CÁLCULO Ejercicios Resueltos Semaa 0 Julio al Agosto 007 Ejercicios Resueltos. Estime el área ecerrada por la curva de ecuació y, el eje X y, para ello, divida el itervalo [0,] e cico partes iguales, y estime el área mediate la suma de áreas de los cico rectágulos cuyas alturas se determia por: (a) los etremos de la derecha, y (b) los etremos de la izquierda. (c) A partir de la iformació reuida e (a) y (b), complete esta afirmació: El área es meor que, pero mayor que. (a) y y 0 De la figura, el acho de cada rectágulo es / y el alto es determiado por el valor a la derecha de cada rectágulo bajo y, El área de los cico rectágulos es igual a: (.88. 8 )
(b) Como suma iferior (caso (a) es como suma superior) el área de los cico rectágulos es igual a: 0 80 ) (0.8 Cocluimos que el área es meor que.88 pero mayor que.8. y y 0
. Estime el área bajo y y sobre [,] de la siguiete maera: (a) Divida el itervalo [,] e cico seccioes de igual logitud. (Trácelas). (b) Halle las coordeadas del puto medio de cada secció. (Señale los putos e el diagrama). (c) E cada secció trace u rectágulo cuya altura sea el valor de medio. (Elabore los cico rectágulos) e el puto (d) Halle la altura de cada rectágulo. (Señale las alturas e el diagrama). (e) Halle el área total de los cico rectágulos. (c),(d) (e) El área total es 7 0 0 0 0 0 ( 7 ) 0 00..
. U egocio que e la actualidad o obtiee beeficios debe aumetarlos de maera gradual e los próimos tres años hasta que alcace ua razó de milloes de dólares por año. Al fial del primer semestre la razó debe ser u cuarto de milló aual, y al fial del segudo año de milloes auales. E geeral, al cabo de t años, e que t es u umero etre 0 y, su razó de beeficios ha de ser t milloes auales. Estime el beeficio total durate esos tres años si el pla es eitoso. Utilice seis subitervalos de igual logitud y los putos medios. Dividiedo el periodo de años e subitervalos de igual logitud total es aproimadamete. 7 ) 7 ( 8.7 milloes de dólares.
. Para la curva de ecuació y se, co [ 0, π ]. a) Dibuje la regió b) Trace seis rectágulos del mismo acho cuya área total se aproima por eceso al área de la regió c) E el dibujo idique la altura y el acho de cada rectágulo d) Halle el área total de los seis rectágulos (b) y y si 0 π / π (d) El área total es igual a la suma de los seis térmios: π π si π π π π π π π π π π si si si si si π si π π si π π si π π π π π si si si π.777 ( ) π
. Cosidere u estimativo del área de la regió por debajo de y sobre [0,] obteido por la divisió e seccioes de igual logitud, dode es u etero positivo. Sea B() el valor del estimativo por eceso obteido mediate los etremos derechos y C() el valor del estimativo por el defecto usado los etremos izquierdos. Sea A el área por calcular. [Ya se sabe que C() 7.0 A 0. B()]. (a) Eplique por qué B() C() 7/ (b) Qué ta grade debe ser el valor de para que B() C() 0.0? Respuesta a) Sobre estimació es B().... 0 ( ) Y por defecto C().... La diferecia etre B() y C() es 7 b) Requerimos B() C() cosiderar 700. 7 7 0.0. Etoces 0.0, luego se debe. Dé u ejemplo de ua fució F cuya derivada sea a) ( ) b) ( ) c) se d) e) (Verifique sus respuestas mediate difereciació) a) Dado que ( ) ', ua atiderivada de ( ) es ' ( ) ( ). Cualquier fució de la forma costate, tiee como atiderivada a ( ). ( ) ( ), etoces C, dode C es ua b) Note que ( ), luego ua atiderivada es C, C cte.
c) Dado que (cos ) ' se, cocluimos que ua atiderivada de se d) Como ( )' C, C cte. y es cos C, C cte. ' cos ' se, luego se sigue que la atiderivada de es e) Como ( )', es claro que ( C) ', C cte.
Ejercicios propuestos Stei & Barcellos Págia, problemas úmero:, 7, 8, 0 Págia, problemas úmero,,.
Ejercicios de Autoevaluació. Dada la fució f() e, estime por eceso el área ecerrada por la fució f(), las rectas 0; e y 0 mediate rectágulos de base ½. (Certame, 7/08/0).. Determie valores para m, M R que acote el área ecerrada por f() se para [ 0, π / ] etre las rectas 0; π /. (Certame, //0).. Ecuetre ua atiderivada para la fució f defiida por (Certame, //0). f() 0 <. Ecuetre el valor de c R de maera que el área ecerrada por f(t) y c sea igual a ½. (Certame, /0/8).. Demuestre justificadamete que el área ecerrada por la fució f(t) t 0 y t es meor o igual que. (Certame recuperativo, 0/0/8).. Ecuetre la ecuació y f() de la curva tal que: i) Cotega al puto (,). ii) Sea simétrica respecto del orige y. d y iii) para cada 0 d (Certame, 0/0/) t t t e, etre 7. Supoga que u taque de agua de 000 litros tarda 0 miutos e vaciarse y que después de t miutos, la catidad de agua que queda e el taque es v(t) 0(0 t) litros. Cuál es la mejor aproimació al promedio del agua e el taque durate el tiempo e que se vacía? (Certame, 07/0/000).