Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7. RZONES TRIGONOMÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO 7.1 onepto de trigonometrí Trigonometrí L plr trigonometrí es un volo ltino ompuesto por trígono, que signifi triángulo (tres ángulos) y metri, proeso de medir o medid. Rm de ls mtemátis que estudi ls reliones que existen entre los distintos elementos de ls figurs geométris, hiendo énfsis en los ángulos y los ldos de los triángulos. L trigonometrí se divide en: Trigonometrí pln: Tmién es onoid omo trigonometrí retilíne porque estudi los triángulos retilíneos y, en generl, los triángulos onstruidos en los plnos. Trigonometrí del espio o esféri: Su ojeto de estudio son los triángulos esférios; esto es l región de l superfiie de un esfer limitd por los ros de tres irunferenis máxims. 7.2 Reliones Trigonométris L trigonometrí se fundment en lguns reliones, que se llmn funiones trigonométris, que se definen omo ls rzones entre elementos retilíneos ligdos un ángulo, uy vriión depende de l vriión del ángulo. Ls rzones que existen entre los ldos de un triángulo retángulo vrín l vrir el ángulo de que se trte; es deir que ls rzones son funiones del ángulo. ests rzones se les llmn funiones trigonométris. Entre los pres de ldos se formn seis rzones que dn lugr seis reliones. 83
Unidd dos Geometrí y Trigonometrí 7.3 Funiones trigonométris de ángulos gudos FUNIONES TRIGONOMÉTRIS Nomre de l funión reviión Definiión Seno sen Es l rzón entre teto opuesto y l hipotenus. oseno os Es l rzón entre teto dyente y l hipotenus. Tngente tn Es l rzón entre el teto opuesto y el teto dyente. otngente ot Es l rzón entre el teto dyente y el teto opuesto. Sente se Es l rzón entre l hipotenus y el teto dyente. osente s Es l rzón entre l hipotenus y el teto opuesto. Ls funiones trigonométris de un ángulo gudo en un triángulo retángulo se definen: Pr el ángulo : es l hipotenus. es el teto opuesto. es el teto dyente. Pr el ángulo : es l hipotenus. es el teto dyente. es el teto opuesto. De uerdo ls definiiones de funiones trigonométris pr el ángulo y se designn omo: Pr el ángulo gudo Pr el ángulo gudo sen = os = tn = ot = se = s = sen = os = tn = ot = se = s = 84
Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo Ejemplos: Expres ls funiones trigonométris, orrespondientes l ángulo señldo on letr myúsul. so 1 Ddos los tres ldos. 15 20 25 M Dtos teto Opuesto.O teto dyente. Hipotenus H 15 20 25 De uerdo ls definiiones de funiones trigonométris sus vlores son: o 15 20 senm = = = 0.6 ot M = = = 1.333 h 25. o 15 20 h 25 os M = = = 0.8 se M = = = 1. 25 h 25. 20 o 15 h 25 tn M = = = 0.75 s M = = = 1. 667. 20. o 15 so 2 Ddos los dos tetos. 12 R Primero se dee enontrr el dto que flt, en este so utilizremos el Teorem de Pitágors pr enontrr l hipotenus. h = 2 2 ( 15) + ( 12) = 225 + 144 = 369 15 Dtos teto Opuesto.O teto dyente. Hipotenus H 15 12 369 De uerdo ls definiiones de funiones trigonométris nos qued: o 15 12 senr = = = 0.78125 ot R = = = 0. 8 h 369. o 15 12 os R = = = 0.62469 h 369 se R = = = 1. 60078 h 369. 12 o 15 tn R = = = 1.25 h 369 s R = = = 1. 28062. 12. o 15 85
