Continuidad, límites y asíntotas

9 Continuidad, ites y asíntotas. Funciones especiales Piensa y calcula Completa la siguiente tabla: Parte entera de Parte decimal de Valor absoluto de 0,3 0,3,8,8 2,4 2,4 3,9 Ent () Dec () 3,9 0,3 0,3,8,8 2,4 2,4 3,9 3,9 Parte entera de Ent () 0 2 2 3 3 4 Parte decimal de Dec () 0,3 0,7 0,8 0,2 0,4 0,6 0,9 0, Valor absoluto de 0,3 0,3,8,8 2,4 2,4 3,9 3,9 Aplica la teoría. Representa las funciones: y Ent(2) y y Ent(2) y 2. Representa las funciones: y Signo( 2 4) y 2 + 282 SOLUCIONARIO

y Signo( 2 4) 4. Representa las funciones: si y 2 si > / si < 0 y si 0 y 2 + 3. Representa las funciones: y log 2 y sen y log 2 5. Representa la función: 2 si y + 3 si < 2 log 2 si > 2 0 y sen TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 283

2. Continuidad Piensa y calcula Completa mentalmente las siguientes tablas: y Ent(),9,99,999,9999 y Ent() 2, 2,0 2,00 2,000 y Ent(),9,99,999,9999 y Ent() 2, 2,0 2,00 2 2 2 2,000 2 Aplica la teoría 6. Representa las siguientes funciones y estudia la continuidad analizando su gráfica: y 2 + 4 + y 2/ c) y y 2 + 4 + 7. Representa la función f() + 3 y calcula los siguientes ites: f() f() 2 y + 3 Es una parábola y es continua en todo y 2 + 3 2 2 + 3 8. Representa la función f() 2 + 5 si 2 si > 2 y calcula los ites laterales en 2 Es una hipérbola y es discontinua en 0 c) y Es una función irracional y es continua en todo su dominio, Dom(f) [0, + ) 2 f() ( ) 2 + + 2 f() ( 2 2 2 + 5) 284 SOLUCIONARIO

9. Representa la función f() 2 si 2/ si > y estudia la continuidad en f() 2 2 f() 2 2 + + f() 2 2 La función es continua en 3. Discontinuidades Piensa y calcula Completa la siguiente sucesión: 2,9 2,99 3 3 3 + 3,0 3, 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999 3 3 3 + 3,0000 3,000 3,00 3,0 3, Aplica la teoría 0. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: + si 3 f() 2 si 3 Se estudia el punto 3 f(3) 2 3 3 f() ( + ) 2 + + 3 f() ( + ) 2 3 La función es discontinua en 3, donde tiene una discontinuidad evitable. Se evita definiendo f(3) 2. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y Dec() TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 285

4. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y tg Es discontinua en los números enteros, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto uno. 2. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y + (2k + )π Es discontinua en,k, donde tiene una 2 discontinuidad de ª especie de salto infinito. 5. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: f() 3 2 si 2 5 si 2 Es discontinua en, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie, ya que no eiste el ite lateral por la izquierda. 3. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y 3 y 3 + 2 Es discontinua en 2, donde tiene una discontinuidad evitable. Se evita definiendo f( 2) 2 Es discontinua en, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 286 SOLUCIONARIO

4. Límites de funciones polinómicas y racionales Piensa y calcula Calcula mentalmente los siguientes cocientes y di cuál o cuáles no tienen solución, tienen una solución o tienen muchas soluciones. 6 0 0 5 c) d) 2 0 5 0 3 Muchas soluciones. c) 0 d) No tiene solución. Aplica la teoría 6. Calcula mentalmente los siguientes ites: (5 3 + 3 7) +@ ( 4 5 3 + 3) @ @ + @ 3 + 5 3 + + 5 3 + 5 2 + @ + + 0 + 0 + 3 + 5 3 + 5 3 + 5 2 @ 0 0 No eiste f() 7. Calcula los siguientes ites y representa la función correspondiente: 2 2 4 + 2 3 + 5 2 4 0 ( + 2)( 2) 2 + 2 [ ] 0 2 + 2 ( 2) 2 2 4 2 8. Calcula mentalmente los siguientes ites: 3 3 2 + 5 2 + 5 +@ 2 2 + 7 @ 2 2 + 7 c) 5 + 3 2 d) +@ 7 3 e) 2 + 3 f) +@ 4 3 5 @ @ 5 + 3 2 7 3 2 + 3 4 3 5 3 3 c) @ 2 2 d) @ e) 0 f) 0 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 287

5. Límites de funciones irracionales y ites de operaciones Piensa y calcula Halla el resultado de operar los siguientes símbolos; puede dar +, o indeterminado. + @ + @ + @ @ c) @ + @ d) @ @ + @ Indeterminado. c) Indeterminado. d) @ Aplica la teoría 9. Representa la función f() 3 + 2 Halla el ite de f() cuando 2 2. Halla el siguiente ite: 5 ( 5) 2 + +@ + 3 5 2 + + @ ( ) 5 [@ @] + 3 5 2 + 5( + 3) + @ + 3 5 2 + 5 2 5 + @ + 3 2 (3 + 2 ) 3 20. Representa la función f() + 2 Halla el ite de f() cuando + @ 4 @ + 3 @ + @ [ ] 4 22. Halla el siguiente ite: @ 7 ( 72 ) 3 + 4 2 5 + 2 7 3 + 4 2 5 @ ( 72 ) [@ @] + 2 + @ + 2 + @ 7 2 ( + 2) (7 3 + 4 2 5) @ + 2 7 3 + 4 2 7 3 4 2 +5 @ + 2 5 + 2 @ @ @ [ ] 5 288 SOLUCIONARIO

23. Halla el siguiente ite: ( 2 + 6 ) +@ ( 2 +6)( + 2 +6) 2 ( 2 + 6) ( 2 +6) [@ @] + @ + @ + @ + 2 +6 + 2 +6 2 2 6 6 @ 6 6 + @ + @ [ ] 3 + @ + 2 +6 + 2 +6 @ + 2 + 24. Halla el siguiente ite: ( 2 + 5 + 2 4 ) @ ( 2 +5+ 2 4 )( 2 +5+ + 2 4 ) ( 2 + 5 + 2 4 ) [@ @] @ @ 2 + 5 + + 2 4 2 + 5 + ( 2 4) 2 + 5 + 2 + 4 9 + @ @ @ 2 + 5 + + 2 4 2 + 5 + + 2 4 2 +5 + + 2 4 @ 9 9 @ 2 + 2 2 @ [ ] 25. Halla el ite de la siguiente sucesión: ( n 2 + 3n 5 n 2 + ) n +@ ( n 2 + 3n 5 n 2 +)( n 2 + 3n 5 + n 2 +) ( n 2 + 3n 5 n 2 +) [@ @] n + @ n + @ n 2 + 3n 5 + n 2 + n 2 + 3n 5 (n 2 + ) n 2 + 3n 5 n 2 3n 6 @ n + @ n + @ n 2 + 3n 5 + n 2 + n 2 + 3n 5 + n 2 + n 2 + 3n 5 + n 2 + @ 3n 3 n + @ n 2 + n 2 2 n + @ [ ] 26. Halla el ite de la siguiente sucesión: (3n 9n 2 + 5n ) n +@ (3n 9n 2 + 5n )(3n + 9n 2 + 5n ) 9n 2 (9n 2 + 5n) (3n 9n 2 + 5n ) [@ @] n + @ n + @ n + @ 3n + 9n 2 + 5n 3n + 9n 2 + 5n 9n 2 9n 2 5n 5n @ 5n 5 5 n + @ n + @ [ ] n + @ 3n + 9n 2 + 5n 3n + 9n 2 + 5n @ 3n + 9n 2 3 + 3 6 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 289

6. Asíntotas de funciones racionales Piensa y calcula Dibuja la siguiente hipérbola, halla sus asíntotas y represéntalas. 2 y + 3 Asíntotas: Vertical: 3 Horizontal: y y 2 3 Aplica la teoría Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: 28. y 2 2 27. y 2 + 4 2 Verticales: 0 2 + 4 4 0 + 2 0 + + @ 2 + 4 4 0 2 0 @ Horizontal: no tiene. Oblicua: y 2 2 + 4 4 2 + + 2 2 2 2 2 + @ 0+ La curva está encima de la asíntota. 2 @ 0 La curva está debajo de la asíntota. Verticales: 0 2 2 + + 2 2 + + @ + 0 2 2 2 2 @ 0 + Horizontal: no tiene. Oblicua: 2 2 + 2 + 2 2 2 2 2 + + y 2 + @ 0+ La curva está encima de la asíntota. 2 @ 0 La curva está debajo de la asíntota. 290 SOLUCIONARIO

29. y Verticales: no tiene. Horizontal: y 0 6 + @ 0+ La curva está encima de la 2 +3 asíntota. 6 @ 0 La curva está debajo de la 2 +3 asíntota. Oblicua: no tiene. 30. y 6 2 + 3 2 2 Verticales: 2 0, 2 + + 2 + 0 + + @ 2 2 0 @ 2 + 2 0 @ 2 + 2 + 0 + + @ Horizontal: 2 y Ï@ 2 + @ 0+ La curva está encima de la 2 asíntota. @ 0+ La curva está encima de la 2 asíntota. Oblicua: no tiene. TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 29

