallar las raíces sextas de la undad en forma bnómca, y dbujarlas. Soluc : ± ; ± ± 6. Resolver las sguentes ecuacones en el campo de los complejos. Dbujar los afjos de las raíces: a x +=0 (Soluc: -, ± b x -6=0 (Soluc: ±, ± c x +6=0 d x +=0 Soluc : ± ± Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso