1 PRESENTACIÓN DINÁMICA DE TEOREMAS DEL CÁLCULO: EL CASO DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL Benjmín R. Srmiento Lugo Universidd Pedgógic Ncionl Profesor de Plnt Bogotá Colombi bsrmiento@pedgogic.edu.co RESUMEN El objetivo principl de est conferenci es motivr los futuros docentes eplorr y provechr los diferentes softwres eductivos o no eductivos, tnto libres como comerciles, que en l ctulidd se usn en diverss instituciones ncionles y etrnjers pr intermedir en el proceso de enseñnz y prendizje de los objetos mtemáticos. Hgo énfsis en que estos progrms no sólo permiten diseñr construcciones y representciones ejecutbles de objetos geométricos sino tmbién de objetos propios del nálisis mtemático y l estdístic. Un softwre eductivo se puede usr pr efectos de hcer un medición entre el estudinte y el objeto enseñr, pero tmbién se puede usr como poyo del docente pr ilustrr los objetos de conocimiento, en este sentido es que quiero mostrr el uso de Derive pr ilustrr el teorem fundmentl del cálculo. Inicilmente dré definiciones proimds de lo que llmmos medición instrumentl y representciones ejecutbles, luego presentré el teorem fundmentl del cálculo, su significdo geométrico y finlmente, señlré los psos pr el diseño de representción con Derive. INTRODUCCIÓN Actulmente, ls herrmients computcionles se le vienen dndo vrios usos en l educción: como instrumentos de medición pr el prendizje de muchos objetos de conocimientos, como herrmient del docente pr poyr l enseñnz, como elementos fundmentles en l orgnizción de l informción, etc. En est ocsión quiero mostrr l importnci que tiene el softwre eductivo como herrmient pr el profesor, en l que puede poyrse pr construir representciones que permitn ilustrciones eficces de los objetos de conocimiento que mnej en su clse. En mtemátics tenemos muchos objetos en donde no es fácil hcer un representción geométric y mucho menos un representción ejecutble, por cunto se requiere que los elementos que formn dichos objetos se puedn representr geométricmente en form individul y que se mnejen vribles. Usulmente se emple un softwre de geometrí dinámic pr construir este tipo de representciones, pero lo que quiero presentr es l posibilidd de usr softwre de cálculo simbólico pr lo mismo. Trbjré con Derive y tomré como objeto l teorem fundmentl del cálculo integrl. En lo que sigue quiero señlr los psos básicos en el diseño de un presentción dinámic de este teorem, que permit los estudintes clrr su significdo 1
2 geométrico. L vlidez del diseño de este tipo de poyos está sustentd en el poder de ls representciones ejecutbles en los procesos de visulizción durnte l enseñnz. MEDIACIÓN INSTRUMENTAL Y REPRESENTACIONES EJECUTABLES No se pretende profundizr en los conceptos de instrumento, herrmient, medición, visulizción, medición instrumentl y representción ejecutble, sino proimrnos l significdo de los dos últimos. Empezmos con un pregunt: Pr quién y pr qué es el softwre eductivo? L respuest segurmente será: pr el estudinte y pr el profesor. Al estudinte le servirá pr construir, eplorr, conjeturr y visulizr propieddes de los objetos de conocimiento; l profesor le servirá pr complementr l ilustrción de los objetos y sus propieddes; es decir, un softwre eductivo bien utilizdo se convierte en un instrumento de medición pr fvorecer l trnsposición del sber cdémico l sber enseñr. En l ctulidd, l provechmiento eficz de herrmients computcionles pr desrrollr ctividdes cognitivs orientds l prendizje, es decir, fcilitr procesos propios de l rquitectur de l mente humn pr comprender un objeto de conocimiento, se le llm medición instrumentl. En el cso de ls mtemátics, est medición se d cundo se pueden redefinir los objetos mtemáticos en términos de construcciones ejecutbles. Ls construcciones ejecutbles de objetos mtemáticos nos permiten hcer representciones ejecutbles de los mismos, es decir, representciones procesbles y mnipulbles en un mbiente computcionl en donde se conserven ls relciones estructurles de l construcción y se visulicen los invrintes del objeto de conocimiento de tl mner que se contribuy l relismo del mismo. Si hcemos un revisión rápid de los libros de teto de cálculo diferencil o integrl más usdos en l ctulidd, encontrmos representciones gráfics de lgunos teorems que contienen vrios objetos mtemáticos que se pueden representr de vris mners, es muy común encontrr en un sol imgen representciones de intervlos, puntos de cumulción, funciones seccionlmente monótons, rects tngentes, etc. Ests imágenes estátics no permiten ver l covrición que hy entre todos los elementos que componen l representción; es por esto, que ls representciones ejecutbles revisten grn importnci en l ilustrción de los teorems del cálculo por cunto dejn ver relciones y covriciones que no se pueden ver en un representción estátic. Vle resltr que pr provechr l potencilidd de un softwre como herrmient del profesor pr poyr l enseñnz de un objeto mtemático, es necesrio que el se teng much clridd sobre el significdo geométrico del objeto que quier ilustrr. 2
3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (NEWTON-LEIBNIZ) Si f es continu en [,b] y pr todo [,b]. Significdo geométrico: F() = b f(t)dt pr todo [,b], entonces F () = f() Consideremos l integrl definid f()d y supongmos que el límite inferior está fijo mientrs que el límite superior b vrí; es evidente que el vlor de l integrl vrirá conforme vríe el vlor de b, esto indic que l integrl será un función de su límite superior b. Al límite superior vrible lo designremos con mientrs que l función l designremos con F. Pr evitr confusión con l función integrndo usremos t como vrible de integrción. Así, si f(t) 0 pr todo [,b], entonces F() = f(t)dt será numéricmente igul l áre bjo l curv, l cul vrí medid que vrí. Abusndo un poco del vocbulrio, llmremos F l función de áres bjo l curv f. Si derivmos l función F() = f(t)dt con respecto, se estblece un relción entre l integrl y l derivd que se conoce como teorem de Newton-Leibniz o Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl. SIMULACIÓN DE LA VARIACIÓN CON DERIVE Pr simulr l vrición del límite superior que hemos llmdo y l vrición del áre A(), usremos inicilmente l función de derive AreUnderCurve pr representr un región sombred limitd por l gráfic de f y el eje X entre y b. Est función se escribe AreUnderCurve(f(t),t,,b). Pr el cso de AreUnderCurve(Sin(t),t,0,pi) el resultdo que muestr Derive es el siguiente: 3
4 L instrucción en generl debe escribirse AreUnderCurve(f(t),t,,), que pr el cso que hemos puesto como ejemplo quedrí AreUnderCurve(f(t),t,0,). L pregunt que sigue es cómo se mnej l en el momento de ordenr Derive l gráfic? Pr resolver este interrognte se construye con Derive un vector con prámetro, en donde vrí desde hst b, con psos de vlor p. Pr nuestro ejemplo será construir un vector con prámetro que vrí desde 0 hst π con psos de 1/10. L instrucción qued sí: (VECTOR(AreUnderCurve(SIN(t), t, 0, ),, 0, pi, 1/10)). Se podrá precir como vrí l región sombred conforme vrí ; l siguiente gráfic muestr seis momentos de est situción: Por otro ldo sbemos que l integrl f(t)dt = A(c) A() represent el áre cumuld desde = hst =c, entonces f(t)dt = A() A() represent el áre cumuld desde hst. Como l gráfic de un punto con Derive se obtiene prtir de l instrucción [,y], entonces pr grficr l función A de ls áres cumulds A, necesitmos grficr los puntos [,A()] desde = hst =b. Pero l imgen de es el áre f(t)dt, luego los puntos se escriben [, f(t)dt ]. Pr generr un serie de puntos que pertenezcn l función de áres debemos construir un vector con prámetro, que esté vrindo desde = hst =b con pso de vlor p. c 4
5 L instrucción es VECTOR([, f(t)dt ],,,b,p), pr nuestro ejemplo l instrucción qued si: (VECTOR([, INT(SIN(t), t, 0, )],, 0, pi, 1/10)). Al ejecutr l instrucción se obtiene el siguiente gráfico: Si queremos ilustrr como se v construyendo l función de áres medid que vrí el áre bjo l curv, es decir, medid que vrí, se debe construir un vector de l form VECTOR([Region,[,A()]],,,b,p), en donde: Región es AreUnderCurve(f(t),t,,,p) y [,A()] es [, f(t)dt ]. L instrucción complet qued sí: (VECTOR([AreUnderCurve(f(t), t,,, p), [, INT(f(t), t,, )]],,, b, p)) Pr el ejemplo que venimos trbjndo, l instrucción con Derive debe escribirse sí: (VECTOR([AreUnderCurve(SIN(t),t,0,,0.1), [, INT(SIN(t),t,0,)]],,0,pi,0.1)). En el siguiente gráfico se muestrn tres momentos de est ejecución: 5
6 Al finlizr l ejecución de l instrucción qued el siguiente gráfico: Est últim presentción conjunt de ls representciones dinámics tnto de l integrl definid como de l primitiv o función de áres, mi precer, es lo que yudrí que l estudinte le quede un myor clridd sobre el significdo geométrico del teorem fundmentl del cálculo. Así como se diseñó un representción ejecutble pr este teorem, se podrín diseñr representciones similres pr teorems más complejos utilizndo este u otrs progrms de cálculo simbólico o de geometrí dinámic. 6