Ejercicios y problemas. Funciones especiales 3. Representa las funciones: y Dec(2) y Signo(sen ) y Dec(2) 33. Representa las funciones: y y cos 4 y 4 y cos y Signo(sen ) 34. Representa la función: y 2 si 2 3 si > 2 32. Representa las funciones: y 2 4 y 2 2 3 y 2 4 35. Representa la función: y 3 si 3/ si > y 2 2 3 292 SOLUCIONARIO

36. Representa la función: 3 si < 2 y si 2 si > 38. Representa las siguientes funciones y estudia la continuidad de forma gráfica: y y Dec() y Es el valor absoluto de una función polinómica y es continua en todo y Dec() 2. Continuidad 37. Representa las siguientes funciones y estudia la continuidad de forma gráfica: 2 y 3 3 y 2 y 3 Es la función parte decimal y es discontinua en todos los puntos de abscisa entera. 39. Representa la función: f() sen y calcula los siguientes ites: f() f() π/2 π y sen Es una recta y es continua en todo y 3 Es el valor absoluto de una función racional, de una hipérbola y es discontinua en 0 π/2 sen π sen 0 40. Representa la función: + 4 si 0 f() 2 si > 0 y calcula los ites laterales en 0 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 293

Ejercicios y problemas Se estudia el punto f() 3 +f() 3 3 + f() ( + 2) 3 La función es continua en ; por lo tanto, es continua en todo 0 + f() f() 2 0 4. Representa la función: 4 si < f() 3/( + 2) si y estudia la continuidad en 43. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y Signo() f( ) 3 f() 3 + f() 4 La función es discontinua en, donde tiene una discontinuidad de salto finito de 3. Discontinuidades 42. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: + 2 si < f() 3 si Se estudia el punto 0 f(0) no eiste. 0 +f() Signo() 0 + 0 f() Signo() 0 La función es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito de 2 unidades. 44. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y 2 y 2 Es discontinua en 2, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie, ya que no eiste el ite lateral por la derecha. 45. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y 2 + 6 + 294 SOLUCIONARIO

y 2 4 +f() ( + 3) 2 + f() 2 2 La función es continua en 2 + 6 y + 4. Límites de funciones polinómicas y racionales Es discontinua en, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 46. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y log 2 48. Calcula mentalmente los siguientes ites: ( 5 + 7 2 3 + ) +@ ( 5 + 7 2 3 + ) @ ( + @ 5 + 7 2 3 + ) ( + @ 5 ) @ ( @ 5 + 7 2 3 + ) ( @ 5 ) + @ y log 2 49. Calcula el siguiente ite: Representa la función correspondiente. 2 2 2 ( + ) 2 2 2 4 + @ + ( + )+ 0 + 0 + 2 2 + Es continua en todo su dominio, es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie, ya que no eiste el ite lateral por la izquierda. 2 2 2 ( ) 2 2 2 4 + @ + ( )+ 0 0 47. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: f() 2 si < + 3 si 4 y 2 50. Calcula el siguiente ite: 2 + 2 3 Se estudia el punto f() + 3 2 Representa la función correspondiente. 2 + 2 3 0 ( )( + 3) [ ] 0 ( + 3) + 3 4 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 295

Ejercicios y problemas 5. Límites de funciones irracionales y ites de operaciones 54. Representa la función: f() 2 + + 5 Halla el ite de f() cuando 5 + 5. Calcula mentalmente los siguientes ites: +@ @ 4 + 9 2 + 5 4 + 9 2 + 5 4 + @ 9 2 +5 @ + @ [ ] 0 4 + @ 9 2 + 5 @ @ [ ] 0 5 + (2 + + 5) 2 55. Representa la función: f() 3 Halla el ite de f() cuando 52. Calcula mentalmente los siguientes ites: +@ @ 3 4 5 4 + 2 3 3 4 5 4 + 2 3 3 4 5 @ 4 +2 3 @ + @ [ ] 3 53. Calcula mentalmente los siguientes ites: 5 + 7 3 @ 4 2 3 @ + @ [ ] @ 3 4 5 @ 4 +2 3 @ @ [ ] 3 +@ @ 5 + 7 3 4 2 3 5 + 7 3 4 2 3 5 + 7 3 @ 4 2 3 @ @ [ ] + @ @ 3 + @ 56. Halla el siguiente ite: ( ) 3 6 2 + 5 4 +@ 2 + 6 2 + 5 4 + @ ( ) 3 [@ @] 2 + 3(2 + ) (6 2 + 5 4) + @ 2 + 6 2 + 3 6 2 5 + 4 + @ 2 + 6 2 + 3 6 2 5 + 4 2 + 4 + @ 2 + + @ 2 + @ 2 [ ] @ 2 296 SOLUCIONARIO

57. Halla el siguiente ite: 0 ( 5) 3 + 2 7 @ 2 2 + 3 0 3 + 2 7 @ ( ) 5 [ @ + @] 2 2 +3 0 3 + 2 7 5(2 2 + 3) @ 2 2 + 3 0 3 + 2 7 0 3 5 @ 2 2 + 3 2 5 7 @ @ 2 [ ] 2 + 3 @ 2 58. Halla el siguiente ite: (2 4 2 3 ) +@ (2 4 2 3) [@ @] + @ (2 4 2 3)(2 + 4 2 3) + @ 2 + 4 2 3 4 2 4 2 + 3 3 @ +@ 2 + 4 2 3 2 + 4 2 3 @ 3 3 3 + @ 2 + 2 + @ 4 4 +@ [ ] 59. Halla el siguiente ite: ( ) ( 3 + 2 3 5 ) [@ @] + @ + @ +@ 3 + 2 3 5 ( 3 + 2 3 5 )( 3 + 2 + 3 5 ) + @ 3 + 2 + 3 5 3 + 2 3 + 5 7 @ 7 + @ [ ] 0 + @ 3 + 2 + 3 5 3 + 2 + 3 5 @ 2 3 60. Halla el ite de la siguiente sucesión: ( ) ( 3n 5 n + 2) [@ @] n + @ n + @ 2n 7 @ 2n +@ n + @ 3n 5 + n + 2 @ 3n + n n + @ [ ] n +@ 3n 5 n + 2 ( 3n 5 n + 2)( 3n 5 + n + 2) 3n 5 n 2 3n 5 + n + 2 n + @ 3n 5 + n + 2 6. Halla el ite de la siguiente sucesión: (2n 5 4n 2 7n ) n +@ (2n 5 4n 2 7n)(2n 5 + 4n 2 7n) (2n 5 4n 2 7n) [@ @] n + @ n + @ 2n 5 + 4n 2 7n 4n 2 20n + 25 4n 2 + 7n 3n + 25 @ 3n 3n 3 n + @ n + @ [ ] n + @ n + @ 2n 5 + 4n 2 7n 2n 5 + 4n 2 7n @ 2n + 2n 4n 4 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 297

Ejercicios y problemas 6. Asíntotas de funciones racionales 62. Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: y y Verticales: 0 2 3 + 3 + 3 + + 3 + + @ + 0 + 2 3 + 3 3 + 3 @ 0 Horizontal: no tiene. Oblicua: 2 3 + 3 2 2 + 3 2 3 + 3 2 + 2 2 + 3 2 2 2 3 + 3 2 + La asíntota es: y 2 63. Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: y y Verticales: 4 2 0 2, 2 2 + 2 2 + 4 2 4 4 + 0 @ 2 2 2 4 2 4 4 0 + + @ 2 2 2 + 2 + @ 4 2 4 4 0 + 2 2 +@ 4 2 4 4 + 0 Horizontal: Ï@ 4 2 2 2 0 La asíntota es: y 0 4 2 + @ 0 La curva está debajo de la 4 2 asíntota. @ 0+ La curva está encima de la 4 2 asíntota. Oblicua: no tiene. + @ 0+ La curva está encima de la asíntota. @ 0 La curva está debajo de la asíntota. Verticales: no tiene. Horizontal: Ï@ 2 La asíntota es: y 2 +3 2 2 2 3 3 2 + 3 2 + 3 2 + 3 3 + @ ( ) 0 La curva está debajo de la 2 + 3 asíntota. @ ( 3 ) 0 La curva está debajo de la 2 + 3 asíntota. Oblicua: no tiene. Verticales: 0 0 0 2 2 0 + + @ 2 0 + 0 + 2 2 0 @ 2 0 + 0 + Horizontal: Ï@ 2 0 La asíntota es: y 0 2 2 + @ 0+ La curva está encima de la 2 asíntota. 2 @ 0 La curva está debajo de la 2 asíntota. Oblicua: no tiene. 298 SOLUCIONARIO

64. Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: 5 y y 2 + 2 2 + Verticales: no tiene. Horizontal: y 0 Ï@ 5 0 La asíntota es: y 0 2 + 5 + @ 0+ La curva está encima de la 2 + asíntota. 5 @ 0+ La curva está encima de la 2 + asíntota. Oblicua: no tiene. Verticales: 0 0 0 2 + 2 0 + + 2 0 + + @ 0 + 0 + 2 + 2 0 + + 2 0 + @ 0 0 Horizontal: no tiene. Oblicua: 2 + 2 + 2 + La asíntota es: y + 2 + @ ( ) 0 La curva está debajo de la asíntota. @ ( ) 0+ La curva está encima de la asíntota. Para ampliar 65. Representa las funciones: f() f() 2 y si < 2 67. Representa la función: y 2 si 2 < log 2 si y 2 2 66. Representa la función: f() TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 299