Unidd dos Geometrí y Trigonometrí so 3 Dd un funión trigonométri. 8 Ddo sen =, lul el vlor de ls demás funiones trigonométris. 17 -Primero deemos reordr l definiión de l funión, en este so de seno. o o 8 sen = y omprr on el dto que nos d sen = =, entones tenemos o = 8 y h = 17 h h 17 - Segundo lugr enontrremos el dto que flt, utilizndo el Teorem de Pitágors. 8 17. = 2 2 ( 17) ( 8) = 289 64 = 225 = 15 Dtos teto Opuesto.O teto dyente. Hipotenus H 8 15 17 De uerdo ls definiiones de funiones trigonométris: o 8 15 sen = = = 0.4705 ot = = = 1. 875 h 17. o 8 15 h 17 os = = = 0.8823 se = = = 1. 1333 h 17. 15 o 8 h 17 tn = = = 0.5333 s = = = 2. 125. 15. o 8 86
Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo EJERIIO 7-1 INSTRUIONES.- Expres ls funiones trigonométris, orrespondientes los ángulos señldos on letrs myúsuls. 1) 3 6 45 M sen M = os M = tn M = ot M = se M = s M = 2) 6 4 52 P sen P = os P = tn P = ot P = se P = s P = 3) 1 24 5 sen = os = tn = ot = se = s = 87
Unidd dos Geometrí y Trigonometrí 4) 24 25 sen Q = os Q = 7 Q tn Q = ot Q = se Q = s Q = 5) 8 6 10 sen = os = tn = ot = se = s = 6) 7 130 sen R = os R = tn R = 9 R ot R = se R = s R = 88
Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7) 15 8 sen = os = tn = ot = se = s = 8) 5 13 sen = os = tn = ot = se = s = 9) 3 2 P sen P = os P = tn P = ot P = se P = s P = 89
Unidd dos Geometrí y Trigonometrí EJERIIO 7-2 INSTRUIONES.- Dd ls siguientes funiones, determin los vlores de ls demás funiones trigonométris. 1) 3 Tn = 2 2) 12 Se = 5 3) 2 Sen = 5 4) 17 os = 55 90
Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 5) 18 s = 4 6) 9 ot = 7 7) 4 ot = 3 8) 7 Se = 4 91
Unidd dos Geometrí y Trigonometrí EJERIIO 7-3 INSTRUIONES.- Utiliz l luldor pr otener el vlor de ls funiones trigonométris del ángulo que se te indi. Redonde el resultdo utro ifrs deimles. ngulo Sen θ os θ Tn θ ot θ Se θ s θ o 48 o 56 o 23.5 o 23 26 o 45 30 o 40 26 o 62 58 o 67 30 92
7.4 TRIÁNGULOS RETÁNGULOS 7.4.1 RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo Reordndo un triángulo retángulo es quel que tiene un ángulo reto (90 ). Resolver un triángulo es determinr ls medids de los ldos y ángulos. Sin onsiderr el ángulo reto, los tres ldos y los dos ángulos gudos de un triángulo retángulo pueden vrir de vlor y se pueden presentr los siguientes sos: Si onoemos los dos tetos. Si onoemos un teto y l hipotenus. Si onoemos un teto y un ángulo gudo. Si onoemos l hipotenus y un ángulo gudo. Ejemplos: Resuelve los siguientes triángulos retángulo. 1) Si onoemos los dos tetos. Dtos Inógnits = 5 = = 7 = =90 = -Primero lulremos el ldo que flt utilizndo el Teorem de Pitágors en este so l hipotenus. 2 2 = + = (5) 2 + (7) 2 = = 8.6 25 + 49 = 74 -Después lulremos los ángulos y hiendo uso de ls funiones trigonométris (y se seno, oseno o tngente pr seleionr l funión que deemos plir, ést dee de ontener solo dtos del prolem originl, reuerd que no puedes plir un funión que onteng más de un inógnit). o tn = = 5 7 = 0.7142 = tn 1 = (0.7142) =35.53 + + = 180 = 180 = 180 35.53 90 =54.47 93
Unidd dos Geometrí y Trigonometrí 2) Si onoemos un teto y l hipotenus. Dtos Inógnits = 4 = = 9 = =90 = -Primero lulremos el ldo que flt utilizndo el Teorem de Pitágors en este so el teto. 2 2 = = (9) 2 (4) = 8.06 2 = 81 16 = 65 -Después lulremos los ángulos y hiendo uso de ls funiones trigonométris (y se seno, oseno o tngente pr seleionr l funión que deemos plir, ést dee de ontener solo dtos del prolem originl, reuerd que no puedes plir un funión que onteng más de un inógnit). 4 os = = = 0.4444 = os 1 = (0.4444) =63.61 h 9 + + = 180 = 180 = 180 63.61 90 = 26.39 3) Si onoemos un teto y un ángulo gudo. Dtos Inógnits = 2 = =35 = =90 = -Primero enontrremos el ángulo. + + = 180 = 180 = 180 35 90 =55 - Pr enontrr los ldos y deemos utilizr ls funiones trigonométris (pr seleionr l funión que deemos plir, ést dee de ontener solo dtos del prolem originl, reuerd que no puedes plir un funión que onteng más de un inógnit). o 2 o sen 35 = = os35 = = tn 35 = = h h 2 Despejr 2 2 2 os 35 = = = = 2.44 os35 0.8191 tn 35 = = 2 tn 35 = 2(0.7002) 2 = 1.40 94
