Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TRIGONOMETRÍ Es l rm de l mtemáti que tiene por ojeto el estudio de ls reliones numéris que existen entre los elementos retilíneos y ngulres de un triángulo o de un figur geométri en generl y su pliión l soluión numéri de los prolems que puedn presentrse. Pr lulr l longitud de ls rrs de este uerpo de triun, l longitud de ls rrs del udro de l iilet, l longitud de ls rrs que onformn el tren de terrizje del vión o l ltur que lnzrá l esler según el ángulo de pertur neesitmos onoer los ángulos y los ldos de los triángulos que se formn. 1
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TRIÁNGULO: Definimos un triángulo omo un figur geométri formd por un poligonl errd, delimitd por tres ldos. Elementos de un triángulo: - Ldos:,, - Ángulos:, β, γ - Vérties:,, γ β Propiedd: L sum de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º, Es deir que + β + γ 180º lsifiión de los triángulos: lsifiión por sus ldos: equilátero isóseles esleno Equilátero: tiene todos sus ldos igules Isóseles: tiene dos ldos igules y uno desigul Esleno: tiene todos sus ldos desigules
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll lsifiión por sus ángulos: - oliuángulos utángulos otusángulos -retángulos oliuángulo utángulo otusángulo retángulo Línes y puntos notles de un triángulo: isetries de un triángulo: o o utángulo retángulo o otusángulo 3
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll Ls isetries de un triángulo se ortn en un punto interior que equidist de sus ldos. El punto O se denomin inentro. Meditries de un triángulo: M M 3 o M 1 utángulo M M 3 o M 1 retángulo M o M 1 M 3 otusángulo Ls meditries de un triángulo se ortn en un punto que equidist de sus vérties. El punto O se denomin irunentro. lturs de un triángulo: o utángulo o retángulo o otusángulo Ls rets que ontienen ls lturs de un triángulo se ortn en un punto. El punto O se denomin entro ortogonl u ortoentro. 4
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll Medins de un triángulo: o o o utángulo retángulo otusángulo Ls medins de un triángulo se ortn en un punto interior uy distni d vértie es igul /3 de l medin orrespondiente. El punto O se denomin rientro (entro de grvedd). RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS TEOREM DE PITÁGORS: el udrdo de l ipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos. + de donde: 5 + 9 + 16 5
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll FUNIONES TRIGONOMÉTRIS Si onsidermos un ángulo orientdo (puede ser positivo o negtivo) respeto de un sistem de ejes de oordends retngulres, de mner que el vértie oinid on el origen y su ldo iniil on el semieje positivo de ls x, se die que es un ángulo del primer udrnte si su ldo terminl e en dio udrnte. Definiiones semejntes se plin otros udrntes. Utilizremos tres funiones trigonométris de, definids en se l sis, l ordend y l distni ρ (rdio vetor) y en se los ldos de un triángulo retángulo omo sigue: yy y ρ r 1 O P x M (sis) y (ordend) xx ipotenus O P teto ρ opuesto x M teto dyente * seno sen ordend rdio. vetor y teto. opuesto ρ ipotenus * oseno sis x teto. dyente os rdio. vetor ρ ipotenus * tngente tg ordend sis y x teto. opuesto teto. dyente demás oservemos que: tg sen os Ests tres funiones nos servirán pr resolver los distintos triángulos retángulos que se puedn presentr. 6
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll Ejeriios: Enontrr el vlor de ls tres funiones trigonométris del ángulo, de un triángulo retángulo, siendo que: ) teto opuesto 5 ipotenus 13 13 x 5 x + y x y x y 13 5 169 5 144 1 y 5 sen 0, 3846 ρ 13 x 1 os 0, 9307 ρ 13 y 5 tg 0, 41666 x 1 ) Enontrr los vlores de ls tres funiones trigonométris de 45º 45º y 45º 90º x undo tengo 45º, omo  90º dee ser el otro ángulo: Ĉ 45º, por lo tnto deen ser x y. Supongmos x y 1 Será x + y 1 + 1 y 1 sen 0, 70710 ρ x 1 os 0, 70710 ρ y 1 tg 1 x 1 7
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll ) Enontrr los vlores de ls tres funiones trigonométris de 30º Supongmos un triángulo equilátero on ldos 1, 1, 1 60º y 30º x 1 Será: y 0, 5 x + y x y x y 1 0,5 1 0,5 0,75 0, 866 t. op y 0,5 sen 30º 0, 5 ipotenus 1 t. dy. x 0,866 os 30º 0, 866 ipotenus 1 t. op y 0,5 tg 30º 0, 577 t. dy x 0,866 d) uál es l longitud de l somr proyetd por un edifiio de 150 mts. de ltur undo el Sol se elev 0º sore el orizonte? 0º somr 150 m sen 0º sen 0º 150m 438,57m 0,340 os 0º. os 0º 438,57m.0,93969 41, 1 m 8
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll e)un edifiio de 100 m de ltur proyet un somr de 10 m de longitud. Enontrr el ángulo de elevión del sol.? 10 m 100 m 100 tg 0, 83333 10 r tg 0,8333 39,80557 º 1º 60 0,80557º 60.0,80557 x 48,334 1º 1 60 0,334 60.0,334 x 0 1 Respuest: el ángulo 39 º 48 0 Tl de ls funiones trigonométris de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º 0 º 30º 45 º 60º 90º Seno 0 1 / / 3 / 1 oseno 1 3 / / 1 / 0 tngente 0 3 / 3 1 3 RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS TEOREM FUNDMENTL DE L TRIGONOMETRÍ: + 1 os + sen 9
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll FUNIONES TRIGONOMÉTRIS DE ÁNGULOS OMPLEMENTRIOS 90º Los ángulos gudos y Ĉ de un triángulo retángulo son omplementrios, es deir: + 90º Se tiene que: sen os os sen tg sen os sí, ulquier funión de un ángulo gudo, es igul l orrespondiente ofunión de un ángulo omplementrio. Est propiedd permite onfeionr l tls de ls funiones trigonométris dole entrd. Ejeriios: lulr ls siguientes funiones y determinr qué otr funión orresponden: ) sen 17 º 16 sen 17 º 16 0,96819 omplementrio: β 7 º 44 os β 0,96819 ) os 68 º 1 os 68º 1 0,37136 omplementrio: β 1º 48 sen β 0,37136 1 1 tg 400º 1, 19175 tg400º 0,839099 tg β tg 50º 1,19175 10
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS ulquier triángulo retángulo puede resolverse, es deir, onoer todos sus elementos en se dos de ellos, de los ules uno por lo menos será un ldo. Ls reliones que unen los elementos onoidos on ls inógnits serán: ls funiones trigonométris de ángulos gudos el teorem de Pitágors dto 90º dto d sí por ejemplo, si onoemos del triángulo, los ldos y, ls inógnits serán, y, y undo se requier, l superfiie del triángulo. Entones será: + tg r tg tg r. tg. Superfiie Ejeriios: Resolver los siguientes triángulos retángulos: ) Dtos: 765,40 m 68 º 46 es omplementrio de 90º - 68 º 46 1º 14 sen. sen 768,40 m. 0,9311 716,3 m + (768,40m) (716,3m) 78, 30m. Superfiie 716,3m 78,30m 99.663,40 m ) Dtos: 96,59 m 76,30 m 76,30m sen 0, 78993 96,59m r.sen 0,78993 5,179610º 11
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll 1º 60 0,179610º 60 0,179610 x 10,7766 1º 1 60 60 0,7766 0,7766 x 46 1 Respuest: el ángulo 5 º 10 46 90º - 5 º 10 46 37º 49 14 76,30m tg 59,3 m tg 1, 883 ) Un esler de mno está poyd ontr l pred de un edifiio, de modo que del pie de l esler l edifiio y 1 uniddes. qué ltur del suelo se enuentr el extremo superior de l esler y uál es l longitud de l mism, si form un ángulo de 70º on el suelo? l? 70º 1 u? tg 70º 1u 1 u. tg 70º 1 u.,747477 3,97 u l ( 1u ) + (3,97u) 35,08 u d) Un omre reorre 500 m lo lrgo de un mino que tiene un inlinión de 0º respeto de l orizontl. Qué ltur lnz respeto l punto de prtid? uál es l pendiente del mino? l 500m 0º sen 0º l l. sen 0º 500 m. 0,340 171,01 m 1
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll pend tg 0º 0, 3639 e) L distni entre dos edifiios de tejdo plno es de 60 mts. Desde l zote del edifiio más jo, uy ltur es de 40 mts., se oserv l zote del otro on un ángulo de elevión de 40º. uál es l ltur del edifiio más lto? 40º 60 m 40 m 40 m + tg40º 60m 60 m. tg 40º 60 m. 0,839099 50,34 m 40 m + 40 m + 50,34 m 90,34 m f) Un teo tiene l form de un pirámide retngulr, siendo l se 3 vees más lrg que n. Siendo que l ltur es de 3 mts. y que el ángulo diedro que tiene por rist el ldo menor del retángulo vle 6º 33, lulr l superfiie del teo. 3 I 3 m d 3 u 1 J K 6º 33 3m 3m 3m tg 6º 33 6 m tg6º33 0, 49967.. 6 m 1 m 1m 4 m d ( 3 ) (6 ) m + m 6, 708 33 3 13
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll Superfiie de l r IJK (triángulo) : S IJK I 4m 6,708m 13,41 m d IJ MJ + d 4m MJ m L Ñ J M K IJ ( m) + (6,708m) 7 m I 7 m IÑ ( 7m) ÑJ LJ 1m ÑJ 6 m L Ñ 1 m J IÑ 7 6 49 36 3,60 m SUP ILJ LJ IÑ 1m.3,60m 1,60 m SUP TEHO. SUP ILJ +. SUP IJK x 1,60m + x 13,41 m 70,0 m 14
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll FUNIONES GONIOMÉTRIS Ls funiones vists ern pr ángulos gudos de un triángulo retángulo. or se generliz pr ulquier ángulo. O y P ρ1 Q R T E x x Si l líne generdor del ángulo, que iniilmente está en OX l emos girr en sentido (+) rriendo un ángulo, y por un punto ulquier de OX, por ejemplo T, trzmos un írulo on entro en O, podremos formr dos triángulos: uno será el ORT. El punto R se enuentr trzndo l perpendiulr OX que ps por T. El otro triángulo, se otiene medinte el punto P (interseión del írulo on X ) y l proyeión de OP sore OX, que es OQ. Los triángulos OPQ y ORT son proporionles, por lo tnto tmién lo serán sus ldos. signemos l rdio el vlor de 1 unidd. Será entones: PQ PQ sen sen PQ sen. r sen. 1 tg TR r OQ os os OQ OQ os. r os. 1 r onoiendo un de ls funiones trigonométris, podemos deduir ls demás. Por ejemplo, ddo el sen 1 1 sen tg sen t. opuesto teto. dyente 1 sen + os os Hipotenus sen 1 sen 1 sen teto opuesto 15
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll Otro ejemplo, ddo tg ρ x + tg 1+ tg ρ x tg sen y tg ρ 1+ tg x 1 por ser el rdio os x 1 ρ 1+ tg RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS NO RETÁNGULOS 1 β D γ En el triángulo, no neesrimente retángulo, trzmos l perpendiulr uno de sus ldos que pse por el vértie opuesto, oteniendo su ltur, y de pso, dividimos l triángulo en dos triángulos retángulos D y D. Entones se umple que: + donde 1 ( 1 ). 1 + 1 reemplzndo: +. 1 + 1 (todví no onoemos 1 ) pero: + 1 1 reemplzndo qued: 1 +. 1 + 1 nelndo qued: +. 1 pero 1. os entones: +..os 1 que es válid pr ulquier triángulo. 16
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TEOREM DEL OSENO +..os En todo triángulo, el udrdo de un ldo es igul l sum de los udrdos de los otros dos ldos menos el duplo del produto de ellos por el oseno del ángulo omprendido Not: es l generlizión del Teorem de Pitágors l triángulo no retángulo. En el so de ser un triángulo retángulo, el oseno de 90º es ero. +..os 90º 90º +..0 + TEOREM DEL SENO En todo triángulo, los ldos son proporionles los senos de los ángulos opuestos (1) () 1 β D γ sen sen γ. sen. sen γ igulndo (1) on (): generlizndo: sen. sen. sen γ senγ sen senβ senγ 17