Ejercicios y problemas 68. Halla el dominio y el campo de continuidad de cada una de las siguientes funciones, es decir, el conjunto donde es continua, y razona por qué son iguales o distintos. f() 5 3 3 2 + 4 + 2 f() 3 c) f() 2 + 4 d) f() 3 Dom(f) ( @,+@) C(f) ( @,+@) Las funciones polinómicas son continuas en todo El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. Dom(f) {} ( @,) U (, + @) C(f) {} ( @,) U (, + @) El punto de discontinuidad no está en el dominio. El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. c) Dom(f) ( @,+@) C(f) ( @,+@) No hay ningún punto de discontinuidad. El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. c) Dom(f) ( @,+@) C(f) ( @,+@) El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. (2k + )π d) Dom(f) {,k 2 } (2k + )π C(f) { },k 2 El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. e) Dom(f) C(f) El dominio y el campo de continuidad no son iguales. Se observa que la función no está definida por una fórmula analítica. f) Dom(f) C(f) {0} El dominio y el campo de continuidad no son iguales. Se observa que la función no está definida por una fórmula analítica. 70. Halla y clasifica las discontinuidades de la siguiente función a partir de su gráfica: y 2 4 d) Dom(f) [3, + @) C(f) [3, + @) El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. 69. Halla el dominio y el campo de continuidad de cada una de las siguientes funciones y razona por qué son iguales o distintos. f() 2 f() log 2 c) f() sen d) f() tg e) f() Ent() f ) f() Signo() Dom(f) ( @,+@) C(f) ( @,+@) El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. Dom(f) (0, + @) C(f) (0, + @) El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. Es discontinua en 2 y en 2, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 7. Halla y clasifica las discontinuidades de la siguiente función a partir de su gráfica: f() + 3 Es discontinua en 3, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie porque no eiste el ite lateral por la derecha. 300 SOLUCIONARIO

72. Halla y clasifica las discontinuidades de la siguiente función a partir de su gráfica: 3 3 5 4 2 5 + 2 5 + 2 7 3 0 3 2 4 + 3 0 3 ( )( 3) 3 [ ] 3 2 f() 2 + 4 + si? 4 si Es discontinua en, donde tiene una discontinuidad evitable. Se evita definiendo f( ) 2 73. Calcula mentalmente los siguientes ites: ( 5 7 2 4 + 23) ( 6 + 7 5 2 + ) 74. Calcula mentalmente los siguientes ites: 0 23 5 +@ @ 5 3 + 2 2 5 3 + 2 2 @ + @ 77. Calcula mentalmente los siguientes ites: 3 + 7 3 + 7 +@ 2 3 + 5 @ 2 3 + 5 2 2 78. Calcula el siguiente ite: + 5 + + 6 + @ 5 + 5 5 + 5 0 + + 5 + 6 @ 5 5 5 5 0 Como los ites laterales son distintos, el ite cuando tiende a 5 no eiste. 79. Calcula mentalmente los siguientes ites: +@ @ 5 2 3 + 5 5 2 3 + 5 5 0 0 + 5 75. Calcula mentalmente los siguientes ites: ( 3 + 5 2 2 + 7) ( 4 + 2 2 4 + 5) + @ @ 76. Calcula los siguientes ites: +@ @ 5 3 3 + 2 3 2 4 + 3 80. Calcula los siguientes ites: 2 2 2 2 4 0 2 2 2 0 ( 2) 2 [ ] 2 4 0 2 ( + 2)( 2) 2 2 2 + 2 2 + 2 4 2 + @ 0 2 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 30

Ejercicios y problemas 8. Halla el siguiente ite: 3 3 2 3 3 3 0 ( 3 )( + 3 ) 2 3 3 [ ] 3 3 2 3 0 ( 2 3)( + 3 ) ( 2 3)( + 3 ) 3 + 3 3+ 3 2 3 6 82. Halla los siguientes ites: + 8 3 + 8 3 0 ( + 8 3)( + 8 + 3) + 8 9 0 ( )( + 8 + 3) ( )( + 8 + 3) ( )( + 8 + 3) [ ] + 8 + 3 + 8 + 3 3 + 3 6 2 0 ( 2)( + 3 5) ( 2)( + 3 5) 3 5 0 2 ( 3 5)( + 3 5) 3 + 5 2 [ ] 2 2 3 5 2 ( 2)( + 3 5) ( 2)( + 3 5) + 3 5 + 6 5 2 2 2 2 3 +6 3( 2) 3 3 3 83. Halla una función racional que tenga como asíntota vertical la recta 2 f() 2 84. Halla una función racional que tenga como asíntota horizontal la recta y 3 y 0 3 f() + 5 85. Halla una función racional que tenga como asíntota oblicua la recta y 2 Horizontal: y 0 f() 2 + 2 2 + 86. Representa y halla mentalmente las asíntotas de las siguientes funciones eponenciales: y 2 y 5 + 2 c) y 3 + 2 d) y + 2 Horizontal: y 5 y 5 302 SOLUCIONARIO