4) Si onoemos l hipotenus y un ángulo gudo. Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo Dtos Inógnits = 20 = =38 = =90 = -Primero enontrremos el ángulo. + + = 180 = 180 = 180 38 90 =52 - Pr enontrr los ldos y deemos utilizr ls funiones trigonométris (pr seleionr l funión que deemos plir, ést dee de ontener solo dtos del prolem originl, reuerd que no puedes plir un funión que onteng más de un inógnit). o o sen 38 = = os38 = = tn 38 = = h 20 h 20 Despejr sen 38 = = 20sen38 = 20(0.6156) = 12.31 20 os 38 = = 20os38 = 20(0.7880) = 15.76 20 95
Unidd dos Geometrí y Trigonometrí EJERIIO 7-4 INSTRUIONES.- on los dtos que se proporionn, trz el triángulo y lul los elementos que fltn. 1) 2) 3) Ldos Ángulos = 25 =? = 40 =? =? = 90 Ldos Ángulos = 4 =? = 25 =? =? = 90 Ldos Ángulos = 40 = 32 =? =? =? = 90 = 47.16 = 32 = 58 = 24.67 = 9.20 = 80.8 4) Ldos Ángulos = 16 =? = = 62.75 = = 90 = 24.99 = 47.16 = 58 = 7.32 = 14.22 = 27.25 96
Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo EJERIIO 7-5 INSTRUIONES.- Resuelve los siguientes triángulos retángulos, según l informión proporiond. 1) =? = 3 =? = 6 =? = 6.70 = 26.56 = 63.44 2) =? = 85 =? = 70 =? = 110.11 = 50.52 = 39.48 97
Unidd dos Geometrí y Trigonometrí 3) =? = 12 = 18 =? =? 4) =? = 13.41 = 41.81 = 48.19 =? = 25 =12 =? = 21.93 = 61.31 = 28.69 98
Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 5) =? =? 39.41 = 20 =? 6) = 16.43 =25.88 = 50.59 = 35.5 26.8 =? =? =? = 17.93 = 39.77 =63.2 99
Unidd dos Geometrí y Trigonometrí 7) =? 54.46 = 2.54 =? =? 8) =? = 1.47 =2.06 =35.54 =? 30.6 =? = 140 = 71.26 = 120.50 = 59.4 100
Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo EJERIIO 7-6 INSTRUIONES.- Resuelve los siguientes prolems de pliión. 1) Un lñil dese onstruir un esler de 18 m; qué ángulo dee formr dih esler on el piso, si tiene que lnzr un ltur de 8 m? 26.38 2) El pie de un esler de 12 m, poyd ontr l pred, qued 5 m de ést, suponiendo que el piso es horizontl, qué ángulo form l esler y el piso? 65.37 3) El ángulo en l se de un triángulo isóseles es 40, l ltur mide 22m. Determin l longitud de sus ldos igules. 34.22m 101
Unidd dos Geometrí y Trigonometrí 4) Un retángulo mide 31m de longitud por 18 m de nho. lul l longitud de l digonl y el ángulo formdo por ést. 35.84m 30.14º 5) Un person uy ltur es de 1.78m, proyet un somr de 3.5m. lul el ángulo de elevión del sol. 26.95 6) 87.5 m de l se de un torre el ángulo de elevión su úspide es de 37 20, lulr l ltur de l torre, si l ltur del prto on que se midió ángulo es de 1.50m. 68.22m 102
Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7.- Qué ltur lnz sore un muro un esler de 5 m de lrgo, si form on el piso un ángulo de 65 10? 4.53m 8.- Un ingeniero onstruye un rmp de 125 m de lrgo on un elevión de 25. Qué ltur lnz sore l horizontl? 52.82m 9.- Un niño sostiene un pplote uy uerd form un ángulo de elevión de 15 on el suelo, si l longitud que le h soltdo l uerd es de 230 m, qué ltur volrá el pplote? 59.52m 103