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll ÁRE DE UN TRIÁNGULO El áre de un triángulo ulquier, es igul l mitd del produto de dos de sus ldos, multiplido por el seno del ángulo omprendido 1 β D γ S Äre senγ se ltur Pero sen γ. senγ Reemplzndo: Áre senγ FORMUL DE HERÓN S p( p )( p )( p ) siendo, y los ldos del triángulo p + + p es el semi perímetro Teorem: El áre de un triángulo ulquier es igul l ríz udrd del produto del semi-perímetro, por d uno de los números que se otiene l restr éste d uno de los ldos del triángulo 18
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll EJERIIOS: 1) lulr los ángulos interiores del triángulo. 7 β 90º os 0, 8571 r.os 0,8571 7 73,3984º 1º 60 60 0,3984 0,3984º x 3,9070 1º 1 60 0,9070 60 0,9070 x 54 1 73º 3 54 + β 90º β 90º - 90º - 73º 3 54 16º 36 6 ) lulr el áre de l figur d + ( ) + ( ) + 4 d β 4 Sup 1 45º 90º 3) En el triángulo de l figur, lulr y siendo que 3 os 4 4 Otro mino: os 4 3 4 4 4 3 16 3 + 4 16 4 ( ) 16 3 56 56 144 11 16 3, 53 9 9 9 19
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll r.os 4 3 41,4096º tg 41,4096º 0,881917 tg 881917 4 0, 4 x 0,881917 3,53 4) lulr el áre de l figur 60º 1 1 0 0 60º 60º 1 0 se 10 Áre tg 60º 5 x tg 60º 5 x 1,73051 8,66 5 5 60º 5 10 8,66 Áre 43, 3 5) lulr el perímetro de l figur 1 β Según el teorem del seno es: 60º 45º sen45º sen60º 1 0,7071 0,866 1 0,866 14, 0,7071 70 β 180º - 60º - 45º 75º sen75º 1 0,9659 16, 39 sen45º sen75º sen45º 0,7071 perímetro + + 1 + 16,39 + 14,70 43,09 6) lulr 0
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll m 90º y 1 30º 60º 30º 90º os 30º 1 x os 30º 0,866 y 1 7) lulr l longitud del segmento O 5 30º O O os 30º O 5 x os 30º 4,33 5 rdio 5 O 5 O 5 4,33 0,67 8) lulr l longitud del segmento O e m 30º 30º 0,8 m 90º M O d 0, 8 os 30º M 0,8 M 0, 9m os 30º d M 0,8 0,9 0,8 0, 45 m e m 0,45 m 1,55 m sen 30º OM OM e sen30 º 1,55 sen30º 0, 775 m e O OM + M 0,775 + 0,9 1,69 mts. 1
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll 3 9) En el triángulo de l figur lulr, siendo que el áre es 3 3 90º β 3 tg 0, 57735 3 3 r.tg 0,57735 30º β 180º - 30º - 90º 60º sen 30º 3 3 x sen 30º 1,5 Otro mino: 3 3 sen90º 3, 46 sen90º sen60º sen60º Áre 3 3 3 3 1, 5 3,46 10) lulr el áre y los ángulos interiores del triángulo de l figur. 3 γ 7 6 β 3 + 6 + 7 16 Semi perímetro p 8 Por fórmul de Herón: S p ( p )( p )( p ) 8(8 3)(8 7)(8 6) 8 5 1 80 8,95 Por el teorem del oseno: * 6 3 + 7 x 3 x 7 x os 36 9 49 36 9 + 49 4 os os 0, 53809 4 r.os 0,56809 58º 4 4
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll * 3 6 + 7 9 36 49 x 6 x 7 x os β os β 0, 90476 84 β r.os 0,90476 5º 1 31 * γ 180º - - β 180º - 58º 4 4-5º 1 31 96º 47 11) lulr el ángulo de l figur, siendo que l rist del uo mide 40 mi 1) es l digonl de un udrdo de 40 mm de rist. 40 40 d 1 4 40 + 40 56,57mm ) es l ipotenus de un triángulo de 40 mm de ltur (rist) y d 1 56,57 mm 40 + 56,57 69, 8 mm Por teorem del oseno: 40 +... os 40 os 40 56,57 69,8 56,57 69,8 6398,75 os 0, 816339 7838,34 r os 0,816339 35º 16 47 3
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll PREGUNTS DE UTO EVLUIÓN 1) ómo se lsifin los triángulos de uerdo sus ángulos? ) Qué die el Teorem de Pitágors? 3) qué tipo de triángulos se puede plir el teorem de Pitágors? 4) Qué form tom el teorem de Pitágors en el so de un triángulo oliuángulo? 5) Pueden ser utilizds ls funiones trigonométris en triángulos oliuángulos? 6) ómo elegimos qué funión trigonométri utilizr l resolver un triángulo? 7) Qué die el teorem del oseno? 8) Qué die el teorem del seno? 9) uándo utilizmos uno u otro teorem? 10) ómo se lul el áre de un triángulo? 11) Pr qué se utiliz l fórmul de Herón?. Explique sus términos. 4