c) c) 3 y 3 Horizontal: y 3 Vertical: 3 d) d) 3 y Horizontal: y Vertical: 3 87. Representa y halla mentalmente las asíntotas de las siguientes funciones logarítmicas: y log 2 y 3 + log 2 c) y log 2 ( + 3) d) y + log 2 ( 3) 0 88. Dada la función f() completa mentalmente las siguientes tablas: f() f() Observando las tablas, induce los siguientes ites: 0 + 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 0 c) Calcula f(0), razona si la función f() es continua en 0 y, en caso negativo, clasifica la discontinuidad. Vertical: 0 0 f() 0 00 000 0 000 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 f() 0 00 000 0000 Vertical: 0 + @ 0 + @ 0 c) f(0) no eiste y viendo los ites laterales obtenidos en el apartado, la función es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 303

Ejercicios y problemas Con calculadora 89. Dada la función f() 2 completa las siguientes tablas: Observando las tablas, induce los siguientes ites: 2 2 0 + c) Calcula f(0) y razona si la función f() es continua en 0 90. Dada la función f() completa las siguientes tablas: Observando las tablas, induce los siguientes ites: 0 + f() f() 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 0 f(),07,007,0007,00007 0, 0,0 0,00 0,000 f() 0,9 0,99 0,999 0,9999 2 2 0 + 0 c) f(0) y, viendo los ites laterales obtenidos en el apartado, la función es continua en 0 f() f() 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 0 c) Calcula f(0), razona si la función f() es continua en 0 y clasifica la discontinuidad. 9. Dada la función: f() 2 + + 9 completa las siguientes tablas: Observando las tablas, induce los siguientes ites: ( 2 + + 9) @ +@ f() f() ( 2 + + 9) ( 2 + + 9) + @ @ + @ (2 + + 9) + @ 92. Dada la función: 0 00 000 0000 0 00 000 0 000 0 00 000 0000 f() 99 9 909 999 009 99 990 009 f() 9 0 09 00 009 00 00 009 f() 3 2 + 2 2 completa la siguiente tabla. En la cuarta fila está el valor de la función menos el valor de la asíntota horizontal. f() y 3 f() 3 0 00 000 0 000 0 00 000 0 000 f() 0,3 0, 0,03 0,0 f() 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 No eisten 0 no eiste. 0 + 0 c) f(0) 0 y,viendo los ites obtenidos en el apartado, la función es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie. Observando la tabla, razona si la curva está encima o debajo de la asíntota. 0 00 000 0 000 f() 3,05 3,0005 3,000005 3,00000005 y 3 3 3 3 3 f() 3 0,05 0,0005 0,000005 0,00000005 La curva está encima de la asíntota. 304 SOLUCIONARIO

93. Dada la función: f() 2 2 + + completa la siguiente tabla. En la cuarta fila está el valor de la función menos el valor de la asíntota horizontal. f() y 2 + f() (2 + ) 0 00 000 0 000 Observando la tabla, razona si la curva está encima o debajo de la asíntota. 0 00 000 0 000 f() 2, 20,0 2 00,00 20 00,000 y 2 + 2 20 2 00 20 00 f() (2 + ) 0, 0,0 0,00 0,000 La curva está encima de la asíntota. Problemas 94. Representa la función: f() Qué función es? 96. Halla el valor de n para que la siguiente función sea continua en todo + n si < 2 f() 2 si 2 f(2) (2) 2 4 3 f() ( + n) 2 + n 2 2 f() 2 + 2 (2 ) 4 3 + Por tanto, tiene que ser: 2 + n 3 n Es la función y Signo() 95. Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en todo 2 si 2 f() k si > 2 f(2) 2 2 4 3 2 f() (2 ) 4 3 2 f() k k 2 + 2 + Por tanto, tiene que ser: k 3 97. Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en todo f () k k + 2 si < f() k/ si f() ( + 2) + 2 3 f() k k + + Por tanto, tiene que ser: k 3 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 305

Ejercicios y problemas 98. Halla el valor de n para que la siguiente función sea continua en todo f() 2 si 3 + n si > f() 2 2 f() 2 2 f() (3 + n) 3 + n + + Por tanto, tiene que ser: 3 + n 2 n 0. Calcula el valor de a para que: a 3 a 6 2 +@ a 2 + 3 2 2 5 02. Observando la gráfica: 3 y 3 4 3 99. Los ingresos de una empresa, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por la función: si 0 9 f() 4 30 si > 9 7 donde viene dado en años,y f(),en millones de euros. Es continua la función f()? Sí es continua, porque: f(9) 3 f() 3 9 9 4 30 6 f() 9 + 9 + 7 2 3 calcula: ( 4) 3 +@ 3 ( 4) 3 3 @ + @ @ 00. En un aparcamiento que permanece abierto 0 horas diarias, hay un cartel que dice: cada hora,,5 y más de 4 horas, 7 Representa la función correspondiente. En qué puntos es discontinua, y qué tipo de discontinuidad tiene en cada uno de ellos? 03. Observando la gráfica: y 2 + Es discontinua en:, 2, 3, 4 En esos puntos tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito. En los tres primeros puntos el salto es de,5 y en el último el salto es de calcula: c) d) +@ @ 0 + 0 2 + 2 + 2 + 2 + + @ @ c) + @ d) @ 306 SOLUCIONARIO

04. Observando la gráfica: calcula: ( ) Halla el ite analíticamente para comprobar el resultado. 0 + f() + 5 + 3 + 5 + 3 06. Los gastos mensuales en euros que una familia tiene en alimentación vienen dados por la función: 0,4 + k si 0 000 f() 2 000 si > 000 + 3 000 donde son los ingresos de la familia en euros. Halla el valor de k para que los gastos sean continuos; es decir, no haya salto en 000 Hacia qué valor se estabilizan los gastos de alimentación de las familias con la renta más alta? k 00 2 000 2 000 + @ + 3 000 + @ ( + 5 + 3) [@ @] ( + 5 + 3)( + 5 + + 3) + @ + 5 + + 3 + 5 ( + 3) + @ + 5 + + 3 + 5 3 2 0 + @ + 5 + + 3 + @ + 5 + + 3 05. Rocío comienza a trabajar en una empresa de informática. La función que calcula el número de ordenadores que monta, en función del tiempo, viene dada por: 6t f(t) t + 5 donde t es el número de días que lleva trabajando, y f(t), el número de ordenadores que monta. Cuántos ordenadores monta el primer día? Cuántos ordenadores monta el quinto día? c) Cuántos ordenadores monta el décimo día? d) Qué día montará 5 ordenadores? e) Puede llegar a montar algún día 7 ordenadores? f) A qué número tenderá cuando lleve mucho tiempo trabajando? 3 c) 4 d) 6t 5 t 25 t + 5 e) No, porque al resolver la ecuación 6t 7, se obtiene un número negativo. t + 5 f) 6t 6 t + @ t + 5 07. En una ciudad se hace un censo inicial y se sabe que el número de habitantes evoluciona según la función: t P(t) 2 + 500t + 2 500 (t + 50) 2 donde t es el número de años transcurridos desde que se hace el censo,y P(t) es el número de habitantes en millones. Cuántos habitantes hay cuando se realiza el censo inicial? Cuántos habitantes habrá dentro de 50 años? c) Con el paso del tiempo, hacia qué población se estabilizará? Halla la asíntota horizontal para comprobarlo. t 0 P(0) millón. t 50 P(50) 3 millones. c) t 2 + 500t + 2 500 millón. t @ (t + 50) 2 Asíntota horizontal: y 08. Halla las asíntotas de la siguiente función racional y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: y 3 2 + Verticales: no tiene. Horizontal: y 0 3 + @ 0+ La curva está encima de la asíntota. 2 + 3 0 La curva está debajo de la asíntota. @ 2 + Oblicua: no tiene. TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 307

Ejercicios y problemas 09. Halla las asíntotas de la siguiente función racional y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: y 2 + 2 Verticales: 2 0, 2 + + + 2 + 2 + 0 + + @ 2 + + 2 2 0 @ 2 + + 2 + 2 0 @ 2 + + + 2 2 + 0 + + @ Horizontal: y 2 + @ 0+ La curva está encima de la asíntota. 2 2 @ 0+ La curva está encima de la asíntota. 2 Oblicua: no tiene. m + n 2 2m + n m, n 3 3. Una determinada especie evoluciona según la función: f(t) 5 + 2 t donde t es el número de años y f(t) son los millones de unidades eistentes. Representa la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: la especie está en vías de etinción? Para profundizar 0. Halla el valor de f(3) para que la siguiente función sea continua en todo f() 2 3 3 2 3 3 3 3 3 f(3) 3 La especie no está en vías de etinción, porque tiende a estabilizarse hacia 5 millones de unidades. (5 + t + @ 2t ) 5 4. Una determinada especie evoluciona según la función: 2 f(t), t > 0 t donde t es el número de años y f(t) son los millones de unidades eistentes. Representa la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: la especie está en vías de etinción?. Halla el valor de m y n para que la siguiente función sea continua en todo 2 si f() m + n si < < 2 2/ si 2 m + n 2m + n m 0, n 2. Halla el valor de m y n para que la siguiente función sea continua en todo 2 si f() m + n si < < 2 log 2 si 2 La especie sí está en vías de etinción, porque tiende hacia 0. 2 0 t + @ t 308 SOLUCIONARIO

5. Observando la gráfica de la sucesión: calcula: Halla el ite analíticamente para comprobar el resultado. 3 3 n +@ 6. Una entidad financiera paga un tanto por ciento en función del dinero depositado, definido por: R() donde es la cantidad de dinero depositado en euros, y R(), el valor del tanto por ciento. Hacia qué valor se estabilizará el tanto por ciento cuando se deposite una cantidad muy grande. 6 + 8 000 6 % +@ + 0 000 y 3 3n 2 2n + 4 a n n 2 + 5 3n 2 2n + 4 n 2 + 5 6 + 8 000 + 0 000 7. Los beneficios o las pérdidas de una empresa vienen dados por la función: 5 f() 2 20 2 + 4 donde es el número de años que lleva funcionando, y f() son millones de euros. Halla los beneficios o las pérdidas en el er,2º y 3 er años. Hacia qué valor se estabilizan las ganancias o pérdidas con el paso del tiempo. 3, 0, 25/3,9 millones de euros, respectivamente. 5 2 20 5 millones de euros de ganancias. +@ 2 + 4 8. Halla una función racional que tenga como asíntotas verticales las rectas 3, f() f() ( 3)( + ) 2 2 3 9. Calcula una función racional que tenga como asíntotas las rectas 2 e y 3 y 3 + 2 20. Halla una función racional que tenga como asíntotas las rectas e y 2 y 2 + f() 2 3 + 3 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 309

Linu/Windows Paso a paso 2. Dibuja la siguiente función, identifícala y estudia sus discontinuidades. y suelo() Resuelto en el libro del alumnado. 22. Dibuja la siguiente función y estudia sus discontinuidades. y 2 5 si 3 2 8 si > 3 Resuelto en el libro del alumnado. 23. Halla el siguiente ite y dibuja la función correspondiente para comprobarlo gráficamente. ( 3 + 2 2 + 2) +@ Resuelto en el libro del alumnado. 24. Representa la siguiente función, halla sus asíntotas y dibújalas. y 2 + 5 + 5 + 2 Resuelto en el libro del alumnado. 25. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es, elige Matemáticas, curso y tema. Practica 26. Dibuja las siguientes funciones, identifícalas y estudia sus discontinuidades. y decimal() y signo() Es la función parte decimal, y Dec() Es discontinua en los números enteros, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito de una unidad. Es la función signo, y signo() Es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito de dos unidades. 27. Dibuja las siguientes funciones y estudia su continuidad. y 2/ y 2 + 2 3 30 SOLUCIONARIO

Windows Derive Es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. Es discontinua en 2, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito de 7 unidades. 29. Halla el siguiente ite y dibuja la función correspondiente para comprobarlo gráficamente. +@ ( 2 + 7 2 + 3 ) Es continua en toda la recta real, ( 2 + 7 2 + 3 ) 2 +@ 28. Dibuja las siguientes funciones y estudia sus discontinuidades. 2/ si < 0 f() si 0 + 5 si < 2 f() 2 si 2 2 3 si > Es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 30. Halla los ites laterales en el punto que se indica y dibuja la función para comprobarlo gráficamente. Clasifica la discontinuidad en dicho punto. y 2 en 2 2 2 y 2 5 en 3 3 2 2 2 + 2 2 2 2 2 2 2 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 3

Linu/Windows En 2 tiene una discontinuidad evitable porque no está definida para 2. Se evita la indeterminación definiendo f(2) /2 2 5 2 5 3 + 3 + @ 3 3 @ Vertical: Horizontal: no tiene. Oblicua: y Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o DERIVE: En 3 tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 3. Dibuja las siguientes funciones, halla sus asíntotas y represéntalas. y 3 2 + 4 + 3 y 2 2 + 3 2 + 32. Una determinada especie evoluciona según la función: f(t) 3 + 2 t donde t es el número de años y f(t) son los millones de unidades eistentes. Dibuja la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: la especie está en vías de etinción? Para comprobarlo, calcula el ite cuando t + @ y representa la asíntota horizontal. Vertical: no tiene. Horizontal: y 3 Oblicua: no tiene. (3 + 2t ) 3 t +@ La especie no está en vías de etinción, porque tiende a estabilizarse hacia 3 millones de unidades. 32 SOLUCIONARIO

Windows Derive 33. En una ciudad se hace un censo inicial y se sabe que el número de habitantes evoluciona según la función: P(t) t 2 + 500t + 2 500 (t + 50) 2 donde t es el número de años transcurridos desde que se hace el censo y P(t) es el número de habitantes en millones. Cuántos habitantes hay cuando se realiza el censo inicial? Cuántos habitantes habrá dentro de 50 años? c) Con el paso del tiempo, hacia qué población se estabilizará? d) Representa la función y la asíntota horizontal. millón. 3 millones. c) millón, y d) En la gráfica. TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 33